Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian Quan Hệ Vuông Góc

--- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Hóa Học Nâng Cao Môn Hóa Lớp 8
  • Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • 3 Dạng Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử Cơ Bản Nhất
  • Bài Tập Hai Mặt Phẳng Song Song
  • Luyện Tập Về Thừa Kế Trong Java
  • Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Chuyên đề vecto trong không gian quan hệ vuông góc.

    Tài liệu gồm có 99 trang, tóm tắt các kiến thức SGK cần nắm và hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc thuộc chương trình Hình học 11 chương 3.

    Khái quát nội dung tài liệu chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc:

    §1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Các định nghĩa.

    1. Vectơ, giá và độ dài của vectơ.

    2. Hai vectơ bằng nhau, vectơ_không.

    II. Phép cộng và phép trừ vectơ.

    1. Định nghĩa.

    2. Tính chất.

    3. Các quy tắc cần nhớ khi tính toán.

    a. Quy tắc ba điểm.

    b. Quy tắc hình bình hành.

    c. Tính chất trung điểm, trọng tâm của tam giác.

    d. Quy tắc hình hộp.

    III. Phép nhân vectơ với một số.

    IV. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.

    1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.

    2. Định nghĩa.

    3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.

    4. Phân tích(biểu thị) một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Xác định các yếu tố của vectơ.

    Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức vectơ.

    Dạng 3. Chứng minh ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

    1. Góc giữa hai vectơ trong không gian.

    2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

    II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

    III. Góc giữa hai đường thẳng.

    IV. Hai đường thẳng vuông góc.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

    Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Định nghĩa.

    II. Điều kiện để đường thẳng vuônmg góc với mặt phẳng.

    III. Tính chất.

    IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

    V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

    1. Phép chiếu vuông góc.

    2. Định lí ba đường vuông góc.

    3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

    Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

    Dạng 3. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

    Dạng 4. Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.

    A. KIẾN THỨC CẤN NẮM

    I. Góc giữa hai mặt phẳng.

    1. Định nghĩa.

    2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

    3. Diện tích hình chiếu của một đa giác.

    II. Hai mặt phẳng vuông góc.

    III. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

    IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.

    Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

    Dạng 3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

    Dạng 4. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §5. KHOẢNG CÁCH.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Khoảng cách từ một điểm đền một đường thẳng, đến một mặt phẳng.

    1. Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng ∆.

    2. Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P).

    II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

    1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

    2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

    III. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    Dạng 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    ….

    Like fanpage của chúng tôi để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt.

    THEO THUVIENTOAN.NET

    --- Bài cũ hơn ---

  • 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số
  • Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số
  • Đáp Án Bài Tập Csdl
  • Bài Tập Toán Lớp 2 Cơ Bản Và Nâng Cao Cho Bé
  • Hệ Mật Mã Khối Và Các Thuật Toán Mã Hóa Khối Kinh Điển: Des
  • Bttn Tổng Hợp Hidrocacbon Không No (Có Lời Giải Chi Tiết)

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Luyện Tập Anken Và Ankadien
  • Bài Tập Tài Chính Quốc Tế
  • Bài Tập Tự Luận Arbitrage Quốc Tế Và Ngang Giá Lãi Suất (Có Đáp Án Tham Khảo)
  • Bài Tập Bjt Có Đáp Số
  • Bài Tập Hiệu Điện Thế
  • BTTN TỔNG HỢP HIĐROCACBON KHÔNG NO

    Câu 6: Ba hiđrocacbon X, Y, Z là đồng đẳng kế tiếp, khối lượng phân tử của Z bằng 2 lần khối lượng phân tử của X. Các chất X, Y, Z thuộc dãy đồng đẳng

    Câu 7: Anken X có đặc điểm: Trong phân tử có 8 liên kết xích ma. CTPT của X là

    Câu 9: Licopen, công thức phân tử C 40H 56 là chất màu đỏ trong quả cà chua, chỉ chứa liên kết đôi và liên kết đơn trong phân tử. Hiđro hóa hoàn toàn licopen được hiđrocacbon C 40H 82. Vậy licopen có

    Câu 10: Cho các chất sau: 2-metylbut-1-en (1); 3,3-đimetylbut-1-en (2); 3-metylpent-1-en (3);

    3-metylpent-2-en (4); Những chất nào là đồng phân của nhau ?

    Câu 11: Hợp chất nào sau đây có đồng phân hình học ?

    Câu 12: Những hợp chất nào sau đây có đồng phân hình học (cis-trans) ?

    Số chất có đồng phân hình học là:

    Câu 14: Áp dụng quy tắc Maccopnhicop vào trường hợp nào sau đây ?

    C. Phản ứng cộng của HX vào anken đối xứng.

    B. Phản ứng trùng hợp của anken.

    D. Phản ứng cộng của HX vào anken bất đối xứng.

    Câu 15: Khi cho but-1-en tác dụng với dung dịch HBr, theo qui tắc Maccopnhicop sản phẩm nào sau đây là sản phẩm chính ?

    Câu 17: Cho các chất: xiclobutan, 2-metylpropen, but-1-en, cis-but-2-en, 2-metylbut-2-en. Dãy gồm các chất sau khi phản ứng với H 2 (dư, xúc tác Ni, t o), cho cùng một sản phẩm là:

    Câu 18: Cho hỗn hợp tất cả các đồng phân mạch hở của C 4H 8 tác dụng với H 2O (H+,t o) thu được tối đa bao nhiêu sản phẩm cộng ?

    Câu 19: Có bao nhiêu anken ở thể khí (đkt) mà khi cho mỗi anken đó tác dụng với dung dịch HCl chỉ cho một sản phẩm hữu cơ duy nhất ?

    Câu 20: Hiđrat hóa 2 anken chỉ tạo thành 2 ancol (rượu). Hai anken đó là

    Câu 22: Hiđrat hóa hỗn hợp X gồm 2 anken thu được chỉ thu được 2 ancol. X gồm

    C. B hoặc D. D. CH 3CH=CHCH 3 và CH 2=CHCH 2CH 3.

    Câu 23: Số cặp đồng phân cấu tạo anken ở thể khí (đkt) thoả mãn điều kiện: Khi hiđrat hoá tạo thành hỗn hợp gồm ba ancol là

    Câu 24: Số cặp đồng phân anken ở thể khí (đkt) thoả mãn điều kiện: Khi hiđrat hoá tạo thành hỗn hợp gồm ba ancol là:

    A. 6. B. 7. C. 5. D. 8.

    Câu 26: Hai chất X, Y có CTPT C 3H 6 vàC 4H 8 và đều tác dụng được với nước brom. X, Y là

    Câu 27: Có hai ống nghiệm, mỗi ống chứa 1 ml dung dịch brom trong nước có màu vàng nhạt. Thêm vào ống thứ nhất 1 ml hexan và ống thứ hai 1 ml hex-1-en. Lắc đều cả hai ống nghiệm, sau đó để yên hai ống nghiệm trong vài phút. Hiện tượng quan sát được là:

    A. Có sự tách lớp các chất lỏng ở cả hai ống nghiệm.

    B. Màu vàng nhạt vẫn không đổi ở ống nghiệm thứ nhất

    C. Ở ống nghiệm thứ hai cả hai lớp chất lỏng đều không màu.

    Câu 28: Trùng hợp eten, sản phẩm thu được có cấu tạo là:

    Câu 31: Điều chế etilen trong phòng thí nghiệm từ C 2H 5OH, (H 2SO 4 đặc, 170 oC) thường lẫn các oxit như SO 2, CO 2. Chất dùng để làm sạch etilen là:

    A. dd brom dư. B. dd NaOH dư. C. dd Na 2CO 3 dư. D. dd KMnO 4 loãng dư.

    Câu 32: Sản phẩm chính của sự đehiđrat hóa 2-metyl butan-2-ol là chất nào ?

    Câu 33: Khi tách nước từ rượu (ancol) 3-metylbutanol-1 (hay 3-metylbutan-1-ol), sản phẩm chính

    Câu 34: Hợp chất 2-metylbut-2-en là sản phẩm chính của phản ứng tách từ chất nào ?

    Câu 36: Cho 3,36 lít hỗn hợp etan và etilen (đktc) đi chậm qua qua dung dịch brom dư. Sau phản ứng khối lượng bình brom tăng thêm 2,8 gam. Số mol etan và etilen trong hỗn hợp lần lượt là:

    Câu 38: 0,05 mol hiđrocacbon X làm mất màu vừa đủ dung dịch chứa 8 gam brom cho ra sản phẩm có hàm lượng brom đạt 69,56%. Công thức phân tử của X là:

    Câu 40: Dẫn 3,36 lít (đktc) hỗn hợp X gồm 2 anken là đồng đẳng kế tiếp vào bình nước brom dư, thấy khối lượng bình tăng thêm 7,7 gam. Thành phần phần % về thể tích của hai anken là:

    Câu 41: Hỗn hợp X gồm 2 anken là đồng đẳng liên tiếp có thể tích 4,48 lít (ở đktc). Nếu cho hỗn hợp X đi qua bình đựng nước brom dư, khối lượng bình tăng lên 9,8 gam. % thể tích của một trong 2 anken là:

    Câu 42: Dẫn 3,36 lít (đktc) hỗn hợp X gồm 2 anken là đồng đẳng kế tiếp vào bình nước brom dư, thấy khối lượng bình tăng thêm 7,7 gam. CTPT của 2 anken là:

    Câu 44: Một hỗn hợp X gồm ankan A và anken B, A có nhiều hơn B một nguyên tử cacbon, A và B đều ở thể khí (ở đktc). Khi cho 6,72 lít khí X (đktc) đi qua nước brom dư, khối lượng bình brom tăng lên 2,8 gam; thể tích khí còn lại chỉ bằng 2/3 thể tích hỗn hợp X ban đầu. CTPT của A, B và khối lượng của hỗn hợp X là:

    Câu 47: Cho 8960 ml (đktc) anken X qua dung dịch brom dư. Sau phản ứng thấy khối lượng bình brom tăng 22,4 gam. Biết X có đồng phân hình học. CTCT của X là:

    b.Hiđrocacbon X cộng HCl theo tỉ lệ mol 1:1 tạo sản phẩm có hàm lượng clo là 55,04%. X có công thức phân tử là:

    Câu 49: Hỗn hợp X gồm metan và anken, cho 5,6 lít X qua dung dịch brom dư thấy khối lượng bình brom tăng 7,28 gam và có 2,688 lít khí bay ra (đktc). CTPT của anken là:

    Câu 50: Dẫn 3,36 lít (đktc) hỗn hợp X gồm 2 anken là vào bình nước brom dư, thấy khối lượng bình tăng thêm 7,7 gam. CTPT của 2 anken là:

    Câu 51: Cho 10 lít hỗn hợp khí (54,6 o C; 0,8064 atm) gồm 2 olefin lội qua bình dung dịch brom dư thấy khối lượng bình brom tăng 16,8 gam. CTPT của 2 anken là (Biết số C trong các anken không vượt quá 5)

    Câu 52: Một hiđrocacbon X cộng hợp với axit HCl theo tỉ lệ mol 1:1 tạo sản phẩm có thành phần khối lượng clo là 45,223%. Công thức phân tử của X là:

    Câu 56: Cho hỗn hợp X gồm anken và hiđro có tỉ khối so với heli bằng 3,33. Cho X đi qua bột niken nung nóng đến khi phản ứng xảy ra hoàn toàn, thu được hỗn hợp Y có tỉ khối so với heli là 4. CTPT của X là:

    Câu 58: Đốt cháy hoàn toàn a gam hỗn hợp eten, propen, but-2-en cần dùng vừa đủ b lít oxi (ở đktc) thu được 2,4 mol CO 2 và 2,4 mol nước. Giá trị của b là:

    Câu 59: Đốt cháy hoàn toàn V lít (đktc) hỗn hợp X gồm CH 4, C 2H 4 thu được 0,15 mol CO 2 và 0,2 mol H 2 O. Giá trị của V là:

    Câu 60: Đốt cháy hoàn toàn 0,1 mol hỗm hợp gồm CH 4, C 4H 10 và C 2H 4 thu được 0,14 mol CO 2 và 0,23mol H 2 O. Số mol của ankan và anken trong hỗn hợp lần lượt là:

    Câu 62: Đốt cháy hoàn toàn 10ml hiđrocacbon X cần vừa đủ 60 ml khí oxi, sau phản ứng thu được 40 ml khí cacbonic. Biết X làm mất màu dung dịch brom và có mạch cacbon phân nhánh. CTCT của X

    Câu 63: Cho 0,2 mol hỗn hợp X gồm etan, propan và propen qua dung dịch brom dư, thấy khối lượng bình brom tăng 4,2 gam. Lượng khí còn lại đem đốt cháy hoàn toàn thu được 6,48 gam nước. Vậy % thể tích etan, propan và propen lần lượt là:

    Câu 65: Một hỗn hợp X gồm 1 anken A và 1 ankin B, A và B có cùng số nguyên tử cacbon. X có khối lượng là 12,4 gam, có thể tích là 6,72 lít. Các thể tích khí đo ở đktc. CTPT và số mol A, B trong hỗn hợp X là:

    Câu 68: Hỗn hợp X gồm propen và B là đồng đẳng theo tỉ lệ thể tích 1:1. Đốt 1 thể tích hỗn hợp X cần 3,75 thể tích oxi (cùng đk). Vậy B là:

    Câu 70: X, Y, Z là 3 hiđrocacbon kế tiếp trong dãy đồng đẳng, trong đó M Z = 2M X. Đốt cháy hoàn toàn 0,1 mol Y rồi hấp thụ toàn bộ sản phẩm cháy vào 2 lít dung dịch Ba(OH) 2 0,1M được một lượng kết tủa là:

    Phần 1: đốt cháy hoàn toàn thu được 2,24 lít CO 2 (đktc).

    Phần 2: Hiđro hoá rồi đốt cháy hết thì thể tích CO 2 thu được (đktc) là bao nhiêu ?

    Câu 72: Đốt cháy hoàn toàn 20,0 ml hỗn hợp X gồm C 3H 6, CH 4, CO (thể tích CO gấp hai lần thể tích CH 4), thu được 24,0 ml CO 2 (các thể tích khí đo ở cùng điều kiện nhiệt độ và áp suất). Tỉ khối của X so với khí H 2 là:

    Câu 75: m gam hỗn hợp gồm C 3H 6, C 2H 4 và C 2H 2 cháy hoàn toàn thu được 4,48 lít khí CO 2 (đktc). Nếu hiđro hoá hoàn toàn m gam hỗn hợp trên rồi đốt cháy hết hỗn hợp thu được V lít CO 2 (đktc). Giá trị của V là:

    Câu 77: Hỗn hợp X gồm C 3H 8 và C 3H 6 có tỉ khối so với hiđro là 21,8. Đốt cháy hết 5,6 lít X (đktc) thì thu được bao nhiêu gam CO 2 và bao nhiêu gam H 2 O ?

    Câu 78: Hiện nay PVC được điều chế theo sơ đồ sau:

    Nếu hiệu suất toàn bộ quá trình đạt 80% thì lượng C 2H 4 cần dùng để sản xuất 5000 kg PVC là:

    --- Bài cũ hơn ---

  • 16 Câu Trắc Nghiệm Anken Cực Hay Có Đáp Án.
  • Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 11: Anken
  • Một Số Bài Tập Và Hướng Dẫn Lập Trình Hệ Thống Assembly (Phần 1)
  • Các Dạng Bài Tập Adn
  • Bài Tập Arn Và Quá Trình Phiên Mã Có Đáp Án Chi Tiết
  • Bài Tập Vecto Lớp 10 Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Tìm Vecto Chỉ Phương Của Đường Thẳng
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Bài 106: Luyện Tập
  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 117: Luyện Tập Chung Trang 39,40,41
  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 117 : Luyện Tập Chung
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Trang 132 Bài Luyện Tập Chung
  • 1. Khái niệm vectơ

    Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

    Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối.

    Vectơ còn được kí hiệu: a b x , , ,.

    2. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 .

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy kể tên các vectơ khác 0 , có điểm đầu và điểm

    cuối là một trong các điểm A, B, C.

    3. Giá của vectơ AB là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.

    Ví dụ: Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá của vectơ

    AB , và d cũng là giá của vectơ BA

    ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 1 VECTƠ VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA Các em xem video bài giảng tại https://www.youtube.com/watch?v=Q7fQdPeb2Bo&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT 27DVF21N7&index=1 https://www.youtube.com/watch?v=nX2FpKtiVf8&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT2 7DVF21N7&index=2 ĐIỀU CHỈNH NHỎ ÂM THANH ĐỂ DỄ NGHE HƠN NHỮNG ĐIỀU EM CẦN NHỚ 1. Khái niệm vectơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối. Vectơ còn được kí hiệu: , , ,...a b x 2. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 . Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy kể tên các vectơ khác 0 , có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C. 3. Giá của vectơ AB là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B. Ví dụ: Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá của vectơ AB , và d cũng là giá của vectơ BA 4. Hai vectơ a và b gọi là cùng phương nếu 2 vectơ đó có giá song song hoặc trùng nhau.  Nhận xét: Hai vectơ a và b không cùng phương  2 giá cắt nhau 5. Hai vectơ a và b gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều mũi tên. 6. Hai vectơ a và b gọi là ngược hướng nếu chúng cùng phương và ngược chiều mũi tên. b a b a ba b a ba d BA ba ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 2 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có 2 đáy AB và CD(2 đường thẳng AD và BC không song song). Gọi 2 điểm M, N nằm trên đường thẳng CD. a) Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không ? Nếu cùng phương thì hãy xét hướng của các cặp vectơ đó? AB và CD , DC và MN , AD và BC . b) Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với CN . 7. Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn AB. Kí hiệu AB AB . 8. Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Kí hiệu a b . Ví dụ 3: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Hãy kể tên các vectơ bằng với vectơ BM .  Nhận xét:  ,AB AC cùng phương  A, B, C thẳng hàng  ,AB CD cùng phương  Hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau.  0 AB Hai điểm A, B trùng nhau.    AB AC B C BÀI TẬP Bài 1. Cho hình lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. a) Chỉ ra các vectơ khác 0 và cùng phương với vectơ FC . b) Tìm các vectơ bằng AB . ĐÁP ÁN: a) , , D, , O,OF, , ,AB BA E DE F OC CO CF . b) O, , DF OC E Bài 2. Có kết luận gì về vị trí của các điểm A, B, C trong các trường hợp sau: a) ,AB AC cùng phương b) , DAB C cùng phương. d) ,AB AC ngược hướng và độ dài AB = AC. e) AB AC f) 0AB TRẢ LỜI a) Ba điểm A, B, C thẳng hàng vì khi ,AB AC cùng phương thì 2 đường thẳng AB, AC song song hoặc trùng nhau. Hai đường AB, AC có chung điểm A nên không thể song song được, chỉ có thể trùng nhau. Do đó, 3 điểm A, B, C thẳng hàng. b a ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 3 b) ,AB AC cùng hướng nên suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 2 điểm B và C nằm cùng phía c) ,AB AC ngược hướng nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A phải nằm giữa 2 điểm B và C. Mặt khác độ dài AB = AC nên A là trung điểm của BC. Bài 3. Cho tam giác ABC đều, có M là trung điểm BC. Các đẳng thức sau đây đúng hai sai: a) AB AC b) BM MC c) AB BC CA  d) 3 2 AB AM  TRẢ LỜI a) Đẳng thức AB AC sai vì 2 vectơ ,AB AC chỉ bằng nhau về độ dài, nhưng không cùng hướng theo định nghĩa. ĐẲNG THỨC SAI b) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Hai vectơ ,BM MC cùng hướng và độ dài bằng nhau nên đây là 2 vectơ bằng nhau. c) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Tam giác ABC đều nên 3 cạnh AB, BC, CA có độ dài bằng nhau. Nghĩa là  AB BC CA . d) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Vì đây chính là công thức tính độ dài đường cao trong tam giác đều. Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ABCD là hình bình hành AB DC  . Chứng minh:" ABCD là hình bình hành  AB DC " Vì ABCD là hình bình hành nên 2 vectơ ,AB DC cùng phương, cùng hướng và độ dài bằng nhau. Suy ra AB DC . Chứng minh : " AB DC  ABCD là hình bình hành" Tứ giác ABCD có AB DC , suy ra {𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ⟹Tứ giác ABCD có AB // CD và độ dài AB = CD. Suy ra AB DC . Vậy ABCD là hình bình hành AB DC  . Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM lần lượt cắt DB tại E và F. Chứng minh DE EF FB  . Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng ,MK CP KL BN   . a) Chứng minh KP PN . b) Xét tính chất của tứ giác AKBN. Chứng minh A và L trùng nhau. C A D B ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 4 LỜI GIẢI a)  MK CP Tứ giác MCPK là hình bình hành  KP MC Mặt khác: PN là đường trung bình tam giác ABC nên tứ giác PNCM là hình bình hành  PN MC . Vậy  KP PN MC . b) Theo câu a ta có KP PN , suy ra P là trung điểm của KN. Xét tứ giác AKBN có P là trung điểm của 2 đường chéo KN và AB. Suy ra tứ giác AKBN là hình bình hành nên BN KA . Mặt khác theo giả thiết ta có: KL BN . Suy ra   KL KA A L BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA. a) Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không: AB và MB , QM và BD , AD và MC . b) Tìm các vectơ cùng hướng, ngược hướng với vectơ MN ? c) Tìm các vectơ lần lượt bằng với các vecto OB ? TRẢ LỜI a) Hai vectơ AB và MB cùng phương vì có giá trùng nhau. Hai vectơ QM và BD cùng phương vì có giá song song. Hai vectơ AD và MC không cùng phương vì có giá cắt nhau(kéo dài 2 đường MC và AD sẽ thấy rõ 2 đường thẳng này cắt nhau. b) Các vectơ cùng hướng với vectơ MN là: , , ,AC QP AO OC . Các vectơ ngược hướng với vectơ MN là: , , , ,CA PQ OA CO NM . c) Các vectơ bằng với vectơ OB là , ,DO QM PN . Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D. Chứng tỏ E DA B . Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy dựng các điểm M, N sao cho ,AM BC AN CB   . Nhận xét gì về hai vecto ,AM AN và 3 điểm A, M, N. Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM = CN. Chứng minh AN MC và DM BN . L K P N M A B C Q P N M O CD B A ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 5 Bài 6. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD, AB = 2CD. Từ C vẽ CI DA . a) Chứng minh I là trung điểm AB và DI CB . b) Chứng minh AI IB DC  . Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Dựng , , ,AM BA MN DA NP DC PQ NM     . Chứng minh rằng 0AQ  . BÀI TẬP VỀ TỔNG VÀ HIỆU VECTƠ CÁC KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VECTƠ Kỹ thuật 1: Quy tắc 3 điểm Với 3 điểm A, B, M tùy ý, ta có  Quy tắc theo phép cộng: 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .  Quy tắc theo phép trừ: 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑴𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Kỹ thuật 2: Quy tắc hình bình hành  Nếu ABCD là hình bình hành thì B D CA A A  .  Ý nghĩa: Tổng 2 vectơ 2 cạnh bằng vectơ đường chéo.  Ta có thể áp dụng theo các cách khác: DB BA C B  ; DB AC C C  Tính chất của phép cộng vectơ Cho 3 vectơ , ,a b c tùy ý, ta có Tính chất giao hoán: a b b a   . Tính chất kết hợp :    a b c a b c     . D B C A A B M A B M ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 6 Tính chất của vectơ-không: 0 0a a a    . Vectơ đối  Vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a gọi là vectơ đối của vectơ a . Kí hiệu là a .  Vectơ đối của vectơ AB là BA .  Nhận xét:  BA AB   Nếu 2 vectơ a và b đối nhau thì ta có : 0a b  . BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Có 3 cách để chứng minh đẳng thức vectơ. Một là biến đổi từ vế trái thành vế phải. Hai là biến đổi từ vế phải thành vế trái. Ba là chứng minh đẳng thức đó tương đương với một đẳng thức đúng đã biết. Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng a) 0   AB BC CD DA b)   AB AD CB CD c) D EA BE CF A BF CD     . Giải: a)     0        B B D DVT A C C A AC CA AA VP . b) Cách 1: AB AD CB CD DB DB     (luôn đúng). Cách 2: AB AD DA AB DB CB CD      . Cách 3:  VT AB AD AC CB AC CD AC AC CB CD CB CD VP             c) Ta dùng kỹ thuật 1: quy tắc 3 điểm Cách 1: Biến đổi từ vế trái thành vế phải.    E D E E 0 EVT A BF CD E DF F A BF CD A BF CD             Cách 2: Biến đổi từ vế phải thành vế trái.    D EF D D EF DVP A DE BE CF F A BE CF DE F            D 0 DA BE CF A BE CF       . Cách 3: Biến đổi tương đương D E D E 0A BE CF A BF CD A A BE BF CF CD            D E 0 E D 0 0 0E F DF F E DF          (đúng). Bài 2. Cho hình bình hành tâm O. Chứng minh: a) 0  DA DB DC b)   DA DB OD OC c)  CO OB BA d)   MA MC MB MD Giải. a) Cách 1: 0     VT DA DB DC BA DC (vì 2 vectơ đối nhau) Cách 2:   0     VT DA DC DB BD DB b) Cách 1:          VT DA DB DA BD BD DA BA CD OD OC O C A D B ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 7 Cách 2:      VT DA DB BA CD OD OC Cách 3:     DA DB OD OC BA CD . c) Cách 1:        D DVT CO OB CO BO CO O C BA . Cách 2:     VT CO OB OA OB BA . Cách 3:       CO OB BA CO OB BA CO OA d) Cách 1:      VT MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC          0MB MD MB MD VP      (Do ,BA DC là 2 vectơ đối nhau). Cách 2: MA MC MB MD MA MB MD MC BA C         D (đẳng thức đúng). Bài 3. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh 0RJ I PS  Q . Giải. VT RJ I PS RA AJ IB B PC CS        Q Q       0RA CS AJ IB B PC      Q Khó khăn lớn nhất trong bài này là không biết cách tìm điểm chèn. Các em hãy vẽ hình rõ ràng, bạn sẽ nhận ra rằng RJ có mối liên hệ gần nhất với điểm A, tương tự cho các điểm B và C. Bài 4. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. a) Xác định các điểm M, N, P sao cho , ,OM OA OB ON OC OB OP OA OC       . Chứng minh các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O). b) Chứng minh rằng 0OA OB OC   . GIẢI a) Muốn chứng minh M, N, P nằm trên đường tròn (O) thì ta chứng minh OM = ON = OP = R. Đầu tiên ta có  OM OA OB , suy ra tứ giác OAMB là hình bình hành. Mặt khác, OA = OB nên suy ra tứ giác OAMB là hình thoi. Lại có tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) nên góc 0 0120 60  AOB OAM . Hình thoi OAMB có góc 060OAM nên tam giác OAM đều     OA OM M O . Tương tự ta chứng minh được các tam giác NOB và POC đều và suy ra 2 điểm P, N đều thuộc đường tròn (O). b) Ta có 0 0     OA OB OC OM OC . Ta sẽ chứng minh O là trung điểm MC. Tứ giác OCPA là hình thoi(do câu a) nên AP OC . Mặt khác, tứ giác OMAP cũng là hình thoi nên AP MO . Suy ra  OC MO O là trung điểm MC 0  OM OC . Vậy 0  OA OB OC . N PM O A B C R P I B A C J Q ... 3     KI IA IB CB KI CB . Ta đã có điểm I được xác định ở câu a. Hai vectơ KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. Vẽ đường thẳng qua I và song song với CB, chọn điểm K sao cho KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. Bài 3: Cho tam giác ABC a) Xác định điểm O sao cho 2 0  OA OB OC . Gọi I là trung điểm AB. Ta có 2 OA OB OI . 2 0 2 2 0 0        OA OB OC OI OC OI OC . Vậy O là trung điểm IC. c) Xác định điểm M sao cho   MA MB MC BC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có 3  MA MB MC MG 3    MA MB MC BC MG BC . Vẽ đường thẳng d qua trọng tâm G và song song với BC. Xác định điểm M trên d sao cho MG và BC cùng hướng, đồng thời độ dài BC = 3MG. Nhận xét: M là giao điểm của d và AB. BÀI TOÁN 4: PHÂN TÍCH VECTƠ THEO 2 VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Phân tích vectơ AM theo 2 vectơ AB và AC . GIẢI Ta có 2 2 3 MB MC BM BC   .  2 2 1 2 3 3 3 3 AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC         Vậy ta phân tích được 1 2 3 3 AM AB AC  . Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. a) Phân tích AK theo 2 vectơ AB và AC . b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh 1 1 4 3 KD AB AC  . K B I A C O I BA C d M G BA C A B C M ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 19 Giải a) Ta có  1 2 AK AN AM  (vì K là trung điểm MN) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 6 AB AC AB AC                b) Ta có  1 1 1 2 4 6 D DK A AK AB AC AB AC            1 1 4 3 AB AC  . Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G. a) Chứng minh rằng 2 1 3 3 AH AC AB  và 1 1 3 3 CH AC AB   . b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 1 5 6 6 MH AC AB  . Giải a) Ta có 2AH AB AG  (quy tắc hình bình hành)    2 4 1 22 3 3 2 3 . .AM AC AB AC AB     Suy ra  2 2 1 3 3 3 AH AC AB AB AC AB     . Mặt khác từ 2 1 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 AH AC AB AC CH AC AB CH AC AB          b) 1 1 1 1 1 1 5 2 2 2 3 3 6 6 MH MC CH BC CH BA AC AC AB AC AB          . Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Phân tích ,AI AF theo ,AB AC . b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo ,AI AF . Giải a) Ta có 2 3 2 3 0CI BI CI BI         2 3 0 5 3 2 1CA AI BA AI AI AB AC        Ta có 5 2 5 2 0FB FC BF CF         5 2 0 3 5 2 2BA AF CA AF AF AB AC       . b) Ta có   3 2 2 3 3 2 .AB AC AM AG AB AC AG      Từ (1), (2), (3) ta có 35 1 48 16 AG AI AF  . BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẰNG HÀNG K M D A B C N H G M A B C F I A B C ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 20 Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi P là trung điểm AB, M là điểm đối xứng với B qua C. Điểm N thỏa điều kiện 2 0NA NC  . a) Phân tích vectơ ,PM PN theo ,AB AC . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Giải a) Ta có 1 2 2 PM PB BM AB BC     1 1 32 2 2 2 2 2 2 AB BA AC AB AB AC AB AC         Mặt khác: 1 2 2 3 PN PA AN AB AC     . b) Theo câu a ta có 3 2 2 1 2 2 3 PM AB AC PN AB AC           1 2 3 2 3 3 1 2 2 3 PM AB AC PM PN PN AB AC                 . Suy ra 2 vectơ ,PM PN cùng phương nên 3 điểm P, M, N thẳng hàng. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N là điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. a) Phân tích AN theo ,AB AC . b) Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, phân tích AG theo ,AB AC . c) Gọi I là điểm xác định bởi BI kBC . Tính AI theo ,AB AC và k. Tìm k để đường thẳng AI đi qua điểm G. M P A B C N ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 21 Giải a) Vì N là trung điểm CD và ABCD là hình bình hành nên ta có 2AD AC AN  và AD AB AC  . 1 2 2 2 AN AC AC AB AC AB AN AC AB        b) Do G là trọng tâm tam giác BMN nên 1 3 3 AG AB AM AN AB AN AB      4 1 5 3 3 2 6 AG AB AC AB AB AC      . 5 1 18 3 AG AB AC   . c)  AI AB BI AB kBC AB k BA AC        1AI k AB k AC   AI đi qua G ,AI AG cùng phương   5 1 6 1 18 3 11 k k k     . Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi điểm D định bởi 2 3 DB BC và I là trung điểm của AD. Gọi M là điểm thỏa AM xAC với x số thực. a) Tính BI theo ,BA BC . b) Tính BM theo ,BA BC . c) Tính x để 3 điểm B, I, M thẳng hàng. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý. Chứng minh: a) 0OA OB OC OD    b) 4MA MB MC MD MO    G N C A B D M ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 22 Giải a) ,OA OC là 2 vectơ đối nhau nên 0OA OC  ,OB OD là 2 vectơ đối nhau nên 0OB OD  . Vậy 0OA OB OC OD    . b) O là trung điểm của AC nên 2MA MC MO  O là trung điểm của BD nên 2MB MD MO  Vậy 4MA MB MC MD MO    . Bài 2. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm D sao cho 2 0 DA AB b) Xác định điểm M sao cho 2  AB AC CM . c) Xác định điểm N sao cho 4 0  AB AC AN . d) Xác định điểm K sao cho 2 KA KB CB . e) Xác định điểm L sao cho   LA LB LC BC . f) Xác định điểm O sao cho 2 0  OA OB OC . g) Xác định điểm S sao cho 2   SA SB SC AB . Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả a) 2 0  MA MB MC b) 0  MA MB MC c) 0  MB MC BC d) 0  MB MC MA e) 0  MA MB MC . Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. a) Xác định điểm E sao cho 0  EA EB EC . b) Xác định điểm I sao cho   IA IB IC ID . c) Xác định điểm F sao cho 2 2 3  FA FB FC FD . Bài 5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng 2    MN AC BD BC AD . Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là một điểm tuỳ ý. Chứng minh: a) 0  AM BN CP b)     OA OB OC OM ON OP . Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, CD và G là trung điểm của IJ. Chứng minh: a) 2 AB CD IJ b) 0   GA GB GC GD c) 4  AB AC AD AG d)  2 3   AB AJ KA DA DB . Bài 8. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh 3AA BB CC GG      . Bài 9. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AG. Chứng minh 6 0AB AC GI   . Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, AC và BD. Chứng minh rằng: O C A B D ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 23 a)  1 2  MN AB DC b)  1 2  MN AC DB c)  1 2  IJ AB DC d)   NA ND BA CD . Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm 2 đường chéo AC, BD, và O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: a) 2 AB CD IJ b) 2 AD BD IJ c) 4   AB AD CB CD IJ d) 0   OA OB OC OD . Bài 12. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho 2BM MC . Chứng minh: a) 2 3 AB AC AM b) 3  MA MB MC MG . Bài 13. Cho tam giác đều tâm O, M là điểm tuỳ ý bên trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác là D, E, F. Chứng minh 3 2   MD ME MF MO . Bài 14. Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm trên cạnh AC sao cho 2 3 JA JC . Hãy phân tích vectơ BJ theo hai vecto BA và BC . Bài 15. Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm trên tia đối của tia AB sao cho 4KB KA . Hãy phân tích vectơ CK theo hai vecto CA và CB . Bài 16. Gọi AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC, AB = 3, AC = 4. Tính DA theo AB và CA . Bài 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm H định bởi: OA OB OC OH   . Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Bài 18. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Tính BA theo GB và GC . ĐÁP SỐ: 2BA GB GC  . ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 24 Bài 19. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Lấy điểm K trên đoạn AC. Tính AK theo CA để ba điểm B, I, K thẳng hàng. ĐÁP SỐ: 1 5 AK AC . Bài 20. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm D thỏa mãn 3 0DA DB  . b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn 3 8MA MB  . Bài 21. Cho tam giác ABC. Xác định D thỏa mãn 3 0DB DC  . Cho M là điểm bất kì và 3MB MC MN  . Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định. ĐÁP ÁN: Đường thẳng MN đi qua điểm D cố định. Bài 22. Cho tam giác ABC. Gọi D, E là các điểm được xác định bởi 2 3 AD AB , 2 5 AE AC . Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi BM mBC . a) Phân tích các vecto ,AK AM theo ,AB AC và m. b) Tìm m để A, K, M thẳng hàng. Bài 23. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho 1 3 AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Bài 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm BC, AM. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AB = 3AK. a) Phân tích ,CN CK theo ,CA CB . b) Chứng minh ba điểm C, N, K thẳng hàng. Bài 25. Cho tam giác ABC, gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Đặt ,  AB b AC c . a) Phân tích vecto AP theo , b c . b) Gọi Q, R là điểm thoả 1 1 , 2 3  Q A c AR b . Tính ,QR RP theo , b c . c) Chứng minh P, Q, R thẳng hàng. Bài 26. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm I thoả CA = 4CI và gọi J là điểm thoả 1 2 2 3  BJ AC AB . Hãy phân tích BI theo , AB AC rồi suy ra B, I, J thẳng hàng. Bài 27. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm sao cho 2 , 2 3IA IB JA JC   . a) Tính IJ theo , AB AC . b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 28. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức 0BC MA  , 3 0AB NA AC   . Chứng minh MN song song AC. Bài 29. Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho 1 4 CI CA , J là điểm sao cho 1 2 2 3 BJ AC AB  . a) Chứng minh 3 4 BI AC AB  . ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 25 b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. c) Hãy dựng điểm J thoả điều kiện đề bài. LỚP TOÁN THẦY XUÂN NHÂN CHUYÊN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH Cơ sở 1: E203 Chung cư Đào Duy Từ, số 51 đường Thành Thái, Phường 14, Quận 10, TPHCM. Cở sở 2: Trường THPT Trần Khai Nguyên, quận 5. LỊCH HỌC NĂM 2022 - 2022 LỚP KHAI GIẢNG THỜI GIAN HỌC ĐỊA ĐIỂM HỌC 12 17g45 Thứ 3 ngày 2-8-2016 Tối thứ 3,5,7 từ 17g45 đến 19g15 Cơ sở 1 11 Ca 1 17g45 Thứ 2 ngày 1-8-2016 Tối thứ 2,4,6 từ 17g45 đến 19g15 Cơ sở 1 11 Ca 2 19g30 Thứ 2 ngày 1-8-2016 Tối thứ 2,4,6 từ 19g30 đến 21g00 Cơ sở 1 10 19g30 Thứ 3 ngày 2-8-2016 Tối thứ 3,5 từ 19g30 đến 21g00 Cơ sở 2 (Phòng 24) ĐẶC BIỆT: - LỚP 12T1 ĐƯỢC TĂNG CƯỜNG CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2022. - PHÒNG HỌC TRANG BỊ MÁY LẠNH. - TÀI LIỆU PHÁT MIỄN PHÍ. ĐĂNG KÍ QUA SỐ ĐT: 098 4321 969 Thầy Nhân

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 117: Luyện Tập Chung (Tiếp Theo)
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Trang 37 Câu 1, 2, 3, 4
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 10 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4 Đúng Nhất Bapluoc.com
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 10 Tập 2 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Trang 40 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Bài Tập Xstk Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Kế Toán Nhà Hàng Có Lời Giải
  • Bài Tập Nghiệp Vụ Kế Toán Bán Hàng Có Lời Giải Rất Chi Tiết
  • Bài Tập Định Khoản Kế Toán Hàng Tồn Kho Có Đáp Án
  • Bản Mềm: Giải Bài Toán Có Lời Văn
  • Bản Mềm: Chuyên Đề Giải Toán Có Lời Văn Lớp 4
  • Page 1

    BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

    1

    1. Đường kính của một loại trục máy là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

    ĐỀ SỐ 1

    22

    ( 250 ; 25 )N mm mm

    µσ

    = =

    . Trục máy được gọi là hợp quy cách nếu đường kính từ

    245mm đến 255mm. Cho máy sản xuất 100 trục. Tính xác suất để:

    a. Có 50 trục hợp quy cách.

    b. Có không quá 80 trục hợp quy cách.

    2. Quan sát một mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg):

    X

    Y

    150-155

    155-160

    160-165

    12

    a. Ước lượng chiều cao trung bình với độ tin cậy

    95%

    γ

    =

    .

    b. Những người cao từ 170cm trở lên gọi là quá cao. Ước lượng trọng lượng trung bình

    những người quá cao với độ tin cậy 99%.

    c. Một tài liệu thống kê cũ cho biết tỷ lệ những người quá nặng (

    70kg≥

    ) là 30%. Cho

    kết luận về tài liệu đó, với mức ý nghĩa

    10%

    α

    =

    .

    d. Lập phương trình tương quan tuyến tính của Y theo X.

    BÀI GIẢI

    1. Gọi D là đường kính trục máy thì

    22

    ( 250 ; 25 )D N mm mm

    µσ

    ∈= =

    .

    Xác suất trục hợp quy cách là:

    1

    Đề thi:GS Đặng Hấn. Lời giải:Th.S Lê Lễ.

    Tài liệu dùng cho sinh viên đại học, học viên thi Th.s, NCS.

    Page 2 255 250 245 250

    0,4.0,3 0,12pZ= = =

    1 (0,12 0,46) 0,42pZ==−+ =

    ( ) 0.0,12 1.0,46 2.0,42 1,3MZ=++ =

    22 2 2

    ( ) 0 .0,12 1 .0,46 2 .0,42 2,14MZ

    =++ =

    22 2

    ()( ) ( ) 2,14 1,3 0,45DZ M M ZZ= − −==

    Vậy

    30 100 0,42UX Y Z=++

    suy ra

    ( ) 30 ( ) 100 ( ) 0,42 ( )MU MX MY MZ=++

    30.30 100.250 0,42.1,3 25900,546=++ =

    22 2

    ( ) 30 ( ) 100 ( ) 0,42 ( )DDDU X Y ZD=++

    22 2

    30 12 100 100 0,42 0,45 101. 0800,0 79=++ =

    (2,50) (1,63) 1 0,9484 0,0516=Φ −Φ = − =

    (1,63) (0,76) 0,9484 0,7764 0,172=Φ −Φ = − =

    (0,11) (0,76) 1 0,5438 0,7764 1 0,3203=Φ +Φ −= + −=

    0,8365 0,5438 0,2927=−=

    Page 7

    0,227 0,473p≤≤

    Tỷ lệ cây loại A trong khoảng từ 22,7% đến 47,3%.

    6

    Số lớp là 5, phân phối chuẩn

    2

    (; )N

    µσ

    có 2 tham số nên: tra bảng chi bình phương

    2

    Χ

    với bậc tự do bằng: số

    lớp-số tham số-1=5-2-1=2.

    Page 8 ĐỀ SỐ 3

    1. Một xí nghiệp có 2 máy. Trong ngày hội thi, mỗi công nhân sẽ chọn ngẫu nhiên một máy

    và sản xuất 100 sản phẩm. Nếu số sản phẩm loại I không ít hơn 70 thì được thưởng. Giả

    sử công nhân A xác suất sản xuất sản phẩm loại I với 2 máy lần lượt là 0,6 và 0,7.

    a. Tính xác suất để A được thưởng.

    b. Giả sử A dự thi 200 lần, số lần A được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?

    c. A phải dự thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần được thưởng không

    dưới 90%?

    2. Theo dõi số kẹo X (kg) bán trong 1 tuần, ta có:

    i

    x

    9

    23

    27

    30

    25

    20

    5

    a. Để ước lượng số kẹo trung bình bán được trong 1 tuần với độ chính xác 10kg và độ

    tin cậy 99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu tuần nữa?

    b. Bằng cách thay đổi mẫu mã, người ta thầy số kẹo trung bình bán được trong 1 tuần là

    200kg. Việc thay đổi này có hiệu quả gì vể bản chất không? (mức ý nghĩa 5%)

    c. Những tuần bán từ 250kg trở lên là những tuần hiệu quả. Ước lượng tỷ lệ những tuần

    hiệu quả với độ tin cậy 90%.

    d. Ước lượng số kẹo trung bình bán được trong những tuần có hiệu quả với độ tin cậy

    98%.

    BÀI GIẢI

    1.

    a. Gọi T là biến cố công nhân A được thưởng .

    I: Biến cố công nhân A chọn máy I.

    II: Biến cố công nhân A chọn máy II.

    ( ) ( ) 0,5PI PII= =

    ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). PT PI PT I PII PT II PI P X PII P Y= + = ≤ ≤ + ≤≤

    trong đó

    (100;0,6) (60;24), (100;0,7) (70;21)XB N YB N∈≈ ∈≈

    b. Gọi Z là số lần được thưởng trong 200 lần A tham gia thi ,

    (200;0,26)ZB∈

    ( ) 1 200.0,26 0,74 ( ) 200.0,26 0,74 1np q Mod Z np q Mod Z−≤≤−+⇒ −≤≤ −+

    Page 10

    0,1262 0,2338p≤≤

    (0,02;24)

    2,492t =

    Vậy

    274,83 295,17kg kg

    µ

    ≤≤

    . Trung bình mỗi tuần hiệu quả bán từ 274,83 kg đến

    295,17kg kẹo.

    Page 11 ĐỀ SỐ 4

    1. Có 3 giống lúa, sản lượng của chúng (đơn vị tấn/ha) là 3 đại lượng ngẫu nhiên

    12 3

    (8;0,8), (10;0,6), (10;0,5)XN XN XN∈∈ ∈

    . Cần chọn một trong 3 giống để trồng,

    theo bạn cần chọn giống nào?Tại sao?

    2. Số kw giờ điện sử dụng trong 1 tháng của hộ loại A là

    (90;100)XN∈

    . Một tổ dân phố

    gồm 50 hộ loại A. Giá điện là 2000 đ/kw giờ, tiền phí dịch vụ là 10 000 đ một tháng. Dự

    đoán số tiền điện phải trả trong 1 tháng của tổ với độ tin cậy 95%.

    3. X( %) và Y(cm) là 2 chỉ tiêu của một sản phẩm. Kiểm tra một số sản phẩm ta có:

    X

    Y

    0-2

    2-4

    4-8

    8-10

    10-12

    100-105

    5

    115-120

    120-125

    5

    a. Để ước lượng trung bình X với độ chính xác 0,2% thì đảm bảo độ tin cậy bao

    nhiêu?

    b. Những sản phẩm có X dưới 2% là loại II. Ước lượng trung bình Y của sản phẩm

    loại II với độ tin cậy 95%.

    c. Các sản phẩm có Y

    125cm là loại I. Để ước lượng trung bình X các sản phẩm

    loại I cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa , nếu muốn độ chính xác là 0,3%

    và độ tin cậy 95%?

    d. Giả sử Y của sản phẩm loại II có phân phối chuẩn, ước lượng phương sai của Y

    những sản phẩm loại II với độ tin cậy 90%.

    BÀI GIẢI

    1. Chọn giống

    3

    X

    vì năng suất trung bình cao nhất (kỳ vọng lớn nhất) và độ ổn định năng

    suất cao nhất (phương sai bé nhất ) .

    2. Trước hết ước lượng khoảng số kw giờ điện 1 hộ loại A phải dùng trong 1 tháng.

    Dùng quy tắc

    2

    σ

    , ta có:

    au au

    σµ σ

    − ≤ ≤+

    Page 12

    Vậy hộ loại A dùng từ 70,4 kw giờ đến 109,6 kg giờ điện trong 1 tháng

    Trong 1 tháng cả tổ phải trả số tiền từ

    50(70,4.2000 10000)+

    đồng đến

    50(109,6.2000 10000)+

    đồng , tức là khoảng từ 7 540 000 đ đến 11 460 000 đồng .

    3. a. n=213,

    6,545x =

    ,

    3,01

    x

    s =

    .

    0,2=x

    ts

    n

    = →

    (0,05;14)

    2,145t =

    Page 13

    Page 14 ĐỀ SỐ 5

    1. Có 3 lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ i có i phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi

    lô 1 sản phẩm. Tính xác suất:

    a. Cả 3 đều tốt.

    b. Có đúng 2 tốt.

    c. Số sản phẩm tốt đúng bằng số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu.

    2. Theo dõi sự phát triển chiều cao của cây bạch đàn trồng trên đất phèn sau một năm, ta có:

    i

    x

    (cm)

    250-300

    300-350

    350-400

    400-450

    450-500

    500-550

    550-600

    5

    20

    25

    30

    30

    23

    14

    a. Biết chiều cao trung bình của bạch đàn sau một năm trồng trên đất không phèn là

    4,5m. Với mức ý nghĩa 0,05 có cần tiến hành biện pháp kháng phèn cho bạch đàn

    không?

    b. Để ước lượng chiều cao trung bình bạch đàn một năm tuổi với độ chính xác 0,2m thì

    đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu?

    c. Những cây cao không quá 3,5m là chậm lớn. Ước lượng chiều cao trung bình các cây

    chậm lớn với độ tin cậy 98%.

    d. Có tài liệu cho biết phương sai chiều cao bạch đàn chậm lớn là 400. Với mức ý nghĩa

    5%, có chấp nhận điều này không?

    BÀI GIẢI

    1.

    a.

    0,9.0,8.0,7 0,504p = =

    b.

    0,9.0,8.0,3 0,9.0,2.0,7 0,1.0,8.0,7 0,398p =++=

    c. X: số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu. X=0,1,2.

    Y: số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm

    p=p+p[ 3, 3]

    pA pX X pX X pX X pX X

    ===+==+==+==

    3 3 03 3 0

    33

    0,8 .0,2 . 0,7 .0,3CC+

    =0,36332

    X: số kiện được chấp nhận trong 100 kiện,

    (100;0,36332) (36,332;23,132)XB N∈≈

    6n→≥

    Page 23

    (0,01;26)

    2,779t =

    37,2088 0,3369xy=−+

    .

    145

    37,2088 0,3369.145 11,641x =−+ =

    (%) .

    Page 24 ĐỀ SỐ 8

    1. Sản phẩm được đóng thành hộp. Mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm loại A.

    Người mua hàng quy định cách kiểm tra như sau: Từ hộp lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm, nếu

    cả 3 sản phẩm loại A thì nhận hộp đó, ngược lại thì loại. Giả sử kiểm tra 100 hộp.

    a. Tính xác suất có 25 hộp được nhận.

    b. Tính xác suất không quá 30 hộp được nhận.

    c. Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu hộp để xác suất có ít nhất 1 hộp được nhận

    95%≥

    ?

    2. Tiến hành khảo sát số gạo bán hàng ngày tại một cửa hàng, ta có

    i

    x

    (kg)

    110-125

    125-140

    140-155

    155-170

    170-185

    185-200

    200-215

    215-230

    2

    9

    12

    25

    30

    20

    13

    4

    a. Giả sử chủ cửa hàng cho rằng trung bình mỗi ngày bán không quá 140kg thì tốt hơn

    là nghỉ bán. Từ số liệu điều tra, cửa hàng quyết định thế nào với mức ý nghĩa 0,01?

    b. Những ngày bán

    200kg là những ngày cao điểm. Ước lượng số tiền bán được

    trung bình trong ngày với độ tin cậy 99%, biết giá gạo là 5000/kg.

    c. Ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm .

    d. Để ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm với độ chính xác 5% thì đảm bảo độ tin cậy bao

    nhiêu?

    BÀI GIẢI

    1.

    a. A: biến cố 1 hộp được nhận.

    3

    7

    3

    10

    ( ) 0,29

    C

    pA

    C

    = =

    X: số hộp được nhận trong 100 hộp.

    (100;0,29) (29;20,59)XB N∈≈

    Page 25

    (6,39) (0,22) 1 0,5871=Φ +Φ − =

    (0,01;16)

    2,921t =

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Word Form Lớp 10 Có Đáp Án
  • Tổng Hợp Đề Thi Tin Học: Excel, Word, Powerpoint
  • Lập Trình Game Winform Với C# (Phần 1)
  • Bài Tập C# Có Lời Giải
  • Bài Tập Cách Thành Lập Từ Tiếng Anh Có Đáp Án
  • Pt Mũ Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Trong Excel Bằng Solver
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Cao Bằng Excel
  • Giải Hệ Phương Trình Trong Excel
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Với Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Published on

    1. 1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ.Phƣơng pháp 1: Đưa về cùng cơ số:Giải phương trình 2x 1 x 1 21): 4.9 3.2 3 3Hdẫn: (1) ( )2 x 3 1 x . 2 2 x 1 x 22) 7.3 5 3x 4 5x 3 3Hdẫn: (2) 3x 1 5x 1 ( )x 1 1 x 1 5 x 1 x3) 5 .8 x 500Hdẫn: 3( x 1) 3 x 1 x x 3 2 x 3 x x 3 x x 3(3) 5 .2 5 .2 5 2 5 (2 ) 1 x 3 0 x 3 x 3 1 x 3 x x 3 5 ( 1 ) (5.2 ) 1 1 5.2 x 1 x log 5 2 2x x x x x4) [ 5 27 4 3 ] 4 3 4 37 . ĐS: x=10.Phƣong pháp 2: Đặt ẩn phụ: x2 x 21) 2 22 x x 3. x2 xHdẫn: Đặt 2 t (t 0) . Phương trình trở thành: 4 t 4 x 1t 3 t t 1(l ) x 2 2x 52) 3 36.3x 1 9 0 . ĐS: x=-1; x=-2. 2 x2 2x 1 23) 3 28.3x x 9 0 . ĐS: x=-2; x=1. x4) 9 6 x 2.4 x 3 2x 3Hdẫn: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình ( ) ( )x 2 0 . ĐS: x=0 2 2 x x2 5 x2 55) 4 12.2x 1 8 0. x 3 x x2 5 t 2 x x2 5 1Hdẫn: Đặt 2 t (t 0) 9 t 4 x x2 5 2 x 4 2 2 2 x 3x 26) 4 4x 6x 5 42 x 3x 7 1 HVQHQT – D – 99 sin x sin x7) 7 4 3 7 4 3 4 ĐHL – 98 3x x 1 128) 2 6.2 1 ĐHY HN – 2000 3 x 1 x 2 2 2x 7 x9) x 6. 0,7 7 ĐHAN – D – 2000 100
    2. 6. +a=16 hoặc a≤0 : pt có nghiệm duy nhất+0<a<16 : pt có 2 nghiệm phân biệt sin 2 x 2Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81 81cos x mHdẫn: 2 81Đặt t 81sin x t 1;81 . Phương trình trở thành: t m tKhảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82 4 2 x2 2 x2Bài 6: Cho phương trình 3 2.3 2m 3 0 a) Giải phương trình khi m=0 b) Xác định m để phương trình có nghiệm. 2 x2Giải: Đặt 3 t t 0;9 a) x=±1 3 t2 b) Khảo sát hàm số f (t ) ;t t 0;9 được -30≤m≤2 2 2 1 1 t2 1 t2Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9 (a 2).31 2a 1 0 1 1 t2 64Hdẫn: Đặt t= 3 t 3;9 . Khảo sát hs được 4 a 7 x2 x2 1Bài 8: Cho phương trình 2 1 2 1 m 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x2 2 1Hdẫn: Đặt 2 1 t t 1; . Phương trình trở thành: m t t 2 1Khảo sát hàm số f (t ) ; t 1; t được m 2 2 1 m 2 2 1 t x2 2 mx 2 2Bài 9: Cho phương trình 5 52 x 4mx 2 m x2 2mx m . Tìm m để phương trình có đúng 2nghiệm thuộc (0;2).Hdẫn: u x2 2mx 2Đặt 2 v u x2 2mx m v 2x 4mx 2 m uPhương trình trở thành 5 5u u 5v v 5v f (u) f (v) với f(t)=5t+t v uTa có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v g ( x) x2 2mx m 0 (*)Pt đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2) khi và chỉ khi pt (*) có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2). Khảo sát hàm sốta được kết quả không tồn tại m thoả mãn.Bài 10 :
    3. 7. Bµi tËp tæng hîp vÒ ph-¬ng tr×nh mòBµi 1: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 8 2x x3 4 a) 2 8 3 b) 5 x 5x 1 5x 2 3x 3x 1 3x 2 x 1 9 x2 cos x cos x c) x2 2x 2 3 x2 2x 2 d) 2 x2 x 2 x2 e) 2 x 4.3 x 2 2 2 x 1.33 x 2Bµi 2: Gi¶i c¸c ph-ong tr×nh: x x a) 3 5 3 5 7.2 x 0 b) 8 x 18 x 2.27 x 2 3x 3 1 12 c) 8 x 2 x 20 0 d) 2 3 x 6.2 x 3.( x 1) 1 2 2x e) 53 x 9.5 x 27 .(125 x 5 x ) 64Bµi 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a) 4.33x 3x 1 1 9x b) 5.32 x 1 7.3x 1 1 6.3x 9x 1 0 d) 5lg x 50 x lg 5 f) 4.2 3 x 3.2 x 1 22x 2 24x 2Bµi 4: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: x log 2 log 2 2 x 1 2. log 2 x a) 2 x 48 b) 2.9 2 x log 2 6 x2 x d) 4.3 x 9.2 x 5.6 2 e) x 1 2 x 2 2x 1 42 3 2 3 2 3Bµi 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a) 3 2 x 2 x 9 .3 x 9.2 x 0 b) x 2 3 2 x .x 2. 1 2 x 0 c) 9 x 2. x 2 .3 x 2 x 5 0 d) 3.25 x 2 3x 10 .5 x 2 3 x 0Bµi 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 2 2 2 2 2 2 a) 4 x 3 x 2 4 x 6 x 5 4 2. x 3 x 7 1 b) 4 x x 21 x 2×1 1 c) 8.3 x 3.2 x 24 6 x d) 12.3 x 3.15 x 5 x 1 20 e) 2 x 3 x 1 6 xBµi 7: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: x a) x x log 2 3 x log 2 7 2 b) 2 x 1 32 x x c) 3 2 2 2 2 x 3 x 1 2 x 1 x 1 d) x x log 2 3 x log 2 5Bµi 8: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 2 2 a) 3 x cos 2 x b) 4 x 2.x 2 x 1 .2 x x x x 2 1 x c) 7 5 3 2 2. 5 d) 2 cos x 2 x2 6 x e) 9.7 1 2 xBµi 9: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 1 x2 1 2x x 1 x2 1 2 x2 x2 1 1 a) 4 2 x 1 b) 2 2 2 x 2 2 4. cos3 x x 1 x c) 2 x 3. cos x 2x 7. cos 3x d) 2 3 7 4 3 x 1

    Recommended

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pp Giải Phương Trình Mũ, Logarit
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 3: Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Chương Iii. §3. Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Tổng Hợp Lý Thuyết Về Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Ptlg Bậc I Dạng Asin X + Bcosx = C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt
  • Bài Tập Phép Tịnh Tiến Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 4: Phép Quay Và Phép Đối Xứng Tâm (Nâng Cao)
  • 8 Chuyên Đề Các Phép Biến Hình Trong Mặt Phẳng Lớp 11 Có Lời Giải
  • Bài Tập Toán Lớp 11: Phép Biến Hình Bài Tập Hình Học Lớp 11 Chương 1
  • Phép Biến Hình Phép Tịnh Tiến
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1, 2: Phép Biến Hình. Phép Tịnh Tiến
  • Bài tập phép tịnh tiến xuất hiện trong chương phép đồng dạng và biến hình trong mặt phẳng – Hình học lớp 11. Đây là một chuyên đề khá cơ bản, tuy nhiên nguồn tài liệu chưa nhiều. Đặc biệt là về phép tịnh tiến, rất ít tài liệu nói hẵn về chuyên đề này. Đó là lý do tài liệu này được đăng tải trên website của chúng tôi. Các bạn có thể tải tài liệu về và in ra để thuận tiện hơn cho việc làm bài tập cũng như thực hành, xem công thức.

    1/ LÝ THUYẾT PHÉP TỊNH TIẾN

    – Trong mặt phẳng cho vectơ , được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ , xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng [Delta ] cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh.

  • Phương pháp 2: Theo tính chất của phép tịnh tiến: Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc

    trùng với nó.

  • Phương pháp 3: Sử dụng quĩ tích
  • Nhận xét: Trong 3 phương pháp trên,

    +) Phương pháp 1 tỏ ra hiệu quả cho tất cả các phép biến hình (dù dài dòng).

    +) Phương pháp 2 tốt vì sử dụng tính chất phép tịnh tiến.

    +) Phương pháp 3 nhanh hơn, phù hợp với trắc nghiệm và việc xác định ảnh của các hình Elíp, parabol..

    3/ XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

    • Phương pháp 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
    • Phương pháp 2: Sử dụng quỹ tích

    4/ SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN GIẢI BÀI TẬP QUỸ TÍCH

    Để xử lý tốt bài toán quĩ tích ta cần nắm vững một số nhận xét sau:

    • Xác định các yếu tố cố định (không thay đổi), và điểm di động ban đầu.
    • Biểu diễn điểm (cần tìm quỹ tích) theo điểm đi động ban đầu thông qua các yếu tố cố định.

    Đây là một dạng toán khá khó, do đó các em cần có một tư duy linh động. Làm càng nhiều bài tập sẽ càng tạo nhiều tư duy cho bài tập ấy.

    5/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN

    --- Bài cũ hơn ---

  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Giải Bài Tập Trang 24, 25 Sgk Đại Số 10: Ôn Tập Chương 1
  • Sách Bài Tập Toán Lớp 7 Hai Tập
  • Giải Toán Lớp 9 Bài 4: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông
  • Bài Tập Logic Mệnh Đề Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Áp Dụng Mệnh Đề Vào Suy Luận Toán Học (Nâng Cao)
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Mệnh Đề Và Mệnh Đề Chứa Biến (Nâng Cao)
  • Giải Bài Tập Hóa 9 Bài 8: Một Số Bazơ Quan Trọng
  • Giải Hóa Lớp 9 Bài 8: Một Số Bazơ Quan Trọng
  • Bài 1,2,3 Trang 27 Sgk Hóa Lớp 9: Một Số Bazơ Quan Trọng
  • Mệnh đề toán học là loại mệnh đề chỉ có thể cho giá trị Đúng hoặc Sai. Khác với các loại mệnh đề văn học, chẳng

    hạn: “Ôi Tổ quốc giang sơn hùng vĩ!” (câu cảm thán), “Thầy Mậu ơi!” (câu gọi), “Gọi gì đấy?” (câu hỏi),…

    Trong bài báo này ta gọi mệnh đề toán học đơn giản là mệnh đề và mã hóa giá trị Đúng là 1 và Sai là 0.

    Các phép toán mệnh đề cơ bản

    1. Phép hội của hai mệnh đề

    2. Phép tuyển của hai mệnh đề

    3. Phép hoặc loại trừ của hai mệnh đề

    4. Phép kéo theo của hai mệnh đề

    5. Phép tương đương của hai mệnh đề

    6. Phép phủ định của một mệnh đề

    Một số tính chất của các phép toán mệnh đề

    1. Tính giao hoán

    2. Tính kết hợp

    3. Tính phân phối

    4. Phần tử trung hoà

    5. Luật khử

    6. Luật nuốt

    7. Luật lũy đẳng

    8. Phủ định kép

    9. Luật De Morgan

    10. Chuyển đổi phép xor

    11. Chuyển đổi phép kéo theo

    12. Chuyển đổi phép tkéo theo

    Người ta đã chứng minh được rằng

    1. Đại số Boole

    2. Quy về ba phép toán có bản

    3. Biểu thức tường minh

    Một số bài tập logic mệnh đề có lời giải

    Bài tập 1

    Trong một cuộc điều tra có 3 nhân chứng A, B và C cùng ngồi với nhau và nghe ý kiến của nhau. Cuối cùng ban điều tra hỏi lại từng người để tìm xem ai nói đúng. Kết quả là: A và B đối kháng nhau, B và C đối lập nhau và C thì bảo A và B đều nói sai. Vậy ban điều tra tin ai?

    Bài tập 2

    Có 2 làng A và B ở 2 bên đường. Dân làng A thi luôn nói thật, hỏi điều đúng thì gật đầu, sai thì lắc đầu. Dân làng B luôn nói dối, hỏi điều đúng thì lắc đầu, sai thì gật đầu. Một người khách lạ đến một trong hai làng đó, nhưng không biết mình đang ở làng nào, gặp một người dân, không biết dân làng nào, vì họ hay qua lại giữa hai làng. Người khách muốn hỏi chỉ một câu để người dân cứ gật đầu thì biết mình đang ở làng A, lắc thì biết mình đang ở làng B. Bạn hãy giúp người khách này với!

    Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu khá kĩ lý thuyết cũng như một số bài tập logic mệnh đề có lời giải chi tiết. Để tìm hiểu thêm những bài tập tương tự, các em có thể tìm hiểu thông qua một số phương pháp giải toán rời rạc khác. Đây là một chuyên đề toán khó chỉ dành cho học sinh giỏi ôn tập.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Mệnh Đề
  • Giải Toán 8, Gợi Ý Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Theo Sgk
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 8 Bài 8: Đối Xứng Tâm
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 2: Hình Thang
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Đường Trung Bình Của Tam Giác, Của Hình Thang
  • Soạn Bài Ôn Tập Truyện Dân Gian (Chi Tiết)

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Thích Lời Khuyên Của Lê
  • Em Hãy Giải Thích Nội Dung Và Ý Nghĩa Lời Khuyên Của Lênin: ‘học, Học Nữa, Học Mãi’.
  • Dân Gian Ta Có Câu: Lời Chào Cao Hơn Mâm Cổ. Em Hiểu Câu Nói Đó Như Thế Nào?
  • Giải Getting Started Unit 4 Sgk Tiếng Anh 9 Mới
  • Soạn Anh 9: Unit 4. Speak
  • Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

    – Truyện cổ tích: Là loại truyện dân gian kể về cuộc đời của một số kiểu nhân vật bất hạnh, nhân vật dũng sĩ, có tài năng kì lạ, nhân vật thông minh hoặc nhân vật ngốc nghếch… Truyện có yếu tố hoang đường thể hiện ước mơ và niềm tin của nhân dân về chiến thắng cuối cùng của cái thiện đối với cái ác.

    – Truyện ngụ ngôn: Loại truyện kể về văn xuôi hoặc văn vần, mượn truyện về loài vật, đồ vật hoặc về chính con người để nói bóng gió, kín đáo chuyện con người, nhằm khuyên nhủ, răn dạy con người bài học nào đó trong cuộc sống.

    – Truyện cười: Loại truyện kể về những hiện tượng đáng cười trong cuộc sống nhằm tạo ra tiếng cười mua vui hoặc phê phán những thói hư, tật xấu trong xã hội.

    Câu 3 Trả lời câu 3 (trang 135 sgk Ngữ Văn 6 Tập 1): Viết lại tên những truyện dân gian (theo thể loại) mà em đã học và đã đọc (kể cả truyện nước ngoài). Lời giải chi tiết: Câu 4 Trả lời câu 4 (trang 135 sgk Ngữ Văn 6 Tập 1): Hãy nêu và minh hoạ một số đặc điểm tiêu biểu của từng thể loại truyện dân gian (Bài tập 1)- Lời giải chi tiết: Câu 5 Trả lời câu 5 (trang 135 sgk Ngữ Văn 6 Tập 1): So sánh sự giống nhau và khác nhau giữa truyền thuyết với truyện cổ tích, giữa truyện ngụ ngôn với truyện cười. Lời giải chi tiết: * So sánh truyền thuyết và cổ tích:

    – Giống nhau:

    + Đều có yếu tố tưởng tượng kì ảo.

    + Có nhiều chi tiết giống nhau: sự ra đời thần kì, nhân vật chính có những tài năng phi thường…

    – Khác nhau:

    + Truyền thuyết kể về các nhân vật, sự kiện lịch sử và thể hiện cách đánh giá của nhân dân đối với những nhân vật, sự kiện lịch sử được kể. Còn truyện cổ tích kể về cuộc đời của các loại nhân vật nhất định và thể hiện quan niệm, ước mơ của nhân dân về cuộc đấu tranh giữa cái thiện và cái ác.

    + Truyền thuyết được cả người kể lẫn người nghe tin là những câu chuyện có thật; còn cổ tích được cả người kể lẫn người nghe coi là những câu chuyện không có thật.

    * So sánh giữa truyện ngụ ngôn và truyện cười:

    – Giống nhau:

    Truyện ngụ ngôn thường chế giễu, phê phán những hành động, cách ứng xử trái với điều truyện muốn răn dạy người ta. Vì thế truyện ngụ ngôn cũng như truyện cười, cũng gây cười.

    – Khác nhau:

    Mục đích của truyện cười là gây cười để mua vui hoặc phê phán, châm biếm những sự việc, hiện tượng đáng cười. Còn mục đích của truyện ngụ ngôn là khuyên nhủ, răn dạy người ta một bài học nào đó trong cuộc sống.

    Câu 5 Trả lời câu 6 (trang 135 sgk Ngữ Văn 6 Tập 1): Tham gia hoạt động ngoại khóa. chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Vở Bài Tập Toán 4 Bài 100: Phân Số Bằng Nhau
  • Bài Tập Có Lời Giải Trang 93, 94 Sbt Sinh Học 6
  • Bài Giảng Và Lời Giải Chi Tiết Vật Lí 6, Bảng Giá 12/2020
  • Giải Skills Trang 34 Unit 8 Sgk Tiếng Anh 11 Mới
  • Soạn Anh 8: Unit 4. Skills 2
  • Các Dạng Bài Tập Số Phức Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Tải Về Bài Giảng Và Lời Giải Chi Tiết Sinh Học Lớp 9 Sách Miễn Phí Pdf • Thư Viện Sách Hướng Dẫn
  • Đề Thi Học Kì 1 Lớp 11 Môn Toán Có Đáp Án Sở Gd&đt Quảng Nam
  • 10 Website Giải Nguy Tức Khắc Cho Developer
  • Lời Giải Đẹp Cho Bài Toán Olympic Giúp Lê Bá Khánh Trình Giành Giải Đặc Biệt
  • Giới Thiệu Một Số Tài Liệu Về Các Đề Thi Toán Quốc Tế Từ Năm 1959
  • + Vấn đề 1. Phần thực – phần ảo

    + Vấn đề 2. Hai số phức bằng nhau

    + Vấn đề 3. Biểu diễn hình học số phức

    + Vấn đề 4. Phép cộng – phép trừ hai số phức

    + Vấn đề 5. Nhân hai số phức

    + Vấn đề 6. Số phức liên hợp

    + Vấn đề 7. Mô đun của số phức

    + Vấn đề 8. Phép chia số phức

    + Vấn đề 9. Lũy thừa đơn vị ảo

    + Vấn đề 10. Phương với hệ số thực

    + Vấn đề 11. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

    + Vấn đề 12. Bài toán min – max trong số phức

    + Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính

    + Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng

    + Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

    + Dạng 4. Phương trình quy về bậc hai

    + Dạng 5. Dạng lượng giác của số phức

    + Dạng 6. Cực trị của số phức

    File PDF đầy đủ

    Tải về – Download

    Sưu tầm: Dịu Nguyễn.

    Các dạng bài tập SỐ PHỨC có lời giải chi tiết:+ Vấn đề 1. Phần thực – phần ảo+ Vấn đề 2. Hai số phức bằng nhau+ Vấn đề 3. Biểu diễn hình học số phức+ Vấn đề 4. Phép cộng – phép trừ hai số phức+ Vấn đề 5. Nhân hai số phức+ Vấn đề 6. Số phức liên hợp+ Vấn đề 7. Mô đun của số phức+ Vấn đề 8. Phép chia số phức+ Vấn đề 9. Lũy thừa đơn vị ảo+ Vấn đề 10. Phương với hệ số thực+ Vấn đề 11. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức+ Vấn đề 12. Bài toán min – max trong số phứcCác dạng toán về số phức có tóm tắt cách giải:+ Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính+ Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng+ Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai+ Dạng 4. Phương trình quy về bậc hai+ Dạng 5. Dạng lượng giác của số phức+ Dạng 6. Cực trị của số phức

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Đề Thi Thptqg Môn Hóa 2022 Mã Đề 201
  • Giải Chi Tiết Đề Minh Họa Thpt Quốc Gia 2022 Lần 1 Môn Hóa Học
  • Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết
  • Giải Chi Tiết Đề Thi Chính Thức Thpt Quốc Gia Môn Hóa Học 2022 Mã Đề 217
  • Tổng Hợp Đề Luyện Toeic Có Phần Giải Thích
  • Bài Tập Hàm Số Bậc Nhất Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 9 Bài 2: Hàm Số Bậc Nhất
  • Giải Bài Tập Hàm Số Bậc Nhất.
  • Giải Bài Tập Trang 54, 55 Sgk Giải Tích 11: Hoán Vị
  • Các Dạng Bài Tập Toán Về Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
  • Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Hoán Vị
  • Bài tập Hàm số bậc nhất có lời giải chi tiết

    Bài 1: Cho hai hàm số

    a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho

    b) Tính f(2); f(1/2), g(0), g(1), g(1/2)

    Bài 2: Cho hàm số y = -mx + m – 3. Biết f(-2) = 6. Tính f(-3)

    Bài 3: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

    a) y = f(x) = (1 – √2)x + 1, với x ∈ R

    b) với x ≥ 2

    c) y = f(x) = x 2 + 2,với x < 0

    Bài 4: Cho hàm số y = (2m + 1)x – m + 3

    a) Tìm m biết đồ thị đi qua điểm A(-2; 3)

    b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

    Bài 5: Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A(-2; 0) và B(0; 3)

    Bài 6: Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + 4 – m và y = 3x + m – 2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung

    Bài 7: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3 với m ≠ 2

    a) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

    b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

    Bài 8: Cho hai đường thẳng

    Xác định m để giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) thỏa mãn

    a) Nằm trên trục tung

    b) Nằm bên trái trục tung

    c) Nằm trong góc phần tư thứ hai.

    Bài 9: Cho đường thẳng (d):y = (m – 3)x + 3m + 2. Tìm giá trị nguyên của m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

    Đáp án và hướng dẫn giải

    Bài 1:

    a) Hàm số xác định khi x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

    Hàm số xác định khi

    b) f(2) = 0;

    f(1/2) không xác định (do 1/2 không thỏa mãn ĐKXĐ)

    g(0) = 1; g(1) = 1; g(1/2) = √2

    Bài 2:

    y = -mx + m – 3.

    Ta có: f(-2) = -m.(-2) + m – 3 = 6 ⇔ 3m – 3 = 6 ⇔ m = 3

    Khi đó y = f(x) = -3x

    ⇒ f(-3) = -3.(-3) = 9

    Bài 3:

    a) , với x ∈ R

    Hàm số trên là hàm bậc nhất có hệ số a=1-√2 < 0

    ⇒ Hàm số nghịch biến trên R

    b) y = f(x) = ⇒ (x -2 ) với x ≥ 2

    Khi đó:

    ⇒ Hàm số đồng biến trên [2; +∞)

    c) y = f(x) = x 2 + 2, với x < 0

    ⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞;0)

    Bài 4: y = (2m + 1)x – m + 3

    a) Đồ thị đi qua điểm A(-2; 3)

    ⇒ 3 = (2m + 1).(-2) – m + 3

    ⇔ 5m = -2 ⇔ m = (-2)/5

    b) Gỉa sử điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m là (x 0; y 0 )

    Khi đó: y 0 = (2m + 1) x 0 – m + 3 đúng với mọi m

    Vậy điểm cố định là (1/2; 7/2)

    Bài 5:

    Gỉa sử đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = ax + b

    A(-2; 0) ∈ AB ⇒ 0 = -2a + b ⇒ b = 2a

    A(0; 3) ∈ AB ⇒ 3 = a.0 + b ⇒ b = 3

    ⇒ a = b/2 = 3/2

    Vậy phương trình đường thẳng AB là y = (3/2)x + 3

    Bài 6:

    Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là nghiệm của phương trình

    2x + 4 – m = 3x + m – 2 ⇔ x = 2m – 6

    Hai đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên hoành độ giao điểm bằng 0

    ⇒ 2m – 6 = 0 ⇔ m = 3

    Vậy với m = 3 thì hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm nằm trên trục tung.

    Bài 7:

    Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3 với m ≠ 2

    Hàm số nghịch biến ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2

    b) Cho x = 0 ⇒ y = m + 3, đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0, m + 3)

    Cho y = 0 ⇒ (m – 2)x + m + 3 = 0 ⇒

    Đồ thị cắt trục hoành tại điểm

    TH1: m < 2, khi đó phương trình tương đương với:

    ⇔ m = -4 ± ⇒ 11

    ⇒ không tồn tại m

    Vậy với m = -4 + ⇒ 11 và m = -4 – ⇒ 11 thì đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

    Bài 8:

    Hoành độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là nghiệm của phương trình

    12x + 5 – m = 3x + 3 + m ⇔ 9x = 2m – 2

    ⇒ Tọa độ giao điểm là

    a) Giao điểm của (d 1) và (d 2) nằm trên trục tung

    ⇔ hoành độ giao điểm của (d 1) và (d 2) bằng 0.

    ⇔ 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1

    b) Giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) nằm bên trái trục tung

    ⇔ hoành độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) nhận giá trị âm

    ⇔2m – 2 < 0 ⇔ m < 1

    c) Giao điểm của (d 1) và (d 2) nằm trong góc phần tư thứ hai.

    ⇔ hoành độ giao điểm nhận giá trị âm và tung độ giao điểm nhận giá trị dương.

    Bài 9:

    (d): y = (m – 3)x + 3m + 2.

    ĐK để (d) cắt Ox là m ≠ 3

    Cho y = 0 ⇒ (m – 3)x + 3m + 2 = 0

    ⇒ (d)cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

    x ∈ Z ⇔ m – 3 ∈ Ư(11) ⇔ m ∈ {4; 14; 2; -8}

    Vậy với m ∈ {4;14;2; -8} thì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

    Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

    chuong-2-ham-so-bac-nhat.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 2: Hàm Số Bậc Nhất
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 2: Hàm Số Bậc Nhất
  • Bài 11,12,13, 14,15 Trang 74,75 Toán 8 Tập 1: Hình Thang Cân
  • Giải Bài Tập Trang 108 Sgk Toán 5: Hình Hộp Chữ Nhật. Hình Lập Phương
  • Giải Bài Tập Trang 121 Sgk Toán 5: Thể Tích Hình Hộp Chữ Nhật
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100