Xem Nhiều 5/2022 # Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022 # Top Trend

Xem 37,818

Cập nhật thông tin chi tiết về Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022 mới nhất ngày 24/05/2022 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 37,818 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Toán Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2022
  • Đề Thi Có Lời Giải Môn Toán Vmo 2022
  • Bình Luận Về Đề Thi Imo 2022
  • Tiến Sĩ Lê Bá Khánh Trình Hội Ngộ Người Chấm Giải Đặc Biệt Cho Mình Sau 40 Năm
  • Ts Lê Bá Khánh Trình Nói Về Thành Tích Của Đội Imo Việt Nam
  • 2

    1. Đề thi ngày 1 (ngày 27/12/2019)

    Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 1 và

    x n+1 = x n + 3

    n

    n→+∞ x n

    a) Chứng minh rằng lim

    p

    = 0.

    b) Tính giới hạn lim

    Bài 2. (5 điểm)

    Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và

    an+2 = 5an+1 − 6an với mọi n ≥ 2.

    a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.

    b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với

    mọi số tự nhiên k.

    Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực

    tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB.

    a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0 là điểm đối xứng của A qua O. Gọi

    Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D0 , A0 Oa cắt

    nhau tại một điểm trên (O).

    b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành. Chứng minh rằng các

    đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.

    3

    4

    a) Chứng minh rằng lim

    b) Tính giới hạn lim

    < 1n , mà lim

    = 0 nên theo nguyên lý kẹp thì lim

    = 0.

    b) Cách 1. (sử dụng định lý trung bình Cesaro – định lý Stolz)

    2

    = yn2 + 3 yn +

    Đặt x n = yn2 thì công thức đã cho viết lại thành yn+1

    ( yn+1 − yn )( yn+1 + yn ) = 3 yn +

    yn+1 − yn =

    yn+1 + yn

    Theo câu a thì lim

    =q

    3 yn +

    yn2 + 3 yn +

    + yn

    = 0 nên kéo theo lim

    nên

    1+

    = lim

    +

    +1

    .

    = 0 và dựa theo đẳng

    thức trên thì lim ( yn+1 − yn ) = 32 . Theo định lý trung bình Cesaro thì dãy số (un ) có

    n→+∞

    lim un = L thì lim

    n→+∞

    n→+∞

    u1 +u2 +···+un

    n

    = L.

    Xét dãy un = yn+1 − yn , áp dụng ta dễ dàng có được

    lim

    n→+∞

    ta thấy rằng nếu lim

    =

    =

    ,

    = l thì theo định lý Stolz, ta phải có l =

    p

    l → l = 94 .

    5

    Sử dụng ước lượng

    p

    p

    p

    p

    ‹2

    p

    xn +

    x n + 23 − 2n nên

    p

    Mặt khác, dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng

    nên ta được

    Theo nguyên lý kẹp, dễ dàng suy ra lim nx n = 49 .

    Nhận xét. Câu b có thể sử dụng định lý Stolz cho dãy ( yn ) và dãy zn = n cũng thu

    được kết quả tương tự, vì thực ra định lý Stolz còn tổng quát hơn cả định lý trung bình

    x n+1 −x n

    Cesaro: Cho hai dãy số (x n ), ( yn ) có yn dương, tăng, tiến tới vô cực và lim yn+1

    − yn = L

    n→+∞

    = L. Dấu hiệu nhận biết định lý Stolz cho câu b là khá rõ. Nếu ở trên không

    p

    p

    thực hiện đặt dãy phụ thì vẫn có thể xét hiệu x n+1 − x n . Tuy nhiên, nếu ta đi theo

    hướng xét trực tiếp dãy x n và n2 thì hơi khó, vì khi đó không dễ để tính trực tiếp được

    x

    giới hạn sau (cũng khó có thể chứng minh được tính tăng/giảm của dãy n2n , dù trên thực

    tế, nó đúng là dãy tăng).

    p

    3 x n + pnx n

    x n+1 − x n

    =

    .

    2n + 1

    (n + 1)2 − n2

    thì

    = 3.

    2. (VMO 2022 Mock test) Cho dãy số (un ) thỏa mãn

    u1 =

    p

    a) Tính

    u2018 .

    b) Chứng minh rằng an =

    c) Chứng minh rằng bn =

    + u12 + · · · + u1n hội tụ.

    + u22 + · · · + unn → +∞.

    với n ≥ 1. Tính giới hạn của các dãy số sau

    Š

    4. (Chọn đội tuyển Đồng Nai 2022) Cho dãy số (x n ) thỏa mãn x n+1 = 13 x n + p2nx n .

    Æ

    p

    3

    3

    x

    −x

    Chứng minh rằng (n − 1)2 < x n < n2 , ∀n ≥ 3 và tính lim p3n+12 n .

    n −x n

    Lời giải. Nhận xét. Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta luôn có

    Ç

    X

    1≤i≤2018

    2019

    “i = 0 (do trong tổng ở trên có 2022

    i=1

    dấu − và 2022 dấu +) nên trong các hệ số này, phải có ít nhất một hệ số bằng 0, vì

    nếu không thì vế trái là số lẻ, vô lý. Không mất tính tổng quát, giả sử “2019 = 0. Suy ra

    2022

    2018

    xi − x j , 1 ≤ i ≤ j ≤ n

    8

    3. (Komal 2014) Với n ≥ 2 ,cho các số thực 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n và 0 ≤ y1 ≤

    n

    n

    P

    P

    y2 ≤ . . . ≤ yn thỏa mãn điều kiện

    xi =

    yi = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của

    i=1

    i=1

    Bài 3. Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và an+2 = 5an+1 − 6an với mọi

    n ≥ 2.

    a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.

    b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với

    mọi số tự nhiên k.

    Lời giải. a) Cách 1. Ta thấy (an ) là dãy sai phân tuyến tính cấp hai có phương trình

    đặc trưng x 2 = 5x − 6 với hai nghiệm là x 1 = 2, x 2 = 3 nên dễ dàng tìm được công

    thức tổng quát là

    an = 2n + 3n , ∀n.

    Đến đây, giả sử có n ≥ 1 để an , an+1 có ước nguyên tố chung là p. Rõ ràng gcd(p, 6) =

    1. Ta có

    n

    k

    k

    k

    b) Xét số nguyên tố p là ước của 22 + 32 . Suy ra 22 ≡ −32 (modp) → 22

    k+1

    32 (modp). Theo định lý Fermat nhỏ thì

    k+1

    t

    0

    t

    k

    a) Chứng minh rằng 2x n+1 = x n2 − 8, từ đó chỉ ra rằng x n = 22 +1 + 2−2

    mọi n.

    b) Tìm tất cả các số nguyên dương n để [x n ] + 3 là lập phương đúng.

    n−1

    n−1

    +1

    với

    Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H.

    Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB.

    a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0 là điểm đối xứng của A qua O. Gọi

    Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D0 , A0 Oa cắt

    nhau tại một điểm trên (O).

    b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành. Chứng minh rằng các

    đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.

    Lời giải. a) Xét hình vẽ như bên dưới, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

    Giả sử H a D cắt (O) ở K. Gọi M là trung điểm BC thì OD = 2OM = AH. Hai tam giác

    cân OBD và OOa B có chung góc đáy O nên chúng đồng dạng, suy ra

    OB

    OD

    =

    → OD · OOa = R2

    OB

    OOa

    với R là bán kính (O).

    Suy ra AH ·OOa = R2 nên

    =

    mà ∠OAH = ∠A0 OAa nên hai tam giác AHO, OA0 Oa

    10

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Kiểm Tra Học Kì I Lớp 7 Môn Sinh Học Năm 2022
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án
  • Top 52 Đề Kiểm Tra, Đề Thi Toán Lớp 6 Có Đáp Án, Cực Hay
  • Bộ Đề Ôn Tập Môn Toán Lớp 5 Lên Lớp 6 (Có Đáp Án)
  • Tuyển Tập Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 6 (Có Đáp Án)
  • Bạn đang xem bài viết Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100