Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG GIÁO VIÊN : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nội dung : Phương pháp thế. Phương pháp cộng đại số. Phương pháp biến đổi thành tích. Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp hàm số. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Tài liệu dạy thêm tự soạn. Nghiêm cấm sao chép in ấn dưới mọi hình thức. Tác giả : Nguyễn Trường Sơn Gmail : ngoisaocodon1911@gmail.com Sđt : 0988.503.138 Bài 1 : Một số dạng hệ phương trình đặc biệt. Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao. PP chung : Sử dụng phương pháp thế. Hệ 2 phương trình. Hệ 3 phương trình. Hệ đối xứng loại 1. PP chung : Đặt ẩn phụ Hệ đối xứng loại 2. PP chung : Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được : Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. PP chung : Có 2 cách giải Đặt ẩn phụ Chia cả hai vế cho , và đặt Bài 2 : Một số phương pháp giải hệ phương trình Phương pháp thế. * Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại. * Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó. Bài 1 . Giải hệ phương trình Lời giải. Từ (1) ta có thế vào (2) ta được Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là Bài 2 Giải hệ phương trình sau : Bài 3 Giải hệ : PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) thay vào PT (1). Nghiệm Bài 4 a) Giải hệ : PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) thay vào PT (1). b) Giải hệ : Bài 6 (Thử ĐT2012) Giải hệ : . Từ (1) thay vào (2). Nghiệm Bài 7. Giải hệ phương trình Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế. Lời giải. TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2) TH 2 : thế vào (1) ta được Do nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất Chú ý.: Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau: Hệ Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ : . Từ (1) thế và thay vào PT (2). Bài 9 Giải hệ : HD : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : Phương pháp cộng đại số. * Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau. * Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k. Bài 1 Giải hệ phương trình Bài 2. Giải hệ phương trình Lời giải. ĐK: Hệ . Trừ vế hai phương trình ta được TH 1. thế vào (1) ta được TH 2. . Từ , . Do đó TH 2 không xảy ra. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1) Bài 2 Giải hệ phương trình Lời giải. ĐK: . Trừ vế hai pt ta được TH 1. thế vào (1) ta được Đặt ta được và TH 2. . TH này vô nghiệm do ĐK. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1) Bài 5 Giải hệ phương trình: Bài 3. Giải hệ phương trình Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế. Lời giải. - Hệ - Giải phương trình này ta được thế vào một trong hai phương trình của hệ ta thu được kết quả * Chú ý Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt hoặc đặt . Bài 4. Tìm các giá trị m để hệ có nghiệm. Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay Lời giải. TH 1. Vậy hệ có nghiệm TH 2. , Đặt . Hệ Ta có nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hoặc Kết luận. Bài 5. Tìm các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm. Lời giải. Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là Điều kiện đủ. Với . Xét hệ pt (II) Giả sử là nghiệm của hệ (II). Khi đó Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I) (II) Thay vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy . Bài 6. Giải hệ phương trình Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho và chia hai vế pt thứ hai cho . Lời giải. ĐK: . Dễ thấy hoặc không thỏa mãn hệ pt. Vậy Hệ Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được TH 1. thế vào pt (1) ta được TH 2. không xảy ra do . Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất . Chú ý. Hệ phương trình có dạng . Trong trường hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức. Tổng quát ta có hệ sau: Bài 7. Giải hệ phương trình Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho thì ta được hệ mới đơn giản hơn. TH 1. . Nếu thì hệ hoặc Tương tự với và ta thu được các nghiệm là TH 2. . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho ta được . Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được : Từ (4) và (1) ta có Tứ (4) và (2) ta có . Từ (4) và (3) ta có Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có . Vậy hệ có tập nghiệm là S = Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản. Phương pháp biến đổi thành tích. * Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích. Bài 1 (Khối D – 2012) Giải hệ Biến đổi phương trình (2) thành tích. Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y. Hệ đã cho . Hệ có 3 nghiệm Bài 2. (D – 2008) Giải hệ phương trình Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1). Lời giải. ĐK: (1) TH 1. (loại do ) TH 2. thế vào pt (2) ta được . Do . Vậy hệ có nghiệm Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x). Bài 3. (A – 2003) Giải hệ phương trình Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích. Lời giải. ĐK: . (1) TH 1. thế vào (2) ta được hoặc (t/m) TH 2. thế vào (2) ta được . PT này vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của hệ là S = Bài 3. (Thi thử GL) Giải hệ phương trình Lời giải. TH 1. thế vào pt thứ hai ta được TH 2. . (2) Trường hợp này không xảy ra do Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = Bài 4. Giải hệ phương trình Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1) Lời giải. ĐK: . (1) TH 1. thế vào (2) ta được TH 2. vô nghiệm do ĐK Vậy tập nghiệm của hệ là S = Bài 5 (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình Điều kiện : PT 0,25 Từ PT (2) ta có 0,25 PT , thay vào PT (2) ta được : hoặc 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có , KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là : 0,25 Bài 6 (A – 2011 ) Giải hệ PT : HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có . TH1:thay vào PT (1). TH 2: PT(1) Bài 7 (Thử GL 2012) Giải hệ : HD : Từ (2) thay vào (1) ta có : Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1. Giải hệ phương trình Lời giải. Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến. Hệ Đặt ta được TH 1. TH 2. . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Chú ý. Nếu hệ pt có nghiệm là thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là . Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là . Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn. Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình: Bài 2 (D – 2004 )Tìm m để hệ có nghiệm : Bài 4. Giải hệ phương trình Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng và tích Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo và . Rõ ràng hướng này tốt hơn. Lời giải. Hệ . Đặt ta được TH 1. TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản (I) Thay vào hệ (I) ta được hệ (1) đó chính là ví dụ 2. Thay vào hệ (I) ta được hệ (2) Thay vào hệ (I) ta được hệ (3) Thay vào hệ (I) ta được hệ (4) Thay vào hệ (I) ta được hệ (5) Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới. Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) và làm tương tự như trên ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn : Thay vào hệ (II) ta được hệ (6) Thay vào hệ (II) ta được hệ (7) Thay vào hệ (II) ta được hệ (8) Thay vào hệ (II) ta được hệ (9) Thay vào hệ (II) ta được hệ (10) ... Bài 5 (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm : . Đặt ẩn phụ Điều kiện Ta có hệ Bài 6 Giải hệ phương trình : (CĐ – 2010 ) (B – 2002) Bài 7 (Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ : a) Hệ Đặt Nghiệm b) Hệ Đặt Nghiệm Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình : ĐK. . Hệ Đặt ta được hệ : Bài 9 (A – 2008) Giải hệ phương trình : Hệ . Đặt ta được : Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = Bài 10 Giải hệ phương trình : Hệ . Đặt ta được hệ hoặc Với hoặc Với hoặc Cách 2 : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : Bài 11 (A – 2006) Giải hệ phương trình : ĐK: Hệ Đặt . ta được hệ pt (thỏa mãn đk) Bài 12 (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình: . Bình phương cả 2 PT. Bài 13 (Thử GL 2012) Giải hệ : PT (1) PT (2) Ta có Bài 14 (ĐT 2011) Giải hệ : . Lần lượt chia cho và đặt ẩn phụ. Bài 15 (B – 2009 ) Giải hệ : . Lần lượt chia cho và đặt ẩn phụ. Bài 16 (Thử ĐT2012) Giải hệ : Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ. Bài 17 Giải hệ phương trình: Phương pháp hàm số. * Cơ sở phương pháp. Nếu đơn điệu trên khoảng và thì : Bài 1 Giải các HPT sau : Bài 2 Giải hệ phương trình : Bài 3. Giải hệ phương trình Phân tích. Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích. Tuy nhiên ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Hàm số không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được x và y trên đoạn . Lời giải. Từ (2) ta có Hàm số có nghịch biến trên đoạn . nên (1) thế vào pt (2) ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Nhận xét. Trong TH này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên đoạn đó. Bài 4 Giải hệ phương trình: PT Xét hàm . HS đồng biến. Từ (1) Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số CM PT (2) có 1 nghiệm duy nhất . Bài 5 (A – 2003) Giải hệ : Xét hàm số nên hàm số đồng biến. Từ Thay vào (2) có nghiệm Bài 6 (Thử GL) Giải hệ phương trình . Xét hàm số nên hàm số đồng biến. Từ Thay vào (2) có nghiệm . vậy hệ có nghiệm . Bài 7 (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012) Từ điều kiện và từ phương trình (2) có , xét hàm số trên Hàm số đồng biến trên , ta có Với thay vào (2) giải được Bài 8 (A – 2012) Giải hệ phương trình Từ phương trình (2) nên nên xét trên Chỉ ra f(t) nghịch biến. Có Nghiệm Bài 9. (A – 2010) Giải hệ phương trình Lời giải. (1) với . ĐB trên . Vậy Thế vào pt (2) ta được Với . CM hàm g(x) nghịch biến. Ta có nghiệm duy nhất Bài 10.(Thi thử ĐT 2011) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm Lời giải. - Điều kiện. (1) - Hàm số nghịch biến trên đoạn nên Thế vào pt (2) ta được Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm Xét . Pt (3) có nghiệm Bài 11 (Thử ĐT 2012) Giải hệ : . TH1 : Xét thay vào hệ thây không thỏa mãn. TH2 : Xét , chia 2 vế của (1) cho ta được Xét hàm số nên hàm số đồng biến. Từ Thay vào (2) ta có PT . Vậy hệ có nghiệm Bài 15. Giải hệ phương trình Phân tích. Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hđt Lời giải. Thay vào phương trình thứ nhất ta được (1) Xét hàm số có suy ra đồng biến trên . (1) thế vào pt thứ hai ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Bài 16. Giải hệ phương trình Lời giải. Trừ vế hai pt ta được với . đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được Với . do và Suy ra đồng biến trên . Bởi vậy Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0 Bài 17. Chứng minh hệ có đúng 2 nghiệm Lời giải. ĐK: . Do nên Trừ vế hai pt ta được Hay với . đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được Với . Ta có Suy ra đồng biến trên . liên tục trên và có nên có nghiệm duy nhất và Từ BBT của ta suy ra pt có đúng 2 nghiệm . Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương. Bài 18 Giải hệ phương trình Lời giải. ĐK: (1) với ĐB trên và NB trên TH 1. hoặc thì Thế vào pt (2) ta được (không thỏa mãn) TH 2. hoặc ngược lại thì TH 3. thì hệ có nghiệm . Vậy hệ có nghiệm duy nhất Phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh hoặc ngược lại, dấu bằng xảy ra khi Một số BĐT quen thuộc. Bài 1 Giải hệ : HD : Từ (1) VTVP, dầu bằng khi thay vào PT (2) ta có : Ta có : Bài 2 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : (2) . 0,25 (2) . 0,25 Xét hàm số Vì vậy trên hàm số f(t) đồng biến 0,25 TH 1. Kết hợp với . TH 2. hệ trở thành vô nghiệm Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,25Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHNgày dạy:A. Kiến thức cơ bản1. Phương pháp thế1. Quy tắc thế– từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)– dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế– dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn– giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho1. Phương pháp cộng đại số1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước– Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới– Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số– Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”– Nghĩa là:+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn+ thay vào tính nốt ẩn còn lạiB. Các dạng toánDạng 1: Giải hệ phương trình bằng pp thế và cộng đại sốBài 1: Giải các hpt sau bằng phương pháp thế
Bài 2: giải các hpt bằng phương pháp thế
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số)Bài 5: Giải hpt bằng phương pháp cộng đại số
2. Dạng 2: Tìm tham số m, n để hệ có nghiệm (a;b)Bài 1: Tìm các giá trị của m, n sao cho mỗi hpt ẩn x, y sau đâya) hpt có nghiệm (2; 1); đáp số: b) hpt có nghiệm (-3; 2); đáp số: c) hpt có nghiệm (1; -5); đáp số: d) hpt có nghiệm (3; -1); đáp số: Bài 2: Tìm a, b trong các trường hợp sau:a) đg thg d1: ax + by = 1 đi qua các điểm A(-2; 1) và B(3; -2)b) đg thg d2: y = ax + b đi qua các điểm M(-5; 3) và N(3/2; -1)c) đg thg d3: ax – 8y = b đi qua các điểm H(9; -6) và đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (d): 5x – 7y = 23; (d’): -15x + 28y = -62d) đt d4: 3ax + 2by = 5 đi qua các điểm A(-1; 2) và vuông góc với đt (d”): 2x + 3y = 1đáp số
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng
Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể. Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề: “Hệ phương trình đối xứng” Phần b: những nội dung cụ thể I. Hệ phương trình đối xứng loại I: Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng – Phương trình n ẩn x1, x2, …, xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi. – Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng: x1 + x2 + … + xn x1x2 + x1x3 + … + x1xn + x2x1 + x2x3 + … + xn-1xn …………………………. x1x2 … xn – Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng. – Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số. – Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet. *) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +… an, a0 ≠ 0, ai ẻ P có nghiệm trên P là c1, …, cn thì phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn: A. Lý thuyết: 1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10). Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0. 2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi VD: 3.Cách giải: + Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P. + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0. + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình X2 – SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán. 4.Bài tập: Loại 1: Giải hệ đơn thuần VD1: Giải hệ (I) Giải: (I) Û Đặt S = x+y, P = xy ta có Û Û Û Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X2 – 2X = 0 Û ị {(x;y)} = {(0;2); (2;0)} Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}. Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn VD2: Giải hệ (II) Giải: (II) Û Û Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}. VD3: Giải hệ Giải: Vậy x5, y5 là nghiệm của phương trình X2 – 4X -32 = 0 Û Vậy Û Chú ý: Với hệ có dạng + Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn như nghiệm của phương trình X2 – aX + bn = 0. + Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được. VD4: Giải hệ (1) Giải : Đặt -y= t ta được hệ (2) Đăt S= x+t ,P= xt ta có (3) Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6 Từ đó suy ra nghiệm của (2) . có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3). VD 5: Giải hệ: (1) Giải: Đặt ta có hệ (2) Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1). Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số . VD6: Giải và biện luận hệ: Giải: ĐK: x, y ≠ 0. Khi đó hệ trên tương đương với: Û Û Với m = -2: Hệ vô nghiệm Với m -2: Hệ tương đương với (*) Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 – 4. Vậy với m =2 thì hệ là với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm. VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành Vậy (x;y) là nghiệm của: Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}. Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ. VD1: Giải hệ phương trình: (ĐHSP-91) Giải: Đặt . Vậy ta có hệ : Û Û u, v là nghiệm của phương trình ị ị Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = {}. VD2: Cho x, y, z thoả mãn: (I) CMR: . Giải: (I) Û Đặt y + z = S; yz = P ị y, z là ngiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 ị S2 – 4P ³ 0 Từ hệ có Vậy (5-x)2 -4(x2-5x+8) Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có . B. Bài tập: I) Giải hệ phương trình: 1) (ĐHAN -97) 2) (ĐHNT-98) 3) 4) 5) 6) (ĐHNT_99) 7) (ĐHAN-99) 8) (ĐH HH-99) 9) 10) 11) II. giải Hệ phương trình có tham số: 1. Giải và biện luận: a) (QHQT-99) b) (129-III) c) (ĐHT-96) 2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình a) có nghiệm (ĐHQG-99) b) có nghiệm duy nhất (HVQS-00) c) có đúng hai nghiệm (19-I) d) có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I) 3. (1II) a. Giải hệ khi m = 5 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 4. (7I) a. Giải hệ khi m = 7/2 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 5. (40II) a. Giải hệ khi m=2 6. Cho x,y,z thoả mãn; CMR: III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ 1. Giải phương trình: (ĐHKT-95) 2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm a. (ĐHQG-98) b. (ĐHNT-95) c. (ĐHNT-98) phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn: a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng. b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3: Cho 3 số x, y, z có: Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0. (*) Thậy vậy: (X – x)(X – y)(X – z) = 0 [ X2 – (x + y)X + xy ](X – z) = 0 X3 – X2z – X2(x + y) + (x + y)zX + xyX – xyz = 0 X3 – αX2 + βX – γ = 0. (*) có nghiệm là x, y, z ị phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z. c.Cách giải: + Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng α, β, γ Khi đó ta đặt Ta được hệ của α, β, γ. + Giải phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất ị hệ vô nghiệm. có 1 nghiệm kép duy nhất ị hệ có nghiệm. có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn ị hệ có 3 nghiệm. (1) có 3 ngiệm ị hệ có 6 nghiệm. d. Bài tập: VD1: Giải hệ: Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx). x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. Vậy 6 = 22 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = -1. 8 = 23 – 3.2.(-1) + 3xyz ị xyz = -2. ị x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 – 2t2 – t + 2 = 0 Û Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1). VD2: Giải hệ Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) Û Do (2) ị xyz = 27 Vậy hệ Û Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – 9X2 + 27X – 27 = 0 Û (X – 3)3 = 0 Û X = 3. Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3). VD3: Giải hệ Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = 0. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ị xyz = 0. Vậy có: ị (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – aX2 = 0 ị Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại. + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế. VD: Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4). Từ (2) và (4) ị xyz = 27 (5) Từ (2) ị x2(y + z) + xyz = 27x (6) Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 – x) + 27 – 27x = 0 x3 – 9×2 + 27x – 27 = 0 (x – 3)3 = 0 Û x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: ị y = z = 3. Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3. Ii. Hệ phương trình đối xứng loại iI: 1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn: A. Định nghĩa: – Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình này trở thành phương trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn. B. Bài tập ví dụ: VD1: Giải hệ Giải: (I) Vậy hệ có tập nghiệm: VD2: Giải hệ: Giải: Đặt Hệ trở thành (Do u, v ≥ 0) Vậy hệ có nghiệm (1,1) VD3: Cho hệ (I) a.Tìm m để hệ có nghiệm b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải:(I) a)Hệ có nghiệm Û b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = 1. Vậy m = 1. C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0). Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0. Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02 – x0 + m. Û x02 – 2×0 + m = 0. Do x0 cũng là duy nhất ị ∆’xo = 0 Û 1 – m = 0 Û m = 1 Điều kiện đủ: Thay m = 1 vào hệ ta có: Û Û Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1). VD1: Giải phương trình: (73II) Giải: Đặt ị 2x – 1 = t3. Ta có hệ Û Û Û ị Vậy phương trình có 3 nghiệm 1; . C. Bài tập: 1.Giải hệ phương trình: a. (ĐHQG – 99) b. (ĐHTL- 01) c. (ĐHTN – 01) d. (TH – 94) e. (TH – 96) g. (ĐHNG – 00) h. 2. (ĐHCĐ – 99) a. Giải hệ với m = 0. b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất. 4. Giải phương trình: a. (112III) b. (TH – 94). 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: A. Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải. B. Ví dụ: Giải hệ (ĐHSP-91) Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ Hệ này đương tương với 4 hệ sau: Giải (I): (I) Û Û Û Û Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); () Làm tương tự (II) có nghiệm ();() Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); () Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0). Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên. VD2: Giải hệ phương trình: Giải: Hệ Û Û Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); (). VD4: Giải hệ: Giải: Xét hai trường hợp sau: TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau: Giả sử x=y có hệ Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : Tương tự y=z, z=x ta cũng được nghiệm như trên. TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau . z<y<xịf(x)<f(y)<f(z)ịy+1<z+1<x+1ịy<z<x(vô lý). Vậy điều giả sử là sai. TH2 vô nghiệm. VD5: (Vô địch Đức) Giải: TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau Giả sử x = y ta có hệ Từ (1) ị x = 0, x = -1. x = 0. Thay vào (2), (3) ị z=0. x = -1. Thay vào (2), (3) ị vô lý Vậy hệ có nghiệm (0,0,0) Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0). TH2: 3 số đôi 1 khác nhau. Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1 ị ± 2 = 0 (vô lý) Vậy x2 ≠ 1 ị 2x + x2y = y Û Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với: f(t) = xác định trên D = R {±1} f’(t) = với mọi tẻD ị hàm số đồng biến trên D Vậy điều giả sử sai. Do vai trò x, y, z như nhau. Vậy TH2 – hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0) C. Bài tập 1. 2. Hướng dẫn: Đặt . Đưa về giải hệ 3. 4. 5. Phần C: kết luận Trong thực tế giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về “Hệ phương trình đối xứng”. Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lượng các bài tập cũng như về phương pháp giảng dạy. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong tổ bộ môn Toán và của các đồng nghiệp. Xin trân trọng cám ơn ! Yên Lạc, tháng 01 năm 2006 Người viết Doãn Hoài Nam
Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng tổng quát
a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn . Khi đó phương trình thứ nhất có dạng , phương trình này cho phép tính được . c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là . Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới (với là các ẩn). Ta sẽ tìm để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo mà ta đã biết cách giải.
Đặt . Hệ trở thành :
Vậy ta có hệ .
Dễ dàng giải được hệ này.
2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.
a) Hệ phương trình đối xứng loại I.
Cách giải chung là đặt ẩn phụ .
b) Hệ phương trình đối xứng loại II
Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .
c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.
Dạng tổng quát
Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình .
3. Hệ phương trình hoán vị.
Dạng tổng quát
Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)
Một số định lí :
a) Nếu là các hàm đồng biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì .
b) Nếu là các hàm nghịch biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì với lẻ, ta có .
c) Nếu nghịch biến và đồng biến trên tập là là nghiệm (trên ) của hệ thì với chẵn, ta có và .
Vì .
4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :
Phương trình thứ nhất có thể viết thành :
Thay vào phương trình sau :
Vậy
5. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ : Giải hệ phương trình
Điều kiện
Cộng vế theo vế hai phương trình :
Trừ vế theo vế hai phương trình :
Vậy nếu ta đặt
Thì ta có hệ
Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.
6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.
“Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.
Điều kiện
7. Phương pháp biến đổi đẳng thức. a) Đưa về phương trình tích.
Ta dễ dàng giải được hệ này.
b) Đưa về phương trình thuần nhất.
Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc .
Dễ dàng giải tiếp hệ này.
8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 9. Phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ : Giải hệ phương trình
Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia.
Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là .
Từ đó được phương trình .
Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope
Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!