Cập nhật thông tin chi tiết về Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn. A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình một ẩn Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái; g(x) là vế phải. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa. Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là một nghiệm của phương trình. Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô nghiệm. 2. Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ) Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2). + PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập con của tập nghiệm của (2). + Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), nếu các tập nghiệm của (1) và của (2) bằng nhau. 3. Phép biến đổi tương đương Định lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định thì a) f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x). b) f(x) = g(x) f(x) . h(x) = g(x) . h(x) , nếu h(x) 0 , . 4. Phương trình bậc nhất một ẩn + Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b R ; a0. x được gọi là ẩn còn a, b là các hệ số. + PT ax + b = 0 với a0 có nghiệm duy nhất x = -b/a. 5. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 Nếu a 0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a. Nếu a = 0, b 0, PT vô nghiệm. Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x R. B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ? a) 2x + 3 = 8 – 3x và . b) 2x + 3 = 8 – 3x và 2x + 3 + = 8 – 3x + . Bài 3.2 Giải các phương trình : a) 2x – 1 + ; b) Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m : 3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1 . Xác định các giá trị của m để hai phương trình có một nghiệm chung. ài 3.4 Giải các phương trình sau : a) ; b) c) ; d) Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x : a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) c) ; d) . Bài 3.6 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b : a) ; b) . Bài 3.7 Tìm giá trị của tham số sao cho phương trình : a) vô nghiệm . b) có vô số nghiệm . c) có nghiệm duy nhất . C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ? a) 3x + 1 = 2x + 4 và 3x + 1 + = 2x + 4 + b) 3x +1 = 2x + 4 và 3x +1 + = 2x + 4 + Bài 3.9 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số). 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) 5a) ; 5b) 6a) ; 6b) . 7a) ; 7b) Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b : a) ; b) Bài 3.11 Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm : a) ; b) Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R : a) ; b) Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm : a) ; b) Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm : a) ; b) §2. Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn số + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b 0 ; x, y là hai ẩn số. + Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của (1). + + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng ax + by = c . 2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1) a) Nếu a 0 , b 0, phương trình (1) có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là : . Tập nghiệm của (1) được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số : . Còn gọi là đường thẳng ax + by = c. b) Nếu a = 0 , b 0, phương trình có dạng by = c . Công thức nghiệm tổng quát là : . Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tạo độ . c) Nếu a 0 , b =0, phương trình có dạng ax = c . Công thức nghiệm tổng quát là : . Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có tạo độ . d) Nếu a = 0, b = 0, c 0 thì hệ vô nghiệm. e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) , đều là nghiệm của phương trình. 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số + Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng : (I) : trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn. + Kí hiệu : , gọi là định thức của hệ (1). ; . Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau : Nếu D 0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x0 ; y0) được xác định bỡi công thức : . Nếu D = 0 va ø Dx 0 (hoặc Dy 0) thì hệ (I) vô nghiệm. Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2). 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2 . Hệ (I) có nghiệm duy nhất d1 và d2 cắt nhau. Hệ (I) vô nghiệm d1 Hệ (I) có vô số nghiệm d1 d2. O x y O x y d 1 d2 O x y d1 d 2 B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ : a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4 Bài 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y : a) (3m – 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2 Bài 3.17 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho cặp số là nghiệm của phương trình đó. Bài 3.18 Giải các hệ phương trình : a) ; b) c) ; d) e) ; g) Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số . Với giá trị nào của m hệ (I) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó. Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số. Với giá trị nào của m hệ (I) có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó. Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I) . Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập với tham số a. Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) . Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên . 2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) . Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên . C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 3.23 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y : a) (2m – 3)x + (m-1)y = m + 2 ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6 Bài 3.24 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho cặp số là nghiệm của phương trình đó. Bài 3.25 Giải các hệ phương trình : a) ; b) c) ; d) e) ; g) Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y) 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . 2) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) : 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau : và Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : §3. Phương trình bậc hai một ẩn số A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nghiệm Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số. Đặt là biệt thức của (1). Nếu = 0 (’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức : x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a) Nếu < 0 (’< 0), phương trình (1) vô nghiệm. Định lý Vi-et và ứng dụng Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có các nghiệm là x1 và x2 thì tổng và tích các nghiệm của phương trình là : S = . Ứng dụng : * Nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm x2 = c/a . Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a – b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm x2 = -c/a . * Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình : x2 -Sx + P = 0 * Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số Nếu 3.Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 trong đó a hoặc b hoặc c có chứa tham số .Bài toán giải và biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau : Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m) Từ a = 0 m = thay giá trị m vào b và c . Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã biết. Có một trong hai khả năng sau xảy ra : Nếu b = 0 và c 0 ( 0x + c = 0 với c 0) thì phương trình vô nghiệm. Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vô nghiệm xTXĐ Bước 2: Xét trường hợp a 0 m Tính biệt số (Chú ý dấu của và ’như nhau) Biện luận theo dấu của (hoặc ’) : Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a) Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả. (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kịp thời gian) 4. Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 Nếu ac < 0 x1 < 0 < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu). -Nếu S < 0 thì x1 < x2 < 0 (phương trình có hai nghiệm âm). Tóm tắt mục này như sau : Nếu P < 0 x1 < 0 < x2 Nếu 0 < x1 & … Tìm giá trị m để biểu thức A = có giá trị nhỏ nhất. Bài 3.69 Cho phương trình : x2 + px + q = 0 có hai nghiệm dương . Chứng minh rằng : phương trình qy2 +(p – 2rq)y + 1 – pr = 0 cũng có các nghiệm đều dương. Bài 3.70 Tìm tất cả các số thực dương a, b, c, d sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn : Phương trình ax2 + bdx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2. Phương trình bx2 + cdx + a = 0 có hai nghiệm là x2 và x3 . Phương trình cx2 + adx + b = 0 có hai nghiệm là x3 và x1. §4. Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai. Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Đem thế vào phương trình bậc hai rồi giải phương trình nhận được. Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn Hệ đối xứng loại I : có dạng trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi. Tức là: f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x). Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là S2 – 4P 0 Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hệ đối xứng loại II : có dạng nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là: f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y). Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về dạng : (x – y).h(x, y) = 0 (3) Phương trình (3) + Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y). + Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại. Ví dụ : Giải hệ phương trình : a) ; b) c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn Hệ có dạng : ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y.. Cách giải: + kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không. +Xét trường hợp x0 (hoặc y0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y) Ví dụ : Giải hệ phương trình CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.71 Cho hệ phương trình : (I) với m là tham số. Giải hệ (I) với m = 1. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. Bài 3.72 Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất : Bài 3.73 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.74 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.76 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.77 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.78 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.79 Giải hệ phương trình : Bài 3.80 Giải hệ phương trình : a) ; b) C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 3.81 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình : Bài 3.82 Chứng minh rằng hệ phương trình : luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m Bài 3.83 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.84 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.85 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.86 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.87 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.88 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.89 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.90 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.91 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ DẠNG ax + b = 0 TÀI LIỆU BỔ SUNG Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số). 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) 5a) ; 5b) 6a) ; 6b) . Bài 2: Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm : a) ; b) Bài 3: Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R : a) ; b) Bài 4: Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm : a) ; b) Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm : a) ; b) Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình : a) ; b) Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm với mọi x a) ; b) Bài 3: Tìm tham số m để hai bất phương trình sau tương đương : a) và b) và Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất : a) ; b) Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm : a) ; b) HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHO LỚP 10) Hệ phương trình dạng Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y) 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) Bài 2: 1) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . 2) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) : 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau : và Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m 1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx2+2x+1=0 3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2×2-6x+3m-5=0 Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2×2-11x+13=0. Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau : 1) A = ; 2) B = 3) C = ; 4) D = Bài 3)Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia. Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x2+mx+n=0. Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x2+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình x2+qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6. Bài 6)Cho hai phương trình x2+p1x+q1=0 (1) và x2+p2x+q2=0 (2) biết p1p2=2(q1+q2) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm . Bài 7)Cho hai số là các nghiệm của phương rình x2+px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là . Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1) 1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2.Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm. 3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình : (m+1)x2+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương . Bài 9)Cho phương trình 2×2+2(m+1)x+m2+4m+3=0. 1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1. 2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =. Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) và x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia . Bài11)Tìm các giá trị nguyên của a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện : Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương . Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trị của m để xảy ra đẳng thức :. Bài14)Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2×2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1. Bài15)Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2×2-(k+2)x+7=k2 trái dấu nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối. tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình. Bài17)Tìm các giá trị của m để phương trình : 1. có cả hai nghiệm đều âm. 2. có cả hai nghiệm đều dương. Bài18)Giải và biện luận phương trình : Bài19)Cho phương trình . 1.Xác định m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại. 2.Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt . Bài22)Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : 1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 ; 2. (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0 Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0. 1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 2.Xác định m để . 3.Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất . Bài24)Cho phương trình .Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm Bài25)Cho phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình . Bài26)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho : x1< 1 < x2 Bài27)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho : . Bài28)Tìm m để phương trình có nghiệm thoả điều kiện <x2 Bài29)Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2). Bài30)Tìm các giá trị của m để phương trình (m+1)x2-3mx+4m=0 : 1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1. 2. Có nghiệm lớn hơn 1. Bài31) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ,trong đó có một nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2. Bài32)Tìm các giá trị của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình : (m+3)x2-2(m-1)x+4m =0 . Bài33)Tìm các giá trị của m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có: 1. Hai nghiệm lớn hơn -3 . 2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 . Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác định m để phương trình có : 1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1. 2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0] Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 1. ; 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH) Giải các hệ phương trình sau : 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) 10) ; 11) ; 12) 13) ; 14) ; 15) 16) ; 17) 18) ; 19) ; 20) 21) ; 22) ; 23) 24) ; 25) 26*) ; 27*) ; 28*) 29*) ; 30*)
Phương Pháp Giải Phương Trình Số Phức Cơ Bản Và Nâng Cao
Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:
Phương pháp 1: rút [z] hoặc [bar z]
Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn [z] hoặc [bar z].
Ví dụ 1: Tìm số phức [z] thỏa: [left( {1 – i} right)z + 3 – 4i = 0].
Giải:
[left( {1 – i} right)z + 3 – 4i = 0 Leftrightarrow z = frac{{ – 3 + 4i}}{{1 – i}} Leftrightarrow z = – frac{7}{2} + frac{1}{2}i]
Ví dụ 2: Tìm số phức [z] thỏa: [left( {i,bar z – 3} right)left( {2 – i} right) + bar zleft( {1 + 2i} right) = i + 1]
Giải:
[left( {i,bar z – 3} right)left( {2 – i} right) + bar zleft( {1 + 2i} right) = i + 1]
[ Leftrightarrow left( {2i + 1} right)bar z – 6 + 3i + bar zleft( {1 + 2i} right) = i + 1]
[ Leftrightarrow bar zleft( {2i + 1 + 1 + 2i} right) = i + 1 + 6 – 3i]
[ Leftrightarrow bar z = frac{{7 – 2i}}{{2 + 4i}} = frac{3}{{10}} – frac{8}{5}i Rightarrow z = frac{3}{{10}} + frac{8}{5}i]
Phương pháp 2: đặt [z = a + bi,,left( {a,b in R} right)]
Ví dụ 3: Tìm số phức [z] biết $(2 – i)z – (5 + 3i)overline z = – 17 + 16i$
Giải:
Đặt [z = a + bi,,left( {a,b in R} right)]. Ta được phương trình:
[left( {2 – i} right)left( {a + bi} right) – left( {5 + 3i} right)left( {a – bi} right) = – 17 + 16i]
[ Leftrightarrow 2a + 2bi – ai + b – 5a + 5bi – 3ai – 3b = – 17 + 16i]
[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2a + b – 5a – 3b = – 17\2b – a + 5b – 3a = 16end{array} right.]
[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}- 3a – 2b = – 17\- 4a + 7b = 16end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 3\b = 4end{array} right.]
Vậy [z = 3 + 4i].
Ví dụ 4: Tìm số phức [z] biết [z.overline z + left( {z – overline z } right) = 4 – 2i]
Giải:
Đặt [z = a + bi,,left( {a,b in R} right)]. Ta được phương trình:
[left( {a + bi} right)left( {a – bi} right) + left( {a + bi – a + bi} right) = 4 – 2i]
[ Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2bi = 4 – 2i]
[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 4\2b = – 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} + 1 = 4\b = – 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = pm sqrt 3 \b = – 1end{array} right.]
Vậy [z = sqrt 3 – i] hoặc [z = sqrt 3 + i]
Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức
Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:
[overline {{z_1} pm {z_2}} = {bar z_1} pm {bar z_2}] [overline {{z_1}.{z_2}} = {{bar z}_1}.{{bar z}_2}] [overline {left( {frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} right)} = frac{{{{bar z}_1}}}{{{{bar z}_2}}}]
Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.
Giải:
Đặt [w = a + bi,,left( {a,b in R} right)] ta được:
Vậy [w = – 8 Leftrightarrow z^3 = – 8] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = – 2\ z = 1 – sqrt 3 i\ z = 1 + sqrt 3 i end{array} right.]
Giải:
Thế lại ta được: [frac{{sqrt {10} }}{z} = 3 + i][ Leftrightarrow z = frac{{3sqrt {10} }}{{10}} – frac{{sqrt {10} }}{{10}}i]
Share this:
More
Like this:
Like
Loading…
Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
Cập nhật lúc: 15:22 26-09-2018 Mục tin: LỚP 9
Tài liệu giới thiệu về hai phương pháp chính dùng để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
+ Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
+ Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Coognj hay trừ tằng về hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mưới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng (0) (tức là phương trình một ẩn).
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
– Học sinh cần nắm được cách giải các phương trình và bất phương trình (quy về bậc hai ) chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối và một số phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai
– Củng cố và nâng cao kĩ năng giải phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
– Phát triển tư duy trong quá trình giải phương trình bất phương trình
– Thành thạo các bước giải phương trình và bất phương trình có chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối
– Thành thạo các bước giải phương trình bất pt quy về bậc hai có chứa ẩn ở căn
– Cẩn thận , chính xác
– Biết tư duy, tìm tòi và phát hiện cái mới
Ngày soạn : Tiết : TÊN BÀI : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI I . Mục tiêu : 1/ Kiến thức : - Học sinh cần nắm được cách giải các phương trình và bất phương trình (quy về bậc hai ) chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối và một số phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai - Củng cố và nâng cao kĩ năng giải phương trình và bất phương trình quy về bậc hai - Phát triển tư duy trong quá trình giải phương trình bất phương trình 2/ Kĩ năng: - Thành thạo các bước giải phương trình và bất phương trình có chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối - Thành thạo các bước giải phương trình bất pt quy về bậc hai có chứa ẩn ở căn 3/ Thái độ : Cẩn thận , chính xác Biết tư duy, tìm tòi và phát hiện cái mới II .Chuẩn bị : 1/ Chuẩn bị của giáo viên : chuẩn bị các bảng kết quả mỗi hoạt động ( để treo hoặc chiếu qua overheat hay projector ) 2/ Chuẩn bị của học sinh : SGK, bài soạn trước, các phiếu học tập , chia ra nhiều nhóm III .Kiểm tra bài cũ : Hoạt động 1 : Hoạt động GV Hoạt động HS Yêu cầu các nhóm giải các bài toán sau : HS hoạt động theo trò chơi : nhóm nào giải ngắn nhất, khuyến khích học sinh phát vấn và nhóm giải phải trả lời IV. Hoạt động dạy và học : Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung 1/ Hoạt động 2 : HĐ tạo động cơ vào bài : giải bpt rồi dẫn đến Giải pt và bất pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : Mục tiêu : Giúp HS giải tốt phương trình bất pt dạng trên , cách bỏ giá trị tuyệt đối Đề ra hệ thống câu hỏi, yêu cầu HS tìm phương án giải quyết : 1/ Cho biết cách bỏ giá trị tuyệt đối ? ( 2 cách ) 2/ Giải ví dụ 1 trang 147 theo cách 1 3/ Yêu cầu hoạt động nhóm , thể hiện tóm tắt các bước giải, ghi vào bảng phụ và treo lên bảng 2/ Hoạt động 3 : Giúp hs giải Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai : Yêu cầu hs đưa ra phương pháp giải bằng cách bình phương kèm điều kiện Giải ví dụ 1 1/ yêu cầu hs phân tích để tìm ra điều kiện xác định và điều kiện có nghiệm ( SGK trang 148 ) 2/ từ đó yêu cầu hs viết bài giải bằng phép biến đổi tương đương 3/ Cho hs hoạt động nhóm tìm nghiệm phương trình Giải ví dụ 2 : 1/ Yêu cầu hs phân tích để tìm ra điều kiện xác định và điều kiện có nghiệm ( SGK trang 149 ) 2/ Từ đó yêu cầu hs viết bài giải bằng phép biến đổi tương đương 3/ Cho hs hoạt động nhóm tìm nghiệm bất phương trình 4/ Cho hs hoạt động nhóm giải bất phương trình Yêu cầu nhóm có ý kiến, từ đó dẫn đến nhu cầu cần giải bài toán phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Hs tự nghiên cứu SGK, tư duy để giải quyết vấn đề HS trả lời theo nhóm , bổ sung cho hoàn chỉnh Tiến hành thực hành và nhận xét, từ đó rút ra kinh nghiệm Ghi nhận kiến thức HS nghe và hiểu nhiệm vụ Làm việc theo nhóm Các nhóm báo cáo kết quả bằng phiếu học tập Nhóm khác nhận xét và sửa chỉnh cho hoàn thiện ( nếu có ) Ghi nhận kiến thức ( SGK ) Yêu cầu nhóm có ý kiến, từ đó dẫn đến nhu cầu cần giải bài toán phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai Hs giải và mắc sai lầm khi nhận nghiệm, từ đó gv nhấn mạnh đến đk bài toán là rất quan trọng HS nghe và hiểu nhiệm vụ, tìm phương án giải quyết vấn đề Hs trình bày kết quả thông qua phiếu học tập Nhóm khác nhận xét, chỉnh sửa Ghi nhận kiến thức HS nghe và hiểu nhiệm vụ, tìm phương án giải quyết vấn đề Hs trình bày kết quả thông qua phiếu học tập Nhóm khác nhận xét, chỉnh sửa Ghi nhận kiến thức HS nghe và hiểu Nhận biết được dạng của bài toán và các bước giải Pt dạng này Chỉnh sửa , hoàn thiện kiến thức Ghi nhận các kiến thức và các cách giải bài toán I/ Giải pt và bất pt dạng có giá trị tuyệt đối Cách 1 : dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối Cách 2 : sử dụng công thức biến đổi tương đương hoặc Ví dụ : Giải bất phương trình (xem SGK) Ví dụ : Giải phương trình : Giải : phương trình đã cho tương đương với : Hoặc cách khác : Hoặc II/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai : Công thức : Hoặc Ví dụ 1 : Giải phương trình Giải (xem SGK trang 148 ) Ví dụ 2 : Giải bất phương trình Giải (xem SGK trang 149) V. Củng cố : (5' ) Câu hỏi a/ Cho biết các bước giải phương trình và bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối ( 2 cách ) b/ Cho biết các bước giải phương trình và bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn Giải bài 65a, 66a VI . Hướng dẫn về nhà : (1' ) các bài trong SGK trang 151 và 154 Tiết ngày soạn Tên bài : LUYỆN TẬP I/ Mục tiêu : 1/ Kiến thức : + Nhận biết các dạng phương trình và bất phương trình giá trị tuyệt đối và căn thức + Hiểu và vận dụng được các công thức và cách giải pt và bpt 2/ Kỷ năng : Rèn luyện thêm cho học sinh kĩ năng giải các phương trình và bất phương trình quy về bậc hai II/ Chuẩn bị : 1/ Chuẩn bị của giáo viên : bảng ghi tóm tắt công thức Chuẩn bị các bảng kết quả mỗi hoạt động ( để treo hoặc chiếu qua overheat hay projector ) 2/ Chuẩn bị của học sinh : SGK, bài tập soạn trước, các phiếu học tập , chia ra nhiều nhóm III/ Kiểm tra bài cũ : + Yêu cầu hs nêu các dạng phương trình và bất phương trình đã học + Gọi hs tb nêu cách giải các dạng ở trên IV/ Hoạt động dạy và học : Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung Gv chia nhóm học tập, giao bài tập cho nhóm tùy theo mức độ của nhóm Nhóm yếu và trung bình : 69a, d Nhóm trung bình 69b,c Nhóm khá : 70a, b, 73 Nhóm giỏi : 71 a, b, 72 , 74 và 75 * HS tự nghiên cứu bài tập ở nhà , tư duy để giải quyết vấn đề Hs quan sát cách giải nêu thắc mắc, tranh luận về cách giải, nhận xét đánh giá lẫn nhau hau Học sinh ghi nhận kiến thức. Các nhóm khác bổ sung, sửa sai, hoàn chỉnh dưới sự hướng dẫn của GV. Học sinh ghi nhận kiến thức. Bài 69 : a/ pt tương đương KQ : b/ Bất phương trình đã cho tương đương với hệ : KQ : c/ Bất phương trình đã cho tương đương với KQ : d/ Phương trình có hai nghiệm x= 1/5 và x=7 Bài 70 : a/ b/ Bài 71 : a/ x = 2 b/ Đặt Thay vào : KQ : x = 1 hoặc x = - 4 Bài 72 : a/ b/ Bất phương trình đã cho tương đương với hệ c/ Bài 73 : a/ b/ c/ Bất phương trình đã cho tương đương với : Tập nghiệm là Bài 74 : Đặt y = x2 , ( 1 ) a/ Phương trình vô nghiệm khi va chi khi pt ( 1 ) vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm * pt vô nghiệm khi và chỉ khi * pt có nghiệm âm khi và chỉ khi KL m 5/4 b/ Pt có hai nghiệm pb khi và chỉ khi pt (1 ) có hai nghiệm trái dấu hoặc có 1 nghiệm kép dương KQ : c/ Pt có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi ( 1) có hai nghiệm dương phân biệt Bài 75 : Đặt y = x2 ,ta có phương trình : Phương trình đã cho có ba nghiệm pb khi và chỉ khi pt ( 1 ) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 Pt có nghiệmy = 0 khi và chỉ khi Với a = 1 thay vào (1 ) suy ra chỉ có 1 nghiệm nên loại Với a = -1 suy ra y = 0 và y = 1/2 Kl a = -1 V/ Củng cố : Nhắc lại kiến thức trọng tâm VI/ Hướng dẫn dặn dò : làm lại các bài tập đã giải , tiếp tục giải các bài tập còn lạiBạn đang xem bài viết Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!