Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp
Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.
Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10
1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp
Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.
Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $sqrt{A}pmsqrt{B}$ là $sqrt{A}mpsqrt{B}$, tức là biến đổi: $$ sqrt{A}pm sqrt{B}=frac{A-B}{sqrt{A}pmsqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $sqrt[3]{A}pmsqrt[3]{B}$ là $(sqrt[3]{A})^2pmsqrt[3]{A}sqrt[3]{B}+(sqrt[3]{B})^2$ $$ sqrt[3]{A}pmsqrt[3]{B}=frac{Apm B}{(sqrt[3]{A})^2pmsqrt[3]{A}sqrt[3]{B}+(sqrt[3]{B})^2} $$
Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.
2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp
Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như saubegin{align*} & x^3+8-3sqrt{x+3}+3=0 \ Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-frac{3(x+2)}{sqrt{x+3}+1}=0\ Leftrightarrow &(x+2)left(x^2+2x+4-frac{3}{sqrt{x+3}+1}right)=0\ Leftrightarrow &left[begin{array}{l} x+2=0\x^2+2x+4-frac{3}{sqrt{x+3}+1}=0 qquad (*) end{array}right. end{align*} Ta có [begin{array}{l} {x^2} + 2x + 4 ge 3\ – dfrac{3}{{sqrt {x + 3} + 1}} ge – 3\ Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – dfrac{3}{{sqrt {x + 3} + 1}} ge 0. end{array}] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ xge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với begin{align*} &4{{x}^{2}}-1+sqrt{3x}-sqrt{x+1}=0\ Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+frac{2x-1}{sqrt{3x}+sqrt{x+1}}=0\ Leftrightarrow & (2x-1)left( 2x+1+frac{1}{sqrt{3x}+sqrt{x+1}} right)=0\ Leftrightarrow & 2x-1=0\ Leftrightarrow & x=frac{1}{2} end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=frac{1}{2}. $
Ví dụ 3. Giải phương trình $$sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $xge sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: begin{align*} &sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = sqrt {{x^3} – 2} – 5 \ Leftrightarrow;& left( {x – 3} right)left[ {1 + frac{{x + 3}}{{sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 1} right)}^2}}} + 2sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} right] = frac{{left( {x – 3} right)left( {{x^2} + 3x + 9} right)}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \ Leftrightarrow;& x = 3 end{align*} Ta có [begin{array}{*{20}{c}}{1 + dfrac{{x + 3}}{{sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 1} right)}^2}}} + 2sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + dfrac{{x + 3}}{{{{left( {sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} right)}^2} + 3}}}\ {}&{ < 2 < dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}}} end{array}] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $
Ví dụ 4. Giải phương trình $$ sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-sqrt{{{x}^{2}}-2}=sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $left( 3{{x}^{2}}-5x+1 right)-left( 3{{x}^{2}}-3x-3 right)=-2(x-2)$ và $left( {{x}^{2}}-2 right)-left( {{x}^{2}}-3x+4 right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: begin{align*} &sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=sqrt{{{x}^{2}}-2}-sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\ Leftrightarrow;& frac{-2(x-2)}{sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=frac{3(x-2)}{sqrt{{{x}^{2}}-2}+sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\ Leftrightarrow;& (x-2)left[ frac{3}{sqrt{{{x}^{2}}-2}+sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+frac{2}{sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} right]=0
Ví dụ 5. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+15}=3x-2 +sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau begin{align} &sqrt{x^2+15}-4=3x-3+sqrt{x^2+8}-3 notag\ Leftrightarrow &frac{x^2+15-16}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2+8-9}{sqrt{x^2+8}+3}notag\ Leftrightarrow &frac{x^2-1}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2-1}{sqrt{x^2+8}+3} ,,,(*) end{align} Xét hai trường hợp:
$ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
begin{align*} &3x-2=sqrt{x^2+15}-sqrt{x^2+8}\
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $
Ví dụ 6. Giải phương trình[ sqrt{3x+1}-sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 ] Hướng dẫn. Điều kiện $ -frac{1}{3}le xle 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành: [ (sqrt{3x+1}-4)-(sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 ] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được: begin{align*} &frac{3(x-5)}{sqrt{3x+1}+4}-frac{5-x}{sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\ Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{3}{sqrt{3x+1}+4}+frac{1}{sqrt{6-x}+1}+3x+1right)=0
Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ 7. Giải phương trình [ (x+3)sqrt{x+4}+(x+9)sqrt{x+11}=x^2+9x+10 ] Hướng dẫn. Điều kiện $ xge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: [ (x+3)left(sqrt{x+4}-3right)+(x+9)left(sqrt{x+11}-4right)=x^2+2x-35 ] Sau đó, nhân liên hợp được: begin{align*} &(x+3)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+4}+3}+(x+9)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\ Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7right)=0 end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7=0,,(*) $$ Vì điều kiện là $ xge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ frac{1}{sqrt{x+4}+3} $ và $ frac{1}{sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau: begin{align*} VT(*)&= frac{x+4}{sqrt{x+4}+3}-frac{x+4}{2}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-frac{x+9}{2}-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\ &=(x+4)left(frac{1}{sqrt{x+4}+3}-frac{1}{2}right)+(x+9)left(frac{1}{sqrt{x+11}+4}-frac{1}{2}right)-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\ &<0 end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $
Ví dụ 9. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+5}+sqrt{x^2+12}-sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.
&bigg( (x+2)-(x-1) bigg)left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)=3left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)\ Leftrightarrow;& sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=sqrt{x+2}-sqrt{x-1}\ Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l} sqrt{{{x}^{2}}+x-2}ge 1 \ {{left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)}^{2}}={{left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)}^{2}} \ end{array} right.\ Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0\ {{x}^{2}}+x-1-2sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2sqrt{x+2}.sqrt{x-1} \ end{array} right.\ Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 \ {{x}^{2}}-x-2=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 \ x=-1vee x=2 \ end{array} right.Leftrightarrow x=-1vee x=2. end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $
Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ left( sqrt{x+3}-sqrt{x-1} right)left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2text{x}-3} right)ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ xge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với begin{align*} & 4left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} right)ge 4left( sqrt{x+3}+sqrt{x-1} right)\ Leftrightarrow & 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge sqrt{x+3}+sqrt{x-1}\ Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge 2x+2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4ge 0\ Leftrightarrow & left[ begin{array}{l}xle -2 \ xge 2 \ end{array} right. end{align*} Kết hợp với điều kiện $xge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+infty)$.
Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!
end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $
Ví dụ 13. Giải phương trình $$sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$left( 2{{x}^{2}}+x+9 right)-left( 2{{x}^{2}}-x+1 right)=2left( x+4 right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ xne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$frac{2x+8}{sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4Rightarrow sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình [ left{ begin{array}{l} sqrt {2{x^2} + x + 9} – sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\ sqrt {2{x^2} + x + 9} + sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4 end{array} right. Rightarrow 2sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = frac{8}{7} end{array} right. ] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = frac{8}{7}. $
3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình
Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.
Bài 1. Giải phương trình $ sqrt{2x-3}-sqrt{x}=2x-6 $
Đáp số. $ x=3 $
Bài 2. Giải phương trình $ sqrt{4x^2 +5x+1}-2sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $
Đáp số. $ x=frac{1}{3}. $
Bài 3. Giải phương trình $ sqrt{10x+1}+sqrt{3x-5}=sqrt{9x+4}+sqrt{2x-2} $
Hướng dẫn. Nhóm thành $ left(sqrt{10x+1}-sqrt{9x+4}right)+left(sqrt{3x-5}-sqrt{2x-2}right)=0, $ rồi nhân liên hợp… Đáp số. $ x=3 $
Bài 4. Giải phương trình $ sqrt{x-2}+sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $
Hướng dẫn. Tách thành $ left(sqrt{x-2}-1right) +left(sqrt{4-x}-1right)-left(2x^2-5x-3right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại… Đáp số. $ x=3 $
Bài 5. Giải phương trình $2sqrt{left( 2-x right)left( 5-x right)}=x+sqrt{left( 2-x right)left( 10-x right)}$
Đáp số. $ x=1,x=frac{15+5sqrt{5} }{2} $
Bài 6. Giải phương trình $sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=sqrt{x-1}+2x-3$
Đáp số. $ x=2 $
Bài 7. Giải phương trình $sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$
Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3sqrt[3]{4x-4}=0$
Bài 9. Giải phương trình $sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$
Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=left( x+3 right)sqrt{{{x}^{2}}+1}$
Bài 11. Giải phương trình $1+sqrt{x}=4x^{2}+sqrt{3x-1}$
Đáp số. $x=frac{1}{2}$
Bài 12. Giải phương trình $ sqrt{x}=1-sqrt[3]{3x^2+x-1}+sqrt[3]{2x+1} $
Đáp số. $ x=1 $
Bài 13. Giải phương trình $ 2sqrt {{x^2} + 5} = 2sqrt {x – 1} + {x^2} $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4Leftrightarrow 2frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2frac{x-2}{sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ frac{2(x+2)}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=frac{2}{sqrt{x-1}+1}+x+2Leftrightarrow frac{2}{{sqrt {x – 1} + 1}} + left( {x + 2} right)left( {1 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.
Bài 14. Giải phương trình $ sqrt{x^2+12}+5=3x+sqrt{x^2+5} $
Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $sqrt{{{x}^{2}}+12}-sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5ge 0Leftrightarrow xge frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành begin{align*} & sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+sqrt{{{x}^{2}}+5}-3Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3left( x-2 right)+frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \ & Leftrightarrow left( x-2 right)left( frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 right)=0Leftrightarrow x=2 Đáp số. $ x=2 $
Bài 15. Giải bất phương trình $frac{1-sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$
Đáp số. $ left[ -frac{1}{2};frac{1}{2} right]backslash left{ 0 right}$
Nhân Liên Hợp Trong Giải Phương Trình
Published on
1. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi… Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong giải toán sau: . Ví dụ 1: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy Vì không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng: Nhân vào hai vế của phương trình Nhận thấy là một nghiệm của phương trình phương trình cho ta được: Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm xét ta được: , chia cả hai vế của và (loại)
2. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp Vậy phương trình có hai nghiệm và . Ví dụ 2: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Phương trình tương đương với: Vì Nhân vào hai vế của phương trình Nếu hoặc Nếu ta thu được: (loại) , chia cả hai vế của phương trình cho ta được: Giải phương trình này ta được Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Phương trình Vì và . tương đương với: , nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
3. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp +Nếu +Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho (vì Vậy phương trình ta được: ) có nghiệm duy nhất Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy Vì được: không phải là nghiệm của phương trình , nhân +Nếu +Nếu vào hai vế của phương trình hoặc . , chia cả hai vế của phương trình cho Giải phương trình này ta được Vậy phương trình có hai nghiệm , viết lại phương trình dạng: và ta được: ta thu
5. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài toán phương trình có phần “nhỉnh” hơn một chút… Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng… Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện: Phương trình tương đương với: Vì Nhận thấy trình cho . Ta có: là một nghiệm của phương trình, xét ta được: Dễ thấy Vậy phương trình , chia cả hai vế của phương . có nghiệm duy nhất . Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình
6. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp Lời giải: Điều kiện: Vì Nhận thấy trình cho . Ta có: là một nghiệm của phương trình, xét ta được: , chia cả hai vế của phương . Dễ thấy Vậy phương trình . có nghiệm duy nhất . Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ…) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy và cả hai vế của phương trình cho là các nghiệm của phương trình. Xét ta được: . Chia
7. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp Dễ thấy . Vậy phương trình có hai nghiệm và . Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nghiệm… (^_^) Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung…!) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện: Nếu và Xét . Chia cả hai vế của phương trình cho và Vậy phương trình ta được: (loại!). có ba nghiệm , và .
9. MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh – Đồng Tháp Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẽ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức. Không dừng lại ở đó, mình xin trình bày những vấn đề tiếp theo xung quanh phương pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức. Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp này. Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi olympic để làm ví dụ minh họa. Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng rãi và hiệu quả của nó. Ví dụ 9: Giải phương trình ( Đề chính thức Olympic 30 – 4 năm 2006) Lời giải: Vì không là nghiệm của phương trình Vì . Suy ra: Nếu Nếu ta viết phương trình dưới dạng: và . Suy ra: ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
Cập nhật lúc: 15:22 26-09-2018 Mục tin: LỚP 9
Tài liệu giới thiệu về hai phương pháp chính dùng để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
+ Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
+ Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Coognj hay trừ tằng về hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mưới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng (0) (tức là phương trình một ẩn).
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :
Vậy hệ phương trình có nghiệm (0 ; -1).
Với giá trị nào của m, n thì đồ thị hàm số y = 2mx – n + 1 đi qua hai điểm M(-l ; 3) và N(2 ; -1) ?
Đồ thị hàm số y = 2mx – n + 1 đi qua hai điểm M(-1 ; 3) và N(2 ; -1) khi và chỉ khi
B. Bài tập cơ bản
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M( -1; -1/2) và N(1; -3).
Trong các câu 4.4; 4.5; 4.6 hãy khoanh tròn vào chữ cái trước phương án đúng
(A) 6 (B) 3 (C) -3 (D) -6
Với giá trị nào của m, n thì đồ thị hàm số y = mx – n đi qua hai điểm P(0 ; 1) và Q(2 ; -3) ?
(A) m = -2 ; n = 1 (B) m = -1 ; n = -1
(C) m = 2 ; n = -1 (D) m = -2 ; n = -1.
C. Bài tập bổ sung
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 5(2 – 2xy + ) + 2(y – 3x + 2).
Cho phương trình + a + bx + 1 = 0 (với x là ẩn số).
a) Tìm các số hữu tỉ a, b thoả mãn x = – 2 là nghiệm của phương trình.
b) Với các giá trị a, b đã tìm được ở câu a), hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
Bạn đang xem bài viết Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!