Cập nhật thông tin chi tiết về Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình (1) Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = Khi đó ta có: Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Do nên Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó đặt = .Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Do nên Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho Ta có: Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải : Do nên ta có: Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt . Từ đó ta có Vậy phương trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận theo Bước1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1) Giải: Điều kiện (*) Ta có: (1) Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy nên ta có Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1: (1) Cách giải: Đặt , điều kiện Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm Dạng 2: (2) Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm Dạng 3: (3) Cách giải: Điều kiện Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: (4) Cách giải: Điều kiện Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Phương trình (1) Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2 Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình Bài 9: Giải phương trình 1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu < phương trình vô nghiệm -Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được Vì nên tồn tại góc sao cho Khi đó phương trình (1) có dạng Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với Đặt suy ra Khi đó phương trình (1) có dạng Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . . . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình -Với . Đặt ,lúc đó Phương trình (1) sẽ có dạng Hay Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta biến đổi phương trình (2) Ta có: Suy ra < Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi (3) Đặt Phương trình (3) sẽ được viết thành Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn (*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: Giải: (4) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình. (1) trong đó a, b, c, d b) Cách giải : Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không? Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình đã cho về phương trình Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát trong đó Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí. Vậy không là nghiệm của phươngtrình. +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải : Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình (2) +) Xét với . Khi đó phương trình có dạng mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận làm nghiệm +) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được : . Đặt phương trình có được đưa về dạng: Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3) Giải : Điều kiện Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng : Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được : (do vô nghiệm) nên: Phương trình (*) Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Đặt ta được : Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng trong đó (1) b) Cách giải: Cách 1: Do nên ta đặt . Điều kiện Suy ra và phương trình (1) được viết lại: Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt thì nên phương trình (1) trở thành . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng Với không thoả mãn điều kiện nên (*) Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng (*’) Ta thấy không thoả mãn Do đó (*’) Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình Cách giải: Phương trình (1) có thể viết *Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Ta có (2) Ta có (3) (4) (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: với (1) Cách giải: Ta có: Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Điều kiện (3) Giải (4) Giải (5): Đặt (*) Suy ra . Phương trình (5) trở thành Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại Với ta có Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải : Ta có: Phương trình (1) có dạng Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện: Phương trình (2) (loại) Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và . * Phương trình có dạng Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đại số Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x Ví dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình (1) Đặt , phương trình (2) trở thành hay Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Phương trình (2) (3) Đặt , phương trình (3) có dạng Với thì nên (4) Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)). Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài tập:Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG. Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp. Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. Ví Dụ: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện (*) Khi đó (1) Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ? Suy ra không thoả mãn (*) . Vậy phương trình (1) vô nghiệm . 1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Khi đó phương trình (1) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. sin cos Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 1.3.3- Phương pháp đại số. Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số. * Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện Khi đó (1) Gía trị này là nghiệm của (1) nếu Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập: 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình: 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 6: Giải phương trình:Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác
Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$ b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$ c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$
a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt. Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$ $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$ b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$ Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$ c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$ Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$ Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$ $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos ^24x = 1 cos ^24x = – frac12left( loại right) endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl sin 2x = 0 cos 2x = 0left( loại right) endarray right.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$
2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.
a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích. $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$ b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng. $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$ c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$ $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl sin x = 0 2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0 endarray right.$ Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$ d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$ Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$
a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích. $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 4x = 0 cos 2x = – frac12 endarray right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$ b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$ $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$ $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$ c. Điều kiện: $cos x ne 0.$ $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$ Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$ d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$
a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$ b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 2 + kpi x = – fracpi 4 + kpi endarray right.left( k in Z right)$ c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$ d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$ $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$ Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$ Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$). Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$
4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức) Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$ b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$ c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$ d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$
a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = – fracpi 6 + k2pi x = fracpi 2 + k2pi endarray right.$ $left( k in Z right).$ b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào? Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau: Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 1 cos 2x = – frac12 endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải. c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$ $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$ d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 tan 2x = 1 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 4 + kfracpi 2 x = fracpi 8 + kfracpi 2 endarray right.$ $left( k in Z right).$
. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$ b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$ c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$ d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$
a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$ $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 cos 2x = frac12 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 4 + kfracpi 2 x = pm fracpi 6 + kpi endarray right.$ $left( k in Z right).$ b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl x ne fracpi 4 + k2pi x ne frac{3pi }4 + k2pi endarray right.$ $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$ $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$ $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$ c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$ d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$
Các Phương Pháp Giải Phương Trình
1. Phương pháp giải phương trình bậc ba.
Xét phương trình bậc ba dạng tổng quát bao giờ cũng đưa về được phương trình bậc ba dạng chính tắc bằng cách chia hai vế của cho để được và đặt thì ta sẽ thu được .
Xét biểu thức .
2. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt.
a) Phương trình trùng phương : .
b) Phương trình dạng . c) Phương trình dạng với .
Đưa phương trình về dạng và đặt thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn .
d) Phương trình dạng với .
Đưa phương trình về dạng
Bằng cách chia hai vế cho và đặt ta thu được phương trình bậc hai theo
e) Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hệ số phản hồi.
Phương trình trên được gọi là phương trình hệ số phản hồi nếu .
Khi đó bằng cách chia hai vế cho và đặt ẩn phụ thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn
3. Phương pháp sử dụng một số hằng đẳng thức.
Ví dụ : Giải phương trình
Để ý hằng đẳng thức
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
4. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ : Giải phương trình
Điều kiện .
Từ đó ta có hệ phương trình
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
5. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 6. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ : Giải phương trình
Đặt
Cộng vế theo vế hai phương trình này :
Xét hàm số , dễ thấy hàm này đồng biến trên nên
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
7. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.
Ví dụ : Giải phương trình
Điều kiện .
Đẳng thức xảy ra khi
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
8. Phương pháp dùng lượng liên hợp.
Phương pháp này dùng được cho những phương trình chứa căn thức và khi biết trước nghiệm của phương trình.
Một số hằng đẳng thức dùng để trục căn thức :
Ví dụ : Giải phương trình
Phương trình tương đương :
Mà dễ thấy rằng
Nên .
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope.
Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng tổng quát
a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn . Khi đó phương trình thứ nhất có dạng , phương trình này cho phép tính được . c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là . Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới (với là các ẩn). Ta sẽ tìm để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo mà ta đã biết cách giải.
Đặt . Hệ trở thành :
Vậy ta có hệ .
Dễ dàng giải được hệ này.
2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.
a) Hệ phương trình đối xứng loại I.
Cách giải chung là đặt ẩn phụ .
b) Hệ phương trình đối xứng loại II
Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .
c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.
Dạng tổng quát
Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình .
3. Hệ phương trình hoán vị.
Dạng tổng quát
Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)
Một số định lí :
a) Nếu là các hàm đồng biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì .
b) Nếu là các hàm nghịch biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì với lẻ, ta có .
c) Nếu nghịch biến và đồng biến trên tập là là nghiệm (trên ) của hệ thì với chẵn, ta có và .
Vì .
4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :
Phương trình thứ nhất có thể viết thành :
Thay vào phương trình sau :
Vậy
5. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ : Giải hệ phương trình
Điều kiện
Cộng vế theo vế hai phương trình :
Trừ vế theo vế hai phương trình :
Vậy nếu ta đặt
Thì ta có hệ
Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.
6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.
“Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.
Điều kiện
7. Phương pháp biến đổi đẳng thức. a) Đưa về phương trình tích.
Ta dễ dàng giải được hệ này.
b) Đưa về phương trình thuần nhất.
Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc .
Dễ dàng giải tiếp hệ này.
8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 9. Phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ : Giải hệ phương trình
Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia.
Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là .
Từ đó được phương trình .
Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope
Bạn đang xem bài viết Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!