Xem Nhiều 5/2022 # Sách Hướng Dẫn Học Tập Giải Tích 2 # Top Trend

Xem 13,761

Cập nhật thông tin chi tiết về Sách Hướng Dẫn Học Tập Giải Tích 2 mới nhất ngày 21/05/2022 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 13,761 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Một Số Đề Kiểm Tra Môn Giải Tích 1
  • Bài Giải Market Leader Pre Intermediate 3Rd Edition
  • Bài Giải Market Leader 1
  • Bài Giải Market Leader 3
  • Bộ Sách Market Leader 5 Levels (Ebook+Audio)
  • Published on

    Tài liệu này có tính phí xin vui lòng liên hệ facebook để được hỗ trợ Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace

    My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/

    Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi’s, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY -TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG – Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công

    1. 1. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI – 2006
    2. 2. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 Biên soạn : Ts. VŨ GIA TÊ
    3. 3. LỜI GIỚI THIỆU GIAỈ TÍCH 2 (TOÁN CAO CẤP A3 ) là học phần tiếp theo các học phần GIẢI TÍCH 1, ĐẠI SỐ ( TOÁN CAO CẤP A1 , A 2 ) dành cho sinh viên năm thứ nhất thuộc các nhóm ngành khối kĩ thuật. Giáo trình này dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên đại học với hình thức đào tạo từ xa. Giáo trình được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục- Đào tạo và theo đề cương chương trình của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông phê duyệt năm 2006 cho hệ đào tạo chính qui. Ở Việt nam, hình thức đào tạo từ xa tuy đã triển khai và nhân rộng từ 10 năm nay nhưng vẫn còn khá mới mẻ. Với cách học này, đòi hỏi người học phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự học, tự nghiên cứu là chính. Do đó tài liệu học tập, cụ thể là các giáo trình phải được coi là phương tiện cơ bản và quan trọng nhất. Các yếu tố trên được chúng tôi chú ý khi viết giáo trình này, cụ thể là: Nội dung được trình bày ngắn gọn, chính xác. Trừ một số định lí có chứng minh nhằm rèn luyện tư duy và củng cố kiến thức, còn hầu hết các định lí đưa ra được thừa nhận với mục đích áp dụng. Tương ứng mỗi nội dung kiến thức đều có ví dụ minh họa nhằm hướng người học hiểu sâu sắc và biết cách áp dụng. Trong mỗi chương đều có mục đích, yêu cầu và phần tóm tắt nội dung để người học dễ đọc, dễ thuộc. Các câu hỏi mang tính trắc nghiệm cuối mỗi chương là cơ sở đánh giá kiến thức có được của người học về nội dung chương đó. Giáo trình gồm 5 chương, tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết). Chương 1 .Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. Chương 2. Tích phân bội. Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt. Chương 4. Lý thuyết trường. Chương 5. Phương trình vi phân. Mặc dù cố gắng rất nhiều, song không tránh khỏi các sơ suất về nội dung cũng như các lỗi về ấn loát, chúng tôi rất mong được sự góp ý kiến và rất cám ơn về điều đó. Nhân đây, chúng tôi chân thành cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Trung tâm Đào tạo Bưu chính Viễn thông 1, đặc biệt Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành giáo trình này. Hà Nội, 7-2006 Tác giả
    4. 4. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 3 CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ GIỚI THIỆU Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức t T e z− = , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức 2 0,24Q RI t= ,v.v…Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Để học tốt chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem syxfsytxfs yy 100100 ,(),( θθ +′−++′= Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange cho hàm ),( 10 syxfy θ+′ tại x0 nhận được: ),(),(),( 10200000 sytxfstyxgsyxg yx θθ ++′′=−+ Hoàn toàn tương tự cũng có: ),(),(),( 20100000 sytxfstyxhytxh xy γγ ++′′=−+ Cho 0, →st , do tính liên tục nhận được ),(),( 0000 yxfyxf yxxy ′′=′′ Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn. 1.2.4. Vi phân cấp cao Ta nhận thấy dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( ′+′= cũng là một hàm số của x, y nên có thể xét vi phân của nó. Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của f(x, y), kí hiệu )),((),(2 yxdfdyxfd = và nói rằng f(x, y) khả vi đến cấp 2 tại (x, y). Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu: )),((),( 1 yxfddyxfd nn − = Công thức vi phân cấp 2 như sau: dy y f dx x f y dxdy y f dx x f x yxdfdyxfd ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ == )),((),(2 2 2 222 2 2 2 dy y f dxdy xy f yx f dx x f ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ =
    5. 16. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 15 Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có: 2 2 22 2 2 2 2 2),( dy y f dxdy yx f dx x f yxfd ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ = (1.4) Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau: ),(),( yxfdy y dx x yxdf ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = Tổng quát có ),(),( yxfdy y dx x yxfd n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = (1.5) 1.2.5. Đạo hàm của hàm số hợp Cho n D ⊂ và các ánh xạ m : Dϕ → f : (D)ϕ → Ánh xạ tích : →f Dϕ cụ thể là m u f ( (M)), M D, (M)= ϕ ∈ ϕ ⊂ gọi là hàm số hợp. Để cho đơn giản, sau đây ta xét n = 2, m = 2, khi đó hàm hợp f ϕ xác định trên miền phẳng D Định lý 1.6. Cho u = f(x,y) với x = x(s, t); y = y(s, t) thoả mãn: Các biến trung gian x(s, t), y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b), f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) = (x(a, b), y(a, b)). Khi đó hàm hợp u = u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức: s y y u s x x u s u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ t y y u t x x u t u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.6) Công thức (1.6) có thể viết dưới dạng ma trận: x x u u u u s t y ys t x y s t ∂ ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t y s y t x s x được gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobi của x, y đối với t, s hay Jacobian của x, y đối với t, s và ký hiệu:
    6. 17. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 16 t y s y t x s x tsD yxD ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ),( ),( (1.7) Ví dụ 8: Tính các đạo hàm riêng 22 ,,ln tsystxyeu x −=== . Giải: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +−=+= ∂ ∂ 22 22 2 )ln(2. 1 chúng tôi ts s tstes y etye s u stxx , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − −−=−+= ∂ ∂ 22 22 2 )ln()2.( 1 chúng tôi ts t tsset y esye t u stxx . Ví dụ 9: Cho 222 , 1 zyxr r u ++== . Chứng minh 0222 =′′+′′+′′=Δ zyx uuuu . Giải: Nhận xét: hàm số r u 1 = đối xứng với x, y, z. Do đó ta chỉ cần tính 2 x u ′′ , sau đó thay x bởi y và z. 32 . 1 . r x r x r ruu xx −=−=′′=′ , 5 2 343 31 . 1 .3 1 2 r x rr x r x r ux +−=+−=′′ , Suy ra 0 33)(33 335 222 3 =+−= ++ +−=Δ rrr zyx r u . Chú ý: Nếu u = f(x, y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến x. Do vậy người ta đưa ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính sẽ là: y y f x f dx du ′ ∂ ∂ + ∂ ∂ = . . 1.2.6. Vi phân của hàm hợp Xét hàm hợp u = f(x, y), x = x(s, t), y = y(s, t). Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng t u s u ∂ ∂ ∂ ∂ , liên tục thì nó khả vi và ta có: dt t u ds s u du ∂ ∂ + ∂ ∂ = Bây giờ ta biểu diễn du qua biến trung gian x, y theo công thức (1.6) có: dt t y y u t x x u ds s y y u s x x u du ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =
    7. 18. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 17 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = dt t y ds s y y u dt t x ds s x x u dy y u dx x u ∂ ∂ + ∂ ∂ = . Như vậy dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x, y là các biến độc lập hay là hàm của các biến s, t. Tính chất này gọi là tính chất bất biến dạng của vi phân cấp 1. Chú ý: Cũng như hàm một biến số, vi phân cấp cao không có tính bất biến dạng. 1.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn A. Hàm ẩn một biến Cho một hệ thức giữa hai biến, x, y dạng: F(x, y) = 0 (1.8) trong đó F(x, y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa (x0, y0) và F(x0, y0) = 0. Giả sử rằng ( ) )(,, 00 xyxxx ∃+−∈∀ δδ sao cho ( , ( ))x y x D∈ và F(x, y(x)) = 0. Hàm số y = y(x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (1.8). Định lý 1.7. Nếu F(x, y) thoả mãn các điều kiện: F liên tục trong lân cận )( 0MδΩ và F(M0) = 0. Các đạo hàm riêng y F x F ∂ ∂ ∂ ∂ , liên tục và 0),( 00 ≠ ∂ ∂ yx y F trong lân cận )( 0MδΩ thì phương trình (1.8) xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục trong khoảng ),( 00 εε +− xx và ta có: y x F F dx dy ′ ′ −= (1.9) Chú ý: Để nhận được công thức (1.9) chúng ta chỉ việc lấy vi phân 2 vế của (1.8) trong đó có y = y(x) và áp dụng tính bất biến của dạng vi phân cấp 1. Thật vậy dF(x, y) = 0 hay 0=′+′ dyFdxF yx hay 0. =′′+′ yFF yx . Từ đó suy ra (1.9). Ví dụ 10: Tính )1(y′ biết π=− yexy x sin Giải: Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và coi y là hàm của x hai vế của phương trình đã cho có: 0.cossin =′−−′+ yyeyeyxy xx Thay 1=x vào phương trình hàm ẩn, nhận được: (1) sin (1)y e yπ− = . Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm π=)1(y . Vậy 0)1(.cossin)1( =′−−′+ yeey πππ e y + −=′ 1 )1( π . Ví dụ 11: Tính yy ′′′, biết 0=+− arctgyyx
    8. 19. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 18 Giải: Lấy đạo hàm toàn phần hai vế coi y = y(x) 22 2 2 2 1 1 0 1 1 yyy y y y y y y +=′⇒ + =′⇒= + ′ +′− Lấy đạo hàm tiếp ta có yyyyyy ′=′′+′ 22 22 2 5 2 (1 ) 2(1 ) . y y y y y y y ′ ′− + ′′ ′′⇒ = ⇒ = − B. Hàm ẩn hai biến Định lý 1.8. Cho phương trình hàm ẩn F(x, y, z) = 0 và F(x, y, z) thoả mãn các điều kiện: F(x, y, z) liên tục trong hình cầu mở )( 0MδΩ và F(M0) = F(x0, y0, z0) = 0; Các đạo hàm riêng zyx FFF ′′′ ,, liên tục và 0),,( 000 ≠′ zyxFz trong hình cầu )( 0MδΩ Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn z = z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận ),( 00 yxεΩ đồng thời: z y z x F F y z F F x z ′ ′ −= ∂ ∂ ′ ′ −= ∂ ∂ , (1.10) Tương tự như định lý 1.7. ta không chứng minh định lý này. Cũng như trong trường hợp hàm ẩn một biến, để tính các đạo hàm riêng cũng như vi phân của hàm ẩn ta lấy vi phân toàn phần hai vế của phương trình hàm ẩn sau đó đi tìm dz y z x z ,, ∂ ∂ ∂ ∂ Ví dụ 12: Cho xyz= x + y + z. Coi z là hàm số ẩn, hãy tính dzzz yx ,, ′′ . Giải: Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn sẽ có: d(xyz) = d(x + y + z) yz dx + zx dy + xy dz = dx + dy + dz (xy – 1) dz = (1- yz) dz + (1-zx) dy dydxyxgdydxyxfdydxyxgyxf DDD ∫∫∫∫∫∫ +=+ ),(),(),(),( (2.6) d. Nếu f(x,y), g(x,y) cùng khả tích trên D và Dyxyxgyxf ∈∀≤ ),(),(),( thì: dydxyxgdydxyxf DD ∫∫∫∫ ≤ ),(),( (2.7) e. Nếu f(x,y) khả tích thì ),( yxf khả tích và dxdyyxfdydxyxf DD ∫∫∫∫ ≤ ),(),( (2.8) f. Nếu f(x,y) khả tích trên D và thoả mãn DyxMyxfm ∈∀≤≤ ),(,),( thì MSdydxyxfmS D ≤≤ ∫∫ ),( (2.9) trong đó S là diện tích miền D. 2.2. Tính tích phân kép. 2.2.1. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ đề các (Descartes). Định lí 2.1. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyx bxa ϕϕ thì ∫∫ ∫ ∫= D b a x x dyyxfdxdxdyyxf )( )( 2 1 ),(),( ϕ ϕ (2.10)
    9. 36. Chương 2. Tích phân bội 35 x y z 0 H.2.2 S(x) a b x )(2 xϕ)(1 xϕ Chứng minh: Trước hết xét 0),( ≥yxf và liên tục trên miền D : ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyx bxa ϕϕ Trong đó )(),( 21 xx ϕϕ liên tục trên ),( ),(),( ),(),( ),(),(),( )( )( )( )( 21 )( )( 2 )( )( 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ = −= −= −= x x b a x x b a x x b a x x b a DDD dyyxfdx dyyxfyxfdx dyyxfdxdyyxfdx dydxyxfdydxyxfdydxyxf ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Vậy ta nhận được công thức (2.10). Như vậy, để tính tích phân kép ta đưa về tính tích phân lặp. Công thức (2.10) thể hiện tính tích phân theo biến y (trong khi tính coi x là hằng số) trước và theo biến x sau Chú ý: a. Nếu miền D cho bởi hệ bất phương trình: 1 2 c y d (y) x (y) ≤ ≤⎧ ⎨ ψ ≤ ≤ ψ⎩ thì nhận được công thức tính tích phân kép tương tự là: ∫∫∫∫ = )( )( 2 1 ),(),( y y d cD dxyxfdydxdyyxf ψ ψ (2.11) b. Công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân hay gọi là công thức Fubini. Trong trường hợp này, miền D có tính chất: Mỗi đường thẳng song song với các trục toạ độ cắt miền D nhiều nhất ở hai điểm. Khi đó tồn tại hình chữ nhật: ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ dyc bxa có cạnh tiếp xúc với biên của miền D (H.2.3) Giả sử ,ADB ACB có phương trình là: bxaxyxy ≤≤== ),(),( 21 ϕϕ , ,CAD CBD có phương trình là: dycyxyx ≤≤== ),(),( 21 ψψ Từ công thức (2.10), (2.11) nhận được công thức Fubini sau đây:
    10. 39. Chương 2. Tích phân bội 38 x y 0 a 2a H.2.4 y=2x Ví dụ 2: Tính tích phân: ∫∫= 0 xydxdyI với D giới hạn bởi các đường 4−= xy và 2 y 2x.= Giải: Vẽ miền D (H.2.5) Để vẽ được miền D trước hết phải tìm giao của các đường bằng cách giải hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ = −= xy xy 2 4 2 Ta suy ra: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −= = 4 2 2 2 2 y y y x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⎩ ⎨ ⎧ −= = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎣ ⎡ −= = = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−− = ⇒ 4 8 2 2 2 4 2 082 2 2 2 2 y x y x y y y x yy y x Ta mô tả miền D như sau: 2D 1D 2 2 yx= 4+= yx
    11. 40. Chương 2. Tích phân bội 39 D: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤≤ ≤≤− 4 2 42 2 yx y y hoặc 21 DDD ∪= với ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤ xyx x D 22 20 :1 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤ xyx x D 24 82 :2 Trong trường hợp này nên áp dụng công thức (2.11) tức là lấy tích phân lặp theo biến x trước và theo biến y sau: 2 y 44 4 2 2 2 2y 2 4 4 2 2 6 4 3 2 y 4 x I dy xydx y. dxy 2 2 1 y y(y 8y 16 )dy 2 4 41 1 8 y ( y y 8y ) 90. 22 4 3 24 + − − − + = = = + + − = + + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 3: Hãy thay đổi thứ tự lấy tích phân sau: ∫∫ − = 2 21 0 ),( x x dyyxfdxI Giải: Vẽ miền D trên cơ sở đã biết các cận của tích phân. theo đầu bài miền D giới hạn bởi các đường : 2 x 0,x 1, y x, y 2 x .= = = = − Đường có phương trình 2 2 xy −= chính là nửa đường tròn : ⎩ ⎨ ⎧ ≥ =+ 0 222 y yx 2D 1D 2 2 Do tính không trơn của biên miền D nên ta mô tả: 21 DDD ∪=
    12. 41. Chương 2. Tích phân bội 40 trong đó: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ 2 21 20 21 :, 0 10 : yx y D yx y D Vậy ∫∫∫∫∫ ∫ −− +== 22 2 0 2 10 1 0 1 0 2 ),(),(),( yyx x dxyxfdydxyxfdydyyxfdxI Ví dụ 4: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt 2222 ,,0 yzRyxz ==+= Giải: Vật thể được mô tả bởi hình H.2.7. Vật thể đối xứng qua mặt tọa độ 0xz và 0yz. ta xét phần vật thể trong góc phần tám thứ nhất, phần vật thể này được giới hạn bởi các mặt 0,0,,0 222 ≥≥=+= yxRyxz và 2 yz = . Vậy dxdyyV D ∫∫= 2 4 trong đó D là phần tư hình tròn 0,0,222 ≥≥=+ yxRyx . Rõ ràng ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ 22 R0 0 : xy Rx D 2 R R R dxxRdyydxV RxRR 2 3 0 22 0 2 0 )( 3 4 4 22 ∫∫∫ −== − Đổi biến tdtRdxtRx sin,cos −==
    13. 43. Chương 2. Tích phân bội 42 r ),(),,( yxMrM ϕ ϕ ⎩ ⎨ ⎧ = = ϕ ϕ sin cos ry rx và ngược lại: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = += x y tg yxr ϕ 222 , x cùng dấu với ϕcos hoặc y cùng dấu với sin .ϕ b. Phương trình đường cong trong hệ toạ độ cực Hệ thức 0),( =ϕrF hoặc )(ϕrr = hay )(rϕϕ = gọi là phương trình đường cong trong toạ độ cực, chẳng hạn r = a là phương trình đường tròn bán kính bằng a và tâm ở gốc toạ độ, 0ϕϕ = là phương trình nửa đường thẳng xuất phát từ gốc toạ độ và lập với trục cực một góc là 0ϕ . c. Công thức tích phân kép trong toạ độ cực Ta thực hiện phép đổi biến số: ⎩ ⎨ ⎧ = = ϕ ϕ sin cos ry rx Do đó: r r r rD yxD = − = ϕϕ ϕϕ ϕ cossin sincos ),( ),( Từ công thức (2.13) suy ra: ∫∫∫∫ Δ = ϕϕϕ rdrdrrfdxdyyxf D )sin,cos(),( (2.14)
    14. 44. Chương 2. Tích phân bội 43 )(2 ϕr )(1 ϕr 1ϕ 2ϕ Thường gặp miền Δ được giới hạn bởi hai tia 21, ϕϕϕϕ == và đường cong )(),( 21 ϕϕ rrrr == (H.2.9), tức là trong hệ toạ độ cực, miền D được mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( : 21 21 ϕϕ ϕϕϕ rrr D Khi đó công thức (2.15) sẽ có dạng: rdrrrfddxdyyxf r rD )sin,cos(),( )( )( 2 1 2 1 ∫∫∫∫ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ (2.15) Chú ý: * Mối quan hệ giữa các định thức Jacôbi của phép biến đổi thoả mãn D(x, y) D(u,v) . 1 D(u,v) D(x, y) = * Nếu cực là điểm trong của miền D và mọi bán kính cực cắt biên miền D tại một điểm có bán kính )(ϕr thì rdrrrfddxdyyxf r D )sin,cos(),( )( 0 2 0 ∫∫∫∫ = ϕπ ϕϕϕ Ví dụ 5: Tính Idxdyyxx D =+∫∫ 22 trong đó D là hình tròn 222 )( RyRx ≤+− Giải: Đường tròn 222 R)(x Ry =+− chuyển sang toạ độ cực có phương trình: 2222 sin)cos( RrRr =+− ϕϕ hay 22 ,cos2 π ϕ π ϕ ≤≤−= Rr Tương tự đường tròn 222 )( RRyx =−+ chuyển sang toạ độ cực có phương trình πϕϕ ≤≤= 0,sin2Rr (H.2.10)
    15. 45. Chương 2. Tích phân bội 44 ϕsin2Rr = ϕcos2Rr = Vậy miền D trong hệ toạ độ cực được mô tả: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤− ϕ π ϕ π cos20 22 Rr Theo công thức (2.15) sẽ có: 2Rcos2 0 2 2 2 4 4 5 0 2 4 4 4 I d chúng tôi chúng tôi 2R cos1 cos r d 8R cos d 04 4!! 2.4 64R 8R 8R . 5!! 3.5 15 π ϕ π− π π π− = ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ = = = ∫ ∫ ∫ ∫ (Xem công thức Wallis,Tr139 Toán cao cấp A1) Ví dụ 6: Tính ∫∫ += D dxdyyxI )( trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng: y x, y x 3, y 2x 1, y 2x 1.= − = − + = − = +
    16. 46. Chương 2. Tích phân bội 45 y x0 3 3 1 – 1 2 1 2 1− H.2.11 Giải: Phương trình các đường thẳng tạo ra miền D viết lại dưới dạng: 12,12,3,0 −=−=−=+=+ yxyxyxyx (xem H.2.11) Đổi biến ⎩ ⎨ ⎧ −= += yxv yxu 2 , khi đó 3 12 11 ),( ),( −= − = yxD vuD ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤ Δ 11 30 : v u Suy ra 3 1 2 0 1 31 1 2 u I u. dudv udu. dv 3. 03 3 3 2Δ − = − = = =∫∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nếu giải ví dụ trên bằng cách trực tiếp dùng công thức tính tích phân kép trong hệ toạ độ đề các thì phải chia miền D thành các miền thành phần rồi áp dụng tính chất a của tích phân kép. Như vậy sẽ phức tạp hơn. Ta có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách dùng công thức (2.10) hoặc (2.11). 2.3. Tích phân bội ba ( Tích phân 3 lớp) 2.3.1. Bài toán mở đầu: Tính khối lượng vật thể. Bài toán: Cho vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng là Vzyxzyx ∈= ),,(),,,(ρρ Hãy tính khối lượng của vật thể V. Cách tính: Tương tự như tích phân bội hai, ta chia V tuỳ ý làm n phần không dẫm lên nhau bởi một hệ thống các mặt cong. Gọi tên và thể tích các phần đó là ),1( niVi =Δ . Trong mỗi phần thứ i lấy điểm ),,( iiii zyxP tuỳ ý và gọi đường kính của phần đó là ),1(, nidi = . Khối lượng xấp xỉ của vật thể là : ∑∑ == Δ=Δ= n i iiii n i ii VzyxVPm 11 ),,()( ρρ .
    17. 47. Chương 2. Tích phân bội 46 Nếu tồn tại giới hạn ∑ =→ Δ n i iiii d Vzyx i 10max ),,(lim ρ thì đó chính là khối lượng của vật thể đã cho. Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giới hạn hạn của tổng dạng trên. Chính vì thế cần phải có định nghĩa toán học tích phân bội ba. 2.3.2. Định nghĩa tích phân bội ba. Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền 3 V ⊂ * Chia V tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và thể tích các mảnh đó là ),1(, niVi =Δ , ký hiệu đường kính mảnh iVΔ là id . * Lấy tuỳ ý ),1(,),,( niVzyxP iiiii =Δ∈ * Lập tổng ∑= Δ= n i iiiin VzyxfI 1 ),,( , gọi đó là tổng tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) lấy trên miền V ứng mới một phân hoạch và các điểm ),1(, niVP ii =Δ∈ Khi ∞→n sao cho 0max →id mà In hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch 1VΔ và cách chọn điểm ),1(, niVP ii =Δ∈ thì số I gọi là tích phân bội ba của f(x,y,z) trên miền V, ký hiệu là ∫∫∫V dVzyxf ),,( . Như vậy: ∑∫∫∫ = → Δ= n i iiii d V VzyxfdVzyxf i 0 0max ),,(lim),,( (2.16) Tương tự, ta cũng nói rằng f(x,y,z) khả tích trên miền V. Chú ý: * Giống như tích phân kép, yếu tố thể tích dV được thay bằng dxdydz và khi đó thường ký hiệu tích phân bội ba là: V f (x, y,z)dxdydz.∫∫∫ * Tương tự như tích phân kép, tích phân bội ba không phụ thuộc vào ký hiệu biến lấy tích phân: V V f (x, y,z)dxdydz f (u,v, )dudvd .= ω ω∫∫∫ ∫∫∫ * Ý nghĩa cơ học: Nếu 0),,( ≥zyxf trên miền V thì dxdydzzyxf V ∫∫∫ ),,( là khối lượng của vật thể V khi vật thể đó có khối lượng riêng (mật độ hay tỉ khối) là f(x,y,z). * Rõ ràng thể tích V của vật thể V tính theo công thức: ∫∫∫= V dxdydzV (2.17) * Điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bội ba tương tự như tích phân kép.
    18. 48. Chương 2. Tích phân bội 47 2.4. Tính tích phân bội ba 2.4.1. Công thức tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ đề các Định lý 2.3: Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 yxzyyxz xyyxy bxa (2.18) thì ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 ),,(),,( yxz yxz xy xy b aV dzzyxfdydxdxdydzzyxf (2.19) Hệ bất phương trình (2.18) mô tả miền V là một hình trụ cong giới hạn phía trên bởi mặt 2z z (x, y),= giới hạn phía dưới bởi mặt ),(1 yxzz = và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục 0z, đường chuẩn là biên của miền D (miền Dxy là hình chiếu của V trên mặt phẳng 0xy (H.2.12), cụ thể miền D cho bởi hệ bất phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyyxy bxa ),(2 yxz ),(1 yxz )(1 xy )(2 xy Công thức (2.19) chứng tỏ để tính tích phân bội ba ta đưa về tính tích phân lặp. Khi tính tích phân theo biến z ta coi x,y là hằng số. Khi tính tích phân theo biến y coi x là hằng số. Cuối cùng tính tích phân theo biến x. Chú ý: a. Từ công thức (2.10) suy ra công thức (2.119) có thể viết lại như sau:
    19. 49. Chương 2. Tích phân bội 48 ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( 2 1 ),,(),,( yxz yxzDV dzzyxfdzdydxdydzzyxf xy (2.19)’ b. Thay đổi vai trò của các biến x,y,z ta cũng có công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân bội ba: ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( ),( ),( 2 1 2 1 ),,(),,( zyx zyxD yxz yxzD dxzyxfdydzdzzyxfdxdy yzxy (2.19)” trong đó yzD là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng 0yz, còn ),(1 zyxx = và ),(2 zyxx = là các mặt cong dưới và trên theo hướng 0y để tạo ra miền V. Tương tự: ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( ),( ),( 2 1 2 1 ),,(),,( zxy zxyD yxz yxzD dyzyxfdzdxdzzyxfdxdy zxxy (2.19)”’ Ví dụ 7: Tính ∫∫∫ +++ = V zyx dxdydz I 3 )1( trong đó miền V được cho giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y – z = 0. Giải: Vẽ miền V (H.2.13). V là hình chóp tứ giác có đỉnh là gốc toạ độ, đáy là hình chữ nhật ABCD. Mặt trên của V (tam giác OCD) là mặt phẳng có phương trình z = x + y. Mặt dưới của V (tam giác OAB ) là mặt phẳng có phương trình 0=z . Chiếu V lên mặt phẳng Oxy được tam giác OAB cho bởi hệ bất phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ xy x 10 10 Từ đó theo công thức (2.19) có:
    20. 50. Chương 2. Tích phân bội 49 ( ) ( ) yxxyxx zyx dy dx zyx dz dydxI + −+− ∫∫∫ ∫∫ +++ −= +++ = 0 1 0 2 1 0 1 0 0 3 1 0 12 1 1 ( ) ( ) dy yxyx dx x ∫∫ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ − ++ −= 1 0 22 1 0 1 1 221 1 2 1 ( ) dx x dx x dx yxyx x ∫∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ − ++ = − 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 21 1 3 1 4 1 1 1 2212 1 2 1 1 0 1 0 1ln 2 1 21ln 8 1 6 1 xx +++−−= 1 1 1 ln 2 ln3 . 2 4 3 ⎛ ⎞ = − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ví dụ 8: Tính ∫∫∫= V xdxdydzI với V cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤+ ≥ ≥ 4 0 0 22 zyx y x Giải: Miền V cho bởi H.2.14. Ta thấy mặt trên của V là 4=z , mặt dưới là paraboloid tròn xoay 22 yxz += . Hình chiếu D của V lên mặt Oxy là phần tư hình tròn: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ 2 40 20 xy x Do đó:
    21. 52. Chương 2. Tích phân bội 51 ϕ r Giữa toạ độ đề các và toạ độ trụ của điểm M có mối liên hệ: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Trong trường hợp này rr r zrD zyxD = − = 100 0cossin 0sincos ),,( ),,( ϕϕ ϕϕ ϕ (2.21) b. Phương trình mặt cong trong toạ độ trụ Hệ thức F 0),,( =zr ϕ hoặc giải ra được đối với các biến số ),,( zrr ϕ= ),( ϕrzz = hoặc ),( zrϕϕ = gọi là phương trình mặt cong trong toạ độ trụ. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây: 0rr = là phương trình mặt trụ tròn xoay bán kính là 0r và trục đối xứng là Oz (Trong hệ toạ độ Oxyz , mặt trụ này có phương trình 222 ryx =+ ). 0ϕϕ = là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng Ozx một góc là 0ϕ (tương ứng trong Oxyz phương trình là xtgy .0ϕ= với 0cos. 0 ≥ϕx ). 0zz = là phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy cắt trục Oz tại điểm có toạ độ 0z . Như vậy mặt cong được mô tả trong hệ toạ độ trụ đôi khi có phương trình rất đơn giản so với trong hệ toạ độ Đề các. c. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ Từ công thức (2.20) và (2.21) ta nhận được: dzrdrdzrrfdxdydzzyxf V ϕϕϕ∫∫∫∫∫∫ Ω = ),sin,cos(),,( (2.22) Thông thường miền Ω trong toạ độ trụ mô tả bởi hệ bất phương trình:
    22. 54. Chương 2. Tích phân bội 53 Chú ý: Khi miền V có dạng hình trụ và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức 22 yx + thì thường tính tích phân trong toạ độ trụ sẽ đơn giản hơn trong toạ độ đề các. 2.4.3. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ cầu a. Toạ độ cầu: Toạ độ cầu của một điểm xyzzyxM 0),,( ∈ là bộ ba số ),,( ϕθr trong đó θ,OMr = là góc giữa trục z0 và M0 và ϕ là góc giữa trục x0 và ‘0M , ở đây M’ là hình chiếu của M trên 0xy (H.2.17). Vậy với mọi điểm của không gian sẽ có: πϕπθ 20,0,0 <≤≤≤≥r . Dễ thấy giữa các toạ độ đề các và toạ độ cầu có mối quan hệ: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = θ ϕθ ϕθ cos sinsin cossin rz ry rx Và như vậy θ θθ ϕθϕθϕθ ϕθϕθϕθ ϕθ sin 0sincos cossincoscossinsin sinsincoscoscossin ),,( ),,( 2 r r rr r rD zyxD −= − − = (2.24) z x y 0 ϕ θ r z x y ),,( zyxM )0,,(‘ yxM H.2.17 b. Phương trình mặt cong trong toạ độ cầu Hệ thức 0),,( =ϕθrF hoặc giải ra được đối với các biến số ),();,();,( θϕϕϕθθϕθ rrrr === gọi là một phương trình mặt cong trong toạ độ cầu. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây: 0rr = mô tả mặt cầu tâm gốc toạ độ 0 và bán kính r0 ( trong hệ toạ độ 0xyz, mặt cầu này có phương trình 2 0 222 rzyx =++ ). 0θθ = là phương trình của mặt nón tròn xoay, đỉnh 0 và trục đối xứng là 0z có góc mở là θ2 (mặt nón này trong hệ 0xyz có phương trình ztgyx .22 θ=+ ). 0ϕϕ = là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng 0xy một góc 0ϕ (nửa mặt phẳng này trong hệ toạ độ 0xyz có phương trình xtgy .0ϕ= với 0cos 0 ≥ϕx ).
    23. 55. Chương 2. Tích phân bội 54 c. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ cầu Từ công thức (2.20) và (2.24) ta nhận được: ∫∫∫∫∫∫ Ω = ϕθθθϕθϕθ ddrdrrrrfdxdydzzyxf V sin)cos,sinsin,cossin(),,( 2 (2.25) Ta hay gặp miền Ω trong toạ độ cầu mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤< ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 21 ϕθϕθ ϕθθϕθ ϕϕϕ rrr Khi đó công thức (2.25) trở thành: 2 2 2 1 1 ( ) r ( , ) 2 V ( ) r ( , ) f (x, y,z)dxdydz d sin d f (rsin cos ,rsin sin ,r cos )r dr ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ = ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (2.26) Ví dụ 10: Tính ∫∫∫ ++ = V dxdydz zyx I 222 1 , trong đó V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu 1222 =++ zyx và 4222 =++ zyx Giải: Chuyển sang toạ độ cầu, hai mặt cầu đã cho có phương trình lần lượt là 2,1 == rr . Gốc toạ độ là điểm trong của miền V nên miền Ω cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ 21 0 20 r πθ πϕ Do đó : 2 2 2 2 0 0 1 21 1 I d sin d .r dr 2 ( cos ) r 6 . 0 1r 2 π π π = ϕ θ θ = π − θ = π∫ ∫ ∫ Ví dụ 11: Tính ∫∫∫ += V dxdydzyxI )( 22 trong đó V là miền ngoài giữa hình trụ 222 Ryx ≤+ và hình cầu 2 2 2 2 x y z 4R .+ + ≤ Giải: Một thiết diện của miền V cho trên hình H.2.18. Xét trong hệ toạ độ cầu, mặt cầu có phương trình Rr 2= , mặt trụ có phương trình θsin R r = (thay ϕθϕθ sinsin,cossin ryrx == vào phương trình 222 Ryx =+ sẽ nhận được kết quả trên). Để tìm sự biến thiên của θ ta xét giao của mặt cầu và mặt trụ: θsin 2 R Rr == . Suy ra 6 5 , 6 , 2 1 sin π θ π θθ ==⇒=
    24. 56. Chương 2. Tích phân bội 55 6 π Vì V là vật thể tròn xoay nhận Oz làm trục đối xứng, nhận mặt phẳng Oxy làm mặt phẳng đối xứng và hàm dưới dấu tích phân chẵn đối với x, y cho nên ∫ ∫ ∫ ∫ −== π π π θ π π θθ θ πθθθϕ 2 0 2 6 2 sin 2 6 3 5 5 5 424 sin) sin 1 32(sinsin2 R R dRdrrddI 2 6 3 52 6 2 2 2 6 5 cot)cos 3 1 cos(32 5 4 sin )1(sin32 5 4 π π π π π π θθθπ θ θ θθθπ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++−= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−= ∫∫ gR d doscR 544 3 R . 5 = π Chú ý: Khi miền V có dạng hình cầu, hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức dạng 22 yx + hoặc 222 zyx ++ nên chuyển sang toạ độ cầu, hoặc toạ độ trụ để tính toán cho đơn giản hơn.Ta có thể kiểm tra lại kết quả của ví dụ trên bằng cách dùng toạ độ trụ. TÓM TẮT CHƯƠNG 2. * Tính tích phân kép trong toạ độ đề các Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyx bxa ϕϕ thì ∫∫ ∫ ∫= D b a x x dyyxfdxdxdyyxf )( )( 2 1 ),(),( ϕ ϕ * Tính tích phân kép trong toạ độ cực Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền Δ cho bởi hệ bất phương trình
    25. 57. Chương 2. Tích phân bội 56 1 2 1 2( ) ( )r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≤ ≤⎧ ⎨ ≤ ≤⎩ thì rdrrrfddxdyyxf r rD )sin,cos(),( )( )( 2 1 2 1 ∫∫∫∫ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ * Thay đổi thứ tự lấy tích phân (công thức Fubini ) ∫∫∫∫ = )( )( )( )( 2 1 2 1 ),(),( y y d c x x b a dxyxfdydyyxfdx ψ ψ ϕ ϕ * Tính tích phân bội ba trong toạ độ đề các Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 yxzyyxz xyyxy bxa thì ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 ),,(),,( yxz yxz xy xy b aV dzzyxfdydxdxdydzzyxf * Tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền Ω mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 21 ϕϕ ϕϕ ϕϕϕ rzzrz rrr thì ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 2 1 ),sin,cos(),,( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ rz rz r rV dzzrrfrdrddxdydzzyxf CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2. 2.1. Dùng tích phân bội hai có thể xác định được diện tích hình phẳng D Đúng Sai 2.2. Khi hàm dưới dấu tích phân bội hai có dạng biến số phân ly thì tích phân bội hai sẽ là tích của hai tích phân xác định. Đúng Sai 2.3. Khi gốc toạ độ là điểm trên biên của miền D thì chuyển sang toạ độ cực ta có ϕ biến thiên từ 0 đến 2π . Đúng Sai 2.4. Khi gốc toạ độ là điểm trong của miền D thì chuyển sang toạ độ cực ta có ϕ biến thiên từ 0 đến 2π . Đúng Sai 2.5. Có thể tính khối lượng vật thể khi biết hàm mật độ ρ nhờ vào tích phân bội 3. Đúng Sai
    26. 61. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 60 NỘI DUNG. 3.1. Tích phân đường loại một. 3.1.1. Định nghĩa iA 1−iA iM ixΔ iyΔ Cho hàm số ),( yxf xác định trên một cung phẳng AB (H.3.1) * Chia cung AB là n cung nhỏ bởi các điểm chia BAAAAAA nii ≡≡ − ,…,,…,, 110 gọi độ dài cung 1i iA A− là ),1(, nisi =Δ * Lấy tuỳ ý 1( , ) ,( 1, )i i i i iM x y A A i n−∈ = * Lập tổng ∑ = Δ= n i iiin syxfI 1 ),( gọi là tổng tích phân đường loại một của hàm ),( yxf lấy trên cung AB ứng với một phân hoạch và một cách chọn tuỳ ý các điểm 1 ,( 1, )i i iM A A i n−∈ = . Nếu khi ∞→n sao cho ni Is ,0max →Δ hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn 1 ,( 1, )i i iM A A i n−∈ = thì số I gọi là tích phân đường loại một của f(x,y) dọc theo cung AB và ký hiệu ( , ) AB f x y ds∫ Vậy max 0 1 lim ( , ) ( , ) i n i i i s i AB I f x y s f x y ds Δ → = = Δ =∑ ∫ (3.1) Nếu có tích phân (3.1) thì nói rằng f(x,y) khả tích trên AB .Trong tích phân (3.1), ds ký hiệu độ dài yếu tố của cung AB hay vi phân của cung AB . Mở rộng: Nếu f(x,y,z) khả tích trên cung 3 ⊂AB thì tích phân đường loại một của f(x,y,z) trên cung AB ký hiệu là
    27. 62. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 61 ( , , ) AB I f x y z ds= ∫ (3.2) Chú ý: a. Từ định nghĩa trên ta thấy chiều đi của cung AB không đóng vai trò gì cả vì In không phụ thuộc vào hướng của cung AB . Vậy ( , ) ( , ) AB BA f x y ds f x y ds=∫ ∫ (3.3) b. Rõ ràng nếu gọi l là độ dài cung AB thì AB l ds= ∫ (3.4) c. Nếu một dây vật chất có dạng cung AB và mật độ khối lượng là ),( yxρ thì khối lượng của dây vật chất đó tính theo công thức: ( , ) AB m x y dsρ= ∫ (3.5) d. Người ta đã chứng minh được: nếu cung AB là cung trơn (tiếp tuyến của cung biến thiên liên tục) hoặc trơn từng khúc (chia cung AB thành hữu hạn các cung thành phần, các cung thành phần là các cung trơn) và f(x,y) liên tục trên cung AB thì f(x,y) khả tích trên cung .AB e. Vì định nghĩa trên tương tự với tích phân xác định, tích phân bội nên tích phần đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định. 3.1.2. Công thức tính tích phân đường loại một Định lý 3.1. Giả sử cung AB trơn cho bởi phương trình: bxaxyy ≤≤= ),( và hàm số f(x,y) liên tục trên cung AB . Khi đó: 2 ( , ) ( , ( )) 1 ‘ ( ) b aAB f x y ds f x y x y x dx= +∫ ∫ (3.6) Chứng minh: Thực hiện phép chia cung AB bởi các điểm niyxA iii ,1),,( = như định nghĩa đã trình bày. Gọi ),1(, 11 niyyyxxx iiiiii =−=Δ−=Δ −− (xem H.3.1). Với ii yx ΔΔ , khá bé thì: i i i iii x x y yxs Δ Δ Δ +=Δ+Δ≈Δ .)(1 222 Theo công thức Lagrange, ta có i i i i 1 i i y y'( ), (x ,x ),i 1,…,n x − Δ = ξ ξ ∈ = Δ Suy ra ),(,)(1 1 2/ iiiiii xxxys −∈Δ+≈Δ ξξ Sau khi thực hiện phép chia cung AB , ta chọn 1( , ( )) , 1,i i i i iM y A A i nξ ξ −∈ =
    28. 63. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 62 Vậy tổng tích phân tương ứng sẽ là: i n i iii n i iiin xyyfsyfI Δ+≈Δ= ∑∑ == 1 2 1 )(‘1))(,())(,( ξξξξξ Cho ∞→n sao cho 0max →Δ ix hay 0max →Δ is thì do sự tồn tại của tích phân đường loại một nên vế trái dần đến ( , ) AB f x y ds∫ , còn vế phải chính là tích phân xác định của hàm số )(‘1))(,( 2 xyxyxf + trên ‘ ( ) ‘ ( ) t tAB f x y ds f x t y t x t y t dt= +∫ ∫ (3.7) Đặc biệt khi AB cho trong toạ độ cực 21),( ϕϕϕϕ ≤≤= rr . Ta có thể coi rằng AB cho dưới dạng tham số: 21 sin)( cos)( ϕϕϕ ϕϕ ϕϕ ≤≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = ry rx Khi đó )()()()( 2222 ϕϕϕϕ rryx ′+=′+′ . Suy ra (3.6) có dạng: [ ] 2 1 2 2 AB f (x, y)ds f r( )cos ,r( )sin r ( ) r ( )d ϕ ϕ ′= ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ ∫ (3.8) Tổng quát cung 3 ⊂AB cho bởi phương trình tham số 21 )( )( )( ttt tzz tyy txx ≤≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = và nếu f(x,y,z) khả tích trên cung đó thì: 2 1 2 2 2 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )′ ′ ′= + +∫ ∫ t tAB f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt S (3.9) Ví dụ 1: Tính ∫ + C dsyx )( , C là biên tam giác với các đỉnh O (0,0), A (1,0), B (0,1). Giải: Đường C cho bởi H (3.2)
    29. 64. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 63 Theo tính chất của tích phân ta có: C OA AB BO = + +∫ ∫ ∫ ∫ Đoạn OA có phương trình y = 0, 10 ≤≤ x 2 1 2 1 01)( 1 0 2 1 0 ==+=+ ∫∫ xdxxdsyx OA Đoạn AB có phương trình: 10,1 ≤≤−= xxy 2111)( 1 0 =+=+ ∫∫ dxdsyx AB Đoạn BO có phương trình: 10,0 ≤≤= yx 2 1 2 1 01)( 1 0 2 1 0 ==+=+ ∫∫ ydyydsyx BO (Sử dụng công thức (3.6) trong đó thay đổi vai trò các biến x và y cho nhau) C (x y)ds 1 2.+ = +∫ Ví dụ 2: Tính dsyxI L ∫ += 22 , L là đường tròn 2 2 x y 2x.+ = Giải: Đường tròn L cho bởi H 3.3. 1 2 y x0 L H.3.3

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Four Corners 2A Workbook
  • Workbook Family And Friends 3
  • Family And Friends 3 Workbook Pdf
  • Giải Bài Tập Four Corners 2B
  • Giải Bài Tập Four Corners 1B
  • Bạn đang xem bài viết Sách Hướng Dẫn Học Tập Giải Tích 2 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100