Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10 mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
1. Phương trình trùng phương
– Là phương trình có dạng (a{x^4} + b{x^2} + c = 0left( {a ne 0} right),,,,,,,,,left( * right))
– Phương pháp:
+) Đặt (t = {x^2}left( {t ge 0} right)) thì (left( * right) Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0,,,,,,,,,left( {**} right))
+) Để xác định số nghiệm của $( * ),$ ta dựa vào số nghiệm của $( * * )$ và dấu của chúng, cụ thể:
$ bullet $ Phương trình $( * )$ vô nghiệm ( Leftrightarrow left( {**} right)) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm hoặc có hai nghiệm phân biệt âm.
$ bullet $ Phương trình $( * )$ có $1$ nghiệm ( Leftrightarrow left( {**} right)) có nghiệm kép ({t_1} = {t_2} = 0) hoặc (left( {**} right)) có (1) nghiệm bằng (0), nghiệm còn lại âm.
$ bullet $ Phương trình $( * )$ có $2$ nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow left( {**} right)) có nghiệm kép dương hoặc (left( {**} right)) có (2) nghiệm trái dấu.
$ bullet $ Phương trình $( * )$ có $3$ nghiệm $ Leftrightarrow ( * * )$ có $1$ nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương.
$ bullet $ Phương trình $( * )$ có $4$ nghiệm $ Leftrightarrow ( * * )$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.
2. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai
Loại 1: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ với $dfrac{e}{a} = {left( {dfrac{d}{b}} right)^2} ne 0$
Phương pháp giải:
– Bước 1: Chia hai vế cho ${x^2} ne 0$
– Bước 2: Đặt $t = x + dfrac{alpha }{x} Rightarrow {t^2} = {left( {x + dfrac{alpha }{x}} right)^2}$ với $alpha = dfrac{d}{b}$ và thay vào phương trình.
Loại 2: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e$ với $a + c = b + d$
Phương pháp giải:
– Bước 1: Biến đổi:
$left[ {(x + a)(x + c)} right] cdot left[ {(x + b)(x + d)} right] = e Leftrightarrow left[ {{x^2} + (a + c)x + ac} right] cdot left[ {{x^2} + (b + d)x + bd} right] = e$
– Bước 2: Đặt $t = {x^2} + (a + c)x$ và thay vào phương trình.
Loại 3: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e{x^2}$ với $a.b = c.d.$
Phương pháp giải:
– Bước 1: Đặt $t = {x^2} + ab + dfrac{{a + b + c + d}}{2} cdot x$
– Bước 2: Phương trình$ Leftrightarrow left( {t + dfrac{{a + b – c – d}}{2} cdot x} right) cdot left( {t – dfrac{{a + b – c – d}}{2} cdot x} right) = e{x^2}$ (có dạng đẳng cấp)
Loại 4: ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$
Phương pháp giải:
– Bước 1: Đặt $x = t – dfrac{{a + b}}{2} Rightarrow {(t + alpha )^4} + {(t – alpha )^4} = c$ với $alpha = dfrac{{a – b}}{2} cdot $
– Bước 2: Giải phương trình trên tìm (t) rồi suy ra (x).
Loại 5: ${x^4} = a{x^2} + bx + c,,,,,left( 1 right)$
Phương pháp giải:
– Bước 1: Tạo ra dạng ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm hai vế cho một lượng $2k.{x^2} + {k^2}$
– Bước 2: Phương trình (1) tương đương:
${({x^2})^2} + 2k{x^2} + {k^2} = (2k + a){x^2} + bx + c + {k^2} Leftrightarrow {({x^2} + k)^2} = (2k + a){x^2} + bx + c + {k^2}.$
Loại 6: ${x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d,,,,,left( 2 right)$
Phương pháp giải:
– Bước 1: Tạo ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm ở vế trái 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: ${left( {{x^2} + dfrac{a}{2}x + k} right)^2} = {x^4} + a{x^3} + left( {2k + dfrac{{{a^2}}}{4}} right){x^2} + kax + {k^2}.$
Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: $left( {2k + dfrac{{{a^2}}}{4}} right){x^2} + kax + {k^2},$ thì phương trình
$(2) Leftrightarrow {left( {{x^2} + dfrac{a}{2}x + k} right)^2} = left( {2k + dfrac{{{a^2}}}{4} + b} right){x^2} + (ka + c)x + {k^2} + d.$
– Bước 2: Cần vế phải có dạng bình phương nên phải có số $k$ thỏa:
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.
Nguyên tắc nhẩm nghiệm:
$ bullet $ Nếu tổng các hệ số bằng $0$ thì phương trình sẽ có $1$ nghiệm $x = 1.$
$ bullet $ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có $1$ nghiệm $x = – 1.$
$ bullet $ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm $x$ sao cho triệt tiêu đi tham số $m$ và thử lại tính đúng sai.
Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.
Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
Là phương trình có dạng
II. Cách giải một số phương trình bậc bốn đặc biệt.
* Cách giải :
* Chú ý : Khi giải phương trình này ta thường gặp phương trình dạng . Khi đó cần lưu ý :
* Ví dụ minh họa : Lời giải : Lời giải :
Chú ý : Đối với hai ví dụ trên ta có thể xem chúng là các phương trình bậc hai đối với nên ta có thể giải quyết nhanh gọn như sau
Ví dụ 3. Giải phương trình +x2-2x-1=0. Lời giải :
Ta có +x2-2x-1=0⇔+x2-2x+1 -2=0⇔+-2=0.
Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=2.
3. Cách giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng : Dạng ax4±bx3+cx2±bx+a=0.
* Cách giải : * Chú ý : Ta luôn có * Ví dụ minh họa :
Phân tích : Rõ ràng các hệ số của phương trình đối xứng nhau qua số hạng có nên ta giải theo phương pháp như trên.
Lời giải :
+ Trường hợp 1 : Với phương trình trở thành (vô lí). Vậy không phải là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải :
+ Trường hợp 1 : Với không thỏa mãn phương trình đã cho.
Lưu ý : Việc xét hai trường hợp như trên là cần thiết vì muốn chia hai vế phương trình cho một số thì số đó phải khác 0.
4. Cách giải phương trình bậc bốn khi đã nhẩm trước ít nhất hai nghiệm. Khi gặp một phương trình bậc bốn không thuộc các dạng đặc biệt như trên thì ta có thể nhẩm trước hai nghiệm và tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Phương pháp này chỉ áp dụng khi ta đã biết trước hai nghiệm (thường là nghiệm nguyên) của phương trình đó.Cách làm như sau :
Xét phương trình dạng
Bước 2. Thực hiện phép chia cho (lưu ý rằng đây là phép chia hết).
* Lưu ý : Các bước 1, 2 ta có thể thực hiện trên giấy nháp để lấy kết quả sử dụng cho bước 3.
+ Nhận thấy rằng phương trình có nghiệm x=1,x=-1.
+ Thực hiện phép chia x4-5×3+5×2+5x-6 cho x-1 x+1 =x2-1 như sau:
Lời giải :
Ta có : undefined
Ví dụ 2 : Giải phương trình
Thực hiện phép chia cho x-1 x-2 =x2-3x+2 như sau
Vậy ta có
Lời giải : Chú ý : Cách làm này có thể áp dụng để giải phương trình bậc ba và đối với phương trình bậc ba ta chỉ cần nhẩm được một nghiệm x=x0 rồi thực hiện phép chia cho x-x0. 5. Cách giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp đồng nhất hệ số.
Đây là phương pháp đặc biệt được áp dụng khi giải phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên và chỉ giải quyết được một số bài toán nhất định bằng cách phân tích một đa thức bậc bốn thành tích của hai tam thức bậc hai với giả định : . Bài toán có giải quyết được hay không phụ thuộc vào việc có tìm được các hệ số hay không.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
+ Nhận xét rằng, trong ví dụ ta sẽ khó nhẩm được nghiệm, do đó ta nghĩ đến phương án cân bằng hệ số như sau : Giả sử
+ Thay các giá trị tìm được vào (*) ta có . Tới đây ta có thể giải quyêt dễ dàng bài toán.
+ Lưu ý rằng việc đồng nhất hệ số được thực hiện trên giấy nháp.
Lời giải :
Ví dụ 2 : Giải phương trình
+ Vậy ta có :
Lời giải :
Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 3.13 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
⇔ (m – 2)(m – 4)x = (m + 1)(m – 2)
Kết luận
Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = 4, phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện của phương trình là x ≠ -1, ta có
⇒ (m – 2)x + 3 = (2m – 1)(x + 1)
⇒ (m + 1)x = 4 – 2m (1)
Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Kết luận
Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm
c) Điều kiện của phương trình là x ≠ 1. Khi đó ta có
⇔ (2m + 1)x – m = (x + m)(x – 1)
⇔ x = 0, x = m + 2
Giá trị x = m + 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi m ≠ -1
Kết luận
Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;
Với m ≠ -1 phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.
d) Điều kiện của phương trình là x ≠ m . Khi đó ta có
⇔ (3m – 2)x – 5 = -3x + 3m
⇔ (3m + 1)x = 3m + 5
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi
Kết luận
Bài 3.14 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Cho phương trình
(m + 2)x 2 + (2m + 1)x + 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
Đáp số: m = -5.
b) Phương trình có nghiệm kép khi m ≠ -2 và Δ = 0.
Khi m = -3/2 nghiệm kép của phương trình là x = 2.
Bài 3.15 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Cho phương trình 9x2 + 2(m2 – 1)x + 1 = 0
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 mà x 1 + x 2 = -4
Bài 3.16 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Giải các phương trình
Lời giải:
a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 4/3
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.
⇔ 3x 2 – 2x – 2 = 0
Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Điều kiện của phương trình là: 3x 2 – 4x – 4 ≥ 0 và 2x + 5 ≥ 0
Phương trình cuối có hai nghiệm x 1 = -1, x 2 = 3. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã có hai nghiệm x 1 = -1, x 2 = 3
Bài 3.17 trang 67 Sách bài tập Đại số 10: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau
3x + 2m = x – m ⇔ 2x = -3m ⇔ x = -3m / 2
Ta có:
-3x – 2m = x – m ⇔ 4x = -m ⇔ x = -m / 4
Ta có:
Kết luận
Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;
Phương trình (1) ⇔ x = -3m + 2
Phương trình (2) ⇔ 3x = m – 2 ⇔ x = (m – 2) / 3
Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:
c) m = 0 phương trình trở thành
-x – 2 = 0 ⇒ x = -2
m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có Δ = 4m + 1
Với m < -1/4 phương trình vô nghiệm;
Với m ≥ -1/4 nghiệm của phương trình là
Kết luận. Với m ≤ 1 phương trình vô nghiệm.
Bài tập trắc nghiệm trang 67, 68 Sách bài tập Đại số 10:
Bài 3.18: Nghiệm của phương trình sau là:
A. x = -2/3 B. x = 1
B. x = 1 và x = -2/3 D. x = -1/3
Lời giải:
Điều kiện của phương trình là x ≠ (-1)/3.
Để phá các dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét ba trường hợp x < -3, -3 ≤ x < 1/2 và x ≥ 1/2 dẫn đến giải phương trình rất tốn thời gian. Cách nhanh nhất là xét từng phương án. Phương án D bị loại di điều kiện của phương trình. Với phương án A, thay x = (-2)/3 vào phương trình ta thấy vế trái âm, còn vế phải dương, nên phương án này bị loại. Phương án C cũng bị loại do có giá trị x = (-2)/3.
Đáp án: B
A. x = 0 và x = -2 B. x = 0
C. x = 3 D. x = -2
Lời giải:
Với giá trị x = 0 thì vế trái của phương trình tương đương, còn vế phải âm nên phương án A và B đều bị loại. Tương tự, với x = -2 thì vế trái dương, vế phải âm nên phương án D bị loại.
Đáp án: C
Bài 3.20: Tìm nghiệm của phương trình sau:A. x = 1/2 B. x = 1
C. x = 0 D. phương trình vô nghiệm
Lời giải:
Điều kiện của phương trình:
4x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4;
-2x + 1 ≥0 ⇒ x ≤ 1/2.
Không có giá trị nào của x thỏa mãn hai điều kiện này nên phương trình vô nghiệm.
Đáp án: D
Bài 3.21: Tìm nghiệm của phương trình sau:
A. x = 0 và x = 1 B. x = 1 và x = 2
C. x = 0 và x = 2 D. x = 0 và x = 1
Lời giải:
Thay x = 0 và x = 2 vào phương trình ta thấy hai vế đều cho giá trị là 3.
Đáp án: C
A. x = 0, x = 2, x = 8 và x = -4
B. x = 0 và x = 4
C. x = -2 và x = 4
D. x = 1 và x = -4
Lời giải:
Phương án A có nhiều giá trị quá, thay vào phương trình mất nhiều thời gian, nên ta xét các phương trình còn lại.
Với phương án B, khi thay x = 0 vào phương trình thì hai vế đều bằng 4 nên x = 0 là một nghiệm. Tuy nhiên khi thay giá trị x = 4 vào phương trình thì vế trái bằng 0, còn vế phải bằng 16. Vậy phương án B và phương án C đều bị loại. Với phương án D, giá trị x = 1 cũng không phải là nghiệm của phương trình, nên phương án D bị loại.
Đáp án: A
Bài 3.23: Phương trình(m + 1)x 2 – 3(m – 1)x + 2 = 0
có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia thì giá trị của tham số m là:
A. m = 1 B. m = -1
C. m = 0 hoặc m = 3 D. m = 2
Lời giải:
Với m = 1 phương trình đã cho có dạng
Phương trình này vô nghiệm, nên phương án A bị loại. Với m = -1 phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất 6x + 2 = 0 chỉ có một nghiệm nên phương án B bị loại.
Với m = 2 phương trình đã cho trở thành phương trình
Phương trình này vô nghiệm, nên phương án D bị loại.
Đáp án: C
Bài 3.24: Phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt khi tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?
A. 0 < m < 1
B. -1 < m < 1/24
C. -2 < m < 0
D. -1 < m < 1
Đáp án: B
A. m = 1
B. m = -3
C. m = -2
D. Không tồn tại m
Lời giải:
Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 và x 2 mà x 1 + x 2 = 4 khi
Δ ≥ 0 và (-b)/a = 4.
Với m = 1 thì (-b)/a = -2(m + 1) = -4 không đúng.
Với m = -3 thì (-b)/a = 4 đúng, nhưng
Với m = -2 thì (-b)/a = 2, sai.
Vậy cả 3 phương án A, B, C đều sai và đáp án là D.
Đáp án: D
Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Dạng tổng quát: (left{ begin{array}{l}ax + by = c,,,,,left( 1 right)\d{x^2} + exy + f{y^2} + gx + hy = i,,,,,left( 2 right)end{array} right.)
Phương pháp giải:
– Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút (x) theo (y) (hoặc (y) theo (x)).
– Bước 2: Thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm $x$ (hoặc tìm $y$).
2. Hệ phương trình đối xứng loại I
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí (x) và (y) cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.
Phương pháp giải:
– Bước 1: đặt $S = x + y,{rm{ }}P = xy.$
– Bước 2: Giải hệ với ẩn $S,{rm{ }}P$ với điều kiện có nghiệm $(x;y)$ là ${S^2} ge 4P.$
– Bước 3: Tìm nghiệm $(x;y)$ bằng cách thế vào phương trình ${X^2} – SX + P = 0.$
3. Hệ phương trình đối xứng loại II
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí (x) và (y) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giải:
– Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng $(x – y).f(x) = 0,$
– Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa (x,y) từ phương trình thu được.
4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
Dạng tổng quát: $left{ begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}end{array} right.(i)$
Phương pháp giải:
$(i) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(1)\{d_1}({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(2)end{array} right.$
Lấy $(1) – (2) Rightarrow ({a_1}{d_2} – {a_2}{d_1}) cdot {x^2} + ({b_1}{d_2} – {b_2}{d_1}) cdot xy + ({c_1}{d_2} – {c_2}{d_1}) cdot {y^2} = 0.$ Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ $x,y$
Bạn đang xem bài viết Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!