Xem Nhiều 11/2022 #️ Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 / 2023 # Top 20 Trend | Caffebenevietnam.com

Xem Nhiều 11/2022 # Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 / 2023 # Top 20 Trend

Cập nhật thông tin chi tiết về Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 / 2023 mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán Lớp 6, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Toán 6 Phần 2 Số Nguyên Tiết 1, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 Phần 2 Dố Nguyên Tiết 1 Phép Cộng Và Phép Trừ 2 Số Nguyên, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9 Pdf, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Sách Toán Bồi Dưỡng Học Sinh Lớp 4, Sách Bài Tập Nâng Cao Toán 10, Sách Bồi Dưỡng Học Sính Giỏi Toán Lớp 6, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9 Pdf, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 9, Sách Giáo Khoa Toán 12 Nâng Cao, Mua Sách Nâng Cao Và Chuyên Đề Toán 9 Của Bùi Văn Tuyên, Sách Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9-bùi Văn Tuyên , Sách Phát Triển Năng Lực Toán 8 Tập 1, Sach Thuc Hanh Va Nang Cap Cao Toan, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5 Tap 2, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lipws 3, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp5, Bộ Sách:”ôn Tập – Kiểm Tra, Đánh Giá Năng Lực Học Sinh Môn Toán”, Yếu Tố Quan Trọng Giúp Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Của Bình Dương, Bài Thu Hoạch Đường Lối Quan Điểm Của Đảng Chính Sách Pháp Luật Của Nhà Nước Về Quốc Phòng Toàn Dân,, Bài Thu Hoạch Đường Lối Quan Điểm Của Đảng Chính Sách Pháp Luật Của Nhà Nước Về Quốc Phòng Toàn Dân,, Duong Loi Quan Diem Cua Dang Chinh Sach Phap Luat Nha Nuoc Ve Xay Dung Nen Quoc Phong Toan Dan, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Tiếng Viêt, Tiếng Anh, Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Công Ty Nước Sạch, Cẩm Nang Y Tế Học Đường, Mẫu Đơn Xin Nâng Cấp Đường Dây Điện, Đơn Xin Nâng Cấp Đường Điện, Chống Nạng Lên Đường, Nâng Cấp Đường Địên, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Đọc Sách Nền Tảng Trước Đọc Sách Kỹ Năng Sau Là Một Lựa Chọn Thông Minh, Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Xã, Dự án Đường Cao Tốc Đà Nẵng – Quảng Ngãi, Tai Sao Phai Nang Cao Dan Tri Boi Duong Nhan Tai, ớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Năng Lực Nghề Nghiệp, Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Phát Triển Năng Lực, Trên Đoạn Đường Bộ Giao Nhau Cùng Mức Với Đường Sắt, Cầu Đường Bộ Đi Chung Với Đường Sắt Thì, Bài Thu Hoạch Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Đề Tài Nâng Cao Chất Lượng Đào Tạo, Bồi Dưỡng Cán Bộ, Công Chức, Bài Thu Hoạch Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòngh, Sách Hướng Dẫn Thực Tập Kỹ Năng Dành Cho Thực Tập Sinh Kỹ Năng, Bạn Hãy Tìm Một Số Nguyên Dương X, Nếu Biết Danh Sách Tất Cả Các ước Nguyên Dương Của Nó Trừ ước 1 V, Bạn Hãy Tìm Một Số Nguyên Dương X, Nếu Biết Danh Sách Tất Cả Các ước Nguyên Dương Của Nó Trừ ước 1 V, Bạn Hãy Tìm Một Số Nguyên Dương X, Nếu Biết Danh Sách Tất Cả Các ước Nguyên Dương Của Nó Trừ ước 1 V, Khái Niệm Nào Sau Đây Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản , Quyết Định Ban Hành Bộ Chuẩn Năng Lực Điều Dưỡng Cơ Bản Việt Nam, Khi Đèn Pha Của Xe Đi Ngược Chiều Gây Chói Mắt, Làm Giảm Khả Năng Quan Sát Trên Đường, Truy Suất Nguồn Gốc Là Con Đường Tất Yếu Để Nâng Cao Giá Trị Và Mở Rộng Thị Trường Cho Nông Sản, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Phát Triển Năng Lực Nghề Nghiệp Trong Năm Học T, Khái Niệm Nào Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản Xuất, Giải Pháp Nâng Cao Hiệu Quả Thực Hiện Chủ Trương Đường Lối Thoát, Tài Liệu Chuyên Đề 10 Bồi Dưỡng Chức Năng Nghề Nghiệp Gv Thcs Hạng 3, Những Biện Pháp Để Nâng Cao Hiệu Quả Dạy Học Và Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi ở Thcs, ở Phần Đường Dành Cho Người Đi Bộ Qua Đường, Trên Cầu, Đầu Cầu, Đường Cao Tốc, Đường Hẹp, Phân Tích Gánh Nặng Và Các Yếu Tố Liên Quan Đến Công Việc Của Điều Dưỡng Viên, Toán Bồi Dưỡng Lớp 6, Mẫu Hồ Sơ Sổ Sách Y Tế Học Đường, Quy Cách Qua Đường An Toàn, 9 Chuyên Đề Bồi Dưỡng Hsg Toán 7, 6 Chuyên Đề Bồi Dưỡng Toán Lớp 2, Dự Toán Đường Bê Tông, Quy Định An Toàn Đường Sắt, Dự Toán Lắp Đặt Đường ống Nước, 6 Chuyên Đề Bồi Dưỡng Toán 2, Trên Đường Có Nhiều Làn Đường, Khi Điều Khiển Phương Tiện ở Tốc Độ Chậm Bạn Phải Đi Từ Làn Đường Nào, Trên Đường Có Nhiều Làn Đường, Khi Điều Khiển Phương Tiện ở Tốc Độ Chậm, Bạn Phải Đi ở Làn Đường Nào, Kỹ Năng Kế Toán, Toán 10 Nâng Cao, Toán Lớp 7 Nâng Cao Có Đáp án, Kỹ Năng An Toàn, Cẩm Nang Toán 12, Kỹ Năng An Toàn Cho Trẻ, An Toàn Xe Nâng, Toán Nâng Cao Lớp 2, Toán Nâng Cao Lớp 8, Cẩm Nang An Toàn Cho Con Bạn, Cẩm Nang Toán Lớp 9, Cẩm Nang Toán Lớp 6, Toán Nâng Cao Lớp 5, Sách Học Thuyết âm Dương, Sách Đường Về Emmaus, Sách Lê Thẩm Dương, Danh Sách Nhà Mặt Đường, An Toàn Thực Phẩm Đường Phố, Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán 8, An Toàn Giao Thông Đường Bộ, Toán Bồi Dưỡng Học Sinh Lớp 4 Nguyễn áng, Luan Van Boi Duong Ke Toan Vien, Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán 7, Trên Đường Bộ (trừ Đường Cao Tốc) Trong Khu Vực Đông Dân Cư, Đường Đôi Có Dải Phân Cách Giữa,

Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán Lớp 6, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Toán 6 Phần 2 Số Nguyên Tiết 1, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 Phần 2 Dố Nguyên Tiết 1 Phép Cộng Và Phép Trừ 2 Số Nguyên, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9 Pdf, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Sách Toán Bồi Dưỡng Học Sinh Lớp 4, Sách Bài Tập Nâng Cao Toán 10, Sách Bồi Dưỡng Học Sính Giỏi Toán Lớp 6, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9 Pdf, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 9, Sách Giáo Khoa Toán 12 Nâng Cao, Mua Sách Nâng Cao Và Chuyên Đề Toán 9 Của Bùi Văn Tuyên, Sách Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9-bùi Văn Tuyên , Sách Phát Triển Năng Lực Toán 8 Tập 1, Sach Thuc Hanh Va Nang Cap Cao Toan, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5 Tap 2, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lipws 3, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp5, Bộ Sách:”ôn Tập – Kiểm Tra, Đánh Giá Năng Lực Học Sinh Môn Toán”, Yếu Tố Quan Trọng Giúp Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Của Bình Dương, Bài Thu Hoạch Đường Lối Quan Điểm Của Đảng Chính Sách Pháp Luật Của Nhà Nước Về Quốc Phòng Toàn Dân,, Bài Thu Hoạch Đường Lối Quan Điểm Của Đảng Chính Sách Pháp Luật Của Nhà Nước Về Quốc Phòng Toàn Dân,, Duong Loi Quan Diem Cua Dang Chinh Sach Phap Luat Nha Nuoc Ve Xay Dung Nen Quoc Phong Toan Dan, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Tiếng Viêt, Tiếng Anh, Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Công Ty Nước Sạch, Cẩm Nang Y Tế Học Đường, Mẫu Đơn Xin Nâng Cấp Đường Dây Điện, Đơn Xin Nâng Cấp Đường Điện, Chống Nạng Lên Đường, Nâng Cấp Đường Địên, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Đọc Sách Nền Tảng Trước Đọc Sách Kỹ Năng Sau Là Một Lựa Chọn Thông Minh, Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Xã, Dự án Đường Cao Tốc Đà Nẵng – Quảng Ngãi, Tai Sao Phai Nang Cao Dan Tri Boi Duong Nhan Tai, ớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Năng Lực Nghề Nghiệp, Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Phát Triển Năng Lực, Trên Đoạn Đường Bộ Giao Nhau Cùng Mức Với Đường Sắt, Cầu Đường Bộ Đi Chung Với Đường Sắt Thì, Bài Thu Hoạch Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Đề Tài Nâng Cao Chất Lượng Đào Tạo, Bồi Dưỡng Cán Bộ, Công Chức, Bài Thu Hoạch Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòngh,

Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 / 2023

Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Toán 6 Phần 2 Số Nguyên Tiết 1, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 Phần 2 Dố Nguyên Tiết 1 Phép Cộng Và Phép Trừ 2 Số Nguyên, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán Lớp 6, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9 Pdf, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Khái Niệm Nào Sau Đây Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản , Giải Pháp Nâng Cao Hiệu Quả Thực Hiện Chủ Trương Đường Lối Thoát, Khái Niệm Nào Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản Xuất, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 5, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 3, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 4, Giải Bài Tập Toán 10 Nâng Cao, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 1, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 2, Giải Bài Toán Nâng Style, Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 4 Tập 2, Giải Vở Bài Tập Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5 Tập 1, Cẩm Nang Giải Toán Vật Lý 12 Nguyễn Anh Vinh, Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5, Giải Toán Phát Triển Năng Lực Lớp 5, Sách Toán Bồi Dưỡng Học Sinh Lớp 4, Sách Bài Tập Nâng Cao Toán 10, Sách Bồi Dưỡng Học Sính Giỏi Toán Lớp 6, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9 Pdf, Sách Giáo Khoa Toán 12 Nâng Cao, Sách Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9-bùi Văn Tuyên , Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5 Tap 2, Sach Thuc Hanh Va Nang Cap Cao Toan, Mua Sách Nâng Cao Và Chuyên Đề Toán 9 Của Bùi Văn Tuyên, Sách Phát Triển Năng Lực Toán 8 Tập 1, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 9, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Bộ Sách:”ôn Tập – Kiểm Tra, Đánh Giá Năng Lực Học Sinh Môn Toán”, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp5, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lipws 3, Sách Giải Toán Lớp 5, Sách Giải Toán 7, Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 2, Giải Toán Lớp 5 Sách Giáo Khoa, Bài Giải Sách Giáo Khoa Toán Lớp 9, Giải Toán Lớp 7 Sách Giáo Khoa Tập 1, Giải Bài Tập ở Sách Giáo Khoa Toán Lớp 7, Giải Toán Lớp 7 Sách Giáo Khoa, Giải Toán Lớp 6 Sách Giáo Khoa, Giải Toán Lớp 2 Sách Giáo Khoa, Giải Toán Lớp 9 Sách Giáo Khoa, Giải Bài Tập Toán 6 Sách Giáo Khoa Tập 2, Giải Bài Tập Toán 6 Sách Giáo Khoa, Giải Bài 4 Trang 56 Sách Cùng Em Học Toán Lop 3 Tập 2, Giải Toán 9 Sách Giáo Khoa, Bài Giải Sách Giáo Khoa Toán Lớp 5, Yếu Tố Quan Trọng Giúp Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Của Bình Dương, Giải Bài Tập Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên Đường Xiên Và Hình Chiếu Lớp 7, Giải Cùng Em Học Toán Lớp 5 Tập 2 Bài Hình Tròn. Đường Tròn Trang6 7 8, Giải Pháp Xây Dựng Môi Trường Xanh Sạch Đẹp An Toàn, Giải Thích Câu Tục Ngiải Pháp Chủ Yêu Đường Lối, Chính Sách, Pháp Luật Của Đẩng, Nhà Nươc…, Bài Thu Hoạch Đường Lối Quan Điểm Của Đảng Chính Sách Pháp Luật Của Nhà Nước Về Quốc Phòng Toàn Dân,, Bài Thu Hoạch Đường Lối Quan Điểm Của Đảng Chính Sách Pháp Luật Của Nhà Nước Về Quốc Phòng Toàn Dân,, Duong Loi Quan Diem Cua Dang Chinh Sach Phap Luat Nha Nuoc Ve Xay Dung Nen Quoc Phong Toan Dan, Yêu Cầu Giải Pháp Nâng Cao Nhận Thức Trách Nhiệm Của Quân Nhân Về Bảo Vệ An Toàn An Ninh Mạng, Thông Tư 77/2012 Quy Định Quy Trình Điều Tra Giải Quyết Tngt Đường Bộ Của Lực Lượng Csgt Đường Bộ, Giải Pháp Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Của Doanh Nghiệp Nhỏ Và Vừa, Luận Văn Giải Pháp Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Tiếng Viêt, Tiếng Anh, Giải Pháp Để Nâng Cao Hiệu Quả Quản Lý Đảng Viên Trong Chi Bộ Nâng Cao Chất Lượng Công Tác Kiểm Tra, Đề Xuất Các Giải Pháp Nâng Cao Chất Lượng Chăm Sóc, Khám, Chữa Bệnh Cho Nhân Dân Trên Địa Bàn, Nâng , Đề Xuất Các Giải Pháp Nâng Cao Chất Lượng Chăm Sóc, Khám, Chữa Bệnh Cho Nhân Dân Trên Địa Bàn, Nâng, Giải Pháp Để Nâng Cao Hiệu Quả Quản Lý Đảng Viên Trong Chi Bộ Nâng Cao Chất Lượng Công Tác Kiểm Tra , Giải Pháp Nâng Cao Nhận Thức, Trách Nhiệm Của Quân Nhân Về Nhiệm Vụ Bảo Vên An Toàn, An Ninh Mạng, Những Yêu Cầu, Giải Pháp Nâng Cao Nhận Thức, Trách Nhiệm Của Quân Nhân Về Nhiệm Vụ Bảo Vệ An Toàn, A, Những Yêu Cầu, Giải Pháp Nâng Cao Nhân Thức, Trách Nhiệm Của Quân Nhân Về Nhiệm Vụ Bảo Vệ An Toàn…, Yeu Cau, Giai Pháp Nâng Cao Nhận Thức, Trách Nhiệm Của Quân Nhân Về Nhiệm Vụ Bảo Vệ An Toàn Mạng, Những Yêu Cầu, Giải Pháp Nâng Cao Nhận Thức, Trách Nhiệm Của Quân Nhân Về Nhiệm Vụ Bảo Vệ An Toàn, A, Giải Pháp Nâng Cao Năng Lực Lãnh Đạo, Nâng Cao Năng Lực Cạnh Tranh Công Ty Nước Sạch, Cẩm Nang Y Tế Học Đường, Chống Nạng Lên Đường, Mẫu Đơn Xin Nâng Cấp Đường Dây Điện, Đơn Xin Nâng Cấp Đường Điện, Nâng Cấp Đường Địên, Đọc Sách Nền Tảng Trước Đọc Sách Kỹ Năng Sau Là Một Lựa Chọn Thông Minh, Dự án Đường Cao Tốc Đà Nẵng – Quảng Ngãi, Tai Sao Phai Nang Cao Dan Tri Boi Duong Nhan Tai, Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Xã, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Năng Lực Nghề Nghiệp, ớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Kế Hoạch Học Tập Bồi Dưỡng Phát Triển Năng Lực, Trên Đoạn Đường Bộ Giao Nhau Cùng Mức Với Đường Sắt, Cầu Đường Bộ Đi Chung Với Đường Sắt Thì, Bài Thu Hoạch Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòngh, Đề Tài Nâng Cao Chất Lượng Đào Tạo, Bồi Dưỡng Cán Bộ, Công Chức, Bài Thu Hoạch Lớp Bồi Dưỡng Kỹ Năng Lãnh Đạo Quản Lý Cấp Phòng, Các Đồng Chí Hẫy Trình Bày Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Tron Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn H,

Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Toán 6 Phần 2 Số Nguyên Tiết 1, Giải Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 Phần 2 Dố Nguyên Tiết 1 Phép Cộng Và Phép Trừ 2 Số Nguyên, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán Lớp 6, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9, Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 9 Pdf, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Khái Niệm Nào Sau Đây Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản , Giải Pháp Nâng Cao Hiệu Quả Thực Hiện Chủ Trương Đường Lối Thoát, Khái Niệm Nào Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản Xuất, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 5, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 3, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 4, Giải Bài Tập Toán 10 Nâng Cao, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 1, Bài Giải Toán Nâng Cao Lớp 2, Giải Bài Toán Nâng Style, Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 4 Tập 2, Giải Vở Bài Tập Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5 Tập 1, Cẩm Nang Giải Toán Vật Lý 12 Nguyễn Anh Vinh, Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5, Giải Toán Phát Triển Năng Lực Lớp 5, Sách Toán Bồi Dưỡng Học Sinh Lớp 4, Sách Bài Tập Nâng Cao Toán 10, Sách Bồi Dưỡng Học Sính Giỏi Toán Lớp 6, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9, Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9 Pdf, Sách Giáo Khoa Toán 12 Nâng Cao, Sách Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 9-bùi Văn Tuyên , Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 5 Tap 2, Sach Thuc Hanh Va Nang Cap Cao Toan, Mua Sách Nâng Cao Và Chuyên Đề Toán 9 Của Bùi Văn Tuyên, Sách Phát Triển Năng Lực Toán 8 Tập 1, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp 9, Sách Cẩm Nang Vàng Tri Thức Toán, Bộ Sách:”ôn Tập – Kiểm Tra, Đánh Giá Năng Lực Học Sinh Môn Toán”, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lớp5, Sách Phát Triển Năng Lực Toán Lipws 3, Sách Giải Toán Lớp 5, Sách Giải Toán 7, Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 2, Giải Toán Lớp 5 Sách Giáo Khoa, Bài Giải Sách Giáo Khoa Toán Lớp 9, Giải Toán Lớp 7 Sách Giáo Khoa Tập 1, Giải Bài Tập ở Sách Giáo Khoa Toán Lớp 7, Giải Toán Lớp 7 Sách Giáo Khoa,

Chuyên Đề: Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 6 Phần Số Học / 2023

Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LỚP 6 PHẦN SỐ HỌC BÀI 1: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được.

Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS.

Chúng ta xuất phát từ tính chất sau:

Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.

Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.

Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.

Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.

Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n – 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}).

Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.

Tính chất 3:

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.

Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n – 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}).

Theo tính chất 3 thì 2 3 có chữ số tận cùng là 8; 3 7 có chữ số tận cùng là 7; 4 11 có chữ số tận cùng là 4; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.

* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo.

Các Dạng Bài Toán Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 6 / 2023

+ 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cỏch 2 : Ta cú : 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Cỏch 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + ... + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) Cỏch 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Cỏch 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO 1. Viết cỏc tập hợp sau bằng cỏch liệt kờ cỏc phần tử của nú: a) Tập hợp A cỏc số tự nhiờn cú hai chữ số trong đú chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3. b) Tập hợp B cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số mà tổng cỏc chữ số bằng 5. 2. * Ghi số nhỏ nhất cú: a) chớn chữ số b) n chữ số (nẻ N*) c) mười chữ số khỏc nhau ** Ghi số lớn nhất cú: a) chớn chữ số b) n chữ số (nẻ N*) c) mười chữ số khỏc nhau 3. Người ta viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn thành dóy số sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ...Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gỡ? Chữ số đú của số tự nhiờn nào? 4. Điền kớ hiệu thớch hợp vào ụ vuụng: a) 2 c {1; 2; 6} e) ặ c {a} b) 3 c {1; 2; 6} f) 0 c {0} c) {1} c {1; 2; 6} g) {3; 4} c N d) {2;1; 6} c {1; 2; 6} h) 0 c N* 5. Trong đợt thi đua "Bụng hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giỏo Việt Nam - Lớp 6/1 cú 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lờn, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lờn, 15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lờn, 9 bạn đạt 4 điểm 10, khụng cú ai đạt trờn 4 điểm 10. Hỏi trong đợt thi đua đú, lớp 6/1 cú tất cả bao nhiờu điểm 10? 6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phự Đổng", kết quả điều tra ở một lớp cho thấy; cú 25 học sinh thớch búng đỏ, 22 học sinh thớch điền kinh, 24 học sinh thớch cầu lụng, 14 học sinh thớch búng đỏ và điền kinh, 16 học sinh thớch búng đỏ và cầu lụng, 15 học sinh thớch cầu lụng và điền kinh, 9 học sinh thớch cả 3 mụn, cũn lại là 6 học sinh thớch cờ vua. Hỏi lớp đú cú bao nhiờu học sinh? 7. Muốn viết tất cả cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 1000 phải dựng bao nhiờu chữ số 5? 8. Điền cỏc chữ số thớch hợp vào ụ trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng 23: 6 8 9. Tỡm số cú hai chữ số sao cho số đú lớn hơn 6 lần tổng cỏc chữ số của nú là 2 đơn vị. 10. Tỡm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phộp chia là 15 và số dư là 36. 11. Em hóy đặt cỏc dấu (+) và dấu (-) vào giữa cỏc chữ số của số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (cú thể ghộp chỳng lại với nhau) để kết quả của phộp tớnh bằng 200. 12. Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, biết rằng tổng cỏc chữ số của nú là 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số đú cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị. 13. Một phộp chia cú tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương là 4 và số dư là 7. Tỡm số bị chia và số chia. 14. So sỏnh: 21000 và 5400 15. Tỡm n ẻ N, biết: a) 2n . 8 = 512 b) (2n + 1)3 = 729 16. Tớnh giỏ trị của biểu thức: a) 39 : 37 + 5 . 22 b) 23 . 32 - 516 : 514 c) 47. 34 . 96 613 d) 216 + 28 213 + 25 17. Tỡm x, y ẻ N, biết rằng: 2x + 242 = 3y 18. Tỡm x ẻ N, biết: a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 24 . 3 b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0 19. Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 215 : 213 b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 190 c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15} d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 316 : 312 20. Tỡm x biết: a) (x - 15) : 5 + 22 = 24 b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6 c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86 21. Xột xem: a) 20022003 + 20032004 cú chia hết cho 2 khụng? b) 34n - 6 cú chia hết cho 5 khụng? (n ẻ N*) c) 20012002 - 1 cú chia hết cho 10 khụng? 22. Tỡm x, y để số chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2. 23. Viết số tự nhiờn nhỏ nhất cú năm chữ số, tận cựng bằng 6 và chia hết cho 9. D A NANG CAO Bài 1 Cho số M = (1/16)2002. Tớnh tổng của 2002 chữ số đầu tiờn sau dấu phẩy của số M khi viết dưới dạng số thập phõn. Bài giải : Vỡ 1/16 < 1/10 nờn M = (1/16)2002 < (1/10)2002 = (0,1)2002 = 0, 00...01 ( 2001 chữ số 0). Do đú M phải cú ớt nhất là 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy. Từ đú ta cú tổng của 2002 chữ số đầu tiờn sau dấu phẩy khi viết M dưới dạng số thập phõn là 0. Nhận xột : + Nhiều bạn nờu ra mấy trường hợp : 1/16 = 0,0625 ; (1/16)2 = 0,00390625 ; (1/16)3 = 0,000244140625 + Bạn Hoàng Minh Hiếu, 7C, THCS Lờ Quý Đụn, Bỉm Sơn, Thanh Húa đỏnh giỏ : M = (1/16)2002 = (1/2)8008 = (1/2)8.(1/2)8000 < ((1/2)10)8000 < (1/1024)800 < (1/1000)800 = (1/10)2400 = 0,00...01 (2399 chữ số 0). Từ đú cú thể thấy tổng của 2400 chữ số đầu tiờn ngay sau dấu phẩy của M viết dưới dạng số thập phõn cũng bằng 0. + Bạn Phạm Huy Hoàng, 9B, trường THPTNK Trần Phỳ, Hi Phũng nhận xột : "Nếu M = (1/16)k với k N thỡ M = (1/16)k = (0,625/10 )k . Từ đú tổng của k chữ số đầu tiờn ngay sau dấu phẩy ở dạng viết thập phõn của M sẽ bằng 0. Bài 4: Em hóy thay mật chữ cỏi bởi mật chữ số để phộp tớnh dưới đõy đỳng (chữ cỏI khỏc nhau thỡ thay chữ số khỏc nhau) TIME + TIME = MONEY Đẳng thức trờn cũn cú ý nghĩa gỡ nữa khụng? BàI giải: Từ MONEY = TIME + TIME ≤ 9999 + 9999 = 19998. 1) Nếu I = 0 thỡ N = 0 (loại vỡ I ≠ N ). 2) Nếu I = 3 thỡ N = 6. a) Với T = 5 thỡ cú O = 0 ,vậy nghiệm bài toỏn là TIME = 5312 và MONEY = 10624 (1). b) Với T = 7 cú O = 4 (loại vỡ O = Y). c) Với T = 8 cú O = 6 (loại vỡ O = N). d) Với T = 9 thỡ cú O = 8 ta cú nghiệm thứ hai của bài toỏn : TIME = 9312 , MONEY = 18624 (2). 3) Nếu I = 5, thỡ N = 0. a) Với T = 6, cú O = 3, nghiệm thứ ba của bài toỏn là TIME = 6512 và MONEY = 13024 (3). c) Với T = 8 cú O = 7, nghiệm thứ tư của bài ra là : TIME = 8512 và MONEY = 17024 (4). 4) Nếu I = 6 thỡ N = 2 (loại vỡ N = E) 5) Nếu I = 7 thỡ n = 4 (loại vỡ N = Y) 6) Nếu I = 8 thỡ N = 6, ta thấy cỏc khả năng T = 5 và t = 9 khụng thoả món điều kiện bài toỏn. Với T = 7 thỡ O = 5, ta cú nghiệm thư năm của bài toỏn là : TIME = 7812 và MONEY = 15624 (5). 7) Nếu I = 9 thỡ N = 8, dễ thấy trường hợp T = 5 bị loại. Với T = 6 thỡ O = 3, cũn với T = 7 cú O = 5. Nghiệm thứ sỏu và thứ bẩy của bài toỏn là : TIME = 6912 và MONEY = 13824 (6) TIME = 7912 và MONEY = 15824 (7) Vậy bỏi toỏn cú bẩy nghiệm như đó khẳng định ở trờn. Đẳng thức TIME + TIME = MONEY cũn cú ý nghĩa là : Chỳng ta phải qớy trọng thời gianvỡ rằng " Thời gian là vàng bạc" TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau : Bài toỏn A : Tớnh tổng : Lời giải : Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn chỳt xớu. Bài 1 : Tớnh tổng : Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược. Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết : Hơn nữa ta cú : ta cú bài toỏn Bài 3 : Chứng minh rằng : Do vậy, cho ta bài toỏn "tưởng như khú" Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : khụng phải là số nguyờn. Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và khỏc nhau thỡ Giỳp ta đến với bài toỏn Hay và Khú sau : Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho Ta cũn cú cỏc bài toỏn "gần gũi" với bài toỏn 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ? Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2 Lời giải : Cú khỏ nhiều cỏch chứng minh nhờ "đỏnh giỏ" vế trỏi bởi cỏc kiểu khỏc nhau. Ta gọi vế trỏi của bất đẳng thức là A. Cỏch 1 : Ta cú : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cỏch 2 : Ta cú : 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Cỏch 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + ... + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) Cỏch 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Cỏch 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) Bài 2 : Tỡm tổng cỏc chữ số của 999999999982. Lời giải : Ta cú : A = 999999999982 = (99999999998 + 2)(99999999998 - 2) + 4 = 100 000 000 000 x 99999999996 + 4 = 99999999996000000000004 Từ đú ta cú tổng cỏc chữ số của A là 9 x 10 + 6 + 4 = 100. Nhận xột : 1) Cỏc bạn cú một số cỏch khỏc để tớnh A. Chẳng hạn : Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... a) Biết A cú 40 số hạng. Tớnh giỏ trị của A. b) Biết A cú n số hạng. Tớnh giỏ trị của A theo n. Lời giải : a) Ta cú A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... = (1 -7) + (13 - 19) + (25 - 31) + ... = (-6) + (-6) + (-6) + ... Vỡ A cú 40 số hạng nờn sẽ cú 20 cặp số cú giỏ trị bằng -6. Do đú A = (-6) . 20 = -120. b) Ta xột 2 trường hợp : Trường hợp 1 : Với n chẵn. Tương tự cõu a, vỡ A cú n số hạng nờn sẽ cú cặp số n/2 cặp số. Do đú A = (-6).n/2 = - 3n. Trường hợp 2 : Với n lẻ, khi đú n - 1 chẵn. Ta cú A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... = 1 + (- 7 + 13) + (- 19 + 25) + ... = 1 + 6 + 6 + ... Vỡ A cú (n - 1)/2 cặp số cú giỏ trị bằng 6 nờn A = 1 + 6 .(n - 1)/2 = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2 Vậy A = -3n (với n chẵn) ; A = 3n - 2 (với n lẻ). Bài 4(1) : Cho 6 số tự nhiờn a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả món : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. 1) Nếu tớnh tổng hai số bất kỡ thỡ được bao nhiờu tổng? 2) Biết rằng tất cả cỏc tổng trờn là khỏc nhau. Chứng minh a6 ≥ 2012. Lời giải : 1) Cỏc tổng đú là a1 + a2, a1 + a3, a1 + a4, a1 + a5, a1 + a6, a2 + a3, a2 + a4, a2 + a5, a2 + a6, a3 + a4, a3 + a5, a3 + a6, a4 + a5, a4 + a6, a5 + a6. Vậy cú tất cả : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 tổng. Tổng nhỏ nhất là : a1 + a2 ≥ 2003 + 2004 = 4007. Tổng lớn nhất là : a5 + a6 ≤ 2010 + 2011 = 4021. Nhưng ta chỳ ý rằng cú tất cả 15 số tự nhiờn ≥ 4007 và ≤ 4021. Nhưng khi đú ta lại cú a1 + a6 = a2 + a5 = 2014. Mõu thuẫn với giả thiết. Vậy a6 ≥ 2012 Nhận xột : 1) Rất nhiều bạn nhận xột sai rằng : Chỉ cú 14 số tự nhiờn ≥ 4007 và ≤ 4021 ! Bài 5(1) : Bạn hóy khụi phục lại những chữ số bị xúa (để lại vết tớch của mỗi chữ số là một dấu *) để phộp toỏn đỳng. Lời giải : Để thuận lợi, chỳng ta đặt lại phộp tớnh ở bài ra như sau : Mặt khỏc (số cú 7 chữ số) . Vậy phộp toỏn đỳng sau khi đó khụi phục những chữ số bị xúa đi là : Bài 1(2) : Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương dạng . Lời giải : Do là số chớnh phương nờn = k2. +) Nếu a = 1 thỡ : 100 < < 142 (trong đú p = 1 hoặc p = 9) Với p = 1, ta cú cỏc số thỏa món điều kiện bài toỏn là : 1012 = 10201, 1112 = 12321, 1212 = 14641 ; cũn với p = 9 ta thấy khụng cú số nào thỏa món điều kiện đề bài. +) Nếu a = 4 thỡ : 200 < < 224 (p = 2 hoặc p = 8). Thử trực tiếp ta cú cỏc số thỏa món là : 2022 = 40804, 2122 = 44944. +) Nếu a = 5 thỡ : 223 < < 245 (trong đú p = 5). Trong trường hợp này khụng cú số nào thỏa món điều kiện đề bài. +) Nếu a = 6 thỡ : 244 < < 265 (p = 4 hoặc p = 6). Chỉ cú một số thỏa món trường hợp này là : 2642 = 69696. +) Nếu a = 9 thỡ : 300 < < 317 (p = 3 hoặc p = 7). Trường hợp này cũng chỉ cú một số thỏa món là : 3072 = 94249. Túm lại cú 7 số thỏa món điều kiện bài ra : 10201, 12321, 40804, 14641, 44844, 69696, 94249. Nhận xột : - Nếu bài toỏn cú thờm điều kiện a, b, c đụi một khỏc nhau thỡ chỉ cú 5 số thỏa món đề bài. Bài 1(4) : Cho số : gồm 2003 chữ số 1 ở bờn trỏi dấu * và 2003 chữ số 3 ở bờn phải dấu *. Hóy thay dấu * bằng chữ số nào để được một số chia hết cho 7. Lời giải : Để ý rằng : 102004 + 3 trựng với 4 (mod 7) (3) Vậy số cần tỡm là : Nhận xột : Một số bạn đặt vấn đề hóy tỡm số x sao cho : Bài 2(5) : Phõn số Ai Cập Biểu diễn phõn số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phõn số dương cú tử số bằng 1. Cú bao nhiờu cỏch ? Lời giải : * Bài toỏn cú thể phỏt biểu dưúi dạng : Giải phương trỡnh : 1/x ≤ 1/y ≤ 1/z x ≥ y ≥ z ≥ 3 (2) * Với z = 3, ta cú : Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : * Với z = 4, ta cú : Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : * Với z = 5, ta cú : * Với z = 6, ta cú : Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : Bài 3(5) : So sỏnh A và B biết : A = (20032002 + 20022002)2003 B = (20032003 + 20022003)2002 Lời giải : (của bạn Vừ Văn Tuấn) Ta sẽ chứng minh bài toỏn tổng quỏt : Bài 1(6) : Cho a, b là cỏc số nguyờn dương thỏa món p = a2 + b2 là số nguyờn tố, p - 5 chia hết cho 8. Giả sử cỏc số nguyờn x, y thỏa món ax2 - by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p. Lời giải : Đặt p = 8k + 5, k thuộc N. Chỳ ý : (ax2)4k + 2 - (by2)4k + 2 chia hết cho (ax2 - by2). Ta lại cú : a4k + 2.x8k + 4 - b4k + 2.y8k + 4 =(a4k + 2 + b4k + 2).x8k + 4 - b4k + 2(x8k + 4 + y8k + 4) Mặt khỏc : a4k + 2 + b4k + 2 = (a2)2k + 1 + (b2)2k + 1 chia hết cho (a2 + b2) = p và b < p, do đú x8k + 4 + y8k + 4 chia hết cho p . (*) Nếu cả hai số x, y khụng chia cho p, theo định lớ Fecma x8k + 4 trựng với 1 (mod p), y8k + 4 trựng với 1 (mod p). Khi đú x8k+4 + y8k+4 2 (mod p). Mõu thuẫn với (*). Vậy cả hai số x, y chia hết cho p. Bài 2(6) : Cho một hỡnh lập phương. Người ta gắn cho 8 đỉnh của nú bắt đầu từ đỉnh A, đi theo chiều mũi tờn 8 số tự nhiờn liờn tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cựng với một số nguyờn nào đú. Hỏi sau bao nhiờu lần thực hiện như vậy thỡ ta được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ? Lời giải : Kớ hiệu cỏc đỉnh theo chiều mũi tờn lần lượt bởi cỏc chữ cỏi A, B, C, D, E, G, H, I. Giả sử cỏc số nguyờn gắn tương ứng với cỏc đỉnh này là a, b, c, d, e, g, h, i, ta xột : S = (b + d + g + i) - (a + c + e + h). Nhận thấy 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cựng một mặt sẽ gồm 2 số trong cỏc số g, d, g, i và 2 số trong cỏc số a, c, e, h. Do đú khi cộng 4 số này với cựng một số nguyờn thỡ S khụng thay đổi. Ban đầu a, b, c, d, e, g, h, i là cỏc số tự nhiờn liờn tiếp nờn S = 4. Vỡ vậy dự cú thực hiện bao nhiờu lần việc cộng với cựng một số nguyờn cho 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cựng một mặt thỡ S vẫn bằng 4, tức là S ≠ 0. Chứng tỏ khụng thể làm cho 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau. Nhận xột : Một số bạn mắc cỏc sai lầm khỏc nhau khi lập luận : - Chỉ dựng một số nguyờn xỏc định cho tất cả cỏc lần cộng. - Mỗi mặt chỉ thực hiện một lần cộng 4 đỉnh với cựng một số nguyờn. - Tỏm số đầu tiờn là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bài 2(8) : Cho dóy số tự nhiờn liờp tiếp : 150 O 149 O 148 O ... O 51 O 50. Chứng minh rằng, nếu điền vào cỏc vũng trũn "O" dấu "+" hoặc dấu "-" thỡ kết quả khụng thể bằng 2003. Lời giải : Cỏc bạn đó lớ luận bằng nhiều cỏch để chỉ ra : khi điền vào cỏc hỡnh trũn dấu "+" hoặc dấu "-" thỡ kết quả là một số chẵn nờn kết quả khụng thể bằng 2003. Cỏch 1 : Nếu điền vào tất cả cỏc hỡnh trũn dấu "+" ta cú : S = 150 + 149 + 148 + ... + 51 + 50 = (150 + 50).101/2 = 10100, là số chẵn. Trong tổng S, nếu thay mỗi dấu "+" trước một số a bất kỡ bởi dấu "-" thỡ S sẽ giảm đi 2a (là một số chẵn). Như vậy, nếu thay bao nhiờu dấu "+" trong S bởi dấu "-" thỡ S sẽ vẫn là một số chẵn. Cỏch 2 : Ta thấy rằng, mỗi cặp số tự nhiờn liờn tiếp đều cú tổng hoặc hiệu là một số lẻ. Cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 150 đến 51 cú tất cả 50 (là số chẵn) cặp như vậy. Tổng hoặc hiệu của một số chẵn cỏc số lẻ luụn là một số chẵn nờn giữa cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 150 đến 51, đặt bất kỡ dấu "+" hay dấu "-" thỡ kết quả đều là số chẵn ; cộng hay trừ với số cũn lại của dóy số đó cho là số 50 cho kết quả cuối cựng là một số chẵn Bài 3(9) : Trong một giải búng đỏ Nhi đồng theo thể thức thi đấu vũng trũn một lượt. Thắng được 3 điểm, hũa 1 điểm, thua 0 điểm. Đội Măng Non chỉ hũa 1 trận, thua 1 trận và được tất cả 16 điểm. Chứng minh rằng vào bất kỡ lỳc nào cũng tỡm được ớt nhất hai đội đó đấu cựng số trận. Lời giải : Đội Măng Non chỉ hũa 1 trận, thua 1 trận và được 16 điểm nờn tổng số điểm của cỏc trận thắng là : 16 - 1 = 15 (điểm). Do đú đội này đó thắng 15 : 3 = 5 (trận) và thi đấu tất cả 7 trận. Vỡ giải đấu theo thể thức vũng trũn một lượt nờn số đội dự giải là : 7 + 1 = 8 (đội) Chia cỏc đội thành cỏc nhúm mà mỗi nhúm gồ

Bạn đang xem bài viết Sách Bồi Dưỡng Năng Lực Tự Học Toán 6 / 2023 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!