Cập nhật thông tin chi tiết về Đạo Hàm Với Vec mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
begin{aligned} frac{partial{y_3}}{partial{x_7}} &= frac{partial}{partial{x_7}}Big(W_{3,1}x_1+W_{3,2}x_2+ldots+W_{3,7}x_7+ldots+W_{3,m}x_mBig) cr &= 0 + 0 + ldots + W_{3,7} + ldots + 0 cr &= W_{3,7} end{aligned} $$
Tương tự với các thành phần khác của $y$ và $x$ ta sẽ có:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{i,j}$$
1.3. Gộp kết quả lại
Nhóm kết quả lại ta sẽ thu được ma trận Jacobi $mathbf{J}inmathbb{R}^{nm}$:
$$ begin{bmatrix} dfrac{partial{y_1}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_m}} crcr dfrac{partial{y_2}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_m}} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr dfrac{partial{y_n}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_m}} end{bmatrix} =begin{bmatrix} W_{1,1} & W_{1,2} & dots & W_{1,m} crcr W_{2,1} & W_{1,2} & dots & W_{2,m} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr W_{n,1} & W_{n,2} & dots & W_{n,m} end{bmatrix} $$
Điều này tương đương với chuyện đạo hàm của $mathbf{y}=mathbf{W}mathbf{x}$ theo $mathbf{x}$ chính là ma trận $mathbf{W}$: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
Bằng phép phân tích như trên, ta có thể thấy việc tính đạo hàm không hề khó khăn nếu ta cứ bóc tách nhỏ tầng thành phần ra để tính riêng biệt rồi gộp kết quả lại.
1.4. Hoán đổi vec-tơ cột với hàng
Tương tự nếu, $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ là véc-tơ hàng được tạo bởi tích của vec-tơ hàng $mathbf{x}inmathbb{R}^{1m}$ ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$:
$$mathbf{y}=mathbf{x}mathbf{W}$$
Thì đạo hàm riêng:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{j,i}$$
Như vậy, đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo véc-tơ $mathbf{x}$ là: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
2. Trên 2 chiều thì làm thế nào?
2.1. Ví dụ 1
Giờ ta thử tính đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo ma trận $mathbf{W}$ xem sao: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{W}}$$
Lúc này, $mathbf{y}$ là dữ liệu 1 chiều còn $mathbf{W}$ là dữ liệu 2 chiều, nên đạo hàm sẽ ở dạng dữ liệu mảng 3 chiều (ten-xơ 3 chiều).
Tương tự như phép phân tích ở trên, ta thí dụ tính đạo hàm riêng của $y_3$ là phần tử thứ 3 của véc-tơ $mathbf{y}$ theo $W_{7,8}$ là phần tử ở hàng 7, cột 8 của ma trận $mathbf{W}$:
$$y_3=x_1W_{1,3}+x_2W_{2,3}+dots+x_mW_{m,3}$$
Ở đây, rõ ràng là $y_3$ khônng hề phụ thuộc vào $W_{7,8}$ nên đạo hàm riêng tương ứng là $0$:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{7,8}}}=0$$
Tuy vậy, $y_3$ lại phụ thuộc vào cột thứ 3 của ma trận $mathbf{W}$ nên đạo hàm riêng của nó theo các phần tử cột này là khác không, ví dụ đạo hàm riêng của $y_3$ theo $W_{2,3}$ là:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{2,3}}}=x_2$$
Một cách tổng quát, ta có: $$ frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu ta gọi $mathsf{F}inmathbb{R}^{mnn}$ là ten-xơ 3 chiều biểu diễn cho đạo hàm của vec-tơ $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ theo ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$: $$F_{i,j,k}=frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}}$$
Khi đó, ta có: $$ F_{i,j,k} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu sử dụng ma trận $mathbf{G}inmathbb{R}^{mn}$, sao cho: $$G_{i,j}=F_{i,j,i}$$
thì ta có thể thấy rằng $mathbf{G}$ có thể lưu trữ đầy đủ thông tin đạo hàm riêng, hay nói cách khác ta có thể sử dụng dữ liệu 2 chiều để biểu diễn đạo hàm của thay vì dữ liệu 3 chiều như ten-xơ $mathsf{F}$ ở trên.
Lưu ý tới điểm này bởi nó rất hay được sử dụng khi tính đạo hàm trong mạng NN để tận dụng khả năng tính toán của các thư viện.
2.2. Ví dụ 2
Ở ví dụ này, thay vì véc-tơ $mathbf{x}inmathbb{R}^{1,m}$ ta tổng quát hoá thành ma trận $mathbf{X}inmathbb{R}^{nm}$, ta có:
$$mathbf{Y}=mathbf{X}mathbf{W}$$
Lúc đó, mỗi thành phần của $mathbf{Y}$ sẽ được biểu diễn như sau: $$Y_{i,j}=sum_{k=1}^mX_{i,k}W_{k,j}$$
Dễ dàng có thể thấy đạo hàm riêng của $Y_{a,b}$ theo $X_{c,d}$ là: $$ frac{partial{Y_{a,b}}}{partial{X_{c,d}}} = begin{cases} W_{d,b} ~~~ text{if } a=c cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu lấy $mathbf{Y}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{Y}$ và $mathbf{X}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{X}$ thì rõ ràng: $$frac{partial{mathbf{Y}_{i,:}}}{partial{mathbf{X}_{i,:}}}=W$$
Đây cũng chính là trường hợp tổng quát của công thức tính đạo hàm ở phần 1.
3. Quy tắc chuỗi
Quy tắc chuỗi dùng để tính đạo hàm của hàm hợp sẽ được áp dụng thế nào cho các phép kết hợp của véc-tơ, ma trận?
Giả sử, ta có các véc-tơ cột $mathbf{y}$ và $mathbf{x}$: $$mathbf{y} = mathbf{V}mathbf{W}mathbf{x}$$
Thử tính đạo hàm của $mathbf{y}$ theo $mathbf{x}$ xem sao. Đầu tiên ta nhận xét rằng, tích của 2 ma trận $mathbf{V}$ và $mathbf{W}$ chỉ đơn giản là một ma trận khác $mathbf{U}$, vì thế ta có: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{V}mathbf{W}=mathbf{U}$$
Tuy nhiên, để hiểu được quy tắc chuỗi áp dụng ra sao thì ta sẽ đưa vào các kết quả trung gian để sử dụng được quy tắc chuỗi trong trường hợp này. Giả sử véc-tơ $mathbf{z}$ được định nghĩa như sau: $$mathbf{z}=mathbf{W}mathbf{x}$$
Thì: $$mathbf{y}=mathbf{V}mathbf{z}$$
Từ đây, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi như sau: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=frac{dmathbf{y}}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dmathbf{x}}$$
Để chắc chắn rằng ta thực sự hiểu ý nghĩa của nó là gì, ta lại vận dụng chiến lược phân tách ở trên để phân tích các thành phần ra, bắt đầu với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{y}$ với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{x}$:
$$frac{dy_i}{dx_j}=frac{dy_i}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dx_j}$$
Áp dụng tiếp quy tắc chuỗi của hàm nhiều biến, giả sử rằng $mathbf{z}$ có $K$ thành phần thì ta có: $$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^Kfrac{dy_i}{dz_k}frac{dz_k}{dx_j}$$
Như đã chứng minh ở trên (đạo hàm của véc-tơ theo véc-tơ) thì ta có: $$ begin{aligned} frac{dy_i}{dz_k} &= V_{i,k} cr frac{dz_k}{dx_j} &= W_{k,j} end{aligned} $$
Nên ta có:
$$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^KV_{i,k}W_{k,j}=mathbf{V}_{i,:}mathbf{W}_{:,j}$$
Tới đây, ta được điều phải chứng minh.
Như vậy, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi trong nhóm của các véc-tơ và ma trận bằng cách:
Bóc tách các kết quả và biến trung gian để biểu diễn
Biểu diễn quy tắc chuỗi cho từng thành phân riêng của đạo hàm đích
Lấy tổng lại các kết quả trung gian với quy tắc chuỗi.
Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số
Hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán học máy vì đa số các các thuộc tính của hiện tượng ta theo dõi không phải chỉ có 1 mà rất nhiều tham số. Các tham số này được liên kết với nhau một cách đặc biệt bởi các hàm số khác nhau để có thể đưa ra được các kết quả mong muốn. Nên việc tìm hiểu về hàm nhiều biến là rất cần thiết để có thể hiểu được các lý thuyết của học máy. $$ mathsf{D} subset mathbb{R}^n, f: mathsf{D} mapsto mathbb{R} $$ Hay: $$ (x_1, x_2, …, x_n) mapsto f(x_1, x_2, …, x_n) in mathbb{R} $$
Hay biểu diễn dưới dạng véc-tơ: $$ [x]_n in mathbb{R}^n mapsto f(x) in mathbb{R} $$
Ví dụ, cho $ x, y in mathbb{R} $ và khi đó ánh xạ $ z = f(x, y) = x^2 + y^2 $ gọi là hàm số của biến $ x, y $.
Khi làm việc với các bài toán học máy đầu ra của ta có thể không phải là một số mà là 1 tập các số nên ta thường xuyên phải làm việc với các hàm nhiều biến dạng mở rộng kiểu này. Tập các số đầu ra này ta có thể biểu diễn dưới dạng một véc-tơ, hay nói cách khác hàm nhiều biến của ta sẽ cho kết quả là một véc-tơ. Những hàm như vậy được gọi là hàm véc-tơ $ f: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m $. Ví dụ: $$ f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $$
Để tiện giải thích và minh hoạ, trong bài này tôi sẽ đề cập tới trường hợp hàm của ta có 2 biến số. Tuy nhiên các tính chất, phép toán và phương pháp làm việc có thể mở rộng ra cho các hàm nhiều biến số hơn.
2. Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng theo 1 biến của một hàm số là đạo hàm theo biến đó với giả thuyết rằng các biến khác là hằng số. Cụ thể, cho hàm số $ f(x, y) $ và một điểm $ M(x_0, y_0) $ thuộc tập xác định của hàm, khi đó đạo hàm theo biến $ x $ tạo điểm $ M $ được gọi là đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ tại $ M $. Lúc này $ y $ sẽ được cố định bằng giá trị $ y_0 $ và hàm của ta có thể coi là hàm 1 biến của biến $ x $.
Đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ lúc này sẽ được kí hiệu là: $ f_x^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{x}} $, còn đạo hàm theo biến $ y $ được biểu diễn tương tự: $ f_y^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{y}} $.
Với tôi thì tôi thích biểu diễn dưới dạng $ f_x^{prime} $ vì dễ nhìn và không bị nhầm lẫn với phân số.
Ví dụ: $ f(x, y) = x^2y + sin(y) $ sẽ có đạo hàm $ f_x^{prime} = 2xy $ và $ f_y^{prime} = x^2 + cos(y) $.
Còn $displaystyle f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $ có đạo hàm là $displaystyle f_x^{prime} = begin{bmatrix} 2x & 2y end{bmatrix} $ và $displaystyle f_y^{prime} = begin{bmatrix} cos(y) & 2x + 2y end{bmatrix} $
Một cách hình thức đạo hàm riêng tại điểm $ M(x_0, y_0) $ theo biến $ x $ được tính toán như sau:
$$ f_x^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{triangle_xf}{triangle_x} = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{f(x_0 + triangle_x, y_0) – f(x_0, y_0)}{triangle_x} $$
Theo biến $ y $:
$$ f_y^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{triangle_yf}{triangle_y} = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{f(x_0, y_0 + triangle_y) – f(x_0, y_0)}{triangle_y} $$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = 2xy crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = x^2 + 2y end{cases} $$
và có đạo hàm cấp 2 là:
$ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x^2}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2y crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y}partial{x}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2x end{cases} $ $ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x}partial{y}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2x crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y^2}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2 end{cases} J = nabla{f} = begin{bmatrix} nabla{f_1} & cdots & nabla{f_n} end{bmatrix} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_1}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_1}}} cr vdots & ddots & vdots cr displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_m}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_m}}} end{bmatrix} begin{cases} f_x^{prime} = f_u^{prime}u_x^{prime} + f_v^{prime}v_x^{prime} cr f_y^{prime} = f_u^{prime}u_y^{prime} + f_v^{prime}v_y^{prime} end{cases} $$
Nhìn hơi khó nhớ phải không? Giờ ta viết lại dưới dạng giống như phân số thì chắc là dễ nhớ hơn chút:
$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}}} end{cases} begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{y}}} end{cases} $$
Với hàm ẩn của hàm véc-tơ thì đạo hàm cũng được tính tương tự như vậy, nhưng có chút khác biệt khi ta sử dụng phép toán của véc-tơ. Giả sử ta có hàm véc-tơ $ f(g, h) $ có đầu ra là véc-tơ $ overrightarrow{v}(x, y) = begin{bmatrix} g(x, y) cr h(x, y) end{bmatrix} $ thì đạo hàm riêng của $ f $ sẽ là:
$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{y}}} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{x}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{x}}} end{bmatrix} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{y}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{y}}} end{bmatrix} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_x} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_y} end{cases} $$
Như vậy ta có thể thấy đạo hàm của hàm hợp véc-tơ có thể tính bằng tích của gradient hàm hợp với đạo hàm riêng véc-tơ đầu ra.
6. Đạo hàm của hàm ẩn
Hàm ẩn là một hàm mà ta chưa biết dạng của nó nhưng ta biết rằng nó có thể biểu diễn qua một biến khác trong hàm số. Hơi khó hiểu chút ha!
Cho $ f(x, y) = 0 $, lúc này ta nói $ y(x) $ là hàm ẩn khi tồn tại $ y = y_0 $ sao cho $ f(x, y_0) = 0 $ với mọi $ x $. Khi đó ta còn có thể coi $ f $ là hàm một biến theo $ x $.
Mặc dù chưa biết dạng của $ y(x) $ nhưng lúc này ta có thể tính được đạo hàm của nó như sau: $displaystyle y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $
Đương nhiên là khi đó $ f_y^{prime} not = 0 $ thì công thức mới xác định được. Ta có thể chứng minh đơn giản như sau:
$$ f(x, y) = 0 implies f(x, y)^{prime} = 0 iff f_x^{prime} + f_y^{prime}y_x^{prime} = 0 iff y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $$
Viết dưới dạng loằng ngoằng ta sẽ được:
$$ frac{dy}{dx} = -frac{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}}{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}} $$
Trường hợp tổng quá cũng sẽ được tính tương tự. Ví dụ: $ f(x, y, u) $ có hàm ẩn $ u(x, y) $ thì đạo hàm riêng của $ u $ sẽ được tính như sau:
$$ begin{cases} displaystyle{u_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_u^{prime}}} crcr displaystyle{u_y^{prime} = -frac{f_y^{prime}}{f_u^{prime}}} end{cases} $$
Giải Sbt Toán 12 Ôn Tập Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ là nguồn thông tin hữu ích để giúp các bạn học sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập.
Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 1
Bài 1.49 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: y = 4x 3 + mx (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.
Hướng dẫn làm bài:
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x 0; y 0) thì f′(x 0)=12x 20+1=13 (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: x 0=±1
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là y=13x±8
c) Vì y’ = 12x 2 + m nên: m≥0:y′′=−6(m 2+5m)x+12m
Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi m≥0:y′′=−6(m 2+5m)x+12m
+) Với m < 0 thì y=0⇔x=±√−m/12
Từ đó suy ra:
y’ < 0 với −√−m/12<x<√−m/12
Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng (−∞;−√−m/12),(√−m/12;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−√−m/12;√−m/12)
Bài 1.50 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
b) Chứng minh rằng phương trình: x 3 + mx 2 – 3 = 0 (2) luôn luôn có một nghiệm dương với mọi giá trị m thuộc R.
c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số y=x 3+mx 2 −3 xác định và có đạo hàm trên R.
y′=3x 2+2mx=x(3x+2m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:
Muốn vậy phải có m≠0
Vậy với mọi m, phương trình x 3 + mx 2 – 3 = 0 luôn luôn có nghiệm dương.
c) Phương trình f(x) = x 3 + mx 2 – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là:
⇔4m 3<81⇔m=(m≠0)
Bài 1.51 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Hướng dẫn làm bài:
a)
Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.
Ta xét các trường hợp:
+) m 2+5m=0⇔ m=0;m=−5
– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.
– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua.
+) Với m 2+5m≠0 Khi đó, y’ không đổi dấu nếu
⇔3m 2+5m≤0⇔−5/3≤m≤0
Vậy với điều kiện −5/3≤m≤0 thì hàm số đồng biến trên R.
b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y'(1) = 0. Khi đó:
y′(1)=−3m 2 −3m+6=0⇔m=1;m=−2
Mặt khác, y′′=−6(m 2+5m)x+12m
+) Với m = 1 thì y” = -36x + 12. Khi đó, y”(1) = -24 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Bài 1.52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số y=(a−1)x 3/3+ax 2+(3a−2)x
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a=3/2
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có:
y′=(a−1)x 2+2ax+3a−2.
+) Với a = 1, y’ = 2x + 1 đổi dấu khi x đi qua −1/2. Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với a≠1 thì với mọi x mà tại đó y′≥0
(y’ = 0 chỉ tại x = -2 khi a = 2)
Vậy với a≥2 hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
y=0⇔x[(a−1)x 2/3+ax+3a−2]=0
⇔x[(a−1)x 2+3ax+9a−6]=0
y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:
(a−1)x 2+3ax+9a−6=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Muốn vậy, ta phải có:
a−1≠0
9a−6≠0
Giải hệ trên ta được:
10−√28/9<a<2/3;2/3<a<1;1<a<10+√28/9
c) Khi a=3/2 thì y=x 3/6+3x 2/2+5x/2
y′=0⇔x 2+6x+5=0⇔x=−1;x=−5
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Vì
Bài 1.53 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: x 3 – 3x 2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).
Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
y′=3x 2 −6x=3x(x−2)
y′=0⇔x=0;x=2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0),(2;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y CĐ = y(0) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = y(2) = -4.
Giới hạn: lim x→±∞ y=±∞
Điểm uốn: y′′=6x−6,y′′=0⇔x=1;y(1)=−2
Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại O(0; 0), A(3; 0). Đồ thị đi qua điểm B(-1; -4); C(2; -4).
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra:
– 4 < m < 0.
Bài 1.54 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y=1/6x−1
(Đề thi tốt nghiếp THPT năm 2010)
Hướng dẫn làm bài:
a) Học sinh tự giải
b) Ta có: y′=−4x 3 −2x
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=1/6x−1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là – 6. Vì vậy:
⇔2(x 3 −1)+(x−1)=0
⇔(x−1)(2x 2+2x+3)=0
Ta có: y(1) = 4
Phương trình phải tìm là: y – 4 = -6(x – 1) ⇔ y = -6x +10
Bài 1.55 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Hướng dẫn làm bài:
a)
y′=0⇔x=−1;x=0;x=1
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Để (C m) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y CT = 0.
+) Nếu m≤0 thì x 2 −m≥0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.
⇔m 2(m−2)=0⇔m=2
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số y=3(x+1)/x−2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C).
c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
Hướng dẫn làm bài:
a) Học sinh tự giải
b) Cách 1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0(x 0; y 0) là:
Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:
+) Với x 0=−1+√3, ta có phương trình tiếp tuyến: y=−3/2(2+√3)x
+) Với x 0=−1−√3, ta có phương trình tiếp tuyến: y=−3/2(2−√3)x
Cách 2.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: y=3(x+1)/x−2 và y = kx, ta giải hệ:
Giải phương trình thứ nhất ta được: x=−1±√3
Thay vào phương trình thứ hai ta có:
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: y=−3/2(2+√3)x và y=−3/2(2−√3)x
c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:
y=3(x+1)/x−2⇔y=3+9/x−2y=3(x+1)x−2⇔y=3+9x−2
Điều kiện cần và đủ để M(x,y)∈(C) có tọa độ nguyên là:
{x∈Z;9/x−2∈Z
tức (x – 2) là ước của 9.
Khi đó, x – 2 nhận các giá trị ±1;±3;±9 hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.
Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).
Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
y=x+2/x−3
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).
c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Hướng dẫn làm bài:
a) Học sinh tự giải
b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:
{x=X+3;y=Y+1
Ta được Y+1=X+5/X⇔Y=X+5/X−1⇔Y=5/X
Vì Y=5/X là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.
c) Giả sử M(x 0;y 0)∈(C). Gọi d 1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d 2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:
Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ x 0=3±√5
Bài 1.58 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh rằng phương trình: 3x 5 + 15x – 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số 3x 5 + 15x – 8 = 0 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.
Giải Dùm Mấy Bài Giải Tích Hàm Này Với.
Chứng minh rằng: f(x, y) liên tục tại (0;0)
2, Xét tính khả vi
3, Tìm cực trị của hàm z=xy (Với điều kiện x+y=1)
2, Xét tính khả vi
Hàm 2 biến, hình như đây là Toán cao cấp A1………………………..
Vâng, chuẩn đấy ạ.
Câu 1: f(x, y) liên tục tại (0;0) nếu lim f(x, y) khi (x,y) tiến về (0;0) bằng f((0;0))
nghĩa là e tính lim xy/căn (x^2+y^2) (x,y) tiến tới (0;0) ,nếu ra 0 ( =f((0,0) ) thì hàm liên tục tại (0;0)
Câu 2
Tính các đạo hàm riêng theo 2 biến x,y của hàm g(x)=căn(x^2+y^2).sin(…) ra (hàm này luôn có các đạo hàm riêng) , nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x0,y0) thì nó khả vi tại (x0,y0)
Vậy Với mọi điểm khác (0,0) thì rõ ràng dễ kiểm tra các “lim của các đạo hàm” liên tục tại điểm đó
Khó chỗ là kiểm tra tại điểm (0,0) thì các đạo hàm có liên tục tại đó ko ??? lim (đạo hàm theo biến x) khi (x,y) tiến về (0,0) =”đạo hàm theo biến x” khi thế (0,0) vào ??? lim (đạo hàm theo biến y) khi (x,y) tiến về (0,0) =”đạo hàm theo biến y” khi thế (0,0) vào ???
(Phải tính 2 cái lim rồi so sánh)
Câu 3 bài này ko hiểu đề ,vì cực trị ko có ảnh hưởng bởi cái “x+y=1” hay ko ,chỉ có giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số mới bị ảnh hưởng thôi mà
nếu đề kêu tìm GTLN,NN thì bài toán quy hoạch lồi .còn pp bất đẳng thức hay pp dùng toán A1 giải thì ko biết
Câu 1: f(x, y) liên tục tại (0;0) nếu lim f(x, y) khi (x,y) tiến về (0;0) bằng f((0;0))
nghĩa là e tính lim xy/căn (x^2+y^2) (x,y) tiến tới (0;0) ,nếu ra 0 ( =f((0,0) ) thì hàm liên tục tại (0;0)
Pó tay chú!
Anh không giải bài này vì không biết làm cách nào để chứng minh cái lim nó = 0
.
Giờ chú nói vậy, anh nghĩ thằng bé cũng biết đến đó, chẳng qua ku cậu ko biết làm thế nào để tính cái lim đó mà thôi
, vậy mà đưa lên đây, người hướng dẫn nói lại đúng y cái mình nghĩ
, ta có f(0, 0)=0 + Với
Vậy hàm số đã cho ko khả vi.
Xét tại điểm
, Rõ ràng
do đó M là điểm cực đại.
, ta có f(0, 0)=0 + Với
Xét tại điểm
, Rõ ràng
Cái lim tính kiểu gì kì cục vậy ta?
Vs lại đề yêu cầu chứng minh nó khả vi tại (0,0), mà giờ bảo nó đếck khả vi thì
?
.
Bạn đang xem bài viết Đạo Hàm Với Vec trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!