Xem 37,818
Cập nhật thông tin chi tiết về Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022 mới nhất ngày 24/05/2022 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 37,818 lượt xem.
--- Bài mới hơn ---
2
1. Đề thi ngày 1 (ngày 27/12/2019)
Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 1 và
x n+1 = x n + 3
n
n→+∞ x n
a) Chứng minh rằng lim
p
= 0.
b) Tính giới hạn lim
Bài 2. (5 điểm)
Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và
an+2 = 5an+1 − 6an với mọi n ≥ 2.
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với
mọi số tự nhiên k.
Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực
tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB.
a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0 là điểm đối xứng của A qua O. Gọi
Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D0 , A0 Oa cắt
nhau tại một điểm trên (O).
b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành. Chứng minh rằng các
đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.
3
4
a) Chứng minh rằng lim
b) Tính giới hạn lim
< 1n , mà lim
= 0 nên theo nguyên lý kẹp thì lim
= 0.
b) Cách 1. (sử dụng định lý trung bình Cesaro – định lý Stolz)
2
= yn2 + 3 yn +
Đặt x n = yn2 thì công thức đã cho viết lại thành yn+1
( yn+1 − yn )( yn+1 + yn ) = 3 yn +
yn+1 − yn =
yn+1 + yn
Theo câu a thì lim
=q
3 yn +
yn2 + 3 yn +
+ yn
= 0 nên kéo theo lim
nên
=Ç
1+
= lim
+
+1
.
= 0 và dựa theo đẳng
thức trên thì lim ( yn+1 − yn ) = 32 . Theo định lý trung bình Cesaro thì dãy số (un ) có
n→+∞
lim un = L thì lim
n→+∞
n→+∞
u1 +u2 +···+un
n
= L.
Xét dãy un = yn+1 − yn , áp dụng ta dễ dàng có được
lim
n→+∞
ta thấy rằng nếu lim
=
=
,
= l thì theo định lý Stolz, ta phải có l =
p
l → l = 94 .
5
Sử dụng ước lượng
p
p
p
p
‹2
p
xn +
x n + 23 − 2n nên
p
Mặt khác, dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng
nên ta được
Theo nguyên lý kẹp, dễ dàng suy ra lim nx n = 49 .
Nhận xét. Câu b có thể sử dụng định lý Stolz cho dãy ( yn ) và dãy zn = n cũng thu
được kết quả tương tự, vì thực ra định lý Stolz còn tổng quát hơn cả định lý trung bình
x n+1 −x n
Cesaro: Cho hai dãy số (x n ), ( yn ) có yn dương, tăng, tiến tới vô cực và lim yn+1
− yn = L
n→+∞
= L. Dấu hiệu nhận biết định lý Stolz cho câu b là khá rõ. Nếu ở trên không
p
p
thực hiện đặt dãy phụ thì vẫn có thể xét hiệu x n+1 − x n . Tuy nhiên, nếu ta đi theo
hướng xét trực tiếp dãy x n và n2 thì hơi khó, vì khi đó không dễ để tính trực tiếp được
x
giới hạn sau (cũng khó có thể chứng minh được tính tăng/giảm của dãy n2n , dù trên thực
tế, nó đúng là dãy tăng).
p
3 x n + pnx n
x n+1 − x n
=
.
2n + 1
(n + 1)2 − n2
thì
= 3.
2. (VMO 2022 Mock test) Cho dãy số (un ) thỏa mãn
u1 =
p
a) Tính
u2018 .
b) Chứng minh rằng an =
c) Chứng minh rằng bn =
+ u12 + · · · + u1n hội tụ.
+ u22 + · · · + unn → +∞.
với n ≥ 1. Tính giới hạn của các dãy số sau
€
Š
4. (Chọn đội tuyển Đồng Nai 2022) Cho dãy số (x n ) thỏa mãn x n+1 = 13 x n + p2nx n .
Æ
p
3
3
x
−x
Chứng minh rằng (n − 1)2 < x n < n2 , ∀n ≥ 3 và tính lim p3n+12 n .
n −x n
Lời giải. Nhận xét. Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta luôn có
Ç
X
1≤i≤2018
2019
“i = 0 (do trong tổng ở trên có 2022
i=1
dấu − và 2022 dấu +) nên trong các hệ số này, phải có ít nhất một hệ số bằng 0, vì
nếu không thì vế trái là số lẻ, vô lý. Không mất tính tổng quát, giả sử “2019 = 0. Suy ra
2022
2018
xi − x j , 1 ≤ i ≤ j ≤ n
8
3. (Komal 2014) Với n ≥ 2 ,cho các số thực 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n và 0 ≤ y1 ≤
n
n
P
P
y2 ≤ . . . ≤ yn thỏa mãn điều kiện
xi =
yi = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
i=1
i=1
Bài 3. Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và an+2 = 5an+1 − 6an với mọi
n ≥ 2.
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với
mọi số tự nhiên k.
Lời giải. a) Cách 1. Ta thấy (an ) là dãy sai phân tuyến tính cấp hai có phương trình
đặc trưng x 2 = 5x − 6 với hai nghiệm là x 1 = 2, x 2 = 3 nên dễ dàng tìm được công
thức tổng quát là
an = 2n + 3n , ∀n.
Đến đây, giả sử có n ≥ 1 để an , an+1 có ước nguyên tố chung là p. Rõ ràng gcd(p, 6) =
1. Ta có
n
k
k
k
b) Xét số nguyên tố p là ước của 22 + 32 . Suy ra 22 ≡ −32 (modp) → 22
k+1
32 (modp). Theo định lý Fermat nhỏ thì
k+1
≡
t
0
t
k
a) Chứng minh rằng 2x n+1 = x n2 − 8, từ đó chỉ ra rằng x n = 22 +1 + 2−2
mọi n.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n để [x n ] + 3 là lập phương đúng.
n−1
n−1
+1
với
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H.
Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB.
a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0 là điểm đối xứng của A qua O. Gọi
Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D0 , A0 Oa cắt
nhau tại một điểm trên (O).
b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành. Chứng minh rằng các
đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.
Lời giải. a) Xét hình vẽ như bên dưới, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Giả sử H a D cắt (O) ở K. Gọi M là trung điểm BC thì OD = 2OM = AH. Hai tam giác
cân OBD và OOa B có chung góc đáy O nên chúng đồng dạng, suy ra
OB
OD
=
→ OD · OOa = R2
OB
OOa
với R là bán kính (O).
Suy ra AH ·OOa = R2 nên
=
mà ∠OAH = ∠A0 OAa nên hai tam giác AHO, OA0 Oa
10
--- Bài cũ hơn ---
Bạn đang xem bài viết Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!
