Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2

--- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay
  • Giải Phương Trình Tình Yêu Bằng Toán, Kết Quả Như Một Mũi Dao Đâm Vào Trái Tim Những Kẻ Yêu Đơn Phương
  • Bài Tập Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Skkn Một Số Phương Pháp Giúp Học Sinh Lớp 9 Học Tốt Giải Phương Trình Có Chứa Ẩn Ở Mẫu Skkn Nam 20122013 Doc
  • Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Lớp 8A1
  • Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng hệ phương trình các bạn được học trong chương trình Toán lớp 11. Để giải được bài tập của dạng toán này. C ác bạn cần hiểu được định nghĩa và các dạng của hệ PT đối xứng loại 2 như thế nào? Do đó, để bổ trợ cho các bạn trong quá trình học tập và ôn tập. Chúng tôi có tổng hợp đầy đủ kiến thức lý thuyết cần nhớ và bài tập vận dụng. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.

    Trọng tâm kiến thức về hệ phương trình đối xứng loại 2.

    Hệ PT đối xứng loại 2 là hệ PT chứa hai ẩn x và y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì PT này trở thành PT kia của hệ. Hay được tổng quát dưới dạng: f(x, y) = a và f(y, x) = a.

    Hệ PT đối xứng loại 2 có 2 dạng toán. Đó là:

      Dạng 1: f(x,y) = 0 và f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)

    Phương pháp giải: Lấy hai phương trình trừ vế với vế và biến đổi về dạng tích số. Sau đó, kết hợp một PT tích số với một PT của hệ để suy ra nghiệm của hệ PT

    Phương pháp giải: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại để tìm nghiệm.

    Hệ PT đối xứng loại 2 sẽ có 2 chú ý các bạn cần nhớ. Hãy tham khảo bài học bên dưới để nắm rõ các chú ý.

    Bí quyết đạt điểm cao với bài toán hệ phương trình.

    Để làm tốt bài tập về hệ PT hay hệ PT đối xứng loại 2, các bạn cần làm tốt bài tập PT. Vì hệ phương trình là dạng toán kết hợp từ các phương trình với nhau.

    Do đó, bằng cách rèn luyện nhiều bài tập về phương trình và hệ PT sẽ giúp học tốt hơn. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có thêm nhiều bài tập ôn luyện.

    Tải tài liệu miễn phí ở đây

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay
  • Giải Phương Trình Tình Yêu Bằng Toán, Kết Quả Như Một Mũi Dao Đâm Vào Trái Tim Những Kẻ Yêu Đơn Phương
  • Cách nhận biết, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn x, y qua các ví dụ và bài tập có lời giải.

    Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng ta định nghĩa về PT đối xứng như sau:

    Phương trình ẩn gọi là đối xứng với ẩn nếu thay bởi bởi thì phương trình không thay đổi.

    – Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

    ………………………….

    I. Hệ phương trình đối xứng loại 1

    – Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

    – Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.

    * Nếu đa thức có nghiệm trên là thì:

    (Định lý Viét tổng quát)

    1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2

    Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì là nghiệm của phương trình

    2. Định nghĩa

    Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:

    , trong đó .

    3. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 có 2 ẩn

    Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

    Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .

    Bước 3: Thay bởi vào hệ phương trình. Giải hệ tìm rồi dùng Viét đảo tìm .

    Chú ý:

    + Cần nhớ:

    + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ và

    + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

    4. Bài tập giải hệ PT đối xứng loại 1

    – Loại 1: Giải hệ phương trình

    Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .

    Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:

    Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .

    Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:

    Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .

    Điều kiện .

    Hệ phương trình tương đương với:

    Đặt ta có:

    Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .

    Điều kiện . Đặt , ta có:

    và .

    Thế vào (1), ta được:

    Suy ra:

    – Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

    Phương pháp giải chung:

    + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

    + Bước 2: Đặt với điều kiện của và (*)

    + Bước 3: Thay bởi vào hệ phương trình.

    Giải hệ tìm theo rồi từ điều kiện (*) tìm .

    Chú ý:

    Khi ta đặt ẩn phụ và thì nhớ tìm chính xác điều kiện của .

    Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

    Điều kiện ta có:

    Đặt , Hệ phương trình trở thành:

    .

    Từ điều kiện ta có .

    Ví dụ 2. Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thực.

    .

    Đặt Hệ phương trình trở thành: .

    Suy ra và là nghiệm của phương trình .

    Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .

    Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.

    Ví dụ. Giải phương trình: .

    Đặt: . Vậy ta có hệ:

    u, v là hai nghiệm của phương trình:

    ⇒ ⇒

    Vậy phương trình có hai nghiệm: = .

    II. Hệ phương trình đối xứng loại 2 có 2 ẩn

    A. Định nghĩa

    Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:

    B. Cách giải hệ PT đối xứng loại 2 có 2 ẩn

    Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: .

    Khi đó hoặc

    + Trường hợp 1: kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.

    + Trường hợp 2: kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.

    C. Ví dụ giải hệ PT đối xứng loại 2 có lời giải

    Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)

    Lấy (1) – (2) ta được:

    Trường hợp 1: (I)

    ⇔ .

    Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)

    Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

    Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

    Đặt:

    Hệ phương trình trở thành:

    (Do u, v ≥ 0) .

    Vậy hệ có nghiệm (1,1)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Chuyên Đề Hệ Pt Bậc Nhất 2 Ẩn Số
  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay
  • Giải Phương Trình Tình Yêu Bằng Toán, Kết Quả Như Một Mũi Dao Đâm Vào Trái Tim Những Kẻ Yêu Đơn Phương
  • Bài Tập Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cực hay

    A. Phương pháp giải

    Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn xy làHệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn xy thìHệ phương trình vẫn không thay đổi.

    Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng

    Biến đổi Hệ phương trình có hai ẩn S, P giải ra SP (sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số).

    Giải phương trình bậc hai theo ẩn X.

    Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

    Nếu (x 0;y 0) là nghiệm củaHệ phương trình thì (y 0;x 0) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải hệ phương trình .

    Hướng dẫn:

    Ví dụ 2: Giải hệ phương trình .

    Hướng dẫn:

    Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;3), (3;1).

    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình .

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x ≥ 0; y ≥ 0.

    C. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Câu 2: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Câu 3: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Câu 4: Hệ phương trình sau: . Chọn nghiệm đúng của hệ phương trình.

    A. (4;7) và (7;4)

    B. (-1;-8) và (-8;-1)

    C. (1;2) và (2;1)

    D. A và B

    Câu 5: Hệ phương trình sau: . Đâu không phải là nghiệm đúng của hệ phương trình.

    A. (1;6) và (6;1)

    B. (2;3) và (3;2)

    C. (-3;-7)

    D. (-7;-3)

    Câu 6: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây không đúng?

    A. Hệ phương trình có 2 nghiệm.

    B. Hệ phương trình vô số nghiệm.

    C. Một nghiệm của hệ là: (-2;3).

    D. Nghiệm của hệ là: (-2;3); ((3;-2).

    Câu 7: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây không sai?

    A. Hệ phương trình có 1 nghiệm.

    B. Hệ phương trình vô số nghiệm.

    C. Một nghiệm của hệ là: (-2; 0).

    D. Nghiệm của hệ là: (2; 0);(0; 2).

    Câu 8: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây sai ?

    A. Hệ phương trình có 4 nghiệm.

    B. Hai nghiệm (1;2) và (2;1) là nghiệm của hệ phương trình.

    C. Hệ phương trình có 2 nghiệm.

    D. A, B đúng.

    Câu 9: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng?

    A. Hệ phương trình có 2 nghiệm.

    B. Hệ phương trình 4 nghiệm.

    C. Một nghiệm của hệ là: (2; 4).

    D. Hai nghiệm của hệ là (2;4); (4;2)

    Câu 10: Cho hệ phương trình: . Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm thực?

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Chuyên Đề Hệ Pt Bậc Nhất 2 Ẩn Số
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng

    --- Bài mới hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay
  • Lý thuyết cần nắm

    Định nghĩa

    Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng

    (I) trong đó f(x; y), g(x; y) là các biểu thức đối xứng, tức là f(x; y) = f(y; x), g(x; y) = g(y; x).

    Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:

    + Đặt S = x + y, P = xy.

    + Biểu diễn f(x; y), g(x; y) qua S và P, ta có hệ phương trình:

    , giải hệ phương trình này ta tìm được^ S, P.

    + Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X^2- SX + P = 0 (1).

    Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

    x^2 + y^2 = ( x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P

    x^3 + y^3 = (x+y)( x^2 + y^2 – xy) = S^3 – 3SP

    x^2y + y^2x = xy(x+y) = SP

    x^4 + y^4 = ( x^2 + y^2) – 2x^2y^2 = ( S^2 – 2P) – 2P^2

    + Nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ (I).

    + Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S^2- 4P ≥ 0.

    Ví dục minh họa

    Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:

    1.x + y + 2xy = 2

    x^3 + y^3 = 8

    2. x^3 + y^3 = 19

    (x + y)(8 + xy) = 2

    1. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

    S + 2P = 2

    S(S^2- 3P) = 8

    ⇔ P =(2 – S)/2

    S[S^2-( 6 – 3S)/2 = 8

    ⇒ 2S^3 + 3S^2- 6S- 16 = 0 ⇔ (S- 2)( 2S^2 + 7S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0.

    Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X^2- 2X = 0 ⇔

    X = 0

    X = 2

    Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X^2- X- 6 = 0 ⇔

    X = 3

    X = – 2

    Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: (x; y) = ( − 2; 3), (3; − 2).

    Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:

    1.x + y = m

    x^2 + y^2 = 2m + 1

    2.x +1/x+ y +1/y= 5

    x^3 +1/x^3 + y^3 +1y^3 = 15m- 10

    Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: S^2- 4P ≥ 0 ⇔ m^2- 2( m^2- 2m- 1) = – m^2 + 4m + 2 ≥ 0 ⇔ 2- √6 ≤ m ≤ 2 + √6.

    Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x^3 + y^3

    Ta có: x, y tồn tại ⇔ hệ có nghiệm ⇔ S^2- 4P ≥ 0 ⇔ 1- (13-A)/3≥ 0 ⇔ A ≥1/4

    Vậy giá trị nhỏ nhất của A là min A =1/4 ⇔ x = y =1/2

    Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:

    (x + y)xy = x^2 + y^2- xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =1/x^3 +1/y^3

    .Xét hệ phương trình:

    (x + y)xy = x^2 + y^2- xy

    1/x^3 +1/y^3 = A

    Đặt a =1/x, b =1/y

    (a, b ≠ 0), hệ phương trình trên trở thành:

    a + b = a^2 + b^2- ab

    a^3 + b^3 = A

    Hệ phương trình này có nghiệm ⇔ S^2 ≥ 4P ⇔ 3S^2 ≥ 4(S^2- S)⇔ S ≤ 4 ⇔ A = S^2 ≤ 16.

    Đẳng thức xảy ra ⇔S = 4

    P =(S^2 – S)/3= 4

    ⇔ a = b = 2 ⇔ x = y =1/2

    Vậy giá trị lớn nhất của A là max A = 16 ⇔ x = y =1/2.

    Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Chuyên Đề Hệ Pt Bậc Nhất 2 Ẩn Số
  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Tình Yêu Bằng Toán, Kết Quả Như Một Mũi Dao Đâm Vào Trái Tim Những Kẻ Yêu Đơn Phương
  • Bài Tập Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Skkn Một Số Phương Pháp Giúp Học Sinh Lớp 9 Học Tốt Giải Phương Trình Có Chứa Ẩn Ở Mẫu Skkn Nam 20122013 Doc
  • Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Lớp 8A1
  • Giáo Án Môn Đại Số 8
  • Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cực hay

    A. Phương pháp giải

    Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn xy là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn xy thì hai phương trình trong hệ sẽ hoán đổi cho nhau.

    Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng

    Cộng hoặc trừ hai vế của hai hệ phương trình thu được phương trình. Biến đổi phương trình này về phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ giữa xy đơn giản.

    Thế x theo y (hoặc y theo x) vào một trong hai phương trình của hệ ban đầu.

    Giải và tìm ra nghiệm x (hoặc y). Từ đó suy ra nghiệm còn lại.

    Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

    Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có

    C. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Câu 2: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 4

    B. 2

     C. 3

    D. 5

    Câu 3: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Câu 4: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Câu 5: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

    A. 4

    B. 3

    C. vô số nghiệm

    D. vô nghiệm

    Câu 6: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng ?

    A. Hệ phương trình có vô số nghiệm.

    B. Hệ phương trình có 3 nghiệm.

    C. Hệ phương trình có 4 nghiệm.

    D. Hệ phương trình có 1 nghiệm.

    Câu 7: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng ?

    A. Hệ phương trình có vô số nghiệm.

    B. Hệ phương trình có 2 nghiệm.

    C. Hệ phương trình có 4 nghiệm.

    D. Hệ phương trình có 3 nghiệm.

    Câu 8: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng?

    A. Hệ phương trình vô nghiệm.

    B. Hệ phương trình có 2 nghiệm.

    C. Hệ phương trình có 1 nghiệm.

    D. Hệ phương trình có 3 nghiệm

    Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

    A. 2

    B. 3

    C. vô số nghiệm

    D. vô nghiệm

    Câu 10: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

     A. 1

    B. 2

     C. 3

    D. 4

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Toán Đại Số 8 Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Đại Số 8 Tiết 48: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Thức (Tiết 1)
  • Trang 1

    CHUYÊN ðỀ

    HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I

    TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

    I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:

    f(x, y) = 0

    g(x, y) = 0

    

    

    , trong ñó

    f(x, y) = f(y, x)

    g(x, y) = g(y, x)

    

    

    Phương pháp giải chung:

    i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).

    ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ .

    iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y.

    Chú ý:

    i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.

    ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.

    iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ.

    Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

    2 2

    3 3

    x y xy 30

    x y 35

     + =

     + =

    .

    GIẢI

    ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P≥ . Hệ phương trình trở thành:

    2

    2

    30

    PSP 30 S

    90S(S 3P) 35

    S S 35

    S

     = =  ⇔    − =   − =    

    S 5 x y 5 x 2 x 3

    P 6 xy 6 y 3 y 2

       = + = = =      ⇔ ⇔ ⇔ ∨   

       = = = =      

    .

    Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

    3 3

    xy(x y) 2

    x y 2

     − = −

     − =

    .

    GIẢI

    ðặt t y, S x t, P xt= − = + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:

    3 3 3

    xt(x t) 2 SP 2

    x t 2 S 3SP 2

     + = =  ⇔ 

     + = − =  

    S 2 x 1 x 1

    P 1 t 1 y 1

      = = =    ⇔ ⇔ ⇔  

      = = = −    

    .

    Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

    2 2

    2 2

    1 1

    x y 4

    x y

    1 1

    x y 4

    x y

     + + + =

     + + + =

    .

    GIẢI

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 2

    ðiều kiện x 0, y 0≠ ≠ .

    Hệ phương trình tương ñương với: 2 2

    1 1

    x y 4

    x y

    1 1

    x y 8

    x y

           + + + =         

          + + + =         

    ðặt 2

    1 1 1 1

    S x y ,P x y ,S 4P

    x y x y

                = + + + = + + ≥                     

    ta có:

    2

    1 1

    x y 4

    S 4 S 4 x y

    P 4 1 1S 2P 8

    x y 4

    x y

           + + + =     = =         ⇔ ⇔      =− =      + + =        

    1

    x 2 x 1x

    1 y 1

    y 2

    y

     + =  = ⇔ ⇔ 

      = + =

    .

    Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

    2 2x y 2xy 8 2 (1)

    x y 4 (2)

     + + =

     + =

    .

    GIẢI

    ðiều kiện x, y 0≥ . ðặt t xy 0= ≥ , ta có:

    2xy t= và (2) x y 16 2t⇒ + = − .

    Thế vào (1), ta ñược:

    2t 32t 128 8 t t 4− + = − ⇔ =

    Suy ra:

    xy 16 x 4

    x y 8 y 4

     = =  ⇔ 

     + = =  

    .

    II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

    Phương pháp giải chung:

    i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).

    ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ (*).

    iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m.

    Chú ý:

    Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v.

    Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:

    x y 1

    x x y y 1 3m

     + =

     + = −

    .

    GIẢI

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 3

    ðiều kiện x, y 0≥ ta có:

    3 3

    x y 1 x y 1

    x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m

      + = + = 

    ⇔ 

     + = − + = −   

    ðặt S x y 0,P xy 0= + ≥ = ≥ , 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:

    2

    S 1 S 1

    P mS 3SP 1 3m

     = =  ⇔ 

      =− = − 

    .

    Từ ñiều kiện 2S 0,P 0,S 4P≥ ≥ ≥ ta có 10 m

    4

    ≤ ≤ .

    Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình

    2 2

    x y xy m

    x y xy 3m 9

     + + =

     + = −

    có nghiệm thực.

    GIẢI

    2 2

    x y xy m (x y) xy m

    xy(x y) 3m 9x y xy 3m 9

     + + = + + =  ⇔ 

      + = −+ = − 

    .

    ðặt S = x + y, P = xy, 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:

    S P m

    SP 3m 9

     + =

     = −

    .

    Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2t mt 3m 9 0− + − =

    S 3 S m 3

    P m 3 P 3

     = = −  ⇒ ∨ 

     = − =  

    .

    Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

    2

    2

    3 4(m 3) 21

    m m 3 2 3

    (m 3) 12 4

     ≥ −

    ⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ + − ≥

    .

    Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình

    x 4 y 1 4

    x y 3m

     − + − =

     + =

    có nghiệm.

    GIẢI

    ðặt u x 4 0, v y 1 0= − ≥ = − ≥ hệ trở thành:

    2 2

    u v 4u v 4

    21 3mu v 3m 5 uv

    2

     + = + =  ⇔  − + = − =  

    .

    Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3mt 4t 0

    2

    − + = (*).

    Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm

    / 3m 130 0 132S 0 m 7

    21 3m 3

    0P 0

    2

     −∆ ≥  ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 

      −  ≥≥   

    .

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 4

    Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình

    2 2x y 4x 4y 10

    xy(x 4)(y 4) m

     + + + =

     + + =

    có nghiệm thực.

    GIẢI

    2 22 2

    2 2

    (x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10

    xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m

      + + + = + + + = ⇔ 

     + + = + + =  

    .

    ðặt 2 2u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ≥ = + ≥ . Hệ phương trình trở thành:

    u v 10 S 10

    uv 4(u v) m 16 P m 24

     + = =  ⇔ 

     − + = − = +  

    (S = u + v, P = uv).

    ðiều kiện

    2S 4P

    S 0 24 m 1

    P 0

     ≥ ≥ ⇔ − ≤ ≤

     ≥

    .

    BÀI TẬP

    Giải các hệ phương trình sau

    1.

    2 2

    x y xy 5

    x y xy 7

     + + =

     + + =

    . ðáp số:

    x 1 x 2

    y 2 y 1

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    2.

    2 2x xy y 3

    2x xy 2y 3

     + + =

     + + = −

    . ðáp số:

    x 1 x 3 x 3

    y 1 y 3 y 3

       = − = = −   ∨ ∨  

      = − = − =     

    .

    3.

    3 3

    x y 2xy 2

    x y 8

     + + =

     + =

    . ðáp số:

    x 2 x 0

    y 0 y 2

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    4.

    3 3x y 7

    xy(x y) 2

     − =

     − =

    . ðáp số:

    x 1 x 2

    y 2 y 1

     = − =  ∨ 

     = − =  

    .

    5.

    2 2

    x y 2xy 5

    x y xy 7

     − + =

     + + =

    . ðáp số:

    1 37 1 37

    x xx 2 x 1

    4 4

    y 1 y 2 1 37 1 37

    y y

    4 4

      − + = =  = = −      ∨ ∨ ∨   

       = = − − − − +     = =    

    .

    6.

    2 2

    2 2

    1

    (x y)(1 ) 5

    xy

    1

    (x y )(1 ) 49

    x y

     + + =

     + + =

    . ðáp số:

    x 1 x 17 3 5 7 3 5

    x x

    2 2 7 3 5 7 3 5

    y yy 1 y 1

    2 2

       = − = −   − +   = =   ∨ ∨ ∨   − +   = =   = − = −         

    .

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 5

    7.

    x y y x 30

    x x y y 35

     + =

     + =

    . ðáp số:

    x 4 x 9

    y 9 y 4

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    8.

    x y 7

    1

    y x xy

    x xy y xy 78

     + = +

     + =

    y 9 y 4

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    9. ( )

    2 23 3

    3 3

    2(x y) 3 x y xy

    x y 6

     + = +

     + =

    . ðáp số:

    x 8 x 64

    y 64 y 8

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình

    2 2 2x y z 8

    xy yz zx 4

     + + =

     + + =

    . Chứng minh 8 8x, y, z

    3 3

    − ≤ ≤ .

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    Hệ phương trình

    2 2 2 2 2x y 8 z (x y) 2xy 8 z

    xy z(x y) 4 xy z(x y) 4

      + = −  + − = − ⇔ ⇔ 

     + + = + + =  

    2 2(x y) 2[4 z(x y)] 8 z

    xy z(x y) 4

     + − − + = −⇔ 

     + + =

    2 2(x y) 2z(x y) (z 16) 0

    xy z(x y) 4

     + + + + − =⇔ 

     + + =

    2 2

    x y 4 z x y 4 z

    xy (z 2) xy (z 2)

     + = − + = − −  ⇔ ∨ 

     = − = +  

    .

    Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:

    2 2

    2

    2 2

    (4 z) 4(z 2) 8 8

    (x y) 4xy z

    ( 4 z) 4(z 2) 3 3

     − ≥ −

    + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − ≥ +

    .

    ðổi vai trò x, y, z ta ñược 8 8x, y, z

    3 3

    − ≤ ≤ .

    11.

    x y

    1 1 1

    16 16 2

    x y 1

           + =          + =

    . ðáp số:

    1

    x

    2

    1

    y

    2

     =

     =

    .

    12.

    sin (x y)

    2 2

    2 1

    2(x y ) 1

    π + =

     + =

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    Cách 1:

    sin (x y)

    2 2 2 22 2

    sin (x y) 0 x y (1)2 1

    2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1

    π +  π + = + ∈ =    ⇔ ⇔  

      + = + =+ =   

    Z

    2

    2 2

    2

    1 2 2

    x x1 2 2 2(2) x y 2 x y 2

    12 2 2y y

    2 2 2

       ≤ − ≤ ≤  ⇔ + = ⇒ ⇒ ⇒ − ≤ + ≤ 

      ≤ − ≤ ≤   

    .

    x y 0

    (1)

    x y 1

     + =

    ⇒  + = ±

    thế vào (2) ñể giải.

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 6

    Cách 2:

    ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:

    sinS

    22

    S2 1

    4P 2S 12(S 2P) 1

    π  ∈ =  ⇔ 

      = −− = 

    Z

    .

    Từ ñiều kiện 2S 4P≥ ta suy ra kết quả tương tự.

    Hệ có 4 nghiệm phân biệt

    1 1 1 1

    x x x x

    2 2 2 2

    1 1 1 1

    y y y y

    2 2 2 2

             = = − = = −      ∨ ∨ ∨   

          = = − = − =         

    .

    Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu

    1. Tìm m ñể hệ phương trình

    2 2x xy y m 6

    2x xy 2y m

     + + = +

     + + =

    có nghiệm thực duy nhất.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:

    2 2

    2 2 2

    3x m 6 3x 6 m m 3

    m 21x 4x m x 4x 3x 6

       = +  − = = −  ⇔ ⇒    =+ = + = −    

    .

    + m = – 3:

    2 2 2x xy y 3 (x y) xy 3

    2(x y) xy 3 2(x y) xy 3

      + + =  + − = ⇔ 

     + + = − + + = −  

    x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1

    xy 3 xy 1 y 1y 3 y 3

        + = + = − = = − = −     ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨    

        = − = = −= − =        

    (loại).

    + m = 21:

    2 2 2x xy y 27 (x y) xy 27

    2x xy 2y 21 2(x y) xy 21

      + + =  + − = ⇔ 

     + + = + + =  

    x y 8 x y 6 x 3

    xy 37 xy 9 y 3

      + = − + = =    ⇔ ∨ ⇔  

      = = =    

    (nhận).

    Vậy m = 21.

    2. Tìm m ñể hệ phương trình:

    2 2

    x xy y m 1

    x y xy m

     + + = +

     + =

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    2 2

    x xy y m 1 (x y) xy m 1

    xy(x y) mx y xy m

     + + = + + + = +  ⇔ 

      + =+ = 

    x y 1 x y m

    xy m xy 1

     + = + =  ⇔ ∨ 

     = =  

    .

    Hệ có nghiệm thực dương

    2

    m 0 1

    0 m m 2

    1 4m m 4 4

     ≥ ∨ ≥

    .

    Vậy 10 m m 2

    4

    < ≤ ∨ ≥ .

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 7

    3. Tìm m ñể hệ phương trình

    x y m

    x y xy m

     + =

     + − =

    có nghiệm thực.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    ( )

    22

    x y mx y mx y m

    m m

    x y xy m xyx y 3 xy m

    3

     + =  + = + =  ⇔ ⇔   −  + − = =+ − =     

    .

    Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình

    2

    2 m mt mt 0

    3

    − + = (*).

    Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm

    / 2

    2

    0 m 4m 0

    m 0

    S 0 m 0

    1 m 4

    P 0 m m 0

     ∆ ≥ − ≤  =  ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔    ≤ ≤  ≥ − ≥   

    .

    Vậy m 0 1 m 4= ∨ ≤ ≤ .

    4. Tìm m ñể hệ phương trình

    2 2

    2

    x y 2(1 m)

    (x y) 4

     + = +

     + =

    có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    2 2 2

    2 2

    x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)

    (x y) 4 (x y) 4

      + = +  + − = + ⇔ 

     + = + =  

    xy 1 m xy 1 m

    x y 2 x y 2

     = − = −  ⇔ ∨ 

     + = + = −  

    .

    Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )

    2

    2 4(1 m) m 0± = − ⇔ = .

    5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình

    2 2 2

    x y 2m 1

    x y m 2m 3

     + = −

     + = + −

    . Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P.≥

    2 2 2 2 2

    x y 2m 1 S 2m 1

    x y m 2m 3 S 2P m 2m 3

     + = − = −  ⇔ 

     + = + − − = + −  

    2 2 2

    S 2m 1S 2m 1

    3(2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2

    2

     = − = − ⇔ ⇔ 

     − − = + − = − +  

    Từ ñiều kiện suy ra 2 2 4 2 4 2(2m 1) 6m 12m 8 m .

    2 2

    − +

    − ≥ − + ⇔ ≤ ≤

    Xét hàm số 23 4 2 4 2f(m) m 3m 2, m

    2 2 2

    − +

    = − + ≤ ≤ .

    Ta có 4 2 11 6 2 4 2 4 2min f(m) f , m ;

    2 4 2 2

       − − − +  = = ∀ ∈       

    Vậy 11 6 2 4 2min P m

    4 2

    − −

    = ⇔ = .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ
  • Bàn Về Phương Trình Kế Toán Cơ Bản
  • Bài Tập Có Lời Giải Về Tài Sản Và Nguồn Vốn
  • Chuyên Đề Hóa Học 8: Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 8 Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
  • Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao Lớp 11
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay
  • Giải Phương Trình Tình Yêu Bằng Toán, Kết Quả Như Một Mũi Dao Đâm Vào Trái Tim Những Kẻ Yêu Đơn Phương
  • Bài Tập Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Skkn Một Số Phương Pháp Giúp Học Sinh Lớp 9 Học Tốt Giải Phương Trình Có Chứa Ẩn Ở Mẫu Skkn Nam 20122013 Doc
  • Lý thuyết về hệ phương trình đối xứng loại 2

    Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: f(x;y) = a (*)

    f(y;x) = a

    Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: f(x; y)- f(y; x) = 0 ⇔ (x- y)g(x; y) = 0

    • Nếu hệ phương trình ( ∗ ) có nghiệm x0 ; y0 thì y0 ; x0 cũng là nghiệm của hệ phương trình ( ∗ ). Từ đó suy ra, nếu hệ

      phương trình ( ∗ ) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0

    • f(x; y) + f(y; x) = 2a là một phương trình đối xứng.

    Ví dụ minh họa

    Giải các hệ phương trình sau.

    1, x^3 + 1 = 2y

    y^3 + 1 = 2x

    Giải các hệ phương trình sau.

    1, 3/x^2 = 2x + y Điều kiện: x,y ≠ 0

    3/y^2 = 2y + x

    Giải các hệ phương trình sau.

    1, √x + √2- y = 2

    √y + √2- x = 2

    2, √5x + 1 + √12- y = 7 Điều kiện: 0 ≤ x, y ≤ 2.

    √5y + 1 + √12- x = 7

    Giải các hệ phương trình sau.

    1, x^3 = 2x + y

    y^3 = 2y + x

    2, (x – 1)(y^2 + 6) = y(x^2 + 1)

    (y – 1)(x^2 + 6) = x(y^2 + 1)

    Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x + √y- 1 = m

    2y + √x- 1 = m

    Điều kiện: x, y ≥ 1.

    Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

    1, x = y^2 – y + m.

    y = x^2 – x + m.

    2, 3x^2 = y^3 – 2y^2 + my.

    3y^2 = x^3 – 2x^2 + mx.

    1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x0 = y0

    Thay vào hệ ta được: x^2o – 2xo + m = 0, phương trình này có nghiệm duy nhất ⇔ Δ′ = 1- m = 0 ⇔ m = 1.

    Điều kiện đủ: Với m = 1 hệ trở thành: x = y^2 – y + 1.

    y = x^2 – x + 1.

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 1.

    Chứng minh rằng hệ phương trình 2x^2 = y + a^2/y có nghiệm duy nhất với mọi a ≠ 0.

    2y^2 = x + a^2/x

    2y^2 = x + a^2/x

    Thay vào hệ phương trình, ta được: a^2 = 2x^3 – x^2 = f(x) ( ∗ ).

    Ta có: f(x) = 2x(3x -1) ⇒ f′(x) = 0 ⇔ x =1/3

    Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi a ≠ 0

    Bài tập giải hệ phương trình đối xứng loại 2

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Bài tập hệ phương trình đối xứng

    BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH_

    Loại 1:Hệ phương trình đối xứng loại 1

    Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

    Bài 2: Cho hệ phương trình sau:

    a.Tìm m để hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất. b.Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt.

    Bài 3:Cho hệ phương trình:

    a.Giải hệ với m = 1. b.Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 cặp nghiệm

    Bài 4: Cho hệ phương trình:

    a.Giải hệ với m = -3. b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

    Bài 5: Cho hệ phương trình:

    Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

    Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:

    Loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2

    Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

    Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất

    ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG- ĐỀ SỐ 4

    PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

    Câu I (2 điểm) Cho hàm số , m là tham số

    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.

    2. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

    Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình :

    2. Giải phương trình:

    Câu III (1 điểm) Tính tích phân

    Câu IV (1 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

    Câu V (1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

    PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)

    1. Theo chương trình chuẩn.

    Câu VI.a (2 điểm)

    1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng

    x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

    2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

    Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

    Câu VII.a (1 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau:

    (Ở đây lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử)

    2. Theo chương trình nâng cao.

    Câu VI.b)1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): .Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.

    2. Cho mặt phẳng (P): và các đường thẳng .

    Tìm các điểm sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

    Câu VII.b) Tính đạo hàm f'(x) của hàm số và giải bất phương trình

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Pt Bậc Nhất 2 Ẩn Số
  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
  • Bài Toán Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Toán Đại Số 8 Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Đại Số 8 Tiết 48: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Thức (Tiết 1)
  • Bài Tập Đại Số 10
  • Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể.

    Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:

    “Hệ phương trình đối xứng”

    Phần b: những nội dung cụ thể

    I. Hệ phương trình đối xứng loại I:

    Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

    – Phương trình n ẩn x1, x2, …, xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.

    – Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng:

    x1 + x2 + … + xn

    x1x2 + x1x3 + … + x1xn + x2x1 + x2x3 + … + xn-1xn

    ………………………….

    x1x2 … xn

    – Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

    – Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.

    – Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.

    *) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +… an, a0 ≠ 0, ai ẻ P có nghiệm trên P là c1, …, cn thì

    phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn:

    A. Lý thuyết:

    1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10).

    Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì

    Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình

    X2 – SX + P = 0.

    2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn.

    Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi

    VD:

    3.Cách giải:

    + Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy

    + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P.

    + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0.

    + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình

    X2 – SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán.

    4.Bài tập:

    Loại 1: Giải hệ đơn thuần

    VD1: Giải hệ (I)

    Giải: (I) Û

    Đặt S = x+y, P = xy ta có Û Û

    Û

    Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X2 – 2X = 0 Û

    ị {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}

    Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm

    Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}.

    Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn

    VD2: Giải hệ (II)

    Giải: (II) Û Û

    Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}.

    VD3: Giải hệ

    Giải:

    Vậy x5, y5 là nghiệm của phương trình X2 – 4X -32 = 0 Û

    Vậy Û

    Chú ý: Với hệ có dạng

    + Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn như nghiệm của phương trình

    X2 – aX + bn = 0.

    + Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được.

    VD4: Giải hệ (1)

    Giải : Đặt -y= t ta được hệ

    (2)

    Đăt S= x+t ,P= xt ta có (3)

    Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6

    Từ đó suy ra nghiệm của (2) .

    có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3).

    VD 5: Giải hệ: (1)

    Giải: Đặt ta có hệ

    (2)

    Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1).

    Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số .

    VD6: Giải và biện luận hệ:

    Giải: ĐK: x, y ≠ 0. Khi đó hệ trên tương đương với:

    Û Û

    Với m = -2: Hệ vô nghiệm

    Với m -2: Hệ tương đương với (*)

    Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 – 4.

    Vậy với m =2 thì hệ là

    với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm.

    VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm

    Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành

    Vậy (x;y) là nghiệm của:

    Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}.

    Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ.

    VD1: Giải hệ phương trình: (ĐHSP-91)

    Giải: Đặt . Vậy ta có hệ :

    Û

    Û

    u, v là nghiệm của phương trình

    ị ị

    Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = {}.

    VD2: Cho x, y, z thoả mãn: (I)

    CMR: .

    Giải: (I) Û

    Đặt y + z = S; yz = P ị y, z là ngiệm của phương trình X2 – SX + P = 0

    ị S2 – 4P ³ 0

    Từ hệ có

    Vậy (5-x)2 -4(x2-5x+8)

    Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có .

    B. Bài tập:

    I) Giải hệ phương trình:

    1) (ĐHAN -97)

    2) (ĐHNT-98)

    3)

    4)

    5)

    6) (ĐHNT_99)

    7) (ĐHAN-99)

    8) (ĐH HH-99)

    9)

    10)

    11)

    II. giải Hệ phương trình có tham số:

    1. Giải và biện luận:

    a) (QHQT-99)

    b) (129-III)

    c) (ĐHT-96)

    2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình

    a) có nghiệm (ĐHQG-99)

    b) có nghiệm duy nhất (HVQS-00)

    c) có đúng hai nghiệm (19-I)

    d) có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I)

    3. (1II)

    a. Giải hệ khi m = 5

    b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

    4. (7I)

    a. Giải hệ khi m = 7/2

    b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

    5. (40II)

    a. Giải hệ khi m=2

    6. Cho x,y,z thoả mãn;

    CMR:

    III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ

    1. Giải phương trình: (ĐHKT-95)

    2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm

    a. (ĐHQG-98)

    b. (ĐHNT-95)

    c. (ĐHNT-98)

    phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn:

    a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng.

    b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:

    Cho 3 số x, y, z có:

    Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0. (*)

    Thậy vậy: (X – x)(X – y)(X – z) = 0

    [ X2 – (x + y)X + xy ](X – z) = 0

    X3 – X2z – X2(x + y) + (x + y)zX + xyX – xyz = 0

    X3 – αX2 + βX – γ = 0.

    (*) có nghiệm là x, y, z ị phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.

    c.Cách giải:

    + Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng α, β, γ

    Khi đó ta đặt

    Ta được hệ của α, β, γ.

    + Giải phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ.

    Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất ị hệ vô nghiệm.

    có 1 nghiệm kép duy nhất ị hệ có nghiệm.

    có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn ị hệ có 3 nghiệm.

    (1) có 3 ngiệm ị hệ có 6 nghiệm.

    d. Bài tập:

    VD1: Giải hệ:

    Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:

    x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx).

    x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.

    Vậy 6 = 22 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = -1.

    8 = 23 – 3.2.(-1) + 3xyz ị xyz = -2.

    ị x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 – 2t2 – t + 2 = 0 Û

    Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).

    VD2: Giải hệ

    Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) Û

    Do (2) ị xyz = 27

    Vậy hệ Û

    Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – 9X2 + 27X – 27 = 0

    Û (X – 3)3 = 0

    Û X = 3.

    Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).

    VD3: Giải hệ

    Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = 0.

    x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ị xyz = 0.

    Vậy có:

    ị (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – aX2 = 0 ị

    Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}

    e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này

    + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại.

    + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.

    VD:

    Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ

    Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).

    Từ (2) và (4) ị xyz = 27 (5)

    Từ (2) ị x2(y + z) + xyz = 27x (6)

    Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 – x) + 27 – 27x = 0

    x3 – 9×2 + 27x – 27 = 0

    (x – 3)3 = 0 Û x = 3

    Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: ị y = z = 3.

    Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.

    Ii. Hệ phương trình đối xứng loại iI:

    1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn:

    A. Định nghĩa:

    – Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình này trở thành phương trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn.

    B. Bài tập ví dụ:

    VD1: Giải hệ

    Giải:

    (I)

    Vậy hệ có tập nghiệm:

    VD2: Giải hệ:

    Giải:

    Đặt

    Hệ trở thành (Do u, v ≥ 0)

    Vậy hệ có nghiệm (1,1)

    VD3: Cho hệ (I)

    a.Tìm m để hệ có nghiệm

    b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

    Giải:(I)

    a)Hệ có nghiệm Û

    b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = 1.

    Vậy m = 1.

    C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0). Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0.

    Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02 – x0 + m.

    Û x02 – 2×0 + m = 0.

    Do x0 cũng là duy nhất ị ∆’xo = 0 Û 1 – m = 0 Û m = 1

    Điều kiện đủ:

    Thay m = 1 vào hệ ta có: Û

    Û

    Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1).

    VD1: Giải phương trình: (73II)

    Giải: Đặt ị 2x – 1 = t3.

    Ta có hệ Û Û

    Û ị

    Vậy phương trình có 3 nghiệm 1; .

    C. Bài tập:

    1.Giải hệ phương trình:

    a. (ĐHQG – 99)

    b. (ĐHTL- 01)

    c. (ĐHTN – 01)

    d. (TH – 94)

    e. (TH – 96)

    g. (ĐHNG – 00)

    h.

    2. (ĐHCĐ – 99)

    a. Giải hệ với m = 0.

    b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

    3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất.

    4. Giải phương trình: a. (112III)

    b. (TH – 94).

    2. Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn:

    A. Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.

    B. Ví dụ: Giải hệ

    (ĐHSP-91)

    Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ

    Hệ này đương tương với 4 hệ sau:

    Giải (I):

    (I) Û Û Û Û

    Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ()

    Làm tương tự (II) có nghiệm ();()

    Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ()

    Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).

    Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.

    VD2: Giải hệ phương trình:

    Giải: Hệ Û

    Û

    Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0);

    (0;0;1); ().

    VD4: Giải hệ:

    Giải: Xét hai trường hợp sau:

    TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:

    Giả sử x=y có hệ

    Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là :

    Tương tự y=z, z=x ta cũng được nghiệm như trên.

    TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau .

    z<y<xịf(x)<f(y)<f(z)ịy+1<z+1<x+1ịy<z<x(vô lý).

    Vậy điều giả sử là sai.

    TH2 vô nghiệm.

    VD5: (Vô địch Đức)

    Giải:

    TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau

    Giả sử x = y ta có hệ

    Từ (1) ị x = 0, x = -1.

    x = 0. Thay vào (2), (3) ị z=0.

    x = -1. Thay vào (2), (3) ị vô lý

    Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)

    Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).

    TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.

    Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1

    ị ± 2 = 0 (vô lý)

    Vậy x2 ≠ 1 ị 2x + x2y = y Û

    Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với:

    f(t) = xác định trên D = R {±1}

    f’(t) = với mọi tẻD

    ị hàm số đồng biến trên D

    Vậy điều giả sử sai. Do vai trò x, y, z như nhau.

    Vậy TH2 – hệ vô nghiệm

    Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)

    C. Bài tập

    1.

    2.

    Hướng dẫn: Đặt .

    Đưa về giải hệ

    3. 4. 5.

    Phần C: kết luận

    Trong thực tế giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về “Hệ phương trình đối xứng”. Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lượng các bài tập cũng như về phương pháp giảng dạy.

    Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong tổ bộ môn Toán và của các đồng nghiệp. Xin trân trọng cám ơn !

    Yên Lạc, tháng 01 năm 2006

    Người viết

    Doãn Hoài Nam

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I
  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ
  • Bàn Về Phương Trình Kế Toán Cơ Bản
  • Bài Tập Có Lời Giải Về Tài Sản Và Nguồn Vốn
  • Chuyên Đề Hóa Học 8: Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 8 Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Đối Xứng, Phản Đối Xứng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Kỹ Năng Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn “chương 3, Đại Số 10 Cb”
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Có Ẩn Dưới Dấu Căn Toán 10
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn Bậc Hai
  • Trắc nghiệm phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

    Bài 1: Nghiệm của phương trình 2(sinx + cosx) + sinxcosx = 2 là:

    Đáp án: A

    Bài 3: Một nghiệm của phương trình sin 3x – cos 3 x = sinx -cosx là:

    Bài 4: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:

    Đáp án: B

    Bài 5: Tập nghiệm của phương trình cos 3x + sin 3 x = sinx + cosx là:

    Đáp án: B

    Bài 7: Cho phương trình 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0. Trong các phương trình sau, phương trình nào không tương đương với phương trình đã cho?

    Bài 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1 – 0.5sin2x là:

    Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sinxcosx – sinx – cosx + m = 0 có nghiệm?

    Đáp án: A

    Bài 10: Từ phương trình 5sin2x – 16(sinx – cosx) + 16 = 0, ta tìm được sin(x – π/4) có giá trị bằng:

    Bài 11: Từ phương trình (1 + √3)(cosx + sinx) – 2sinxcosx – √3-1=0, nếu ta đặt t = cosx + sinx thì giá trị của t nhận được là:

    A. t = 1 hoặc t = √2. B. t = 1 hoặc t = √3.

    Đáp án: B

    Bài 13: Từ phương trình √2(sinx + cosx) = tanx + cotx, ta tìm được cosx có giá trị bằng:

    Bài 14: Từ phương trình 1 + sin3x + cos3x = 3/2 . sin2x, ta tìm được cos(x + π/4) có giá trị bằng:

    Bài 15: Nếu (1 + √5)(sinx-cosx)+sin2x-1-√5=0 thì sinx bằng bao nhiêu?

    A. sinx = √2/2. B. sinx = √2/2 hoặc sinx = -√2/2.

    C. sinx = -1 hoặc sinx = 0. D. sinx = 1 hoặc sinx = 0.

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-luong-giac.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Bậc 2 Trong Java
  • Phương Trình Trùng Phương Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Giải, Các Dạng Bài Tập
  • Cách Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2
  • Phương Trình Lượng Giác Bậc Một Theo Sin ,cos
  • Giải Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100