Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
1 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hoán vị * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự được gọi là một hoán vị của n phần tử của A . * Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là nP n! 1.2.3. … .n . Quy ước: 0P 0! 1 . 2. Chỉnh hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A . * Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần là kn n!A n n 1 n 2 … n k 1 n k ! . Quy ước: 0nA 1 . 3. Tổ hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A . * Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là: kk n n n n 1 n 2 … n k 1A n!C k ! k ! n k ! k ! . Quy ước: 0nC 0 . * Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 2 +) k n kn nC C . +) k k k 1n 1 n nC C C (Hằng đẳng thức Pa-xcan). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 3 PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại 1. Tính toán trên các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau 1) n k 2 k 1 11 k! n! với n , n 2 . 2) 3 n n nn n 2n 3nP C C C 3n ! với n . 3) n 2 k 2 k 1 n 1 nA với n ; n 2 . Giải 1) Ta có n k 2 k 1 k ! n k 2 1 1 k 1 ! k ! 1 1 1 1 1 1… 1! 2! 2! 3! n 1 ! n! 11 n! (ĐPCM). 2) Ta có 3 n n nn n 2n 3nP C C C 3 2n ! 3n !n!n! . . n! n n ! n! 2n n ! n! 3n n ! 3 2n ! 3n !n!n! . . n!0! n!n! n! 2n ! 3n ! (ĐPCM). 3) Với mọi k nguyên, 2 k n ta có 2k k !A k k 1 k 2 ! 2k 1 1 1 1 k k 1 k 1 kA . Do đó n 2 k 2 k 1 A n k 2 1 1 k 1 k 1 1 1 1 1 1… 1 2 2 3 n 1 n 11 n THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 4 n 1 n (ĐPCM). Ví dụ 2. Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau 1) [TN2007] 4 5 6n n n 1C C 3C . 2) [TN2005] n 1 n 2n 2 n 2 n 5C C A 2 . 3) [TN2003] y x 1 y 1 x y 1 x y 1 x C 6 5C C 5 2C . Giải 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 5 . Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có 4 5 5n n n 1C C C . Phương trình đã cho tương đương với 5 6 n 1 n 1C 3C n 1 ! n 1 ! 3 5! n 4 ! 6! n 5 ! 1 1 n 4 2 n 6 (TMĐK). 2) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 2 . Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có n 1 n nn 2 n 2 n 3C C C . Bất phương trình đã cho tương đương với n 2 n 3 n 5C A 2 n 3 ! 5 n! n!3! 2 n 2 ! n 1 n 2 n 3 5 3n n 1 n 1 n 2 n 3 15n n 1 3 2n 9n 26n 6 0 . 1 Với mọi n 2 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 3n và 226n , ta có 3 3 2 2 2n 26n 2 n .26n 2 26n 2.5n 10n . Do đó 2 2 2VT 1 10n 9n 6 n 6 0 1 nhận mọi n 2 là nghiệm BPT đã cho nhận mọi n 2 là nghiệm. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 5 3) y x 1 y 1 x y 1 x y 1 x C 6 1 5C C 5 2 2C . Điều kiện để hệ có nghĩa: x , y nguyên, 1 y x 1 . Ta có 1 x 1 ! y 1 ! x y 1 ! 6. y ! x y 1 ! x! 5 x 1 y 1 6 x y x y 1 5 . 3 2 y 1 ! x y 1 !x! 5. y 1 ! x y 1 ! x! 2 x y x y 1 5 y y 1 2 . 4 Nhân từng vế 3 và 4 ta có x 1 3 y x 3y 1 . 5 Thay 5 vào 4 ta được 2y 2y 1 5 y y 1 2 2y 2y 1 5 y y 1 2 23y 9y 0 y 3 (chú ý tới điều kiện y 1 ) . 6 Thay y 3 vào 5 ta được x 8 . Ta thấy cặp giá trị x 8 , y 3 thỏa mãn điều kiện để hệ có nghĩa. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x;y 8;3 . Ví dụ 3. [ĐHD05] Tính giá trị của biểu thức 4 3 n 1 nA 3AM n 1 ! biết rằng 2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149 . 1 Giải ĐK: n nguyên, n 3 . Ta có VT 1 n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 ! 2. 2. 2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 ! n n 1 n 3 n 4 n 1 n 2 n 2 n 3 2 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 6 21 6n 24n 282 23n 12n 14 . Do đó 1 23n 12n 14 149 23n 12n 135 0 thoûa maõn loaïi x 5 x 9 . Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau 1) k k 1 k 2 k 3 kn n n n n 3C 3C 3C C C , 1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn 3 k n . 2) k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C … C C , 1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn k n . Giải 1) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có VP 1 k k 1n 2 n 2C C k k 1 k 1 k 2n 1 n 1 n 1 n 1C C C C k k 1 k 2 n 1 n 1 n 1C 2C C k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C k k 1 k 2 k 3 n n n nC 3C 3C C VT 1 (ĐPCM). 2) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có k k k 1 n n 1 n 1C C C k k k 1 n 1 n 2 n 2C C C k k k 1 k 1 k kC C C . Cộng từng vế các đẳng thức trên, giản ước k kn 1 k 1C … C ở hai vế, ta được knC k 1 k 1 k 1 k n 1 n 2 k kC C … C C k 1 k 1 k 1 k 1n 1 n 2 n 2 k 1C C … C C (chú ý: k k 1 k k 1C 1 C ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 7 Ví dụ 5. Chứng minh 1 1 1 1 2 1! 2! 3! n! , 1 với *n . Giải Ta có 1 1 1 1 1 2! 3! n! . 2 Lại có 1 1 2 1 1 1 2! 1.2 1.2 1 2 , 1 1 3 2 1 1 3! 2.3 2.3 2 3 , 1 1 4 3 1 1 4! 3.4 3.4 3 4 , n n 11 1 1 1 n! n 1 n n 1 n n 1 n . Cộng từng vế n 1 đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu được VT 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n 1 n 11 1 n (ĐPCM). Ví dụ 6. Cho *n . Tìm k2n k 0;2n max C . Giải 1) Với k 0;2n 1 , xét tỷ số k 1 2n k 2n 2n ! k ! 2n k !C 2n kT . k 1 ! 2n k 1 ! 2n ! k 1C . Ta có T 1 2n k 1 k 1 12k n k 0;n 1 , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. Thay từng giá trị của k vào T ta được THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 8 1 0 n 1 n n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C C . Vậy k n2n 2n k 0;2n max C C . Ví dụ 7. [ĐHB06] Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A . Tìm k 1;2;…;n sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. Giải Mỗi một cách chọn k phần tử từ tập A cho ta một tập con gồm gồm k phần tử của A số tập con gồm k phần tử của A là knC . Số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A nghĩa là 4 2 n nC 20C n! n!20 4! n 4 ! 2! n 2 ! 1 20 12 n 3 n 2 2n 5n 234 0 thoûa maõn loaïi n 18 n 13 . Vậy số phần tử của A là 18 . Với k 1;17 , xét tỷ số k 118 k 18 k ! 18 k !C 18! 18 kT . k 1 ! 17 k ! 18! k 1C . Ta có T 1 18 k 1 k 1 17k 2 k 1;8 , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. Thay từng giá trị của k vào T ta được 1 2 8 9 10 17 18 18 18 18 18 18 18 18C C … C C C … C C . Do đó k k18 18 k 1;18 C max C k 9 . Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là tập con có số tập con lớn nhất. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 9 B. Bài tập Bài 1. Chứng minh 1) n n 1 n 1P P n 1 P với *n . 2) k 1 k n 1 n nC C k với k , *n , k n . 3) 2n 1 1 n! n 1 ! n 2 ! với *n , n 2 . 4) [ĐHB08] k k 1 k n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n 2 C C C với k,n , 0 k n . 5) n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k A với n , *k , k 2 . 6) 2 2 2 5k n 1 n 3 n 5 n 5P A A A nk !A với *n . 7) n 1 2 3 n 1P 1 P 2P 3P … n 1 P với n ; n 2 . 8) 2 3 n1 n n n n 2 2 n 1 n n n n n 1C C C C 2 3 n 2C C C với *n . 9) 2 3 n 1 2n n n n n 11 2 n 1 n n n C C C C 2 3 … n C C C C với *n . 10) 1.1! 2.2! 3.3! … n.n! n 1 ! với *n . 11) n kk 1 k 1 1 P với *n . Bài 2. Chứng minh 1) k 4 k k 1 k 2 k 3 k 4n 4 n n n n nC C 4C 6C 4C C , với k , n , 0 k n 4 ; 2) n 1 n 1 n 1 n 1 nn n 1 n 2 2n 1 2nC C C C C với *n . Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 1) n! n 1 ! 1 n 1 ! 6 . 2) n 1 ! 72 n 1 ! . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 10 3) n 1 ! n n 1 !1 5 . 5 n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2! . 4) 3nA 20n . 5) 5 4n n 2A 18A . 6) 5n 3 n n 5P 72A P . 7) 4 n 4A 15 n 2 ! n 1 ! . 8) y yy 1x x 1 x 1A : A : C 21: 60 :10 . 9) x x y y x x y y 2A 5C 90 5A 2C 80 . Bài 4. Cho *n . Tìm k2n 1 k 0;2n 1 max C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 11 C. Đáp số Bài 3 1) 2 , 3 . 2) 8 . 3) 5 , 6 . 4) 6 . 5) 10 . 6) 7 . 7) 3 , 4 , 5 . 8) x;y 7;3 . 9) x;y 2;5 . Bài 4 k n n 12n 1 2n 1 2n 1 k 0;2n 1 max C C C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 12 Loại 2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán … Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là 4 1 4 11 2 12 3 8 2n n C C C C 207900 . Ví dụ 7. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Giải Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 41 12n C . Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp. Để làm như vậy ta có sau phương án sau. +) Phương án 1: Chọn 2 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 12 5 4 4n C C C . +) Phương án 2: Chọn 1 học sinh lớp T, 2 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 2 13 5 4 4n C C C . +) Phương án 3: Chọn 1 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 2 học sinh lớp H. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 1 23 5 4 4n C C C . Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 4 12 5 4 4 5 4 4 5 4 4n n n n C C C C C C C C C C 225 . Ví dụ 8. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học sinh A , B , C , D , E , F , mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn. Giải Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn 6 nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 16 Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là 612A 665280 . Số cách chọn sao cho không còn sách văn là 56A .7 5040 . Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là 4 26 8A .A 20160 . Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là 3 36 9A .A 60408 . Số cách chọn cần tìm là 665280 – 5040 20160 60480 579600 . Ví dụ 9. Hỏi từ 10 chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1 . Giải Giả sử 1 2 3 4 5 6A a a a a a a là số cần lập. Để lập số A , ta lần lượt làm như sau *) Bước 1: Chọn vị trí cho chữ số 0 . Vì 1a 0 nên bước này có số cách thực hiện là 1n 5 cách. *) Bước 2: Chọn vị trí cho chữ số 1 . Ta có hai phương án thực hiện bước này. +) Phương án 1: 1a 1 . Số cách chọn 4 vị trí còn lại là 4 2 8n A . +) Phương án 2: 1a 1 . Vì 1a 1 và chữ số 0 đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí cho chữ số 1 có 3n 4 cách. Vì 1a 0;1 nên có 4n 8 cách chọn 1a . Số cách chọn 3 chữ số cho 3 vị trí còn lại là 35 7n A . Theo quy tắc nhân thì số cách thực hiện phương án 2 là 36 3 4 5 7n n n n 32A . Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là 4 37 2 6 8 7n n n A 32A . Theo quy tắc nhân, số cách lập số A là 4 31 7 8 7n .n 5 A 32A 42000 . Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Giải * Giả sử 1 2 3 4 5A a a a a a là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó để lập số A ta lần lượt làm như sau THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 17 +) Bước 1: Chọn 5a . A chẵn 5a chia hết cho 2 a 2;4;6;8 . Như vậy, bước này có 1n 4 cách thực hiện. +) Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số 1a , 2a , 3a , 4a là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử 51;2;3;4;5;6;7;8;9 a nên số cách chọn các chữ số này là 4 2 8n A . Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 41 2 8n n n 4.A 6720 . * Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí. +) Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số này ở hàng đơn vị là n 1680 4 . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 1680 2 4 6 8 33600 . +) Nếu cố định 4a 1 thì có 4 cách chọn 5a , 3 7A cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số lần chữ số 1 xuất hiện ở vị trí hàng chục là 374.A 840 . Vì vai trò của các chữ số 1 , 3 , 5 , 7 , 9 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 840 . Tổng số lần xuất hiện các chữ cố 2 , 4 , 6 , 8 ở vị trí hàng chục là 6720 5.840 2520 . Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 2520 630 4 . Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là 840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600 . Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng 33600 . Vậy tổng các số lập được là 33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 18 B. Bài tập Bài 1. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện 1) là số chẵn. 2) chia hết cho 5 . Bài 2. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 3. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 4. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết chữ số 1 xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 5. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết chữ số 1 có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 6. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết cho 2 . Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 7. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong các chữ số có chữ số 2 và chữ số 4 . Bài 8. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số biết rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó. Bài 9. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số thỏa mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng sau nó. Bài 10. Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh. 1) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh. 2) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ. 3) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một bạn tên là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc. Bài 11. Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 19 ít nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu cách lập ban cán sự này. Bài 12. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác 3 người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý. Bài 13. Một trường trung học có 8 thầy dạy toán, 5 thầy dạy lý và 3 thầy dậy hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 thầy thuộc đủ cả 3 bộ môn đó đi đại hội. Bài 14. Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một hội đồng thường trực gồm 3 người từ những thành viên nói trên sao cho trong đó có ít nhất 1 nam. Bài 15. Có bao nhiêu cách xếp 3 người bạn nam và 2 bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ ai đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới. Bài 16. Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đừng liền nhau. Bài 17. Có 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu cách để lập ra một đề thi gồm 3 câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên. Bài 18. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực A, 4 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực B và 2 người còn lại trực tại đồn. Bài 19. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn và dán 3 tem thư lên 3 bì thư. Bài 20. Có 7 nghệ sĩ, trong đó có 4 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người phải biểu diễn đúng một tiết mục. 1) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại đến nữ nghệ sĩ biểu diễn. 2) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho 2 tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là do nam biểu diễn. Bài 21. Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào 4 hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa 3 vật, hộp thứ hai chứa 2 vật, hộp thứ ba chứa 2 vật, hộp thứ tư chứa 3 vật. Bài 22. Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc Hưng và danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm 3 nữ và 4 nam từ đội dự tuyển nói trên sao cho trong đội phải có cả nam lẫn nữ và có mặt hai danh thủ. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 20 Bài 23. Chia nhóm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình thành hai tổ có số học sinh bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh giỏi và có ít nhất là 2 học sinh khá. Bài 24. Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc bộ bóng bàn gồm 8 thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này. Bài 25. Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam. Có bao nhiêu cách chia lớp thành ba tổ sao cho: tổ 1 gồm 10 người, tổ 2 gồm 11 người, tổ 3 gồm 12 người và mỗi tổ có ít nhất hai nữ. Bài 26. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Bài 27. Một đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12 , 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn đi. Bài 28. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 .
Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và mcách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B . Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n. m cách.
+ Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
+ Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: P n=n!=n(n-1)(n-2)…1.
+ Chú ý: 0! = 1
⇒ Vậy có P 5 = 5! = 120 cách sắp.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
° Lời giải:
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.
⇒ Vậy có 4.24 = 96 số.
+ Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:
II. Bài tập áp dụng Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh nam. có 308 cách
Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh nữ. Có 325 cách
Vậy, có 308 + 325 = 633 cách chọn một học sinh tham dự cuộc thi trên.
P(x) =ax 3+bx 2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng.
a) Các hệ số tùy ý;
b) Các hệ số đều khác nhau.
a) Có 4 cách chọn hệ số a (vì a≠0). Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số d. Vậy có. 4.5.5.5 =500 đa thức.
b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).
– Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.
– Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.
– Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.
Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.
Chọn học sinh nam ta có 15 cách chọn
Ứng với 1 học sinh nam, chọn 1 học sinh nữ có 25 cách chọn
Vậy số cách chọn là 15. 25=375 cách.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ra số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số lẻ?
a) Số tự nhiên có bốn chữ số dạng là: abcd
Có 7 cách chọn a
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Có 4 cách chọn d
Vậy có 7.6.5.4 = 840 số
b) Cách tính các số lẻ:
Cách 1. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số dạng:abcd
Vì số lẻ nên tận cùng là số lẻ nên d có 4 cách chọn.
Có 6 cách chọn a
Có 5 cách chọn b
Có 4 cách chọn c
Vậy có 4.6.5.4 = 480 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau
Cách 2. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau dạng: abc1 hoặc abc3 hoặc abc5 hoặc abc7
+ Xét số dạng abc1
chọn a có 6 cách
chọn b có 5 cách
chọn c có 4 cách
Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1
+ Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập từ các số đã cho.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số.
b) Có bao nhiêu số chia hết cho 5.
a) Số tự nhiên có 3 chữ số dạng: abc
Có 6 cách chọn a vì a≠0.
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Vậy có 6.6.5 = 180 số
b) Số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 5 dạng: ab0 hoặc ab5
+ Xét số dạng ab0
Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số
+ Xét số dạng ab5
Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số
⇒ Tổng số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 là 30+25=55 số
Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là: 8! = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)
Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.
a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;
b) Ít nhất một lá cờ được dùng.
a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ.
Vậy có: 5! =120 tín hiệu được tạo ra.
b) Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả.
. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.
Chọn 3 nam từ 6 nam. có C36 cách.
Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C25 cách.
Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.
Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Có bao nhiêu cách lập sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.
♦ TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Q)
♦ TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q)
Chuyên Đề Bài Tập Trắc Nghiệm Tổ Hợp Xác Suất Violet, Bài Tập Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất Violet
Đang xem: Trắc nghiệm tổ hợp xác suất violet
quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có đáp án, hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp lý thuyết, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, giải phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Bài tập trắc nghiệm quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, Bài tập trắc nghiệm chuyên đề tổ hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp toanmath, Công thức hoán vị, Bài tập tự luận tổ hợp xác suất, Tổ hợp chỉnh hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Cách tính to hợp, chỉnh hợp, Chuyên de to hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Công thức tính số hoán vị Pn là, Chủ đề tổ hợp
Giải phương trình Tổ hợp Hoán vị Chỉnh hợp quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có đáp án, hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp lý thuyết, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, giải phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Bài tập trắc nghiệm quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, Bài tập trắc nghiệm chuyên đề tổ hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp toanmath, Công thức hoán vị, Bài tập tự luận tổ hợp xác suất, Tổ hợp chỉnh hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Cách tính to hợp, chỉnh hợp, Chuyên de to hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Công thức tính số hoán vị Pn là, Chủ đề tổ hợp
Chuyên đề tổ hợp, phương trình, bất phương trình, hệ pt tổ hợp
Ôn Tập Chương Ii. Tổ Hợp. Xác Suất
BÀI GIẢNG: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 GIÁO VIÊN: ĐÀO THÙY LINH Lớp 11a2Tiết : 37- ÔN TẬP CHƯƠNG 2Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2TỔ HỢP – XÁC SUẤTI – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2
-Ghép các nội dung ở các tấm bìa màu xanh + màu vàng hoặc màu hồng + màu vàng sao cho hợp lý !Phần thi KHỞI ĐỘNGThời gian : 5 Phút10 điểm dành cho mỗi ý trả lời đúng! I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Hoán vị :
2. Chỉnh hợp :
3. Tổ hợp:
4. Nhị thức Newton :Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 25. Các loại biến cố thường gặp6. Các quy tắc tính xác suất a) Xác suất của biến cố A: b) A, B là hai biến cố xung khắc :c) Biến cố đối: d) A, B là hai biến cố độc lập: e) A, B là hai biến cố bất kì :I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Hoán vị :
2. Chỉnh hợp :
3. Tổ hợp:
4. Nhị thức Newton :Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 5. Các loại biến cố thường gặp: Chắc chắn, không thể, hợp, đối, xung khắc, bất kì, độc lập (7)
6. Các quy tắc tính xác suất
a) Xác suất của biến cố A: b) A, B là hai biến cố xung khắc :c) Biến cố đối: Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 6. Các quy tắc tính xác suất
e) A, B là hai biến cố bất kì :d) A, B là hai biến cố độc lập: Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2SỐ ĐIỂM DÀNH CHO 3 ĐỘI….?….
Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúngHệ số của trong khai triển biểu thức bằng:A. 1752 B. -1272 C.1272 D.-1752Câu 2: Tham khảo BGD – ĐT 2018Một hộp có 5 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để được 2 quả cùng màuA. 5/22 B. 6/11 C.5/11 D.8/11Câu 3: MĐ 103 BGD – ĐT 2018Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên, xác suất để chọn được 2 số có tổng là một số chẵn bằng:A. 11/21 B. 221/441 C.10/21 D.1/210 phútPhần thi Chung sứcCâu 1: MĐ 102 BGD – ĐT 2018
Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúngCâu 2: Tham khảo BGD – ĐT 2018Câu 3: MĐ 103 BGD – ĐT 2018Phần thi Chung sức-1272. ĐÁP ÁN : B5/11. ĐÁP ÁN : C10/21. ĐÁP ÁN : C
Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúngPhần thi Chung sứcKẾT THÚC PHẦN THI CHUNG SỨC SỐ ĐIỂM CỦA BA ĐỘI….???? Phần thi VỀ ĐÍCH
ACDBMĐ 101 BGD – ĐT 2019:Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được 2 số có tổng là một số chẵn là:C Phần thi VỀ ĐÍCHĐáp ánBuổi học ngày hôm nay đến đây là kết thúc!Xin chân trọng cảm ơn quý thầy cô giáo đã quan tâm và tới dự giờ KÍNH CHÚC QUÝ THẦY CÔ SỨC KHỎE!
Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!