Xem Nhiều 3/2023 #️ Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ # Top 4 Trend

Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

1/ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải các phương trình ta thường phải dùng các phép biến đổi tương đương. 2/ Một phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình cho trước nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình đã cho. Khi giải phương trình, nếu ta dùng phép biến đổi đưa phương trình đã cho về một phương trình hệ quả thì ta phải thử lại. Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2+bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x1;x2 thoả mãn: x1<<x2 khi và chỉ khi af()<0. f(x) có hai nghiệm trong khoảng khi và chỉ khi : f(x) có một nghiệm nằm trong , nghiệm còn lại nằm ngoài khi và chỉ khi . 4/ Một số kiến thức trong lý thuyết hàm số : Hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D khi và chỉ khi g(m) thuộc vào tập giá trị của f(x) trên D. Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x0 thuộc D sao cho f(x0)=m ( trong đó m là hằng số ) thì phương trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D. Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x0 thuộc D sao cho f(x0)= g(x0) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D. 5/ Nội dung phương pháp cần và đủ : Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ ta tiến hành theo các bước sau : Bước 1 : (tìm điều kiện cần) Giả sử phương trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m. Bước2 : (tìm điều kiện đủ) : Với m ta kiểm tra lại xem khi đó phương trình f(x,m)=0 đã thoả mãn tính chất (P) chưa.ở bước này nói chung ta thường thay các giá trị cụ thể của m vào để xét, những giá trị của m mà làm cho phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) là đáp số bài toán. Phần II Một số dạng phương trình vô tỉ thường gặp. Dạng 1 : dùng phép biến đổi tương đương . Thực tế ta hay gặp trường hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thường hay mắc sai lầm như sau: đặt điều kiện f(x) sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phương trình để khử căn rồi giải phương trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x) thấy thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phương trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn giản nhưng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . Dạng 2 : Phương pháp giải dạng này là : tìm tập xác định của phương trình đã cho rồi bình phương hai vế ,thu gọn để quy về dạng I. Khi gặp phương trình dang: học sinh thường mắc sai lầm là: sau khi tìm tập xác định của phương trình đã cho đem bình phương hai vế , thu gọn để quy về dạng I. Trường hợp này rất nhiều khi ta thu được phương trình hệ quả( Do chưa chắc đã có: với mọi x thuộc tập xác định của phương trình). Giáo viên cần lưu ý học sinh điều này. Ta nên hướng dẫn học sinh chuyển sang vế phải để quy về dạng 2. Ví dụ: giải phương trình: HD: Pt có tập xác định là: D= Ta có: Vậy nghiệm phương trình là x=0. Bài tập áp dụng: giải phương trình: III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số: Cơ sở lý thuyết: Cho f xác định trên D = (a ;b) f tăng (đồng biến) khi f giảm (nghịch biến) khi Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì: f tăng trên D. f giảm trên D. Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phương trình f(x0 = 0 có tối đa một nghiệm và nếu chỉ ra được nghiệm thì đó chính là nghiệm duy nhất. Từ đó ta có ứng dụng để giải phương trình hoặc chứng minh sự tồn tại nghiệm. Cách giải: Các vế của phương trình thường chứa các hàm số một biến. Tính chất của hàm số không thể không ảnh hưởng tới cách giải các bài toán đặt ra. Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các tính chất của hàm số giúp ta tìm được cách giải hợp lý và hiệu quả. *Chú ý: -Trong nhiều trường hợp HS sau khi nhẩm được nghiệm thì vội vàng kết luận tính duy nhất của nghiệm, mà quên đi cơ sở kết luận nghiệm phải dựa vào tính chất của hàm số có mặt trong bài toán đó. -Ta có thể lập bảng biến thiên để giải quyết bài toán dễ dàng hơn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Ta viết lại phương trình: Và nên Phương trình: (*) Xét nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0 Do đó (*) Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1 Ví dụ 2: Tìm a để phương trình có nghiệm: Giải: Xét y = f(x) =, D = R thì f là hàm lẻ. Ta có : Đặt nên g đồng biến. Mà Bảng biến thiên: x 0 + y 1 -1 Vậy điều kiện để PT có nghiệm là Ví dụ 3: Giải phương trình: HD: Với phương trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phương rồi khử dấu căn như cách thông thường. Tuy nhiên, nếu ta chú ý đến miền xác định của các hàm số và ta thấy ngay phương trình đã cho chỉ xác định với x = 2. Hơn nữa, x = 2 thoả mãn PT. Vậy nghiệm của PT là x = 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: HD: Đây là một ví dụ về phương trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông thường là bình phương 2 vế để khử căn. Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà để ý rằng: để PT có nghĩa thì Vậy PT vô nghiệm. Ví dụ 5: giải phương trình Giải. Nếu ta bình phương để khử căn thức thì sẽ được một phương trình bậc 4 đầy đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác. Trước hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phương trình. Nhưng khác với các ví dụ trước, hàm số ở vế trái không phải là hàm đơn điệu trong miền xác định của nó: . Tuy nhiên nếu ta xét khoảng Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho trong khoảng . Bây giờ ta xét đoạn . Ta có với thì , vế trái nên phương trình không có nghiệm trong đoạn . Đáp số: x=3. Ví dụ 6: giải phương trình: HD: Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2. Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D, hàm g(x)= nghịch biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai Ví dụ: giải phương trình: . . . HD: a. Đặt y=.Ta được pt: y2-y-20 = 0 Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm được các nghiệm x = 6 ; x = -3. Ta được phương trình : y2-y-6=0 Nghiệm y=-2 bị loại. Với y=3 ta được .Trong phần dùng tính đơn điệu của hàm số ta đã tìm được nghiệm duy nhất của pt này là x = 2. Vậy pt ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2. c. Phần này phép đặt ẩn phụ ở phần này được gọi là không hoàn toàn.Cụ thể như sau : Đặt y=. Ta được phương trình : y2-(x+3)y+3x=0 Với y=3 ta được : Với y=x ta được : . PT vô nghiệm. Vậy nghiệm của pt đã cho là : Bài tập áp dụng: giải phương trình: (x+5)(2-x)=3. . . . . . . x+. (4x-1). 2(1-x). V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: giải phương trình: . HD: Nhân cả hai vế của phương trình với ta được: Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . VI. Dạng 6: giải pt vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp. Ví dụ: giải phương trình: . Nếu ta dùng phép bình phương để khử căn thì ta thu được pt vẫn còn rất phức tạp, không quy được về các dạng quen thuộc. Khi đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi xem các số liệu trong bài toán có gì đặc biệt. Trong bài tập này ta thấy (4x+1)-(3x-2)=x+3. Do đó ta nghĩ đến việc nhân cả hai vế của pt với liên hợp của vế trái. Lưu ý khi nhân cả hai vế của pt với u(x) ta cần quan tâm xem liệu u(x) có luôn khác 0 trên tập xác định của pt hay không. Nếu có ta phải xét riêng trường hợp này. HD: Pt có tập xác định D = .Ta thấy . Do vậy pt đã cho tương đương với: 5(x+3)=(x+3) (Vì x+3 . Bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ta tìm được nghiệm duy nhất của pt là x=2. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . 4(x+1)2=(2x+10)(1-2. VII. Dạng 7: phương pháp lượng giác hoá. Ví dụ: giải phương trình: HD: Pt đã cho có tập xác định là: D=[-1;1]. Đặt x=cost , () Ta được pt: 4cos3t-3cost=.Pt này có 3 nghiệm thuộc là: . Do vậy pt đã cho có 3 nghiệm là : Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . VIII. Dạng 8: . Trong đó A = A(x) ; B = B(x) ; C = C(x). Phương pháp giải của dạng này là : lập phương hai vế của pt ta được: A+B+3. Sau đó thế vào pt mới ta thu được: . Ta thu gọn hai vế rồi lập phương một lần nữa quy về pt bậc cao. Ta cần lưu ý cho học sinh các phép biến đổi trên chỉ là phép biến đổi hệ quả. Vì khi thế ta thu được (*). Mà (*) Như vậy khi được nghiệm của phương trình cuối cùng ta phải thay vào pt ban đầu để thử lại. Ví dụ: giải phương trình: HD: Lập phương hai vế của pt đã cho ta được: Thế vào pt trên ta được: Thay các giá trị x = 0 ; x =-1 vào pt ban đầu ta thấy chỉ có x =-1 là thoả mãn .Vậy nghiệm pt ban đầu là x =-1. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . IX. Dạng 9: đặt ẩn phụ đưa về hệ Ví dụ: giải phương trình: ( Dạng tổng quát là: ) ( Dạng tổng quát là: ) . . HD: a. Đặt . Ta được hệ: . Lấy (1) trừ (2) theo các vế tương ứng ta được: Với y=-x ta được : Với y=x+1 ta được: . Vậy pt dã cho có hai nghiệm: . b. Đặt . Ta được hệ đối xứng loại 2 : . Sau khi giải hệ này ta thu được các nghiệm của hệ :(1 ; 1) ; (-2 ;-2) Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x1=1 ; x2=-2. c. Đặt .Ta được hệ : . Thế u=1-v vào pt u3+v2=1 ta được: (1-v)3+v2=1 .Giải pt này ta thu được 3 nghiệm : v1=0 ; v2=1; v3=3.Từ đó suy ra pt đã cho có 3 nghiệm: x1=1 ; x2=2 ; x3=10. d. Đặt . Ta được hệ đối xứng loại I: . Giải hệ này ta thu được hai nghiệm: (1;3) ; (3;1). Từ đó tìm được các nghiệm của pt dã cho là: x1=-17 ; x2=23. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . . . . X. Dạng 10: một số phương trình vô tỉ không mẫu mực Dạng này đòi hỏi học sinh phải có sự sáng tao trong làm toán. Trong các bài toán ở dạng này ta thường dùng các phương pháp : nhận xét, đánh giá, dùng các bất đẳng thức cổ điển… Ví dụ: giải phương trình: . HD: Pt có tập xác định D = [1;+). Với mọi x thuộc D ta thấy: . Dấu bằng xảy ra . . Dấu bằng xảy ra . Từ đó dễ suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1. Ta cũng có thể giải bài toán này bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số. b. . HD: Pt có tập xác định D=[2 ;4] . Với mọi x thuộc D, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : . Dấu bằng xảy ra . . Dấu bằng xảy ra . Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3. Ta cũng có thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá vế trái. c. HD : Dễ thấy pt có tập xác định là R. áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có : Dấu bằng xảy ra Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0. d. . HD : Pt có tập xác định D=, áp dụng bđt Côsi ta có: . Dấu bằng xảy ra . Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1/16. đ. . HD : Ta thấy : .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 1. . Dấu bằng xảy ra Vậy nghiệm pt là . e. HD: +) Thay x = n; x= n+1 vào pt thấy thoả mãn. +) Nếu x < n thì . Do vậy mọi x < n không là nghiệm của pt. +) Nếu n < x < n+1thì : . Suy ra mọi x thoả n < x < n+1 cũng không là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x1=n ; x2=n+1. g. . (*) Trong bài này học sinh rất dễ mắc sai lầm là đem chia cả hai vế của phương trình cho được pt: . Giáo viên nên tạo ra lời giải theo hướng này và yêu cầu học sinh tìm chỗ sai trong lời giải. HD: Pt có tập xác định +) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi không là nghiệm pt. +)Thay x=0 vào pt thấy thoả mãn. +) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi cũng không là nghiệm pt. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0. h. . HD +) Trước tiên ta đi chứng minh bđt : Dấu bằng ở bđt này xảy ra +) áp dụng bđt trên ta có : Dấu bằng xảy ra Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . . XI. Dạng 11: các pt vô tỉ có chứa tham số. Đối với các pt vô tỉ có chứa tham số ta thường gặp các loại câu hỏi sau: +) Tìm m để pt có nghiệm trên D. +)Tìm m để pt có nghiệm duy nhất. +) Biện luận theo m số nghiệm của pt. Ví dụ1: tìm m để phương trình: a. có nghiệm. HD: Cách 1: pt trên có tập xác định là R. Xét hàm : f(x)= . Ta có f’(x)=. . Dễ tính được : Ta có bảng: x f’(x) – 0 + f(x) Nhìn vào bbt ta thấy pt có nghiệm khi và chỉ khi . Cách 2 : pt đã cho Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm thuộc .Ta dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai được đáp số như trên. b. có nghiệm trên (0 ;1). HD : Đặt y = . Bằng cách lập bbt của hàm u(x)= 2x-x2 trên khoảng (0 ;1) ta được tập giá trị của y trên (0 ;1) cũng là (0 ;1). Ta được pt : y2+y = 1-m (*) . Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm trên (0 ;1) Xét hàm f(y) = y2+y trên (0 ; 1). Ta thấy f(y) đồng biến trên (0 ;1) , do vậy hay tập giá trị của f(y) trên (0 ;1) là (0 ;2). Vậy pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi : 0< 1-m <2 hay -1 < m < 1. Bài này học sinh thường mắc sai lầm là khi đặt ẩn phụ : y = v(x) học sinh thường không tìm hoặc tìm không chính xác tập giá trị của y trên D. Sau đó lập luận pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt ẩn y có nghiêm. GV chú ý phân tích kỹ giúp học sinh tránh sai lầm này. c. có 4 nghiệm phân biệt. HD : Pt có tập xác định là [-3 ;1]. Đặt y = . Ta có bảng : x -3 -1 1 y 2 0 0 Ta được pt ẩn y : 3-y2 + my = m2 y2- my + m2 -3 = 0. Đặt f(y)= y2- my + m2 – 3 .Từ bbt ta thấy pt ban đầu có 4 nghiệm khi và chỉ khi f(y) có hai nghiệm phân biệt thuộc [0 ;2). Điều kiện cần và đủ là : Giải hệ này ta được : . d.. HD : +) Điều kiên cần : giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho thì ta thấy 1-x0 cũng là nghiệm của pt đã cho. Do vậy điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất là x0=1-x0 hay x0=1/2. Thay x0=1/2 vào pt ta được : . +) Điều kiện đủ : Với m =0 khá dễ dàng thấy pt có nghiệm duy nhất x=1/2. Với m=-1 pt trở thành : . . Vơi m=1 pt trở thành: . Ta thấy x=0; x=1 khi thay vào pt đều thoả mãn. Vậy đáp số bài toán là: m = 0; m =-1. Ví dụ2: biện luận theo m số nghiệm pt: . HD: Ta thấy pt luôn nhận x=0 là nghiệm với mọi m.Trên tập , pt đã cho tương đương với : (*) Số nghiệm của pt ban đầu bằng số nghiệm của pt (*) cộng với 1. Xét hàm trên . Ta có : . Ta tính được : Ta có BBT : x 0 f’(x) – - f(x) 1 Nhìn vào bảng BT ta thấy: +) Nếu thì PT f(x) =m vô nghiệm, suy ra PT ban đầu có một nghiệm. Bài tập áp dụng: Bài 1 : Tìm m để pt sau có nghiệm . . . . m. mx= . . Bài 2 : Tìm m để pt : có hai nghiệm phân biệt. có 4 nghiệm phân biệt. có hai nghiệm. Bài 3 : Tìm m để pt : có nghiệm duy nhất. có nghiệm duy nhất. có nghiệm duy nhất trên [3 ;5] Bài 4 : Biện luận theo m số nghiệm pt: . . . Phần III : Một số khó khăn, thuận lơị và những quan điểm khi dạy học phần này. *) Khó khăn : Khi giải phương trình nhiều khi học sinh không nắm vững phép biến đổi đó tương đương hay hệ quả. Kĩ năng tính toán của học sinh còn kém, một số học sinh khi biến đổi căn thức còn mắc nhiều sai lầm chẳng hạn như : Đối với học sinh lớp 10,việc vận dụng các định lý đảo về dấu tam thức bậc hai còn hạn chế. Khi vận dụng vào các dạng toán chứa tham số các em hay bỏ xót trường hợp hoặc đủ trường hợp nhưng tính toán không chính xác. Đối với học sinh lớp 12 khi lập bảng biến thiên ở các chứa tham sô các em tính các nhánh vô cực nhiều khi còn khó khăn. *) Thuận lợi : chuyên đề này kiến thức không trìu tượng, có thể nói là khá dễ dạy, học sinh dễ thu lượm được các dạng cơ bản. 2. Một số quan điểm khi dạy học phần này : Dạy cho đối tượng đại chà những dạng cơ bản, cho học sinh khá giỏi cả chuyên đề. Chú ý rèn kĩ năng tính toán cho học sinh. Đối với học sinh lớp 10 , dạng có chứa tham số chỉ dừng ở mức độ nhất định, không nên quá sa đà vào dạng này.Những bài nào có thể dùng bbt của hàm bậc hai thì ta nên hướng dẫn học sinh theo hướng đó, không nên dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai làm phức tạp bài toán. Khi học sinh học đến các dạng pt lượng giác , mũ , logarit, ta nên lồng ghép những loại này với phương trình vô tỉ.

Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Toán 9

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1/ Thuyết minh : Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 2/Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 1: Û Ví dụ. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b) Dạng 2: Ví dụ. Giải phương trình: (2) Giải: Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) Û Û Û Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6 c) Dạng 3: Ví dụ. Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) Û Û Û Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 Û 5x2 – 84x + 352 = 0 Û x1 = ; x2 = 8 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8 d) Dạng 4: Ví dụ. Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) Û Û Û Û Û 45 + 14x + 14 = 0 Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm 2. Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: – Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5 HD: Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành: – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1. điều kiện x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vế trái: Þ vế trái luôn âm Vế phải: ≥ 1 Þ vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: Û Û Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 Þ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1) Û Û Ta có: Vế trái ≥ . Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất) Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Thử với x = 2. Ta có: (1) Û Nếu x VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và Þ . Tương tự với < x < 2: Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Với : 3x < –2x – 1 < 0 Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ. Giải phương trình Giải: điều kiện Với điều kiện . Nên: . Dấu “=” xảy ra Û Û 4. Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: Û Þ PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Û x1 = 0; x2 = Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). (1) Û Û x = 2 5. Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = y (y ≥ 0) Þy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 Þ (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y (1) Û Û y3 + y2 – 2 = 0 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3) Giải. Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. Þ (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0 Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)Þ u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0): (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0 Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0 Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu Từ đó ta có hệ: Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 Cách 2: Đặt và . Ta có hệ: Û Û x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0): ÞGiải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ Û . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Giải phương trình: Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0) Þ Þ Ví dụ 5. Giải phương trình: Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) Þ Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ (1) Û Ví dụ 7. Giải phương trình: Giải. Đặt (1) Û Þ kết quả 6. Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: Giải. Ta có: Û – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m + Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: Giải. Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ Tóm lại: – Nếu hoặc . Phương trình có một nghiệm: – Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải. Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = C.Một số sai lầm thường mắc phải Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 1. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = x - 2 (1) Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau điều kiện pt(1) là x (*) (1) 2x - 3 = x2 - 4x + 4 x2 - 6x + 7 = 0 Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + và x = 3 - . Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - bị loại . Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + . Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + và x = 3 - . Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x là điều kiện cần và đủ. 2. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải phương trình Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 1 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện . 3. Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x + 1) = 0 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x + 1) = 0 ó ó Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình trên. Chú ý rằng: ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2). 4. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = x2 -2x+3 Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông . 5. Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x+2) = x+1 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x+2) = x+1 =x+1 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm. Cần chú ý rằng: Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0 Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1 : = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm pt = g(x) Điều kiện gx) 0 là điều kiện cần và đủ vì f(x) = g2(x) 0 . Không cần đặt thêm điều kiện fx) 0 b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình = x -2 . (1) Điều kiện x 2 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - 1 0) Khi đó pt(1) 2x - 1 = (x - 2)2 x2 - 4x + 4= 2x - 1 x2 - 6x + 5 = 0 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là x = 5 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x 2 (*) để lấy nghiệm. + Ví dụ 2: Giải phương trình = x-1 . (2) .Nhận xét : Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 2x2- x -1 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm. Ta có thể giải như sau: . Điều kiện: x 1 (**) Khi đó pt(2) 2x2 - x - 1 = (x -1)2 2x2 - x - 1 = x2 - 2x + 1 x2 + x -2 = 0 x+2)(x-1)=0 đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm pt(2) là x = 1 *Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp 2 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: . (2) a. Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi pt(2) Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) và f(x) vì f(x) = g(x) . b. Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình = , (1) .Điều kiện x -1, (*) pt (1) x + 1 = 2x -7 x = 8 (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm của phương trình là x = 8 . ! Lưu ý: Điều kiện x -1 , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình. + Ví dụ 2: Giải phương trình = , (2) . Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. . ĐK: x , (*). pt(2) x2 - x +1 = 2x -1 x2 - 3x -+2 = 0 Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = 1 và x=2 . + Ví dụ 3: Giải phương trình = (*) Tóm tắt bài giải (*) (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 3/ Giải pháp 3 : Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình không mẫu mực (Phương trình không tường minh). + Ví dụ1: Giải phương trình - = 1 (2) Điều kiện x (**) Chuyển vế và bình phương hai vế ta được pt(2) = 1+ với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta được. 2x + 1 = x + 1 + 2 x= 2 tiếp tục bình phương hai vế x2 = 4x (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 V x = 4. + Ví dụ2 : Giải phương trình : 2 + = + Lời giải : Ta có Pt 2 + = 2 + Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau Ta có : 2 + = + 2 + = 2 + = x=2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2. Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho nhưng. Chú ý rằng: + Ví dụ 3: Giải phương trình = (3) Hướng dẫn : Đk (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể. Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được pt(3) 7 - x2 + x = 3 - 2x - x2 x = - 2x - 4 x = -1 Thay giá trị của x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 + Ví dụ4 : Giải phương trình + = 3x + 2 - 16 , (4) HD: Điều kiện x -1 (****) NX: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương trình ta cũng không thu được kết quả thuận lợi khi giải nên ta có thể giải như sau. Đặt + = t , (ĐK: t 0) 3x + 2 = t2 - 4 pt(4) t2 - t - 20 = 0 t = 5 (nhận) V t = - 4 (loại) . Với t = 5 2 =21 - 3x ( là phương trình thuộc dạng 1) x = 118 - (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình là x = 118 - + Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = Giải (1) = (x-3)(x-4) Giải (2) = (x-3)(x-4) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2 v x = 3 v x = 7. Nhân xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = = (x-3)(x-4) Giải ta có Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7. HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả mãn. Chú ý rằng: Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0 Bài tập Giải phương trình a. = 2x-5 b. = c. +x-4 = 0 HD: Biến đổi theo dạng 1 và dạng 2 2. Giải phương trình: x2 - x + = 1 HD: Đặt t = (t) ĐS: x = 0 v x = 1 3. Giải phương trình: + = HD: Đặt đk sau đó bình phương hai vế ĐS: x = 2 4. Giải phương trình: HD : ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3. 5. Giải phương trình: HD: ĐS: Nghiệm của phương trình là: x = 14 6. Giải phương trình: + = + 7. Giải phương trình: + = 4 8. Giải phương trình: x + = 2 9. Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) 10. Giải phương trình: (4x - 1) = 2x3 + 2x +1 11. Giải phương trình: x2 - 1 = 2x 12. Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2)

Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

– Xác định phương trình cơ bản:

Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

Họ và tên : Đặng Việt Anh Lớp : 10A3 Trường : THPT Ân Thi Nhóm :. . . . . . Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I, Tư tưởng đặt ẩn phụ Xác định phương trình cơ bản: Ví dụ: phương trình t2 - 3t + 2 + chọn t = à phương trình có dạng + chọn t = à phương trình có dạng II, Các phương pháp đặt ẩn phụ 1, Đặt 1 ẩn phụ Một số kiểu đặt thường gặp + à Ta nên đặt t = ( + à Ta nên đặt + à Ta nên đặt 2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp. Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không III, Bài tập hướng dẫn Bài tập 1: Giải phương trình Bài giải: B1: Đặt () B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương (1) Ta nhận thấy B3: Thay vào phương trình Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện ) B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x. t=1 à à phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM). KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt Bài tập 2: Giải phương trình . Bài giải: Tương tự như các bước trên: Đk: Đặt (2) Thay vào pt: Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện) Thay t=5 vào (2) Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM) KL: x=3 là nghiệm của pt Bài tập 3: Giải phương trình . Bài giải: ĐK: Rút gọn pt: Đặt +1 (3) Thay vào phương trình: (loại ktm đk) Thay t=2 vào (3) Giải pt suy ra cả 2 đều TM KL: Ví dụ 4: giải pt Bài giải: Bình phương khử căn: Chia cả 2 vế cho ta đc: Đặt loại t=0 vì k tm đk Thay t=5 vào pt Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

Tài liệu đính kèm:

giai_pt_vo_ti_bang_phuong_phap_dat_an_phu.doc

Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác

Published on

chuyên đề phương trình lượng giác

2. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2      )cos()cos( 2 1 sinsin )cos()cos( 2 1 coscos )sin()sin( 2 1 cossin bababa bababa bababa    2. Công thức biến đổi tổng thành tích 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba baba ba         VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. sin(a b) 1) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 2) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 3)cot a cot b sin a sin b          sin(a b) 4)cot a cot b sin a sin b     5) 4 4 2 2 sin x cos x 1 2sin chúng tôi x   6) 6 6 2 2 sin x cos x 1 3sin chúng tôi x   B. Bài tập Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 4 4 cos sin cos2x x x . b) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 2 x x x . c) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x . d) sin cos 2tan2 sin sin x x cosx cosx x cosx x cosx x . e) 3 3 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . f) 5 5 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin5 sin3 sin4 tan4 5 cos3 s4 x x x x cos x x co x . b) 2 cos sin 1 sin2x x x . c) 2 1 sin2 sin cosx x x . d) cot tan 2cot2x x x . Bài 3. Cho 3 sin , 0; 5 2 x x . Tính giá trị của biểu thức cos cos2P x x . Bài 4. Cho ; 2 x và tan 1 4 x Tính giá trị của biểu thức cos sin 2 A x x .

3. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3 Bài 5. Cho tan 2x Tính giá trị của biểu thức sau: a) 2sin cos cos sin x x A x x . b) 2 2 2sin sin cos 3cos 2sin cos x x x B x x x . c) 3 2 3 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x C x x x . d) 2 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x D x x x . Bài 6. Cho 1 tan , 0; 2 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2sin 3cos 12 2 5sin 2cos 2 2 x x P x x . Bài 7. Cho 2 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2 cos 3 P x . Bài 8. Cho 1 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức sin2 cos2P x x . ………………………………………………………………………………………………………….. Phần 2. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình:  sinsin x x k2 ,k Z x k2               2. Phương trình:  coscos x x k2 , k Z x k2             3. Phương trình: tan x tan k ,k Z       4. Phương trình: cot x cot k ,k Z       B. Bài tập rèn luyện Bài 9. Giải các phương trình sau: a) 2 3 6 3sin         x b) sin(3x – 2) = 1,5 c) 1 5 2cos2         x d) cos(3x – 15o ) = cos150o e) tan(2x + 3) = 3 tan  f) cot(45o – x) = 3 3 g) sin3x – cos2x = 0 h) xx 3cos 3 2 sin         i) 0 4 3cos 6 5 3sin               xx j) )302cos( 2 cos o x x  k) cos2x = cosx l)              4 2sin 4 sin  xx m) 1 12 sin         x n) 2 1 6 12sin         x o) 2 3 2 6cos         x p) 1)5cos(  x q) 1)63tan(  x r)   36tan  x s) 3 1 2 4 tan        x  t) 312 6 5 cot        x  u) 3 3 5 7 12 cot        x 

4. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4 v)   2 2 312sin  x w)   xax 3sin2cos  x) xbx 5cos)3sin(  y)              xx 6 5 cot 4 tan  z)          xx 7 12 7 tan3cot   Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : a) 1 sin2 2 x với 0 x . c) 1 sin 2 2 x với 0 2x . b) 1 cot3 3 x với 0 2 x . d) 2cos 1 0 3 x với 2 x . Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2 2sin 1x c) sin 1 2cos 1 0x x b) 2cos2 3 2cos 1 0x x d) tan 1 tan 3 0x x e) cot 1 tan 3 0x x f) 2 cos5 2sin 1x x Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sin sin3 cos 0x x x c) sin3 .sin2 sin4 sinx x x x b) 2 sin5 sin 2cos 1x x x d) 4 4 2cos 1 2sinx x e) cos2 sin cosx x x f) 2 sin 2cos 2 1x x Bài 13. Giải các phương trình sau : a) 4sin cos cos2 1x x x c) sin3 .sin2 sin4 cos2 cos3x x x x x b) 2 sin5 cos sin cos5 2cos 1x x x x x d) 2 1 cos2 sin cosx x x e) 4cos2 sin cos sin8x x x x f) 4 4 5 sin cos 8 x x Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 3 4sin cos2 3sinx x x c) 3 sin2 3cos 4cosx x x b) 2sin2 cos sin3 1x x x d) 2sin3 sin 1 cos4x x x II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 a sin sin 0( )x b x c , đặt: t sin , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 2: 2 acos s 0( )x bco x c , đặt: t cos , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 3: 2 atan tan 0( )x b x c , đặt: t tanx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 4: 2 acot cot 0( )x b x c , đặt: t cotx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.  Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) 1cossin 22  xx 2) 2 2 2 2 cos2 sin cos2 2 1 cos2 1 2sin x cos x x x cos x x x 3) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 4 x x x 4) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x .

5. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5 5) 2 1 s2 cos 2 co x x 6) 2 1 s2 sin 2 co x x 7) 3 os3 4 os 3 osc x c x c x 8) 3 sin3 3sin 4sinx x x B. Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos2 3sin 2 0 (1)x x Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi 2 cos2 1 2sinx x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải 2 2 2 (3) 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0 2 2sin 1 2 , .1 6sin 2 5 2 6 x x x x x k x x k k Z x x k Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 cos4 12sin 1 0 (2)x x (CĐ Khối A,B,D – 2011) Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ bậc nâng cung của 2 1 2 sin 2 cos x x . Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x nên ta chọn công nhân đôi của 2 cos4 2 2 1x cos x . Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo cos2x. Giải 2 21 2 (2) 2 2 1 12. 1 0 2 3 2 2 0 2 cos x cos x cos x cos x Đặt cos2 , 1t x t . Pt trở thành: 2 1( ) 3 2 0 2( ) t n t t t l . Với 1t , ta có : cos2 1 , .x x k k Z Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 4 cos sin cos4 0 (3)x x x Phân tích:Ta thấy 4 4 cos sin os2x x c x , chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của 2 cos4 2cos 2 1x x . Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo chúng tôi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh. Giải 2 2 2 2 2 2 (3) sin sin 2 2 1 0 2 2 cos2 1 0cos x x cos x x cos x cos x x cos2 1 2 , .1 cos2 22 6 x x k k Z x x k

7. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7 Cách 1:    2 2 4 2 2 2 cos 1( ) 1 7 2 1 cos 1 2 2cos cos 1 0 1 cos cos 2                 x l x x x x x  2 2cos 1 0 cos2 0 , . 4 2          k x x x k Z   . So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là , 4 2     k x k Z . Cách 2:   2 2 2 2 2 4 2 2 2 sin 1 7 2 .cos tan 2 2tan . tan 2 tan tan 2 0 cos 1 tan            x x x x x x x x x 2 2 tan 1 tan 2( )….!    x x l . Ví dụ 8. Giải phương trình:  8 8 217 sin cos cos 2 8 16  x x x . Giải Ta có:   2 28 8 4 4 4 4 2 4 2 41 1 1 sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 8 8                x x x x x x x x x x . Pt (8)  2 4 2 4 21 16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2 2sin 2 sin 2 1 0 8               x x x x x   2 2 2 sin 2 1( ) 1 2sin 2 0 cos4 0 , .1 8 4sin 2 2                 x loai k x x x k Z x   Ví dụ 9. Giải phương trình:    8 8 10 10 5 sin cos 2 sin cos cos2 9 4    x x x x x . Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể:      8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4          x x x x x x x x x x Giải      8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4          x x x x x x x x x x          8 8 8 8 4 4 4 4 2 2 3 5 5 9 sin cos2 cos cos2 cos2 cos2 cos sin cos2 4 4 5 cos2 cos sin cos sin cos2 0 4 1 chúng tôi .cos2 1 sin 2 5cos2 0 2 1 cos2 . 4cos2 . 1 1 cos 2 5 0 2 cos2 0 2cos 2 2cos2 5                                       x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  . , k Z . 4 20( )       x k VN   Ví dụ 10. Giải phương trình:  2 cos2 cos sin 2 0 10   x x x .

8. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8 Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau: 2 2 2 cos2 1 2sin ;cos 1 sin   x x x x . Giải     2 2 2 sin 1 10 2sin 1 sin sin 2 0 3sin sin 4 0 4 sin ( ) 3 2 , . 2                        x x x x x x x loai x k k Z   C. Bài tập rèn luyện: Bài 15.Giải các phương trình sau: a) 2 cos 5cos 2 0  x x b) 2 2cos cos 1 0  x x c) 2 cot 4cot 3 0  x x d)  2 tan 1 3 tan 3 0   x x e) cos2 9cos 5 0  x x f) cos2 sin 3 0  x x Bài 16.Giải các phương trình sau: a) 032cos72sin3 2  xx b) 07sin5cos6 2  xx c) 03sin52cos  xx d) 01cos2cos  xx e) 1412cos3sin6 2  xx f) 7cos12sin4 24  xx g) 5cossin8 2  xx Bài 17.Giải các phương trình sau: a) 3 2 sin 3sin 2sin 0  x x x b) 2 2 3 sin 2 2cos 0 4   x x c) 5sin3 cos6 2 0  x x d) 2cos2 cos 1 x x e) 4 2 4sin 3 12cos 3 7 0  x x f) 2 5sin 3sin 2 0  x x Bài 18.Giải các phương trình sau: a)    3 tan cot 2. 2 sin  x x x . b) 1 1 2 cos sin 2 sin 4   x x x . c) 2 6 8 2cos 1 3cos 0 5 5    x x . d) 35 sin 5cos .sin 2 2  x x x . e) sin sin5 3 5  x x . f) sin5 1 5sin  x x . g) 5 7 sin 2 3cos 1 sin ; ;2 2 2 2                            x x x x . Bài 19.Giải các phương trình sau: a)   2 sin 2 3cos2 5 cos 2 6           x x x . b) 1 1 2sin3 2cos3 sin cos   x x x x . c)   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2      x x x x . d) 3 3 1 cos .cos .cos sin sin sin 2 2 2 2 2   x x x x x x . e) 2 cot tan sin 2 sin 2   x x x x . f)   2 sin2 . cot tan2 4cos x x x x . g) 3 tan tan 1 4          x x . h)   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x . i)    3 sin2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sin 3 3     x x x x x x .

9. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9 j) 2 2 1 1 4 sin 4 sin 7 sin sin                x x x x . k) 2 tan tan .tan3 2 x x x (ĐHQG Hà Nội 1996). l)    4 sin3 cos2 5 sin 1  x x x III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng cơ bản :a sin cos ( )x b x c . Cách giải 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 a b c .  Chia hai vế pt( ) cho 2 2 0a b ta được: 2 2 2 2 2 2 a sin cos b c x x a b a b a b .  Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: 2 2 2 2 a cos ;sin b a b a b .  Phương trình trở thành: 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin c c x x x a b a b . Tới đây là dạng cơ bản !!! Cách giải 2:  Kiểm tra xem cos 0 2 2 x x k có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một họ nghiệm này.  cos 0 2 2 x x k , đặt: 2 2 2 1 2 t tan cos ;sin 2 1 1 x t t x x t t . Khi đó phương trình ( ) trở thành : 2 2 0 tan …!b c t at c b t x x Mở rộng 1 :a sin cos sinyx b x c hoặc a sin cos cosyx b x c . Mở rộng 2 :a sin cos siny dcosx b x c y . Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: bababa abbaba sinsincoscos)cos()2 cossincossin)sin()1   B. Bài tập mẫu: Ví dụ 11. Giải phương trình:  3cos2 sin 2 2 11 x x . Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…! Giải   1 3 11 sin 2 3cos2 2 sin 2 cos2 1 sin 2 .cos sin cos2 1 2 2 3 3            x x x x x x    11 sin 2 1 2 , . 3 12             x x k k Z   

12. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12 Ví dụ 19. Giải phương trình:    tan 3cot 4 sin 3cos 19  x x x x . Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn luyện. Giải      2 2sin cos 19 3 4 sin 3cos sin 3cos 4sin cos sin 3cos cos sin         x x x x x x x x x x x x             sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 sin 3 cos 0 sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 0 sin 3 cos 0 sin 3 cos 2sin 2 0                      x x x x x x x x x x x x x x x x x    tan 3 , . 3         x x k k Z     1 3 sin 3cos 2sin 2 sin cos sin 2 2 2       x x x x x x   2 3 sin sin 2 , . 43 2 9                  x k x x k Z x k      So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là:   4 2 ; 2 , . 3 9      x k x k k Z     Ví dụ 20. Giải phương trình:  3 3 sin cos sin cos 20  x x x x . Giải    2 3 2 3 20 sin sin 1 cos cos 0 sin cos cos cos 0         x x x x x x x x       2 2 cos sin cos cos 1 0 cos 0 sin cos cos 1               x x x x x x x x    , . 2     x k k Z     1 1 cos2 sin 2 1 sin 2 cos2 3( ) 2 2           x x x x vn B. Bài tập rèn luyện: Bài 20.Giải các phương trình sau: a)  2sin 2cos 2x x b) sin2 3cos2 2 x x c)  sin4 3 cos4 2x x d) cos 3sin 1  x x e)   3 cos3 sin3 2 0x x f) cos2 2sin2 3 x x Bài 21.Giải các phương trình sau:

13. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13 a)   2sin2 cos2 3 cos4 2x x x b) 2 1 sin 2 sin 2  x x c)                  5 2 2cos 3cos 6 3 2 x x d) 2 2 cos 3sin2 1 sin  x x x e) 2 5sin2 6cos 13 x x f) 2sin3 sin2 3cos2 x x x g)  sin3 sin5 3 cos5 cos3  x x x x h) 3sin4 cos4 sin 3cos  x x x x i)  sin7 cos6 3 sin6 cos7  x x x x j) sin5 3cos5 2cos3 x x x Bài 22.Giải các phương trình sau: a)         4 4 1 sin cos 4 4 x x b) 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3  x x x x x c)    2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x d)   2cos 1 sin cos 1  x x x e)  2cos2 6 cos sin x x x f) 2 sin 3cos sin 3cos 1     x x x x g) 3 4sin 1 3sin 3cos3  x x x h) sin cos4 3cos5 2 sin4 cos  x x x x x i)  4sin2 3cos2 3 4sin 1  x x x j) 2 cos sin 2 3 2cos sin 1     x x x x Bài 23.Giải các phương trình sau: a)   1 tan 3 cos x x b) 3 3sin6 4cos 2 1 3cos2  x x x c)  3 3 5 cos cos3 sin sin3 8 x x x x d) 3 4sin 2 3cos2 5cos 3 0 2          x x x  e) 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  f) cos2 3sin2 3sin cos 4 0    x x x x g)     3 sin cos 2 1 sin2 sin cos 2     x x x x x IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:  2 2 asin sin cos cos 1  x b x x c x d Cách 1:Chia hai vế cho 2 cos x hoặc 2 sin x . Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm này. Bước 2: Xét 0cos x . Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho x2 cos ta được:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos 1 a cos tan tan 1 tan cos cos cos cos          x x x x d b c x a x b x c d x x x x x   2 tan tan 0     a d x b x c d . Dạng 2:  3 2 2 3 asin sin cos sin cos cos 0 2   x b x x c x x d x Dạng 3:  4 3 2 2 3 4 asin sin cos sin cos sin cos cos 0 3    x b x x c x x d x x e x Cách giải: Chia hai vế của (2) cho 3 cos x hoặc 3 sin x. Chia hai vế của (3) cho 4 cos x hoặc 4 sin x rồi làm như trên.

15. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15 2 4 2 2 tan 1tan 1 4 tan 4tan 3 0 , . tan 3tan 3 3                       x kxx x x k Z xx x k     Ví dụ 24. Giải phương trình:  sin2 2tan 3 24 x x . Giải Điều kiện :  cos 0 , 2       x x k k Z .      2 2 2 2 2 2sin cos 1 1 24 2tan . 3. 2tan 2tan 1 tan 3 1 tan cos cos cos         x x x x x x x x x x  3 2 2tan 3tan 4tan 3 0 tan 1 , . 4           x x x x x k k Z   Ví dụ 25. Giải phương trình:  3 sin sin2 sin3 6cos 25 x x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình (25) vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế của phương trình (25) cho 3 cos x được:   3 3 3 3 3 2sin sin cos 3sin 4sin cos 25 6 cos cos cos     x x x x x x x x x   2 3 2 2 3 2 2 3 sin sin 1 sin 2 3 . t 4 6 2tan 3tan 1 tan 4tan 6 0 cos cos cos cos           x x x x x x x x x x x  3 2 tan 2tan 2 tan 2tan 3tan 6 0 , . tan 3 3                 x arc kx x x x k Z x kx    Ví dụ 26. Giải phương trình:  sin3 cos3 2cos 0 26  x x x . Phân tích: Các Em nhớ lại 3 3 sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos   x x x x x x. Khi đó viết lại phương trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x ,nhưng nhớ phải xét cos 0x trước. Giải        3 3 3 3 26 3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0 3sin 4sin 4cos cos 0           x x x x x x x x x TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình   vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của phương trình   cho 3 cos x được:   3 3 2 3 3 2 3sin 1 sin cos cos 1 . 4 4 . 0 cos cos cos cos cos cos       x x x x x x x x x x    2 3 2 3tan 1 tan 4tan 4 1 tan 0      x x x x

16. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16  3 2 tan 1 4 tan tan 3tan 3 0 , . tan 3 3                      x kx x x x k Z x x k     Ví dụ 27. Giải phương trình:  3 2 sin cos 3sin xcos 0 27  x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình  27 vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình 27 nên ta chia hai vế của phương trình  27 cho 3 cos x được:     3 2 2 2 2 3 3 sin 1 cos sin xcos 27 . 3 0 tan tan 1 1 3tan 0 cos cos cos cos          x x x x x x x x x x    3 2 tan 1 4tan 3tan tan 1 0 , . tan 1 2 arctan 1 2                     x kx x x x k Z x x k    Ví dụ 28. Giải phương trình:      2 29 cos 3 2 3cos 4 1 sin 2 , ;2 28 2 3                     x x x x      . Giải    2 2 28 cos 2 3sin4 1 sin 2    x x x TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình   vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của phương trình   cho 2 cos 2x được:   2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 cos2 1 sin 2 2 3 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2      x x x x x x x x  2 tan 2 0 2 2tan 2 2 3 tan 2 0 , . tan 3 6 2                x kx x x k Z x x k    C. Bài tập rèn luyện Bài 24.Giải các phương trình sau: a)  2 2 sin 2cos 3sin cosx x x x b)   2 sin 3sin cos 1x x x c)    2 2 2sin 3cos cos2 5sin2 0x x x x d)   2 2 5sin 2 6sin4 2cos 2 0x x x e)   2 2 5sin 5sin2 4cos 0x x x f)    2 2 2sin 3 10sin6 cos 3 2x x x g)   4 4 sin cos 3sin cos 0x x x x Bài 25.Giải các phương trình sau:

17. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17 a)   1 3sin cos cos x x x b) 2 2 sin 3cos sin2 2  x x x c)   sin3 cos3 sin cosx x x x d)  3 sin3 2cosx x e)    2 sin tan 1 3sin cos sin 3   x x x x x f) 3 sin 4sin cos 0  x x x g)  2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin .cos  x x x x x x h) sin3 cos3 2cos 0  x x x i) 3 5sin 4 .cos 6sin 2cos 2cos2   x x x x x j) 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 tan 1 2      x x x x x V. Phương trình dạng đối xứng: A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:  a sin cos sin cos 0   x x b x x c Cách giải: Đặt   2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2          t t x x t t x x x x thay vào phương trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức. Dạng 2:  a sin cos sin cos 0   x x b x x c Cách giải: Đặt   2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2          t t x x t t x x x x . Dạng 3:    2 2 a tan cot tan cot 0    x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt   22 2 2 2 tan cot , 2 tan cot tan cot 2         t x x t t x x x x t . Dạng 4:    2 2 a tan cot tan cot 0    x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt   22 2 2 2 tan cot tan cot tan cot 2        t x x t x x x x t . Dạng 5:  4 4 a sin cos sin2 0   x x b x c Cách giải: Đặt 4 4 2 21 1 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 2 2        t x t x x x t . Dạng 6:  4 4 a sin cos cos2 0   x x b x c Cách giải: Đặt  4 4 2 2 21 1 1 1 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 2 2 2 2           t x t x x x x t . Dạng 7:  6 6 a sin cos sin2 0   x x b x c Cách giải: Đặt 6 6 2 23 3 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 4 4        t x t x x x t . Dạng 8:  6 6 a sin cos cos2 0   x x b x c Cách giải: Đặt  6 6 2 2 23 3 1 3 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 4 4 4 4           t x t x x x x t . Dạng 9: 4 4 asin cos cos2 0   x b x c x d

26. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 26 a)    3 2 cos cos 2sin 2 0x x x b)  2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin cos  x x x x x x c)   3 sin 4sin cos 0x x x d)     2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x e)   2sin cot 2sin2 1x x x f) 2 2 2sin 2sin tan 4         x x x  g)  2 cos sin1 tan cot 2 cot 1     x x x x x h) 3 8sin cos 6        x x  i)  2cos5 cos3 sin cos8x x x x j) 2 2sin sin2 sin cos 1 0    x x x x k) 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3   x x x x l)   2 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 2 cos 2 4          x x x x  Bài 32.Giải các phương trình sau: a)   tan3 2tan4 tan5 0x x x b)   2 sin 2 1 cos3 sin 2sin 2 0 4           x x x x  c)      2 1 sin cos 1 sin cosx x x x d)      3 sin cos sin2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x e)   3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x f) cos3 cos 1x x g) 2 2 sin sin cos 2cos 0  x x x x h) cos3 sin6 cos9 0  x x x i)   cos sin2 sin sin2 cotx x x x x j) 3 sin4 2sin sin 3cos cos2  x x x x x Bài 33. Giải các phương trình sau: a)                 4cos cos cos sin3 3 3 x x x x b) sin2 3cos 0 x x c)   2 sin2 2sin sin cosx x x x d)       2 sin tan 1 3sin cos sin 3x x x x x e)   cos cos2 sin 0x x x f) 4sin cos 2 sin2  x x x g)   cos2 1 2cos cos sin 0   x x x x h) 2sin2 6 cos 2sin 3 0   x x x i)    3sin2 2cos2 cos4 1 0x x x j)  sin2 2cos 5 cos2 4sin 5cos 3 0     x x x x x ……………………………………………………………………………………………………… Phần 3.Đề Thi Đại Học Cao Đẳng Qua Các Năm Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2         x x x x x Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3      x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a .

27. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 27 b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2          x x x x x x Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:  2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos    x x x x Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2    x x x x x Bài 41. (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos  x x Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình:    4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0     x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2      x x x x x Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2   x x x x Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2         x x x  Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình:  2 cos2 cos 2tan 1 2  x x x Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình:  3 tan tan 2sin 6cos 0   x x x x Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0   x x x Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình:   2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1           x x x  Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình:     2 cos cos 1 2 1 sin sin cos     x x x x x Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2   x x x x Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình:   2 5sin 2 3 1 sin tan  x x x Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình:   2cos 1 2sin cos sin2 sin   x x x x x Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình:  3 3 4 sin cos cos 3sin  x x x x Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1   x x Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos         x x x  Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình:  sin sin2 3 cos cos2  x x x x Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Bài 61. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0    x x x c x

28. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 28 Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2                  c x x x x   Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4          x x c x  Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình:  2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos         x x x  Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình:  6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin     x x x x x Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x    Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8   x x x x Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6          x x  Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình:    2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0   x x x Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1  x x x Bài 76. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0   x x x x Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình:    2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x     Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x         Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2    x x x x x Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình:  2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos   x x x x x Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2                x x x  Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin    x x x x x x

29. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 29 Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12        x x  Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình:   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x   Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình:  2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x    Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình:  2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 0 2 cos         x x x x  Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1         x x x  Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình:    1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình:  3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3     x x x x x x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình:    2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0    x x x x Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x           Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình:  sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x     Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x     Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x    Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x   Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình:  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x   

30. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 30 Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4         x x  Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0  x x x Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2  x x x Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:  2 sin 2cos 2 sin 2  x x x Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức   1 3cos2 2 3cos2  P x x ,biết 2 sin 3 x Hướng dẫn các đề thi đại học Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2         x x x x x Hd: Điều kiện: sin2 1 0 x               3 3 3 3 sin3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos 3 sin cos 4 sin cos sin cos 3 4 1 sin cos sin cos 1 2sin 2 cos sin 1 2sin 2                        x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 5cos 2cos2 3 3 3       pt x x x x   . Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x Hd :     1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12 2 2 2 2 cos12 cos10 cos8 cos6 0 sin9 sin 2 0 , . 9 2                     x x x x pt x x x x k k x x x x k Z   Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x Hd :  3 2 3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 4cos 8cos 0 k , . 2               pt x x x x x x x k Z   Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3      x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a . b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Hd : a) Với a=1/3, sin 2cos 3 0, .    x x x R 2sin cos 1 1 sin cos 0 k , . sin 2cos 3 3 4               x x pt x x x k Z x x   b)       2sin cos 1 2 sin 1 2 cos 3 1 sin 2cos 3              x x pt a a x a x a x x

31. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 31 pt   có nghiệm       2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2         a a a a Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2          x x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0 cos 0 2    x x . Chú ý: cos cos sin sin 12 2sin 1 tan tan sin sin tan 2 coscos cos 2           x x x x x x x x x x x xx Đs: k2 , . x k Z Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:  2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos    x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .        4 4 2 2 2 2 1 pt sin cos 2 sin 2 sin3 1 sin 2 2 sin 2 sin3 2 2 5 2 2 sin 2 1 2sin3 0 18 3 18 3                   x x x x x x x x x x k x k     Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2    x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 9 pt cos 2 5cos2 0 4 6        x x x k   Bài 41: (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos  x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0  x x . 2 2 2 3 5 pt 8sin cos 1 2sin 2 1 0 cos4 0 2 ; 2 ; 2 8 8 8              x x x x x k x k x k       Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình:    4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0     x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Hd : Đặt  sin 2 , 0; 0;1 2          t x x t  .  có nghiệm 2 0; 3 2 3 2           x t t m  có nghiệm  0;1t . Đs: 10 2 3    m . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2      x x x x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 tan 1     x x x .        2 cos cos sin cos sincos sin pt sin sin cos sin cos sin cos sin 1 cos sin sin 0 4                x x x x xx x x x x x x x x x x x x x k  

32. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 32 Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2   x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3        x x x k   . Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2         x x x  Hd : Điều kiện: cos 0x .    pt 1 sin 1 cos sin cos 0 2 4            x x x x x k x k     . Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình:  2 cos2 cos 2tan 1 2  x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .      2 2 2 1 pt 2cos cos 2 1 1 2 1 cos 2cos 5cos 2 0 cos 2 1 2 3                          x x x x x x x k x k    . Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình:  3 tan tan 2sin 6cos 0   x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 2 pt 8cos 4cos 2 1 0 3         x x x k   . Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0   x x x Hd :    2 4 pt 3 1 cos4 2cos 4cos 1 0    x x x  4 2 cos2 2cos 5cos 3 0 ; 4 2          k x x x x x k    . Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình:   2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1           x x x  Hd : Điều kiện: 2cos 1 0 x .  pt sin 3cos 0 2 1 3       x x x k   . Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình:     2 cos cos 1 2 1 sin sin cos     x x x x x Hd : Điều kiện: sin cos 0 x x .     2 pt 1 sin 1 cos 0 ; 2 2          x x x k x k     . Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2   x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3        x x x k   . Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình:   2 5sin 2 3 1 sin tan  x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .

33. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 33      2 sin pt 5sin 2 3 1 sin 1 sin 1 sin       x x x x x 2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình:   2cos 1 2sin cos sin2 sin   x x x x x Hd :   pt 2cos 1 sin cos 0 2 ; 3 4           x x x x k x k     2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình:  3 3 4 sin cos cos 3sin  x x x x Hd : +cos 0x không là nghiệm của phương trình. +cos 0x , Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x   2 pt tan 1 tan 3 0 ; 3 4          x x x k x k     Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1   x x Hd : Bình phương hai vế đưa về phương trình đối xứng sinx và cosx. Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos         x x x  Hd : Nhân tử chung sinx + cosx. Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Hd : Sử dụng công thức chúng tôi và cosa.cosb. Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Hd: 1 1 1 1 pt 2sin cos2 sin3 sin sin5 sin3 2 2 2 2     x x x x x x   1 2sin cos2 sin5 sin 0 2sin cos2 cos2 sin3 0 2       x x x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình:  sin sin2 3 cos cos2  x x x x Hd : Mở rộng 2 phương trình bậc nhất theo sin và cos Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Hd:     1 1 pt 1 cos6 cos2 1 cos2 0 cos6 cos2 1 0 2 2        x x x x x 2 2cos 2 cos2 3 0 2      x x x k  Bài 62. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0    x x x c x Hd:    2 pt sin cos 2cos 1 0 ; k 2 4 3           x x x x k x     Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2                  c x x x x   Hd: 2 2 1 3 pt 1 2sin cos sin 4 sin 2 0 2 2 2                x x x x  2 2sin 2 sin 2 2 0 4       x x x k  

34. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 34 Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4          x x c x  Hd:   5 17 5 pt cos 2 cos ; ; 6 18 18 6              x x x x x      Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Hd : +cos 0x là nghiệm của phương trình, ta có nhận nghiệm 2  x k   . +cos 0x , chia hai vế của phương trình cho 3 cos x pt tan 1 0 4      x x k   Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình:  2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 2 5 pt 2sin sin 1 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 pt tan 1 0 4       x x k   . Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos         x x x  Hd : Điều kiện: sin 0x . 5 pt 2sin 1 0 2 ; 2 6 6        x x k x k     . Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Hd:   pt 2sin 1 sin cos 1 0    x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình:  6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin     x x x x x Hd : Điều kiện: 2 sin 2 x . 2 pt 3sin 2 sin2 4 0   x x . Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 cos 0 2      x x x . cos sin 1 pt 4 sin 2 sin cos 2      x x x x x . Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x    Hd : Cơ bản

35. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 35 Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8   x x x x Hd : 2 pt cos4 2  x . Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6          x x  Hd :  pt sin 3cos sin 2 0   x x x . Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình:    2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0   x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .  2 pt cos2 tan 2 3 0  x x . Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1  x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 77. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0   x x x x Hd : Nhân tử chung sinx+1. Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình:    2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x     Hd : Nhân tử chung cosx + sinx. Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Hd :  cos4 sin7 sin 0 cos4 2sin3 1 0       pt x x x x x Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x         Hd : Bậc nhất theo sin và cos. Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2    x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x .  2 pt cos2 2cos cos 1 0   x x x . Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình:  2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos   x x x x x Hd : 2 2cos 3cos 0 6 6                 pt x x   Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2                x x x  Hd : 3 cos 2cos 2 0 2 4             x pt x  Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin    x x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . pt cos2 cos  x x . Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12        x x 

36. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 36 Hd : áp dung công thức chúng tôi Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình:   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x   Hd : Cách 1: chia 3 cos x . Cách 2: Nhân tử chung là cos2x. Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình:  2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x    Hd : Nhân tử chung là 2cosx+1. Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  Hd : Mở rộng 1 bậc nhất theo sin và cos. Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Hd : chia 3 cos x . Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình:  2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Hd : Đưa về phương trình bậc cao theo sin. Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Hd : 3 pt tan 1  x . Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1         x x x  Hd : Qui đồng và đặt nhân tử chung Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Hd : Nhân tử chung là 2sinx -1. Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình:    1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình:  3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Hd :  3 3 1 sin3 3sin 4sin sin 3sin sin3 4     x x x x x x . Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Hd : Sử dụng công thức chúng tôi Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3     x x x x x x Hd : Nhân tử chung là sin2x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình:    2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0    x x x x Hd : Nhân tử chung là 3-2cosx

37. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 37 Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x           Hd : Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình:  sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Hd:     2 2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0 1 cos2 2sin sin cos2 cos 2 0 2 cos2 sin cos 2 0                pt x x x x x x x x x x x x x x Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x     Hd : Nhân tử chung là 2sinx-1. Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x     Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x    Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      Hd : Nhân tử chung là sinx + 1. Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x   Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình:  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x    Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4         x x  Hd : Nhân tử chung là sinx+cosx. Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Hd : pt sin5 cos2  x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0  x x x Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2  x x x Hd : Nhân tử chung là 2cosx -1. Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:  2 sin 2cos 2 sin 2  x x x Hd : Nhân tử chung là sin 2x sinx+cosx. Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức   1 3cos2 2 3cos2  P x x ,biết 2 sin 3 x

38. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 38 ……………………………………………………………………………………………………… Phần 4.Đề Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia Bài 116. (Quảng Nam) Cho góc  thỏa mản 5sin2 6cos 0   và 0 2     . Tính giá trị của biểu thức:    cos sin 2015 cot 2016 2                 A . Bài 117. (THPT Khoái Châu) Giải phương trình: 2 2 sin sin cos 2cos 0  x x x x . Bài 118. (THPT Trần Hưng Đạo) Giải phương trình: 2cos5 cos3 sin cos8 x x x x . Bài 119. (Chuyên Vinh) Giải phương trình: cos sin2 sin sin2 cot  x x x x x . Bài 120. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 1) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 cos 2 4          x x x . Bài 121. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 2) Giải phương trình: 2 sin sin 2 2 sin 0 4           x x x . Bài 122. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 3) Giải phương trình: cos2 7cos 4 0  x x . Bài 123. (Lê Quý Đôn – Tây Ninh) Cho góc x thỏa mản tan 2x . Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 8cos 2sin cos 2cos sin     x x x P x x . Bài 124. (THPT Mạc Đỉnh Chi) Giải phương trình: sin2 cos sin 1  x x x . Bài 125. (THPT Nguyễn Huệ lần1) Giải phương trình: 2 sin2 2cos 3sin cos  x x x x. Bài 126. (THPT Nguyễn Huệ lần2) Giải phương trình: 4sin5 sin 2cos4 3 x x x . Bài 127. (THPT Nguyễn Hữu Huân) Giải phương trình: 2 2 cos 3cos 3sin 3sin 0   x x x x . Bài 128. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình:   sin2 sin cos 1 2sin cos 3 0     x x x x x . Bài 129.(THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình: sin2 2sin 2cos 2 0   x x x . Bài 130. (THPT Nguyễn Trãi) Giải phương trình: cos2 sin3 2cos2 sin 0  x x x x . Bài 131. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình:  2cos 1 sin 3cos 0  x x x . Bài 132. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 3 4 sin cos 1 x x . Bài 133. (TTLT Diệu Hiền lần1) Giải phương trình: sin2 3sin cos2 cos 1   x x x x . Bài 134. (TTLT Diệu Hiền lần2) Giải phương trình:  cos2 4sin 1 3sin2 1  x x x . Bài 135. (TTLT Diệu Hiền lần3) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0  x x x . Bài 136. (TTLT Diệu Hiền lần4) Giải phương trình: sin2 2sin 1 cos2  x x x. Bài 137. (TTLT Diệu Hiền lần5) Giải phương trình: 3sin2 cos2 2cos 1  x x x . Bài 138. (TTLT Diệu Hiền lần6) Giải phương trình:  2sin 2 3 2 3cos sin  x x x . Bài 139. (TTLT Diệu Hiền lần7) Giải phương trình: sin2 sin 2 4cos  x x x . Bài 140. (TTLT Diệu Hiền lần8) Cho 1 cos , ; 3 2          x x . Tính 1 2tan 1 tan    x P x . Bài 141. (TTLT Diệu Hiền lần9) Giải phương trình:   2 cos 2sin 1 cos 2 2sin   x x x x . Bài 143. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 1) Cho 3 2     x .Chứng minh đẳng thức:

39. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 39 1 cos 1 cos cot 2 41 cos 1 cos              x x x x x . Bài 144. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Giải phương trình:   3 tan 2 cot 1 sin 4 sin 2cos sin 3 2 2           x x x x x x . Bài 145. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Giải phương trình: 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3   x x x x . Bài 146. (THPT-Đặng Thúc Hứa- Nghệ An) Giải phương trình: cos2 sin 1 3sin2  x x x . Bài 147. (Toán học và Tuổi Trẻ) Giải phương trình:   2 tan cot 2 1 sin 4cos 4sin 5   x x x x x . Bài 148. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 2) Giải phương trình: 2 2 2 cos sin 2 sin sin cos 6 6                 x x x x x . Bài 149. (THPT Đông Sơn) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x . Bài 150. (THPT Gang Thép) Giải phương trình: cos sin sin2 cos2 1   x x x x . Bài 151. (THPT Gia Viễn) Giải phương trình:    cos 1 cos sin sin 1  x x x x . Bài 152. (THPT Hàn Thuyên lần1) Giải phương trình: 4sin 2sin 2 3cos cos2 2sin 2 3 3                     x x x x x . Bài 153. (THPT Hàn Thuyên lần2) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0  x x x . Bài 154. (THPT Hàn Thuyên lần3) Giải phương trình: 2 cos2 sin cos 0  x x x . Bài 155. (THPT Hùng Vương) Giải phương trình:   2 cos sin 3cos 1 2cos   x x x x . Bài 156. (THPT Chu Văn An) Giải phương trình: 21 sin sin 2 1 cos cos 2    x x x x. Bài 157. (THPT Cẩm Bình) Giải phương trình: 2 1 cos2 cot 2 1 sin    x x x . Bài 158. (THPT Thanh Chương-Nghệ An) Giải phương trình:  sin2 cos2 1 3 sin cos   x x x x . Bài 159. (Bình Dương) Giải phương trình: 2 sin 3cos 2 4cos  x x x . Bài 160. (Lâm Đồng) Giải phương trình: 2 sin cos 1 sin 2 2 2         x x x . Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí ắt làm nên! Chủ Tịch Hồ Chí Minh

Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!