Cập nhật thông tin chi tiết về Luyện Tập Đệ Quy (Phần 1) mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Như đã nói ở bài trước thì trong kỹ thuật đệ quy, phần khó nhất là tìm ra công thức truy hồi hay tổng quát hoá vấn đề. Muốn dùng kỹ thuật đệ quy, phải tư duy theo kiểu đệ quy. Mong loạt bài luyện tập đệ quy có thể giúp bạn có cái nhìn tổng quát về hướng tiếp cận với một bài toán theo kiểu đệ quy.
Khi giải một bài toán bằng đệ quy, thông thường mình sẽ thử viết ra kết quả đối với những trường hợp đơn giản, sau đó cố gắng rút ra công thức tổng quát. Sẽ không có một phương pháp chung để có thể học tốt đệ quy, vì nó còn dựa vào yếu tố kinh nghiệm, làm nhiều bạn sẽ quen với tư duy kiểu đệ quy.
Bài 1: Tính S = 1 + 2 + 3 + … + n
Dễ dàng tìm được công thức tổng quát cho bài này là:
S(0) = 0
S(n) = S(n-1) + n
Bài 2: Tính xn
Công thức này học sinh lớp 7 nào cũng phải biết
x0 = 1
xn = x * xn-1
Bài 3: Tìm UCLN(a, b)
Ta có thể dùng công thức Euclid như sau:
UCLN(a, b) = b nếu a chia hết cho b.
Ngược lại: UCLN(a, b) = UCLN(b, a mod b)
Với công thức này thì điểm dừng của đệ quy là trường hợp a chia hết cho b.
3 bài trên quá dễ vì đã có sẵn công thức truy hồi.
Bài 4: Tính (n dấu căn)
Ta tính thử một vài trường hợp đơn giản và cố gắng suy ra liên hệ đối với trường hợp trước đó.
n = 1 (1 dấu căn):
n = 2 (2 dấu căn):
n = 3 (3 dấu căn):
Và điểm dừng của công thức này S(1) = 1.
Bài 5: Đếm số lượng chữ số của một số nguyên n.
Trước khi chưa biết đệ quy, ta thường làm cách dùng vòng lặp, dùng một biến đếm lưu kết quả, mỗi lần lặp tăng biến đếm lên và chia n cho 10, lặp cho đến khi n bằng 0. Nếu tư duy theo kiểu đệ quy sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Giả sử có số nguyên dương , ta đếm số lượng chữ số bằng cách: đếm số lượng của số nguyên rồi cộng thêm 1 (ứng với chữ số ). Và trường hợp cơ bản là nếu n < 10 thì có 1 chữ số.
int DemSoLuongChuSo(int n) { if (n < 10) return 1; else return DemSoLuongChuSo(n / 10) + 1; }Vậy số nguyên âm thì sao ? Đơn giản ta chỉ cần đếm số đối của nó, hàm được cài đặt hoàn thiện như sau
int DemSoLuongChuSo(int n) { if (n < 0) return DemSoLuongChuSo(-n); else if (n < 10) return 1; else return DemSoLuongChuSo(n / 10) + 1; }Chia sẻ:
Tweet
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy
KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY
Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tượng khác cùng dạng với chính nó bằng quy nạp.
Ví dụ: Đặt hai chiếc gương cầu đối diện nhau. Trong chiếc gương thứ nhất chứa hình chiếc gương thứ hai. Chiếc gương thứ hai lại chứa hình chiếc gương thứ nhất nên tất nhiên nó chứa lại hình ảnh của chính nó trong chiếc gương thứ nhất… Ở một góc nhìn hợp lý, ta có thể thấy một dãy ảnh vô hạn của cả hai chiếc gương.
Một ví dụ khác là nếu người ta phát hình trực tiếp phát thanh viên ngồi bên máy vô tuyến truyền hình, trên màn hình của máy này lại có chính hình ảnh của phát thanh viên đó ngồi bên máy vô tuyến truyền hình và cứ như thế…
Trong toán học, ta cũng hay gặp các định nghĩa đệ quy:
GIẢI THUẬT ĐỆ QUY
Nếu lời giải của một bài toán P được thực hiện bằng lời giải của bài toán P’ có dạng giống như P thì đó là một lời giải đệ quy. Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ quy. Mới nghe thì có vẻ hơi lạ nhưng điểm mấu chốt cần lưu ý là: P’ tuy có dạng giống như P, nhưng theo một nghĩa nào đó, nó phải “nhỏ” hơn P, dễ giải hơn P và việc giải nó không cần dùng đến P.
Trong Pascal, ta đã thấy nhiều ví dụ của các hàm và thủ tục có chứa lời gọi đệ quy tới chính nó, bây giờ, ta tóm tắt lại các phép đệ quy trực tiếp và tương hỗ được viết như thế nào:
Định nghĩa một hàm đệ quy hay thủ tục đệ quy gồm hai phần:
Phần neo (anchor): Phần này được thực hiện khi mà công việc quá đơn giản, có thể giải trực tiếp chứ không cần phải nhờ đến một bài toán con nào cả.
Phần đệ quy: Trong trường hợp bài toán chưa thể giải được bằng phần neo, ta xác định những bài toán con và gọi đệ quy giải những bài toán con đó. Khi đã có lời giải (đáp số) của những bài toán con rồi thì phối hợp chúng lại để giải bài toán đang quan tâm.
Phần đệ quy thể hiện tính “quy nạp” của lời giải. Phần neo cũng rất quan trọng bởi nó quyết
định tới tính hữu hạn dừng của lời giải.
VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY
Hàm tính giai thừa
function Factorial(n: Integer): Integer; {Nhận vào số tự nhiên n và trả về n!}
begin
if n = 0 then Factorial := 1 {Phần neo}
else Factorial := n * Factorial(n – 1); {Phần đệ quy}
end;
Ví dụ: Dùng hàm này để tính 3!, trước hết nó phải đi tính 2! bởi 3! được tính bằng tích của 3 * 2!. Tương tự để tính 2!, nó lại đi tính 1! bởi 2! được tính bằng 2 * 1!. Áp dụng bước quy nạp này thêm một lần nữa, 1! = 1 * 0!, và ta đạt tới trường hợp của phần neo, đến đây từ giá trị 1 của 0!, nó tính được 1! = 1*1 = 1; từ giá trị của 1! nó tính được 2!; từ giá trị của 2! nó tính được 3!; cuối cùng cho kết quả là 6:
3! = 3 * 2! ↓ 2! = 2 * 1! ↓ 1! = 1 * 0! ↓ 0! = 1
Dãy số Fibonacci
Dãy số Fibonacci bắt nguồn từ bài toán cổ về việc sinh sản của các cặp thỏ. Bài toán đặt ra như sau:
Các con thỏ không bao giờ chết
Hai tháng sau khi ra đời, mỗi cặp thỏ mới sẽ sinh ra một cặp thỏ con (một đực, một cái)
Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh được một cặp con mới Giả sử từ đầu tháng 1 có một cặp mới ra đời thì đến giữa tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp. Ví dụ, n = 5, ta thấy:
Giữa tháng thứ 1:1 cặp (ab) (cặp ban đầu)
Giữa tháng thứ 2:1 cặp (ab) (cặp ban đầu vẫn chưa đẻ)
Giữa tháng thứ 3:2 cặp (AB)(cd) (cặp ban đầu đẻ ra thêm 1 cặp con) Giữa tháng thứ 4:3 cặp (AB)(cd)(ef) (cặp ban đầu tiếp tục đẻ)
Giữa tháng thứ 5:5 cặp (AB)(CD)(ef)(gh)(ik) (cả cặp (AB) và (CD) cùng đẻ) Bây giờ, ta xét tới việc tính số cặp thỏ ở tháng thứ n: F(n)
Nếu mỗi cặp thỏ ở tháng thứ n – 1 đều sinh ra một cặp thỏ con thì số cặp thỏ ở tháng thứ n sẽ là:
F(n) = 2 * F(n – 1)
Nhưng vấn đề không phải như vậy, trong các cặp thỏ ở tháng thứ n – 1, chỉ có những cặp thỏ đã có ở tháng thứ n – 2 mới sinh con ở tháng thứ n được thôi. Do đó F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) (= số cũ + số sinh ra). Vậy có thể tính được F(n) theo công thức sau:
F(n) = 1 nếu n ≤ 2
function F(n: Integer): Integer; {Tính số cặp thỏ ở tháng thứ n}
begin
if n £ 2 then F := 1 {Phần neo}
else F := F(n – 1) + F(n – 2); {Phần đệ quy}
end;
Giả thuyết của Collatz
Collatz đưa ra giả thuyết rằng: với một số nguyên dương X, nếu X chẵn thì ta gán X := X div 2; nếu X lẻ thì ta gán X := X * 3 + 1. Thì sau một số hữu hạn bước, ta sẽ có X = 1.
Ví dụ: X = 10, các bước tiến hành như sau:
1. X = 10 (chẵn)⇒X := 10 div 2;(5)Cứ cho giả thuyết Collatz là đúng đắn, vấn đề đặt ra là: Cho trước số 1 cùng với hai phép toán * 2 và div 3, hãy sử dụng một cách hợp lý hai phép toán đó để biến số 1 thành một giá trị nguyên dương X cho trước.
Ví dụ: X = 10 ta có 1 * 2 * 2 * 2 * 2 div 3 * 2 = 10.
Nếu X chẵn, thì ta tìm cách biểu diễn số X div 2 và viết thêm phép toán * 2 vào cuối Nếu X lẻ, thì ta tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1 và viết thêm phép toán div 3 vào cuối
procedure Solve(X: Integer); {In ra cách biểu diễn số X}
begin
if X = 1 then Write(X) {Phần neo}
else {Phần đệ quy}
if X mod 2 = 0 then {X chẵn}
begin
Solve(X div 2); {Tìm cách biểu diễn số X div 2} Write(‘ * 2’); {Sau đó viết thêm phép toán * 2} end
else {X lẻ}
begin
Solve(X * 3 + 1); {Tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1}
Write(‘ div 3’); {Sau đó viết thêm phép toán div 3}
end;
end;
procedure Solve(X: Integer); forward; {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X: Khai báo trước, đặc tả sau}
begin
Solve(X * 3 + 1);
Write(‘ div 3’); end;
procedure SolveEven(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X trong trường hợp X chẵn}
begin
Solve(X div 2);
Write(‘ * 2’); end;
procedure Solve(X: Integer); {Phần đặc tả của thủ tục Solve đã khai báo trước ở trên}
begin
if X = 1 then Write(X) else
if X mod 2 = 1 then SolveOdd(X) else SolveEven(X);
end;
Trong cả hai cách viết, để tìm biểu diễn số X theo yêu cầu chỉ cần gọi Solve(X) là xong. Tuy nhiên trong cách viết đệ quy trực tiếp, thủ tục Solve có lời gọi tới chính nó, còn trong cách viết đệ quy tương hỗ, thủ tục Solve chứa lời gọi tới thủ tục SolveOdd và SolveEven, hai thủ tục này lại chứa trong nó lời gọi ngược về thủ tục Solve.
Đối với những bài toán nêu trên, việc thiết kế các giải thuật đệ quy tương ứng khá thuận lợi vì cả hai đều thuộc dạng tính giá trị hàm mà định nghĩa quy nạp của hàm đó được xác định dễ dàng.
Nhưng không phải lúc nào phép giải đệ quy cũng có thể nhìn nhận và thiết kế dễ dàng như vậy. Thế thì vấn đề gì cần lưu tâm trong phép giải đệ quy?. Có thể tìm thấy câu trả lời qua việc giải đáp các câu hỏi sau:
Có thể định nghĩa được bài toán dưới dạng phối hợp của những bài toán cùng loại nhưng nhỏ hơn hay không ? Khái niệm “nhỏ hơn” là thế nào ?
Trường hợp đặc biệt nào của bài toán sẽ được coi là trường hợp tầm thường và có thể giải ngay được để đưa vào phần neo của phép giải đệ quy
Bài toán Tháp Hà Nội
Đây là một bài toán mang tính chất một trò chơi, tương truyền rằng tại ngôi đền Benares có ba cái cọc kim cương. Khi khai sinh ra thế giới, thượng đế đặt n cái đĩa bằng vàng chồng lên nhau theo thứ tự giảm dần của đường kính tính từ dưới lên, đĩa to nhất được đặt trên một chiếc cọc.
Tháp Hà Nội
Các nhà sư lần lượt chuyển các đĩa sang cọc khác theo luật:
Khi di chuyển một đĩa, phải đặt nó vào một trong ba cọc đã cho
Mỗi lần chỉ có thể chuyển một đĩa và phải là đĩa ở trên cùng
Tại một vị trí, đĩa nào mới chuyển đến sẽ phải đặt lên trên cùng
Đĩa lớn hơn không bao giờ được phép đặt lên trên đĩa nhỏ hơn (hay nói cách khác: một đĩa chỉ được đặt trên cọc hoặc đặt trên một đĩa lớn hơn).
Ngày tận thế sẽ đến khi toàn bộ chồng đĩa được chuyển sang một cọc khác.
Trong trường hợp có 2 đĩa, cách làm có thể mô tả như sau:
Chuyển đĩa nhỏ sang cọc 3, đĩa lớn sang cọc 2 rồi chuyển đĩa nhỏ từ cọc 3 sang cọc 2.
Những người mới bắt đầu có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng khi số đĩa là ít, nhưng họ sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi số các đĩa nhiều hơn. Tuy nhiên, với tư duy quy nạp toán học và một máy tính thì công việc trở nên khá dễ dàng:
Có n đĩa.
Nếu n = 1 thì ta chuyển đĩa duy nhất đó từ cọc 1 sang cọc 2 là xong.
Giả sử rằng ta có phương pháp chuyển được n – 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2, thì cách chuyển n – 1 đĩa từ cọc x sang cọc y (1 ≤ x, y ≤ 3) cũng tương tự.
Giả sử ràng ta có phương pháp chuyển được n – 1 đĩa giữa hai cọc bất kỳ. Để chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y, ta gọi cọc còn lại là z (=6 – x – y). Coi đĩa to nhất là … cọc, chuyển n – 1 đĩa còn lại từ cọc x sang cọc z, sau đó chuyển đĩa to nhất đó sang cọc y và cuối cùng lại coi đĩa to nhất đó là cọc, chuyển n – 1 đĩa còn lại đang ở cọc z sang cọc y chồng lên đĩa to nhất.
procedure Move(n, x, y: Integer); {Thủ tục chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y}
begin
if n = 1 then WriteLn(‘Chuyển 1 đĩa từ ‘, x, ‘ sang ‘, y)
begin
Move(n – 1, x, 6 – x – y); {Chuyển n – 1 đĩa từ cọc x sang cọc trung gian}
Move(1, x, y); {Chuyển đĩa to nhất từ x sang y}
Move(n – 1, 6 – x – y, y); {Chuyển n – 1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc y}
end;
end;
Chương trình chính rất đơn giản, chỉ gồm có 2 việc: Nhập vào số n và gọi Move(n, 1, 2).
HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY
Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy đệ quy là một công cụ mạnh để giải các bài toán. Có những bài toán mà bên cạnh giải thuật đệ quy vẫn có những giải thuật lặp khá đơn giản và hữu hiệu. Chẳng hạn bài toán tính giai thừa hay tính số Fibonacci. Tuy vậy, đệ quy vẫn có vai trò xứng đáng của nó, có nhiều bài toán mà việc thiết kế giải thuật đệ quy đơn giản hơn nhiều so với lời giải lặp và trong một số trường hợp chương trình đệ quy hoạt động nhanh hơn chương trình viết không có đệ quy. Giải thuật cho bài Tháp Hà Nội và thuật toán sắp xếp kiểu phân đoạn (QuickSort) mà ta sẽ nói tới trong các bài sau là những ví dụ.
Có một mối quan hệ khăng khít giữa đệ quy và quy nạp toán học. Cách giải đệ quy cho một bài toán dựa trên việc định rõ lời giải cho trường hợp suy biến (neo) rồi thiết kế làm sao để lời giải của bài toán được suy ra từ lời giải của bài toán nhỏ hơn cùng loại như thế. Tương tự như vậy, quy nạp toán học chứng minh một tính chất nào đó ứng với số tự nhiên cũng bằng cách chứng minh tính chất đó đúng với một số trường hợp cơ sở (thường người ta chứng minh nó đúng với 0 hay đúng với 1) và sau đó chứng minh tính chất đó sẽ đúng với n bất kỳ nếu nó đã đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n.
Rõ ràng là tính chất này đúng với n = 1, bởi ta cần 2 1 – 1 = 1 lần chuyển đĩa để thực hiện yêu cầu.
Vậy thì công thức này sẽ đúng với mọi n.
Thật đáng tiếc nếu như chúng ta phải lập trình với một công cụ không cho phép đệ quy, nhưng như vậy không có nghĩa là ta bó tay trước một bài toán mang tính đệ quy. Mọi giải thuật đệ quy đều có cách thay thế bằng một giải thuật không đệ quy (khử đệ quy), có thể nói được như vậy bởi tất cả các chương trình con đệ quy sẽ đều được trình dịch chuyển thành những mã lệnh không đệ quy trước khi giao cho máy tính thực hiện.
Việc tìm hiểu cách khử đệ quy một cách “máy móc” như các chương trình dịch thì chỉ cần hiểu rõ cơ chế xếp chồng của các thủ tục trong một dây chuyền gọi đệ quy là có thể làm được. Nhưng muốn khử đệ quy một cách tinh tế thì phải tuỳ thuộc vào từng bài toán mà khử đệ quy cho khéo. Không phải tìm đâu xa, những kỹ thuật giải công thức truy hồi bằng quy hoạch động là ví dụ cho thấy tính nghệ thuật trong những cách tiếp cận bài toán mang bản chất đệ quy để tìm ra một giải thuật không đệ quy đầy hiệu quả.
Bài tập
Bài 1
Viết một hàm đệ quy tính ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a, b không đồng thời bằng 0, chỉ rõ đâu là phần neo, đâu là phần đệ quy.
Bài 2
Viết một hàm đệ quy tính C k theo công thức truy hồi sau:
Chứng minh rằng hàm đó cho ra đúng giá trị:
C nk = n! / k!(n – k)!
Bài 3
Nêu rõ các bước thực hiện của giải thuật cho bài Tháp Hà Nội trong trường hợp n = 3. Viết chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội không đệ quy.
Đề Luyện Thi Pet (B1) Phần Đọc
PET reading practice tests (B1 Tests)
Đề thi PET (B1) phần đọc có đáp án
Đề thi PET (B1) phần đọc là tài liệu luyện thi chứng chỉ Cambridge Preliminary English Test. Với tài liệu này, các bạn sẽ nâng cao kỹ năng đọc của mình một cách tốt nhất. Mời các bạn tham khảo và củng cố kiến thức Tiếng Anh, chuẩn bị cho kì thi B1 hoặc các kì thi Tiếng Anh khác.
Các topic và bài viết thư mẫu tiếng Anh B1 châu Âu Cẩm nang luyện thi chứng chỉ Tiếng Anh B1 15 topic thi nói tiếng Anh B1 Mẫu đề thi chứng chỉ tiếng anh B1, B2 theo khung tham chiếu chung Châu Âu
PET READING, PART 2 – MATCHING In this part, you have to match five people to eight texts. The people all want to attend a course. Read the descriptions of eight courses. Decide which course would be the most suitable for each person. For Questions 1-5, select the best course. A – Form and Colour
This is year-long course is perfect for people who want to learn about how to use a camera and who want to take it up as a profession. Students will learn how to use light and shade, colour and different shapes. The course will also teach students to change their work using computer technology. Tips will be given on how best to get started in the profession.
B – Practice makes Perfect
Learn about how to use computer software to make your work life easier. This course is designed for people who use computers regularly as part of their career, but who feel they are unable to make the most of the technology. Learn about new software for storing documents and photographs and keeping records. This evening class runs for ten weeks from September to December.
C – Armchair Explorer
This is a series of daytime lectures by people who have lived and worked in wild places. Each of the six talks will focus on a different continent. Lecturers will show photographs of the animals and plants, and explain why they are only found in one area. Lecturers will include Leo Holland, a scientist from the Antarctic project, and Milly Oliphant, who researches birds in the Amazon rainforest. Tea and Biscuits provided.
D – Art Starter
Are you interested in a career in art? If so, this full-time, eight-week course will be perfect for you. Learn about different methods used by artists, including painting, drawing, photography and computer design. Artists will create work for an exhibition which will be displayed in the Town Hall for one month in September. Top businessmen and women from the design industry will be invited to attend the exhibition, so this could be a great start to your career!
E – Wild Design
Whether you want a career in art, or you just want to enjoy your hobby, this holiday course is for you. Wild Design is a two-week summer course situated on the wild coast of South Wales. We teach all kinds of art, including photography and painting, and the wild sea, beautiful flowers and great wildlife will definitely give you lots of creative ideas. Even if you already have a good understanding of art, you are sure to learn something new from our team of professional tutors.
F – Explore your Imagination
Do you want to show your friends a photograph of you beside the Egyptian pyramids or in the jungles of Borneo? Well now you can tell your friends that you have travelled the world without actually leaving the country! Join this evening class and learn how to use the latest technology and software to change photographs to a professional standard. You will also learn how to make your own computer designs using the computer programmes used by professionals.
G – Technology for You
Do you feel as if everyone is using a computer except you? Join in this five-day course and learn the basics. You’ll learn how to store your personal files, send emails and use simple programmes to write and print letters. In the afternoons you will have the choice of either learning how to make Birthday Cards and other designs on a computer, or you can join our ‘Basic computers for Work’ class.
Question 1
Harriet is 71, and is interested in painting and drawing. She would like to go somewhere in the summer where she can learn new tips and paint attractive scenery.
A – Form and ColourB – Practice makes PerfectC – Armchair ExplorerD – Art StarterE – Wild DesignF – Explore your ImaginationG – Technology for You
Question 2
Belinda works for a large Art Company and she feels she needs to improve her computer skills. She already has a basic understanding of some common computer programmes, but she wants to learn how to organise her work and store information.
A – Form and ColourB – Practice makes PerfectC – Armchair ExplorerD – Art StarterE – Wild DesignF – Explore your ImaginationG – Technology for You
Question 3
Jenny is interested in a career in design, and wants to learn how to create art and change photographs using special computer programmes. She wants a course that will fit into her normal school day.
A – Form and ColourB – Practice makes PerfectC – Armchair ExplorerD – Art StarterE – Wild DesignF – Explore your ImaginationG – Technology for You
Giải Bài Tập Phần Quy Đồng Mẫu Thức Nhiều Phân Thức Toán Lớp 8
Kiến thức cần nhớ:
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.
1. Tìm mẫu thức chung
Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:
Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.
Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:
Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng)
Với mỗi cơ số của luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất
2. Quy đồng mẫu thức
Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng
Bài 14 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) ,
b) ,
Bài 15 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8
Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a) ,
b) ,
Bài 16 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):
a) , ,
b) , ,
Bài 17 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8
Đố. Cho hai phân thức: ,
Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn còn bạn Lan bảo rằng: “Quá đơn giản! .Đố em biết bạn nào chọn đúng?
HƯỚNG DẪN – BÀI GIẢI – ĐÁP SỐ
Bài 14 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8 Hướng dẫn:
Các bước quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức:
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung (MTC).
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Giải:
a) Số mũ cao nhất của x là 5 ; số mũ cao nhất của y là 4.
MTC cần tìm là .
Nhân tử phụ của mẫu thức là , do đó:
Nhân tử phụ của mẫu thức là , do đó:
b)
MTC cần tìm là
Nhân tử phụ của mẫu thức là 4x , do đó:
Nhân tử phụ của mẫu thức $latex 12x^{4}y^{2} $ là do đó:
Bài 15 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8 Hướng dẫn:
Thức hiện các bước quy đồng mẫu thức nhiều phân thức như trong bài 14.
Lưu ý rút gọn phân thức nếu có thể.
Giải:
a) .
.
MTC: 2(x – 3)( x + 3 )
Nhân tử phụ của mẫu thức 2 ( x + 3 ) là (x – 3)
Ta có:
Nhân tử phụ của mẫu thức ( x – 3 ) (x + 3) là 2.
Ta có:
b) .
.
MTC:
Nhân tử phụ của mẫu thức là 3, do đó:
Nhân tử phụ của mẫu thức 3 ( x – 4 ) là ( x- 4) , do đó:
Bài 16 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8
a) Ta có: .
MTC:
Ta có: .
.
.
b) 2x – 4 = 2 ( x -2 )
6-3x = -3 ( x- 2)
MTC : 6 (x -2 ) ( x + 2)
Do đó: .
.
.
Bài 17 trang 43 sách giáo khoa Toán lớp 8
Hướng dẫn:
nếu không rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Tuấn làm đúng.
Nếu rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Lan làm đúng.
Giải:
– Nếu không rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Tuấn làm đúng, vì:
nên MTC
– Nếu rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Lan làm đúng, vì:
.
.
Bạn đang xem bài viết Luyện Tập Đệ Quy (Phần 1) trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!