Cập nhật thông tin chi tiết về Tích Phân Suy Rộng (Improper Integrals) mới nhất trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T
Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):
Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).
Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng là hội tụ ( integral is convergent)
Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ ( integral is divergent).
Ví dụ: là hội tụ; là phân kỳ.
Thật vậy ta có:
1.
2. .
Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:
Ta có: (*)
– Trước tiên, Tính tích phân:
Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:
Thế vào (*) ta có:
(do )
Vậy: I hội tụ và
Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:
Nếu thì tích phân hội tụ.
Nếu thì tích phân phân kỳ.
Ta có:
Vậy chuỗi hội tụ.
Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.
Vậy chuỗi phân kỳ.
Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:
Nếu hội tụ thì tích phân hội tụ
Nếu phân kỳ thì tích phân phân kỳ.
Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).
Nếu thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
– Để xét sự hội tụ của tích phân , ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.
Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).
.
Rõ ràng: hàm là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc .
Khi : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.
Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:
Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân phân kỳ).
. $latex $
Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:
Khi
Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Vậy tích phân I3 hội tụ.
. $latex $
Khi ta có:
Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi , còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.
Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:
– Do xác định và liên tục trên [0;1] nên là tích phân xác định nên hội tụ.
– nên hội tụ.
Vậy tích phân I4 hội tụ.
Đôi lời
Tính Chất Khả Vi Được Suy Ra Từ Tính Khả Tích
Khi học về dãy hàm hay tích phân phụ thuộc tham số ta quan tâm đến:
– tính liên tục,
– tính khả tích,
– tích khả vi
Ta bắt đầu với dãy hàm là các hàm khả vi. Trước hết ta quan sát một số ví dụ để thấy nếu dãy hàm hội tụ đều đến hàm trong thì hàm giới hạn chưa chắc khả vi.
VD 1: Xuất phát từ hàm không khả vi
Ta làm nhiễu đồ thị của hàm này một chút bằng cách
Không khó tính toán
nên dãy là
– dãy gồm các hàm khả vi trên
– hội tụ đều, trên đến hàm không khả vi
Trong ví dụ này chỉ có một điểm không khả vi. Liệu giới hạn đều của dãy hàm khả vi vẫn có thể khả vi đâu đó không?
VD2: Hàm Weierstrass
– không khả vi tại bất kỳ điểm nào trong
– là giới hạn đều của dãy các đa thức lượng giác
là các hàm khả vi vô hạn.
Một cách tổng quát, Weierstrass đã chỉ ra:
Với bất kỳ hàm liên tục đều có dãy các đa thức hội tụ đều đến trên
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
Khi S. N. Bernstein còn chỉ ra cụ thể dãy các đa thức Bernstein
với là đơn thức Bernstein.
Chi tiết các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial
Cũng trường hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ được hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ Khi đó L. Fejer chỉ ra dãy các đa thức
với hệ số Fourier
Vậy điều kiện gì đảm bảo hàm giới hạn khả vi?
Một trong các điều kiện cần:
– dãy các đạo hàm hội tụ đều trong ,
– bản thân dãy hàm đã cho chỉ cần hội tụ tại một điểm
Do tính khả vi có tính chất địa phương nên ta có thể tinh chỉnh một chút: cố định
– bản thân dãy hàm hội tụ tại ,
– có đủ nhỏ để và dãy đạo hàm hội tụ đều đến hàm trong
Khi đó hội tụ đến trong . Hơn nữa khả vi trên và
trong
Ta sẽ sử dụng kết quả về tính khả tích của dãy hàm khả tích hội tụ đều để chứng minh kết quả trên. Muốn vậy ta cần tăng giả thiết, cụ thể liên tục trên Khi đó dãy nguyên hàm
hội tụ trên đến Lại có
và dãy hội tụ, ký hiệu giới hạn này Khi đó dãy hội tụ trong đến Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Giả thiết về tính liên tục là đòi hỏi khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không cần đến giả thiết này. Có khá nhiều ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm không khả tích Riemann. Ví dụ là hàm khả vi trong có đạo hàm
là hàm không bị chặn trong nên không khả tích trong đó.
Ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm bị chặn và không khả tích Riemann, được Volterra lần đầu tiên đưa ra. Ví dụ này được xây dựng khá phức tạp. Các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
Ví dụ đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Ví dụ này có nhiều nét giống ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Các bạn tham khảo
Trường hợp có đạo hàm là hàm khả tích Riemann trên thì nó có tập các điểm gián đoạn có độ đo không. Khi đó
khả vi hầu khắp nơi và hầu khắp nơi. Hơn nữa
trên
Một cách tổng quát, nếu một hàm liên tục tuyệt đối địa phương thì
– nó khả vi hầu khắp nơi, có đạo hàm khả tích Lebesgue địa phương trong ,
– và
Các bạn thử dùng kết quả này để đưa ra các kết quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.
Ta chuyển sang tích phân phụ thuộc tham số cận hữu hạn
với
+ khả tích trên theo với mỗi cố định,
+ có đạo hàm riêng theo với mỗi cố định.
Câu hỏi:
+ có khả vi trong không?
+ Nếu có thì liệu
có đúng không?
VD3: Xét hàm xác định bởi
có
và
không khả vi tại
VD4: Xét Xét hàm xác định bởi
có
và
có đạo hàm
nên
Vậy điều kiện gì để không xảy ra những điều như các ví dụ trên?
Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đòi hỏi thêm
là hàm liên tục trên
Cũng giống dãy hàm, tính khả vi mang tính địa phương nên tinh chỉnh: cố định
Giả sử có để và
là hàm liên tục trên
Khi đó khả vi trong và
Để chứng minh ta dùng tính khả tích của , cụ thể
.
Ngoài ra, chú ý tính liên tục của
và
ta có
là nguyên hàm của
và
.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ cần đạo hàm riêng bị chặn là đủ. Các bạn tham khảo
http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral
Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đưa ra việc sử dụng tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số để chứng minh tính khả tích. Ở đó ta cần tính liên tục của trên Sau khi học tích phân bội ta sẽ thấy điều kiện liên tục mạnh so với tính khả tích. Thực sự ta chỉ cần tính khả tích để chứng minh tính khả tích. Kết quả mạnh về điều này các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem
Tích Phân Hàm Phân Thức Luyện Thi Đại Học
Published on
Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học
1. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨCI. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức Có dạng x m (a bx n ) p dx với a, b R , m, n, p Q, n, p 0 Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1Cụ thể xét bộ ba số p; ; p n nTH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n m 1 s pTH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n n rĐặc biệt r- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n s r- Nếu p Z và p 2,3,… ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3 sTPTP hai lần, … m 1 s a bx nTH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr n r xnBài tập giải mẫu:TH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 dxBài 1: Tính tích phân sau I 1 x 1 x Giải: 4 1 4 1 dx 1Ta có I x 1 x 2 dx 1 x 1 x 1 1Nhận xét: m 1, n , p 1 Z q 2 2Cách 1: x t2Đặt x t dx 2tdt 1
2. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 4 t 2Đổi cận x 1 t 1 2 2 2 t dt 1 1 2 4Khi đó I 2 2 dt 2 2 2 ln t ln 1 t 2 ln 1 1 t 1 t t 1 t 1 t 1 t 1 3Cách 2: x t 1 2 Đặt 1 x t dx 2 t 1 dt x 4 t 3Đổi cận x 1 t 2 2 t 1 dt 3 dt 3 1 1 3 4Khi đó I 2 2 2 2 dt 2 ln t 1 ln t 2ln 2 2 t 1 t t 1 t 2 t 1 t 2 3 m 1 s pTH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n n rĐặc biệt r- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n s r- Nếu p Z và p 2,3,… ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3 sTPTP hai lần, … 1Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I x 3 1 x 2 dx 0Giải: 1 1Phân tích I x 3 1 x 2 dx x 2 1 x 2 .xdx 0 0 1 m 1Nhận xét: m 3, n 2, p 2 2 nCách 1: x2 1 t 2Đặt t 1 x 2 xdx tdt x 1 t 0Đổi cận x 0 t 1 0 1 1 1 1 1 2Khi đó I t 1 t 2 2 dt t 1 t dt t 2 2 2 t 4 dt t 3 t 5 3 5 0 15 1 0 0Cách 2: 2
3. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x2 1 t 2Đặt t 1 x dt xdx 2 x 1 t0Đổi cận x 0 t 1 1 0 1 1 1 1 1 3 3 3 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2Khi đó I t 1 t dt t 1 t dt t t dt t t 2 21 20 2 0 23 3 15 0Cách 4:Đặt x cos t dx sin tdt 2 2Khi đó I sin 2 t cos 3 tdt sin 2 t 1 sin 2 t cos tdt 0 0Cách 4.1.Đặt sin t u cos tdt duKhi đó 1 1 u 3 u5 1 2I u 2 (1 u 2 )du u 2 u 4 du 0 0 3 5 0 15Cách 4.2. 2 2 sin 3 t sin 5 t 2 2 I sin t 1 sin t d sin t 2 2 4 sin t sin t d sin t 2 . 0 0 3 5 0 15Cách 4.3. 12 1 2 1 cos 4t 12 12I sin 2 2t costdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt 40 40 2 80 80Cách 5: 1 1 1 1 I x2 1 x 2 d 1 x 2 1 x2 1 1 x 2 d 1 x 2 20 20 1 3 1 1 1 1 20 1 x2 d 1 x 1 x2 20 2 2 d 1 x 2 2 dtCách 3: Đặt t x 2 xdx 2 7 x 3 dxBài 3: Tính tích phân I 3 0 x2 1Giải : x2 t 3 1 3 2Cách 1: Đặt t x 1 3 2 xdx t dt 2 3
4. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 7 t 2Đổi cận x 0 t 1 3 t 1 .t dt 3 7 2 3 2 2 x 2 .xdx 3 t 5 t 2 2 93Khi đó I t t dt 4 0 3 x2 1 2 1 t 21 2 5 2 1 10Cách 2: x2 t 1 Đặt t x 2 1 dt xdx 2 x 7 t 8Đổi cận x 0 t 1 1 t 1 dt 1 3 3 8 8 2 1 5 2 13 3 3 3 8Khi đó I 1 t t dt t t 21 3 2 1 25 2 1 t 2 x3 xCách 3: Phân tích x 3 x x 2 1 x x x 2 1 3 3 2 3 2 x 1 x 1Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u x 2 du 2 xdx 1 d x 1 2Đặt x 3 3 dv dx v x 2 1 2 3 2 x 1 2 3 x2 1 4 4 dxBài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I x 7 x2 9Giải:Phân tích 4 4 1 dx x x 9 dx 1 2I x 2 7 x2 9 7 1 m 1Nhận xét: m 1, n 2, p 0 2 n x2 t 2 9Đặt t x 2 9 xdx tdt x 4 t 5Đổi cận x 7 t 4 4 5 5 xdx tdt dt 1 t 3 5 1 7Khi đó I x 2 ln ln 7 2 x2 9 4 t (t 2 9) 4 t 9 6 t 3 4 6 4Cách 2: 4
6. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vnCách 2: x t 1Đặt t x 1 dx dt x 2 t 3Đổi cận x 0 t 1Khi đó 3 3 t 4 t 3 3 34I t 1 t dt t 3 t 2 dt 2 1 1 4 3 1 3Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 2Ta có x x 1 x x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 2 x 4 2 x 3 x 2 2 34Khi đó I x3 2 x 2 x dx 0 4 3 2 0 3Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 2 3 2Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 4 3 2 3 2 2 2 3 2 2 x 1 x 1 34Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x 1 x 1 d x 1 0 0 0 0 4 3 3 m 1 s a bx nTH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr n r xn 2 dxBài 7: Tính tích phân sau I 1 x 4 1 x2Giải: 1 m 1 x2 1 2Nhận xét: m 2; n 2; p p 2 Z nên đặt t 2 n x2 2 1 x t2 1 1 x2 Đặt 2 t2 tdt x xdx 2 t 2 1 5 x 2 t Đổi cận 2 x 1 t 2 Ta có 5 3 2I 2 dx 2 dx 2 t 2 1 tdt 2 t3 t 1 dt t 2 7 5 8 2 t . 2 5 1 x4 1 x2 1 x6 1 1 2 t 2 1 5 3 24 2 x2 2 6
7. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 1Bài 8: Tính tích phân sau: I 1 x x 3 3 dx . 1 x4 3HD: 1 1 1 1 1 3 1Ta có I 2 1 . 3 dx x 3 1 x 2 3 dx 1 x x 1 3 3 1 m 1Nhận xét: m 3, n 2, p 1 Z 3 n 1 dt dxĐặt t 2 1 3 …. I 6 bạn đọc tự giải x 2 x 3 dxBài 9: Tính tích phân sau I 3 (1 x 2 )3 2Giải : 3 m 1Ta có m 0; n 2; p p 1 Z 2 n 1 2 2 x 1 2 t2 1 x Đặt 2 t x xdx tdt (t 2 1) 2 x 3 2 3 t Đổi cận 3 3 x t 3 2 3 3 3 3 xdx tdt dt 1 1Khi đó I 2 2 3 1 .t 2 .t 2 3 t t 2 2 3 (1 x ) 1 x 2 2 2 3 (t 1) . 2 3 2 x4. 2 . 3 2 (t 1) 2 3 3 x xBài tập tự giải: 2 dxBài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I 1 x x3 1HD: 3×2 dx dtĐặt t x3 1 dt dx 2 2 x3 1 x x3 1 t 1 4 dx 1 7Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I x ln 7 x2 1 6 4 7
8. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 2 dx Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I 2 x x2 1 12 3Cách 1: x dx xdx dt dtĐặt t x 2 1 dt dx 2 và t tanu , u , 2 du . x2 1 x x2 1 x2 x2 1 t 1 2 2 t 1 1 dxCách 2: Đặt t , t 0; dt cos t 2 x x2 1 1 π 1C1: Đặt x với t 0; hoặc x cos t 2 sin tC2: Đặt x 2 1 tC3: Đặt x 2 1 t 1C4: Đặt x tC5: Phân tích 1 x 2 1 x 2 1 x3Bài 4: Tính tích phân I dx 0 1 x2 1C1: Đặt x tan tC2: Phân tích x 3 x x 2 1 x u x 2 C3: Đặt x dv dx x2 1C4: Đặt x tC5: Phân tích x 3 dx x 2 xdx x 2 1 1 d x 2 1 7 x3 141Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I dx 0 3 1 x 2 20 2 x4Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I dx 0 x5 1 3 14 3Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I x 3 x 2 1 dx 1 5 9 468Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I x. 3 1 x dx 1 7 1 2 2 1Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I x x 2 1dx 0 3 3 848Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I x 3 1.x5 dx 0 105 8
9. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 1 6 3 8Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I x3 . x 2 3dx 0 5 1 8Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I x5 1 x 2 dx 0 105 1 x 1Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I 2 dx ln 2 0 1 x 2 1 2Bài 14: Tính tích phân I x 2 2 x 3 dx 0 9 3 32 2 Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang chúng tôi – 2007) Tính tích phân 3 dx 3 I x x 1 1 2 2 1 3 12 2 3 dx 2 3Bài 16: Tính tích phân I 3 x2 x 2 1 3 2 2b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức pMở rộng I u m x a bu n x d u x với với a, b R , m, n, p Q, n, p 0 Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau m 1 s pNếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bu n x hoặc t a bu n x n r rĐặc biệt : Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bu n x sTa xét các thí dụ sau đây ln 5 e2 xThí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I dx ln 2 ex 1Lời giải. ln 5 ln 5 1 e2 x Ta có I e 1 ln 2 x ln 2 dx e x 1 e x 2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 m 1m n 1, p 2 Z và u x e x 2 n x 2 e t 2 1 xĐặt e 1 t x e dx 2tdt x ln 5 t 2Đổi cận x ln 2 t 1 2 t 2 1 tdt 2 2 2 2 20Khi đó I 2 t 3 1 2 t 2 1 dt t 3 2t 1 3 1 1 9
10. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn Cách khác: Đặt e x 1 t e 1 3ln x .ln x Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I dx 1 x Lời giải. e e 1 1 3ln x .ln x Ta có I dx ln x 1 3ln x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m n 1, p 2 Z và u x ln x 2 n t2 1 ln x 3 Đặt 1 3ln x t 2 dx 2 tdt x 3 x e t 2 Đổi cận x 1 t 1 2 2 2 t2 1 2 2 2 t 5 t 3 2 116 Khi đó I t dt (t 4 t 2 )dt 31 3 91 9 5 3 1 135 Cách khác: t 1 3ln x e ln x. 3 2 ln 2 x Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I dx 1 x Lời giải. e e 1 ln x. 3 2 ln 2 x Ta có I dx ln x 1 ln 2 x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m 1, n 2, p 1 Z và u x ln x 3 n 3 2 ln x Đặt t 3 2 ln 2 x t dt dx 2 x x e t 3 3 Đổi cận x 1 t 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 t4 3 3 3 232 2 Khi đó I t.t dt t dt . 2 32 2 4 3 2 8 3 3 23 2 Cách khác: Đặt 2 ln 2 x t e ln x Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I 2 dx 1 x 2 ln x Lời giải. 10
11. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn e 2 ln x 2Ta có I 2 dx ln x 2 ln x d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 2 ln x 1 m 1m 1, n 1, 2 Z , p 2 Z và u x ln x n ln x t 2 Đặt t 2 ln x dx x dt 3 t 2 1 2 3 2 3 3 1Khi đó I 2 dt 2 dt ln t ln 2 t 2t t t2 2 3 ln 3 e x dxThí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I 3 0 e x 1Lời giải. ln 3 ln 3 1 e x dx e xTa có I 1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 3 0 e x 1 0 1 m 1m 0, n 1, p 1 Z và u x e x 2 nĐặt t e 1 2tdt e x dx dx 2tdt 2 x 2 tdt 12Khi đó I 2 3 2. 2 1 2 t t 2 2 dxThí dụ 6. Tính tích phân sau I 1 x x3 5Lời giải. 2 2 dx 1Ta có I 5 3 x 3 1 x 2 dx đây là tích phân nhị thức với m 3, n 2, p 1 Z 1 x x 1 x2 t 1 Đặt t x 2 1 dt xdx 2 x 2 t 5Đổi cận x 1 t 2 2 2 1 xTa có I dx dx 1 3 x x 1 2 1 x 4 x 2 1 1 1 1 5 5 dt 1 1 1 t 5 3 1 5Khi đó I 2 2 dt ln 2 ln 2 ln t t 1 2 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 1 8 2 2 2 11
12. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 2 dx Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I 39 1 x Lời giải. x 2 dx 39 m 1 Ta có I 39 x 2 1 x dx đây là tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 39 Z 3 Z 1 x n Đặt t 1 x x 1 t dx dt Khi đó 2 1 t dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 I 39 39 dt 2 38 dt 37 dt 38 37 C với t 1 x t t t t 38 t 37 t 36 t 36 2 sin 2 chúng tôi x Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos x Lời giải. Phân tích 2 sin 2 chúng tôi x 2 sin chúng tôi 2 x 2 1 I dx 2 dx 2 cos 2 x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức 0 1 cos x 0 1 cos x 0 với m 2, n 1, p 1 Z và u x cos x dt sin xdx Đặt t 1 cos x cos x t 1 x t 1 Đổi cận 2 x 0 t 2 2 1 t 1 2 1 t2 2 Khi đó I 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2 ln 2 1 2 t 1 t 2 1 2 2 Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I sin x cos x 1 cos x dx 0 Lời giải. 2 2 2 2 Ta có I sin x cos x 1 cos x dx cos x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 0 m 1, n 1, p 2 Z và u x cos x sin xdx dt Đặt t 1 cos x cos x t 1 12
13. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 1 2 t 4 t 3 2 17Khi đó I t 1 t 2 dt t 3 t 2 dt 2 1 4 3 1 12Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính nhưtrong lý thuyết 2 sin 2 x sin xThí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I dx 0 1 3cos xLời giải. 2 sin x 2 cos x 1 2 1 2 1Ta có I dx 2 cos x 1 3cos x d cos x 1 3cos x 2 d cos x 2 0 1 3cos x 0 0 I1 I2 m 1Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u x cos x với I1 ta có m n 1 2 Z và với I 2 n m 1ta có m 0, n 1 1 Z . nVậy chung qui lại ta có thể t2 1 cos x 3Đặt 1 3cos x t 2 sin x dx 2dt 1 3cos x 3 x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 2 4t 2 2 4 2 2 34Khi đó I dt t 3 t 1 9 9 27 9 1 27 2 sin 3 xThí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos xLời giải. 2 2 3 2 sin 3 x 3sin x 4sin x 1Ta có I dx dx 4cos 2 x 1 1 cos x d cos x thì đây chính là tổng của 0 1 cos x 0 1 cos x 0 m 1hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 1 Z 3 Z và u x cos x nên ta n cos x t 1đặt t 1 cos x dt sin xdx 13
14. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 2 1 4 t 1 1 2 3 2Khi đó I dt 4t 8 dt 2t 2 3ln t 8t 3ln 2 2 2 t 1 t 1Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau e3 ln 2 x 76Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I x dx 1 ln x 1 15 ln 2 2x e 2 2Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I dx 0 x e 1 3 e ln x 42 2Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = x. dx 1 1 ln x 3 e 3 2 ln x 10 2 11Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I x dx 1 2 ln x 1 3 e ln x 1Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I dx (ln 2 1) 1 x ln x 1 2 2 e log 3 x 2 4Bài 7: Tính tích phân sau I dx 1 x 1 3ln x 2 27 ln 3 2 ln 8 ln 8Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I e x 1.e 2 x dx e x 1.e x .e x dx ln 3 ln 3Bài 9: Tính tích phân sau I ln 5 e x 1 e x dx ln 2 ex 1 2 sin 4 x 3Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I 2 dx 2 6 ln 0 1 cos x 4 2 3 15Bài 11: Tính tích phân sau I sin 2 x 1 sin 2 x dx 0 4 2 sin x cos 3 xBài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos 2 x 6 sin 3 x sin 3 3 x 1 1Bài 13: Tính tích phân I dx ln 2 0 1 cos 3 x 6 3 14
15. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 3 dx 6Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I xx 3 ln 0 2 3 x dx 1 1 3 1 3 1 1 1Bài 15: Tìm nguyên hàm I 10 6 7 8 C ( x 1) 6 ( x 1) 7 ( x 1) 8 ( x 1) 9 ( x 1)9 15
Phân Tích Đoạn Thơ Cảnh Ngày Xuân
Bốn câu thơ đầu gợi tả khung cảnh thiên nhiên với vẻ đẹp riêng của mùa xuân. Đó là hình ảnh chim én chao liệng như thoi đưa giữa bầu trời xuân trong sáng, thảm cỏ non xanh mượt mà của bức tranh xuân điểm xuyết một vài bông hoa lê trắng. Màu sắc có sự hài hòa tới mức tuyệt diệu. Tất cả hòa quyện, gợi lên vẻ đẹp riêng của mùa xuân mới mẻ, tinh khôi, tràn trề sức sống (cỏ non), khoáng đạt, trong trẻo (xanh tận chân trời), nhẹ nhàng, thanh khiết (trắng điểm một vài bông hoa). Chữ “điểm” làm cho cảnh vật trở nên sinh động, có tâm hồn, không tĩnh tại. Trong đoạn thơ cùng với bút pháp ước lệ vừa gợi thời gian vừa gợi không gian mùa xuân, tác giả còn dùng nhiều từ ngữ giàu chất tạo hình gợi tả màu sắc, đường nét, cái hồn của cảnh vật.
Tám câu thơ tiếp gợi lên khung cảnh lễ hội trong tiết Thanh Minh.
Một loạt từ ghép là danh từ, động từ, tính từ xuất hiện gợi lên không khí lễ hội thật rộn ràng, đông vui, náo nhiệt: yến anh, chị em, tài tử, giai nhân (danh từ) sắm sửa, dập dìu (động từ), gần xa, nô nức (tính từ). Cách nói ẩn dụ “nô nức yến anh” gợi hình ảnh từng đoàn người trẩy hội, du xuân nhộn nhịp, tấp nập.
Qua cuộc du xuân của chị em Thúy Kiều, tác giả khắc họa hình ảnh một truyền thống văn hóa lễ hội xa xưa. Đó là lễ tảo mộ tưởng nhớ người thân đã khuất và hội đạp thanh đi chơi xuân ở chốn đồng quê tươi đẹp. Những lễ hội đó là nét đẹp văn hóa truyền thống phương Đông.
Sáu câu cuối gợi tả cảnh chị em Thúy Kiều du xuân trở về.
Cảnh vẫn mang cái thanh, cái dịu của mùa xuân nắng nhạt, khe nước nhỏ, một nhịp cầu như bắc ngang. Mọi chuyển động đều nhẹ nhàng. Mặt trời từ từ ngả bóng về tây, bước chân người thơ thẩn, dòng nước uốn quanh. Tuy nhiên, cái không khí nhộn nhịp, rộn ràng của lễ hội không còn nữa, tất cả đang nhạt dần, lắng dần. Cảnh thay đổi bởi không gian, thời gian thay đổi, và cảnh lúc này được cảm nhận qua tâm trạng. Những từ láy: “tà tà”, “thanh thanh”, “nao nao” không chỉ gợi tả sắc thái cảnh vật mà còn bộc lộ tâm trạng con người. Từ “nao nao” như nhuốm màu tâm trạng lên cảnh vật. Đó là cảm giác bâng khuâng xao xuyến, thấm đượm một nỗi buồn man mác dịu nhẹ…
Đoạn trích thể hiện nghệ thuật miêu tả thiên nhiên đặc sắc của Nguyễn Du. Đó là kết cấu hợp lí theo trình tự thời gian của cuộc du xuân kết cấu ấy giúp tác giả có thể phác họa được toàn cảnh bức tranh thiên nhiên, lễ hội mùa xuân.
Tác giả đã sử dụng nhiều từ ngữ giàu chất tạo hình những từ láy gợi hình, tính từ tả màu sắc, từ ghép… Tác giả kết hợp tài tình bút pháp tả cụ thể, chi tiết và bút pháp gợi có tính chất chấm phá, điểm xuyết .
chúng tôi
Bạn đang xem bài viết Tích Phân Suy Rộng (Improper Integrals) trên website Caffebenevietnam.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!