Cập nhật thông tin chi tiết về Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán học máy vì đa số các các thuộc tính của hiện tượng ta theo dõi không phải chỉ có 1 mà rất nhiều tham số. Các tham số này được liên kết với nhau một cách đặc biệt bởi các hàm số khác nhau để có thể đưa ra được các kết quả mong muốn. Nên việc tìm hiểu về hàm nhiều biến là rất cần thiết để có thể hiểu được các lý thuyết của học máy. $$ mathsf{D} subset mathbb{R}^n, f: mathsf{D} mapsto mathbb{R} $$ Hay: $$ (x_1, x_2, …, x_n) mapsto f(x_1, x_2, …, x_n) in mathbb{R} $$
Hay biểu diễn dưới dạng véc-tơ: $$ [x]_n in mathbb{R}^n mapsto f(x) in mathbb{R} $$
Ví dụ, cho $ x, y in mathbb{R} $ và khi đó ánh xạ $ z = f(x, y) = x^2 + y^2 $ gọi là hàm số của biến $ x, y $.
Khi làm việc với các bài toán học máy đầu ra của ta có thể không phải là một số mà là 1 tập các số nên ta thường xuyên phải làm việc với các hàm nhiều biến dạng mở rộng kiểu này. Tập các số đầu ra này ta có thể biểu diễn dưới dạng một véc-tơ, hay nói cách khác hàm nhiều biến của ta sẽ cho kết quả là một véc-tơ. Những hàm như vậy được gọi là hàm véc-tơ $ f: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m $. Ví dụ: $$ f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $$
Để tiện giải thích và minh hoạ, trong bài này tôi sẽ đề cập tới trường hợp hàm của ta có 2 biến số. Tuy nhiên các tính chất, phép toán và phương pháp làm việc có thể mở rộng ra cho các hàm nhiều biến số hơn.
2. Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng theo 1 biến của một hàm số là đạo hàm theo biến đó với giả thuyết rằng các biến khác là hằng số. Cụ thể, cho hàm số $ f(x, y) $ và một điểm $ M(x_0, y_0) $ thuộc tập xác định của hàm, khi đó đạo hàm theo biến $ x $ tạo điểm $ M $ được gọi là đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ tại $ M $. Lúc này $ y $ sẽ được cố định bằng giá trị $ y_0 $ và hàm của ta có thể coi là hàm 1 biến của biến $ x $.
Đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ lúc này sẽ được kí hiệu là: $ f_x^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{x}} $, còn đạo hàm theo biến $ y $ được biểu diễn tương tự: $ f_y^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{y}} $.
Với tôi thì tôi thích biểu diễn dưới dạng $ f_x^{prime} $ vì dễ nhìn và không bị nhầm lẫn với phân số.
Ví dụ: $ f(x, y) = x^2y + sin(y) $ sẽ có đạo hàm $ f_x^{prime} = 2xy $ và $ f_y^{prime} = x^2 + cos(y) $.
Còn $displaystyle f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $ có đạo hàm là $displaystyle f_x^{prime} = begin{bmatrix} 2x & 2y end{bmatrix} $ và $displaystyle f_y^{prime} = begin{bmatrix} cos(y) & 2x + 2y end{bmatrix} $
Một cách hình thức đạo hàm riêng tại điểm $ M(x_0, y_0) $ theo biến $ x $ được tính toán như sau:
$$ f_x^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{triangle_xf}{triangle_x} = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{f(x_0 + triangle_x, y_0) – f(x_0, y_0)}{triangle_x} $$
Theo biến $ y $:
$$ f_y^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{triangle_yf}{triangle_y} = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{f(x_0, y_0 + triangle_y) – f(x_0, y_0)}{triangle_y} $$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = 2xy crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = x^2 + 2y end{cases} $$
và có đạo hàm cấp 2 là:
$ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x^2}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2y crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y}partial{x}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2x end{cases} $ $ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x}partial{y}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2x crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y^2}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2 end{cases} J = nabla{f} = begin{bmatrix} nabla{f_1} & cdots & nabla{f_n} end{bmatrix} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_1}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_1}}} cr vdots & ddots & vdots cr displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_m}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_m}}} end{bmatrix} begin{cases} f_x^{prime} = f_u^{prime}u_x^{prime} + f_v^{prime}v_x^{prime} cr f_y^{prime} = f_u^{prime}u_y^{prime} + f_v^{prime}v_y^{prime} end{cases} $$
Nhìn hơi khó nhớ phải không? Giờ ta viết lại dưới dạng giống như phân số thì chắc là dễ nhớ hơn chút:
$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}}} end{cases} begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{y}}} end{cases} $$
Với hàm ẩn của hàm véc-tơ thì đạo hàm cũng được tính tương tự như vậy, nhưng có chút khác biệt khi ta sử dụng phép toán của véc-tơ. Giả sử ta có hàm véc-tơ $ f(g, h) $ có đầu ra là véc-tơ $ overrightarrow{v}(x, y) = begin{bmatrix} g(x, y) cr h(x, y) end{bmatrix} $ thì đạo hàm riêng của $ f $ sẽ là:
$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{y}}} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{x}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{x}}} end{bmatrix} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{y}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{y}}} end{bmatrix} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_x} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_y} end{cases} $$
Như vậy ta có thể thấy đạo hàm của hàm hợp véc-tơ có thể tính bằng tích của gradient hàm hợp với đạo hàm riêng véc-tơ đầu ra.
6. Đạo hàm của hàm ẩn
Hàm ẩn là một hàm mà ta chưa biết dạng của nó nhưng ta biết rằng nó có thể biểu diễn qua một biến khác trong hàm số. Hơi khó hiểu chút ha!
Cho $ f(x, y) = 0 $, lúc này ta nói $ y(x) $ là hàm ẩn khi tồn tại $ y = y_0 $ sao cho $ f(x, y_0) = 0 $ với mọi $ x $. Khi đó ta còn có thể coi $ f $ là hàm một biến theo $ x $.
Mặc dù chưa biết dạng của $ y(x) $ nhưng lúc này ta có thể tính được đạo hàm của nó như sau: $displaystyle y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $
Đương nhiên là khi đó $ f_y^{prime} not = 0 $ thì công thức mới xác định được. Ta có thể chứng minh đơn giản như sau:
$$ f(x, y) = 0 implies f(x, y)^{prime} = 0 iff f_x^{prime} + f_y^{prime}y_x^{prime} = 0 iff y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $$
Viết dưới dạng loằng ngoằng ta sẽ được:
$$ frac{dy}{dx} = -frac{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}}{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}} $$
Trường hợp tổng quá cũng sẽ được tính tương tự. Ví dụ: $ f(x, y, u) $ có hàm ẩn $ u(x, y) $ thì đạo hàm riêng của $ u $ sẽ được tính như sau:
$$ begin{cases} displaystyle{u_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_u^{prime}}} crcr displaystyle{u_y^{prime} = -frac{f_y^{prime}}{f_u^{prime}}} end{cases} $$
Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit
Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit
Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Bài toán 1: Giới hạn của hàm số mũ, hàm số Logarit
Phương pháp
Chúng ta có các dạng giới hạn đặc biệt sau:
Mở rộng: Ta có
Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 thì:
Đồng thời
Quy tắc vẫn đúng với x → ∞
Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
Phương pháp:
– Hàm số lũy thừa:
– Hàm số mũ:
– Hàm số Logarit:
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
a) Ta biến đổi
b) Ta biến đổi
c) Ta biến đổi
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giới hạn sau
Hiển thị đáp án
Bài 2: Tìm giới hạn sau
Hiển thị đáp án
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 2
Hiển thị đáp án
Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x).
Hiển thị đáp án
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số
Hiển thị đáp án
Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số
Hiển thị đáp án
Bài 7: Tính đạo đạo hàm của hàm số y=log 3(x+1)-2ln(x-1)+2x tại điểm x = 2
Hiển thị đáp án
Bài 8: Cho hàm số . Tính tổng T
Bài 9: Cho . Tính giá trị biểu thức S
Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x 2 + e 2). Nếu thì giá trị m bằng bao nhiêu?
Hiển thị đáp án
Ta có
Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp
Đạo Hàm Với Vec
begin{aligned} frac{partial{y_3}}{partial{x_7}} &= frac{partial}{partial{x_7}}Big(W_{3,1}x_1+W_{3,2}x_2+ldots+W_{3,7}x_7+ldots+W_{3,m}x_mBig) cr &= 0 + 0 + ldots + W_{3,7} + ldots + 0 cr &= W_{3,7} end{aligned} $$
Tương tự với các thành phần khác của $y$ và $x$ ta sẽ có:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{i,j}$$
1.3. Gộp kết quả lại
Nhóm kết quả lại ta sẽ thu được ma trận Jacobi $mathbf{J}inmathbb{R}^{nm}$:
$$ begin{bmatrix} dfrac{partial{y_1}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_m}} crcr dfrac{partial{y_2}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_m}} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr dfrac{partial{y_n}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_m}} end{bmatrix} =begin{bmatrix} W_{1,1} & W_{1,2} & dots & W_{1,m} crcr W_{2,1} & W_{1,2} & dots & W_{2,m} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr W_{n,1} & W_{n,2} & dots & W_{n,m} end{bmatrix} $$
Điều này tương đương với chuyện đạo hàm của $mathbf{y}=mathbf{W}mathbf{x}$ theo $mathbf{x}$ chính là ma trận $mathbf{W}$: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
Bằng phép phân tích như trên, ta có thể thấy việc tính đạo hàm không hề khó khăn nếu ta cứ bóc tách nhỏ tầng thành phần ra để tính riêng biệt rồi gộp kết quả lại.
1.4. Hoán đổi vec-tơ cột với hàng
Tương tự nếu, $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ là véc-tơ hàng được tạo bởi tích của vec-tơ hàng $mathbf{x}inmathbb{R}^{1m}$ ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$:
$$mathbf{y}=mathbf{x}mathbf{W}$$
Thì đạo hàm riêng:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{j,i}$$
Như vậy, đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo véc-tơ $mathbf{x}$ là: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
2. Trên 2 chiều thì làm thế nào?
2.1. Ví dụ 1
Giờ ta thử tính đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo ma trận $mathbf{W}$ xem sao: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{W}}$$
Lúc này, $mathbf{y}$ là dữ liệu 1 chiều còn $mathbf{W}$ là dữ liệu 2 chiều, nên đạo hàm sẽ ở dạng dữ liệu mảng 3 chiều (ten-xơ 3 chiều).
Tương tự như phép phân tích ở trên, ta thí dụ tính đạo hàm riêng của $y_3$ là phần tử thứ 3 của véc-tơ $mathbf{y}$ theo $W_{7,8}$ là phần tử ở hàng 7, cột 8 của ma trận $mathbf{W}$:
$$y_3=x_1W_{1,3}+x_2W_{2,3}+dots+x_mW_{m,3}$$
Ở đây, rõ ràng là $y_3$ khônng hề phụ thuộc vào $W_{7,8}$ nên đạo hàm riêng tương ứng là $0$:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{7,8}}}=0$$
Tuy vậy, $y_3$ lại phụ thuộc vào cột thứ 3 của ma trận $mathbf{W}$ nên đạo hàm riêng của nó theo các phần tử cột này là khác không, ví dụ đạo hàm riêng của $y_3$ theo $W_{2,3}$ là:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{2,3}}}=x_2$$
Một cách tổng quát, ta có: $$ frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu ta gọi $mathsf{F}inmathbb{R}^{mnn}$ là ten-xơ 3 chiều biểu diễn cho đạo hàm của vec-tơ $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ theo ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$: $$F_{i,j,k}=frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}}$$
Khi đó, ta có: $$ F_{i,j,k} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu sử dụng ma trận $mathbf{G}inmathbb{R}^{mn}$, sao cho: $$G_{i,j}=F_{i,j,i}$$
thì ta có thể thấy rằng $mathbf{G}$ có thể lưu trữ đầy đủ thông tin đạo hàm riêng, hay nói cách khác ta có thể sử dụng dữ liệu 2 chiều để biểu diễn đạo hàm của thay vì dữ liệu 3 chiều như ten-xơ $mathsf{F}$ ở trên.
Lưu ý tới điểm này bởi nó rất hay được sử dụng khi tính đạo hàm trong mạng NN để tận dụng khả năng tính toán của các thư viện.
2.2. Ví dụ 2
Ở ví dụ này, thay vì véc-tơ $mathbf{x}inmathbb{R}^{1,m}$ ta tổng quát hoá thành ma trận $mathbf{X}inmathbb{R}^{nm}$, ta có:
$$mathbf{Y}=mathbf{X}mathbf{W}$$
Lúc đó, mỗi thành phần của $mathbf{Y}$ sẽ được biểu diễn như sau: $$Y_{i,j}=sum_{k=1}^mX_{i,k}W_{k,j}$$
Dễ dàng có thể thấy đạo hàm riêng của $Y_{a,b}$ theo $X_{c,d}$ là: $$ frac{partial{Y_{a,b}}}{partial{X_{c,d}}} = begin{cases} W_{d,b} ~~~ text{if } a=c cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu lấy $mathbf{Y}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{Y}$ và $mathbf{X}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{X}$ thì rõ ràng: $$frac{partial{mathbf{Y}_{i,:}}}{partial{mathbf{X}_{i,:}}}=W$$
Đây cũng chính là trường hợp tổng quát của công thức tính đạo hàm ở phần 1.
3. Quy tắc chuỗi
Quy tắc chuỗi dùng để tính đạo hàm của hàm hợp sẽ được áp dụng thế nào cho các phép kết hợp của véc-tơ, ma trận?
Giả sử, ta có các véc-tơ cột $mathbf{y}$ và $mathbf{x}$: $$mathbf{y} = mathbf{V}mathbf{W}mathbf{x}$$
Thử tính đạo hàm của $mathbf{y}$ theo $mathbf{x}$ xem sao. Đầu tiên ta nhận xét rằng, tích của 2 ma trận $mathbf{V}$ và $mathbf{W}$ chỉ đơn giản là một ma trận khác $mathbf{U}$, vì thế ta có: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{V}mathbf{W}=mathbf{U}$$
Tuy nhiên, để hiểu được quy tắc chuỗi áp dụng ra sao thì ta sẽ đưa vào các kết quả trung gian để sử dụng được quy tắc chuỗi trong trường hợp này. Giả sử véc-tơ $mathbf{z}$ được định nghĩa như sau: $$mathbf{z}=mathbf{W}mathbf{x}$$
Thì: $$mathbf{y}=mathbf{V}mathbf{z}$$
Từ đây, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi như sau: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=frac{dmathbf{y}}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dmathbf{x}}$$
Để chắc chắn rằng ta thực sự hiểu ý nghĩa của nó là gì, ta lại vận dụng chiến lược phân tách ở trên để phân tích các thành phần ra, bắt đầu với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{y}$ với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{x}$:
$$frac{dy_i}{dx_j}=frac{dy_i}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dx_j}$$
Áp dụng tiếp quy tắc chuỗi của hàm nhiều biến, giả sử rằng $mathbf{z}$ có $K$ thành phần thì ta có: $$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^Kfrac{dy_i}{dz_k}frac{dz_k}{dx_j}$$
Như đã chứng minh ở trên (đạo hàm của véc-tơ theo véc-tơ) thì ta có: $$ begin{aligned} frac{dy_i}{dz_k} &= V_{i,k} cr frac{dz_k}{dx_j} &= W_{k,j} end{aligned} $$
Nên ta có:
$$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^KV_{i,k}W_{k,j}=mathbf{V}_{i,:}mathbf{W}_{:,j}$$
Tới đây, ta được điều phải chứng minh.
Như vậy, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi trong nhóm của các véc-tơ và ma trận bằng cách:
Bóc tách các kết quả và biến trung gian để biểu diễn
Biểu diễn quy tắc chuỗi cho từng thành phân riêng của đạo hàm đích
Lấy tổng lại các kết quả trung gian với quy tắc chuỗi.
Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông: Giải Tích Hàm Nhiều Biến Số (Giải Tích 2)
Thông tin tài liệu
Title: Giải tích hàm nhiều biến số (Giải tích 2) Authors: Phạm, Ngọc Anh
Publisher: Học viện công nghệ Bưu chính Viễn thông URI: http://dlib.ptit.edu.vn/HVCNBCVT/1311 Appears in Collections:Khoa cơ bản
ABSTRACTS VIEWS
648
VIEWS & DOWNLOAD
12
Files in This Item:
Xin lỗi! Thư viện chưa thể cung cấp tài liệu bạn yêu cầu vì bạn không thuộc đối tượng phục vụ tài liệu số dạng toàn văn. Bạn có thể tham khảo bản in của tài liệu này tại Phòng đọc Thư viện (Tầng 1 – Nhà A3 hoặc gửi email yêu cầu về địa chỉ: ilc@ptit.edu.vn)
Bạn đang xem bài viết Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!