Xem Nhiều 3/2023 # Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông # Top 8 Trend

Cập nhật thông tin chi tiết về Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Nguyễn Hoàng Xinh

Nguyễn Thị Mỹ Cầm MSSV: 1110007 Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2015

1 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

LỜI CẢM ƠN Trong cuộc sống không có sự thành công nào mà không dựa trên sự nỗ lực, quyết tâm của cá nhân cùng với sự giúp đỡ hỗ trợ của mọi người. Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói chung lời cảm ơn chân thành vì đã tạo điều kiện để em được học tập, nghiên cứu, mở rộng kiến thức cũng như tạo cơ hội để em có thể thực hiện và hoàn thành luận này. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng hết sức mình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Song cũng không thể tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu từ quý Thầy cô và bạn đọc để luận văn của em hoàn thiện hơn. Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi dào sức khỏe, thành công trong công tác giảng dạy và cuộc sống. Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Cầm

2 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông…………….5 1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp…………………………………………………………………………………………5 1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học……………………………………………………………….10 1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng nhị thức Newton………………………………………………………20 1.4 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp chéo hóa ma trận……………………………………………………………….27 1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp đưa về dạng chuẩn Jordan………………………………………………………35 1.6 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng định lý Cayley – Hamilton……………………………………………41 Chương 2: Bài tập và lời giải…………………………………………………….45

PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO

3 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

4 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG 1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp 1.1.1 Phương pháp Phân tích ma trận về các ma trận đặc biệt như ma trận đơn vị, ma trận không. 1.1.2 Các ví dụ a) Ví dụ 1

2014

Giải

503

b) Ví dụ 2 Trong M 2 

3

 cho

Giải 5 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

671

*

Giải Ta thấy A4  0  An  0, n  4

GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

d) Ví dụ 4

Chứng minh rằng A2014  0 thì A2  0 .

ii)

Tìm ma trận A để n 

: An  I 2

Giải

i)

2014

Ta có A

d   với d là một số thực nào đó. c 2014 

e  với e là số thực nào đó. cn 

Từ giả thiết An  I 2  a n  c n  1 . Vì thế xảy ra các trường hợp:

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

tất

cả

ma

a, b, c, d  , n 

trận

sao

cho

với

*

Giải

0 0 Ta thấy A    là một ma trận cần tìm. 0 0

*

Trường hợp 1: c  0

b  0 Từ hệ phương trình ta có:  a  d  c  0

 4

Từ đẳng thức:

 c3  ac  a  d   d 2c

8 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Từ

 4

a  d 

3

ta có c = a+d thay vào phương trình trên ta được:

 a(a  d )  d 2 (a  d )  ad  0

Trường hợp 2: b  0

 0 0 b 0 0 c  d d   e , , , , Vậy các ma trận cần tìm là  a a   b 0   0 c   0 0   0

Với a, b, c, d, e, f là các số thực. f) Ví dụ 6

, tính An , n 

*

Giải

Xét ánh xạ f :

a  bi

Dễ dàng chứng minh f là một đẳng cấu trường. 9 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Xét g :

a

Dễ dàng chứng minh g là một đẳng cấu trường.

2

 cos n sin n   rn     sin n cos n  1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học 1.2.1 Phương pháp 10 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 ,… Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã dự đoán ở bước 2. 1.2.2 Các ví dụ a) Ví dụ 1

1.1

Chứng minh 1.1 bằng phương pháp quy nạp toán học  n  1 công thức 1.1 đúng.  Giả sử công thức 1.1 đúng với n  k , k 

*

 Chứng minh công thức 1.1 đúng với n  k  1, tức là chứng minh:

*

.

 1 2014  . Chọn n  2014 ta được: A2014   1  0  Sử dụng Maple 11 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

*

Giải

Dự đoán: Bn  3n1.B , với n 

*

1.2 

.

Chứng minh 1.2  bằng phương pháp quy nạp toán học  n  1 , công thức 1.2  đúng.  Giả sử công thức 1.2  đúng với n  k , k 

*

, ta có: Bk  3k 1.B .

 Chứng minh công thức 1.2  đúng với n  k  1 , tức là chứng minh:

Bk 1  3k.B . Thậy vậy: 12 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Bk 1  3k.B  3k 1.B.B  3k 1.3B  3k.B . Vậy Bn  3n1.B, n 

*

.

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả Giả sử n = 1993

Theo cách giải trên ta được: A1993

 31992 31992 31992    A1993 :  31992 31992 31992   31992 31992 31992   

c) Ví dụ 3

*

.

Giải

13 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 22 I Ta tính được: A2    O

1.3

Chứng minh công thức 1.3 bằng phương pháp quy nạp toán học.  n  1 : công thức 1.3 đúng.  Giả

sử

công

thức

1.3

đúng

với

n  k, k 

*

.Ta

có:

 Ta chứng minh 1.3 đúng với n  k  1, tức là chứng minh

Thậy vậy:

*

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả Giả sử n = 100, theo cách giải trên thì:

14 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

A100

d) Ví dụ 4

1.4 

Chứng minh 1.4  bằng phương pháp quy nạp toán học. 15 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông



n  1 , công thức 1.4  đúng.



Giả sử công thức 1.4  đúng với n  k , k 

*

Chứng minh công thức (1.4) đúng với n  k  1, tức là chứng minh

*

.

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả

1993

Giả sử n = 1993, theo cách giải trên thì: A

Bây giờ ta sử dụng Maple để giải. 16 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

7

6 2 n ) , cho ma trận A    . Tính A với n nguyên dương. 0 1

1.5

Ta sẽ chứng minh 1.5 bằng quy nạp toán học. 

n  1 , hiển nhiên 1.5 đúng.

 Giả sử 1.5 đúng với n  k , k 

*

 Ta sẽ chứng minh 1.5 đúng với n  k  1, tức là chứng minh:  6 2 1 0 k 1 Ak 1    nếu k  1 lẻ, A    nếu k  1 chẵn 0 1 0 1

17 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Thậy vậy:

nguyên dương.  Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả Giả sử n  2014 , n  2015 theo cách giải trên thì:

18 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 cos x  sin x  Tính A2014 với A   .  sin x cos x  Giải Ta tính được:

 cos 2 x  sin 2 x  3  cos3x  sin 3x  4  cos 4 x  sin 4 x  A2    , A   sin 3x cos3x  , A   sin 4 x cos 4 x  .  sin 2 x cos 2 x       cos nx  sin nx  Dự đoán: An    , n   sin nx cos nx 

1.6 

*

Ta sẽ chứng minh 1.6  bằng quy nạp toán học.  n  1 , hiển nhiên 1.6  đúng.  Giả sử 1.6  đúng với n  k , k 

*

 cos kx  sin kx  , ta có: Ak   .  sin kx cos kx 

Thật vậy

 cos kx  sin kx  cos x  sin x  Ak 1  Ak A      sin kx cos kx  sin x cos x  19 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 cos(2014 x)  sin(2014 x)  A2014 :    sin(2014 x) cos(2014 x)  1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng nhị thức Newton 1.3.1 Phương pháp Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n nguyên dương. Bước 1 : Phân tích A = B+ C, trong đó BC = CB, B, C là các ma trận tính lũy thừa dễ dàng. n

Bước 2: An   B  C    Cnk B nk C k n

k 0

20 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica

Xây dựng các ma trận

Table[f, {i,m}, {j,n}] Xây dựng ma trận cỡ m x n với là hàm của i, j để phát sinh phần tử khi i, j chạy từ 1 tới m, n Table[Random[], {m}, {n}] Sinh ma trận ngẫu nhiên cỡ m x n Sinh ma trận m x n tam giác dưới Array[f, {m,n}] Sinh ma trận m x n các phần tử dạng f[i,j] DiagonalMatrix[{...}] Sinh ma trận đường chéo, các phần tử trên đường chéo ở trong tham số danh sách IdentityMatrix[n] Tạo ma trận đơn vị cấp n Normal[SparseArray[ MatrixForm[] Hiện thị ma trận với định dạng lưới chữ nhật

Ví dụ:

In[1]:=

Table[a[i, j], {i, 2}, {j, 2}]

Out[1]:=

( left( begin{array}{cc} a(1,1) & a(1,2) \ a(2,1) & a(2,2) \ end{array} right) )

Đọc và cập nhật dữ liệu phần tử ma trận

m[[i, j]] Truy cập phần tử ma trận m ở vị trí dòng i, cột j (để đọc hoặc gán) m[[i]] Dòng thứ i của ma trận m (để đọc hoặc gán) m[All,[i]] Cột thứ i của ma trận m (để đọc hoặc gán) Take[m, {i0, i1}, {j0, j1}] Ma trận con từ m (trích từ dòng i0 đến i1, cột j0 đến j1) Tr[m, List] Các phần tử trên đường chéo ArrayRules[m] Những vị trí có giá trị khác 0 của ma trận VectorQ[expr] True nếu expr là một vector MatrixQ[expr] True nếu expr là ma trận Dimensions[expr] Lấy cỡ ma trận

Một số phép toán trên ma trận, vector

Những phép toán dựa trên các hàm Mathematica lấy ma trận (vector, danh sách) làm tham số thì nó sẽ thực hiện trên từng phần tử của ma trận đó.

Ví dụ:

In[1]:=

Sqrt[{a, b, c}]

Out[1]:=

( left{sqrt{a},sqrt{b},sqrt{c}right} )

Tổng hai vector cùng cỡ sẽ thực hiện trên các phần tử tương ứng của 2 vector, nhưng nếu cộng một số với một vector thì số đó cộng với từng phần tử của vector (tương tự cho nhân, chia).

In[1]:=

{a, b} + {c , d}

Out[1]:=

{a + c, b + d}

In[1]:=

c {a, b}

Out[1]:=

{a c, b c}

Nhân hai ma trận

Nhân 2 ma trận thì dùng ký hiệu dấu chấm m . v

In[1]:=

{{a, b}, {c, d}} . {{1, 2}, {3, 4}}

Out[1]:=

{{a + 3 b, 2 a + 4 b}, {c + 3 d, 2 c + 4 d}}

Nghịch đảo ma trận

Inverse[m] tìm ma trận nghịch đảo của ma trận m

In[1]:=

Inverse[{{1, -2}, {3, 2.}}]

Out[1]:=

{{0.25, 0.25}, {-0.375, 0.125}}

Transpose[m] Chuyển trí ma trận Inverse[m] Nghịch đảo ma trận Det[m] Tính định thức ma trận MatrixRank[m] Hạng ma trận m Eigenvalues[m] Trị riệng của m Eigenvectors[m] Vector riêng của m

Giải hệ phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính dạng m . x = b có nghiệm duy nhất khi Det[ m ] != 0, nếu bằng 0 thì vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

LinearSolve[m, b] Giải hệ m . x = b Inverse[m].[b] Tương đương với giải hệ bằng LinearSolve NullSpace[m] Giải hệ m.x = {0 .. 0} (hệ có vector hệ số bằng 0)

Ví dụ:

m = {{1, 5}, {2, 1}} m . {x, y} == {a, b} Solve[%, {x, y}] LinearSolve[m, {a, b}]

Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit

Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Bài toán 1: Giới hạn của hàm số mũ, hàm số Logarit

Phương pháp

Chúng ta có các dạng giới hạn đặc biệt sau:

Mở rộng: Ta có

Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 thì:

Đồng thời

Quy tắc vẫn đúng với x → ∞

Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Phương pháp:

– Hàm số lũy thừa:

– Hàm số mũ:

– Hàm số Logarit:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

a) Ta biến đổi

b) Ta biến đổi

c) Ta biến đổi

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm giới hạn sau

Hiển thị đáp án

Bài 2: Tìm giới hạn sau

Hiển thị đáp án

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 2

Hiển thị đáp án

Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x).

Hiển thị đáp án

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số

Hiển thị đáp án

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số

Hiển thị đáp án

Bài 7: Tính đạo đạo hàm của hàm số y=log 3(x+1)-2ln(x-1)+2x tại điểm x = 2

Hiển thị đáp án

Bài 8: Cho hàm số . Tính tổng T

Bài 9: Cho . Tính giá trị biểu thức S

Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x 2 + e 2). Nếu thì giá trị m bằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Ta có

Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải

Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải

Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp

Các Dạng Toán Tính Tổng Dãy Số Lũy Thừa Có Quy Luật Và Bài Tập

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S 1 = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S 2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 2 2

Thử với n= 3, ta có: S 3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 3 2

… … …

Với n = 1; S 1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

Vì ta đã giải sử S k đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

* Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp

– Giả sử cần tính tổng: S n = a 1 + a 2 + . . . + a n (*) mà ta có thể biểu diễn a i, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S n với a d . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 2 3 ta được:

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

Ta nhân cả 2 vế của S n với a d . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1

III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

* Tính chất:

Bạn đang xem bài viết Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!