Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và mcách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B . Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n. m cách.
+ Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
+ Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: P n=n!=n(n-1)(n-2)…1.
+ Chú ý: 0! = 1
⇒ Vậy có P 5 = 5! = 120 cách sắp.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
° Lời giải:
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.
⇒ Vậy có 4.24 = 96 số.
+ Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:
II. Bài tập áp dụng Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh nam. có 308 cách
Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh nữ. Có 325 cách
Vậy, có 308 + 325 = 633 cách chọn một học sinh tham dự cuộc thi trên.
P(x) =ax 3+bx 2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng.
a) Các hệ số tùy ý;
b) Các hệ số đều khác nhau.
a) Có 4 cách chọn hệ số a (vì a≠0). Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số d. Vậy có. 4.5.5.5 =500 đa thức.
b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).
– Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.
– Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.
– Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.
Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.
Chọn học sinh nam ta có 15 cách chọn
Ứng với 1 học sinh nam, chọn 1 học sinh nữ có 25 cách chọn
Vậy số cách chọn là 15. 25=375 cách.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ra số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số lẻ?
a) Số tự nhiên có bốn chữ số dạng là: abcd
Có 7 cách chọn a
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Có 4 cách chọn d
Vậy có 7.6.5.4 = 840 số
b) Cách tính các số lẻ:
Cách 1. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số dạng:abcd
Vì số lẻ nên tận cùng là số lẻ nên d có 4 cách chọn.
Có 6 cách chọn a
Có 5 cách chọn b
Có 4 cách chọn c
Vậy có 4.6.5.4 = 480 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau
Cách 2. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau dạng: abc1 hoặc abc3 hoặc abc5 hoặc abc7
+ Xét số dạng abc1
chọn a có 6 cách
chọn b có 5 cách
chọn c có 4 cách
Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1
+ Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập từ các số đã cho.
a) Hỏi lập được bao nhiêu số.
b) Có bao nhiêu số chia hết cho 5.
a) Số tự nhiên có 3 chữ số dạng: abc
Có 6 cách chọn a vì a≠0.
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Vậy có 6.6.5 = 180 số
b) Số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 5 dạng: ab0 hoặc ab5
+ Xét số dạng ab0
Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số
+ Xét số dạng ab5
Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số
⇒ Tổng số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 là 30+25=55 số
Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là: 8! = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)
Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.
a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;
b) Ít nhất một lá cờ được dùng.
a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ.
Vậy có: 5! =120 tín hiệu được tạo ra.
b) Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả.
. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.
Chọn 3 nam từ 6 nam. có C36 cách.
Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C25 cách.
Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.
Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Có bao nhiêu cách lập sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.
♦ TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Q)
♦ TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q)