Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4 mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM SỐ BẬC 4 I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau : Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (1) Đặt t = x2, ta có phương trình : at2 + bt + c = 0 (1’) Nghiệm dương của (1’) ứng với 2 nghiệm của (1) Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là phương trình (1’) có ít nhất một nghiệm không âm. ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ 2 2 0 ( ) 0 t x f t at bt c ⎧ = ≥⎨ = + + =⎩ t = x2 ⇔ x = ± t (1) có 4 nghiệm ⇔(1/ ) có 2 nghiệm dương ⇔ ; ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 (1) có 3 nghiệm ⇔(1/ ) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0S 0P (1) có 2 nghiệm ⇔(1/ ) có 1 nghiệm dương ⇔ P < 0 hay ; 0 / 2 0S (1) có 1 nghiệm ⇔( (1/ ) có nghiệm thỏa t1 < 0 = t2 ) hay ( (1/ ) có nghiệm thỏa t1 = t2 = 0 ) ⇔ hay 0 0 P S =⎧⎨ <⎩ 0 / 2 0S Δ =⎧⎨ =⎩ (1) vô nghiệm ⇔(1/ ) vô nghiệm hay ( 1/ ) có 2 nghiệm âm ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > ≥Δ 0S 0P 0 0 0 P S >⎧⎨ <⎩ ( 1 ) có 4 nghiệm là CSC ⇔ ⎩⎨ ⎧ = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t Dạng 2 : Phương trình bậc 4 có tính đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (2) * Nếu a = 0, ta có phương trình x(bx2 + cx + b) = 0 * Nếu a ≠ 0, ta có phương trình tương đương : 0c x 1xb x 1xa 2 2 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + Đặt t = x + x 1 phương trình cho viết thành a(t2 – 2) + bt + c = 0 (2’) với ⏐t⏐≥ 2 Chú ý : Khi khảo sát hàm số : t = x + x 1 , ta có : * Một nghiệm lớn hơn 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với 2 nghiệm dương của phương trình (2). * Một nghiệm nhỏ hơn 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với 2 nghiệm âm của phương trình (2) * Một nghiệm t = 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với nghiệm x = 1 của phương trình (2) * Một nghiệm t = – 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với nghiệm x = –1 của phương trình (2) * phương trình t = x + x 1 vô nghiệm khi ⏐t⏐< 2 Dạng 3 : ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 (3) * Nếu a = 0, ta có phương trình x(bx2 + cx – b) = 0 * Nếu a ≠ 0, có phương trình tương đương 0c x 1xb x 1xa 2 2 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + Đặt t = x – x 1 , phương trình cho viết thành : a(t2 + 2) + bt + c = 0 (3’) với t ∈ R. Chú ý : phương trình t = x – x 1 có 2 nghiệm trái dấu với mọi t Dạng 4 : (x + a)4 + (x + b)4 = c (C) Đặt t = 2 bax ++ , t ∈ R thì với α = 2 ba − pt (C) viết thành : (t – α)4 + (t + α)4 = c ⇒ phương trình trùng phương đã biết cách giải và biện luận. Dạng 5 : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. I I . TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÀM BẬC 4 Cho hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c có đồ thị (C). ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (αx2 + βx + γ)2 + m ∀x ∈ R. Dùng đồng nhất thức cho ta có được các hệ số α, β, γ, m. III . CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⇔ x ax b = + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 1 2 02 ( ) ( )2 3 1. Hàm số có 3 cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0 2. Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0. ⇔ a vàb a vàab = ≠ ≠ ≥ ⎡ ⎣⎢ 0 0 0 0 IV.CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = 0 ⇔ x(4ax2 + 3bx + 2c) = 0 ⇔ x ax bx c = + + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 4 3 2 02 ( ) ⇔ (3) vô nghiệm hay (3) có nghiệm kép hay (3) có nghiệm x = 0. 2. Khi a < 0, ta có: Hàm số chỉ có 1 cực đại mà không có cực tiểu. ⇔ (3) vô nghiệm hay (3) có nghiệm kép hay (3) có nghiệm x = 0. TOÁN ÔN VỀ HÀM SỐ BẬC 4 Cho hàm số bậc 4 có đồ thị (C a ) với phương trình : y = x4 + 8ax3 – 4(1 + 2a)x2 + 3 I. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 0 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Co). Xác định tọa độ điểm uốn. 2) Định m để tiếp tuyến với (Co) tại M có hoành độ m, cắt (Co) tại hai điểm P, Q khác điểm M. Có giá trị nào của m để M là trung điểm đoạn PQ. 3) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn PQ khi m thay đổi trong điều kiện câu 2. II. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 2 1− 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 5) Cho đường thẳng ( D ) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) có hai nghiệm kép phân biệt α và β. Tìm tọa độ hai điểm chung. 6) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và có hệ số góc bằng –8. Tìm tọa độ các tiếp điểm. III. Trong phần này ta khảo sát hàm số trong trường hợp tổng quát. 7) Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Định a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. 8) Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này. 9) Định a để đồ thị có hai điểm uốn. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm uốn này. BÀI GIẢI PHẦN I: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )0C Khi a = 0 hàm số thành y = x4 – 4x2 + 3 y′= 4x3 – 8x, / /y = 12x2 – 8 y′= 0 ⇔ x = 0 x∨ 2 = 2 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 y ( )0 = 3, y ( 2± ) = –1 y′′= 0 ⇔ =2 2x 3 ⇔ x = ± 6 3 ; y 6 3 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ = 7 9 ( )0C có 2 điểm cực tiểu là ( )2 , -1± và 1 điểm cực đại là ( ) 0,3 ( )0C có 2 điểm uốn là 6 7, 3 9 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ Bảng biến thiên và đồ thị : bạn đọc tự làm. 2) Tiếp tuyến ( tại M ()D )− +4 2m , m 4m 3 thuộc ( )0C có phương trình: y = y′ ( )m ( Mx - x ) ( )x - m + yM hay y = ( + m)34m - 8m 4 – 4m2 + 3 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )D và ( )0C là x4 – 4x2 + 3 = ( )34m - 8m ( )x - m + m4 – 4m2 + 3 (1) ( Nhận xét: pt (1) chắc chắn nhận m làm nghiệm kép nên ta có: (1) ⇔ ( )2x - m ( ) =2Ax + Bx + C 0 ) (1) ⇔ x4 – m4 – 4 ( )2 2x - m = ( )x - m ( )34m - 8m ⇔ x – m = 0 ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – 4 ( )x + m = 4m3 – 8m ⇔ x = m ∨ x3 + mx2 + ( )2m - 4 x – 3m3 + 4m = 0 (2) ⇔ x = m ∨ ( )x - m ( )2 2x + 2mx + 3m - 4 = 0 ⇔ x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – 4 = 0 (3) Do đó, ( cắt ()D )0C tại 2 điểm P, Q khác m ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt khác m. ⇔ 2 2 2 2 2 m + 2m + 3m - 4 0 ⎧ ≠⎪⎨ ′Δ⎪⎩ ⇔ 2 2 2m 3 m < 2 ⎧ ≠⎪⎨⎪⎩ (4)⇔ 6m 3 m < 2 ⎧ ≠ ±⎪⎨⎪⎩ Để M là trung điểm của PQ thì xM = P Q x + x 2 m = –m m = 0 ⇒ ⇒ (m = 0 thoả (4) nên nhận) Nhận xét: pt (2) chắc chắn có nghiệm x = m. 3) I là trung điểm của PQ nên: ta có xI = –m và 2yI = yP + yQ = 2 ( )4 2m - 4m + 3 ⇒ yI = – 4 + 3 4Ix 2Ix Vậy quĩ tích của I là 1 phần đồ thị của hàm số y = x4 – 4x2 + 3 với x < 2 và x ≠ ± 6 3 PHẦN II: Khảo sát hàm số với a = – 1 2 4) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C khi a = – 1 2 : độc giả tự làm. a = – 1 2 , hàm số thành y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2 5) Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của y = x4 – 4x3 + 3 ( )C và đường thẳng: y = ax + b ( )1D có 2 nghiệm kép phân biệt α , β . Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và ( )1D là x4 – 4x3 + 3 = ax + b x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = 0 Do đó, yêu cầu bài toán x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = ( )2x - α ( )2x - β ∀x mà ( )2x-α ( )2x-β = x4 –2 ( )+ α β x3 + ( )2 2+ +4α β αβ x2 –2 x+αβ ( )α +β 2α 2β Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( ) ⎧− α + β⎪α β αβ = α +β + α⎪⎨ αβ α β⎪⎪α β⎩ 2 2 2 2 2 2 = -4 + + 4 = 0 ( ) 2 2 + = a = 3 - b β ⇔ α β⎧⎪ αβ αβ⎪⎨⎪⎪⎩ + = 2 4 + 2 = 0( =-2) a = -8 3 - b = 4 a = – 8 và b = –1. ⇒ α β αβ ⇒ α β + β α + với + = 2 và =-2 ( = 1- 3 và =1 3 )hay( = 1- 3 và =1 3 ) Khi đó, thế = ±x 1 3 và y = – 8 x – 1, ta có 2 điểm chung là A ( )1 - 3, -9 + 8 3 và B ( )1 + 3, -9 - 8 3 6) Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8, ta có: 4x3 – 12x2 = – 8 4x⇔ 3 – 12x2 + 8 = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 0 ⇔ ( )x - 1 ( )2x - 2x -2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 1± 3 y ( )1 = 0, y (1 - 3 ) = – 9 + 8 3 , y ( )1 + 3 = –9 – 8 3 Tiếp tuyến tại ( là y = – 8)1,0 ( )x - 1 hay y = –8x + 8 Theo câu 5, 2 tiếp điểm tại A và B có cùng 1 tiếp tuyến là y = – 8x – 1 Tóm lại có 2 tiếp tuyến thỏa ycbt là : y = –8x + 8 hay y = – 8x – 1. Các tiếp điểm là : ( , A)1,0 ( )1 - 3, -9 + 8 3 và B ( )1 + 3, -9 - 8 3 PHẦN III: 7) Số điểm cực trị của hàm số là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba của đa thức: f′ ( )x = 4x3 + 24ax2 – 8 ( )x 1 + 2a = 4x ( )2x + 6ax - 2 1 + 2a⎡ ⎤⎣ ⎦ Tam thức g(x) = x2 + 6ax – 2(1 + 2a) có : i) Khi a ≠ 1 2 − , g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra có 3 nghiệm đơn phân biệt ( )f x = 0′ ⇒ có 3 cực trị. ii) Khi a = 1 2 − thì g(x) = 0 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm khác 0 có 1 nghiệm kép x = 0 và 1 nghiệm đơn ⇒ ( )f x = 0′ ⇒ có 1 cực trị Điều kiện cần để hàm chỉ có 1 cực trị là a = 1 2 − . Khi a = 1 2 − , hàm đạt cực tiểu tại x = 3. (Khi a = 1 2 − , g(x) = 0 ⇔ x2 = 0 x = 3 ∨ với x = 0 là nghiệm kép và x = 3 là nghiệm đơn). Vậy khi a = 1 2 − thì hàm chỉ có cực tiểu và không có cực đại. 8) Khi a ≠ 1 2 − , hàm số có 3 cực trị. Gọi x1, x2, x3 là hoành độ 3 điểm cực trị khi a ≠ 1 2 − , ta có : x1, x2, x3 là nghiệm của f′ ( )x = 0. Chia đa thức f ( )x cho 1 4 f′ ( )x ta có: f ( )x = 1 4 f′ ( )x [ ]x + 2a – 2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 Vậy 3 điểm cực trị thoả phương trình: y = –2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 vì = = ff′ ( )1x f′ ( )2x ′ ( )3x = 0 Vậy, phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị là : y = –2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 9) y′ = 4x3 + 24ax2 – 8 ( )x 1 + 2a y′′ = 12x2 + 48ax – 8 ( ) 1 + 2a y′′ = 0 3x⇔ 2 + 12ax – 2 ( )1 + 2a = 0 (9) Vì (9) có = 36a′Δ 2 + 6 ( ) 1 + 2a nên đồ thị luôn có 2 điểm uốn I, J có hoành độ là nghiệm của phương trình (9) Hướng dẫn: giả sử chia f ( )x cho 1 4 f′′ ( )x (vế trái của (9)) Ta có : f ( )x = 1 4 f′′ ( )x ( )h x⎡⎣ ⎤⎦ + Ax + B thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm uốn là: y = Ax + B. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: (ĐH: 2,0đ; CĐ: 2,5đ): Cho hàm số : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1 . 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị . BÀI GIẢI 1) m = 1, y = x4 – 8x2 + 10 (C). MXĐ : D = R y’ = 4x3 – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 y” = 12x2 – 16; y” = 0 ⇔ x = 3 2± x −∞ − 3 2 3 2 +∞ y" + 0 − 0 + (C) lõm lồi lõm Điểm uốn I1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 9 10, 3 2 , I2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9 10, 3 2 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 10 +∞ −6 CĐ −6 CT CT 2) y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 y’ = 4mx3 + 2(m2 – 9)x y’ = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ =−+ = (*)0)9m(mx2 0x 22 y có 3 cực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0 −6 x y 10 −2 2 O ⇔ m(m2 – 9) < 0 ⇔ m < −3 ∨ 0 < m < 3 ĐỀ DỰ BỊ 1 - NĂM 2002 – KHỐI A (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x4 – mx2 + m – 1 (1) (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8. 2) Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. BÀI GIẢI 1) Khi m = 8 ⇒ y = x4 – 8x2 + 7 • MXĐ : D = R. •y' = 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4) y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2 • y'' = 12x2 – 16; y'' = 0 ⇔ 12x2 – 16 = 0 ⇔ x2 = =16 4 12 3 ⇔ x = ± 2 3 3 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 7 +∞ - 9 −9 x −∞ 2 3 3 − 2 3 3 +∞ y'' + 0 − 0 + y +∞ lõm -17/9 lồi - 17/9 lõm +∞ O 2−2 7 −9 x y 2) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. • Phương trình hoành độ giao điểm : x4 – mx2 + m – 1 = 0 (1) Đặt t = x2 ≥ 0, t2 – mt + m – 1 = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt . ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. ⇔ ⇔ 2 2 1 2 1 2 m 4(m 1) (m 2) S t t m 0 P t t m 1 0 0 m 1 m 2 >⎧⎨ ≠⎩ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - DỰ BỊ 1 - NĂM 2004 - KHỐI A (2 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 2m2x2 + 1 (1) với m là tham số 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. BÀI GIẢI 1) Khi m = 1 thì y = x4 – 2x2 + 1 MXĐ : D = R y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 - 1) , y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 1 y’’=12x2 – 4 , y’’ = 0 ⇔ x = 3 3 ± y(0) = 1 ; y (± 1) = 0 ; y( 3 3 ± ) = 4 9 x −∞ –1 0 1 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y +∞ +∞ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 x −∞ 3 3 − 3 3 +∞ y’’ + 0 – 0 + y +∞ lõm 4 9 lồi 4 9 lõm +∞ y 1 -1 0 x1 2) y’ = 4x3 – 4 m x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 2 m± . Hàm có 3 cực trị ⇔ m ≠ 0. Gọi A (0;1) ; B, C là 2 điểm cực trị có hoành độ là m± suy ra tung độ của B và C là 1 – m4 ⇒ 4AB ( m ; m )= − −uuur và 4AC ( m ; m )= −uuur .Vì y là hàm chẵn nên AC = AB. Do đó, yêu cầu bt ⇔ m ≠ 0 và chúng tôi 0 → → = ⇔ m ≠ 0 và – m2 + m8 = 0 ⇔ m6 = 1 ⇔ m = 1± DỰ BỊ 1 KHỐI B NĂM 2005: (2 điểm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 4 26 5y x x= − + 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2 26 logx x m 0− − = . 1/ Khảo sát 4 2y x 6x 5= − + MXĐ: D= R ( )= − = − = ⇔ = = ±/ 3 2 /y 4x 12x 4x x 3 ,y 0 x 0 hay x 3 = − = ⇔ = ±/ / 2 / /y 12x 12,y 0 x 1 BBT x −∞ 3− -1 0 1 3 +∞ y ' - 0 + + 0 - - 0 + y '' + + 0 - - 0 + + y +∞ 5 +∞ -4 0 0 -4 Đồ thị 2/ Tìm m để pt 4 2 2x 6x log m 0− − = có 4 nghiệm phân biệt. 4 2 4 2 2 2x 6x log m 0 x 6x 5 log m 5− − = ⇔ − + = + Đặt 2k log m 5= + Ycbt đường thẳng y= k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt ⇔ 4 k 5⇔ − < < ⇔ − < + <24 log m 5 5 ⇔ − < <29 log m 0 ⇔ < <9 1 m 1 2 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : I . ( ĐH KT QUỐC DÂN HÀ NỘI, NĂM 1 9 9 7 ) Cho hàm số : y = (1) − 2 2(2 x ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (0; 4 ). II . ( ĐH QG TP HCM ( đợt 3 ) , NĂM 1 9 9 8) Cho hàm số : y = m2 x4 – 2 x2 + m (1) với m là tham số khác không. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (1) khi m ≠ 0. Từ đó xác định m sao cho m2 x4 – 2 x2 + m ≥ 0 với mọi số thực x. III . ( ĐH Y DƯỢC TP HCM , NĂM 1 9 9 8) Cho hàm số : y = –x4 + 2 (m + 1) x2 – 2m –1 (1) với m là tham số 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng. 2) Gọi (C ) là đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. Tìm tất cả các điểm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( C ). ThS. PHẠM HỒNG DANH TT luyện thi chất lượng cao Vĩnh ViễnPhương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác
Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là có dạng:
a. sinx + b= 0 ( trong đó a ≠ 0) hoặc ( a.cosx+b= 0; chúng tôi x+ b= 0; a.cotx+ b= 0)
+ Để giải được phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta làm như sau:
* Bước 1: Đưa phương trình về dạng: sinx= m ( hoặc cosx =m; tanx= m; cotx= m).
* Bước 2. Giải phương trình lượng giác cơ bản.
* Bước 3. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình √12+2tanx=0 là:
A. π/6+kπ
B. (-π)/3+kπ
C. (-π)/6+kπ
D. (-π)/6+k2π
Lời giải
Chọn C
Ta có: √12+2tanx=0 ⇔ 2√3+2tanx=0
⇔ tan x= – √3 ⇔ tanx= tan (- π)/3
⇔ x= (-π)/3+kπ
Ví dụ 2. Tìm nghiệm của phương trình:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Ví dụ 3. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm?
A. Không tồn tại m.
B.m ϵ[-1;3] .
C. m ϵ[-3;-1]
D. mọi giá trị của m.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cos( 2x- π/3) ≤ 1
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
-1 ≤ m+2 ≤ 1 hay-3 ≤ m ≤ -1
Ví dụ 4: Họ nghiệm của phương trình cot(x+π/3)+1=0 là
A. .
B.
C. .
D.
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình 3cot x+ √3=0là:
A.
B.
C.
D. x= (-π)/3+kπ.
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 6: Phương trình có nghiệm là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: √3+tanx=0
Chọn B.
Ví dụ 7: Giải phương trình : 2tanx+ 10= 0
A. x= arctan 5+ k.π
B. x = arctan -5+ kπ
C. x= – 5+kπ
D. x= 1/5+kπ
Lời giải
Ta có: 2tanx + 10 = 0 ⇒ 2tanx= – 10
⇒ tanx= – 5.
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình
Suy ra:Nghiệm của phương trình đã cho là: x= arctan-5+ kπ; k∈Z
Ví dụ 8: Giải phương trình : 1/2.cot( x+3π/4)=0.
A. (-π)/4+kπ.
B. π/4+kπ.
C. π/2+kπ.
D. π/3+kπ
Lời giải
Ta có: 1/2.cot( x+3π/4)=0 ⇒ cot( x+3π/4)=0.
⇒ cot(x+ 3π/4)=cot π/2
⇒ x+ 3π/4= π/2+kπ ⇒ x= (-π)/4+kπ
Chon A.
Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 10. Giải phương trình : 2cos(x+ 30 0) + 1= 0
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: 2cos(x+30 0)+ 1= 0 ⇒ 2cos(x+ 30 0) = – 1
Chọn B.
Ví dụ 11: Giải phương trình : 2sin( x – 10 0) – sin90 0 = 0
A.
B.
C.
D. Một đáp án khác
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 12.Giải phương trình 2cos(x+ 10 0) + 10= 0
Lời giải
Ta có : 2cos(x+ 10 0) + 10= 0
⇒ 2cos(x+ 10 0) = – 10
Do với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cos(x+ 10 0 ) ≤ 1 nên từ (*) suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Giải phương trình 2cos( 120 0 – x)+ 1= 0
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
⇒ 2cos(120 0 – x) = – 1
⇒ cos(120 0-x) = (- 1)/2=cos120 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
Câu 2: Giải phương trình: 3sin(x- π/5)+3=0
Câu 3:Giải phương trình: √2 tan( x- 15 0 )- √2=0
Lời giải
Câu 4: Giải phương trình 3 cot(x+ 2π/5)- √3=0
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Ta có:
Chọn B.
Câu 5: Giải phương trình 2tanx – 6= 0
A. x= 3+ k. π
B. x = – 3+ kπ
C.x= arctan 3+ kπ
D. Phương trình vô nghiệm
Câu 6:Giải phương trình
A.
B.
C.
D.Phương trình vô nghiệm
Câu 7:Giải phương trình 3sin(x+ 10 0) – 1=0
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Chọn D.
Câu 8: Giải phương trình √3 sin( x+π/10)+3=0
A. x= π/10+k2π
B. x= -π/10+k2π
C. Phương trình vô nghiệm
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Chọn D.
Câu 9: Giải phương trình: 2sin( x+π/6) – cos 3π/2=0
Câu 10: Giải phương trình : 2sin(x+ π/8)-10=0
A.
B.
C.
D.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Lý Thuyết Và Phương Pháp Giải Bài Tập Hàm Số Bậc Hai Lớp 10
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
Xác định toạ độ đỉnh
Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai
Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:
Câu 1: Xác định Parabol (P) khi biết rằng:
Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x = 3/2
Đi qua điểm A(-1; 9) và có trục đối xứng x = -2
Đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; -4).
Đi qua điểm A(2; -3) và có đỉnh I(1; -4).
Đi qua các điểm A(1; 1), B(-1; -3), O(0; 0).
đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng -1.
Câu 2: Tìm Parabol (P): biết rằng
a) (P) đi qua A(0;-1) ; B(1;-1) ; C(-1;1).
b) (P) đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;-12)
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số
Câu 2: Vẽ đồ thị của hàm số. Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m, số điểm chung của parabol và
đường thẳng y = m.
Bài tập trắc nghiệm hàm số bậc hai
Câu 1: Cho parabol (P) có phương trình y = x^2 – 2x + 4 . Tìm điểm mà parabol đi qua.
A. M(- 3;19)
B. N(- 3;1)
C. P(4;0)
D. Q(4;2)
Câu 2: Cho parabol (P) có phương trình y = 3x^2 – 2x + 4 . Tìm trục đối xứng của parabol.
Câu 3: Cho parabol (P) có phương trình y = – x^2 – 2x + 4 . Tìm tọa độ đỉnh I của parabol.
A. I (- 1;5) .
B. I(1;1) .
C. I(- 1;1) .
D. I(- 2;4) .
Câu 4: Tìm tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số y = x^2 – 2x + 3 .
A. I (1;2).
B. I (2;3).
C. I (- 1;6).
D. I (- 2;11).
Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x^2 – 2019x + 2018 với trục tung.
A. Q (0;2018).
B. P(1;0).
C. (2018;0).
D. (1;2018).
Câu 7: Tìm giá trị M lớn nhất của hàm số y = – x^2 + 6x + 8 .
A. M=17.
B. M=8.
C. M=14.
D. M=48.
Câu 8: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x^2 – 2018x + 2017 với trục hoành.
A. M(1;0) và N(2017;0) .
B. P(0;1) và Q(0;2017) .
C. O(0;0) và M(1;2017) .
D. N(2017;0) và O(0;0) .
Câu 9: Tìm hàm số bậc hai có đồ thị tiếp xúc với trục hoành.
A. y = 4x^2 + 4x + 1 .
B. y = – 4x^2 – 4x + 1.
C. y = x^2 + 4x – 4 .
D. y = x^2 + 4x + 7 .
Câu 10: Cho parabol (P) có phương trình y = 3x^2 – 6x + 2017 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Parabol (P) có đỉnh I(0;2017) .
B. Parabol (P) không cắt trục hoành.
C. Parabol (P) luôn cắt trục tung.
D. Parabol (P) có trục đối xứng x = 1.
Câu 11: Đồ thị hàm số y = x^2 + bx + c là một parabol (P) có đỉnh I nằm trên trục tung đồng thời cắt trục hoành
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích là 2căn2 . Tìm parabol (P).
A. 2 y = x – 2 .
B. 2 y = x + 2
C. 2 3 y = x – 2 .
D. 2 y = x – 4x + 1 .
Câu 12: Cho Parabol y = x² + x – 3 và đường thẳng y = 2x – 1. Khi đó
A. Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt
B. Parabol tiếp xúc với đường thẳng tại điểm (2; 3)
C. Parabol không cắt đường thẳng.
D. Parabol tiếp xúc với đường thẳng tại điểm (-1; -3)
Câu 13: Cho hàm số y = x^2 – 4x + 3, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) = 3x^4 + x^2 + 2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. y = f(x) là hàm số không có tính chẵn lẻ
B. y = f(x) là hàm số chẵn
C. y = f(x) là hàm số lẻ
D. y = f(x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ
Câu 15: Cho hàm số y = x^2 + 2x – 2. Khẳng định nào sau đúng?
A. Đồ thị của hàm số có đỉnh I (1;-4) .
B. Đồ thị hàm số có tung độ đỉnh I (-1;3).
C. Đồ thị hàm số có trục đối xứng: x = 1 .
D. Đồ thị hàm số có trục đối xứng: x = – 1 .
Đáp án trắc nghiệm
1 D 22 D 43 B 64 B 85 C 106 C 2 B 23 D 44 A 65 A 86 C 107 C 3 D 24 A 45 A 66 D 87 D 108 D 4 D 25 D 46 D 67 A 88 D 109 C 5 C 26 C 47 A 68 D 89 A 110 A 6 A 27 B 48 C 69 A 90 C 111 B 7 C 28 D 49 C 70 A 91 C 112 B 8 B 29 A 50 B 71 C 92 C 113 D 9 A 30 B 51 D 72 A 93 D 114 C 10 B 31 B 52 C 73 C 94 C 115 B 11 C 32 D 53 D 74 B 95 D 116 B 12 C 33 B 54 A 75 B 96 D 117 B 13 C 34 A 55 B 76 A 97 A 118 A 14 A 35 B 56 D 77 C 98 A 119 B 15 C 36 D 57 A 78 B 99 D 120 C 16 B 37 A 58 C 79 A 100 C 121 A 17 D 38 A 59 D 80 A 101 B 122 B 18 D 39 A 60 A 81 B 102 B 123 B 19 D 40 C 61 D 82 C 103 A 124 C 20 A 41 B 62 A 83 B 104 D 125 C 21 D 42 B 63 C 84 B 105 A 126 D
Qua tài liệu trên, mong rằng các bạn đã nắm vững hơn về phần kiến thức hàm số bậc hai lớp 10. Ngoài ra, tài liệu còn tổng hợp khá nhiều bài tập giúp các bạn có thể rèn luyện kiến thức một cách Logic nhất.
Tham khảo
1. https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_hai
2. https://www.youtube.com/watch?v=X2SZm4bVMHU
Video học tập
( Phương pháp giải bài tập hàm số bậc hai lớp 10)
Cách Giải Phương Trình Bậc 4
Ở bài trước chúng ta đã nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba. Trong bài này chúng ta đi nghiên cứu cách giải một sô phương trình có bậc cao hơn 3. Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao là ta tìm cách chuyển về phương trình có bậc thấp hơn, thường chúng ta chuyển về phương trình bậc hai. Để làm điều này ta thường sử dụng các phương pháp sau:
1. Phương pháp đưa về dạng tích : Tức là ta biến đổi phương trình :
.
Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 2 : Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta luôn có sự phân tích: . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Chú ý : * Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của .
* Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm * Nếu đa thức có tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ thì đa thức có một nghiệm.
: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc bốn.
Ví dụ 1 : Giải phương trình : (1) .
Giải:
Ta có phương trình (1.1)
. Vậy phương trình có hai nghiệm: .
: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt những hạng tử thích hợp.
Ví dụ 2 : Giải phương trình : .
Giải: Phương trình
.
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: .
Chú ý :
1) Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc làm sao mà ta biết cách tách như trên ?!. Thật ra thì chúng ta làm như sau:
Phương trình .
Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu phân tích được hằng đẳng thức, để có điều này ta phải có:
, phương trình này có một nghiệm , do đó ta có thể phân tích như trên.
Với phương trình bậc bốn tổng quát (I) ta cũng
có thể biến đổi theo cách trên như sau:
Ta cộng thêm hai vế của phương trình một lượng:
(1.I).
Bây giờ ta chỉ cần chọn sao cho VT của (1.I) phân tích thành hằng đẳng thức, tức là :
(2.I)
Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I).
2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.
Ví dụ 3: Giải phương trình : (4).
, phương trình này có nghiệm: .
Do vậy
,
và .
Đưa về phương trình tích ngoài cách tạo ra hằng đẳng thức ở trên, ta còn có cách khác là sử dụng phương trình hệ số bất định. Chẳng hạn xét ví dụ trên. Ta phân tích:
Khai triển rồi đồng nhất các hệ số ta có được hệ phương trình :
.
Từ phương trình cuối ta chọn: , thay vào ba phương trình đầu ta có:
ta thấy hệ này vô nghiệm, do đó ta chọn , thay vào ta giải được và
Vậy: .
Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
(5).
Khi gặp bài toán này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ không biết nên xử lí theo hướng nào? Vì phương trình này không có nghiệm đặc biệt, nếu sử dụng phương trình phân tích bình phương thì việc giải phương trình (2.I) e rằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì sao? Chú ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: Giải: , điều này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương trình về dạng: (mục đíc là làm giảm số ẩn cần tìm xuống còn 2 ẩn). Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :
.
Vậy
(5) có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.
* (a) và (b) cùng có hai nghiệm phân biệt
* Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là , khi đó là nghiệm của hệ: , hệ này vô nghiệm và (b) không có nghiệm chung. Vậy là những giá trị cần tìm.
: Việc nhận thấy Nhận xét là mẫu chốt hạn chế khó khăn trong việc phân tích ra thừa số. Đây là một tính chất của đa thức rất hay được sử dụng trong việc phân tích một đa thức thành các nhân tử. Cụ thể : Nếu tam thức bậc hai (tương tự cho đa thức)
có hai nghiệm thì ta luôn có sự phân tích . Với phương trình trên ta không sử dụng được tính chất này vì vế trái là một đa thức bậc 4 không có nghiệm đặc biệt. Tuy nhiên nếu chúng ta nhạy bén thì ta thấy VT của phương trình lại là một tam thức bậc hai đối với ẩn là tham số m. Tức là ta có:
(5′)
Tam thức này có :
Suy ra (5′) có hai nghiệm
và . Do vậy ta có:
. Đây là phương trình mà ta vừa biến đổi ở trên.
Ví dụ 5: Giải phương trình : .
Đặt Giải: , ta có :
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
.
: Giải phương trình : Ví dụ 6 .
Giải:
Ta có phương trình
.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: .
Ví dụ 7 : Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải:
PT:
.
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.
(a) và (b) có hai nghiệm phân biệt .
Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là
.
Vậy là những giá trị cần tìm.
Nguyễn Tất Thu
Bạn đang xem bài viết Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!