Cập nhật thông tin chi tiết về Hàm Trơn Không Giải Tích mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Xét hàm Hàm được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên Hàm được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.
Như ta đã biết hàm
là hàm trơn và không giải tích tại
Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?
Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:
Cho trước hàm trơn . Khi đó điều kiện cần và đủ để giải tích là:
với bất kỳ điểm đều có các số dương (phụ thuộc ) sao cho
và
Việc kiểm tra hàm ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?
Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi
với giảm về , còn tăng đến
Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.
Từ điều kiện trên ta có:
– nếu giải tích tại thì có để ,
– nếu giải tích tại thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm .
Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được
Có thể thấy rằng:
– tập là đóng trong ,
.
Như vậy là tập không đâu trù mật. Mà là không gian metric đầy đủ nên
.
Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.
Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.
Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm như trên. Cụ thể xét hàm
Kim và Kwon chứng minh được hàm
là hàm trơn và không đâu giải tích.
Có thể thấy hàm :
– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,
– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.
Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh không giải tích tại các điểm dạng:
với lẻ.
Các bạn thử giải thích tại sao?
Với , có
nên là các hàm giải tích tại
Còn với có
Ngoài ra
.
Do đó
không giải tích tại .
Nói cách khác không giải tích tại
Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:
– Hàm là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.
– Chuỗi Taylor của hàm tại các điểm hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ .
Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:
– Tại những điểm khác , chuỗi Taylor của không hội tụ đến hàm trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?
– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính ?
Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ
.
Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm
với lẻ.
Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có
Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm bằng
Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm cũng có bán kính hội tụ ?
Với hàm , tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm . Điều này được dẫn từ kết quả:
– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ là tập trù mật trong .
– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.
Share this:
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Một Số Khái Niệm Về Giải Tích Không Trơn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THÙY
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Hà Nội – 2017
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THÙY
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
ThS. Bùi Ngọc Mười
Hà Nội – 2017
Lời cảm ơn
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Bùi Ngọc Mười đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo là giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tôi những kiến thức chuyên môn cần thiết trong quá trình học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đã động viên khuyến khích tôi hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này. Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017 Sinh viên
Nguyễn Thị Thùy
i
Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp ” Một số khái niệm về giải tích không trơn ” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Ngọc Mười. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017 Sinh viên
Nguyễn Thị Thùy
ii
Ký hiệu toán học
R
Tập tất cả các số thực.
Rn
Tập tất cả các vectơ có n chiều.
H
Không gian Hilbert thực.
B
Hình cầu đóng có tâm tại x bán kính r = 1.
bd S
Giới hạn của S .
cl S
Bao đóng S .
co S
Bao lồi của tập nón lồi S .
coS
Bao đóng S .
dom f
Miền hữu hiệu của f .
epi f
Trên đồ thị của f .
int S
Phần trong của S .
ProjS (u)
Phép chiếu của u trên S .
∂ conv f (x)
Dưới vi phân của f tại x.
∂ C f (x)
Gradient suy rộng của f tại x.
iii
2 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 2.1 Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Nón pháp tuyến Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Nón pháp tuyến cơ sở (nón pháp tuyến Mordukhovich) 30
Tài liệu tham khảo
36
iv
MỞ ĐẦU Giải tích không trơn nghiên cứu những hàm không nhất thiết khả vi theo nghĩa thông thường. Các cố gắng giảm nhẹ giả thiết về tính khả vi liên tục của các hàm được bắt nguồn từ các nhu cầu trong kĩ thuật sớm hơn trong toán học. Thực tiễn đòi hỏi một lý thuyết tối ưu mà các phương pháp của nó có khả năng áp dụng cho các bài toán thường gặp, ở đó các điều kiện về tính khả vi nói chung là bị phá vỡ. Giải tích không trơn ra đời nhằm đáp ứng yêu cầu đó. Tương tự thuật ngữ “phi tuyến” trong toán học có nghĩa là không nhất thiết tuyến tính, khái niệm “không trơn” cũng ngụ ý rằng không nhất thiết khả vi liên tục. Có thể xem giả thiết không trơn là sự mở rộng của giải tích lồi và giải tích cổ điển, bởi vì khi áp dụng cho các hàm lồi hoặc khả vi ta luôn có được kết quả quen biết. Những công trình đầu tiên nghiên cứu một cách hệ thống các hàm không trơn (không lồi) thuộc về Clarke (xem [2]). Cho đến nay, lý thuyết của Clarke được xem là hoàn chỉnh hơn cả. Ngoài những công trình cơ bản của Clarke, lý thuyết này còn nhận được sự đóng góp của một loạt các nhà toán học khác: Rockafellar, Aubin, Lebourg, Ioffe, Hiriart-Urruty, Goldstein, Thibault,… Hai lớp hàm quan trọng được xét ở đây là lớp hàm lồi và lớp hàm Lipschitz.
Khóa luận gồm 2 chương. Chương 1. “Dưới vi phân”. Chương 2.”Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến”. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không 1
thể tránh khỏi có những sai sót. Ngoài ra, một số kết quả (mệnh đề, định lí, hệ quả) được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
2
Chương 1 Dưới vi phân
1.1
Một số khái niệm cơ bản Cho X là không gian vectơ tôpô thực hoặc không gian vectơ chuẩn
3
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
(i) Tập S được gọi là lồi nếu với mọi cặp phần tử (x, y) của S ta có [x, y] = {αy + (1 − α)x : α ∈ [0, 1]} ⊂ S. (ii) Bao lồi của tập nón lồi S được định nghĩa là giao của tất cả các tập chứa S . Kí hiệu: co S ( n ) n X X co S = αi xi : n ∈ N , αi = 1 , α i ≥ 0 , x i ∈ S . i=1
i=1
(iii) Bao đóng của co S được gọi là bao lồi đóng. Kí hiệu: coS. Định nghĩa 1.2. (xem [1]) Cho f là một hàm giá trị thực mở rộng, f : X → R ∪ {+∞} . Ta gọi các tập dom f = {x ∈ X : f (x) < +∞} và epi f = {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r} , tương ứng là miền hữu hiệu của f và trên đồ thị của f . (i) f được gọi là hàm lồi trên tập lồi mở Ω ⊂ X nếu f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ∀x, y ∈ Ω , ∀α ∈ [0, 1] . Khi Ω là không gian X ta nói f là hàm lồi.
4
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
(ii) f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom f nếu f (x) ≤ lim inf f (x). x→x
Ta nói f là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc X.
1.2
Từ đạo hàm đến dưới vi phân Trong phần này, ta bắt đầu với một số khái niệm cổ điển của vi
phân và chúng ta sẽ cố gắng tối ưu hóa các bài toán để giải thích sự phát triển của khái niệm vi phân từ đạo hàm Fréchet đến khái niệm gradient suy rộng. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, f : X → R ∪ {+∞} là hàm giá trị thực mở rộng và x ∈ X. (i) Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v ∈ X được xác định là f 0 (x; v) = lim δ −1 [f (x + δv) − f (x)] δ↓0
(1.1)
nếu giới hạn tồn tại. (ii) Ta nói f là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại f 0 (x; v) với mọi v ∈ X và f 0 (x; ·) là tuyến tính liên tục. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử fG0 (x) ∈ X ∗ (gọi là đạo hàm Gâteaux) thỏa mãn hfG0 (x), vi = f 0 (x; v), ∀v ∈ X.
5
(1.2)
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
6
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
1.2.1
NGUYỄN THỊ THÙY
Bài toán cực tiểu không ràng buộc
Hầu hết trong các bài toán tối ưu, ta bắt đầu xét bài toán cực tiểu như sau min f (x) : x ∈ S, ở đó f : S → R xác định trên S, với S là một tập con của không gian vectơ thực X. Ta định nghĩa hàm f như sau f (x) = +∞ với x ∈ / S, khi đó cực tiểu của hàm f trên S tương đương với cực tiểu của hàm f mới trên X. Do đó, không mất tính tổng quát ta xét trường hợp S = X. Cho hàm f : X → R và x là một điểm trong X. Ta xét bài toán cực tiểu không ràng buộc sau
(U P )
Định nghĩa 1.3. (xem [1]) (i) f có cực tiểu địa phương tại x khi và chỉ khi tồn tại một lân cận V của x sao cho f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ V. (ii) f có cực tiểu toàn cục tại x trên X khi và chỉ khi f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ X.
7
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
(1.3)
(1.4)
α , với mỗi x ∈ x + αB. Ta có Chọn ε ∈ (0, α) và δ ∈ 0, ε
x + δ(x − x) ∈ x + δεB ⊂ x + αB, thay vào (1.4) ta được f (x + δ(x − x)) − f (x) ≥ 0, α với mọi δ ∈ 0, và với mọi x ∈ x + εB. Do đó, f khả vi Gâteaux tại ε x, giới hạn
tồn tại hay hfG0 (x), x − xi ≥ 0 ∀x ∈ x + εB. Vậy định lí đã được chứng minh. Định nghĩa 1.4. (xem [1]) Cho f là một hàm liên tục lồi trên X và lấy x ∈ X. Ta định nghĩa dưới vi phân của f tại x như sau ∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≤ f 0 (x, v), ∀v ∈ X} . 8
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Cụ thể là ∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ X} .
(1.5)
(1.6)
Chứng minh. Do f là hàm lồi nên cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục. Do đó x là một cực tiểu toàn cục của f ta có f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ X ⇔ 0 = h0, x − xi ≤ f (x) − f (x) ⇔ 0 ∈ ∂ conv f (x).
Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Mệnh đề 1.2. (xem [1, Proposition 1.3, p. 7]) Nếu f là một hàm liên tục lồi và khả vi Gâteaux tại x thì ∂ conv f (x) = {fG0 (x)}. Chứng minh. 9
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Lấy ζ là một phần tử của ∂ conv f (x). Do đó, hζ, vi ≤ f 0 (x; v) ∀v ∈ X. Mặt khác, từ vi phân Gâteaux của f tại x ta có f 0 (x; v) = hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. Do đó hζ, vi ≤ hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. Vậy ζ = fG0 (x) hay ∂ conv f (x) = {fG0 (x)}. Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
1.2.2
Bài toán cực tiểu ràng buộc
Ta xét bài toán cực tiểu ràng buộc sau
(CP )
ở đó f là hàm liên tục lồi và S là một tập lồi đóng trong X. Ta định nghĩa nón tiếp xúc và nón pháp tuyến cho tập lồi đóng là T conv (S; x) = cl [R+ (S − x)] = cl {λ(s − x) : λ ≥ 0, s ∈ S} và N conv (S; x) là nón cực âm của T conv (S; x), nghĩa là N conv (S; x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≥ 0, ∀v ∈ T conv (S; x)}. 10
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
1.3
Dưới vi phân Giả sử X là không gian vectơ định chuẩn và f : X → R là hàm
1.3.1
Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke)
Ta thấy rằng hàm dưới vi phân liên tục lồi cũng được định nghĩa thông qua đạo hàm theo hướng f 0 (x, ·). Tương tự như vậy, ta định nghĩa gradient suy rộng bằng cách sử dụng một khái niệm mới của đạo hàm khả vi. Trong phần trước ta đã biết đạo hàm theo hướng f 0 (x, ·) mất hầu hết các đặc trưng của nó và nó không thích hợp để dùng xác định gradient suy rộng. Khái niệm mới của đạo hàm theo hướng còn được gọi là đạo hàm theo hướng suy rộng (xem [2]) và được định nghĩa như sau f 0 (x; v) = lim sup t−1 [f (x + tv) − f (x)]. x→x t↓0
11
(1.7)
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Gradient suy rộng của f tại x được định nghĩa như sau ∂ C f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X}.
(1.8)
Mệnh đề 1.3. (xem [1, Proposition 1.5, p.11]) (1) Hàm v 7→ f 0 (x; v) là hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính, và thỏa mãn 0
f (x; v) ≤ k kvk , ∀v ∈ X.
(1.9)
(2) Với mỗi α ∈ R ta có (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) và ∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x). (3) Nếu f có cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại x thì 0 ∈ ∂ C f (x). (4) Gradient suy rộng ∂ C f (x) là tập lồi khác rỗng, w∗ -tập con compact trong X ∗ thì ∂ C f (x) ⊂ kB∗ . (5) Nếu xn và ζn tương ứng là hai dãy trong X và X ∗ sao cho ζn ∈ ∂ C f (xn ) và xn hội tụ mạnh đến x và ζn hội tụ yếu đến ζ, khi đó ta có ζ ∈ ∂ C f (x). (6) Định lí giá trị trung bình: Nếu f là Lipschitz địa phương trên một lân cận mở chứa đoạn [x, y], khi đó tồn tại z ∈ [x, y] và ξ ∈ ∂ C f (z) thỏa mãn f (y) − f (x) = hξ, y − xi. (7) Quy tắc hàm hợp: Cho F : H → Rn là Lipschitz địa phương tại x và cho g : Rn → R là Lipschitz địa phương tại F (x). Khi đó hàm g ◦ F là Lipschitz địa phương tại x và 12
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
f (x + tλv) − f (x) tλ
= λf 0 (x; v). Suy ra hàm f 0 (x; ·) thuần nhất dương.
13
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính. f 0 (x; v + ω) = lim sup x→x t↓0
= f 0 (x; ω) + f 0 (x; v), bởi vì x + tv → x khi x → x và t ↓ 0. Do đó f 0 (x; ·) dưới cộng tính. (2) Cho α ≥ 0, ta kiểm tra được (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) do đó ∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x) ∀α ≥ 0. Khi α = −1 thì ∂ C (−f )(x) = −∂ C f (x). Do đó (−f )0 (x; v) = f 0 (x; −v). Thật vậy, từ định nghĩa của đạo hàm theo hướng suy rộng ta có (−f )0 (x; v) = lim sup t−1 [−f (x + tv) − (−f )(x)] x→x t↓0
= lim sup t−1 [f (x0 − tv) − f (x0 )] x0 →x t↓0
= f 0 (x; −v). Với mỗi ζ ∈ ∂ C (−f )(x), ∀v ∈ X ta có 14
Giải Dùm Mấy Bài Giải Tích Hàm Này Với.
Chứng minh rằng: f(x, y) liên tục tại (0;0)
2, Xét tính khả vi
3, Tìm cực trị của hàm z=xy (Với điều kiện x+y=1)
2, Xét tính khả vi
Hàm 2 biến, hình như đây là Toán cao cấp A1………………………..
Vâng, chuẩn đấy ạ.
Câu 1: f(x, y) liên tục tại (0;0) nếu lim f(x, y) khi (x,y) tiến về (0;0) bằng f((0;0))
nghĩa là e tính lim xy/căn (x^2+y^2) (x,y) tiến tới (0;0) ,nếu ra 0 ( =f((0,0) ) thì hàm liên tục tại (0;0)
Câu 2
Tính các đạo hàm riêng theo 2 biến x,y của hàm g(x)=căn(x^2+y^2).sin(…) ra (hàm này luôn có các đạo hàm riêng) , nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x0,y0) thì nó khả vi tại (x0,y0)
Vậy Với mọi điểm khác (0,0) thì rõ ràng dễ kiểm tra các “lim của các đạo hàm” liên tục tại điểm đó
Khó chỗ là kiểm tra tại điểm (0,0) thì các đạo hàm có liên tục tại đó ko ??? lim (đạo hàm theo biến x) khi (x,y) tiến về (0,0) =”đạo hàm theo biến x” khi thế (0,0) vào ??? lim (đạo hàm theo biến y) khi (x,y) tiến về (0,0) =”đạo hàm theo biến y” khi thế (0,0) vào ???
(Phải tính 2 cái lim rồi so sánh)
Câu 3 bài này ko hiểu đề ,vì cực trị ko có ảnh hưởng bởi cái “x+y=1” hay ko ,chỉ có giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số mới bị ảnh hưởng thôi mà
nếu đề kêu tìm GTLN,NN thì bài toán quy hoạch lồi .còn pp bất đẳng thức hay pp dùng toán A1 giải thì ko biết
Câu 1: f(x, y) liên tục tại (0;0) nếu lim f(x, y) khi (x,y) tiến về (0;0) bằng f((0;0))
nghĩa là e tính lim xy/căn (x^2+y^2) (x,y) tiến tới (0;0) ,nếu ra 0 ( =f((0,0) ) thì hàm liên tục tại (0;0)
Pó tay chú!
Anh không giải bài này vì không biết làm cách nào để chứng minh cái lim nó = 0
.
Giờ chú nói vậy, anh nghĩ thằng bé cũng biết đến đó, chẳng qua ku cậu ko biết làm thế nào để tính cái lim đó mà thôi
, vậy mà đưa lên đây, người hướng dẫn nói lại đúng y cái mình nghĩ
, ta có f(0, 0)=0 + Với
Vậy hàm số đã cho ko khả vi.
Xét tại điểm
, Rõ ràng
do đó M là điểm cực đại.
, ta có f(0, 0)=0 + Với
Xét tại điểm
, Rõ ràng
Cái lim tính kiểu gì kì cục vậy ta?
Vs lại đề yêu cầu chứng minh nó khả vi tại (0,0), mà giờ bảo nó đếck khả vi thì
?
.
Phép Tính Vi Tích Phân Hàm Một Biến
Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua sự chuyển động cơ học của các vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt độ, tốc độ, gia tốc; sự biến động kinh tế trong một xã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm,…. Tất cả các loại hình đó được gán một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số nào đó, chẳng hạn là thời gian. Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến thiên của nó. Việc đó đặt ra như một nhu cầu khách quan của con người và xã hội.
Phép tính vi phân của hàm một biến số gắn liền với phép tính đạo hàm của hàm số. Khái niệm đạo hàm là một trong những tư tưởng quan trọng nhất của giải tích. Trong chương 2, chúng ta đã đặt vấn đề xem xét hàm số, nhưng vấn đề cốt lõi của hàm số là tốc độ biến thiên của nó chưa được xét đến. Nhờ vào khái niệm đạo hàm người ta có thể khảo sát toàn diện một đại lượng biến thiên. Khái niệm đạo hàm gắn liền với các đại lượng vật lý: vận tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động, nhiệt dung của vật thể ở nhiệt độ to, cường độ dòng điện,v.v…; gắn liền với các hiện tượng hoá học: tốc độ phản ứng hoá học ở thời điểm t; gắn liền với các bài toán kinh tế xã hội: vấn đề tăng trưởng kinh tế, phương án tối ưu trong giao thông, trong sản xuất kinh doanh, v.v….
Chương III và chương IV trình bày phép tính tích phân, đây là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Hơn nữa, nó còn là phép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanh chóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số.
Bài toán tính giá trị gần đúng của một hàm số tại điểm x1 gần với điểm x0 mà giá trị f(x0) đã biết rất hay gặp trong thực tế: bài toán lập biểu đồ, bài toán nội suy,…. Việc tính toán trở nên đơn giản nhờ các phép tính cơ bản +, -, ., / và luỹ thừa khi đã khai triển hàm số thành chuỗi Taylor. Việc biểu diễn một tín hiệu phức tạp thành các tín hiệu đơn giản hoặc các sóng phức tạp thành các sóng đơn giản chính là nhờ vào việc khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier. Để có được cơ sở giải thích cho các bài toán dạng trên cần nắm vững các nội dung của lý thuyết chuỗi.
Bạn đang xem bài viết Hàm Trơn Không Giải Tích trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!