Cập nhật thông tin chi tiết về Sách Hướng Dẫn Học Tập Giải Tích 2 mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Published on
Tài liệu này có tính phí xin vui lòng liên hệ facebook để được hỗ trợ Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/ Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi’s, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY -TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG – Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
1. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI – 2006
2. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 Biên soạn : Ts. VŨ GIA TÊ
3. LỜI GIỚI THIỆU GIAỈ TÍCH 2 (TOÁN CAO CẤP A3 ) là học phần tiếp theo các học phần GIẢI TÍCH 1, ĐẠI SỐ ( TOÁN CAO CẤP A1 , A 2 ) dành cho sinh viên năm thứ nhất thuộc các nhóm ngành khối kĩ thuật. Giáo trình này dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên đại học với hình thức đào tạo từ xa. Giáo trình được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục- Đào tạo và theo đề cương chương trình của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông phê duyệt năm 2006 cho hệ đào tạo chính qui. Ở Việt nam, hình thức đào tạo từ xa tuy đã triển khai và nhân rộng từ 10 năm nay nhưng vẫn còn khá mới mẻ. Với cách học này, đòi hỏi người học phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự học, tự nghiên cứu là chính. Do đó tài liệu học tập, cụ thể là các giáo trình phải được coi là phương tiện cơ bản và quan trọng nhất. Các yếu tố trên được chúng tôi chú ý khi viết giáo trình này, cụ thể là: Nội dung được trình bày ngắn gọn, chính xác. Trừ một số định lí có chứng minh nhằm rèn luyện tư duy và củng cố kiến thức, còn hầu hết các định lí đưa ra được thừa nhận với mục đích áp dụng. Tương ứng mỗi nội dung kiến thức đều có ví dụ minh họa nhằm hướng người học hiểu sâu sắc và biết cách áp dụng. Trong mỗi chương đều có mục đích, yêu cầu và phần tóm tắt nội dung để người học dễ đọc, dễ thuộc. Các câu hỏi mang tính trắc nghiệm cuối mỗi chương là cơ sở đánh giá kiến thức có được của người học về nội dung chương đó. Giáo trình gồm 5 chương, tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết). Chương 1 .Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. Chương 2. Tích phân bội. Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt. Chương 4. Lý thuyết trường. Chương 5. Phương trình vi phân. Mặc dù cố gắng rất nhiều, song không tránh khỏi các sơ suất về nội dung cũng như các lỗi về ấn loát, chúng tôi rất mong được sự góp ý kiến và rất cám ơn về điều đó. Nhân đây, chúng tôi chân thành cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Trung tâm Đào tạo Bưu chính Viễn thông 1, đặc biệt Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành giáo trình này. Hà Nội, 7-2006 Tác giả
4. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 3 CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ GIỚI THIỆU Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức t T e z− = , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức 2 0,24Q RI t= ,v.v…Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Để học tốt chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [ ]2 ).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững các nội dung chính sau: 1. Các khái niệm chung của không gian n (n chiều). Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến. 2. Phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần. Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm số ẩn. Công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào phép tính gần đúng. 3. Nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm theo hướng. Giải thích được đạo hàm riêng theo các biến x, y, z chính là đạo hàm theo hướng các trục Ox, Oy, Oz. 4. Bài toán tìm cực trị. Qui tắc tìm cực trị tự do, phương pháp nhân tử Lagrange. NỘI DUNG 1.1. Các khái niệm chung 1.1.1. Không gian n chiều * Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) là 3 tọa độ Descartes của nó: x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ. Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực ),…,,( 21 nxxx gọi là một điểm n chiều. Kí hiệu M ),…,,( 21 nxxx có nghĩa là điểm n chiều M có các toạ độ nxxx ,…,, 21 . Tập các điểm M ),…,,( 21 nxxx gọi là không gian Euclide n chiều. Kí hiệu tập này là n . * Cho M ),…,,( 21 nxxx n ∈ , N ),…,,( 21 nyyy n ∈ . Gọi khoảng cách giữa M và N, kí hiệu d(M, N), là số thực tính theo công thức:
8. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 7 Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ và bán kính là R: 2222 Rzyx =++ C. Paraboloid elliptic Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng (H.1.4): z b y a x =+ 2 2 2 2 Miền xác định của hàm số trên là 2 . Khi a = b tức là phương trình có dạng: zayx 222 =+ Gọi đó là paraboloid tròn xoay. D. Mặt trụ bậc 2 * Mặt trụ elliptic (H.1.5) có phương trình chính tắc: 12 2 2 2 =+ b y a x * Mặt trụ hyperbolic (H.1.6) có phương trình chính tắc: 12 2 2 2 −=− b y a x * Mặt trụ parabolic (H.1.7) có phương trình chính tắc:
10. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 9 Vậy 0lim 22 2 )0,0(),( = +→ yx yx yx b. Cho )0,0(),( OyxM → theo đường y = Cx, C = const (hằng số) thì 22 2 22 )1( xC Cx yx xy + = + 2220 1 lim C C yx xy x + = + ⇒ → chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ thuộc vào C. Theo chú ý 2,.suy ra hàm không có giới hạn. c. 2 2 2 2 xxy 0 . y y . x y x y − ≤ ≤ + + Tương tự a. suy ra 0lim 22)0,0(),( = +→ yx xy yx 1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số A. Định nghĩa * Hàm số f(M) xác định trên miền D và DM ∈0 . Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại 0M nếu )()(lim 0 0 MfMf MM = → . * Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm DM ∈ . * Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm DN ∂∈ theo nghĩa DMNfMf NM ∈= → ),()(lim . * Nếu đặt ),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −Δ+Δ+=Δ gọi là số gia toàn phần của hàm số tại (x0,y0) thì hàm số f(x,y) liên tục tại (x0, y0) nếu như 0),( 00 →Δ yxf khi 0→Δx và 0→Δy . B. Tính chất Hoàn toàn tương tự như hàm một biến số ta có tính chất quan trọng sau đây: Định lý 1.1. Nếu f(x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền D tức là: DMDM ∈∈∃ 21 , để có bất đẳng thức kép: DMMfMfMf ∈∀≤≤ ),()()( 21 1.2. Đạo hàm và vi phân 1.2.1. Đạo hàm riêng Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và DyxM ∈),( 000 . Thay y = y0 vào hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x, y0). Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với x tại M0(x0, y0) và kí hiệu như sau: ),( 00 yxux ′ hay ),( 00 yx x u ∂ ∂ hay ),( 00 yxfx ′ hay ),( 00 yx x f ∂ ∂
12. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 11 0,0 →Δ→Δ yx thì nói rằng hàm số f(x, y) khả vi tại M0, còn biểu thức yBxA Δ+Δ .. được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại M0 và kí hiệu là df(x0, y0), hay du(x0, y0). Như vậy yBxAyxdf Δ+Δ= ..),( 00 * Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D. B. Điều kiện cần của hàm số khả vi Định lý 1.2. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì liên tục tại đó. Từ (1.1) suy ra 0),( 00 →Δ yxf khi 0,0 →Δ→Δ yx . Định lý 1.3. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì hàm có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và ),(),,( 0000 yxfByxfA yx ′=′= . Chứng minh: Từ (1.1) suy ra: βα += Δ Δ += Δ Δ B y yxf A x yxf yx ),( , ),( 0000 Vậy ByxfAyxf yx =′=′ ),(,),( 0000 chứng tỏ 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y x f x y y′ ′= Δ + Δ (1.2) C. Điều kiện đủ của hàm số khả vi Định lý 1.4. Nếu hàm số u = f(x, y) có các đạo hàm riêng ),(),,( yxfyxf yx ′′ liên tục tại M0(x0,y0) thì f(x, y) khả vi tại M0(x0, y0). Chứng minh: Ta có ),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −Δ+Δ+=Δ [ ] [ ]),(),(),(),( 00000000 yxfyyxfyyxfyyxxf −Δ++Δ+−Δ+Δ+= Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) cho hàm một biến số f(x, y0 + ∆y) tại lân cận x0 và f(x0, y) ở lân cận y0 sẽ nhận được: xyyxxfyyxfyyxxf x ΔΔ+Δ+′=Δ+−Δ+Δ+ ),(),(),( 0100000 θ yyyxfyxfyyxf y ΔΔ+′=−Δ+ ),(),(),( 2000000 θ Trong đó 10,10 21 <<<< θθ Cũng theo giả thiết ),(),,( yxfyxf yx ′′ liên tục tại (x0, y0) nên: ),(),(),( 00010 yxyxfyyxxf xx ΔΔ+′=Δ+Δ+′ αθ ),(),(),( 00200 yxyxfyyxf yy ΔΔ+′=Δ+′ βθ Trong đó 0,0 →→ βα khi 0,0 →Δ→Δ yx . Từ đó nhận được:
13. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 12 yxyyxfxyxfyxf yx Δ+Δ+Δ′+Δ′=Δ βα),(),(),( 000000 chứng tỏ hàm số khả vi tại (x0, y0). Nếu xét các hàm số h(x, y) = x và g(x, y) = y trong 2 thì rõ ràng: dh(x, y) = dx = 1.∆x dg(x, y) = dy = 1.∆y Vậy vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) có thể viết dưới dạng: dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( 000000 ′+′= (1.2)’ D. Ý nghĩa của vi phân toàn phần Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì rõ ràng: yxyxdfyxf Δ+Δ+=Δ βα),(),( 0000 Vì rằng 0 22 →+≤ Δ+Δ Δ+Δ βα βα yx yx khi 0,0 →Δ→Δ yx . Suy ra df(x0, y0) khác số gia toàn phần ∆f(x0, y0) một vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé 2 2 x yρ = Δ + Δ khi 0,0 →Δ→Δ yx . Vậy với yx ΔΔ , khá bé sẽ nhận được: dff ≈Δ (1.3) Công thức (1.3) thường được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số. Chú ý: Tính khả vi của tổng, tích, thương hai hàm cũng giống như hàm một biến số. Ví dụ 5: Thực hiện phép tính vi phân các hàm số: a. Cho f(x,y) = x cos xy, tính ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 ,1 π df với Δx = 0,01 , Δy = 0,02. b. Cho f(x,y) = xy2 , 2 )( xy eyx − . Tính df(x,y). Giải: a. xyxyxyyxfx sincos),( −=′ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛′ 4 1 2 2 4 ,1 ππ xf , xyxyxf y sin),( 2 −=′ , 2 2 4 ,1 −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛′ π yf , 01,0. 4 1 2 2 02,0. 2 2 01,0. 4 1 2 2 4 ,1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ πππ df . b. 22 )(),( 2 xyxy x eyxyeyxf −+=′ , 22 )(2),( xyxy y eyxyxeyxf −+−=′ , [ ] [ ]{ }dyyxxydxyxyeyxdf xy 1)(2)(1),( 22 −−+−+= .
14. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 13 Ví dụ 6: a. Tính gần đúng 97,0 05,1 arctg . b. Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm. Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn Δh = Δr = 0,1 cm. Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên. Giải: a. Ta viết 03,01 05,01 97,0 05,1 − + = arctgarctg . Xét hàm số y x arctgyxf =),( Rõ ràng ),( 97,0 05,1 00 yyxxfarctg Δ+Δ+= , trong đó x0 = y0 = 1, Δx = 0,05 và Δy=-0,03. Áp dụng công thức xấp xỉ (1.3) ta có: )03,0).(1,1(05,0).1,1()1,1(),(),(),( 000000 −′+′+=+≈Δ+Δ+ yx fffyxdfyxfyyxxf 22 2 2 1 11 ),( xy y y xy yxfx + = + =′ , 22 2 22 1 1 ),( xy x y xy x yxfy + −= + −=′ 0 0 1 1 1 ( , ) .0,05 .0,03 0,04 0,785 0,04 0,825. 1 2 2 4 f x x y y arctg π + Δ + Δ ≈ + + = + = + = b. Ta có 22 ,2, rVrhVhrV hr πππ =′=′= Áp dụng công thức (1.3): 32222 6,337.1,0.4.1,0.20.4.220.4.2),( cmhrrrhhrhhrrV πππππππ ≈++≈Δ+Δ+≈Δ+Δ+ Chứng tỏ sai số tuyệt đối không quá 3 3,0 cmπ và sai số tương đối không quá 0,3 1 . 337 100 π π ≈ 1.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm là đạo hàm riêng các đạo hàm riêng cấp một của nó. Hàm hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′ y f y f y f x f x f y f x f x f yyxxyx 22 ,,, hay 2 222 2 2 ,,, y f xy f yx f x f ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm nhiều biến hơn. Ví dụ 7: Tính các đạo hàm riêng )3()3()3( ,,2 xyzxyxyx fff biết zyx ezyxf 42 ),,( +− = .
15. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 14 Giải: zyx yx zyx x zyx x efefef 42)3(4242 2,, 22 +−+−+− −==′′=′ zyx xyz zyx xyx zyx xy efefef 42)3(42)3(42 8,2,2 +−+−+− −=−=−=′′ Nhận xét: Trong ví dụ trên có )3()3( 2 xyxyx ff = . Định lý 1.5(Schwarz). Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng hỗn hợp xyf ′′ và yxf ′′ trong lân cận )( 0MδΩ và liên tục tại M0(x0, y0) thì các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau tại M0: )()( 00 MfMf yxxy ′′=′′ . Chứng minh: Lấy t, s đủ bé. Lập các hàm số sau đây trong lân cận M0: g(x, y) = f(x + t, y) – f(x, y) h(x, y) = f(x, y + s) – f(x, y) Rõ ràng g(x0, y0 + s) – g(x0, y0) = h(x0 + t, y0) – h(x0, y0) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm g(x0, y) tại y0 nhận được: ),(.),(),( 1000000 syxgsyxgsyxg y θ+′=−+ [ ]syxfsytxfs yy 100100 ,(),( θθ +′−++′= Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange cho hàm ),( 10 syxfy θ+′ tại x0 nhận được: ),(),(),( 10200000 sytxfstyxgsyxg yx θθ ++′′=−+ Hoàn toàn tương tự cũng có: ),(),(),( 20100000 sytxfstyxhytxh xy γγ ++′′=−+ Cho 0, →st , do tính liên tục nhận được ),(),( 0000 yxfyxf yxxy ′′=′′ Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn. 1.2.4. Vi phân cấp cao Ta nhận thấy dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( ′+′= cũng là một hàm số của x, y nên có thể xét vi phân của nó. Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của f(x, y), kí hiệu )),((),(2 yxdfdyxfd = và nói rằng f(x, y) khả vi đến cấp 2 tại (x, y). Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu: )),((),( 1 yxfddyxfd nn − = Công thức vi phân cấp 2 như sau: dy y f dx x f y dxdy y f dx x f x yxdfdyxfd ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ == )),((),(2 2 2 222 2 2 2 dy y f dxdy xy f yx f dx x f ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ =
16. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 15 Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có: 2 2 22 2 2 2 2 2),( dy y f dxdy yx f dx x f yxfd ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ = (1.4) Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau: ),(),( yxfdy y dx x yxdf ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = Tổng quát có ),(),( yxfdy y dx x yxfd n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = (1.5) 1.2.5. Đạo hàm của hàm số hợp Cho n D ⊂ và các ánh xạ m : Dϕ → f : (D)ϕ → Ánh xạ tích : →f Dϕ cụ thể là m u f ( (M)), M D, (M)= ϕ ∈ ϕ ⊂ gọi là hàm số hợp. Để cho đơn giản, sau đây ta xét n = 2, m = 2, khi đó hàm hợp f ϕ xác định trên miền phẳng D Định lý 1.6. Cho u = f(x,y) với x = x(s, t); y = y(s, t) thoả mãn: Các biến trung gian x(s, t), y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b), f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) = (x(a, b), y(a, b)). Khi đó hàm hợp u = u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức: s y y u s x x u s u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ t y y u t x x u t u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.6) Công thức (1.6) có thể viết dưới dạng ma trận: x x u u u u s t y ys t x y s t ∂ ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t y s y t x s x được gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobi của x, y đối với t, s hay Jacobian của x, y đối với t, s và ký hiệu:
17. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 16 t y s y t x s x tsD yxD ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ),( ),( (1.7) Ví dụ 8: Tính các đạo hàm riêng 22 ,,ln tsystxyeu x −=== . Giải: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +−=+= ∂ ∂ 22 22 2 )ln(2. 1 chúng tôi ts s tstes y etye s u stxx , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − −−=−+= ∂ ∂ 22 22 2 )ln()2.( 1 chúng tôi ts t tsset y esye t u stxx . Ví dụ 9: Cho 222 , 1 zyxr r u ++== . Chứng minh 0222 =′′+′′+′′=Δ zyx uuuu . Giải: Nhận xét: hàm số r u 1 = đối xứng với x, y, z. Do đó ta chỉ cần tính 2 x u ′′ , sau đó thay x bởi y và z. 32 . 1 . r x r x r ruu xx −=−=′′=′ , 5 2 343 31 . 1 .3 1 2 r x rr x r x r ux +−=+−=′′ , Suy ra 0 33)(33 335 222 3 =+−= ++ +−=Δ rrr zyx r u . Chú ý: Nếu u = f(x, y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến x. Do vậy người ta đưa ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính sẽ là: y y f x f dx du ′ ∂ ∂ + ∂ ∂ = . . 1.2.6. Vi phân của hàm hợp Xét hàm hợp u = f(x, y), x = x(s, t), y = y(s, t). Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng t u s u ∂ ∂ ∂ ∂ , liên tục thì nó khả vi và ta có: dt t u ds s u du ∂ ∂ + ∂ ∂ = Bây giờ ta biểu diễn du qua biến trung gian x, y theo công thức (1.6) có: dt t y y u t x x u ds s y y u s x x u du ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =
18. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 17 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = dt t y ds s y y u dt t x ds s x x u dy y u dx x u ∂ ∂ + ∂ ∂ = . Như vậy dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x, y là các biến độc lập hay là hàm của các biến s, t. Tính chất này gọi là tính chất bất biến dạng của vi phân cấp 1. Chú ý: Cũng như hàm một biến số, vi phân cấp cao không có tính bất biến dạng. 1.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn A. Hàm ẩn một biến Cho một hệ thức giữa hai biến, x, y dạng: F(x, y) = 0 (1.8) trong đó F(x, y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa (x0, y0) và F(x0, y0) = 0. Giả sử rằng ( ) )(,, 00 xyxxx ∃+−∈∀ δδ sao cho ( , ( ))x y x D∈ và F(x, y(x)) = 0. Hàm số y = y(x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (1.8). Định lý 1.7. Nếu F(x, y) thoả mãn các điều kiện: F liên tục trong lân cận )( 0MδΩ và F(M0) = 0. Các đạo hàm riêng y F x F ∂ ∂ ∂ ∂ , liên tục và 0),( 00 ≠ ∂ ∂ yx y F trong lân cận )( 0MδΩ thì phương trình (1.8) xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục trong khoảng ),( 00 εε +− xx và ta có: y x F F dx dy ′ ′ −= (1.9) Chú ý: Để nhận được công thức (1.9) chúng ta chỉ việc lấy vi phân 2 vế của (1.8) trong đó có y = y(x) và áp dụng tính bất biến của dạng vi phân cấp 1. Thật vậy dF(x, y) = 0 hay 0=′+′ dyFdxF yx hay 0. =′′+′ yFF yx . Từ đó suy ra (1.9). Ví dụ 10: Tính )1(y′ biết π=− yexy x sin Giải: Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và coi y là hàm của x hai vế của phương trình đã cho có: 0.cossin =′−−′+ yyeyeyxy xx Thay 1=x vào phương trình hàm ẩn, nhận được: (1) sin (1)y e yπ− = . Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm π=)1(y . Vậy 0)1(.cossin)1( =′−−′+ yeey πππ e y + −=′ 1 )1( π . Ví dụ 11: Tính yy ′′′, biết 0=+− arctgyyx
19. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 18 Giải: Lấy đạo hàm toàn phần hai vế coi y = y(x) 22 2 2 2 1 1 0 1 1 yyy y y y y y y +=′⇒ + =′⇒= + ′ +′− Lấy đạo hàm tiếp ta có yyyyyy ′=′′+′ 22 22 2 5 2 (1 ) 2(1 ) . y y y y y y y ′ ′− + ′′ ′′⇒ = ⇒ = − B. Hàm ẩn hai biến Định lý 1.8. Cho phương trình hàm ẩn F(x, y, z) = 0 và F(x, y, z) thoả mãn các điều kiện: F(x, y, z) liên tục trong hình cầu mở )( 0MδΩ và F(M0) = F(x0, y0, z0) = 0; Các đạo hàm riêng zyx FFF ′′′ ,, liên tục và 0),,( 000 ≠′ zyxFz trong hình cầu )( 0MδΩ Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn z = z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận ),( 00 yxεΩ đồng thời: z y z x F F y z F F x z ′ ′ −= ∂ ∂ ′ ′ −= ∂ ∂ , (1.10) Tương tự như định lý 1.7. ta không chứng minh định lý này. Cũng như trong trường hợp hàm ẩn một biến, để tính các đạo hàm riêng cũng như vi phân của hàm ẩn ta lấy vi phân toàn phần hai vế của phương trình hàm ẩn sau đó đi tìm dz y z x z ,, ∂ ∂ ∂ ∂ Ví dụ 12: Cho xyz= x + y + z. Coi z là hàm số ẩn, hãy tính dzzz yx ,, ′′ . Giải: Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn sẽ có: d(xyz) = d(x + y + z) yz dx + zx dy + xy dz = dx + dy + dz (xy – 1) dz = (1- yz) dz + (1-zx) dy [ ]dyzxdxyz xy dz )1()1( 1 1 −+− − −= 1 1 , 1 1 − − −=′ − − −=′⇒ xy xz z yx yz z yx .
20. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 19 1.2.8. Đạo hàm theo hướng. Građiên (Gradient) A. Định nghĩa: Cho u(x, y, z) xác định trên miền 3 D ⊂ và DzyxM ∈),,( 0000 , một hướng được đặc trưng bởi véc tơ có véc tơ đơn vị )cos,cos,(cos0 γβα , tức là: (Ox, ), ( , ), ( , )Oy Ozα β γ= = = . Người ta gọi cos , cos , cosα β γ là các côsin chỉ phương của . Rõ ràng 2 2 2 cos os os 1.c cα β γ+ + = (H.1.9) Lấy DM ∈ sao cho 00 ρ=MM , lập tỉ số ρρ )()( 0MuMuu − = Δ Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi 0→ρ thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm u(M) theo hướng tại M0 và kí hiệu là )( 0 0 M u ∂ ∂ tức là: )( )()( lim 0 0 0 M uMuMu ∂ ∂ = − → ρρ Chú ý: 1. Cũng giống như ý nghĩa của đạo hàm, có thể coi rằng đạo hàm theo hướng biểu thị tốc độ biến thiên của hàm u(M) theo hướng . 2. Nếu có hướng của trục Ox thì )0,0,1(0 . Giả sử ),,( 0000 zyxM thì ),,( 000 zyxM ρ+ khi đó: )( ),,(),,( lim)( 0 000000 0 0 0 M x uzyxuzyxu M u ∂ ∂ = −+ = ∂ ∂ → ρ ρ ρ Chứng tỏ các đạo hàm riêng zyx uuu ′′′ ,, là đạo hàm của hàm u theo hướng của các trục Ox, Oy, Oz. B. Công thức tính
21. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 20 Định lý 1.9. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) và bất kỳ có các côsin chỉ phương γβα cos,cos,cos thì: γβα cos)(cos)(cos)()( 0000 M z u M y u M x u M u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.11) Chứng minh: Theo ý nghĩa của hàm khả vi ta có: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y zu u M u M u M x u M y u M z o ρ′ ′ ′Δ = − = Δ + Δ + Δ + trong đó ( )o ρ là VCB bậc cao hơn ρ khi 0→ρ . Mặt khác γρβραρ cos,cos,cos =Δ=Δ=Δ zyx suy ra: 0 0 0 ( ) ( )cos ( )cos ( )cosx y z u o u M u M u M ρ α β γ ρ ρ ∂ ′ ′ ′= + + + . Chuyển qua giới hạn khi 0→ρ sẽ có (1.11) C. Građiên Cho u(x, y, z) có các đạo hàm riêng tại 3 0 0 0 0M (x , y ,z ) D∈ ⊂ . Gọi véc tơ ))(),(),(( 000 MuMuMu zyx ′′′ là građiên của hàm u(x, y, z) tại M0 và kí hiệu là grad u(M0). ))(),(),(()( 0000 MuMuMuMugrad zyx ′′′= kMujMuiMu zyx )()()( 000 ′+′+′= (1.12) trong đó kji ,, là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. D. Liên hệ giữa građiên và đạo hàm theo hướng. Định lý 1.10. Nếu u(M) khả vi tại M0 thì tại đó có: graduch u = ∂ ∂ . (1.13) Chứng minh: Ta có kji γβα coscoscos0 ++= nên (1.11) có thể viết như sau: θcos)().()( 00000 MugradMugradM u == ∂ ∂ trong đó θ là góc giữa hai véc tơ và grad u(M0), mà 10 = , )(cos)( 00 MugradchMugrad =θ . Vậy nhận được công thức (1.13)
27. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 26 * Đạo hàm riêng: Đặt ),(),(),( 000000 yxfyxxfyxfx −Δ+=Δ gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) và ta có: x yxf yx x f x x Δ Δ = ∂ ∂ →Δ ),( lim),( 00 0 00 , 0 0( , )xf x y′ , Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0, y0) và ký hiệu: ),( 00 yxuy ′ , ),( 00 yx y u ∂ ∂ , ),( 00 yxfy ′ , ),( 00 yx y f ∂ ∂ Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia,… sang phép tính đạo hàm riêng. * Vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) : dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( 000000 ′+′= dff ≈Δ hay 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x x y y f x y df x y+ Δ + Δ ≈ + * Đạo hàm riêng cấp cao ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =′′ y f y f y f x f x f y f x f x f yyxxyx 22 ,,, hay 2 222 2 2 ,,, y f xy f yx f x f ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ * Công thức Schwarz : )()( 00 MfMf yxxy ′′=′′ . * Vi phân cấp cao 2 2 22 2 2 2 2 2),( dy y f dxdy yx f dx x f yxfd ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ = Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau: ( , ) ( , ) n n d f x y dx dy f x y x y ⎛ ⎞∂ ∂ = +⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ * Đạo hàm của hàm số hợp s y y u s x x u s u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , t y y u t x x u t u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ * Đạo hàm của hàm ẩn y x F F dx dy ′ ′ −= , z y z x F F y z F F x z ′ ′ −= ∂ ∂ ′ ′ −= ∂ ∂ , * Đạo hàm theo hướng. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) và bất kỳ có các côsin chỉ phương γβα cos,cos,cos thì: γβα cos)(cos)(cos)()( 0000 M z u M y u M x u M u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂
30. Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 29 b. x+y arctg , onst, a y a c a = = tính / y . c. z x+ y+z = e , tính / / ,x yz z d. 3 3 3 x + y +z = 3xyz , tính / / ,x yz z . 1.17. Chứng minh các hệ thức sau đây, với các điều kiện tương ứng a. 2 2
32. Chương 2. Tích phân bội 31 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI GIỚI THIỆU Ta đã biết, ứng dụng của tích phân xác định, từ hình học, cơ học đến vật lý, kỹ thuật là rất đa dạng. Tuy nhiên các đại lượng đề cập đến chỉ phụ thuộc vào một biến số, đó là sự hạn chế đáng kể. Sự mở rộng tự nhiên của hàm một biến kéo theo sự mở rộng của tích phân đơn (tích phân xác định) đã làm tăng khả năng ứng dụng, chẳng hạn tính khối lượng của vật thể hai chiều, ba chiều, từ đó có thể tính được khối tâm, các mô men quán tính của vật thể, v.v…Chương này cho chúng ta phương pháp tính tích phân bội hai, bội ba và trên nguyên tắc có thể mở rộng cho tích phân bội n (n lớp). Các khái niệm về tích phân bội cũng giống như tích phân xác định, đều dựa trên sơ đồ vi phân (tính yếu tố vi phân rồi lấy tổng). Sự tồn tại, cũng như tính chất của tích phân bội giống như tích phân xác định. Chính vì thế, để học tốt chương này, chúng ta cần nắm vững các phương pháp tính tích phân xác định và mô tả được miền xác định của hàm nhiều biến. Trong chương này, yêu cầu nắm vững các nội dung chính sau đây: 1. Tích phân bội hai. Mô tả được miền lấy tích phân bội hai bằng hình học và hệ các bất phương trình. Từ đó suy ra các cận của các tích phân đơn. Trong một số trường hợp nên thực hiện phép đổi biến số để tính dễ dàng hơn, đặc biệt thường chuyển sang tọa độ cực. 2. Tích phân bội ba. Tương tự như tích phân bội hai, phải mô tả được miền lấy tích phân bội ba. Trên cơ sở đó tìm được các cận của các tích phân đơn. Tùy từng hàm dưới dấu tích phân và miền lấy tích phân có thể thực hiện phép đổi biến số, đặc biệt thường chuyển sang tọa độ cầu hoặc tọa độ trụ để tính toán cho đơn giản. NỘI DUNG 2.1 Tích phân bội hai ( Tích phân kép) 2.1.1 Bài toán mở đầu Bài toán: Cho vật thể V ∈ 3 giới hạn bởi các mặt sau đây: mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn L là biên của miền đóng hữu hạn D⊂ 2 và mặt cong cho bởi phương trình z= f(x,y), Dyx ∈),( , trong đó f(x,y) liên tục và không âm trên miền D. Hãy tính thể tích vật thể V ( thường gọi V là hình trụ cong). Cách tính:
33. Chương 2. Tích phân bội 32 iSΔ ),( yxfz = Chia hình trụ cong V thành n hình trụ cong bằng cách chia miền D thành n mảnh không dẫm lên nhau bởi một lưới các đường cong trong mặt phẳng Oxy. Gọi tên và diện tích các mảnh đó là iSΔ , ( i= n,1 ) . Dựng các hình trụ cong có các đáy dưới là iSΔ ; đáy trên là phần của mặt phẳng cong z= f(x,y) , đường sinh song song với trục Oz. Gọi tên và thể tích các hình trụ cong thành phần là iVΔ ( i = n,1 ). Như vậy V= ∑ = Δ n i iV 1 Nhận xét: Lấy tuỳ ý Mi ( ii yx , ) iSΔ∈ ( i= n,1 ). Vì miền iSΔ là nhỏ và hàm f(x,y) liên tục nên trên miền iSΔ nên giá trị f(x,y) khác f( ii yx , ) rất ít, do đó iVΔ ),( ii yxf≈ iSΔ . Như vậy V ),( 1 ii n i yxf∑ = ≈ iSΔ Gọi di là đường kính của mảnh iSΔ ( i= n,1 ) (ta gọi đường kính của miền E là số { } ),,),( EQEPQPdSupd ∈∈= Rõ ràng sự xấp xỉ theo công thức trên của V càng chính xác nếu ta chia càng nhỏ miền D . Vậy thể tích V sẽ bằng giới hạn nếu có của tổng ở vế phải khi ∞→n sao cho 0max →id . i n i i maxd 0 i 1 V lim f (x , y ) → = = ∑ iSΔ Chú ý: Ý tưởng tính thể tích hình trụ cong hoàn toàn như tính diện tích hình thang cong , ở đó dẫn đến khái niệm tích phân xác định, còn ở đây sẽ dẫn đến khái niệm tích phân kép. 2.1.2 Định nghĩa tích phân kép. Cho hàm z= f(x,y) xác định trên miền đóng D⊂ 2 * Chia miền D thành n miền nhỏ bởi một lưới các đường cong, gọi tên và diện tích các miền là isΔ ( i= n,1 ) đồng thời kí hiệu di là đường kính mảnh thứ i ( i= n,1 )
34. Chương 2. Tích phân bội 33 * Lấy tuỳ ý Mi ( ii yx , ) isΔ∈ ( i= n,1 ) . * Gọi I n = ),( 1 ii n i yxf∑ = iSΔ là tổng tích phân cuả f(x,y) trên miền D ứng với một phân hoạch và một cách chọn các điểm M1 , M 2 ,…,M n . Khi ∞→n sao cho maxdi → 0 mà I n hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch iSΔ và cách chọn Mi iSΔ∈ (i = n,1 ) thì số I gọi là tích phân kép của f(x,y) trên miền D và kí hiệu là ∫∫ D dSyxf ),( . Như vậy ∫∫ ∑ =→ Δ= D n i iii d SyxfdSyxf i 10max ),(lim),( (2.1) Có được công thức trên thì nói rằng f(x,y) khả tích trên miền D; f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân còn x, y là các biến tích phân, dS là yếu tố diện tích. Chú ý: a. Vì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D nên có thể chia D bởi một lưới các đường thẳng song song với các trục toạ độ Ox, Oy. Khi đó iii yxS ΔΔ=Δ suy ra dS = chúng tôi Do đó là tích phân kép thường kí hiệu là: ∫∫ D dxdyyxf ),( b. Cũng như tích phân xác định, kí hiệu biến lấy tích phân kép cũng không làm tích phân kép thay đổi, tức là: ∫∫ D dxdyyxf ),( = ∫∫ D dudvvuf ),( c. Nếu f(x,y) 0≥ trên D thì thể tích hình trụ cong đã xét trong phần 2.1.1 được tính theo công thức V= ∫∫ dxdyyxf ),( (2.2) d. Nếu f(x,y)=1 trên D thì số đo diện tích miền D tính theo công thức S= ∫∫ D dxdyyxf ),( (2.3) 2.1.3. Điều kiện khả tích Tương tự như tích phân xác định, ta có: * Nếu hàm số f(x,y) khả tích trên miền D thì f(x,y) bị chặn trên miền D ( điều kiện cần của hàm khả tích ). * Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D, tổng quát hơn: nếu hàm số f(x,y) chỉ có gián đoạn loại 1 trên một số hữu hạn cung cong của miền D thì khả tích trên miền D. 2.1.4. Tính chất của tích phân kép. Từ định nghĩa của tích phân kép, tương tự như tích phân xác định, suy ra được các tính chất sau:
35. Chương 2. Tích phân bội 34 a. Nếu D được chia thành 2 miền D1, D2 mà 1 2D D∩ = φ thì f(x,y) khả tích trên D khi và chỉ khi nó khả tích trên D1 và D2 đồng thời. ∫∫∫∫∫∫ += 21 ),(),(),( DDD dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf (2.4) b..Nếu f(x,y) khả tích trên D và k là hằng số thì: dydxyxfkdydxyxfk DD ∫∫∫∫ = ),(.),(. (2.5) c.Nếu f(x,y), g(x,y) khả tích trên D thì [ ] dydxyxgdydxyxfdydxyxgyxf DDD ∫∫∫∫∫∫ +=+ ),(),(),(),( (2.6) d. Nếu f(x,y), g(x,y) cùng khả tích trên D và Dyxyxgyxf ∈∀≤ ),(),(),( thì: dydxyxgdydxyxf DD ∫∫∫∫ ≤ ),(),( (2.7) e. Nếu f(x,y) khả tích thì ),( yxf khả tích và dxdyyxfdydxyxf DD ∫∫∫∫ ≤ ),(),( (2.8) f. Nếu f(x,y) khả tích trên D và thoả mãn DyxMyxfm ∈∀≤≤ ),(,),( thì MSdydxyxfmS D ≤≤ ∫∫ ),( (2.9) trong đó S là diện tích miền D. 2.2. Tính tích phân kép. 2.2.1. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ đề các (Descartes). Định lí 2.1. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyx bxa ϕϕ thì ∫∫ ∫ ∫= D b a x x dyyxfdxdxdyyxf )( )( 2 1 ),(),( ϕ ϕ (2.10)
36. Chương 2. Tích phân bội 35 x y z 0 H.2.2 S(x) a b x )(2 xϕ)(1 xϕ Chứng minh: Trước hết xét 0),( ≥yxf và liên tục trên miền D : ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyx bxa ϕϕ Trong đó )(),( 21 xx ϕϕ liên tục trên [a,b]. Theo ý nghĩa hình học ta có: dxdyyxfV D ∫∫= ),( Trong đó V là thể tích hình trụ cong. Mặt khác, ứng dụng tích phân xác định ta lại có: ∫= b a dxxSV )( Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của hình trụ cong do mặt phẳng vuông góc với trục 0x tại điểm x tạo ra. (H.2.2).Từ hình 2.2 ta thấy S(x) là diện tích hình thang cong nằm trên mặt phẳng Oyz (bằng phép tịnh tiến) giới hạn bởi trục 0y, các đường )(),( 21 xyxy ϕϕ == và đường cong z = f(x,y), với x cố định. Theo ý nghĩa tích phân xác định ta có: dyyxfxS x x ∫= )( )( 2 1 ),()( ϕ ϕ Suy ra ∫ ∫∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b a x xD dxdyyxfdydxyxf )( )( 2 1 ),(),( ϕ ϕ Tích phân lặp trên được qui ước viết theo dạng: ∫∫∫ ∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ )( )( )( )( 2 1 2 1 ),(),( x x b a b a x x dyyxfdxdxdyyxf ϕ ϕ ϕ ϕ Bây giờ xét f(x,y) liên tục và có dấu bất kỳ trên miền D. Xét các hàm số phụ sau:
37. Chương 2. Tích phân bội 36 ⎩ ⎨ ⎧ ≥∀ <∀− = ⎩ ⎨ ⎧ <∀ ≥∀ = 0),(),,(0 0),(),,(),( ),( 0),(),,(0 0),(),,(),( ),( 2 1 yxfyx yxfyxyxf yxf yxfyx yxfyxyxf yxf Các hàm số f1(x,y), f2(x,y) liên tục và không âm trên miền D đồng thời ),(),(),( 21 yxfyxfyxf −= . Theo tính chất c. của tích phân bội và kết quả trên, ta được: [ ] ),( ),(),( ),(),( ),(),(),( )( )( )( )( 21 )( )( 2 )( )( 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ = −= −= −= x x b a x x b a x x b a x x b a DDD dyyxfdx dyyxfyxfdx dyyxfdxdyyxfdx dydxyxfdydxyxfdydxyxf ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Vậy ta nhận được công thức (2.10). Như vậy, để tính tích phân kép ta đưa về tính tích phân lặp. Công thức (2.10) thể hiện tính tích phân theo biến y (trong khi tính coi x là hằng số) trước và theo biến x sau Chú ý: a. Nếu miền D cho bởi hệ bất phương trình: 1 2 c y d (y) x (y) ≤ ≤⎧ ⎨ ψ ≤ ≤ ψ⎩ thì nhận được công thức tính tích phân kép tương tự là: ∫∫∫∫ = )( )( 2 1 ),(),( y y d cD dxyxfdydxdyyxf ψ ψ (2.11) b. Công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân hay gọi là công thức Fubini. Trong trường hợp này, miền D có tính chất: Mỗi đường thẳng song song với các trục toạ độ cắt miền D nhiều nhất ở hai điểm. Khi đó tồn tại hình chữ nhật: ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ dyc bxa có cạnh tiếp xúc với biên của miền D (H.2.3) Giả sử ,ADB ACB có phương trình là: bxaxyxy ≤≤== ),(),( 21 ϕϕ , ,CAD CBD có phương trình là: dycyxyx ≤≤== ),(),( 21 ψψ Từ công thức (2.10), (2.11) nhận được công thức Fubini sau đây:
39. Chương 2. Tích phân bội 38 x y 0 a 2a H.2.4 y=2x Ví dụ 2: Tính tích phân: ∫∫= 0 xydxdyI với D giới hạn bởi các đường 4−= xy và 2 y 2x.= Giải: Vẽ miền D (H.2.5) Để vẽ được miền D trước hết phải tìm giao của các đường bằng cách giải hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ = −= xy xy 2 4 2 Ta suy ra: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −= = 4 2 2 2 2 y y y x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⎩ ⎨ ⎧ −= = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎣ ⎡ −= = = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−− = ⇒ 4 8 2 2 2 4 2 082 2 2 2 2 y x y x y y y x yy y x Ta mô tả miền D như sau: 2D 1D 2 2 yx= 4+= yx
40. Chương 2. Tích phân bội 39 D: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤≤ ≤≤− 4 2 42 2 yx y y hoặc 21 DDD ∪= với ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤ xyx x D 22 20 :1 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤ xyx x D 24 82 :2 Trong trường hợp này nên áp dụng công thức (2.11) tức là lấy tích phân lặp theo biến x trước và theo biến y sau: 2 y 44 4 2 2 2 2y 2 4 4 2 2 6 4 3 2 y 4 x I dy xydx y. dxy 2 2 1 y y(y 8y 16 )dy 2 4 41 1 8 y ( y y 8y ) 90. 22 4 3 24 + − − − + = = = + + − = + + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 3: Hãy thay đổi thứ tự lấy tích phân sau: ∫∫ − = 2 21 0 ),( x x dyyxfdxI Giải: Vẽ miền D trên cơ sở đã biết các cận của tích phân. theo đầu bài miền D giới hạn bởi các đường : 2 x 0,x 1, y x, y 2 x .= = = = − Đường có phương trình 2 2 xy −= chính là nửa đường tròn : ⎩ ⎨ ⎧ ≥ =+ 0 222 y yx 2D 1D 2 2 Do tính không trơn của biên miền D nên ta mô tả: 21 DDD ∪=
41. Chương 2. Tích phân bội 40 trong đó: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ 2 21 20 21 :, 0 10 : yx y D yx y D Vậy ∫∫∫∫∫ ∫ −− +== 22 2 0 2 10 1 0 1 0 2 ),(),(),( yyx x dxyxfdydxyxfdydyyxfdxI Ví dụ 4: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt 2222 ,,0 yzRyxz ==+= Giải: Vật thể được mô tả bởi hình H.2.7. Vật thể đối xứng qua mặt tọa độ 0xz và 0yz. ta xét phần vật thể trong góc phần tám thứ nhất, phần vật thể này được giới hạn bởi các mặt 0,0,,0 222 ≥≥=+= yxRyxz và 2 yz = . Vậy dxdyyV D ∫∫= 2 4 trong đó D là phần tư hình tròn 0,0,222 ≥≥=+ yxRyx . Rõ ràng ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ 22 R0 0 : xy Rx D 2 R R R dxxRdyydxV RxRR 2 3 0 22 0 2 0 )( 3 4 4 22 ∫∫∫ −== − Đổi biến tdtRdxtRx sin,cos −==
43. Chương 2. Tích phân bội 42 r ),(),,( yxMrM ϕ ϕ ⎩ ⎨ ⎧ = = ϕ ϕ sin cos ry rx và ngược lại: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = += x y tg yxr ϕ 222 , x cùng dấu với ϕcos hoặc y cùng dấu với sin .ϕ b. Phương trình đường cong trong hệ toạ độ cực Hệ thức 0),( =ϕrF hoặc )(ϕrr = hay )(rϕϕ = gọi là phương trình đường cong trong toạ độ cực, chẳng hạn r = a là phương trình đường tròn bán kính bằng a và tâm ở gốc toạ độ, 0ϕϕ = là phương trình nửa đường thẳng xuất phát từ gốc toạ độ và lập với trục cực một góc là 0ϕ . c. Công thức tích phân kép trong toạ độ cực Ta thực hiện phép đổi biến số: ⎩ ⎨ ⎧ = = ϕ ϕ sin cos ry rx Do đó: r r r rD yxD = − = ϕϕ ϕϕ ϕ cossin sincos ),( ),( Từ công thức (2.13) suy ra: ∫∫∫∫ Δ = ϕϕϕ rdrdrrfdxdyyxf D )sin,cos(),( (2.14)
44. Chương 2. Tích phân bội 43 )(2 ϕr )(1 ϕr 1ϕ 2ϕ Thường gặp miền Δ được giới hạn bởi hai tia 21, ϕϕϕϕ == và đường cong )(),( 21 ϕϕ rrrr == (H.2.9), tức là trong hệ toạ độ cực, miền D được mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( : 21 21 ϕϕ ϕϕϕ rrr D Khi đó công thức (2.15) sẽ có dạng: rdrrrfddxdyyxf r rD )sin,cos(),( )( )( 2 1 2 1 ∫∫∫∫ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ (2.15) Chú ý: * Mối quan hệ giữa các định thức Jacôbi của phép biến đổi thoả mãn D(x, y) D(u,v) . 1 D(u,v) D(x, y) = * Nếu cực là điểm trong của miền D và mọi bán kính cực cắt biên miền D tại một điểm có bán kính )(ϕr thì rdrrrfddxdyyxf r D )sin,cos(),( )( 0 2 0 ∫∫∫∫ = ϕπ ϕϕϕ Ví dụ 5: Tính Idxdyyxx D =+∫∫ 22 trong đó D là hình tròn 222 )( RyRx ≤+− Giải: Đường tròn 222 R)(x Ry =+− chuyển sang toạ độ cực có phương trình: 2222 sin)cos( RrRr =+− ϕϕ hay 22 ,cos2 π ϕ π ϕ ≤≤−= Rr Tương tự đường tròn 222 )( RRyx =−+ chuyển sang toạ độ cực có phương trình πϕϕ ≤≤= 0,sin2Rr (H.2.10)
45. Chương 2. Tích phân bội 44 ϕsin2Rr = ϕcos2Rr = Vậy miền D trong hệ toạ độ cực được mô tả: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤− ϕ π ϕ π cos20 22 Rr Theo công thức (2.15) sẽ có: 2Rcos2 0 2 2 2 4 4 5 0 2 4 4 4 I d chúng tôi chúng tôi 2R cos1 cos r d 8R cos d 04 4!! 2.4 64R 8R 8R . 5!! 3.5 15 π ϕ π− π π π− = ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ = = = ∫ ∫ ∫ ∫ (Xem công thức Wallis,Tr139 Toán cao cấp A1) Ví dụ 6: Tính ∫∫ += D dxdyyxI )( trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng: y x, y x 3, y 2x 1, y 2x 1.= − = − + = − = +
46. Chương 2. Tích phân bội 45 y x0 3 3 1 – 1 2 1 2 1− H.2.11 Giải: Phương trình các đường thẳng tạo ra miền D viết lại dưới dạng: 12,12,3,0 −=−=−=+=+ yxyxyxyx (xem H.2.11) Đổi biến ⎩ ⎨ ⎧ −= += yxv yxu 2 , khi đó 3 12 11 ),( ),( −= − = yxD vuD ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤ Δ 11 30 : v u Suy ra 3 1 2 0 1 31 1 2 u I u. dudv udu. dv 3. 03 3 3 2Δ − = − = = =∫∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nếu giải ví dụ trên bằng cách trực tiếp dùng công thức tính tích phân kép trong hệ toạ độ đề các thì phải chia miền D thành các miền thành phần rồi áp dụng tính chất a của tích phân kép. Như vậy sẽ phức tạp hơn. Ta có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách dùng công thức (2.10) hoặc (2.11). 2.3. Tích phân bội ba ( Tích phân 3 lớp) 2.3.1. Bài toán mở đầu: Tính khối lượng vật thể. Bài toán: Cho vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng là Vzyxzyx ∈= ),,(),,,(ρρ Hãy tính khối lượng của vật thể V. Cách tính: Tương tự như tích phân bội hai, ta chia V tuỳ ý làm n phần không dẫm lên nhau bởi một hệ thống các mặt cong. Gọi tên và thể tích các phần đó là ),1( niVi =Δ . Trong mỗi phần thứ i lấy điểm ),,( iiii zyxP tuỳ ý và gọi đường kính của phần đó là ),1(, nidi = . Khối lượng xấp xỉ của vật thể là : ∑∑ == Δ=Δ= n i iiii n i ii VzyxVPm 11 ),,()( ρρ .
47. Chương 2. Tích phân bội 46 Nếu tồn tại giới hạn ∑ =→ Δ n i iiii d Vzyx i 10max ),,(lim ρ thì đó chính là khối lượng của vật thể đã cho. Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giới hạn hạn của tổng dạng trên. Chính vì thế cần phải có định nghĩa toán học tích phân bội ba. 2.3.2. Định nghĩa tích phân bội ba. Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền 3 V ⊂ * Chia V tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và thể tích các mảnh đó là ),1(, niVi =Δ , ký hiệu đường kính mảnh iVΔ là id . * Lấy tuỳ ý ),1(,),,( niVzyxP iiiii =Δ∈ * Lập tổng ∑= Δ= n i iiiin VzyxfI 1 ),,( , gọi đó là tổng tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) lấy trên miền V ứng mới một phân hoạch và các điểm ),1(, niVP ii =Δ∈ Khi ∞→n sao cho 0max →id mà In hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch 1VΔ và cách chọn điểm ),1(, niVP ii =Δ∈ thì số I gọi là tích phân bội ba của f(x,y,z) trên miền V, ký hiệu là ∫∫∫V dVzyxf ),,( . Như vậy: ∑∫∫∫ = → Δ= n i iiii d V VzyxfdVzyxf i 0 0max ),,(lim),,( (2.16) Tương tự, ta cũng nói rằng f(x,y,z) khả tích trên miền V. Chú ý: * Giống như tích phân kép, yếu tố thể tích dV được thay bằng dxdydz và khi đó thường ký hiệu tích phân bội ba là: V f (x, y,z)dxdydz.∫∫∫ * Tương tự như tích phân kép, tích phân bội ba không phụ thuộc vào ký hiệu biến lấy tích phân: V V f (x, y,z)dxdydz f (u,v, )dudvd .= ω ω∫∫∫ ∫∫∫ * Ý nghĩa cơ học: Nếu 0),,( ≥zyxf trên miền V thì dxdydzzyxf V ∫∫∫ ),,( là khối lượng của vật thể V khi vật thể đó có khối lượng riêng (mật độ hay tỉ khối) là f(x,y,z). * Rõ ràng thể tích V của vật thể V tính theo công thức: ∫∫∫= V dxdydzV (2.17) * Điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bội ba tương tự như tích phân kép.
48. Chương 2. Tích phân bội 47 2.4. Tính tích phân bội ba 2.4.1. Công thức tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ đề các Định lý 2.3: Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 yxzyyxz xyyxy bxa (2.18) thì ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 ),,(),,( yxz yxz xy xy b aV dzzyxfdydxdxdydzzyxf (2.19) Hệ bất phương trình (2.18) mô tả miền V là một hình trụ cong giới hạn phía trên bởi mặt 2z z (x, y),= giới hạn phía dưới bởi mặt ),(1 yxzz = và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục 0z, đường chuẩn là biên của miền D (miền Dxy là hình chiếu của V trên mặt phẳng 0xy (H.2.12), cụ thể miền D cho bởi hệ bất phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyyxy bxa ),(2 yxz ),(1 yxz )(1 xy )(2 xy Công thức (2.19) chứng tỏ để tính tích phân bội ba ta đưa về tính tích phân lặp. Khi tính tích phân theo biến z ta coi x,y là hằng số. Khi tính tích phân theo biến y coi x là hằng số. Cuối cùng tính tích phân theo biến x. Chú ý: a. Từ công thức (2.10) suy ra công thức (2.119) có thể viết lại như sau:
49. Chương 2. Tích phân bội 48 ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( 2 1 ),,(),,( yxz yxzDV dzzyxfdzdydxdydzzyxf xy (2.19)’ b. Thay đổi vai trò của các biến x,y,z ta cũng có công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân bội ba: ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( ),( ),( 2 1 2 1 ),,(),,( zyx zyxD yxz yxzD dxzyxfdydzdzzyxfdxdy yzxy (2.19)” trong đó yzD là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng 0yz, còn ),(1 zyxx = và ),(2 zyxx = là các mặt cong dưới và trên theo hướng 0y để tạo ra miền V. Tương tự: ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( ),( ),( 2 1 2 1 ),,(),,( zxy zxyD yxz yxzD dyzyxfdzdxdzzyxfdxdy zxxy (2.19)”’ Ví dụ 7: Tính ∫∫∫ +++ = V zyx dxdydz I 3 )1( trong đó miền V được cho giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y – z = 0. Giải: Vẽ miền V (H.2.13). V là hình chóp tứ giác có đỉnh là gốc toạ độ, đáy là hình chữ nhật ABCD. Mặt trên của V (tam giác OCD) là mặt phẳng có phương trình z = x + y. Mặt dưới của V (tam giác OAB ) là mặt phẳng có phương trình 0=z . Chiếu V lên mặt phẳng Oxy được tam giác OAB cho bởi hệ bất phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ xy x 10 10 Từ đó theo công thức (2.19) có:
50. Chương 2. Tích phân bội 49 ( ) ( ) yxxyxx zyx dy dx zyx dz dydxI + −+− ∫∫∫ ∫∫ +++ −= +++ = 0 1 0 2 1 0 1 0 0 3 1 0 12 1 1 ( ) ( ) dy yxyx dx x ∫∫ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ − ++ −= 1 0 22 1 0 1 1 221 1 2 1 ( ) dx x dx x dx yxyx x ∫∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ − ++ = − 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 21 1 3 1 4 1 1 1 2212 1 2 1 1 0 1 0 1ln 2 1 21ln 8 1 6 1 xx +++−−= 1 1 1 ln 2 ln3 . 2 4 3 ⎛ ⎞ = − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ví dụ 8: Tính ∫∫∫= V xdxdydzI với V cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤+ ≥ ≥ 4 0 0 22 zyx y x Giải: Miền V cho bởi H.2.14. Ta thấy mặt trên của V là 4=z , mặt dưới là paraboloid tròn xoay 22 yxz += . Hình chiếu D của V lên mặt Oxy là phần tư hình tròn: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ 2 40 20 xy x Do đó:
52. Chương 2. Tích phân bội 51 ϕ r Giữa toạ độ đề các và toạ độ trụ của điểm M có mối liên hệ: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Trong trường hợp này rr r zrD zyxD = − = 100 0cossin 0sincos ),,( ),,( ϕϕ ϕϕ ϕ (2.21) b. Phương trình mặt cong trong toạ độ trụ Hệ thức F 0),,( =zr ϕ hoặc giải ra được đối với các biến số ),,( zrr ϕ= ),( ϕrzz = hoặc ),( zrϕϕ = gọi là phương trình mặt cong trong toạ độ trụ. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây: 0rr = là phương trình mặt trụ tròn xoay bán kính là 0r và trục đối xứng là Oz (Trong hệ toạ độ Oxyz , mặt trụ này có phương trình 222 ryx =+ ). 0ϕϕ = là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng Ozx một góc là 0ϕ (tương ứng trong Oxyz phương trình là xtgy .0ϕ= với 0cos. 0 ≥ϕx ). 0zz = là phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy cắt trục Oz tại điểm có toạ độ 0z . Như vậy mặt cong được mô tả trong hệ toạ độ trụ đôi khi có phương trình rất đơn giản so với trong hệ toạ độ Đề các. c. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ Từ công thức (2.20) và (2.21) ta nhận được: dzrdrdzrrfdxdydzzyxf V ϕϕϕ∫∫∫∫∫∫ Ω = ),sin,cos(),,( (2.22) Thông thường miền Ω trong toạ độ trụ mô tả bởi hệ bất phương trình:
54. Chương 2. Tích phân bội 53 Chú ý: Khi miền V có dạng hình trụ và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức 22 yx + thì thường tính tích phân trong toạ độ trụ sẽ đơn giản hơn trong toạ độ đề các. 2.4.3. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ cầu a. Toạ độ cầu: Toạ độ cầu của một điểm xyzzyxM 0),,( ∈ là bộ ba số ),,( ϕθr trong đó θ,OMr = là góc giữa trục z0 và M0 và ϕ là góc giữa trục x0 và ‘0M , ở đây M’ là hình chiếu của M trên 0xy (H.2.17). Vậy với mọi điểm của không gian sẽ có: πϕπθ 20,0,0 <≤≤≤≥r . Dễ thấy giữa các toạ độ đề các và toạ độ cầu có mối quan hệ: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = θ ϕθ ϕθ cos sinsin cossin rz ry rx Và như vậy θ θθ ϕθϕθϕθ ϕθϕθϕθ ϕθ sin 0sincos cossincoscossinsin sinsincoscoscossin ),,( ),,( 2 r r rr r rD zyxD −= − − = (2.24) z x y 0 ϕ θ r z x y ),,( zyxM )0,,(‘ yxM H.2.17 b. Phương trình mặt cong trong toạ độ cầu Hệ thức 0),,( =ϕθrF hoặc giải ra được đối với các biến số ),();,();,( θϕϕϕθθϕθ rrrr === gọi là một phương trình mặt cong trong toạ độ cầu. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây: 0rr = mô tả mặt cầu tâm gốc toạ độ 0 và bán kính r0 ( trong hệ toạ độ 0xyz, mặt cầu này có phương trình 2 0 222 rzyx =++ ). 0θθ = là phương trình của mặt nón tròn xoay, đỉnh 0 và trục đối xứng là 0z có góc mở là θ2 (mặt nón này trong hệ 0xyz có phương trình ztgyx .22 θ=+ ). 0ϕϕ = là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng 0xy một góc 0ϕ (nửa mặt phẳng này trong hệ toạ độ 0xyz có phương trình xtgy .0ϕ= với 0cos 0 ≥ϕx ).
55. Chương 2. Tích phân bội 54 c. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ cầu Từ công thức (2.20) và (2.24) ta nhận được: ∫∫∫∫∫∫ Ω = ϕθθθϕθϕθ ddrdrrrrfdxdydzzyxf V sin)cos,sinsin,cossin(),,( 2 (2.25) Ta hay gặp miền Ω trong toạ độ cầu mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤< ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 21 ϕθϕθ ϕθθϕθ ϕϕϕ rrr Khi đó công thức (2.25) trở thành: 2 2 2 1 1 ( ) r ( , ) 2 V ( ) r ( , ) f (x, y,z)dxdydz d sin d f (rsin cos ,rsin sin ,r cos )r dr ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ = ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (2.26) Ví dụ 10: Tính ∫∫∫ ++ = V dxdydz zyx I 222 1 , trong đó V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu 1222 =++ zyx và 4222 =++ zyx Giải: Chuyển sang toạ độ cầu, hai mặt cầu đã cho có phương trình lần lượt là 2,1 == rr . Gốc toạ độ là điểm trong của miền V nên miền Ω cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ 21 0 20 r πθ πϕ Do đó : 2 2 2 2 0 0 1 21 1 I d sin d .r dr 2 ( cos ) r 6 . 0 1r 2 π π π = ϕ θ θ = π − θ = π∫ ∫ ∫ Ví dụ 11: Tính ∫∫∫ += V dxdydzyxI )( 22 trong đó V là miền ngoài giữa hình trụ 222 Ryx ≤+ và hình cầu 2 2 2 2 x y z 4R .+ + ≤ Giải: Một thiết diện của miền V cho trên hình H.2.18. Xét trong hệ toạ độ cầu, mặt cầu có phương trình Rr 2= , mặt trụ có phương trình θsin R r = (thay ϕθϕθ sinsin,cossin ryrx == vào phương trình 222 Ryx =+ sẽ nhận được kết quả trên). Để tìm sự biến thiên của θ ta xét giao của mặt cầu và mặt trụ: θsin 2 R Rr == . Suy ra 6 5 , 6 , 2 1 sin π θ π θθ ==⇒=
56. Chương 2. Tích phân bội 55 6 π Vì V là vật thể tròn xoay nhận Oz làm trục đối xứng, nhận mặt phẳng Oxy làm mặt phẳng đối xứng và hàm dưới dấu tích phân chẵn đối với x, y cho nên ∫ ∫ ∫ ∫ −== π π π θ π π θθ θ πθθθϕ 2 0 2 6 2 sin 2 6 3 5 5 5 424 sin) sin 1 32(sinsin2 R R dRdrrddI 2 6 3 52 6 2 2 2 6 5 cot)cos 3 1 cos(32 5 4 sin )1(sin32 5 4 π π π π π π θθθπ θ θ θθθπ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++−= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−= ∫∫ gR d doscR 544 3 R . 5 = π Chú ý: Khi miền V có dạng hình cầu, hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức dạng 22 yx + hoặc 222 zyx ++ nên chuyển sang toạ độ cầu, hoặc toạ độ trụ để tính toán cho đơn giản hơn.Ta có thể kiểm tra lại kết quả của ví dụ trên bằng cách dùng toạ độ trụ. TÓM TẮT CHƯƠNG 2. * Tính tích phân kép trong toạ độ đề các Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ )()( 21 xyx bxa ϕϕ thì ∫∫ ∫ ∫= D b a x x dyyxfdxdxdyyxf )( )( 2 1 ),(),( ϕ ϕ * Tính tích phân kép trong toạ độ cực Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền Δ cho bởi hệ bất phương trình
57. Chương 2. Tích phân bội 56 1 2 1 2( ) ( )r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≤ ≤⎧ ⎨ ≤ ≤⎩ thì rdrrrfddxdyyxf r rD )sin,cos(),( )( )( 2 1 2 1 ∫∫∫∫ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ * Thay đổi thứ tự lấy tích phân (công thức Fubini ) ∫∫∫∫ = )( )( )( )( 2 1 2 1 ),(),( y y d c x x b a dxyxfdydyyxfdx ψ ψ ϕ ϕ * Tính tích phân bội ba trong toạ độ đề các Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 yxzyyxz xyyxy bxa thì ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 ),,(),,( yxz yxz xy xy b aV dzzyxfdydxdxdydzzyxf * Tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền Ω mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ),(),( )()( 21 21 21 ϕϕ ϕϕ ϕϕϕ rzzrz rrr thì ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 2 1 ),sin,cos(),,( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ rz rz r rV dzzrrfrdrddxdydzzyxf CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2. 2.1. Dùng tích phân bội hai có thể xác định được diện tích hình phẳng D Đúng Sai 2.2. Khi hàm dưới dấu tích phân bội hai có dạng biến số phân ly thì tích phân bội hai sẽ là tích của hai tích phân xác định. Đúng Sai 2.3. Khi gốc toạ độ là điểm trên biên của miền D thì chuyển sang toạ độ cực ta có ϕ biến thiên từ 0 đến 2π . Đúng Sai 2.4. Khi gốc toạ độ là điểm trong của miền D thì chuyển sang toạ độ cực ta có ϕ biến thiên từ 0 đến 2π . Đúng Sai 2.5. Có thể tính khối lượng vật thể khi biết hàm mật độ ρ nhờ vào tích phân bội 3. Đúng Sai
61. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 60 NỘI DUNG. 3.1. Tích phân đường loại một. 3.1.1. Định nghĩa iA 1−iA iM ixΔ iyΔ Cho hàm số ),( yxf xác định trên một cung phẳng AB (H.3.1) * Chia cung AB là n cung nhỏ bởi các điểm chia BAAAAAA nii ≡≡ − ,…,,…,, 110 gọi độ dài cung 1i iA A− là ),1(, nisi =Δ * Lấy tuỳ ý 1( , ) ,( 1, )i i i i iM x y A A i n−∈ = * Lập tổng ∑ = Δ= n i iiin syxfI 1 ),( gọi là tổng tích phân đường loại một của hàm ),( yxf lấy trên cung AB ứng với một phân hoạch và một cách chọn tuỳ ý các điểm 1 ,( 1, )i i iM A A i n−∈ = . Nếu khi ∞→n sao cho ni Is ,0max →Δ hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn 1 ,( 1, )i i iM A A i n−∈ = thì số I gọi là tích phân đường loại một của f(x,y) dọc theo cung AB và ký hiệu ( , ) AB f x y ds∫ Vậy max 0 1 lim ( , ) ( , ) i n i i i s i AB I f x y s f x y ds Δ → = = Δ =∑ ∫ (3.1) Nếu có tích phân (3.1) thì nói rằng f(x,y) khả tích trên AB .Trong tích phân (3.1), ds ký hiệu độ dài yếu tố của cung AB hay vi phân của cung AB . Mở rộng: Nếu f(x,y,z) khả tích trên cung 3 ⊂AB thì tích phân đường loại một của f(x,y,z) trên cung AB ký hiệu là
62. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 61 ( , , ) AB I f x y z ds= ∫ (3.2) Chú ý: a. Từ định nghĩa trên ta thấy chiều đi của cung AB không đóng vai trò gì cả vì In không phụ thuộc vào hướng của cung AB . Vậy ( , ) ( , ) AB BA f x y ds f x y ds=∫ ∫ (3.3) b. Rõ ràng nếu gọi l là độ dài cung AB thì AB l ds= ∫ (3.4) c. Nếu một dây vật chất có dạng cung AB và mật độ khối lượng là ),( yxρ thì khối lượng của dây vật chất đó tính theo công thức: ( , ) AB m x y dsρ= ∫ (3.5) d. Người ta đã chứng minh được: nếu cung AB là cung trơn (tiếp tuyến của cung biến thiên liên tục) hoặc trơn từng khúc (chia cung AB thành hữu hạn các cung thành phần, các cung thành phần là các cung trơn) và f(x,y) liên tục trên cung AB thì f(x,y) khả tích trên cung .AB e. Vì định nghĩa trên tương tự với tích phân xác định, tích phân bội nên tích phần đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định. 3.1.2. Công thức tính tích phân đường loại một Định lý 3.1. Giả sử cung AB trơn cho bởi phương trình: bxaxyy ≤≤= ),( và hàm số f(x,y) liên tục trên cung AB . Khi đó: 2 ( , ) ( , ( )) 1 ‘ ( ) b aAB f x y ds f x y x y x dx= +∫ ∫ (3.6) Chứng minh: Thực hiện phép chia cung AB bởi các điểm niyxA iii ,1),,( = như định nghĩa đã trình bày. Gọi ),1(, 11 niyyyxxx iiiiii =−=Δ−=Δ −− (xem H.3.1). Với ii yx ΔΔ , khá bé thì: i i i iii x x y yxs Δ Δ Δ +=Δ+Δ≈Δ .)(1 222 Theo công thức Lagrange, ta có i i i i 1 i i y y'( ), (x ,x ),i 1,…,n x − Δ = ξ ξ ∈ = Δ Suy ra ),(,)(1 1 2/ iiiiii xxxys −∈Δ+≈Δ ξξ Sau khi thực hiện phép chia cung AB , ta chọn 1( , ( )) , 1,i i i i iM y A A i nξ ξ −∈ =
63. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 62 Vậy tổng tích phân tương ứng sẽ là: i n i iii n i iiin xyyfsyfI Δ+≈Δ= ∑∑ == 1 2 1 )(‘1))(,())(,( ξξξξξ Cho ∞→n sao cho 0max →Δ ix hay 0max →Δ is thì do sự tồn tại của tích phân đường loại một nên vế trái dần đến ( , ) AB f x y ds∫ , còn vế phải chính là tích phân xác định của hàm số )(‘1))(,( 2 xyxyxf + trên [a,b] nghĩa là ta nhận được công thức (3.6). Nếu cung AB cho bởi phương trình tham số: 1 2 x x(t) , t t t y y(t) =⎧ ≤ ≤⎨ =⎩ thì )(‘)(‘ )(‘ 1 )(‘1,)(‘, )(‘ )(‘ )(‘ 222 tytx tx xydttxdx tx ty xy +=+== Vì ba ≤ và 21 tt ≤ nên công thức (3.6) trở thành : 2 1 2 2 ( , ) [ ( ), ( )] ‘ ( ) ‘ ( ) t tAB f x y ds f x t y t x t y t dt= +∫ ∫ (3.7) Đặc biệt khi AB cho trong toạ độ cực 21),( ϕϕϕϕ ≤≤= rr . Ta có thể coi rằng AB cho dưới dạng tham số: 21 sin)( cos)( ϕϕϕ ϕϕ ϕϕ ≤≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = ry rx Khi đó )()()()( 2222 ϕϕϕϕ rryx ′+=′+′ . Suy ra (3.6) có dạng: [ ] 2 1 2 2 AB f (x, y)ds f r( )cos ,r( )sin r ( ) r ( )d ϕ ϕ ′= ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ∫ ∫ (3.8) Tổng quát cung 3 ⊂AB cho bởi phương trình tham số 21 )( )( )( ttt tzz tyy txx ≤≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = và nếu f(x,y,z) khả tích trên cung đó thì: 2 1 2 2 2 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )′ ′ ′= + +∫ ∫ t tAB f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt S (3.9) Ví dụ 1: Tính ∫ + C dsyx )( , C là biên tam giác với các đỉnh O (0,0), A (1,0), B (0,1). Giải: Đường C cho bởi H (3.2)
64. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 63 Theo tính chất của tích phân ta có: C OA AB BO = + +∫ ∫ ∫ ∫ Đoạn OA có phương trình y = 0, 10 ≤≤ x 2 1 2 1 01)( 1 0 2 1 0 ==+=+ ∫∫ xdxxdsyx OA Đoạn AB có phương trình: 10,1 ≤≤−= xxy 2111)( 1 0 =+=+ ∫∫ dxdsyx AB Đoạn BO có phương trình: 10,0 ≤≤= yx 2 1 2 1 01)( 1 0 2 1 0 ==+=+ ∫∫ ydyydsyx BO (Sử dụng công thức (3.6) trong đó thay đổi vai trò các biến x và y cho nhau) C (x y)ds 1 2.+ = +∫ Ví dụ 2: Tính dsyxI L ∫ += 22 , L là đường tròn 2 2 x y 2x.+ = Giải: Đường tròn L cho bởi H 3.3. 1 2 y x0 L H.3.3
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Giải Tích 12 Trang 18 Sách Giáo Khoa
Giải bài tập giải tích 12 bài 1 trang 18 SGK
Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
c) y = x + 1/x
e)
Hướng dẫn giải
a) Ta có tập xác định : D = R
y’ = 6x + 6x – 36
y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2
Bảng biến thiên:
Kết luận :
Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; = 71
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; = -54.
b. Ta có tập xác định : D = R
y’= 4x + 4x = 4x(x + 1) = 0;
y’ = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:
Hàm số có giá thị đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = -3
Hàm số không có điểm cực đại.
c) Ta có tập xác định : D = R {0}
y’ = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y CĐ = -2;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y CT = 2.
d) Ta có tập xác định : D = R
y’= ( x 3 )’.(1 – x) 2 + x 3.[ (1 – x) 2]’
= 3x 2. (1 – x) 2 + x 3.2(1 – x).(1 – x)’
= 3x 2. (1 – x) 2 – 2x 3(1 – x)
= x 2.(1 – x)(3 – 5x)
y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x CĐ = 3/5
hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 1.
Một số điểm chúng ta cần lưu ý : x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.
Ta có tập xác định: D = R.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x):
1 .Tìm tập xác định.
2. Tính f'(x). Xác định các điểm thỏa mãn f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực trị.
(Điểm cực trị là các điểm làm cho f'(x) đổi dấu khi đi qua nó).
Giải bài tập giải tích 12 bài 2 trang 18 SGK
Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
b) y = sin2x – x
c) y = sinx + cosx ;
Hướng dẫn giải
a) TXĐ: D = R.
+ y’ = 4x 3 – 4x
y’ = 0 ⇔ 4x( x 2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.
+ y” = 12x 2 – 4
b) Ta có tập xác định : D = R
+ y’ = 2cos2x – 1;
+ y” = -4.sin2x
c) Ta có tập xác định : D = R
+ y’ = cosx – sinx
d) Ta có tập xác định : D = R
⇔ x = ±1.
+ y” = 20x 3 – 6x
Ta có y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0
⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.
⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Tìm điểm cực trị của hàm số :
1. Tìm tập xác định
2. Tính f'(x). Tìm các giá trị x i để f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
3. Tính f”(x). Xét dấu f”(x i).
4. Kết luận : Các điểm x i làm cho f”(x i) < 0 là các điểm cực đại
Giải bài tập giải tích 12 bài 3 trang 18 SGK
Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.
Hướng dẫn giải bài tập toán giải tích 12 bài 3
Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.
+ Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Xét giới hạn :
⇒ Không tồn tại giới hạn
Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).
⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Hàm số y = f(x) liên tục trên (a ; b) và x 0 ∈ (a ; b).
+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 nếu tồn tại giới hạn
Giải bài tập giải tích 12 bài 4 trang 18 SGK
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x 3 – mx 2 – 2x + 1
luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn giải
Ta có tập xác định : D = R
+ y’ = 3x 2 – 2mx – 2
y’ = 0 ⇔ 3×2 – 2mx – 2 = 0
⇔
+ y” = 6x – 2m.
⇒ là một điểm cực đại của hàm số.
⇒ là một điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
+ f'(x 0) = 0 và f”(x 0) < 0 thì x 0 là điểm cực đại.
Giải bài tập giải tích 12 bài 5 trang 18 SGK
Tìm a và b để các cực trị của hàm số
y = 5/3.a2x3 + 2ax2 – 9x + b
đều là những số dương và x 0 = -5/9 là điểm cực đại.
Hướng dẫn giải
Ta có tập xác định : D = R.
⇒ y” = 10a 2 x + 4a.
– Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R
⇒ Hàm số không có cực trị (loại)
– Nếu a ≠ 0.
Các cực trị của hàm số đều dương
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
+ f'(x 0) = 0 và f”(x 0) < 0 thì x 0 là điểm cực đại.
Giải bài tập giải tích 12 bài 6 trang 18 SGK
Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 2.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.
Vậy m = -3.
Phân Tích Swot Là Gì? Hướng Dẫn A
Có lẽ bạn cũng thấy,
Đại dịch Covid-19 càn quét chỉ vài tháng ngắn ngủi nhưng đã khiến không ít doanh nghiệp lớn nhỏ phải “ngừng cuộc chơi” một cách cay đắng, đồng thời lại là cơ hội cho nhiều doanh nghiệp khác trở mình mạnh mẽ.
Điểm chung của những doanh nghiệp có thể xoay sở được qua cơn đại dịch này chính là họ biết cải thiện điểm yếu, phát huy điểm mạnh kịp thời. Đúng thời điểm – đúng phương thức.
Còn doanh nghiệp bạn thì sao?
Bây giờ đại dịch đã qua, nhưng sẽ thế nào nếu còn những thách thức tiềm tàng khác vẫn đang chờ đợi? Bạn đã có chiến lược thấu hiểu và xây dựng doanh nghiệp đủ vững mạnh để vượt qua?
Và bạn đã có chiến lược phục hồi doanh nghiệp đúng cách sau những biến chuyển lớn vừa rồi?
Nghiên cứu và tự mình phân tích SWOT phục hồi tăng trưởng, cải thiện doanh số ngay sau đây!
SWOT là gì?
SWOT là viết tắt của 4 từ Tiếng Anh: Strengths (thế mạnh), Weaknesses (Điểm yếu), Opportunities (Cơ hội) và Threats (Thách thức) – là mô hình (hay ma trận) phân tích kinh doanh nổi tiếng cho doanh nghiệp.
Mô hình SWOT là mô hình (hay ma trận) phân tích kinh doanh nổi tiếng dành cho mọi doanh nghiệp muốn cải thiện tình hình kinh doanh bằng định hướng đúng đẵn và xây dựng những nền tảng phát triển vững chắc.
Trong đó Thế mạnh và Điểm yếu được xem là hai yếu tố nội bộ trong một doanh nghiệp. Ví dụ như danh tiếng, đặc điểm, vị trí địa lý. Gọi là yếu tố nội bộ, bởi vì đây là những yếu tố mà bạn có thể nỗ lực để thay đổi.
Còn Cơ hội và Rủi ro là hai yếu tố bên ngoài. Ví dụ như nguồn cung ứng, đối thủ, giá thị trường, vì chúng không phải những yếu tố chỉ cần muốn là có thể kiểm soát được.
Phân tích SWOT là gì?
Phân tích SWOT là yếu tố quan trọng để tạo chiến lược sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp. Về cơ bản, phân tích SWOT tức là phân tích 4 yếu tố: Strengths (Điểm mạnh), Weaknesses (Điểm yếu), Opportunities (Cơ hội), Threats (Thách thức) giúp bạn xác định mục tiêu chiến lược, hướng đi cho doanh nghiệp.
Phân tích SWOT có thể được áp dụng cho toàn bộ doanh nghiệp hoặc tổ chức hoặc các dự án riêng lẻ mà doanh nghiệp đang hay sẽ triển khai.
Nói tóm gọn, phân tích SWOT doanh nghiệp bao gồm những khía cạnh như sau:
Thế mạnh: Đặc điểm doanh nghiệp hoặc dự án đem lại lợi thế cạnh tranh so với đối thủ cạnh tranh.
Điểm yếu: Đặc điểm doanh nghiệp hoặc dự án khiến doanh nghiệp hoặc dự án yếu thế hơn so với đối thủ.
Cơ hội: Nhân tố môi trường có thể khai thác để giành được lợi thế.
Thách thức: Nhân tố môi trường có thể tác động tiêu cực đến doanh nghiệp hoặc dự án.
SWOT được áp dụng trong lĩnh vực nào?
Phân tích SWOT (hay ma trận SWOT) là kỹ thuật chiến lược được sử dụng để giúp cá nhân hay tổ chức xác định điểm mạnh, điểm yếu, cơ hội và thách thức trong cạnh tranh thương trường cũng như trong quá trình xây dựng nội dung kế hoạch cho dự án. Doanh nghiệp có thể dùng phân tích SWOT làm rõ mục tiêu đầu tư và xác định những yếu tố khách quan – chủ quan có thể ảnh hưởng đến quá trình đạt được mục tiêu đó.
Xác định SWOT cực kì quan trọng. Vì nó sẽ quyết định bước tiếp theo để đạt được mục tiêu là gì. Người lãnh đạo nên dựa vào ma trận SWOT xem mục tiêu có khả thi hay không. Nếu không thì họ cần thay đổi mục tiêu và làm lại quá trình đánh giá ma trận SWOT.
Lập kế hoạch chiến lược
Brainstorm ý tưởng
Đưa ra quyết định
Phát triển thế mạnh
Loại bỏ hoặc hạn chế điểm yếu
Giải quyết vấn đề cá nhân như vấn đề nhân viên, cơ cấu tổ chức, nguồn lực tài chính …
Hướng dẫn xây dựng mô hình SWOT
Thông thường sơ đồ SWOT được trình bày dưới dạng ma trận4 ô vuông tượng trưng cho 4 yếu tố chính. Tuy nhiên bạn cũng có thể liệt kê các ý cho từng mục dưới dạng danh sách. Cách trình bày như thế nào tùy mỗi người.
Tôi cũng đã tổng hợp một số câu hỏi dành cho mỗi phần để bạn tham khảo khi phân tích SWOT.
Thế mạnh
Yếu tố đầu tiên của phân tích SWOT là Strength, tức Điểm mạnh, bao gồm các phần được liệt kê trong ảnh sau:
Như bạn có thể đoán, yếu tố này giải quyết những điều mà doanh nghiệp đặc biệt làm tốt, chẳng hạn như môi trường làm việc tốt, hay ý tưởng bán hàng độc đáo, hay nguồn nhân lực tuyệt vời, bộ máy lãnh đạo xuất sắc,..
Hãy thử đặt câu hỏi để mở rộng yếu tố đầu tiên: Điểm mạnh, bằng cách liệt kê những câu hỏi xoay quanh thế mạnh của doanh nghiệp như sau:
Khách hàng yêu thích điều gì về doanh nghiệp hay sản phẩm của bạn?
Doanh nghiệp bạn làm gì tốt hơn các doanh nghiệp khác trong ngành như thế nào?
Đặc tính thương hiệu (brand attribute) thu hút nhất của doanh nghiệp bạn là gì?
Những ý tưởng bán hàng độc đáo mà doanh nghiệp của bạn đang ấp ủ?
Hay những tài nguyên nào chỉ bạn có mà đối thủ thì không?
Câu trả lời sẽ đem lại cái nhìn tổng thể giúp bạn xác định điểm mạnh cốt lõi của doanh nghiệp.
Đừng quên cân nhắc lợi thế từ góc nhìn cả trong cuộc lẫn khách hàng và những bạn cùng ngành. Nếu bạn gặp khó khăn thì hãy cứ viết ra những đặc điểm của công ty và có thể bạn sẽ tìm ra điểm mạnh từ những đặc điểm đó.
Ngoài ra bạn cũng cần nghĩ tới đối thủ.
Chẳng hạn nếu tất cả đối thủ khác đều cung cấp sản phẩm chất lượng cao thì dù bạn có sản phẩm tốt thì đó cũng chưa hẳn là lợi thế của bạn.
Weakness – Điểm yếu
Quá tự tin vào điểm mạnh của mình sẽ trở thành yếu điểm cho doanh nghiệp, khi doanh nghiệp không thể nhìn ra những thiếu sót cần thay đổi.
Tương tự, tôi cũng có danh sách vài câu hỏi giúp bạn tìm ra điểm yếu:
Khách hàng của bạn không thích gì về doanh nghiệp hay sản phẩm của bạn?
Những vấn đề hoặc khiếu nại thường được đề cập trong các review đánh giá về doanh nghiệp bạn là gì?
Tại sao khách hàng của bạn hủy đơn hoặc không thực hiện/không hoàn thành giao dịch?
Thuộc tính thương hiệu tiêu cực nhất đang vướng phải là gì?
Những trở ngại/thách thức lớn nhất trong kênh bán hàng hiện tại?
Những tài nguyên nào mà đối thủ có mà bạn thì không?
Đối với điểm yếu, bạn cũng phải có cái nhìn tổng quan về khách quan và chủ quan: Đối thủ có đang làm tốt hơn bạn không? Những điểm yếu người khác thấy mà bạn không nhận ra? Hãy thành thật và thẳng thắn đối diện với điểm yếu của mình.
Opportunities – Cơ hội
Tiếp theo trong các yếu tố phân tích SWOT là Opportunities – Cơ hội. Doanh nghiệp bạn có đang sở hữu một khối lượng lớn khách hàng tiềm năng được tạo ra bởi đội ngũ marketing? Đó là một cơ hội. Doanh nghiệp bạn đang phát triển một ý tưởng mới sáng tạo sẽ mở ra “đại dương” mới? Đó là một cơ hội khác nữa.
Doanh nghiệp có thể tận dụng những cơ hội đến từ:
Xu hướng trong công nghệ và thị trường
Thay đổi về mặt xã hội, dân số, lối sống …
Sự kiện địa phương
Xu hướng của khách hàng
Một số câu hỏi mà tôi gợi ý bao gồm:
Làm thế nào để có thể cải thiện quy trình bán hàng/hỗ trợ khách hàng hiện có hay hỗ trợ khách hàng tiềm năng?
Những kiểu truyền thông nào sẽ thúc đẩy chuyển đổi khách hàng?
Phương pháp tối ưu quy trình làm việc liên phòng ban hiệu quả hơn là gì?
Có ngân sách, công cụ hoặc tài nguyên nào khác mà doanh nghiệp chưa tận dụng hết mức hay không?
Mẹo nhỏ
Giải pháp tốt nhất là nhìn vào thế mạnh và tự hỏi những thế mạnh này có thể mở ra bất cứ cơ hội nào không. Ngoài ra, xem xét những điểm yếu và tự hỏi sau khi khắc phục và hạn chế những điểm này, bạn có thể tạo ra cơ hội mới nào không?
Nói tóm lại, yếu tố phân tích SWOT này bao gồm mọi thứ bạn có thể làm để cải thiện doanh số, hoặc thúc đẩy sứ mệnh doanh nghiệp mình.
Threats – Rủi ro
Yếu tố cuối cùng của phân tích SWOT là Threats – Thách thức, Rủi ro hoặc các mối đe dọa, có nhiều tên gọi dành cho Threat, nhưng chung quy là mọi thứ có thể gây rủi ro đến khả năng thành công hoặc tăng trưởng của doanh nghiệp.
Rủi ro này có thể bao gồm những yếu tố như đối thủ cạnh tranh mới nổi, thay đổi về luật pháp, rủi ro trong xoay chuyển tài chính và hầu như mọi thứ khác có khả năng tác động tiêu cực cho tương lai của doanh nghiệp hay kế hoạch kinh doanh.
Dù vậy, tất nhiên sẽ có nhiều Thách thức hay Rủi ro tiềm tàng mà doanh nghiệp phải đối mặt, mà không thể lường trước được, như thay đổi môi trường pháp lý, biến động thị trường, hoặc thậm chí các Rủi ro nội bộ như lương thưởng bất hợp lý gây cản trở sự phát triển của doanh nghiệp.
Mẹo
Khi đánh giá cơ hội và thách thức, hãy sử dụng Phân tích PEST – Phân tích toàn cảnh môi trường kinh doanh dựa trên Chính trị (P), Kinh tế (E), Xã hội (S), Công nghệ (T) – để chắc rằng bạn không bỏ qua những yếu tố bên ngoài như quy định mới của nhà nước hay thay đổi công nghệ trong ngành.
À quên! Nếu bạn chưa biết Phân tích PEST là gì?
Phân tích PEST là gì?
Phân tích PEST – Phân tích toàn cảnh môi trường kinh doanh dựa trên Chính trị (P), Kinh tế (E), Xã hội (S), Công nghệ (T).
Mở rộng mô hình SWOT thành ma trận
Mô hình SWOT có thể được mở rộng bằng cách đặt những câu hỏi phù hợp.
Đây là kỹ thuật nâng cao nhằm thiết lập cơ sở nền tảng để loại bỏ những yếu tố trở ngại và kích thích những điểm có lợi.
SO (maxi-maxi) nhằm tận dụng tối đa lợi thế để tạo ra cơ hội.
WO (mini-maxi) muốn khắc phục điểm yếu để phát huy thế mạnh.
ST (maxi-mini) sử dụng thế mạnh để loại bỏ nguy cơ.
WT (mini-mini) giải quyết mọi giả định tiêu cực và tập trung giảm thiểu nhằm hạn chế những rủi ro và ảnh hưởng tiêu cực.
Cách phân tích và lập chiến lược SWOT chi tiết
Để minh họa cách thức triển khai, tôi sẽ ví dụ phân tích SWOT dành cho một quán cà phê tạm tên là The Cafe Home. Đây là Bảng SWOT tôi làm cho quán cà phê này.
Dựa vào bảng SWOT trên, chúng ta có thể bắt đầu thực hiện phân tích SWOT và đưa ra các chiến lược phát triển doanh nghiệp ngay sau đây.
Thiết lập Ma trận SWOT
Trình bày phân tích SWOT dưới dạng ma trận giúp bạn dễ dàng lập chiến lược theo từng yếu tố. Trước hết, tôi sẽ chuyển bảng yếu tố SWOT ở trên thành ma trận trước.
Như bạn có thể thấy, trình bày theo kiểu ma trận này cho phép chúng ta dễ dàng xác định 4 yếu tố phân tích khác nhau.
Vậy, sau các công đoạn liệt kê và ‘xếp hình’ như trên, đây là lúc để bạn thiết lập chiến lược cho doanh nghiệp dựa trên các yếu tố SWOT, đảm bảo:
Phát triển điểm mạnh
Cải thiện điểm yếu
Tận dụng cơ hội
Hạn chế rủi ro
Mà lý tưởng nhất theo tôi nghiên cứu, thì chiến lược có thể kết hợp ưu điểm với nhược điểm, và chuyển yếu thành mạnh là kiểu chiến lược lý tưởng nhất!
Phát triển Điểm mạnh
Đối với The Cafe Home (tưởng tượng) của tôi, thế mạnh mà tôi có bao gồm:
Vị trí kinh doanh tốt
Cơ sở vật chất tốt
Thương hiệu doanh nghiệp tốt
Thực đơn đa dạng, đặc sắc theo mùa
Giá cả được khách hàng đánh giá tương xứng chất lượng
Kết hợp với các cơ hội:
Nhu cầu khách hàng ngày càng tăng
Thực đơn mới mẻ, sáng tạo được yêu thích
Tiềm năng phát triển qua ứng dụng giao hàng
Kết hợp như thế nào, bạn cần nghiên cứu các chiến lược kinh doanh phù hợp với Ưu điểm hiện tại. Hãy đánh giá xem, bạn có những ưu điểm nào và cơ hội nào có thể giúp đẩy mạnh ưu điểm đấy.
Chiến lược này có thể đồng thời giải quyết được W3 – diện tích các chi nhánh còn nhỏ chật. Bên cạnh đó, việc mở thêm chi nhánh còn củng cố thêm thế mạnh thương hiệu. Để đảm bảo thu hút được khách hàng cho chi nhánh mới, cần các chương trình khai trương/ưu đãi phù hợp.
Tương tự, chúng ta có Chiến lược Phát triển sản phẩm dựa vào S(4,5) và O(1,2) để sáng tạo menu thức uống signature hấp dẫn.
Đối lập với ưu điểm, doanh nghiệp còn cần những chiến lược giúp hạn chế hay loại bỏ yếu điểm không thể bỏ qua.
Chuyển hóa Rủi ro
Đối với lựa chọn phát triển điểm mạnh, hạn chế nguy cơ S-T, tôi có chiến lược như sau cho The Cafe Home.
Về cơ bản, phát huy thế mạnh là chiến lược tôn chỉ với mọi doanh nghiệp. Nhưng cách phát huy vừa tận dụng được cơ hội để “boost up” thế mạnh và cắt giảm rủi ro càng nhiều càng tốt mới là chuyện khó.
Không phải rủi ro nào cũng có thể lường trước được. Ví dụ như Đại dịch Covid vừa qua, đó là một rủi ro rất lớn mà không doanh nghiệp nào có thể biết trước để phòng tránh. Nhưng cải thiện các rủi ro gốc rễ, xây nền móng vững mạnh sẽ giúp doanh nghiệp bạn có thể đứng vững trước những biến động lớn tương tự đại dịch vừa rồi.
Tận dụng Cơ hội
Việc cải thiện doanh nghiệp dựa trên những điểm yếu được xác định trong phân tích SWOT sẽ phức tạp hơn một chút, là vì bạn cần phải thành thật với chính mình về những điểm yếu mà doanh nghiệp đang mắc phải ngay từ đầu, thời điểm liệt kê các yếu tố SWOT.
Tôi sẽ không đi quá chi tiết vào cách kết hợp chiến lược nữa, thay vào đó là đưa bạn các bảng chiến lược tôi đề xuất cho The Cafe Home giúp bạn dễ hình dung hơn. Tuyệt đối đừng dựa hoàn toàn vào những chiến lược tôi đề ra trong ví dụ này, vì tôi chỉ đang làm một ví dụ nhanh mà thôi. Và kiến thức về chiến lược kinh doanh sẽ cần bạn phải tự tìm tòi nghiên cứu nhiều.
Chiến lược W-O: Chiến lược Thâm nhập thị trường: lựa chọn ứng dụng giao hàng để mở rộng đối tượng khách hàng tiềm năng đặt món trực tuyến đồng thời phát triển thương hiệu nhờ vào kết hợp với ứng dụng uy tín được yêu thích, tiết kiệm chi phí marketing, giải quyết vấn đề diện tích quán nhỏ mà không cần mở thêm chi nhánh mới gấp.
Bên cạnh đó, không thể bỏ qua sự kết hợp đặc sắc nhất, làm tiền đề nghiên cứu chiến lược loại bỏ yếu điểm hiệu quả: W-T.
Loại bỏ các Mối đe dọa
Tại sao cùng là Threat nhưng ở trên tôi gọi là Rủi ro, còn bây giờ lại là Mối đe dọa? Vì rủi ro đi cùng Thế mạnh thì chỉ là Rủi ro, nhưng kết hợp cùng Yếu điểm sẽ là Mối đe dọa thực sự cho một doanh nghiệp, mức độ ảnh hưởng hoàn toàn khác biệt.
Dự đoán và giảm thiểu càng nhiều càng tốt sự ảnh hưởng của các Mối đe dọa trong phân tích SWOT có thể là thử thách khó khăn nhất mà bạn phải đối mặt, chủ yếu vì các Mối đe dọa thường là các yếu tố bên ngoài; có rất nhiều bạn có thể làm để giảm thiểu thiệt hại tiềm tàng của các yếu tố ngoài tầm kiểm soát của doanh nghiệp.
Thế nhưng việc đối phó và theo dõi các Mối đe dọa phải là một trong những ưu tiên hàng đầu của doanh nghiệp, bất kể khả năng kiểm soát của bạn đối với các Mối đe dọa ra sao.
Như tôi đã nói ở W-O, bạn sẽ không thể giải quyết triệt để vấn đề nếu bạn né tránh chúng. Vì vậy, hãy thành thật. Dù danh sách Yếu điểm và Rủi ro có dài gấp mấy lần những lợi thế doanh nghiệp đang có, hãy cứ thành thật liệt kê ra hết.
Mỗi điểm yếu, mỗi mối đe dọa khác nhau sẽ cần chiến lược xử lý khác nhau.
Trong ví dụ trên, cả 4 Mối đe dọa đều đặc biệt thách thức:
Tỷ lệ cạnh tranh tăng cao
Đối thủ lớn mạnh nhiều
Xu hướng trong ngành thay đổi liên tục
Chi phí nguyên vật liệu không ổn định
Trong một vài phân tích SWOT, giữa các Yếu điểm và Mối đe dọa sẽ có giao điểm.
Ví dụ như với The Cafe Home, S1: chi phí cao so với đối thủ và T4: chi phí nguyên vật liệu không ổn định cho ta thấy giao điểm chi phí cần được quan tâm nhiều.
Khi tổng hợp kết quả phân tích SWOT, hãy tập trung tìm kiếm các điểm giao như trên và xem xét liệu bạn có thể xử lí Yếu điểm lẫn Mối đe dọa cùng lúc không.
Sau cùng, bạn sẽ có bảng tổng hợp các chiến lược SWOT dành riêng cho doanh nghiệp mình:
Vậy làm cách nào để lựa chọn chiến lược nên triển khai?
Bạn có thể thử áp dụng Ma trận Eisenhower. Về cơ bản, ma trận Eisenhower được xây dựng dựa trên 2 câu hỏi:
Việc này có quan trọng không?
Việc này có gấp không?
Từ đó đưa ra đánh cho cho công việc cần triển khai, gồm 4 loại theo thứ tự ưu tiên như sau:
Quan trọng và khẩn cấp
Quan trọng nhưng không khẩn cấp
Không quan trọng nhưng khẩn cấp
Không quan trọng và cũng không khẩn cấp.
Ma trận này được sáng tạo bởi tổng thống thứ 34 của nước Mỹ, ngài Eisenhower, được ứng dụng rất rộng rãi trong quản lý thời gian, quản lý công việc cực hiệu quả.
Áp dụng phương thức Eisenhower, bạn sẽ lựa chọn được chiến lược ưu tiên triển khai trước. Hơn nữa, các chiến lược có giao điểm với nhau có thể kết hợp cùng triển khai để tối ưu thời gian và nguồn nhân lực.
Nguồn gốc hình thành ma trận SWOT
Qua nhiều năm, phương pháp phân tích ma trận SWOT đã được đón nhận và biết đến rộng rãi. Nhiều người cho rằng khái niệm này được hình thành bởi cố vấn quản lý người Mỹ Albert Humphrey.
Trong khi đang làm dự án nghiên cứu tại Đại học Stanford, khoảng thời gian 1960-1970, Albert Humphrey đã phát triển công cụ phân tích để đánh giá kế hoạch chiến lược. Đồng thời công cụ này còn nhận thấy lý do tại sao kế hoạch của các doanh nghiệp lại gặp thất bại. Ông đặt tên cho kỹ thuật phân tích dữ liệu này là SOFT – 4 chữ cái đầu tiên của:
S = Satisfactory, điểm hài lòng ở thời điểm hiện tại
O = Opportunities, cơ hội có thể khai thác trong tương lai
F = Faults, sai lầm ở thời điểm hiện tại
T = Threats, thách thức có thể gặp phải trong tương lai
Ai nên thực hiện phân tích SWOT?
Tầng lớp lãnh đạo và đứng đầu công ty nên chủ động dùng mô hình phân tích SWOT. GTV – Một agency SEO cũng thường xuyên áp dụng mô hình SWOT theo định kỳ hàng quý/ năm để hiểu rõ doanh nghiệp và xây dựng chiến lược phát triển phù hợp.
Tuy nhiên quá trình phân tích mô hình SWOT không thể tiến hành một mình.
Để đạt được kết quả khách quan và toàn diện nhất, SWOT nên được triển khai bởi một nhóm người với nhiều góc nhìn và quan điểm khác nhau.
Quản lý, sales, dịch vụ chăm sóc khách hàng và thậm chí là bản thân khách hàng cũng có thể đóng góp vào quá trình này. SWOT giúp gắn kết đội nhóm và khuyến khích đội ngũ nhân viên tham gia lập kế hoạch, xây dựng chiến lược kinh doanh cho công ty.
Nếu bạn đang tự điều hành doanh nghiệp cũng đừng nên quá lo lắng. Bạn vẫn có thể tham khảo ý kiến từ bạn bè, những người biết về doanh nghiệp của bạn, kế toán hay thậm chí là nhà cung cấp. Quan trọng là có thể tập hợp nhiều góc nhìn khác nhau.
Doanh nghiệp có thể dùng SWOT để làm cơ sở đánh giá tình hình hiện tại và xác định chiến lược sắp tới một cách hiệu quả và phù hợp hơn. Nhưng mọi chuyện luôn thay đổi. Bạn cần liên tục đánh giá lại chiến thuật và triển khai ma trận SWOT mới 6-12 tháng một lần.
Đối với startup, việc phân tích SWOT là một phần trong quy trình xây dựng kế hoạch doanh nghiệp, từ đó giúp hệ thống hóa chiến lược để có khởi đầu tốt và nắm rõ định hướng trong tương lai.
Ví dụ SWOT của Starbucks & Nike
Starbuck
Thế mạnh
Starbuck là tập đoàn sinh lời lên đến $600 triệu vào năm 2004
Là thương hiệu cà phê toàn cầu nổi tiếng với chất lượng sản phẩm và dịch vụ
Lọt top 100 nơi đáng làm việc nhất, tôn trọng nhân viên
Doanh nghiệp mang tôn chỉ và sứ mệnh giàu tính đạo đức
Hiểu được thị hiếu và xu hướng của khách hàng
Điểm yếu
Nổi tiếng mát tay trong phát triển sản phẩm mới và tính sáng tạo. Tuy nhiên khả năng cải tiến của họ sẽ có lúc thất bại rất dễ xảy ra.
Có mặt khắp nước Mỹ nhưng cần đầu tư ở các quốc gia khác để phân tán rủi ro trong hoạt động kinh doanh.
Chủ yếu dựa trên lợi thế cạnh tranh là bán lẻ cà phê nên chậm lấn sang các lĩnh vực khác để tăng trưởng.
Cơ hội
Starbuck rất giỏi nắm bắt các cơ hội
Năm 2004, công ty hợp tác với tập đoàn công nghệ thông tin Hewlett Packard mở dịch vụ CD-burning tại cửa hàng Santa Monica (California Mỹ) để khách hàng có thể tự tay tạo CD âm nhạc của riêng họ
Sản phẩm và dịch vụ mới có thể được bán lẻ tại các cửa hàng cà phê chẳng hạn sản phẩm theo tiêu chuẩn Fair Trade
Có cơ hội mở rộng thị trường ra quốc tế, tại các thị trường cà phê mới như Ấn Độ và vành đai Thái Bình Dương
Có tiềm năng đồng thương hiệu với các nhà sản xuất thực phẩm và đồ uống khác, cũng như nhượng thương hiệu cho các nhà kinh doanh hàng hóa và dịch vụ.
Thách thức
Liệu thị trường cà phê tiếp tục lên ngôi hay sẽ bị thay thế bởi thói quen uống thức uống khác trong tương lai?
Nguy cơ tăng giá cà phê và sản phẩm từ sữa
Kể từ khi ra mắt tại Chợ Pike Place, Seattle năm 1971, thành công của Starbuck đã tạo ra phong cách mới cho nhiều đối thủ và bị nhiều sao chép, dẫn đến nhiều nguy cơ tiềm tàng.
Thách thức từ đối thủ cạnh tranh
Nike
Sức mạnh
Nike là công ty có sức cạnh tranh mạnh trong thị trường
Và Nike không có xưởng sản xuất nên không có gánh nặng về địa điểm và nhân công. Nike hướng đến lean organization – doanh nghiệp tạo ra nhiều giá trị cho khách hàng với nguồn tài nguyên ít nhất)
Mạnh về nghiên cứu và phát triển nắm bắt xu hướng của khách hàng
Là thương hiệu quốc tế
Điểm yếu
Điểm yếu kém của Nike là sản phẩm thể thao chưa phong phú. Phần lớn thu nhập dựa trên thị phần mặt hàng giàu nên dễ bị lung lay nếu thị phần này giảm.
Lĩnh vực bán lẻ rất nhạy cảm với giá cả. Nike có các cửa hàng bán lẻ riêng với tên Niketown. Tuy nhiên, phần lớn doanh thu và lợi nhuận lại đến từ bán cho các nhà bán lẻ khác.
Cơ hội
Phát triển sản phẩm mang lại cho Nike nhiều cơ hội. Chủ thương hiệu tin rằng Nike không phải là một thương hiệu thời trang. Nhưng dù muốn hay không thì người mua Nike không hẳn mang giày này chơi thể thao. Mà xem đó như phong cách thời thượng. Điều đó tạo ra cơ hội vì sản phẩm dù chưa hư vẫn bị lỗi thời. Nên khách hàng sẽ mua tiếp sản phẩm mới.
Có thể phát triển sản phẩm theo hướng thời trang thể thao, kính mát và trang sức. Càng có nhiều phụ kiện giá trị cao bán kèm với giày càng thu về nhiều lợi nhuận.
Doanh nghiệp cũng có thể phát triển ra quốc tế, dựa trên sự nhận diện thương hiệu toàn cầu. Nhiều thị trường có thu nhập cao chi trả cho sản phẩm thể thao đắt tiền như Trung Quốc hay Ấn Độ ngày càng có nhiều thế hệ người trẻ chịu chi tiền.
Thách thức
Nike cũng bị ảnh hưởng bởi bản chất của thị trường quốc tế. Giá mua bán chênh lệch theo nhiều đơn vị tiền tệ khác nhau nên chi phí và lợi nhuận không ổn định theo thời gian. Tình trạng này có thể khiến Nike sản xuất hoặc bán lỗ. Đây là vấn đề chung của các thương hiệu quốc tế.
Thị trường quần áo, giày dép cực kỳ cạnh tranh.
Như đã đề cập ở trên, lĩnh vực bán lẻ cực kì nhạy cảm về giá. Nên khách hàng có thể lựa chọn nhà cung cấp giá rẻ hơn.
Những đối thủ cạnh tranh luôn là điều mà công ty luôn chú ý đến.
Kết luận
Có thể việc nghiên cứu các chiến lược kinh doanh sẽ hơi tốn thời gian và công sức, nhưng tin tôi đi, mọi việc đều có cái giá của nó, có lượng kiến thức đầy đủ thì không bao giờ là thừa.
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về phân tích SWOT là gì (hay swot analysis là gì) và cách thực hiện mô hình SWOT đúng chuẩn.
How to Do a SWOT Analysis for Your Small Business (with Examples) – WordStream
How to Do a SWOT Analysis for Better Strategic Planning – Bplans
Section 14. SWOT Analysis: Strengths, Weaknesses, Opportunities, and Threats – Community Tool Box
Đọc tiếp:
Website bạn có ở trên trang 1 chứ? Hay là đối thủ của bạn?Đừng nhượng bộ, hãy đánh bại đối thủ của bạn trên Google cùng Công ty TOP #1 tại Việt Nam bên cạnh đó là dịch vụ SEO HCM với bảng giá dịch vụ SEO phù hợp nhất cho từng doanh nghiệp!
Tải Về Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Sách Miễn Phí Pdf * Thư Viện Sách Hướng Dẫn
Định dạng PDF là gì? Đây là một định dạng tài liệu đề cập đến tài liệu điện tử Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF và các loại sau. Đây là định dạng tập tin phổ quát được phát triển bởi Adobe, và tất cả các phông chữ, định dạng, đồ hoạ và màu sắc của tài liệu nguồn được bảo toàn cho dù ứng dụng hoặc nền tảng được sử dụng để tạo ra chúng. Trong những năm đầu, chúng tôi công bố tài liệu trên máy tính để bàn sử dụng Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Định dạng PDF và trao đổi tài liệu giữa các chương trình khác nhau và hệ điều hành. Do sự độc lập nền tảng, nó lan truyền trên Internet như một phương tiện trao đổi tài liệu. Điều này đã làm tăng việc thực hiện công nghiệp phần mềm và chiếm vị trí thống lĩnh như là một dạng tài liệu được cấy ghép. Để hiển thị sách bằng PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy định dạng, phần mềm đặc biệt cần thiết tại thời điểm hiện tại là cần thiết. Tuy nhiên, Adobe cung cấp cho Acrobat Reader, bạn có thể tải xuống miễn phí và xem cuốn sách rõ ràng. Ngoài ra, hầu hết các trình duyệt đều có plugin để hiển thị Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Tập tin PDF. Tạo tài liệu PDF bằng PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy thường là một hoạt động rất đơn giản, tùy thuộc vào gói phần mềm bạn sử dụng, nhưng chúng tôi khuyên bạn nên Adobe. Các phần mềm khác sẽ giúp bạn mở PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy sẽ bao gồm LibreOffice và Wordperfect (phiên bản 9 trở lên). Nếu bạn chuyển đổi một tài liệu hiện có sang PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy hoặc chuyển đổi tài liệu PDF sang định dạng tập tin khác, bạn có thể chuyển đổi tài liệu sang PDF. Nhiều nhà phát triển cung cấp phần mềm chuyển đổi PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy để định dạng khác nhau, nhưng tôi khuyên bạn nên nó để Adobe. Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý MáyCuốn sách gồm 13 chương, bao gồm các bài tập đã giải sẵn và một số bài tập tương ứng để sinh viên tự giải. Các bài tập đã giải sẵn mang tính chất định hướng theo trình tổng quát đơn thuần đến phức tạp mang tính chất thiết kế. Cuốn sách có thêm phần đề tài bài tổng hợp để thực hiện bài tập lớn của môn học, mục đích để người học thấy được sự liên hệ, đặc điểm làm việc và sự truyền tải của các khâu, các chi tiết trong máy khi chuyển động. Bài tập tổng hợp này có tính chất ôn lại và tổng hợp các phần đã học để có thể tính toán, thiết kế các cơ cấu của một máy cụ thể với những yêu cầu đã cho.Các bài tập có thể giải bằng phương pháp giải tích với sự hỗ trợ của máy tính, đồng thời qua đó ứng dụng máy tính để tổng hợp các bài tập lớn và thực hiện các bản vẽ một cách nhanh chóng và chính xác Xem Thêm Nội Dung Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF đại diện cho định dạng của tài liệu sẽ được chuyển. Trong trường hợp này, định dạng sách điện tử được sử dụng để hiển thị các tài liệu dưới dạng điện tử, bất kể phần mềm, phần cứng hoặc hệ điều hành, được xuất bản dưới dạng sách (Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF). Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Định dạng PDF được phát triển bởi Adobe Systems như là một định dạng tương thích phổ quát dựa trên PostScript bây giờ Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Sách PDF. Điều này sau đó đã trở thành một tiêu chuẩn quốc tế về trao đổi tài liệu và thông tin dưới dạng PDF. Adobe từ chối kiểm soát việc phát triển tệp PDF trong ISO (Tổ chức Tiêu chuẩn hoá Quốc tế) và sách Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF trong năm 2008, nhưng PDF đã trở thành một “tiêu chuẩn mở” của nhiều sách. Các đặc điểm kỹ thuật của phiên bản hiện tại của PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy (1.7) được mô tả trong ISO 32000. Ngoài ra, ISO sẽ chịu trách nhiệm cập nhật và phát triển các phiên bản trong tương lai (Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF 2.0, tuân thủ ISO 3200-2, sẽ được công bố vào năm 2015). Vui lòng tải xuống Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF sang trang của chúng tôi miễn phí.
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy chi tiết
Tác giả: ThS. Trần Ngọc Nhuần
Nhà xuất bản: Nhà Xuất Bản Khoa học & kỹ thuật
Ngày xuất bản:
Che: Bìa mềm
Ngôn ngữ:
ISBN-10: 2442591421396
ISBN-13:
Kích thước: 16 x 24 cm
Cân nặng:
Trang:
Loạt:
Cấp:
Tuổi tác:
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Bởi Pdf tải torrent miễn phí
Bạn đang xem bài viết Sách Hướng Dẫn Học Tập Giải Tích 2 trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!