Cập nhật thông tin chi tiết về Đại Số Và Vi Tích Phân Refresher mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Một số phép toán khác
CS 229 – Học máy
Đại số tuyến tính và Giải tích cơ bản Star
Bởi Afshine Amidi và Shervine Amidi
Dịch bởi Hoàng Minh Tuấn và Phạm Hồng Vinh
Kí hiệu chung
Định nghĩa
Vectơ Chúng ta kí hiệu $xinmathbb{R}^n$ là một vectơ với $n$ phần tử, với $x_iinmathbb{R}$ là phần tử thứ $i$:
[x=left(begin{array}{c}x_1\x_2\vdots\x_nend{array}right)inmathbb{R}^n]
Ma trận Kí hiệu $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ là một ma trận với $m$ hàng và $n$ cột, $A_{i,j}inmathbb{R}$ là phần tử nằm ở hàng thứ $i$, cột $j$:
[A=left(begin{array}{ccc}A_{1,1}& cdots&A_{1,n}\vdots&& vdots\A_{m,1}& cdots&A_{m,n}end{array}right)inmathbb{R}^{mtimes n}]
Ghi chú: vectơ $x$ được xác định ở trên có thể coi như một ma trận $ntimes1$ và được gọi là vectơ cột.
Ma trận chính
Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị $Iinmathbb{R}^{ntimes n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0:
[I=left(begin{array}{cccc}1&0& cdots&0\0& ddots& ddots& vdots\vdots& ddots& ddots&0\0& cdots&0&1end{array}right)]
Ghi chú: với mọi ma trận vuông $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$, ta có $Atimes I=Itimes A=A$.
Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo $Dinmathbb{R}^{ntimes n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính khác 0 và các phần tử còn lại bằng 0:
[D=left(begin{array}{cccc}d_1&0& cdots&0\0& ddots& ddots& vdots\vdots& ddots& ddots&0\0& cdots&0&d_nend{array}right)]
Ghi chú: chúng ta kí hiệu $D$ là $textrm{diag}(d_1,…,d_n)$.
Các phép toán ma trận
Phép nhân
Vectơ/vectơ Có hai loại phép nhân vectơ/vectơ:
– phép nhân inner: với $x,yinmathbb{R}^n$, ta có:
[boxed{x^Ty=sum_{i=1}^nx_iy_iinmathbb{R}}]
– phép nhân outer: với $xinmathbb{R}^m, yinmathbb{R}^n$, ta có:
[boxed{xy^T=left(begin{array}{ccc}x_1y_1& cdots&x_1y_n\vdots&& vdots\x_my_1& cdots&x_my_nend{array}right)inmathbb{R}^{mtimes n}}]
Ma trận/vectơ Phép nhân giữa ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ và vectơ $xinmathbb{R}^{n}$ là một vectơ có kích thước $mathbb{R}^{m}$:
[boxed{Ax=left(begin{array}{c}a_{r,1}^Tx\vdots\a_{r,m}^Txend{array}right)=sum_{i=1}^na_{c,i}x_{i}inmathbb{R}^{m}}]
với $a_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}$ là các vectơ cột của $A$, và $x_i$ là các phần tử của $x$.
Ma trận/ma trận Phép nhân giữa ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ và $Binmathbb{R}^{ntimes p}$ là một ma trận kích thước $mathbb{R}^{mtimes p}$:
[boxed{AB=left(begin{array}{ccc}a_{r,1}^Tb_{c,1}& cdots&a_{r,1}^Tb_{c,p}\vdots&& vdots\a_{r,m}^Tb_{c,1}& cdots&a_{r,m}^Tb_{c,p}end{array}right)=sum_{i=1}^na_{c,i}b_{r,i}^Tinmathbb{R}^{ntimes p}}]
với $a_{r,i}^T, b_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}, b_{c,j}$ lần lượt là các vectơ cột của $A$ và $B$.
Một số phép toán khác
Chuyển vị Chuyển vị của một ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$, kí hiệu $A^T$, khi các phần tử hàng cột hoán đổi vị trí cho nhau:
[boxed{forall i,j,quadquad A_{i,j}^T=A_{j,i}}]
Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^T=B^TA^T$
Nghịch đảo Nghịch đảo của ma trận vuông khả đảo $A$ được kí hiệu là $A-1$ và chỉ tồn tại duy nhất:
[boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I}]
Ghi chú: không phải tất cả các ma trận vuông đều khả đảo. Ngoài ra, với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Truy vết Truy vết của ma trận vuông $A$, kí hiệu $textrm{tr}(A)$, là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của nó:
[boxed{textrm{tr}(A)=sum_{i=1}^nA_{i,i}}]
Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, chúng ta có $textrm{tr}(A^T)=textrm{tr}(A)$ và $textrm{tr}(AB)=textrm{tr}(BA)$
Những tính chất của ma trận
Định nghĩa
Phân rã đối xứng Một ma trận $A$ đã cho có thể được biểu diễn dưới dạng các phần đối xứng và phản đối xứng của nó như sau:
[boxed{A=underbrace{frac{A+A^T}{2}}_{textrm{Symmetric}}+underbrace{frac{A-A^T}{2}}_{textrm{Antisymmetric}}}]
Chuẩn Một chuẩn (norm) là một hàm $N:Vlongrightarrow[0,+infty[$ mà $V$ là một không gian vectơ, và với mọi $x,yin V$, ta có:
– $N(x+y)leqslant N(x)+N(y)$ – nếu $N(x)=0$, thì $x=0$
Chuẩn Kí hiệu Định nghĩa Trường hợp dùng
Manhattan, $L^1$ LASSO regularization
Euclidean, $L^2$ $displaystylesqrt{sum_{i=1}^nx_i^2}$ Ridge regularization
$p$-norm, $L^p$ $displaystyleleft(sum_{i=1}^nx_i^pright)^{frac{1}{p}}$ Hölder inequality
Infinity, $L^{infty}$ Uniform convergence
Sự phụ thuộc tuyến tính – Một tập hợp các vectơ được cho là phụ thuộc tuyến tính nếu một trong các vectơ trong tập hợp có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.
Ghi chú: nếu không có vectơ nào có thể được viết theo cách này, thì các vectơ được cho là độc lập tuyến tính
Hạng ma trận (rank) Hạng của một ma trận $A$ kí hiệu $textrm{rank}(A)$ và là số chiều của không gian vectơ được tạo bởi các cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$.
Ma trận bán xác định dương Ma trận $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$ là bán xác định dương (PSD) kí hiệu $Asucceq 0$ nếu chúng ta có:
[boxed{A=A^T}quadtextrm{ và }quadboxed{forall xinmathbb{R}^n,quad x^TAxgeqslant0}]
Giá trị riêng, vectơ riêng Cho ma trận $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$, $lambda$ được gọi là giá trị riêng của $A$ nếu tồn tại một vectơ $zinmathbb{R}^nbackslash{0}$, được gọi là vectơ riêng, sao cho:
[boxed{Az=lambda z}]
Định lý phổ Cho $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$. Nếu $A$ đối xứng, thì $A$ có thể chéo hóa bởi một ma trận trực giao thực $Uinmathbb{R}^{ntimes n}$. Bằng cách kí hiệu $Lambda=textrm{diag}(lambda_1,…,lambda_n)$, chúng ta có:
[boxed{existsLambdatextrm{ đường chéo},quad A=ULambda U^T}]
Phân tích giá trị suy biến Đối với một ma trận $A$ có kích thước $mtimes n$, Phân tích giá trị suy biến (SVD) là một kỹ thuật phân tích nhân tố nhằm đảm bảo sự tồn tại của đơn vị $U$ $mtimes m$, đường chéo $Sigma$m×n và đơn vị $V$ $ntimes n$ ma trận, sao cho:
[boxed{A=USigma V^T}]
Giải tích ma trận
Gradien Cho $f:mathbb{R}^{mtimes n}rightarrowmathbb{R}$ là một hàm và $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ là một ma trận. Gradien của $f$ đối với $A$ là ma trận $mtimes n$, được kí hiệu là $nabla_A f(A)$, sao cho:
[boxed{Big(nabla_A f(A)Big)_{i,j}=frac{partial f(A)}{partial A_{i,j}}}]
Ghi chú: gradien của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số.
Hessian Cho $f:mathbb{R}^{n}rightarrowmathbb{R}$ là một hàm và $xinmathbb{R}^{n}$ là một vectơ. Hessian của $f$ đối với $x$ là một ma trận đối xứng $ntimes n$, ghi chú $nabla_x^2 f(x)$, sao cho:
[boxed{Big(nabla_x^2 f(x)Big)_{i,j}=frac{partial^2 f(x)}{partial x_ipartial x_j}}]
Ghi chú: hessian của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số.
Các phép toán của gradien Đối với ma trận $A$,$B$,$C$, các thuộc tính gradien sau cần để lưu ý:
[boxed{nabla_Atextrm{tr}(AB)=B^T}quadquadboxed{nabla_{A^T}f(A)=left(nabla_Af(A)right)^T}]
Hàm Số Khả Vi Và Vi Phân Toàn Phần
Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 biến khi cho cả hai biến số thay đổi.
Xét hàm số và là điểm thuộc miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng tương ứng sao cho . Khi đó, giá trị của hàm số sẽ thay đổi một lượng:
Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm nếu số gia toàn phần có thể biểu diễn được dưới dạng:
(1)
trong đó A, B là những số không phụ thuộc Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0
Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại ứng với các số gia Δx, Δy và được ký hiệu
Xét hàm số . Ta có:
Hay:
Do đó:
Cho nên hàm số khả vi tại và
1. Xét ,
Cho thì . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:
Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.
Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:
, 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ.
2. Ta không thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số như ở ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại 1 điểm. Vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.
3. Hàm số được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.
2. Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số khả vi)
Nếu hàm số khả vi tại thì nó liên tục tại điểm đó.
Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:
Vậy:
Do đó, hàm số liên tục tại .♦
1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại thì sẽ không khả vi tại điểm đó.
2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.
Nếu f(x;y) khả vi tại thì nó có các đạo hàm riêng tại và chúng tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm số khả vi.
Thật vậy, từ công thức (1) ta cho , ta được:
trong đó α →0 khi Δx → 0.
Do đó:
Vậy
Hoàn toàn tương tự ta có:
1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại thì vi phân toàn phần của hàm số tại được xác định bởi:
2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:
Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:
Tương tự ta có: nhưng hàm số G(x;y) không liên tục tại (0; 0) ( xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không khả vi tại (0;0)
4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số khả vi)
Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm . Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.
1. Cho hàm:
Tính và . Hàm có khả vi tại (0;0) hay không?
Giải
Để tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm
Ta có:
tương tự: = =
Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.
Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.
Do đó:
Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do đó nó không khả vi tại (0;0)
2. Tìm vi phân của hàm số:
Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi nên khả vi tại mọi điểm . Khi đó ta có:
Đôi lời
Tích Phân Hàm Phân Thức Luyện Thi Đại Học
Published on
Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học
1. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨCI. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức Có dạng x m (a bx n ) p dx với a, b R , m, n, p Q, n, p 0 Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1Cụ thể xét bộ ba số p; ; p n nTH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n m 1 s pTH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n n rĐặc biệt r- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n s r- Nếu p Z và p 2,3,… ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3 sTPTP hai lần, … m 1 s a bx nTH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr n r xnBài tập giải mẫu:TH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 dxBài 1: Tính tích phân sau I 1 x 1 x Giải: 4 1 4 1 dx 1Ta có I x 1 x 2 dx 1 x 1 x 1 1Nhận xét: m 1, n , p 1 Z q 2 2Cách 1: x t2Đặt x t dx 2tdt 1
2. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 4 t 2Đổi cận x 1 t 1 2 2 2 t dt 1 1 2 4Khi đó I 2 2 dt 2 2 2 ln t ln 1 t 2 ln 1 1 t 1 t t 1 t 1 t 1 t 1 3Cách 2: x t 1 2 Đặt 1 x t dx 2 t 1 dt x 4 t 3Đổi cận x 1 t 2 2 t 1 dt 3 dt 3 1 1 3 4Khi đó I 2 2 2 2 dt 2 ln t 1 ln t 2ln 2 2 t 1 t t 1 t 2 t 1 t 2 3 m 1 s pTH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n n rĐặc biệt r- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n s r- Nếu p Z và p 2,3,… ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3 sTPTP hai lần, … 1Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I x 3 1 x 2 dx 0Giải: 1 1Phân tích I x 3 1 x 2 dx x 2 1 x 2 .xdx 0 0 1 m 1Nhận xét: m 3, n 2, p 2 2 nCách 1: x2 1 t 2Đặt t 1 x 2 xdx tdt x 1 t 0Đổi cận x 0 t 1 0 1 1 1 1 1 2Khi đó I t 1 t 2 2 dt t 1 t dt t 2 2 2 t 4 dt t 3 t 5 3 5 0 15 1 0 0Cách 2: 2
3. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x2 1 t 2Đặt t 1 x dt xdx 2 x 1 t0Đổi cận x 0 t 1 1 0 1 1 1 1 1 3 3 3 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2Khi đó I t 1 t dt t 1 t dt t t dt t t 2 21 20 2 0 23 3 15 0Cách 4:Đặt x cos t dx sin tdt 2 2Khi đó I sin 2 t cos 3 tdt sin 2 t 1 sin 2 t cos tdt 0 0Cách 4.1.Đặt sin t u cos tdt duKhi đó 1 1 u 3 u5 1 2I u 2 (1 u 2 )du u 2 u 4 du 0 0 3 5 0 15Cách 4.2. 2 2 sin 3 t sin 5 t 2 2 I sin t 1 sin t d sin t 2 2 4 sin t sin t d sin t 2 . 0 0 3 5 0 15Cách 4.3. 12 1 2 1 cos 4t 12 12I sin 2 2t costdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt 40 40 2 80 80Cách 5: 1 1 1 1 I x2 1 x 2 d 1 x 2 1 x2 1 1 x 2 d 1 x 2 20 20 1 3 1 1 1 1 20 1 x2 d 1 x 1 x2 20 2 2 d 1 x 2 2 dtCách 3: Đặt t x 2 xdx 2 7 x 3 dxBài 3: Tính tích phân I 3 0 x2 1Giải : x2 t 3 1 3 2Cách 1: Đặt t x 1 3 2 xdx t dt 2 3
4. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 7 t 2Đổi cận x 0 t 1 3 t 1 .t dt 3 7 2 3 2 2 x 2 .xdx 3 t 5 t 2 2 93Khi đó I t t dt 4 0 3 x2 1 2 1 t 21 2 5 2 1 10Cách 2: x2 t 1 Đặt t x 2 1 dt xdx 2 x 7 t 8Đổi cận x 0 t 1 1 t 1 dt 1 3 3 8 8 2 1 5 2 13 3 3 3 8Khi đó I 1 t t dt t t 21 3 2 1 25 2 1 t 2 x3 xCách 3: Phân tích x 3 x x 2 1 x x x 2 1 3 3 2 3 2 x 1 x 1Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u x 2 du 2 xdx 1 d x 1 2Đặt x 3 3 dv dx v x 2 1 2 3 2 x 1 2 3 x2 1 4 4 dxBài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I x 7 x2 9Giải:Phân tích 4 4 1 dx x x 9 dx 1 2I x 2 7 x2 9 7 1 m 1Nhận xét: m 1, n 2, p 0 2 n x2 t 2 9Đặt t x 2 9 xdx tdt x 4 t 5Đổi cận x 7 t 4 4 5 5 xdx tdt dt 1 t 3 5 1 7Khi đó I x 2 ln ln 7 2 x2 9 4 t (t 2 9) 4 t 9 6 t 3 4 6 4Cách 2: 4
6. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vnCách 2: x t 1Đặt t x 1 dx dt x 2 t 3Đổi cận x 0 t 1Khi đó 3 3 t 4 t 3 3 34I t 1 t dt t 3 t 2 dt 2 1 1 4 3 1 3Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 2Ta có x x 1 x x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 2 x 4 2 x 3 x 2 2 34Khi đó I x3 2 x 2 x dx 0 4 3 2 0 3Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 2 3 2Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 4 3 2 3 2 2 2 3 2 2 x 1 x 1 34Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x 1 x 1 d x 1 0 0 0 0 4 3 3 m 1 s a bx nTH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr n r xn 2 dxBài 7: Tính tích phân sau I 1 x 4 1 x2Giải: 1 m 1 x2 1 2Nhận xét: m 2; n 2; p p 2 Z nên đặt t 2 n x2 2 1 x t2 1 1 x2 Đặt 2 t2 tdt x xdx 2 t 2 1 5 x 2 t Đổi cận 2 x 1 t 2 Ta có 5 3 2I 2 dx 2 dx 2 t 2 1 tdt 2 t3 t 1 dt t 2 7 5 8 2 t . 2 5 1 x4 1 x2 1 x6 1 1 2 t 2 1 5 3 24 2 x2 2 6
7. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 1Bài 8: Tính tích phân sau: I 1 x x 3 3 dx . 1 x4 3HD: 1 1 1 1 1 3 1Ta có I 2 1 . 3 dx x 3 1 x 2 3 dx 1 x x 1 3 3 1 m 1Nhận xét: m 3, n 2, p 1 Z 3 n 1 dt dxĐặt t 2 1 3 …. I 6 bạn đọc tự giải x 2 x 3 dxBài 9: Tính tích phân sau I 3 (1 x 2 )3 2Giải : 3 m 1Ta có m 0; n 2; p p 1 Z 2 n 1 2 2 x 1 2 t2 1 x Đặt 2 t x xdx tdt (t 2 1) 2 x 3 2 3 t Đổi cận 3 3 x t 3 2 3 3 3 3 xdx tdt dt 1 1Khi đó I 2 2 3 1 .t 2 .t 2 3 t t 2 2 3 (1 x ) 1 x 2 2 2 3 (t 1) . 2 3 2 x4. 2 . 3 2 (t 1) 2 3 3 x xBài tập tự giải: 2 dxBài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I 1 x x3 1HD: 3×2 dx dtĐặt t x3 1 dt dx 2 2 x3 1 x x3 1 t 1 4 dx 1 7Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I x ln 7 x2 1 6 4 7
8. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 2 dx Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I 2 x x2 1 12 3Cách 1: x dx xdx dt dtĐặt t x 2 1 dt dx 2 và t tanu , u , 2 du . x2 1 x x2 1 x2 x2 1 t 1 2 2 t 1 1 dxCách 2: Đặt t , t 0; dt cos t 2 x x2 1 1 π 1C1: Đặt x với t 0; hoặc x cos t 2 sin tC2: Đặt x 2 1 tC3: Đặt x 2 1 t 1C4: Đặt x tC5: Phân tích 1 x 2 1 x 2 1 x3Bài 4: Tính tích phân I dx 0 1 x2 1C1: Đặt x tan tC2: Phân tích x 3 x x 2 1 x u x 2 C3: Đặt x dv dx x2 1C4: Đặt x tC5: Phân tích x 3 dx x 2 xdx x 2 1 1 d x 2 1 7 x3 141Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I dx 0 3 1 x 2 20 2 x4Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I dx 0 x5 1 3 14 3Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I x 3 x 2 1 dx 1 5 9 468Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I x. 3 1 x dx 1 7 1 2 2 1Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I x x 2 1dx 0 3 3 848Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I x 3 1.x5 dx 0 105 8
9. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 1 6 3 8Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I x3 . x 2 3dx 0 5 1 8Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I x5 1 x 2 dx 0 105 1 x 1Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I 2 dx ln 2 0 1 x 2 1 2Bài 14: Tính tích phân I x 2 2 x 3 dx 0 9 3 32 2 Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang chúng tôi – 2007) Tính tích phân 3 dx 3 I x x 1 1 2 2 1 3 12 2 3 dx 2 3Bài 16: Tính tích phân I 3 x2 x 2 1 3 2 2b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức pMở rộng I u m x a bu n x d u x với với a, b R , m, n, p Q, n, p 0 Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau m 1 s pNếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bu n x hoặc t a bu n x n r rĐặc biệt : Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bu n x sTa xét các thí dụ sau đây ln 5 e2 xThí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I dx ln 2 ex 1Lời giải. ln 5 ln 5 1 e2 x Ta có I e 1 ln 2 x ln 2 dx e x 1 e x 2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 m 1m n 1, p 2 Z và u x e x 2 n x 2 e t 2 1 xĐặt e 1 t x e dx 2tdt x ln 5 t 2Đổi cận x ln 2 t 1 2 t 2 1 tdt 2 2 2 2 20Khi đó I 2 t 3 1 2 t 2 1 dt t 3 2t 1 3 1 1 9
10. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn Cách khác: Đặt e x 1 t e 1 3ln x .ln x Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I dx 1 x Lời giải. e e 1 1 3ln x .ln x Ta có I dx ln x 1 3ln x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m n 1, p 2 Z và u x ln x 2 n t2 1 ln x 3 Đặt 1 3ln x t 2 dx 2 tdt x 3 x e t 2 Đổi cận x 1 t 1 2 2 2 t2 1 2 2 2 t 5 t 3 2 116 Khi đó I t dt (t 4 t 2 )dt 31 3 91 9 5 3 1 135 Cách khác: t 1 3ln x e ln x. 3 2 ln 2 x Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I dx 1 x Lời giải. e e 1 ln x. 3 2 ln 2 x Ta có I dx ln x 1 ln 2 x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m 1, n 2, p 1 Z và u x ln x 3 n 3 2 ln x Đặt t 3 2 ln 2 x t dt dx 2 x x e t 3 3 Đổi cận x 1 t 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 t4 3 3 3 232 2 Khi đó I t.t dt t dt . 2 32 2 4 3 2 8 3 3 23 2 Cách khác: Đặt 2 ln 2 x t e ln x Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I 2 dx 1 x 2 ln x Lời giải. 10
11. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn e 2 ln x 2Ta có I 2 dx ln x 2 ln x d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 2 ln x 1 m 1m 1, n 1, 2 Z , p 2 Z và u x ln x n ln x t 2 Đặt t 2 ln x dx x dt 3 t 2 1 2 3 2 3 3 1Khi đó I 2 dt 2 dt ln t ln 2 t 2t t t2 2 3 ln 3 e x dxThí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I 3 0 e x 1Lời giải. ln 3 ln 3 1 e x dx e xTa có I 1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 3 0 e x 1 0 1 m 1m 0, n 1, p 1 Z và u x e x 2 nĐặt t e 1 2tdt e x dx dx 2tdt 2 x 2 tdt 12Khi đó I 2 3 2. 2 1 2 t t 2 2 dxThí dụ 6. Tính tích phân sau I 1 x x3 5Lời giải. 2 2 dx 1Ta có I 5 3 x 3 1 x 2 dx đây là tích phân nhị thức với m 3, n 2, p 1 Z 1 x x 1 x2 t 1 Đặt t x 2 1 dt xdx 2 x 2 t 5Đổi cận x 1 t 2 2 2 1 xTa có I dx dx 1 3 x x 1 2 1 x 4 x 2 1 1 1 1 5 5 dt 1 1 1 t 5 3 1 5Khi đó I 2 2 dt ln 2 ln 2 ln t t 1 2 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 1 8 2 2 2 11
12. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 2 dx Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I 39 1 x Lời giải. x 2 dx 39 m 1 Ta có I 39 x 2 1 x dx đây là tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 39 Z 3 Z 1 x n Đặt t 1 x x 1 t dx dt Khi đó 2 1 t dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 I 39 39 dt 2 38 dt 37 dt 38 37 C với t 1 x t t t t 38 t 37 t 36 t 36 2 sin 2 chúng tôi x Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos x Lời giải. Phân tích 2 sin 2 chúng tôi x 2 sin chúng tôi 2 x 2 1 I dx 2 dx 2 cos 2 x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức 0 1 cos x 0 1 cos x 0 với m 2, n 1, p 1 Z và u x cos x dt sin xdx Đặt t 1 cos x cos x t 1 x t 1 Đổi cận 2 x 0 t 2 2 1 t 1 2 1 t2 2 Khi đó I 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2 ln 2 1 2 t 1 t 2 1 2 2 Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I sin x cos x 1 cos x dx 0 Lời giải. 2 2 2 2 Ta có I sin x cos x 1 cos x dx cos x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 0 m 1, n 1, p 2 Z và u x cos x sin xdx dt Đặt t 1 cos x cos x t 1 12
13. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 1 2 t 4 t 3 2 17Khi đó I t 1 t 2 dt t 3 t 2 dt 2 1 4 3 1 12Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính nhưtrong lý thuyết 2 sin 2 x sin xThí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I dx 0 1 3cos xLời giải. 2 sin x 2 cos x 1 2 1 2 1Ta có I dx 2 cos x 1 3cos x d cos x 1 3cos x 2 d cos x 2 0 1 3cos x 0 0 I1 I2 m 1Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u x cos x với I1 ta có m n 1 2 Z và với I 2 n m 1ta có m 0, n 1 1 Z . nVậy chung qui lại ta có thể t2 1 cos x 3Đặt 1 3cos x t 2 sin x dx 2dt 1 3cos x 3 x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 2 4t 2 2 4 2 2 34Khi đó I dt t 3 t 1 9 9 27 9 1 27 2 sin 3 xThí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos xLời giải. 2 2 3 2 sin 3 x 3sin x 4sin x 1Ta có I dx dx 4cos 2 x 1 1 cos x d cos x thì đây chính là tổng của 0 1 cos x 0 1 cos x 0 m 1hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 1 Z 3 Z và u x cos x nên ta n cos x t 1đặt t 1 cos x dt sin xdx 13
14. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 2 1 4 t 1 1 2 3 2Khi đó I dt 4t 8 dt 2t 2 3ln t 8t 3ln 2 2 2 t 1 t 1Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau e3 ln 2 x 76Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I x dx 1 ln x 1 15 ln 2 2x e 2 2Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I dx 0 x e 1 3 e ln x 42 2Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = x. dx 1 1 ln x 3 e 3 2 ln x 10 2 11Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I x dx 1 2 ln x 1 3 e ln x 1Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I dx (ln 2 1) 1 x ln x 1 2 2 e log 3 x 2 4Bài 7: Tính tích phân sau I dx 1 x 1 3ln x 2 27 ln 3 2 ln 8 ln 8Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I e x 1.e 2 x dx e x 1.e x .e x dx ln 3 ln 3Bài 9: Tính tích phân sau I ln 5 e x 1 e x dx ln 2 ex 1 2 sin 4 x 3Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I 2 dx 2 6 ln 0 1 cos x 4 2 3 15Bài 11: Tính tích phân sau I sin 2 x 1 sin 2 x dx 0 4 2 sin x cos 3 xBài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos 2 x 6 sin 3 x sin 3 3 x 1 1Bài 13: Tính tích phân I dx ln 2 0 1 cos 3 x 6 3 14
15. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 3 dx 6Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I xx 3 ln 0 2 3 x dx 1 1 3 1 3 1 1 1Bài 15: Tìm nguyên hàm I 10 6 7 8 C ( x 1) 6 ( x 1) 7 ( x 1) 8 ( x 1) 9 ( x 1)9 15
Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 gồm 184 trang do nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam phát hành, đây là cuốn SGK Đại số và Giải tích 11 chính thống được dành cho học sinh khối 11. Sách được sử dụng cho giáo viên giảng dạy và học sinh học tập tại các trường THPT và cơ sở giáo dục trên toàn quốc với các kiến thức Toán căn bản mà mọi học sinh lớp 11 cần có. Sách còn giúp bạn đọc tra cứu các kiến thức chuẩn Đại số và Giải tích 11.
Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 được bộ Giáo Dục và Đào Tạo biên soạn và phát hành. Sách gồm năm chương tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích …
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Hàm số lượng giác
Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Bài 1. Quy tắc đếm
Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bài 3. Nhị thức Niu – Tơn
Bài 4. Phép thử và biến cố
Bài 5. Xác suất và biến cố
Ôn tập chương II – Tổ hợp – Xác suất
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
Bài 2. Dãy số
Bài 3. Cấp số cộng
Bài 4. Cấp số nhân
Ôn tập chương III – Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
Bài 1. Giới hạn của dãy số
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Bài 3. Hàm số liên tục
Ôn tập chương IV – Giới hạn
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 4 – Đại số và Giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 4 – Đại số và Giải tích 11
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 4. Vi phân
Bài 5. Đạo hàm cấp hai
Ôn tập chương V – Đạo hàm
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 5 – Đại số và Giải tích 11
ÔN TẬP CUỐI NĂM – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
Bạn đang xem bài viết Đại Số Và Vi Tích Phân Refresher trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!