Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề Bất Phương Trình mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Giải bất phương trình không chứa tham số Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự như ở mụcI). b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau Giải: Xét Ta có bảng xét dấu : Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: Xét Mẫu Ta có bảng xét dấu: Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt là Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau Hướng dẫn: Phân tích vế trái đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2 Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý Ta có: Cách 2:Xét nghiệm của đa thức , nếu có nghiệm hữu tỷ là ước (kể cả âm ) của là ước của nghiệm hữư tỷ nếu có của chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne ta thấy , và khi đó chia cho ta được Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định , ta cũng đưa được . Vậy Ta có bảng xét dấu: Vậy nghiệm của Ví dụ2: Giải bất phương trình Giải: Đặt trở thành: Từ Vậy nghiệm của bpt đã cho là Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau Giải: Thấy không thoả mãn , chia hai vế cho , đặt trở thành Vậy ta có Kết luận nghiệm của BPT là Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau Giải: Xét Chọn sao cho: chọn Khi đó trở thành: Vậy nghiệm của đã cho là: Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số ) Hướng dẫn: * Nếu *Nếu , nhân hai vế của với Đặt trở thành: Xét , vậy có hai nghiệm đối với ẩn là: Thay , ta có trở thành: Mặt khác ta có Đáp số : II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phương trình Cơ sở lý thuyết: * vô nghiệm * vô nghiệm *Cho bất phương trình: . Điều kiện cần và đủ để được thoả mãn với là: , với là tập nghiệm của ,( Tập cho trước có thể là: ) Ví dụ1: Cho tam thức: Xác định sao cho: Bất phương trình vô nghiệm; Bất phương trình có nghiệm. Giải: Vậy không thoả mãn đều kiện bài toán. * vô nghiệm Để xác định sao cho bất phương trình có nghiệm , ta giải bài toán:”Xác định sao cho vô nghiệm” * Vậy không thích hợp. *Ta có: vônghiệm Tóm lại, điều kiện để vô nghiệm là . Vậy, điều kiện để có nghiệm là Bài tập tương tự: Với những giá trị nào của thì : Hướng dẫn: Để ý thấy do Vậy Hệ có nghiệm với Đáp số: Ví dụ 2:Cho bất phương trình: Tìm để bất phương trình được thoả mãn với . Tìm để bất phương trình có nghiệm Giải: Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai. Gọi X là tập nghiệm của .Ta tìm + không thích hợp. +, không thoả mãn +: Xét dấu và : thoả mãn . Tổng hợp các kết quả trên, ta được:. Cách giải 2: Phương pháp hàm số: Đối với học sinh đã được học kiến thức về khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu như việc cô lập được tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản). Cơ sở lý thuyết: Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , liên tục trên . * có nghiệm . *. * có nghiệm . * Trở lại bài toán ta có: (do) Yêu cầu bài toán Xét Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: Xem bảng biến thiên ta có , vậy được thoả mãn Cách giải1( phương pháp tam thức bâc hai – bạn đọc tự giải) Cách giải2: Phương pháp hàm số Tương tự câu Yêu cầu bài toán trở thành : Tương tự như câu ta có . Bài tập tương tự: Xác định để bất phương trình : , Đáp số: hoặc Ví dụ 3: Tìm Cách giải: Gọi . ta có không trái dấu với nhau. Chú ý: Trong quy ước mẫu thức bằng thì tử thức cũng bằng Bài tập áp dụng: Tìm để Giải: Ta có Bởi thế và là tương đương. Vậy Ví dụ 4: Cho Tìm a để Giải: Viết lại Gọi Ta thấy Đáp số: Bài tập tương tự: Tìm để Hướng dẫn: Viết lại Yêu cầu bài toán
Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
Published on
chuyên đề phương trình lượng giác
2. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2 )cos()cos( 2 1 sinsin )cos()cos( 2 1 coscos )sin()sin( 2 1 cossin bababa bababa bababa 2. Công thức biến đổi tổng thành tích 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba baba ba VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. sin(a b) 1) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 2) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 3)cot a cot b sin a sin b sin(a b) 4)cot a cot b sin a sin b 5) 4 4 2 2 sin x cos x 1 2sin chúng tôi x 6) 6 6 2 2 sin x cos x 1 3sin chúng tôi x B. Bài tập Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 4 4 cos sin cos2x x x . b) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 2 x x x . c) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x . d) sin cos 2tan2 sin sin x x cosx cosx x cosx x cosx x . e) 3 3 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . f) 5 5 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin5 sin3 sin4 tan4 5 cos3 s4 x x x x cos x x co x . b) 2 cos sin 1 sin2x x x . c) 2 1 sin2 sin cosx x x . d) cot tan 2cot2x x x . Bài 3. Cho 3 sin , 0; 5 2 x x . Tính giá trị của biểu thức cos cos2P x x . Bài 4. Cho ; 2 x và tan 1 4 x Tính giá trị của biểu thức cos sin 2 A x x .
3. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3 Bài 5. Cho tan 2x Tính giá trị của biểu thức sau: a) 2sin cos cos sin x x A x x . b) 2 2 2sin sin cos 3cos 2sin cos x x x B x x x . c) 3 2 3 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x C x x x . d) 2 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x D x x x . Bài 6. Cho 1 tan , 0; 2 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2sin 3cos 12 2 5sin 2cos 2 2 x x P x x . Bài 7. Cho 2 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2 cos 3 P x . Bài 8. Cho 1 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức sin2 cos2P x x . ………………………………………………………………………………………………………….. Phần 2. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình: sinsin x x k2 ,k Z x k2 2. Phương trình: coscos x x k2 , k Z x k2 3. Phương trình: tan x tan k ,k Z 4. Phương trình: cot x cot k ,k Z B. Bài tập rèn luyện Bài 9. Giải các phương trình sau: a) 2 3 6 3sin x b) sin(3x – 2) = 1,5 c) 1 5 2cos2 x d) cos(3x – 15o ) = cos150o e) tan(2x + 3) = 3 tan f) cot(45o – x) = 3 3 g) sin3x – cos2x = 0 h) xx 3cos 3 2 sin i) 0 4 3cos 6 5 3sin xx j) )302cos( 2 cos o x x k) cos2x = cosx l) 4 2sin 4 sin xx m) 1 12 sin x n) 2 1 6 12sin x o) 2 3 2 6cos x p) 1)5cos( x q) 1)63tan( x r) 36tan x s) 3 1 2 4 tan x t) 312 6 5 cot x u) 3 3 5 7 12 cot x
4. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4 v) 2 2 312sin x w) xax 3sin2cos x) xbx 5cos)3sin( y) xx 6 5 cot 4 tan z) xx 7 12 7 tan3cot Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : a) 1 sin2 2 x với 0 x . c) 1 sin 2 2 x với 0 2x . b) 1 cot3 3 x với 0 2 x . d) 2cos 1 0 3 x với 2 x . Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2 2sin 1x c) sin 1 2cos 1 0x x b) 2cos2 3 2cos 1 0x x d) tan 1 tan 3 0x x e) cot 1 tan 3 0x x f) 2 cos5 2sin 1x x Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sin sin3 cos 0x x x c) sin3 .sin2 sin4 sinx x x x b) 2 sin5 sin 2cos 1x x x d) 4 4 2cos 1 2sinx x e) cos2 sin cosx x x f) 2 sin 2cos 2 1x x Bài 13. Giải các phương trình sau : a) 4sin cos cos2 1x x x c) sin3 .sin2 sin4 cos2 cos3x x x x x b) 2 sin5 cos sin cos5 2cos 1x x x x x d) 2 1 cos2 sin cosx x x e) 4cos2 sin cos sin8x x x x f) 4 4 5 sin cos 8 x x Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 3 4sin cos2 3sinx x x c) 3 sin2 3cos 4cosx x x b) 2sin2 cos sin3 1x x x d) 2sin3 sin 1 cos4x x x II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 a sin sin 0( )x b x c , đặt: t sin , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 2: 2 acos s 0( )x bco x c , đặt: t cos , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 3: 2 atan tan 0( )x b x c , đặt: t tanx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 4: 2 acot cot 0( )x b x c , đặt: t cotx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) 1cossin 22 xx 2) 2 2 2 2 cos2 sin cos2 2 1 cos2 1 2sin x cos x x x cos x x x 3) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 4 x x x 4) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x .
5. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5 5) 2 1 s2 cos 2 co x x 6) 2 1 s2 sin 2 co x x 7) 3 os3 4 os 3 osc x c x c x 8) 3 sin3 3sin 4sinx x x B. Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos2 3sin 2 0 (1)x x Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi 2 cos2 1 2sinx x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải 2 2 2 (3) 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0 2 2sin 1 2 , .1 6sin 2 5 2 6 x x x x x k x x k k Z x x k Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 cos4 12sin 1 0 (2)x x (CĐ Khối A,B,D – 2011) Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ bậc nâng cung của 2 1 2 sin 2 cos x x . Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x nên ta chọn công nhân đôi của 2 cos4 2 2 1x cos x . Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo cos2x. Giải 2 21 2 (2) 2 2 1 12. 1 0 2 3 2 2 0 2 cos x cos x cos x cos x Đặt cos2 , 1t x t . Pt trở thành: 2 1( ) 3 2 0 2( ) t n t t t l . Với 1t , ta có : cos2 1 , .x x k k Z Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 4 cos sin cos4 0 (3)x x x Phân tích:Ta thấy 4 4 cos sin os2x x c x , chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của 2 cos4 2cos 2 1x x . Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo chúng tôi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh. Giải 2 2 2 2 2 2 (3) sin sin 2 2 1 0 2 2 cos2 1 0cos x x cos x x cos x cos x x cos2 1 2 , .1 cos2 22 6 x x k k Z x x k
7. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7 Cách 1: 2 2 4 2 2 2 cos 1( ) 1 7 2 1 cos 1 2 2cos cos 1 0 1 cos cos 2 x l x x x x x 2 2cos 1 0 cos2 0 , . 4 2 k x x x k Z . So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là , 4 2 k x k Z . Cách 2: 2 2 2 2 2 4 2 2 2 sin 1 7 2 .cos tan 2 2tan . tan 2 tan tan 2 0 cos 1 tan x x x x x x x x x 2 2 tan 1 tan 2( )….! x x l . Ví dụ 8. Giải phương trình: 8 8 217 sin cos cos 2 8 16 x x x . Giải Ta có: 2 28 8 4 4 4 4 2 4 2 41 1 1 sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 8 8 x x x x x x x x x x . Pt (8) 2 4 2 4 21 16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2 2sin 2 sin 2 1 0 8 x x x x x 2 2 2 sin 2 1( ) 1 2sin 2 0 cos4 0 , .1 8 4sin 2 2 x loai k x x x k Z x Ví dụ 9. Giải phương trình: 8 8 10 10 5 sin cos 2 sin cos cos2 9 4 x x x x x . Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể: 8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4 x x x x x x x x x x Giải 8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4 x x x x x x x x x x 8 8 8 8 4 4 4 4 2 2 3 5 5 9 sin cos2 cos cos2 cos2 cos2 cos sin cos2 4 4 5 cos2 cos sin cos sin cos2 0 4 1 chúng tôi .cos2 1 sin 2 5cos2 0 2 1 cos2 . 4cos2 . 1 1 cos 2 5 0 2 cos2 0 2cos 2 2cos2 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . , k Z . 4 20( ) x k VN Ví dụ 10. Giải phương trình: 2 cos2 cos sin 2 0 10 x x x .
8. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8 Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau: 2 2 2 cos2 1 2sin ;cos 1 sin x x x x . Giải 2 2 2 sin 1 10 2sin 1 sin sin 2 0 3sin sin 4 0 4 sin ( ) 3 2 , . 2 x x x x x x x loai x k k Z C. Bài tập rèn luyện: Bài 15.Giải các phương trình sau: a) 2 cos 5cos 2 0 x x b) 2 2cos cos 1 0 x x c) 2 cot 4cot 3 0 x x d) 2 tan 1 3 tan 3 0 x x e) cos2 9cos 5 0 x x f) cos2 sin 3 0 x x Bài 16.Giải các phương trình sau: a) 032cos72sin3 2 xx b) 07sin5cos6 2 xx c) 03sin52cos xx d) 01cos2cos xx e) 1412cos3sin6 2 xx f) 7cos12sin4 24 xx g) 5cossin8 2 xx Bài 17.Giải các phương trình sau: a) 3 2 sin 3sin 2sin 0 x x x b) 2 2 3 sin 2 2cos 0 4 x x c) 5sin3 cos6 2 0 x x d) 2cos2 cos 1 x x e) 4 2 4sin 3 12cos 3 7 0 x x f) 2 5sin 3sin 2 0 x x Bài 18.Giải các phương trình sau: a) 3 tan cot 2. 2 sin x x x . b) 1 1 2 cos sin 2 sin 4 x x x . c) 2 6 8 2cos 1 3cos 0 5 5 x x . d) 35 sin 5cos .sin 2 2 x x x . e) sin sin5 3 5 x x . f) sin5 1 5sin x x . g) 5 7 sin 2 3cos 1 sin ; ;2 2 2 2 x x x x . Bài 19.Giải các phương trình sau: a) 2 sin 2 3cos2 5 cos 2 6 x x x . b) 1 1 2sin3 2cos3 sin cos x x x x . c) 2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2 x x x x . d) 3 3 1 cos .cos .cos sin sin sin 2 2 2 2 2 x x x x x x . e) 2 cot tan sin 2 sin 2 x x x x . f) 2 sin2 . cot tan2 4cos x x x x . g) 3 tan tan 1 4 x x . h) 1 tan 1 sin2 1 tan x x x . i) 3 sin2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sin 3 3 x x x x x x .
9. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9 j) 2 2 1 1 4 sin 4 sin 7 sin sin x x x x . k) 2 tan tan .tan3 2 x x x (ĐHQG Hà Nội 1996). l) 4 sin3 cos2 5 sin 1 x x x III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng cơ bản :a sin cos ( )x b x c . Cách giải 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 a b c . Chia hai vế pt( ) cho 2 2 0a b ta được: 2 2 2 2 2 2 a sin cos b c x x a b a b a b . Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: 2 2 2 2 a cos ;sin b a b a b . Phương trình trở thành: 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin c c x x x a b a b . Tới đây là dạng cơ bản !!! Cách giải 2: Kiểm tra xem cos 0 2 2 x x k có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một họ nghiệm này. cos 0 2 2 x x k , đặt: 2 2 2 1 2 t tan cos ;sin 2 1 1 x t t x x t t . Khi đó phương trình ( ) trở thành : 2 2 0 tan …!b c t at c b t x x Mở rộng 1 :a sin cos sinyx b x c hoặc a sin cos cosyx b x c . Mở rộng 2 :a sin cos siny dcosx b x c y . Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: bababa abbaba sinsincoscos)cos()2 cossincossin)sin()1 B. Bài tập mẫu: Ví dụ 11. Giải phương trình: 3cos2 sin 2 2 11 x x . Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…! Giải 1 3 11 sin 2 3cos2 2 sin 2 cos2 1 sin 2 .cos sin cos2 1 2 2 3 3 x x x x x x 11 sin 2 1 2 , . 3 12 x x k k Z
12. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12 Ví dụ 19. Giải phương trình: tan 3cot 4 sin 3cos 19 x x x x . Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn luyện. Giải 2 2sin cos 19 3 4 sin 3cos sin 3cos 4sin cos sin 3cos cos sin x x x x x x x x x x x x sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 sin 3 cos 0 sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 0 sin 3 cos 0 sin 3 cos 2sin 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x tan 3 , . 3 x x k k Z 1 3 sin 3cos 2sin 2 sin cos sin 2 2 2 x x x x x x 2 3 sin sin 2 , . 43 2 9 x k x x k Z x k So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là: 4 2 ; 2 , . 3 9 x k x k k Z Ví dụ 20. Giải phương trình: 3 3 sin cos sin cos 20 x x x x . Giải 2 3 2 3 20 sin sin 1 cos cos 0 sin cos cos cos 0 x x x x x x x x 2 2 cos sin cos cos 1 0 cos 0 sin cos cos 1 x x x x x x x x , . 2 x k k Z 1 1 cos2 sin 2 1 sin 2 cos2 3( ) 2 2 x x x x vn B. Bài tập rèn luyện: Bài 20.Giải các phương trình sau: a) 2sin 2cos 2x x b) sin2 3cos2 2 x x c) sin4 3 cos4 2x x d) cos 3sin 1 x x e) 3 cos3 sin3 2 0x x f) cos2 2sin2 3 x x Bài 21.Giải các phương trình sau:
13. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13 a) 2sin2 cos2 3 cos4 2x x x b) 2 1 sin 2 sin 2 x x c) 5 2 2cos 3cos 6 3 2 x x d) 2 2 cos 3sin2 1 sin x x x e) 2 5sin2 6cos 13 x x f) 2sin3 sin2 3cos2 x x x g) sin3 sin5 3 cos5 cos3 x x x x h) 3sin4 cos4 sin 3cos x x x x i) sin7 cos6 3 sin6 cos7 x x x x j) sin5 3cos5 2cos3 x x x Bài 22.Giải các phương trình sau: a) 4 4 1 sin cos 4 4 x x b) 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3 x x x x x c) 2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x d) 2cos 1 sin cos 1 x x x e) 2cos2 6 cos sin x x x f) 2 sin 3cos sin 3cos 1 x x x x g) 3 4sin 1 3sin 3cos3 x x x h) sin cos4 3cos5 2 sin4 cos x x x x x i) 4sin2 3cos2 3 4sin 1 x x x j) 2 cos sin 2 3 2cos sin 1 x x x x Bài 23.Giải các phương trình sau: a) 1 tan 3 cos x x b) 3 3sin6 4cos 2 1 3cos2 x x x c) 3 3 5 cos cos3 sin sin3 8 x x x x d) 3 4sin 2 3cos2 5cos 3 0 2 x x x e) 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 x x x f) cos2 3sin2 3sin cos 4 0 x x x x g) 3 sin cos 2 1 sin2 sin cos 2 x x x x x IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 2 asin sin cos cos 1 x b x x c x d Cách 1:Chia hai vế cho 2 cos x hoặc 2 sin x . Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm này. Bước 2: Xét 0cos x . Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho x2 cos ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos 1 a cos tan tan 1 tan cos cos cos cos x x x x d b c x a x b x c d x x x x x 2 tan tan 0 a d x b x c d . Dạng 2: 3 2 2 3 asin sin cos sin cos cos 0 2 x b x x c x x d x Dạng 3: 4 3 2 2 3 4 asin sin cos sin cos sin cos cos 0 3 x b x x c x x d x x e x Cách giải: Chia hai vế của (2) cho 3 cos x hoặc 3 sin x. Chia hai vế của (3) cho 4 cos x hoặc 4 sin x rồi làm như trên.
15. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15 2 4 2 2 tan 1tan 1 4 tan 4tan 3 0 , . tan 3tan 3 3 x kxx x x k Z xx x k Ví dụ 24. Giải phương trình: sin2 2tan 3 24 x x . Giải Điều kiện : cos 0 , 2 x x k k Z . 2 2 2 2 2 2sin cos 1 1 24 2tan . 3. 2tan 2tan 1 tan 3 1 tan cos cos cos x x x x x x x x x x 3 2 2tan 3tan 4tan 3 0 tan 1 , . 4 x x x x x k k Z Ví dụ 25. Giải phương trình: 3 sin sin2 sin3 6cos 25 x x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1. x x Khi đó phương trình (25) vô nghiệm. TH2: Do cos 0 , 2 x x k k Z không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế của phương trình (25) cho 3 cos x được: 3 3 3 3 3 2sin sin cos 3sin 4sin cos 25 6 cos cos cos x x x x x x x x x 2 3 2 2 3 2 2 3 sin sin 1 sin 2 3 . t 4 6 2tan 3tan 1 tan 4tan 6 0 cos cos cos cos x x x x x x x x x x x 3 2 tan 2tan 2 tan 2tan 3tan 6 0 , . tan 3 3 x arc kx x x x k Z x kx Ví dụ 26. Giải phương trình: sin3 cos3 2cos 0 26 x x x . Phân tích: Các Em nhớ lại 3 3 sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos x x x x x x. Khi đó viết lại phương trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x ,nhưng nhớ phải xét cos 0x trước. Giải 3 3 3 3 26 3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0 3sin 4sin 4cos cos 0 x x x x x x x x x TH1: Xétcos 0 sin 1. x x Khi đó phương trình vô nghiệm. TH2: Do cos 0 , 2 x x k k Z không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho 3 cos x được: 3 3 2 3 3 2 3sin 1 sin cos cos 1 . 4 4 . 0 cos cos cos cos cos cos x x x x x x x x x x 2 3 2 3tan 1 tan 4tan 4 1 tan 0 x x x x
16. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16 3 2 tan 1 4 tan tan 3tan 3 0 , . tan 3 3 x kx x x x k Z x x k Ví dụ 27. Giải phương trình: 3 2 sin cos 3sin xcos 0 27 x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1. x x Khi đó phương trình 27 vô nghiệm. TH2: Do cos 0 , 2 x x k k Z không là nghiệm của phương trình 27 nên ta chia hai vế của phương trình 27 cho 3 cos x được: 3 2 2 2 2 3 3 sin 1 cos sin xcos 27 . 3 0 tan tan 1 1 3tan 0 cos cos cos cos x x x x x x x x x x 3 2 tan 1 4tan 3tan tan 1 0 , . tan 1 2 arctan 1 2 x kx x x x k Z x x k Ví dụ 28. Giải phương trình: 2 29 cos 3 2 3cos 4 1 sin 2 , ;2 28 2 3 x x x x . Giải 2 2 28 cos 2 3sin4 1 sin 2 x x x TH1: Xétcos 0 sin 1. x x Khi đó phương trình vô nghiệm. TH2: Do cos 0 , 2 x x k k Z không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho 2 cos 2x được: 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 cos2 1 sin 2 2 3 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 x x x x x x x x 2 tan 2 0 2 2tan 2 2 3 tan 2 0 , . tan 3 6 2 x kx x x k Z x x k C. Bài tập rèn luyện Bài 24.Giải các phương trình sau: a) 2 2 sin 2cos 3sin cosx x x x b) 2 sin 3sin cos 1x x x c) 2 2 2sin 3cos cos2 5sin2 0x x x x d) 2 2 5sin 2 6sin4 2cos 2 0x x x e) 2 2 5sin 5sin2 4cos 0x x x f) 2 2 2sin 3 10sin6 cos 3 2x x x g) 4 4 sin cos 3sin cos 0x x x x Bài 25.Giải các phương trình sau:
17. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17 a) 1 3sin cos cos x x x b) 2 2 sin 3cos sin2 2 x x x c) sin3 cos3 sin cosx x x x d) 3 sin3 2cosx x e) 2 sin tan 1 3sin cos sin 3 x x x x x f) 3 sin 4sin cos 0 x x x g) 2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin .cos x x x x x x h) sin3 cos3 2cos 0 x x x i) 3 5sin 4 .cos 6sin 2cos 2cos2 x x x x x j) 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 tan 1 2 x x x x x V. Phương trình dạng đối xứng: A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: a sin cos sin cos 0 x x b x x c Cách giải: Đặt 2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2 t t x x t t x x x x thay vào phương trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức. Dạng 2: a sin cos sin cos 0 x x b x x c Cách giải: Đặt 2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2 t t x x t t x x x x . Dạng 3: 2 2 a tan cot tan cot 0 x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt 22 2 2 2 tan cot , 2 tan cot tan cot 2 t x x t t x x x x t . Dạng 4: 2 2 a tan cot tan cot 0 x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt 22 2 2 2 tan cot tan cot tan cot 2 t x x t x x x x t . Dạng 5: 4 4 a sin cos sin2 0 x x b x c Cách giải: Đặt 4 4 2 21 1 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 2 2 t x t x x x t . Dạng 6: 4 4 a sin cos cos2 0 x x b x c Cách giải: Đặt 4 4 2 2 21 1 1 1 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 2 2 2 2 t x t x x x x t . Dạng 7: 6 6 a sin cos sin2 0 x x b x c Cách giải: Đặt 6 6 2 23 3 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 4 4 t x t x x x t . Dạng 8: 6 6 a sin cos cos2 0 x x b x c Cách giải: Đặt 6 6 2 2 23 3 1 3 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 4 4 4 4 t x t x x x x t . Dạng 9: 4 4 asin cos cos2 0 x b x c x d
26. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 26 a) 3 2 cos cos 2sin 2 0x x x b) 2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin cos x x x x x x c) 3 sin 4sin cos 0x x x d) 2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x e) 2sin cot 2sin2 1x x x f) 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x g) 2 cos sin1 tan cot 2 cot 1 x x x x x h) 3 8sin cos 6 x x i) 2cos5 cos3 sin cos8x x x x j) 2 2sin sin2 sin cos 1 0 x x x x k) 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3 x x x x l) 2 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 2 cos 2 4 x x x x Bài 32.Giải các phương trình sau: a) tan3 2tan4 tan5 0x x x b) 2 sin 2 1 cos3 sin 2sin 2 0 4 x x x x c) 2 1 sin cos 1 sin cosx x x x d) 3 sin cos sin2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x e) 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x f) cos3 cos 1x x g) 2 2 sin sin cos 2cos 0 x x x x h) cos3 sin6 cos9 0 x x x i) cos sin2 sin sin2 cotx x x x x j) 3 sin4 2sin sin 3cos cos2 x x x x x Bài 33. Giải các phương trình sau: a) 4cos cos cos sin3 3 3 x x x x b) sin2 3cos 0 x x c) 2 sin2 2sin sin cosx x x x d) 2 sin tan 1 3sin cos sin 3x x x x x e) cos cos2 sin 0x x x f) 4sin cos 2 sin2 x x x g) cos2 1 2cos cos sin 0 x x x x h) 2sin2 6 cos 2sin 3 0 x x x i) 3sin2 2cos2 cos4 1 0x x x j) sin2 2cos 5 cos2 4sin 5cos 3 0 x x x x x ……………………………………………………………………………………………………… Phần 3.Đề Thi Đại Học Cao Đẳng Qua Các Năm Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2 x x x x x Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3 x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a .
27. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 27 b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2 x x x x x x Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình: 2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos x x x x Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2 x x x x x Bài 41. (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos x x Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình: 4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0 x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình: 2 cos2 cos 2tan 1 2 x x x Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình: 3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0 x x x Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 cos cos 1 2 1 sin sin cos x x x x x Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2 x x x x Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình: 2 5sin 2 3 1 sin tan x x x Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình: 2cos 1 2sin cos sin2 sin x x x x x Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình: 3 3 4 sin cos cos 3sin x x x x Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1 x x Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos x x x Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình: sin sin2 3 cos cos2 x x x x Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Bài 61. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0 x x x c x
28. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 28 Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2 c x x x x Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4 x x c x Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 x x x Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos x x x x Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos x x x Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình: 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8 x x x x Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6 x x Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình: 2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình: cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1 x x x Bài 76. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0 x x x x Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình: 2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình: 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2 x x x Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin x x x x x x
29. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 29 Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12 x x Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình: 1 tan 1 sin2 1 tan x x x Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 x x x Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 x x x Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 0 2 cos x x x x Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1 x x x Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình: 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình: 3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3 x x x x x x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0 x x x x Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình: sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình: 2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x
30. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 30 Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4 x x Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0 x x x Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2 x x x Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình: 2 sin 2cos 2 sin 2 x x x Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức 1 3cos2 2 3cos2 P x x ,biết 2 sin 3 x Hướng dẫn các đề thi đại học Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2 x x x x x Hd: Điều kiện: sin2 1 0 x 3 3 3 3 sin3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos 3 sin cos 4 sin cos sin cos 3 4 1 sin cos sin cos 1 2sin 2 cos sin 1 2sin 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 5cos 2cos2 3 3 3 pt x x x x . Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x Hd : 1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12 2 2 2 2 cos12 cos10 cos8 cos6 0 sin9 sin 2 0 , . 9 2 x x x x pt x x x x k k x x x x k Z Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x Hd : 3 2 3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 4cos 8cos 0 k , . 2 pt x x x x x x x k Z Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3 x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a . b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Hd : a) Với a=1/3, sin 2cos 3 0, . x x x R 2sin cos 1 1 sin cos 0 k , . sin 2cos 3 3 4 x x pt x x x k Z x x b) 2sin cos 1 2 sin 1 2 cos 3 1 sin 2cos 3 x x pt a a x a x a x x
31. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 31 pt có nghiệm 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 a a a a Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2 x x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0 cos 0 2 x x . Chú ý: cos cos sin sin 12 2sin 1 tan tan sin sin tan 2 coscos cos 2 x x x x x x x x x x x xx Đs: k2 , . x k Z Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình: 2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 4 4 2 2 2 2 1 pt sin cos 2 sin 2 sin3 1 sin 2 2 sin 2 sin3 2 2 5 2 2 sin 2 1 2sin3 0 18 3 18 3 x x x x x x x x x x k x k Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2 x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 9 pt cos 2 5cos2 0 4 6 x x x k Bài 41: (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 x x . 2 2 2 3 5 pt 8sin cos 1 2sin 2 1 0 cos4 0 2 ; 2 ; 2 8 8 8 x x x x x k x k x k Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình: 4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0 x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Hd : Đặt sin 2 , 0; 0;1 2 t x x t . có nghiệm 2 0; 3 2 3 2 x t t m có nghiệm 0;1t . Đs: 10 2 3 m . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 tan 1 x x x . 2 cos cos sin cos sincos sin pt sin sin cos sin cos sin cos sin 1 cos sin sin 0 4 x x x x xx x x x x x x x x x x x x x k
32. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 32 Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3 x x x k . Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . pt 1 sin 1 cos sin cos 0 2 4 x x x x x k x k . Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình: 2 cos2 cos 2tan 1 2 x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 2 2 2 1 pt 2cos cos 2 1 1 2 1 cos 2cos 5cos 2 0 cos 2 1 2 3 x x x x x x x k x k . Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình: 3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 2 pt 8cos 4cos 2 1 0 3 x x x k . Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0 x x x Hd : 2 4 pt 3 1 cos4 2cos 4cos 1 0 x x x 4 2 cos2 2cos 5cos 3 0 ; 4 2 k x x x x x k . Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x Hd : Điều kiện: 2cos 1 0 x . pt sin 3cos 0 2 1 3 x x x k . Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 cos cos 1 2 1 sin sin cos x x x x x Hd : Điều kiện: sin cos 0 x x . 2 pt 1 sin 1 cos 0 ; 2 2 x x x k x k . Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2 x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3 x x x k . Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình: 2 5sin 2 3 1 sin tan x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .
33. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 33 2 sin pt 5sin 2 3 1 sin 1 sin 1 sin x x x x x 2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6 x x x k x k . Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình: 2cos 1 2sin cos sin2 sin x x x x x Hd : pt 2cos 1 sin cos 0 2 ; 3 4 x x x x k x k 2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6 x x x k x k . Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình: 3 3 4 sin cos cos 3sin x x x x Hd : +cos 0x không là nghiệm của phương trình. +cos 0x , Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x 2 pt tan 1 tan 3 0 ; 3 4 x x x k x k Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1 x x Hd : Bình phương hai vế đưa về phương trình đối xứng sinx và cosx. Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos x x x Hd : Nhân tử chung sinx + cosx. Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Hd : Sử dụng công thức chúng tôi và cosa.cosb. Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Hd: 1 1 1 1 pt 2sin cos2 sin3 sin sin5 sin3 2 2 2 2 x x x x x x 1 2sin cos2 sin5 sin 0 2sin cos2 cos2 sin3 0 2 x x x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình: sin sin2 3 cos cos2 x x x x Hd : Mở rộng 2 phương trình bậc nhất theo sin và cos Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Hd: 1 1 pt 1 cos6 cos2 1 cos2 0 cos6 cos2 1 0 2 2 x x x x x 2 2cos 2 cos2 3 0 2 x x x k Bài 62. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0 x x x c x Hd: 2 pt sin cos 2cos 1 0 ; k 2 4 3 x x x x k x Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2 c x x x x Hd: 2 2 1 3 pt 1 2sin cos sin 4 sin 2 0 2 2 2 x x x x 2 2sin 2 sin 2 2 0 4 x x x k
34. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 34 Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4 x x c x Hd: 5 17 5 pt cos 2 cos ; ; 6 18 18 6 x x x x x Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 x x x Hd : +cos 0x là nghiệm của phương trình, ta có nhận nghiệm 2 x k . +cos 0x , chia hai vế của phương trình cho 3 cos x pt tan 1 0 4 x x k Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 2 5 pt 2sin sin 1 0 2 ; 2 6 6 x x x k x k . Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 pt tan 1 0 4 x x k . Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos x x x Hd : Điều kiện: sin 0x . 5 pt 2sin 1 0 2 ; 2 6 6 x x k x k . Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x Hd: pt 2sin 1 sin cos 1 0 x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình: 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x Hd : Điều kiện: 2 sin 2 x . 2 pt 3sin 2 sin2 4 0 x x . Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 cos 0 2 x x x . cos sin 1 pt 4 sin 2 sin cos 2 x x x x x . Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x Hd : Cơ bản
35. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 35 Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8 x x x x Hd : 2 pt cos4 2 x . Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6 x x Hd : pt sin 3cos sin 2 0 x x x . Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình: 2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 2 pt cos2 tan 2 3 0 x x . Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình: cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1 x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 77. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0 x x x x Hd : Nhân tử chung sinx+1. Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình: 2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x Hd : Nhân tử chung cosx + sinx. Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x Hd : cos4 sin7 sin 0 cos4 2sin3 1 0 pt x x x x x Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x Hd : Bậc nhất theo sin và cos. Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt cos2 2cos cos 1 0 x x x . Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình: 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x Hd : 2 2cos 3cos 0 6 6 pt x x Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2 x x x Hd : 3 cos 2cos 2 0 2 4 x pt x Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin x x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . pt cos2 cos x x . Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12 x x
36. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 36 Hd : áp dung công thức chúng tôi Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình: 1 tan 1 sin2 1 tan x x x Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x Hd : Cách 1: chia 3 cos x . Cách 2: Nhân tử chung là cos2x. Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x Hd : Nhân tử chung là 2cosx+1. Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 x x x Hd : Mở rộng 1 bậc nhất theo sin và cos. Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 x x x Hd : chia 3 cos x . Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x Hd : Đưa về phương trình bậc cao theo sin. Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos x x x x Hd : 3 pt tan 1 x . Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1 x x x Hd : Qui đồng và đặt nhân tử chung Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x Hd : Nhân tử chung là 2sinx -1. Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình: 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình: 3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x Hd : 3 3 1 sin3 3sin 4sin sin 3sin sin3 4 x x x x x x . Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x Hd : Sử dụng công thức chúng tôi Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3 x x x x x x Hd : Nhân tử chung là sin2x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0 x x x x Hd : Nhân tử chung là 3-2cosx
37. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 37 Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x Hd : Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình: sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x Hd: 2 2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0 1 cos2 2sin sin cos2 cos 2 0 2 cos2 sin cos 2 0 pt x x x x x x x x x x x x x x Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x Hd : Nhân tử chung là 2sinx-1. Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x Hd : Nhân tử chung là sinx + 1. Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình: 2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4 x x Hd : Nhân tử chung là sinx+cosx. Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Hd : pt sin5 cos2 x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0 x x x Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2 x x x Hd : Nhân tử chung là 2cosx -1. Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình: 2 sin 2cos 2 sin 2 x x x Hd : Nhân tử chung là sin 2x sinx+cosx. Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức 1 3cos2 2 3cos2 P x x ,biết 2 sin 3 x
38. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 38 ……………………………………………………………………………………………………… Phần 4.Đề Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia Bài 116. (Quảng Nam) Cho góc thỏa mản 5sin2 6cos 0 và 0 2 . Tính giá trị của biểu thức: cos sin 2015 cot 2016 2 A . Bài 117. (THPT Khoái Châu) Giải phương trình: 2 2 sin sin cos 2cos 0 x x x x . Bài 118. (THPT Trần Hưng Đạo) Giải phương trình: 2cos5 cos3 sin cos8 x x x x . Bài 119. (Chuyên Vinh) Giải phương trình: cos sin2 sin sin2 cot x x x x x . Bài 120. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 1) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 cos 2 4 x x x . Bài 121. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 2) Giải phương trình: 2 sin sin 2 2 sin 0 4 x x x . Bài 122. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 3) Giải phương trình: cos2 7cos 4 0 x x . Bài 123. (Lê Quý Đôn – Tây Ninh) Cho góc x thỏa mản tan 2x . Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 8cos 2sin cos 2cos sin x x x P x x . Bài 124. (THPT Mạc Đỉnh Chi) Giải phương trình: sin2 cos sin 1 x x x . Bài 125. (THPT Nguyễn Huệ lần1) Giải phương trình: 2 sin2 2cos 3sin cos x x x x. Bài 126. (THPT Nguyễn Huệ lần2) Giải phương trình: 4sin5 sin 2cos4 3 x x x . Bài 127. (THPT Nguyễn Hữu Huân) Giải phương trình: 2 2 cos 3cos 3sin 3sin 0 x x x x . Bài 128. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình: sin2 sin cos 1 2sin cos 3 0 x x x x x . Bài 129.(THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình: sin2 2sin 2cos 2 0 x x x . Bài 130. (THPT Nguyễn Trãi) Giải phương trình: cos2 sin3 2cos2 sin 0 x x x x . Bài 131. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 2cos 1 sin 3cos 0 x x x . Bài 132. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 3 4 sin cos 1 x x . Bài 133. (TTLT Diệu Hiền lần1) Giải phương trình: sin2 3sin cos2 cos 1 x x x x . Bài 134. (TTLT Diệu Hiền lần2) Giải phương trình: cos2 4sin 1 3sin2 1 x x x . Bài 135. (TTLT Diệu Hiền lần3) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0 x x x . Bài 136. (TTLT Diệu Hiền lần4) Giải phương trình: sin2 2sin 1 cos2 x x x. Bài 137. (TTLT Diệu Hiền lần5) Giải phương trình: 3sin2 cos2 2cos 1 x x x . Bài 138. (TTLT Diệu Hiền lần6) Giải phương trình: 2sin 2 3 2 3cos sin x x x . Bài 139. (TTLT Diệu Hiền lần7) Giải phương trình: sin2 sin 2 4cos x x x . Bài 140. (TTLT Diệu Hiền lần8) Cho 1 cos , ; 3 2 x x . Tính 1 2tan 1 tan x P x . Bài 141. (TTLT Diệu Hiền lần9) Giải phương trình: 2 cos 2sin 1 cos 2 2sin x x x x . Bài 143. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 1) Cho 3 2 x .Chứng minh đẳng thức:
39. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 39 1 cos 1 cos cot 2 41 cos 1 cos x x x x x . Bài 144. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Giải phương trình: 3 tan 2 cot 1 sin 4 sin 2cos sin 3 2 2 x x x x x x . Bài 145. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Giải phương trình: 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3 x x x x . Bài 146. (THPT-Đặng Thúc Hứa- Nghệ An) Giải phương trình: cos2 sin 1 3sin2 x x x . Bài 147. (Toán học và Tuổi Trẻ) Giải phương trình: 2 tan cot 2 1 sin 4cos 4sin 5 x x x x x . Bài 148. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 2) Giải phương trình: 2 2 2 cos sin 2 sin sin cos 6 6 x x x x x . Bài 149. (THPT Đông Sơn) Giải phương trình: cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x . Bài 150. (THPT Gang Thép) Giải phương trình: cos sin sin2 cos2 1 x x x x . Bài 151. (THPT Gia Viễn) Giải phương trình: cos 1 cos sin sin 1 x x x x . Bài 152. (THPT Hàn Thuyên lần1) Giải phương trình: 4sin 2sin 2 3cos cos2 2sin 2 3 3 x x x x x . Bài 153. (THPT Hàn Thuyên lần2) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0 x x x . Bài 154. (THPT Hàn Thuyên lần3) Giải phương trình: 2 cos2 sin cos 0 x x x . Bài 155. (THPT Hùng Vương) Giải phương trình: 2 cos sin 3cos 1 2cos x x x x . Bài 156. (THPT Chu Văn An) Giải phương trình: 21 sin sin 2 1 cos cos 2 x x x x. Bài 157. (THPT Cẩm Bình) Giải phương trình: 2 1 cos2 cot 2 1 sin x x x . Bài 158. (THPT Thanh Chương-Nghệ An) Giải phương trình: sin2 cos2 1 3 sin cos x x x x . Bài 159. (Bình Dương) Giải phương trình: 2 sin 3cos 2 4cos x x x . Bài 160. (Lâm Đồng) Giải phương trình: 2 sin cos 1 sin 2 2 2 x x x . Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí ắt làm nên! Chủ Tịch Hồ Chí Minh
Chuyên Đề “Phương Trình Nghiệm Nguyên”
www.vnmath.com www.vnmath.com 1 Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 2 Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ........................................4 Phương pháp 1:Xét số dư của từng vế. ................................................................................5 Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng.......................................................................................5 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức ...................................................................................6 Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư . .............................................................8 Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương .......................................................11 Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn...............................................................14 Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng .................................................................................15 Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng ...................................................................................15 Phương pháp 9: Hạ bậc......................................................................................................16 Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên .......................................................18 Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn ...............................................................................19 Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn.............................................................................19 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. .................................................................21 Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên ..................................................................23 Dạng 5: Phương trình dạng phân thức ...............................................................................24 Dạng 6: Phương trình dạng mũ ..........................................................................................25 Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ ...........................................................................................26 Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên ...................................................................28 Dạng 9: Hệ phương trình Pytago .......................................................................................28 Dạng 10: Phương trình Pel.................................................................................................30 Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên. ..................................................32 Phần 3: Bài tập áp dụng ...................................................................................................33 Phụ lục ...............................................................................................................................48 Lời cảm ơn .........................................................................................................................52 www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 3 Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên”. Chuyên đề này là sự tập hợp các phương pháp cũng như các dạng phương trình khác nhau của phương trình nghiệm nguyên, do chúng em sưu tầm từ các nguồn kiến thức khác nhau. Chúng em mong muốn quyển chuyên đề sẽ giúp ích một phần cho việc tìm hiểu của các bạn học sinh về vấn đề nêu trên. Quyển chuyên đề này gồm có 3 phần chính. Đầu tiên chúng em xin giới thiệu các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên, sau đó là việc tìm hiểu cách giải các dạng phương trình khác nhau của nó và cuối cùng là phần bài tập. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn khi xem xong quyển chuyên đề này hãy đóng góp ý kiến để giúp những chuyên đề sau được hoàn thành tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 4 www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 5 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) 2 2 1998x y b) 2 2 1999x y Giải: a) Dễ chứng minh 2 2,x y chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên 2 2x y chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) 2 2,x y chia cho 4 có số dư 0, 1 nên 2 2x y chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 29 2x y y Giải Biến đổi phương trình: 9 2 ( 1)x y y Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên ( 1)y y chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: 3 1y k , 1 3 2y k với k nguyên Khi đó: 9 2 (3 1)(3 2)x k k 9 9 ( 1)x k k ( 1)x k k Thử lại, ( 1)x k k , 3 1y k thỏa mãn phương trình đã cho. Đáp số ( 1)3 1 x k k y k với k là số nguyên tùy ý 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 8x y x y (1) Giải: (1) 2 24 4 4 4 32x y x y 2 2 2 2 2 2 (4 4 1) (4 4 1) 34 | 2 1 | | 2 1 | 3 5 x x y y x y Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 2 23 ,5 . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: | 2 1 | 3 | 2 1 | 5 x y hoặc | 2 1 | 5 | 2 1 | 3 x y www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 6 Giải các hệ trên phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( 1 ; 2), ( 2 ; 1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức a) Phương pháp sắp thứ tự các ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: . .x y z x y z (1) Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1 x y z Do đó: 3xyz x y z z Chia hai vế của bất đảng thức 3xyz z cho số dương z ta được: 3xy Do đó {1;2;3}xy Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 3 Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì y z Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3. Cách 2: Chia hai vế của (1) cho 0xyz được: 1 1 1 1 yz xz xy Giả sử 1x y z ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 31 yz xz xy z z z z Suy ra 2 31 z do đó 2 3z nên z = 1. Thay z = 1 vào (1): 1x y xy 1xy x y ( 1) ( 1) 2x y y ( 1)( 1) 2x y Ta có 1 1 0x y nên Suy ra Ba số phải tìm là 1; 2; 3 Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt . x – 1 2 y – 1 1 x 3 y 2 www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 7 Giải Vì vai trò của x, y, z, t như nhau nên có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t. Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 315 15 2yzt t t Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 22 30 2 30 3yz z z Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5). Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của các bộ số này. b) Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1 1 3x y Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x y . Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y). Hiển nhiên ta có 1 1 3y nên 3y (1) Mặt khác do 1x y nên 1 1 x y . Do đó: 1 1 1 1 1 2 3 x y y y y nên 6y (2) Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4 6y Với y = 4 ta được: 1 1 1 1 3 4 12x nên x = 12 Với y = 5 ta được: 1 1 1 2 3 5 15x loại vì x không là số nguyên Với y = 6 ta được: 1 1 1 1 3 6 6x nên x = 6 Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên Ví dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2 3 5x x x Giải: Viết phương trình dưới dạng: www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 8 2 3 1 5 5 x x (1) Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại. Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng Với 2x thì 2 2 3 3, 5 5 5 5 x x nên: 2 3 2 3 1 5 5 5 5 x x loại Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1 d) Sử dụng diều kiện 0 để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2x y xy x y (1) Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x: 2 2( 1) ( ) 0x y x y y (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0 2 2 2( 1) 4( ) 3 6 1 0y y y y y 23 6 1 0y y 23( 1) 4y Do đó 2( 1) 1y suy ra: y – 1 -1 0 1 y 0 1 2 Với y = 0 thay vào (2) được 2 1 20 0; 1x x x x Với y = 1 thay vào (2) được 2 3 42 0 0; 2x x x x Với y = 2 thay vào (2) được 2 5 63 2 0 1; 2x x x x Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ, để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn.. a) Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và 2x đều chia hết cho 3 nên 17y3 do đó y3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t ( t ). Thay vào phương trình ta được: www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 9 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 Do đó: 53 173 x t y t ( t ) Đảo lại, thay các biểu thức của x và y vào phương trình ta được nghiệm đúng. Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyênđược xác định bằng công thức: 53 17 3 x t y t (t là số nguyên tùy ý) Ví dụ 10: Chứng minh rằng phương trình : 2 25 27x y (1) không có nghiệm là số nguyên. Giải Một số nguyên x bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng x = 5k hoặc x = 5k ± 1 hoặc x = 5k ± 2 trong đó k Nếu x = 5k thì : 2 2 2 2(1) (5 ) 5 27 5(5 ) 27k y k y Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 Nếu x = 5k ± 1 thì : 2 2(1) (5 1) 5 27k y 2 225 10 1 5 27k k y 2 25(5 4 ) 23k k y Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 Nếu x = 5k ± 2 thì : 2 2(1) (5 2) 5 27k y 2 225 20 4 5 27k k y 2 25(5 4 ) 23k k y Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 19x2 + 28y2 = 729. Giải Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1) Từ (1) suy ra x2 + y2 chia hết 3, do đó x và y đều chia hết cho 3. Đặt x = 3u, y = 3v ( , )u v Thay vào phương trình đã cho ta được : 19u2 + 28v2 = 81. (2) Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra u = 3s, v = 3t ( , )s t Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = 9. (3) Từ (3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0, do đó www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 10 Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm. Cách 2. Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 ≡ -1 (mod 4), điều này không xảy ra với mọi số nguyên x. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Phương pháp đưa về phương trình ước số Ví dụ 12: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y = 2 Giải: Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y = 2 x(y – 1) – (y – 1) = 3 (y – 1)(x – 1) = 3 Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên x – 1 và y – 1 là các số nguyên và là ước của 23. Do vai trò bình đẳng của x và y trong phương trình nên có thể giả sử xy, khi đó x – 1y – 1 Ta có: Do đó: x 4 0 y 2 -2 Nghiệm nguyên của phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9. Giải Phương trình đã cho có thể đưa về dạng : (x + 1)(y + 1) = 10. (1) Từ (1) ta suy ra (x + 1) là ước của 10 hay ( 1) { 1; 2; 5; 10}x Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2). Ví dụ 14: Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau 3 3367 2nx Giải Để sử dụng được hằng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho 3 . Từ phương trình đã cho ta suy ra 3 2nx (mod 7). x – 1 3 -1 y – 1 1 -3 www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 11 Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong khi đó 3x khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, hoặc 6 nên không thề có đồng dư thức 3 2nx (mod 7). Vậy n = 3m với m là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được 3 33367 2 mx 2(2 )[(2 ) 3 .2 ] 3367m mx m x x (1) Từ (1) ta suy ra 2m x là ước của 3367 Hơn nữa, 3 3 3(2 ) 2 3367m mx x nên (2 ) {1;7;13}m x Xét 2 1m x , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 1) = 2 × 561, vô nghiệm. Xét 2 3m x , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 13) = 2 × 15, vô nghiệm. Xét 2 7m x , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 7) = 24 × 32. Từ đó ta có m = 4; n = 3m = 12, và x = 9. Vậy (x; n) = (9; 12) c) Phương pháp tách ra các giá trị nguyên: Ví dụ 15: Giải phương trình ở ví dụ 2 bằng cách khác Giải: Biểu thị x theo y: x(y – 1) = y + 2 Ta thấy y 1 ( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 vô nghiệm) Do đó: 2 1 3 31 1 1 1 y yx y y y Do x là số nguyên nên 3 1y là số nguyên, do đó y – 1 là ước của 3. Lần lượt cho y – 1 bằng -1, 1, -3, 3 ta được các đáp số như ở ví dụ 2. 5) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương Ví dụ 16: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp Giải: Cách 1: Giải sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên thì: 36x + 20 = 24 4n n 236 21 4 4 1x n n 23(12 7) (2 1)x n Số chính phương 2(2 1)n chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chi hết cho 9. Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x + 5 = n(n + 1). Cách 2: Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi 2 9 5 0n n x www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 12 Để phương trình bậc hai đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là là số chính phương. Nhưng 1 4(9 5) 36 21x x chi hết cho 3 nhưng không chia hết hco 9 nên không là số chính phương. Vậy không tồn tại số nguyên n nào để 9x + 5 = n(n + 1), tức là không tồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp. b) Tạo ra bình phương đúng: Ví dụ 17: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 22 4 19 3x x y Giải : 2 22 4 2 21 3x x y 2 22( 1) 3(7 )x y Ta thấy 2 23(7 ) 2 7 2y y y lẻ Ta lại có 27 0y nên chỉ có thể 2 1y Khi đó (2) có dạng: 22( 1) 18x Ta được: x + 1 = 3 , do đó: 1 22; 4x x Các cặp số (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho. c) Xét các số chính phương liên tiếp: Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn t5ai số nguyên dương x sao cho: ( 1) ( 2)x x k k Giải: Giả sử ( 1) ( 2)x x k k với k nguyên, x nguyên dương. Ta có: 2 2 2x x k k 2 2 21 2 1 ( 1)x x k k k 2 2 2 2( 1) 1 2 1 ( 1)k x x x x x (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2( 1) ( 1)x k x vô lý Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) Ví dụ 19: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương: 4 3 22 2 3x x x x Giải: Đặt 4 3 22 2 3x x x x = 2y (1) với y Ta thấy: 2 4 3 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 3) ( ) ( 3) y x x x x x y x x x x Ta sẽ chứng minh 2 2 2( 2)a y a với a = 2x x www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 13 Thật vậy: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 113 ( ) 0 2 4 ( 2) ( 2) ( 2 2 3) y a x x x a y x x x x x x 2 2 3 3 1 1 13( ) 0 2 4 x x x Do 2 2 2( 2)a y a nên 2 2( 1)y a 4 3 2 2 2 2 2 2 3 ( 1) 2 0 1 2 x x x x x x x x x x Với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho bằng 29 3 d) Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương Ví dụ 20: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: 2xy z (1) Giải: Trước hết ta có thể giả sử (x , y , z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số , ,o o ox y z thỏa mãn (1) và có ƯCLN bằng d, giả sử 1 1 1, ,o o ox dx y dy z dz thì 1 1 1, ,x y z cũng là nghiệm của (1). Với (x , y , z) = 1 thì x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số x, y, z có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d. Ta có 2z xy mà (x, y) = 1 nên 2 2,x a y b với a, b * Suy ra: 2 2( )z xy ab do đó, z = ab Như vậy: 2 2 x ta y tb z tab với t là số nguyên dương tùy ý. Đảo lại, hiển nhiên các số x, y, z có dạng trên thỏa mãn (1) Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1) e) Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 Ví dụ 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2x xy y x y (1) Giải: Thêm xy vào hai vế: 2 2 2 22x xy y x y xy 2( ) ( 1)x y xy xy (2) www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com 14 Ta thấy xy và xy +
Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai là rất quan trọng trong các cấp học, từ THCS đến THPT tuy nhiên ở cấp THPT không đơn thuần là cho sẵn phương trình bậc nhất, bậc hai để giải mà thường lồng ghép dưới nhiều hình thức của các bài toán khác nhau. Cụ thể nhất là trong chương trình toán lớp 10 của chương trình Cơ bản hay Nâng cao điều có phương trình chứa căn thức.
Phương trình chứa căn thức là loại phương trình mà đa số học sinh khi tiếp cận giải thường mắc phải không ít những sai lầm trong quá trình giải đó là: Thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa hoặc khi bình phương hai vế ta thường được phương trình hệ quả ( nên dễ xuất hiện nghiệm ngoại lai) nhưng học sinh vẫn nghĩ là phương trình tương đương, hoặc rất khó khăn khi nhận dạng cách giải trong các phương trình chứa nhiều căn thức .
Vì thế muốn giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quan hơn về các bài toán phương trình chứa căn thức tôi viết chuyên đề này giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận các loại phương trình chứa căn thức trong chương trình lớp 10 và có thể dựa vào đó để tiếp cận và khai thác sâu hơn các bài toán chứa căn thức trong các kì thi cao đẳng và đại học.
Trong quá trình viết tôi đã cố gắng sắp xếp các dạng toán theo thứ tự của các cấp độ nhận thức: Biết- hiểu- thông hiểu và vận dụng để học sinh dễ tiếp cận. Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có lời bình giúp học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng khi tiếp cận giải bài toán chứa căn thức, đồng thời có bài tập tương tự giúp học sinh tự rèn luyện để có được kỹ năng giải hợp lý các bài toán chứa căn thức.
Tuy đã cố gắng nhưng cũng chỉ mang tính chủ quan nên không tránh khỏi sai sót và hạn chế. Mong quý đồng nghiệp góp ý tôi rất chân thành cám ơn !
Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề Bất Phương Trình trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!