Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Pháp Quy Nạp Toán Học mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Phương pháp quy nạp toán học
I. Quy nạp toán học
Cho ({n_0}) là một số nguyên dương và (P(n)) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}).
(1) Nếu (P({n_0})) là đúng.
(2) Giả sử (P(k)) đúng, ta chứng minh được (P(k + 1))cũng đúng với mọi số tự nhiên (k ge {n_0});
thì kết luận mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}) .
II. Phương pháp quy nạp toán học
Quy trình chứng minh mệnh đề (P(n)) đúng với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}, )({n_0} in mathbb{N}) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Bước 1: (Cơ sở) Kiểm tra (P({n_0})) là mệnh đề đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với (n={n_0})
Bước 2: (Xây dựng giả thiết quy nạp) Giả sử mệnh đề đúng với (k ge {n_0}). Nghĩa là mệnh đề đúng với (n= k ge {n_0})
Bước 3. (Quy nạp) Ta chứng mệnh đề (P(k + 1)) cũng đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với (n= k+1)
Kết luận: (P(n)) đúng với (forall n ge {n_0}).
III. Ví dụ minh họa
Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức
Bước 1: Tính (P({n_0}),{rm{ }}Q({n_0})) rồi chứng minh (P({n_0}) = Q({n_0}))
Bước 2: Giả sử (P(k) = Q(k);{rm{ }}k in mathbb{N},k ge {n_0}), ta cần chứng minh
(P(k + 1) = Q(k + 1)).
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) ta luôn có đẳng thức sau:
(1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2})
Giải
Đặt ({A_n} = 1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2},)
Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
Với n=1, ta có: (1 = frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1) (đúng)
Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp)
Giả sử mệnh đề đúng với (n = k ge 1).
nghĩa là:
({A_n} = 1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2},)
Bước 3. (Quy nạp) ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
Nghĩa là: ({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = ,frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2})
Thật vậy: ({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = ,frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1))
(Leftrightarrow {A_{n + 1}} = ,frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}) . Suy ra mệnh đề đúng với n= k+1.
Vậy (1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2}) (forall n in {{rm N}^*}).
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) ta luôn có đẳng thức sau:
(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3})
Giải
Đặt ({A_n} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3})
Với n= 1: ({(2.1 – 1)^2} = frac{{1.({{4.1}^2} – 1)}}{3} = 1). Suy ra An đúng với n=1.
Giả sử với (n = k ge 1) ta có:
(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)
Ta có: (VT = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2})
Theo giả thiết quy nạp ở trên: (VT = frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3} + ,{[2(n + 1) – 1]^2})
= (frac{{4{n^3} – n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}) (= frac{{4{n^3} – n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3})
(= frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}) (= frac{{4{n^3} + 4{n^2} + ,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3})
(VT = frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}) (1)
Ta lại có: ({rm{VP}} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)
(= ,frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) – 1]}}{3},)
(= ,frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 – 1)}}{3},)
({rm{VP}} = ,frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3},) (2)
Từ (1) và (2): ({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)
Vậy (1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) (forall n in {{rm N}^*}).
Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học
Ví dụ 3
Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) :
({n^3} + 2n) chia hết cho 3.
Giải
Đặt ({A_n} = {n^3} + 2n)
Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
Với n= 1: ({A_n} = 1 + 2 = 3, vdots ,3)
Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp). Giả sử mệnh đề đúng với (n = k ge 1)
nghĩa là:
({A_n} = {n^3} + 2n,, vdots ,,3) (giả thiết quy nạp)
Bước 3. (Quy nạp). Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
Thật vậy:
({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1),, vdots ,,3)
Ta có: ({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1), = ,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2)
(= ,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1))
Theo giả thiết quy nạp: ({n^3} + 2n,, vdots ,,3)
Đồng thời: (3({n^2} + n + 1),, vdots ,,3)
Vậy ({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1),, vdots ,,3)
Kết luận: ({n^3} + 2n,, vdots ,,3) (forall n in {{rm N}^*})
Ví dụ 4:
Cho (n) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ({a_n} = {16^n}-15n-1 vdots 225)
Giải
( bullet ) Với (n = 1) ta có: ({a_1} = 0 Rightarrow {a_1} vdots 225).
( bullet ) Giả sử ({a_k} = {16^k} – 15k – 1 vdots 225), ta chứng minh
({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 vdots 225)
Thậ vậy: ({a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16 = {16^k} – 15k – 1 – 15left( {{{16}^k} – 1} right))
( = {a_k} – 15left( {{{16}^k} – 1} right))
Vì ({16^k} – 1 = 15.left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} right) vdots 15) và ({a_k} vdots 225)
Nên ta suy ra ({a_{k + 1}} vdots 225). Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 5
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi ((n ge 3)) bằng ((n – 2){180^0}).
Lời giải:
( bullet ) Với (n = 3) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng ({180^0})
( bullet ) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với (k < n), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là (left( {k – 1} right){180^0}) và (left( {n – k – 1} right){180^0}).
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là ((k – 1 + n – k – 1){180^0} = (n – 2){180^0})
Suy ra mệnh đề đúng với mọi (n ge 3).
IV. Luyện tập
Câu 1: Chứng minh mệnh đề ” (forall n in {N^ * })ta luôn có (1 + 2 + … + n = frac{{nleft( {n + 1} right)}}{2})” bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
A. n=0
B. n=1
C. n=2
D. n=3
—————–
Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.
Giải SBT Toán 11 bài 1
Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*)
a) 2+5+8+…+(3n−1)=n(3n+1)/2
Giải:
a) Đặt vế trái bằng S n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có S k=k(3k+1)/2 với k≥1.
Ta phải chứng minh S k+1=(k+1)(3k+4)/2
Thật vậy
=k(3k+1)/2+3k+2
=(k+1)(3k+4)/2(đpcm)
b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).
Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
Giải:
a) Đặt vế trái bằng S n
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1(4.1−1)/3=1
Giả sử đã có S k=k(4k 2 −1)/3 với k≥1. Ta phải chứng minh
Thật vậy, ta có
=(2k+1)[k(2k−1)+3(2k+1)]/3
=(k+1)(2k2+5k+3)/3
=(k+1)(2k+3)(2k+1)/3
b) Đặt vế trái bằng A n
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Ta có:
Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có
a) 2n 3−3n 2+n chia hết cho 6.
b) 11 n+1+12 2n−1 chia hết cho 133.
Giải:
Giả sử đã có B k=2k 3−3k 2+k chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh B k+1=2(k+1) 3−3(k+1) 2+k chia hết cho 6.
b) Đặt A n=11 n+1+12 2n−1 Dễ thấy A 1=133 chia hết cho 133.
Giả sử A k=11 k+1+12 2k−1 đã có chia hết cho 133.
Ta có
Vì A k⋮133Ak⋮133 nên A k+1 ⋮133
Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)
Giải:
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
b) Với n = 1 thì sin 2α+cos 2 α=1 bất đẳng thức đúng.
Giả sử đã có sin 2kα+cos 2k α≤1 với k≥1, ta phải chứng minh
Thật vậy, ta có:
sin2k+2α+cos2k+2αsin2k+2α+cos2k+2α
Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
Giải:
Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
Phương pháp: Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n≥3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.
ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
b) HD: Dùng phép thử.
Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.
Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a).
c) Làm tương tự như câu a) và câu b).
Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho tổng
S n=1/1.5+1/5.9+1/9.13+…+1/(4n−3)(4n+1)
b) Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Giải:
a) Tính
b) Viết lại
Ta có thể dự đoán S n=n/4n+1
Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho n số thực a 1,a 2,…,a n thoả mãn điều kiện
−1<a i ≤0 với i=1, n¯
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có
Giải:
Với n = 1 bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là
Nhân hai vế của (1) với 1+a k+1 ta được
Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với các số thực a 1,a 2,a 3,…,a n(n∈N∗), ta có
Giải:
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2. Đặt a 1+a 2+…+ak=A ta có
Phương Pháp Tính Các Tổng Được Viết Theo Quy Luật
I. Lý do chọn đề tài : Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lôgíc cho học sinh . Trong chương trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật là một dạng toán khá hay, thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi. Từ thực tiễn dạy học môn toán THCS cơ sở tôi thấy nhiều em học sinh chưa nắm được phương pháp cũng như chưa có kĩ năng giải các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật. Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, trang bị cho các em học sinh một số phương pháp và kỹ năng cơ bản khi tính các tổng được viết theo quy luật. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: ” Phương pháp tính các tổng được viết theo quy luật”. II. Mục đích nghiên cứu: 1) Đối với giáo viên 1. Xây dựng được cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”. 2. Phân dạng, xây dựng hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối tượng học sinh, có phương pháp giải của từng dạng. 2) Đối với học sinh 1. Nắm được các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”. 2. Vận dụng tốt các phương pháp giải toán để làm bài tập. 3. Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và tư duy sáng tạo trong việc giải toán. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 1. Đối tượng: Học sinh lớp 6,7 2. Phạm vi : Các bài toán: “Tính các tổng được viết theo quy luật”. IV. Phương pháp nghiên cứu: 1. Nghiên cứu lý luận: – Tìm hiểu các dạng toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”. 2. Nghiên cứu thực tế: – Khảo sát kỹ năng giải bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật” ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi. – Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi. Phần II : Nội dung A. Cơ sở lí thuyết 1. Tính chất của phép cộng – Tính chất giao hoán: – Tính chất kết hợp: – Tính chất cộng với 0: – Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: 2. Phương pháp chung: – Để tính các tổng được viết theo quy luật trước hết chúng ta cần tìm được quy luật viết các số hạng của tổng. Sau đó biến đổi để xuất hiện các số hạng đối nhau từ đó giản ước, rút gọn để tính ra kết quả. – Để tính tổng A trong một số trường hợp chúng ta tính k .A (k là một số khác 0) từ đó suy ra A. B. Các Bài toán và phương pháp giải: Ví dụ 1: Tính Giải: Cách 1: (có 50 ngoặc) (có 50 số hạng) Cách 2: Do đó: (có 100 số hạng) Nhận xét: – Trong cách 1, việc xác định hai số hạng của ngoặc cuối có vẻ hơi khó khăn. – Cách tính thứ hai tổng quát hơn, việc xác định số số hạng cũng đơn giản hơn. *Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát ? Tính KQ : áp dụng: Tính: Hãy nêu và giải bài toán tổng quát ? Ví dụ 2: Tính Giải: Nhận xét: Do đó: Lần lượt cho n=1, 2, 3,…,99 ta được: Do vậy *Cũng từ nhận xét trên ta có: nên ta có thể trình bày bài giải theo cách khác như sau: Ta tính 3E sau đó thay 3 lần lượt bởi 3-0 ; 4-1 ; 5-2;… Do đó : Bài tập vận dụng Tính: TQ: HD: Tính 4G ( hãy nêu và giải bài toán tổng quát?) Ví dụ 3: Tính Giải: Nhận xét: ………………… Nên ta trình bày như sau: * Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát ? TQ: Chú ý: VD: (a=3 , k=2) Ví dụ 4: Tính Giải: Tương tự ví dụ trên ta có: =…. Hãy nêu và giải bài toán tổng quát ? Ví dụ 5: Tính Nhận xét: Nên ta tính M như sau: Các em cũng có thể trình bày như sau: Ta c ó: Khai thác bài toán: *Tính:1) 2) * Cho 1) Hãy viết số hạng tổng quát của M. 2) Tính M biết M có 100 số hạng. Ví dụ 6: Cho dãy số: a) Hãy viết số hạng tổng quát thứ n của dãy. b) Tìm số hạng thứ 50 của dãy. c) Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy. Giải: Dãy số đã cho có thể viết lại như sau: a) Xét các mẫu trong dãy: Ta thấy thừa số thứ nhất trong mỗi mẫu chia cho 3 đều dư 1 (hay chia cho 3 thiếu 2) nên có dạng: ; thừa số thứ hai trong mỗi mẫu chia cho 3 đều dư 1 nên có dạng: Do đó số hạng tổng quát thứ n của dãy là: b) Số hạng thứ 50 của dãy là: c) Gọi tổng 50 số hạng đầu tiên của dãylà A: Ta có: (Các bạn tự tính tiếp) Bài tập vận dụng : Bài 1: Tính Bài 2: Tính Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết: Bài 4: Tìm x biết: Bài 5: Tính Bài 6: Chứng minh rằng: a) b) Bài 7: Chứng minh rằng Bài 8: Cho dãy số a) Hãy viết số hạng tổng quát của dãy. b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. c) Chứng tỏ rằng tổng 100 số hạng đầu của dãy nhỏ hơn . Bài 9: Tính tổng: Bài 10: Tính tổng: Bài 11:Tính tổng: với Bài 12: So sánh a) và b) và Bài 13: Tính nhanh Bài 14 : Tính Bài 15: Tính Bài 16: CMR : Bài 17: Tính Bài 18: Tính a) b) Ví dụ 7: Biết rằng Tính nhanh: Giải: Như vậy, nếu đặt P = thì S = 4P Do đó nếu cho S ta sẽ tính được P Ta có bài toán: Cho .Tính P = Bài 1: Biết rằng . Tính Bài 2: Biết rằng . Tính Nhận xét: Chúng ta có thể tăng số mũ của các luỹ thừa để có các bài toán khác: Bài 3: Biết rằng Tính nhanh: Bài 4: Biết rằng Tính nhanh: Ví dụ 8: Cho a) Viết số hạng tổng quát thứ n của A b) Tính giá trị của biểu thức A Hướng dẫn: a) A gồm các số chia cho 3 dư 2, tức là chia cho 3 thiếu 1, các số này mang dấu “+” nếu n lẻ và mang dấu “-“ nếu n chẵn. – Dạng tổng quát số hạng thứ n của A là với hoặc với b) gộp thành từng nhóm hai số được: (-3).17 = -51 Ví dụ 9: Tính Hướng dẫn: C1: Cộng từng nhóm 4 số ta được ( -8).50 = -400 C2: Cộng từng nhóm hai số (1+(-3) ; 3+(-7)… ta được: (-4). 100 = -400 Ví dụ 10: Cho A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? A có bao nhiêu ước tự nhiên, ước nguyên. Giải: a) Gộp thành nhóm 4 số, ta được 25 nhóm, mỗi nhóm bằng -4. Do đó A = -100. Vì thế A chia hết cho 2, chia hết cho 5, không chia hết cho 3. Xét nên A có 9 ước tự nhiên, có 18 ước nguyên Bài tập: Bài 1: Cho a) Viết số hạng thứ n của A b) Tính A khi A có 100 số hạng Bài 2: Tính Ví dụ 11: Tính Giải: nên Do đó: Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính Bài 2: So sánh A và B biết và Bài 3: Cho a) Chứng minh rằng: S chia hết cho 3 b) Chứng minh rằng: S chia hết cho 31 Bài 4: Chứng minh rằng tổng ( trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400. Bài 5: Chứng minh biểu thức : Chia hết cho Bài 6: Cho Tìm chữ số tận cùng của A. Bài 7: Cho Chứng minh rằng M chia hết cho 13 và 41. Bài 8: Chứng minh: 53 ! – 51 ! chia hết cho 29. Bài 9: Tính Bài 10: Hãy chứng tỏ rằng tổng: không phải là số tự nhiên. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát? Bài 11: Cho a) Chứng minh rằng A chia hết cho 126. b) Tìm chữ số tận cùng của A. C. bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề và ở mỗi chuyên đề được phân chia theo từng dạng bài, loại bài là hết sức cần thiết . Điều đó giúp các em có thể đi sâu hơn , phân tích đánh giá đầy đủ hơn đến từng nội dung kiến thức . Vì vậy chúng ta phải coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết nhằm làm cho kết quả học tập của các em cao hơn. Trong quá trình giảng dạy không những giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích tổng hợp kiến thức mà cần phải chú trọng việc dạy cho học sinh biết cách phân dạng các bài tập, tổng hợp kiến thức . Đây là nhiệm vụ chính của giáo viên trong quá trình dạy học và giáo dục. Qua nhiều năm giảng dạy tại trường THCS Dĩnh Trì tôi nhận thấy năng lực học tập của các em trong trường rất tốt. Tôi đã triển khai đề tài tại trường và có kết quả tốt. Từ đó tôi xin đề xuất: – Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lượng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tượng học sinh. – Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên khi áp dụng giáo viên hãy áp dụng phương pháp gợi mở (nếu cần) và có thể yêu cầu học sinh khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau: Tương tự hoá, tổng quát hoá bài toán, vận dụng bài toán sang bài toán khác, tìm tính chung và tính riêng cho từng bài, từng dạng bài. Nhưng bên cạnh đó có thể chọn những bài toán cơ bản và cần thiết để dạy cho các đối tượng học sinh trung bình. Phần III : Kết luận Các em học sinh đã biết phân dạng và nhận biết được các dạng bài toán về “Tính các tổng được viết theo quy luật” một cách đúng đắn và chính xác . – Thông qua đánh giá trong khi ôn tập và kết quả các kì thi thì đa số các em đã biết phương pháp giải và giải tốt dạng toán này. – Tuy nhiên với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, nên không tránh khỏi những thiếu sót khi nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề này. Vậy bản thân tôi kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề được đầy đủ hơn. Xin chân thành cám ơn! Ngày 10 tháng 5 năm 2007 Người viết Nguyễn Thị Hằng Tài liệu tham khảo : 1/ Sách giáo khoa , SBT Toán 6, 7 (NXBGD) 2/ Một số vấn đề phát triển đại số 6,7 (Vũ Hữu Bình) 3/ Tạp chí Toán tuổi thơ, Toán học và tuổi trẻ ( NXB GD) 4/ Các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh (Bắc Giang)
Phương Pháp Học Toán Hình Lớp 9 Hiệu Quả
Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Để học thuộc chương 1 các em cần nắm vững được lý thuyết, công thức, xem xét kĩ dữ liệu trong bài để áp dụng cho đúng công thức. Nhìn chung thì phần này chỉ áp dụng công thức nên khá là dễ.
Nếu các em làm tốt các bài tập phần này thì các em đã hoàn thành 80% kiến thức để học giỏi toán hình lớp 9. Câu chứng minh hay gặp nhất trong phần này là chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn, chứng minh đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc…
Đây là phần trọng tâm của chương trình toán hình lớp 9, nên các em cần cố gắng giải các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập nhiều để giúp các em ghi nhớ và hiểu bài hơn. Hãy đọc kỹ để phân biệt các khái niệm góc chắn cung và góc ở tâm để tránh nhầm lẫn.
Phần này chỉ mang tính chất giới thiệu nên các em chỉ cần học thuộc công thức tính diện tích, tính thể tích và cách vẽ hình thật tốt thì việc áp dụng vào bài tập sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Việc các em có vẽ đúng hình hay không quyết định gần như kết quả bài toán. Các em cần đọc kỹ đề để vẽ cho chính xác, khi các em vẽ chính xác rồi thì cần chú ý đến việc vẽ làm sao cho đẹp, rõ dàng, dễ quan sát thì việc xác định các mối quan hệ hình học trong bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Để tập luyện được điều này các em cần trang bị cho mình một lượng kiến thức cơ bản, những định nghĩa và tính chất các em cần có phương pháp nắm được. Thường thì các hình hay có mối liên hệ với nhau nên sẽ có rất nhiều mẹo cho các em học thuộc một cách nhanh chóng.
Có rất nhiều con đường để đi đến cùng một đáp án. Tuy nhiên không phải con đường nào cũng dễ dàng và khả thi. Việc các em phân tích kỹ đề bài để lựa chọn nhũng phương án tốt nhất, đi đến kết quả nhanh nhất là rất cần thiết.
Để làm được điều đó các em phải ghi ra những câu hỏi như là: Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì trước đó?. Giả sư như điều này đúng thì điều kia có đúng không?…Hoặc đôi khi suy ngược từ kết quả để tìm ra đáp án.
Một vấn đề rất hay gặp đó là các em hay bỏ sót giữ kiện. Nếu trong đề bài còn một giả thiết các em chưa sử dụng thì hãy tìm cách sử dụng nó. Còn trong bài toán chứng minh có nhiều ý nhỏ các em hãy cố gắng liên hệ các ý đó với nhau để giải quyết những ý tiếp theo, rất nhiều bài toán câu a, câu b lại là giả thiết và là chìa khóa để làm câu c, câu d.
Phương án tốt nhất trong trường hợp này là các em hãy sử dụng một cách giải quyết khác. Hãy tạm quên đi nhưng cách chứng minh ban đầu và thay vào đó là những giả thiết mới, cách nghĩ mới.
Không phải bài nào các em cũng tự giải quyết được, trường hợp khẩn cấp các em hãy mạnh dạn nhờ cha mẹ, thầy cô, gia sư dạy toán hướng dẫn định hướng cho mình.
Việc đưa bài toán khó về một số trường hợp đặc biệt đôi khi giúp các em “lần” ra được đáp án, để từ đó định hướng được cách chứng minh. Từ đó dự đoán được khả năng có thể xảy ra của những giả thiết, kết luận, giúp các em chứng minh một cách tổng quát hơn.
Khi gặp một số chuyên đề khó như tìm quỹ tích, chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy…Việc các em thử vẽ hình bằng trường hợp đặc biệt, suy từ kết luận quay về giả thiết, thậm chí chứng minh bằng phương pháp phản chứng đôi khi sẽ đưa bài toán đến cách giải quyết tuyệt vời hơn.
Càng luyện tập nhiều thì các giúp các em học tốt hơn. Khi các em làm tốt rồi thì các em sẽ có sự đam mê và thôi thúc các em yêu thích môn học hơn. Đây cũng là cách giúp các em có thêm kĩ năng giải toán hình học lớp 9 chính xác. Hãy tham khảo các ví dụ trong sách giáo khoa, làm nhiều bài tập trong sách bài tập để nắm vững được kiến thức và vận dụng chúng linh hoạt trong các dạng bài khác nhau.
Tìm gia sư toán tại nhà là vô cùng cần thiết và quan trọng đối với các em ở giai đoạn này. Gia sư sẽ giúp con hệ thống được kiến thức, phát hiện ra những ưu điểm và nhược điểm trong quá trình học bài, và có phương pháp điều chỉnh, thay đổi cho tiến bộ. sẽ chia sẻ kinh nghiệm và bổ sung thêm kiến thức hay cho các em để các em có thể yêu thích và đạt điểm tối đa môn hình học lớp 9.
Để lựa chọn gia sư toán lớp 9 tại nhà phù hợp nhất, phụ huynh vui lòng liên hệ qua hotline để được tư vấn miễn phí: (024) 6294.2894 hoặc 0988.718.712.
Bạn đang xem bài viết Phương Pháp Quy Nạp Toán Học trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!