Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian Quan Hệ Vuông Góc

--- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Hóa Học Nâng Cao Môn Hóa Lớp 8
  • Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • 3 Dạng Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử Cơ Bản Nhất
  • Bài Tập Hai Mặt Phẳng Song Song
  • Luyện Tập Về Thừa Kế Trong Java
  • Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Chuyên đề vecto trong không gian quan hệ vuông góc.

    Tài liệu gồm có 99 trang, tóm tắt các kiến thức SGK cần nắm và hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc thuộc chương trình Hình học 11 chương 3.

    Khái quát nội dung tài liệu chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc:

    §1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Các định nghĩa.

    1. Vectơ, giá và độ dài của vectơ.

    2. Hai vectơ bằng nhau, vectơ_không.

    II. Phép cộng và phép trừ vectơ.

    1. Định nghĩa.

    2. Tính chất.

    3. Các quy tắc cần nhớ khi tính toán.

    a. Quy tắc ba điểm.

    b. Quy tắc hình bình hành.

    c. Tính chất trung điểm, trọng tâm của tam giác.

    d. Quy tắc hình hộp.

    III. Phép nhân vectơ với một số.

    IV. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.

    1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.

    2. Định nghĩa.

    3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.

    4. Phân tích(biểu thị) một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Xác định các yếu tố của vectơ.

    Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức vectơ.

    Dạng 3. Chứng minh ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

    1. Góc giữa hai vectơ trong không gian.

    2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

    II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

    III. Góc giữa hai đường thẳng.

    IV. Hai đường thẳng vuông góc.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

    Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Định nghĩa.

    II. Điều kiện để đường thẳng vuônmg góc với mặt phẳng.

    III. Tính chất.

    IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

    V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

    1. Phép chiếu vuông góc.

    2. Định lí ba đường vuông góc.

    3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

    Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

    Dạng 3. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

    Dạng 4. Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.

    A. KIẾN THỨC CẤN NẮM

    I. Góc giữa hai mặt phẳng.

    1. Định nghĩa.

    2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

    3. Diện tích hình chiếu của một đa giác.

    II. Hai mặt phẳng vuông góc.

    III. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

    IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.

    Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

    Dạng 3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

    Dạng 4. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    §5. KHOẢNG CÁCH.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    I. Khoảng cách từ một điểm đền một đường thẳng, đến một mặt phẳng.

    1. Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng ∆.

    2. Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P).

    II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

    1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

    2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

    III. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

    B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

    Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    Dạng 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

    C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

    ….

    Like fanpage của chúng tôi để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt.

    THEO THUVIENTOAN.NET

    --- Bài cũ hơn ---

  • 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số
  • Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số
  • Đáp Án Bài Tập Csdl
  • Bài Tập Toán Lớp 2 Cơ Bản Và Nâng Cao Cho Bé
  • Hệ Mật Mã Khối Và Các Thuật Toán Mã Hóa Khối Kinh Điển: Des
  • Bài Tập Vecto Lớp 10 Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Tìm Vecto Chỉ Phương Của Đường Thẳng
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Bài 106: Luyện Tập
  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 117: Luyện Tập Chung Trang 39,40,41
  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 117 : Luyện Tập Chung
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Trang 132 Bài Luyện Tập Chung
  • 1. Khái niệm vectơ

    Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

    Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối.

    Vectơ còn được kí hiệu: a b x , , ,.

    2. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 .

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy kể tên các vectơ khác 0 , có điểm đầu và điểm

    cuối là một trong các điểm A, B, C.

    3. Giá của vectơ AB là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.

    Ví dụ: Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá của vectơ

    AB , và d cũng là giá của vectơ BA

    ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 1 VECTƠ VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA Các em xem video bài giảng tại https://www.youtube.com/watch?v=Q7fQdPeb2Bo&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT 27DVF21N7&index=1 https://www.youtube.com/watch?v=nX2FpKtiVf8&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT2 7DVF21N7&index=2 ĐIỀU CHỈNH NHỎ ÂM THANH ĐỂ DỄ NGHE HƠN NHỮNG ĐIỀU EM CẦN NHỚ 1. Khái niệm vectơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối. Vectơ còn được kí hiệu: , , ,...a b x 2. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 . Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy kể tên các vectơ khác 0 , có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C. 3. Giá của vectơ AB là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B. Ví dụ: Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá của vectơ AB , và d cũng là giá của vectơ BA 4. Hai vectơ a và b gọi là cùng phương nếu 2 vectơ đó có giá song song hoặc trùng nhau.  Nhận xét: Hai vectơ a và b không cùng phương  2 giá cắt nhau 5. Hai vectơ a và b gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều mũi tên. 6. Hai vectơ a và b gọi là ngược hướng nếu chúng cùng phương và ngược chiều mũi tên. b a b a ba b a ba d BA ba ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 2 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có 2 đáy AB và CD(2 đường thẳng AD và BC không song song). Gọi 2 điểm M, N nằm trên đường thẳng CD. a) Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không ? Nếu cùng phương thì hãy xét hướng của các cặp vectơ đó? AB và CD , DC và MN , AD và BC . b) Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với CN . 7. Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn AB. Kí hiệu AB AB . 8. Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Kí hiệu a b . Ví dụ 3: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Hãy kể tên các vectơ bằng với vectơ BM .  Nhận xét:  ,AB AC cùng phương  A, B, C thẳng hàng  ,AB CD cùng phương  Hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau.  0 AB Hai điểm A, B trùng nhau.    AB AC B C BÀI TẬP Bài 1. Cho hình lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. a) Chỉ ra các vectơ khác 0 và cùng phương với vectơ FC . b) Tìm các vectơ bằng AB . ĐÁP ÁN: a) , , D, , O,OF, , ,AB BA E DE F OC CO CF . b) O, , DF OC E Bài 2. Có kết luận gì về vị trí của các điểm A, B, C trong các trường hợp sau: a) ,AB AC cùng phương b) , DAB C cùng phương. d) ,AB AC ngược hướng và độ dài AB = AC. e) AB AC f) 0AB TRẢ LỜI a) Ba điểm A, B, C thẳng hàng vì khi ,AB AC cùng phương thì 2 đường thẳng AB, AC song song hoặc trùng nhau. Hai đường AB, AC có chung điểm A nên không thể song song được, chỉ có thể trùng nhau. Do đó, 3 điểm A, B, C thẳng hàng. b a ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 3 b) ,AB AC cùng hướng nên suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 2 điểm B và C nằm cùng phía c) ,AB AC ngược hướng nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A phải nằm giữa 2 điểm B và C. Mặt khác độ dài AB = AC nên A là trung điểm của BC. Bài 3. Cho tam giác ABC đều, có M là trung điểm BC. Các đẳng thức sau đây đúng hai sai: a) AB AC b) BM MC c) AB BC CA  d) 3 2 AB AM  TRẢ LỜI a) Đẳng thức AB AC sai vì 2 vectơ ,AB AC chỉ bằng nhau về độ dài, nhưng không cùng hướng theo định nghĩa. ĐẲNG THỨC SAI b) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Hai vectơ ,BM MC cùng hướng và độ dài bằng nhau nên đây là 2 vectơ bằng nhau. c) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Tam giác ABC đều nên 3 cạnh AB, BC, CA có độ dài bằng nhau. Nghĩa là  AB BC CA . d) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Vì đây chính là công thức tính độ dài đường cao trong tam giác đều. Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ABCD là hình bình hành AB DC  . Chứng minh:" ABCD là hình bình hành  AB DC " Vì ABCD là hình bình hành nên 2 vectơ ,AB DC cùng phương, cùng hướng và độ dài bằng nhau. Suy ra AB DC . Chứng minh : " AB DC  ABCD là hình bình hành" Tứ giác ABCD có AB DC , suy ra {𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ⟹Tứ giác ABCD có AB // CD và độ dài AB = CD. Suy ra AB DC . Vậy ABCD là hình bình hành AB DC  . Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM lần lượt cắt DB tại E và F. Chứng minh DE EF FB  . Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng ,MK CP KL BN   . a) Chứng minh KP PN . b) Xét tính chất của tứ giác AKBN. Chứng minh A và L trùng nhau. C A D B ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 4 LỜI GIẢI a)  MK CP Tứ giác MCPK là hình bình hành  KP MC Mặt khác: PN là đường trung bình tam giác ABC nên tứ giác PNCM là hình bình hành  PN MC . Vậy  KP PN MC . b) Theo câu a ta có KP PN , suy ra P là trung điểm của KN. Xét tứ giác AKBN có P là trung điểm của 2 đường chéo KN và AB. Suy ra tứ giác AKBN là hình bình hành nên BN KA . Mặt khác theo giả thiết ta có: KL BN . Suy ra   KL KA A L BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA. a) Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không: AB và MB , QM và BD , AD và MC . b) Tìm các vectơ cùng hướng, ngược hướng với vectơ MN ? c) Tìm các vectơ lần lượt bằng với các vecto OB ? TRẢ LỜI a) Hai vectơ AB và MB cùng phương vì có giá trùng nhau. Hai vectơ QM và BD cùng phương vì có giá song song. Hai vectơ AD và MC không cùng phương vì có giá cắt nhau(kéo dài 2 đường MC và AD sẽ thấy rõ 2 đường thẳng này cắt nhau. b) Các vectơ cùng hướng với vectơ MN là: , , ,AC QP AO OC . Các vectơ ngược hướng với vectơ MN là: , , , ,CA PQ OA CO NM . c) Các vectơ bằng với vectơ OB là , ,DO QM PN . Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D. Chứng tỏ E DA B . Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy dựng các điểm M, N sao cho ,AM BC AN CB   . Nhận xét gì về hai vecto ,AM AN và 3 điểm A, M, N. Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM = CN. Chứng minh AN MC và DM BN . L K P N M A B C Q P N M O CD B A ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 5 Bài 6. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD, AB = 2CD. Từ C vẽ CI DA . a) Chứng minh I là trung điểm AB và DI CB . b) Chứng minh AI IB DC  . Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Dựng , , ,AM BA MN DA NP DC PQ NM     . Chứng minh rằng 0AQ  . BÀI TẬP VỀ TỔNG VÀ HIỆU VECTƠ CÁC KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VECTƠ Kỹ thuật 1: Quy tắc 3 điểm Với 3 điểm A, B, M tùy ý, ta có  Quy tắc theo phép cộng: 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .  Quy tắc theo phép trừ: 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑴𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Kỹ thuật 2: Quy tắc hình bình hành  Nếu ABCD là hình bình hành thì B D CA A A  .  Ý nghĩa: Tổng 2 vectơ 2 cạnh bằng vectơ đường chéo.  Ta có thể áp dụng theo các cách khác: DB BA C B  ; DB AC C C  Tính chất của phép cộng vectơ Cho 3 vectơ , ,a b c tùy ý, ta có Tính chất giao hoán: a b b a   . Tính chất kết hợp :    a b c a b c     . D B C A A B M A B M ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 6 Tính chất của vectơ-không: 0 0a a a    . Vectơ đối  Vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a gọi là vectơ đối của vectơ a . Kí hiệu là a .  Vectơ đối của vectơ AB là BA .  Nhận xét:  BA AB   Nếu 2 vectơ a và b đối nhau thì ta có : 0a b  . BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Có 3 cách để chứng minh đẳng thức vectơ. Một là biến đổi từ vế trái thành vế phải. Hai là biến đổi từ vế phải thành vế trái. Ba là chứng minh đẳng thức đó tương đương với một đẳng thức đúng đã biết. Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng a) 0   AB BC CD DA b)   AB AD CB CD c) D EA BE CF A BF CD     . Giải: a)     0        B B D DVT A C C A AC CA AA VP . b) Cách 1: AB AD CB CD DB DB     (luôn đúng). Cách 2: AB AD DA AB DB CB CD      . Cách 3:  VT AB AD AC CB AC CD AC AC CB CD CB CD VP             c) Ta dùng kỹ thuật 1: quy tắc 3 điểm Cách 1: Biến đổi từ vế trái thành vế phải.    E D E E 0 EVT A BF CD E DF F A BF CD A BF CD             Cách 2: Biến đổi từ vế phải thành vế trái.    D EF D D EF DVP A DE BE CF F A BE CF DE F            D 0 DA BE CF A BE CF       . Cách 3: Biến đổi tương đương D E D E 0A BE CF A BF CD A A BE BF CF CD            D E 0 E D 0 0 0E F DF F E DF          (đúng). Bài 2. Cho hình bình hành tâm O. Chứng minh: a) 0  DA DB DC b)   DA DB OD OC c)  CO OB BA d)   MA MC MB MD Giải. a) Cách 1: 0     VT DA DB DC BA DC (vì 2 vectơ đối nhau) Cách 2:   0     VT DA DC DB BD DB b) Cách 1:          VT DA DB DA BD BD DA BA CD OD OC O C A D B ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 7 Cách 2:      VT DA DB BA CD OD OC Cách 3:     DA DB OD OC BA CD . c) Cách 1:        D DVT CO OB CO BO CO O C BA . Cách 2:     VT CO OB OA OB BA . Cách 3:       CO OB BA CO OB BA CO OA d) Cách 1:      VT MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC          0MB MD MB MD VP      (Do ,BA DC là 2 vectơ đối nhau). Cách 2: MA MC MB MD MA MB MD MC BA C         D (đẳng thức đúng). Bài 3. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh 0RJ I PS  Q . Giải. VT RJ I PS RA AJ IB B PC CS        Q Q       0RA CS AJ IB B PC      Q Khó khăn lớn nhất trong bài này là không biết cách tìm điểm chèn. Các em hãy vẽ hình rõ ràng, bạn sẽ nhận ra rằng RJ có mối liên hệ gần nhất với điểm A, tương tự cho các điểm B và C. Bài 4. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. a) Xác định các điểm M, N, P sao cho , ,OM OA OB ON OC OB OP OA OC       . Chứng minh các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O). b) Chứng minh rằng 0OA OB OC   . GIẢI a) Muốn chứng minh M, N, P nằm trên đường tròn (O) thì ta chứng minh OM = ON = OP = R. Đầu tiên ta có  OM OA OB , suy ra tứ giác OAMB là hình bình hành. Mặt khác, OA = OB nên suy ra tứ giác OAMB là hình thoi. Lại có tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) nên góc 0 0120 60  AOB OAM . Hình thoi OAMB có góc 060OAM nên tam giác OAM đều     OA OM M O . Tương tự ta chứng minh được các tam giác NOB và POC đều và suy ra 2 điểm P, N đều thuộc đường tròn (O). b) Ta có 0 0     OA OB OC OM OC . Ta sẽ chứng minh O là trung điểm MC. Tứ giác OCPA là hình thoi(do câu a) nên AP OC . Mặt khác, tứ giác OMAP cũng là hình thoi nên AP MO . Suy ra  OC MO O là trung điểm MC 0  OM OC . Vậy 0  OA OB OC . N PM O A B C R P I B A C J Q ... 3     KI IA IB CB KI CB . Ta đã có điểm I được xác định ở câu a. Hai vectơ KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. Vẽ đường thẳng qua I và song song với CB, chọn điểm K sao cho KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. Bài 3: Cho tam giác ABC a) Xác định điểm O sao cho 2 0  OA OB OC . Gọi I là trung điểm AB. Ta có 2 OA OB OI . 2 0 2 2 0 0        OA OB OC OI OC OI OC . Vậy O là trung điểm IC. c) Xác định điểm M sao cho   MA MB MC BC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có 3  MA MB MC MG 3    MA MB MC BC MG BC . Vẽ đường thẳng d qua trọng tâm G và song song với BC. Xác định điểm M trên d sao cho MG và BC cùng hướng, đồng thời độ dài BC = 3MG. Nhận xét: M là giao điểm của d và AB. BÀI TOÁN 4: PHÂN TÍCH VECTƠ THEO 2 VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Phân tích vectơ AM theo 2 vectơ AB và AC . GIẢI Ta có 2 2 3 MB MC BM BC   .  2 2 1 2 3 3 3 3 AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC         Vậy ta phân tích được 1 2 3 3 AM AB AC  . Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. a) Phân tích AK theo 2 vectơ AB và AC . b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh 1 1 4 3 KD AB AC  . K B I A C O I BA C d M G BA C A B C M ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 19 Giải a) Ta có  1 2 AK AN AM  (vì K là trung điểm MN) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 6 AB AC AB AC                b) Ta có  1 1 1 2 4 6 D DK A AK AB AC AB AC            1 1 4 3 AB AC  . Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G. a) Chứng minh rằng 2 1 3 3 AH AC AB  và 1 1 3 3 CH AC AB   . b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 1 5 6 6 MH AC AB  . Giải a) Ta có 2AH AB AG  (quy tắc hình bình hành)    2 4 1 22 3 3 2 3 . .AM AC AB AC AB     Suy ra  2 2 1 3 3 3 AH AC AB AB AC AB     . Mặt khác từ 2 1 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 AH AC AB AC CH AC AB CH AC AB          b) 1 1 1 1 1 1 5 2 2 2 3 3 6 6 MH MC CH BC CH BA AC AC AB AC AB          . Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Phân tích ,AI AF theo ,AB AC . b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo ,AI AF . Giải a) Ta có 2 3 2 3 0CI BI CI BI         2 3 0 5 3 2 1CA AI BA AI AI AB AC        Ta có 5 2 5 2 0FB FC BF CF         5 2 0 3 5 2 2BA AF CA AF AF AB AC       . b) Ta có   3 2 2 3 3 2 .AB AC AM AG AB AC AG      Từ (1), (2), (3) ta có 35 1 48 16 AG AI AF  . BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẰNG HÀNG K M D A B C N H G M A B C F I A B C ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 20 Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi P là trung điểm AB, M là điểm đối xứng với B qua C. Điểm N thỏa điều kiện 2 0NA NC  . a) Phân tích vectơ ,PM PN theo ,AB AC . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Giải a) Ta có 1 2 2 PM PB BM AB BC     1 1 32 2 2 2 2 2 2 AB BA AC AB AB AC AB AC         Mặt khác: 1 2 2 3 PN PA AN AB AC     . b) Theo câu a ta có 3 2 2 1 2 2 3 PM AB AC PN AB AC           1 2 3 2 3 3 1 2 2 3 PM AB AC PM PN PN AB AC                 . Suy ra 2 vectơ ,PM PN cùng phương nên 3 điểm P, M, N thẳng hàng. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N là điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. a) Phân tích AN theo ,AB AC . b) Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, phân tích AG theo ,AB AC . c) Gọi I là điểm xác định bởi BI kBC . Tính AI theo ,AB AC và k. Tìm k để đường thẳng AI đi qua điểm G. M P A B C N ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 21 Giải a) Vì N là trung điểm CD và ABCD là hình bình hành nên ta có 2AD AC AN  và AD AB AC  . 1 2 2 2 AN AC AC AB AC AB AN AC AB        b) Do G là trọng tâm tam giác BMN nên 1 3 3 AG AB AM AN AB AN AB      4 1 5 3 3 2 6 AG AB AC AB AB AC      . 5 1 18 3 AG AB AC   . c)  AI AB BI AB kBC AB k BA AC        1AI k AB k AC   AI đi qua G ,AI AG cùng phương   5 1 6 1 18 3 11 k k k     . Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi điểm D định bởi 2 3 DB BC và I là trung điểm của AD. Gọi M là điểm thỏa AM xAC với x số thực. a) Tính BI theo ,BA BC . b) Tính BM theo ,BA BC . c) Tính x để 3 điểm B, I, M thẳng hàng. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý. Chứng minh: a) 0OA OB OC OD    b) 4MA MB MC MD MO    G N C A B D M ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 22 Giải a) ,OA OC là 2 vectơ đối nhau nên 0OA OC  ,OB OD là 2 vectơ đối nhau nên 0OB OD  . Vậy 0OA OB OC OD    . b) O là trung điểm của AC nên 2MA MC MO  O là trung điểm của BD nên 2MB MD MO  Vậy 4MA MB MC MD MO    . Bài 2. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm D sao cho 2 0 DA AB b) Xác định điểm M sao cho 2  AB AC CM . c) Xác định điểm N sao cho 4 0  AB AC AN . d) Xác định điểm K sao cho 2 KA KB CB . e) Xác định điểm L sao cho   LA LB LC BC . f) Xác định điểm O sao cho 2 0  OA OB OC . g) Xác định điểm S sao cho 2   SA SB SC AB . Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả a) 2 0  MA MB MC b) 0  MA MB MC c) 0  MB MC BC d) 0  MB MC MA e) 0  MA MB MC . Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. a) Xác định điểm E sao cho 0  EA EB EC . b) Xác định điểm I sao cho   IA IB IC ID . c) Xác định điểm F sao cho 2 2 3  FA FB FC FD . Bài 5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng 2    MN AC BD BC AD . Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là một điểm tuỳ ý. Chứng minh: a) 0  AM BN CP b)     OA OB OC OM ON OP . Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, CD và G là trung điểm của IJ. Chứng minh: a) 2 AB CD IJ b) 0   GA GB GC GD c) 4  AB AC AD AG d)  2 3   AB AJ KA DA DB . Bài 8. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh 3AA BB CC GG      . Bài 9. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AG. Chứng minh 6 0AB AC GI   . Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, AC và BD. Chứng minh rằng: O C A B D ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 23 a)  1 2  MN AB DC b)  1 2  MN AC DB c)  1 2  IJ AB DC d)   NA ND BA CD . Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm 2 đường chéo AC, BD, và O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: a) 2 AB CD IJ b) 2 AD BD IJ c) 4   AB AD CB CD IJ d) 0   OA OB OC OD . Bài 12. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho 2BM MC . Chứng minh: a) 2 3 AB AC AM b) 3  MA MB MC MG . Bài 13. Cho tam giác đều tâm O, M là điểm tuỳ ý bên trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác là D, E, F. Chứng minh 3 2   MD ME MF MO . Bài 14. Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm trên cạnh AC sao cho 2 3 JA JC . Hãy phân tích vectơ BJ theo hai vecto BA và BC . Bài 15. Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm trên tia đối của tia AB sao cho 4KB KA . Hãy phân tích vectơ CK theo hai vecto CA và CB . Bài 16. Gọi AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC, AB = 3, AC = 4. Tính DA theo AB và CA . Bài 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm H định bởi: OA OB OC OH   . Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Bài 18. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Tính BA theo GB và GC . ĐÁP SỐ: 2BA GB GC  . ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 24 Bài 19. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Lấy điểm K trên đoạn AC. Tính AK theo CA để ba điểm B, I, K thẳng hàng. ĐÁP SỐ: 1 5 AK AC . Bài 20. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm D thỏa mãn 3 0DA DB  . b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn 3 8MA MB  . Bài 21. Cho tam giác ABC. Xác định D thỏa mãn 3 0DB DC  . Cho M là điểm bất kì và 3MB MC MN  . Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định. ĐÁP ÁN: Đường thẳng MN đi qua điểm D cố định. Bài 22. Cho tam giác ABC. Gọi D, E là các điểm được xác định bởi 2 3 AD AB , 2 5 AE AC . Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi BM mBC . a) Phân tích các vecto ,AK AM theo ,AB AC và m. b) Tìm m để A, K, M thẳng hàng. Bài 23. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho 1 3 AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Bài 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm BC, AM. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AB = 3AK. a) Phân tích ,CN CK theo ,CA CB . b) Chứng minh ba điểm C, N, K thẳng hàng. Bài 25. Cho tam giác ABC, gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Đặt ,  AB b AC c . a) Phân tích vecto AP theo , b c . b) Gọi Q, R là điểm thoả 1 1 , 2 3  Q A c AR b . Tính ,QR RP theo , b c . c) Chứng minh P, Q, R thẳng hàng. Bài 26. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm I thoả CA = 4CI và gọi J là điểm thoả 1 2 2 3  BJ AC AB . Hãy phân tích BI theo , AB AC rồi suy ra B, I, J thẳng hàng. Bài 27. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm sao cho 2 , 2 3IA IB JA JC   . a) Tính IJ theo , AB AC . b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 28. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức 0BC MA  , 3 0AB NA AC   . Chứng minh MN song song AC. Bài 29. Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho 1 4 CI CA , J là điểm sao cho 1 2 2 3 BJ AC AB  . a) Chứng minh 3 4 BI AC AB  . ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 25 b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. c) Hãy dựng điểm J thoả điều kiện đề bài. LỚP TOÁN THẦY XUÂN NHÂN CHUYÊN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH Cơ sở 1: E203 Chung cư Đào Duy Từ, số 51 đường Thành Thái, Phường 14, Quận 10, TPHCM. Cở sở 2: Trường THPT Trần Khai Nguyên, quận 5. LỊCH HỌC NĂM 2021 - 2021 LỚP KHAI GIẢNG THỜI GIAN HỌC ĐỊA ĐIỂM HỌC 12 17g45 Thứ 3 ngày 2-8-2016 Tối thứ 3,5,7 từ 17g45 đến 19g15 Cơ sở 1 11 Ca 1 17g45 Thứ 2 ngày 1-8-2016 Tối thứ 2,4,6 từ 17g45 đến 19g15 Cơ sở 1 11 Ca 2 19g30 Thứ 2 ngày 1-8-2016 Tối thứ 2,4,6 từ 19g30 đến 21g00 Cơ sở 1 10 19g30 Thứ 3 ngày 2-8-2016 Tối thứ 3,5 từ 19g30 đến 21g00 Cơ sở 2 (Phòng 24) ĐẶC BIỆT: - LỚP 12T1 ĐƯỢC TĂNG CƯỜNG CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2021. - PHÒNG HỌC TRANG BỊ MÁY LẠNH. - TÀI LIỆU PHÁT MIỄN PHÍ. ĐĂNG KÍ QUA SỐ ĐT: 098 4321 969 Thầy Nhân

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 117: Luyện Tập Chung (Tiếp Theo)
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Trang 37 Câu 1, 2, 3, 4
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 10 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4 Đúng Nhất Bapluoc.com
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 10 Tập 2 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Trang 40 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Tích Có Hướng Của Hai Véc Tơ Trong Không Gian

    --- Bài mới hơn ---

  • Dùng Máy Tính Cầm Tay Giải Toán Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Ôn Thi Đại Học Môn Toán
  • Chinh Phục Hình Học Giải Tích Oxyz
  • Hàm Phức Và Ứng Dụng Chương 1: Hàm Giải Tích Ham Phuc Va Ung Dung Chuong 1 Ham Giai Tich Doc
  • De Cuong On Tap Mon Toan Thi Cao Hoc
  • I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTO TRONG KHÔNG GIAN

    Tích vô hướng của hai vecto trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 véc tơ bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng:

    Nếu ít nhất một trong hai véc tơ bằng véc tơ – không thì tích có hướng hai vectơ đó bằng véc tơ – không.

    Tích có hướng của 2 vecto khác véc tơ – không là một véc tơ có đồng thời vuông góc với hai véc tơ đó. Có xác định theo quy tắc cái đinh ốc (quy tắc vặn nút chai-hình). Và có (mô đun) xác định theo công thức:

    Công thức tính tích có hướng trong hình học giải tích

    Phần định nghĩa bên trên giúp chúng ta hiểu ý nghĩa tíςh có hướng. Ở hình học giải tích lớp 12 ta thường dùng công thức tích có hướng thông qua qua độ của hai véc tơ. Cụ thể, tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz được tính như sau:

    III. CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÍCH CÓ HƯỚNG

    * Define Vector: Nhập dữ liệu cho các véc tơ. Chúng ta có thể nhập đông thời tối đa 4 véc tơ.

    * Edit Vector: Nếu véc tơ nhập nhầm dữ liệu hoặc muốn thay đổi dữ liệu ta chọn chức năng này.

    * Dimension: Số chiều của véc tơ. Chúng ta luôn chọn 3 cho nội dung hình học Oxyz.

    * OPTN: Option. Máy 580 VNX khác các thế hệ máy tính bỏ túi trước là các chức năng con của 1 chương trình đều được gọi ra từ phím này.

    Cách tính tích vô hướng bằng máy tính chỉ khác một chút là ở vị trí giữa 2 véc tơ ta chèn Option Dot Product. (Dấu * giữa VctA và VctB).

    * TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

    Cho tam giác ABC. Khi đó diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức sau:

    * TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH BÌNH HÀNH

    Cho hình bình hành ABCD. Khi đó diện tích hình hành ABCD có thể tính theo công thức sau:

    Phương pháp tọa độ trong không gian Tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz

    --- Bài cũ hơn ---

  • Kỹ Thuật Sử Dụng Máy Tính Casio, Viancal Để Tính Tích Có Hướng
  • Bài Tập Tính Tích Phân Nâng Cao
  • Giáo Sư Nguyễn Thừa Hợp
  • Luận Văn: Giải Tích Ngẫu Nhiên Và Ứng Dụng Trong Tài Chính, Hay
  • Giáo Trình Giải Tích Mạng Điện
  • 11 Câu Trắc Nghiệm: Vectơ Trong Không Gian Có Đáp Án (Phần 1).

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Định Giá Trái Phiếu
  • Bài Tập Cân Bằng Hóa Học
  • Giải Bài Tập Sgk Hóa 8 Bài 8: Luyện Tập 1
  • Giải Bài Tập Trang 41 Sgk Hóa Lớp 8: Bài Luyện Tập 2 Chương 1
  • Bài Tập Cách Nhận Biết Các Chất Vô Cơ Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • 11 câu trắc nghiệm: Vectơ trong không gian có đáp án (phần 1)

    Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy hai điểm P và Q lần lượt thuộc AD và BC sao cho PA → = mPD → và QB → = mQC →, với m khác 1. Vecto MP → bằng:

    Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

    a) Vecto (MN) ⃗ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto đồng phẳng?

    b) Vecto AC → cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto không đồng phẳng?

    Suy ra: MN// AC và (1)

    Tương tự: QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và (2)

    ⇒ MN → = QP → (3)

    Câu 3: Cho ba vecto a →, b →, C →. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

    A. Một trong ba vecto đó bằng 0 →.

    B. Có hai trong ba vecto đó cùng phương.

    C. Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại

    D. Có hai trong ba vecto đó cùng hướng.

    A. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng một mặt phẳng.

    B. Ba đường thẳng chứa chúng cùng thuộc một mặt phẳng.

    C. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng song song với một mặt phẳng.

    D. Ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.

    Câu 5: Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD.

    a) Những vecto khác 0 → bằng nhau là:

    c) Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc mặt phẳng vì:

    a.

    Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a.

    A. Trùng với A

    B. Trùng với C

    C. Là trung điểm của AC

    D. Bất kì vị trí nào trên AC.

    Câu 9: 7. Cho tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, AB = 2a, CD = 2b và EF = 2c. M là một điểm bất kì.

    c) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. ME 2 + MF 2 bằng:

    Câu 10: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là l. Gọi M là trung điểm của các cạnh AB. Góc giữa hai vecto OM → và BC → bằng:

    Câu 11: Cho hình chóp chúng tôi có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC bằng a√2.

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

    Phương án B sai vì:

    Phương án C đúng:

    c. Ta có;

    Tham khảo các bài giải Bài tập trắc nghiệm Hình Học 11 khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dạng Bài Tập Tính Thuế Gtgt Theo Phương Pháp Khấu Trừ (Có Lời Giải)
  • Tổng Hợp Bài Tập Thuế Có Lời Giải Theo Luật Mới
  • Bài Tập Về Thuế Giá Trị Gia Tăng (Vat) Có Lời Giải
  • Bài Tập Kế Toán Thuế Gtgt Có Lời Giải
  • Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số
  • Các Phương Pháp Giải Toán Hình Học Không Gian

    --- Bài mới hơn ---

  • Skkn Giai Toan Hinh Hoc Lop 5
  • Rèn Kĩ Năng Giải Toán Có Nội Dung Hình Học Cho Học Sinh Lớp 5
  • Phương Pháp Giải Bài Toán Về Đường Tròn Môn Hình Học Lớp 9
  • Đề Tài Phương Pháp Giải Bài Toán Quang Hình Học Lớp 9
  • Phương Pháp Giải Bài Toán Quang Hình Học Lớp 9
  • Các phương pháp giải Toán hình học không gian

    Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

    bao gồm các dạng toán và phương pháp giải bài toán hình học không gian. Hi vọng qua các bí quyết giải toán này, các bạn học sinh khi làm toán sẽ giải bài tập nhanh hơn, tiếp kiệm thời gian bài thi hơn. Đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho các bạn tham khảo nhằm học tốt môn Toán THPT, ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

    306 bài tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 12

    Bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện (Có đáp án)

    Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học không gian

    Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học giải tích trong mặt phẳng

    GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

    Mở đầu

    Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu biết đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán, kiên trì hướng dẫn học sinh thực hiện theo đúng phương pháp đó, thì việc học và giải toán hình học không gian sẽ đỡ khó hơn rất nhiều và mỗi học sinh đều có thể học và giải những đề thi đại học phần hình học không gian một cách nhẹ nhàng.

    Một số phương pháp giải toán Hình Học Không Gian

    BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

    * Phương pháp:

    Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

    • Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
    • Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

    Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng // thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và // với 2 đường thẳng này

    BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

    * Phương pháp:

    – Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).

    – Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

    1. Tìm một mp (Q) chứa a.

    2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).

    3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

    BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

    * Phương pháp:

    Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

    BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.

    * Phương pháp:

    – Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

    Tìm A = a ∩ b.

    Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

    – Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

    BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.

    * Phương pháp:

    – Tìm mp (P) cố định chứa a.

    – Tìm mp (Q) cố định chứa b.

    – Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c.

    – Giới hạn.

    BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.

    * Phương pháp:

    Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

    1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.

    2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

    BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định. * Phương pháp:

    Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P) ∩ b.

    BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song. * Phương pháp:

    • Cách 1: Ta chứng minh: a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, … để chứng minh: a // b.
    • Cách 2: Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.
    • Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.

    BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b. * Phương pháp:

    * Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại.

    BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P). * Phương pháp:

    – Cách 1: Ta chứng minh: a // với một đường thẳng . Khi không thấy được b ta làm theo các bước:

    – Cách 2: Chứng minh:

    BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước. * Phương pháp:

    Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.

    BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song. * Phương pháp:

    Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

    BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước. * Phương pháp:

    Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến // nhau.

    Mời tham gia Thi và Tải đề thi THPT Quốc gia MIỄN PHÍ

    Link đề thi trực tuyến: Link tải tài liệu thi thử THPT Quốc gia 2021 MIỄN PHÍ:

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Vật lý

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa học

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sinh học

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Ngữ văn

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lịch sử

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa lý

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Tiếng Anh

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Toán Lớp 6 Tập 2
  • Giải Bài Tập Trang 39, 40 Sgk Hình Học 12, Giải Toán Lớp 12 Bài 1, 2,
  • Giải Toán 7 Bài 6. Tam Giác Cân
  • Toán Hình Hoc Bài Cạnh Góc Cạnh Hai Tam Giac Bang Nhau Canh Goc Canh Ppt
  • Giải Toán Lớp 4 Trang 102, 103 Hình Bình Hành, Đáp Số Bài 1,2,3 Sgk
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Sbt Toán 12 Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Logarit
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Giải Sbt Toán 12 Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm
  • Giải Sbt Toán 12 Ôn Tập Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Giải Bài 11, 12, 13, 14 Trang 107 Sách Giáo Khoa Toán 6 Tập 1
  • Hướng dẫn làm bài

    =(−4;−2;3), =(−9;2;1)

    Bài 3.2 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Trong không gian Oxyz cho vecto =(1;−3;4)

    a) Tìm y 0 và z 0 để cho vecto =(2;y 0;z 0) cùng phương với

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Ta biết rằng cùng phương khi và chỉ khi =k với k là một số thực. Theo giả thiết ta có:=(x 0;y 0;z 0) với x 0 = 2. Ta suy ra k=1/2 nghĩa là l=1/2x 0

    Vậy ta có =(2;−6;8)

    b) Theo giả thiết ta có =−2

    Do đó tọa độ của là: = (-2; 6; -8)

    Bài 3.3 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x 0; y 0; z 0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

    Hướng dẫn làm bài:

    Gọi M’, M”, M”’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

    Bài 3.4 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Cho hai bộ ba điểm:

    a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

    b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

    Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Ta có =(−1;−2;1)

    =(−1;−3;0)

    Giả sử ta có =k, khi đó k.(−1)=−1;k.(−3)=−2;k.(0)=1

    Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

    b) Ta có: =(−5;2;0) và =(−10;4;0). Hai vecto thỏa mãn điều kiện: =k với k=1/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

    Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

    Hướng dẫn làm bài:

    Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

    Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA 2 = MB 2 = MC 2

    Từ đó ta tính được M(5/6;0;−7/6)

    Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Ta có:

    Do đó: +=+=−

    b) Vì =+=+ nên =++

    Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    ho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì

    ==1/2=PN =1/2.

    Do đó =MQ +=/2+/2 hay 2=+ (1)

    =

    Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Trong không gian cho ba vecto tùy ý ,,. Gọi =−2, =3, =2−3.

    Hướng dẫn làm bài:

    Muốn chứng tỏ rằng ba vecto , , đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho =p+q.

    2c −3=p(−2b )+q(3)

    {3+p=0;3q−2p=0;q+2=0⇒p=−3;q=−2

    Như vậy ta có: =−3−2 nên ba vecto , v , đồng phẳng.

    Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Trong không gian Oxyz cho một vecto tùy ý khác vecto . Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị ,, trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto . Chứng minh rằng: cos 2α+cos 2β+cos 2 γ=1

    Hướng dẫn làm bài:

    Bài 3.10 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

    Cho hình tứ diện ABCD.

    a) Chứng minh hệ thức:

    +.+.. = 0

    b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Ta có

    .=()=.. (1)

    .=()=.. (2)

    .=()=.. (3)

    Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

    +.+.. = 0

    b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB⊥CD,AC⊥DB, nghĩa là . =0 và . =0 thì . = 0 và do đó AD⊥BC.”

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sbt Toán 12 Bài 1: Số Phức. Biểu Diễn Hình Học Số Phức
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 1: Nguyên Hàm
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 4: Hàm Số Mũ. Hàm Số Logarit
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Sbt Toán 12 Bài 3
  • Con Lắc Đơn, Chu Kỳ, Tần Số, Thế Năng Của Con Lắc Đơn Và Bài Tập Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • 960 Bài Tập Trắc Nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 Có Đáp Án Hay Nhất
  • Bài Tập Tiếng Anh Lớp 10 Unit 2: School Talks Có Đáp Án
  • Trắc Nghiệm Hóa 8 Bài 18: Mol (Có Đáp Án)
  • Bài Soạn Tác Phẩm Sống Chết Mặc Bay
  • Giải Bài Tập Trang 22 Sgk Toán 4: Luyện Tập So Sánh Và Sắp Xếp Thứ Tự Các Số Tự Nhiên
  • – Là vị trí mà dây treo có phương thẳng đứng.

    – Kéo nhẹ quả cầu cho dây treo lệch khỏi vị trí cân bằng một góc rồi thả ra, ta thấy con lắc dao động quanh vị trí cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật. Ta hãy xét xem dao động của con lắc đơn có phải là dao động điều hòa hay không?

    II. Con lắc đơn: khảo sát về mặt động lực học

    – Khảo sát con lắc đơn như hình trên

    ⇒ Vậy dao động của con lắc đơn không phải là dao động điều hòa.

    – So sánh với lực kéo về của con lắc lò xo F = -kx. Ta thấy mg/l có vai trò của k l/g = m/k

    ⇒ Vậy, khi dao động nhỏ thi sinα≈α (rad), con lắc đơn dao động điều hòa theo phương trình:

    * Li độ cong: s = s0cos(ωt+φ). (cm,m);

    * Li độ góc: α = α0cos(ωt+φ). (độ,rad);

    ° Con lắc đơn dao động điều hòa khi góc lệch nhỏ và bỏ qua mọi ma sát.

    ° s = l.α và s 0 = l.α 0 (với α và α 0 có đơn vị rad).

    – Như vậy: khi con lắc đơn dao động điều hòa thì chu kì của nó không phụ thuộc vào khối lượng vật nặng và biên độ.

    III. Con lắc đơn: khảo sát về mặt năng lượng

    – Công thức tính động năng của con lắc đơn: – Công thức tính thế năng của con lắc đơn:

    – Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát, công thức tính cơ năng:

    Thế nào là con lắc đơn? Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học. Chứng minh rằng khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), dao động của con lắc đơn là dao động điều hòa.

    – Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ trái sang phải.

    Lưu ý: α, s có giá trị dương khi lệch khỏi vị trí cân bằng theo chiều dương và ngược lại.

    ⇒ Vậy khi dao động nhỏ [sinα ≈ α (rad)], con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình:

    – Thế năng của con lắc tại vị trí góc lệch α bất kì Wt = mgl.(1 – cosα) (mốc tính thế năng tại vị trí cân bằng).

    – Cơ năng: Nếu bỏ qua mọi ma sát thì cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn.

    A. Thay đổi chiều dài của con lắc.

    B. Thay đổi gia tốc trọng trường

    C. Tăng biên độ góc đến 30 o

    D. Thay đổi khối lượng của con lắc.

    – Đáp án đúng: D. Thay đổi khối lượng của con lắc.

    – Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào l, g và biên độ góc không phụ thuộc vào khối lượng m. T không đổi khi thay đổi khối lượng m của con lắc.

    ° Bài 6 trang 17 SGK Vật lý 12: Một con lắc đơn khi được thả không vận tốc đầu từ li độ góc α 0. Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của quả cầu con lắc là bao nhiêu?

    – Dùng định luật bảo toàn cơ năng, tại biên và tại vị trí cân bằng. Khi con lắc qua vị trí cân bằng thì thế năng bằng 0, động năng cựa đại (bằng cơ năng):

    – Định luật bảo toàn cơ năng:

    ° Bài 7 trang 17 SGK Vật lý 12: Một con lắc đơn dài l = 2m, dao động điều hòa tại một nơi có gia tốc rơi tự do g = 9,8 m/s 2. Hỏi con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần trong 5 phút?

    – Ta có: t = 5 phút = 300s

    ⇒ n ≈ 106 dao động toàn phần.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Trắc Nghiệm Lịch Sử 11 Bài 19 (Có Đáp Án): Nhân Dân Việt Nam Kháng Chiến Chống Pháp Xâm Lược (Từ Năm 1858 Đến Trước Năm 1873) (Phần 2).
  • Câu Hỏi Trắc Nghiệm Lịch Sử Lớp 11 Bài 19
  • 80 Câu Trắc Nghiệm Địa Lý Lớp 11 (Từ Bài 1
  • Trắc Nghiệm Địa Lí 10 Bài 6 Có Đáp Án Hay Nhất
  • Địa Lí 10 Bài 6: Hệ Quả Chuyển Động Xung Quanh Mặt Trời Của Trái Đất
  • Giải Bài Tập Toán 11 Bài Tập Ôn Tập Chương 3: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không

    --- Bài mới hơn ---

  • Vở Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 2 Full Các Trang
  • Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 2 Trang 11 Bài 4.1, 4.2
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 2 Trang 38 Bài 11, 12, 13, 14
  • Bài 7 Trang 11 Sgk Toán 7
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 7 Bài 2: Bảng “tần Số” Các Giá Trị Của Dấu Hiệu
  • Giải bài tập Toán 11 bài tập ôn tập chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

    Bài tập Toán lớp 11 trang 121,122 SGK

    Giải bài tập Toán 11 Hình học bài tập ôn tập chương 3

    Để giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập hiệu quả hơn môn Toán. chúng tôi xin giới thiệu tới các em học sinh tài liệu: . Bộ tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh rèn luyện cách giải nhanh các bài tập trong SGK. Mời các bạn và thầy cô tham khảo.

    Bài 1 (trang 121 SGK Hình học 11): Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

    a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;

    b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song;

    c) Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng b và b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (α).

    d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

    e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

    Lời giải:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai (vì a có thể nằm trong mp(α), xem hình vẽ)

    d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) và (β) cùng đi qua đường thẳng a và a ⊥ mp(P) nên (α) và (β) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (α) và (β) cắt nhau.

    e) Sai, chẳng a và b cùng ở trong mp(P) và mp(α) ⊥ d. Lúc đó a và b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau.

    Bài 2 (trang 121 SGK Hình học 11): Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?

    a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

    b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

    c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.

    d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

    Lời giải:

    Câu a) đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

    Câu b) sai. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

    Câu c) sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

    Câu d) sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

    Bài 3 (trang 121 SGK Hình học 11): Hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

    a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

    b) Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, AC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB.

    Lời giải:

    Bài 4 (trang 121 SGK Hình học 11): Hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60o. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = 3a/4 . Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

    a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

    b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

    Lời giải:

    Bài 5 (trang 121 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có A vuông tại D có CD = a.

    a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông.

    b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của Ad và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

    Lời giải:

    Bài 6 (trang 121 SGK Hình học 11): Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

    a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)

    b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.

    Lời giải:

    Bài 7 (trang 121 SGK Hình học 11): Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có góc …

    a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

    b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

    c) Chứng minh SB vuông góc với SC.

    d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.

    Lời giải:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 11. Chương 2. Bài 2. Hoán Vị
  • Giải Bài Tập Trang 112 Sgk Toán 2: Số Bị Chia
  • Giải Toán Lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Trang 91, 92 Sgk Hì
  • Bài Tập 1,2,3 Trang 78 Toán Lớp 5: Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm (Tiếp Theo)
  • Toán Lớp 5 Trang 78, 79: Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm
  • Tổng Hợp Các Dạng Bài Tập Về Con Lắc Lò Xo Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài 5: Diện Tích Hình Thoi Toán Lớp 8 (Tập 1) Đầy Đủ Nhất
  • Giải Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Lớp 8
  • Giải Bt Sinh 8 (Ngắn Nhất)
  • Communication Trang 21 Unit 8 Tiếng Anh 7 Mới Tập 2
  • Bài Tập Thực Hành Tiếng Anh Lớp 8 (Có Đáp Án)
  • Kiến thức cơ bản về con lắc lò xo

    Định nghĩa

    Con lắc lò xo là một hệ thống gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể (lí tưởng) một đầu cố định và một đầu gắn vật nặng có khối lượng m (kích thước không đáng kể).

    Phương trình động lực học của vật dao động điều hoà trong con lắc lò xo

        x’’ + ω2x = 0 (*)

     Trong toán học phương trình (*) được gọi là phương trình vi phân bậc 2 có nghiệm: x = A.cos(ωt +φ)

    Tần số góc, chu kỳ dao động, tần số dao động

    * Trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động thì 

    * Khi tăng khối lượng vật nặng n lần thì chu kỳ tăng  lần, tần số giảm 

    * Khi mắc vật có khối lượng m1 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu  kỳ

    * Khi mắc vật có khối lượng m2 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ

    * Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 + m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ

     

        * Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 – m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ

     

    (Hiệu ứng sóng con lắc vô cùng đẹp mắt được tạo ra dựa vào những tính toán về con lắc lò xo)

     Các dạng bài tập về con lắc lò xo có lời giải chi tiết

    Các dạng bài được trích  từ sách Bí quyết 6.0 chinh phục môn Vật lý tập 1

    Dạng 1: Đại cương về con lắc lò xo.

     

    Dạng 2: Viết phương trình dao động điều hòa con lắc lò xo

     

    Dạng 3: Bài toán thời gian trong dao động của con lắc lò xo

     

     

    Dạng 4: Lực đàn hồi, phục hồi và năng lượng của con lắc lò xo

     

    Dạng 5: Một số bài toán đặc biệt trong con lắc lò xo.

     

     

     

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Dạng Bài Tập Sóng Cơ Và Cách Giải Chi Tiết Chọn Lọc
  • Kết Quả Bài Thực Hành Vật Lý 12 Cơ Bản: Đo Bước Sóng Ánh Sáng Bằng Phương Pháp Giao Thoa
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Lý 10 Trang 162 Sgk
  • Hướng Dẫn Giải Lý 10: Bài Tập Trang 154
  • Giải Sbt Vật Lí 6
  • Giải Bài Tập Toán 11 Câu Hỏi Ôn Tập Chương 3: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài 3: Quan Hệ Giữa Ba Cạnh Của Một Tam Giác. Bất Đẳng Thức Tam Giác
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài: Ôn Tập Chương Iii
  • Bài Tập 8,9,10 ,11,12 ,13,14 Trang 59,60 Sgk Toán Lớp 7 Tập 2: Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu
  • Bài 4. Có Phải Tất Cả Thực Vật Đều Có Hoa
  • Giải Vbt Sinh Học 6 Bài 19: Đặc Điểm Ngoài Của Lá
  • Giải bài tập Toán 11 câu hỏi ôn tập chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

    Bài tập Toán lớp 11 trang 120 SGK

    Giải bài tập Toán 11 Hình học câu hỏi ôn tập chương 3

    VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu: , tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh rèn luyện cách giải nhanh các bài tập Toán trong SGK. Mời các bạn và thầy cô tham khảo.

    Bài 1 (trang 120 SGK Hình học 11): Nhắc lại định nghĩa vectơ không gian.

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Hãy kể tên những vectơ bằng vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

    Lời giải:

    Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có định hướng, tức là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

    Vì các cạnh bên của hình lăng trụ là các đoạn thẳng song song và bằng nhau nên các vectơ bằng vectơ và có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: các vector BB’, CC’, DD’.

    Bài 2 (trang 120 SGK Hình học 11): Trong không gian cho ba vectơ a, b và c đều khác vectơ 0 . Khi nào ba véc tơ đó đồng phẳng?

    Lời giải:

    Thỏa mãn:

    – Giá của 3 vector đều song song với mặt phẳng (P) nên chúng đồng phẳng

    – Khi ba vectơ có giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

    Bài 3 (trang 120 SGK Hình học 11): Trong không gian hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không? Giả sử hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là vector u và vector v. Khi nào ta có kết luận a và b vuông góc với nhau?

    Lời giải:

    Bài 4 (trang 120 SGK Hình học 11): Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của (α) hay không?

    Lời giải:

    Không cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng.

    Ta có thể chọn một trong số những cách sau để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    – Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

    – Cách 2: Sử dụng định lí: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia”.

    – Cách 3: Sử dụng định lí: ” Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng đó”.

    Bài 5 (trang 120 SGK Hình học 11): Nhắc lại nội dung định lí ba đường thẳng vuông góc

    Lời giải:

    Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

    Bài 6 (trang 120 SGK Hình học 11): Nhắc lại định nghĩa:

    a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

    b) Góc giữa hai mặt phẳng.

    Lời giải:

    a) Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

    Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm O và d không vuông góc với (α). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu vuông góc góc d’ của d trên mặt phẳng (α), kí hiệu góc (d,α).

    – Nếu d vuông góc góc với (α) ta qui ước góc (d,α) = 90 o.

    – Nếu d // (α) hay d nằm trong (α) ta quy ước góc (d,α) = 90 o.

    b) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng

    Giả sử hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ điểm I bất kì trên c ta dựng trong (α) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (β) đường thẳng b vuông góc với c. Ta gọi góc giữa hai đường a và b là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Như vậy góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) luôn có số đo bé hơn hoặc bằng 90 o.

    *Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng với nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0 o. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) được kí hiệu là (α, β), ta có 0 o ≤ (α, β) ≤ 90 o.

    Bài 7 (trang 120 SGK Câu hỏi Hình học 11): Muốn chứng minh mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β) ta có thể?

    Lời giải:

    Chứng minh (α) chứa một đường thẳng vuông góc với (β) hoặc (β) chứa một đường thẳng vuông góc với (α).

    Hoặc chứng minh góc giữa (α) và (β) bằng 90 o.

    Bài 8 (trang 120 SGK Hình học 11): Hãy nêu cách tính khoảng cách:

    a) Từ một điểm đến một đường thẳng ;

    b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a ;

    c) Giữa hai mặt phẳng song song.

    Lời giải:

    a) Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O; Δ) và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥ Δ. Độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến Δ.

    b) Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với (P), ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Khoảng cách MN từ điểm M đến mp(P) chính là khoảng cách giữa đường thẳng và mp(P) song song với a.

    c) Để tính khoảng cách giữa hai mp(P) và (P’) song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P) và tìm khoảng cách MH từ điểm M đến mp(P’).

    Bài 9 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau này bằng những cách nào?

    Lời giải:

    Có 2 cách để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

    Bài 10 (trang 120 SGK Hình học 11): Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Lời giải:

    – Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với mp(ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, cho ta OA = OB = OC.

    – Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC). Ngược lại, lấy một điểm M’ ∈ d, nối M’A, M’B, M’C.

    – Do M’O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M’OA, M’OB, M’OC bằng nhau, cho ta M’A = M’B = M’C.

    – Tức là điểm M’ cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

    – Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tam giác ABC.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tất Tần Tật Kiến Thức Về Quan Hệ Từ Ở Tiểu Học Không Thể Bỏ Qua!
  • Soạn Luyện Từ Và Câu: Luyện Tập Về Quan Hệ Từ Lớp 5 Trang 121
  • Một Số Cặp Quan Hệ Từ Thường Gặp Và Các Dạng Bài Tập Về Quan Hệ Từ Trong Tiếng Việt Lớp 5
  • Giải Bài Luyện Từ Và Câu: Luyện Tập Về Quan Hệ Từ
  • Giải Bài Tập Thực Hành Âm Nhạc 8 Bài Mùa Thu Ngày Khai Trươfng
  • Web hay
  • Guest-posts
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100