Top 13 # Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Có Lời Giải Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 6/2023 # Top Trend

Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Giai Bai Tap Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian, Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Oxy, Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Phương Trình 2 Mặt Phẳng Vuông Góc, Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm, Chuyên Đề 22 Phương Trình Mặt Phẳng, Tìm D Trong Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Oxyz, [luyện Tập] Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng, Chuyên Đề 8.3 Phương Trình Mặt Phẳng, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình D Là Giao Tuyến 2 Mặt Phẳng, Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Đi-ô-phăng Tuyến Tính, Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực, Các Kiểu Nhiệm Vụ Trong Chủ Đề Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Giải Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Đáp án 80 Bài Toán Hình Học Giải Tích Phẳng, Giải Phương Trình 6 ẩn, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Hai Một ẩn, Giải Phương Trình 7-3x=9-x, Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Phương Trình (8x-4x^2-1)(x^2+2x+1)=4(x^2+x+1), Bài Giải Phương Trình, Giải Hệ Phương Trình ôn Thi Vào 10, Giải Phương Trình 8, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Cầu, Đề Bài Giải Phương Trình Bậc 2, C Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Phương Trình 7+2x=22-3x, Hệ Phương Trình ôn Thi Đại Học Có Lời Giải, Giải Phương Trình 9x-7i 3(3x-7u), Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Phương Trình 7-(2x+4)=-(x+4), Giải Phương Trình 8.3^x+3.2^x=24.6^x, Giải Phương Trình 7x-3/x-1=2/3, Giải Phương Trình 7x+21=0, Giải Phương Trình 8(x+1/x)^2+4(x^2+1/x^2)^2-4(x^2+1/x^2)(x+1/x)^2=(x+4)^2, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một ẩn, Giải Bài Tập Phương Trình Tích, Chuyên Đề Giải Phương Trình Lớp 8, Chuyên Đề Giải Hệ Phương Trình Lớp 9, Bài 5 Giải Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn, Phương Trình Bậc Hai Một ẩn Và Cách Giải, Code C Giải Phương Trình Bậc 2, Bài Giải Phương Trình Đạo Hàm Riêng, Giải Bài Tập Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Phương Trình 1 ẩn Và Cách Giải, Bài Giải Phương Trình Logarit, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn, Giải Bài Tập Bài 5 Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Bài Tập Chuyên Đề Giải Phương Trình, Bài Giải Phương Trình Tiếp Tuyến, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Phương Trình Giải Thích Sự Xâm Thực Của Nước Mưa, Phương Trình Giải Thích Câu Tục Ngữ Nước Chảy Đá Mòn, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Giải Phương Trình 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian, Phương Trình 35x=53x Không Tương Đương Với Phương Trình Nào Dưới Đây, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp,

Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Giai Bai Tap Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian, Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Oxy, Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Phương Trình 2 Mặt Phẳng Vuông Góc, Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm, Chuyên Đề 22 Phương Trình Mặt Phẳng, Tìm D Trong Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Oxyz, [luyện Tập] Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng, Chuyên Đề 8.3 Phương Trình Mặt Phẳng, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình D Là Giao Tuyến 2 Mặt Phẳng, Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Đi-ô-phăng Tuyến Tính, Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực, Các Kiểu Nhiệm Vụ Trong Chủ Đề Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Giải Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Đáp án 80 Bài Toán Hình Học Giải Tích Phẳng, Giải Phương Trình 6 ẩn, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Hai Một ẩn, Giải Phương Trình 7-3x=9-x, Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Phương Trình (8x-4x^2-1)(x^2+2x+1)=4(x^2+x+1), Bài Giải Phương Trình, Giải Hệ Phương Trình ôn Thi Vào 10, Giải Phương Trình 8, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Cầu, Đề Bài Giải Phương Trình Bậc 2, C Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Phương Trình 7+2x=22-3x, Hệ Phương Trình ôn Thi Đại Học Có Lời Giải, Giải Phương Trình 9x-7i 3(3x-7u), Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Phương Trình 7-(2x+4)=-(x+4), Giải Phương Trình 8.3^x+3.2^x=24.6^x, Giải Phương Trình 7x-3/x-1=2/3, Giải Phương Trình 7x+21=0, Giải Phương Trình 8(x+1/x)^2+4(x^2+1/x^2)^2-4(x^2+1/x^2)(x+1/x)^2=(x+4)^2, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một ẩn, Giải Bài Tập Phương Trình Tích, Chuyên Đề Giải Phương Trình Lớp 8,

Một dạng bài hết sức quan trọng trong chương trình học THPT đó là dạng bài tập về phương trình mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz. Bài học cung cấp tới bạn đọc các khái niệm về phương trình mặt phẳng và các dạng bài tập tiêu biểu. Chúng tôi hy vọng chúng hữu ích đối vớ bạn! I. Định nghĩa 1. Phương trình mặt phẳng trong không gian:

Phương trình mặt phẳng Oxyz có dạng:

(Ax + By + Cz + D = 0(A^2 + B^2 + C^2 ≠ 0) )

Phương trình mặt phẳng qua điểm (M(x_o,y_o,z_o)) và có vtpt (overrightarrow {n}= (A,B,C)) là:

(A(x-x_o) + B(y-y_o) + C(z-z_o) = 0)

Nếu mặt phẳng a cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại (A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) (a,b,c≠0)) thì a có phương trình: (dfrac{x}{a}+dfrac{y}{b}+dfrac{z}{c}=1)(1)

Ta gọi phương trình (1) là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Trường hợp đặc biệt:

Cho mặt phẳng a : Ax + By + Cz = 0

a qua gốc O suy ra D = 0

a

a qua (chứa) Ox suy ra A = D = 0

a

Các trường hợp a

Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng:

(a : Ax + By +Cz + D = 0 ( overrightarrow{ n} = (A,B,C)) )

(a’ : A’x + B’y +C’z + D’ = 0 ( overrightarrow{ n} = (A’,B’,C’)) )

a cắt a’ (leftrightarrow A:B:C neq A’:B’:C’ leftrightarrow [overrightarrow n_alpha,overrightarrow n’_alpha]neq overrightarrow {0})

a

a ≡ a’ (leftrightarrow dfrac{A}{A’}=dfrac{B}{B’}=dfrac{C}{C’}=dfrac{D}{D’})

a vuông góc a’ (leftrightarrow [overrightarrow n_alpha,overrightarrow n’_alpha] =0 leftrightarrow AA’+BB’+CC’=0) .

II. Cách viết phương trình mặt phẳng 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng (P) có 1 cặp vector chỉ phương là (overrightarrow{AB};overrightarrow{AC})

Khi đó ta gọi (overrightarrow{n}) là một vector pháp tuyến của (P), thì (overrightarrow{n}) sẽ bằng tích có hướng của hai vector (overrightarrow{AB})và (overrightarrow{AC}). Tức là (overrightarrow{n}= [overrightarrow{AB};overrightarrow{AC}]).

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm (M(x_0;y_0;z_0))

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến (overrightarrow {n}= (A,B,C))

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): (A(x−x_0)+B(y−y_0)+C(z−z_0)=0)

3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng

Mặt phẳng (P) đi qua điểm (M(x_0;y_0;z_0)) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0

Vì M thuộc mặt phẳng (P) nên thế tọa độ M và pt (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:

(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.

III. Một số bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng tham khảo

Câu 1: Trong hệ tọa độ Oxyz, a là mặt phẳng đi qua điểm A (2;-1.5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P:3x-2y+z-7=0;Q:5x-4y+3z+1=0). Phương trình mặt phẳng a là:

A. (x+2y+z-5=0)

B. (2x-4y-2z-10=0)

C. (2x+4y+2z-10=0)

D. (x+2y-z+5=0)

Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm M nằm trên Oy và cách đều hai mặt phẳng: (P:x+y-z+1=0;Q: x-y+z-5=0)là:

A. (M(0;-3;0))

B. (M(0;3;0))

C. (M(0;-2;0))

D. (M(0;1;0))

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;2;3). Gọi a là mặt phẳng chức trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của a là:

A. (x+3z=0)

B. (x+2z=0)

C. (x-3z=0)

D. (x=0)

Câu 4: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng P qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC là nhỏ nhất có phương trình là:

A. (6x+3y+2z-18=0)

B. (6x+3y+2z=0)

C. (x+2y+3z-14=0)

D. (x+y+z-6=0)

21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vecto n → làm vecto pháp tuyến

1. Phương pháp giải 2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n →(2;3;4)

A. y – z + 1 = 0 B. 2x + y – z- 3= 0

C. 2x + 3y + 4z +1= 0 D. 2x- 3y – 4z – 1 = 0

Hướng dẫn giải:

2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0

Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n →(2;-3;1)

A. 2x – 3y+ z + 2 = 0 B. 2x – 3y + z + 3=0

C. 2x – 3y+ z = 0 D. 2x – 3y + z – 3= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vecto pháp tuyến có phương trình là:

2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0

Hay 2x -3y + z – 3= 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( – 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến n →(2;1;1)

A. 2x+ y+ z- 3= 0 B. 2x+ y- z+ 3=0

C. 2x+ z- 3= 0 D. 2x+ y- z- 6= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

2( x- 0) + 1( y – 2) + 1.( z – 1) = 0

Hay 2x+ y+ z – 3= 0

Chọn A.

Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) và song song với một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n →(A;B;C)

Phương trình mặt phẳng (α):

Cách 2:

Mặt phẳng (α )

Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D’ ≠ D

Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x o; y o; z o) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm đươc D’

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.

A. x + 2y – 3z – 3= 0 B. x – 2y+ 3z + 5 = 0

C. x+ 2y – 3z +3 = 0 D. – x+ 2y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3). Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z – 10 =0

A. 2x+ 5y + z+ 2= 0 B. 2x+ 5y + z+ 3= 0

C. 2x+ 5y + z – 4= 0 D. 2x+ 5y + z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

2( x- 1) + 5( y+ 1) + 1(z- 2) = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4), D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)

A. x+ y – z – 4= 0 B. x+ y +z+ 2= 0 C.x – y+ z+ 6= 0 D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n → cùng phương với [AB →, AC →]

1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-2;1;3), B(1; 2; 4), C(2; -1;3), D(0; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)

A. x+ 2y+ z- 2= 0 B. x- 2y- 5z- 5= 0 C. x+ 2y- 5z- 9= 0 D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi n → là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta có nên n → cùng phương với

1. (x – 0)+ 2( y – 0) – 5( z+ 1) =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0

Chọn D.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương

1. Phương pháp giải

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)

Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có dạng là:

x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.

Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)

A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0 B. 9x+ y- 3z – 7= 0

C. 9x- y- 3z- 11=0 D. 9x- y+ 3z- 10= 0

Hướng dẫn giải:

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n → cùng phương với [AB →, AC →]

9.( x – 1)+1.(y + 2) – 3( z – 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).

A. x+ y+ z – 12 = 0 B. x- y- z + 2= 0

C. x- y+ z – 4= 0 D. x+ y- z – 6= 0

Hướng dẫn giải:

Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 = 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A. x+ 4y+ z- 27= 0 B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0

C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0 D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: nên n → cùng phương với [AB →, CD →].

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n → và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai vecto (1;2;3) và (-2;1;0) làm vecto chỉ phương?

A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0 B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0

C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0 D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z – 10= 0

Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt phẳng (P) nhận vecto ( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?

A. 2x- 7y- 4z- 9= 0 B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0

C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0 D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB →(0; 4; -7)

2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y – 4z- 9=0

Chọn A.

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x o; y o; z o) và có vecto pháp tuyến (A:B:C) là:

+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :

* Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?

A. 3x + 2y – z+ 6= 0 B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0

C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0 D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.

+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:

+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:

3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung điểm của AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?

A. 2x + y +z+ 3= 0 B. 2x + y – z+ 3= 0

C. 2x – y – z – 3 = 0 D. 2x – y + z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM.

+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:

2.(x-1) – 1.(y+1/2) – 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2; 0) và I( -2; 1; 1)

A. x + y- z+ 1= 0 B. 3x+ y- z+ 6= 0

C. 3x- y+ z- 1= 0 D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .

Phương trình mặt phẳng (P):

3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0

Chọn B.

Dạng 5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b; 0) , C(0;0; c) với abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1

+ Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba trục Ox; Oy;Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x – y+ 2z – 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn?

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2)

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2; -1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:

A. 2x – y+ 2z + 3 = 0 B. 2x – y – 2z – 6 =0

C. 2x + y – 2z + 9 = 0 D. 2x+ y + 3z – 9 =0

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng (P) phương trình có dạng:

Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) có phương trình là:

A. 2x+ y + z – 6= 0 B. 2x + y + z+ 6 = 0

C. 2x – y + z +6 = 0 D. 2x+ y – z + 6 = 0

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng ( P) phương trình có dạng:

Ta có:

Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên

Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1

hay (P): 2x+ y + z – 6 = 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phương trình là:

A. x – y – z- 3 = 0 B. x+ y+ z+ 3= 0

C. x+ y+ z – 3 = 0 D. x+ y – z+ 3 = 0

Hướng dẫn giải:

Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.

Thể tích khối tứ diện OABC: V O.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :

⇔ a = b = c = 3

(P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z – 3 = 0

Chọn C

Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

1. Phương pháp giải

+ Đường thẳng d: nhận vecto u →(a; b; c) làm vecto chỉ phương.

Đường thẳng : nhận vecto u →(a; b; c) làm vecto chỉ phương.

+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d:

A. 2x – z = 0 B. -y+ 2z= 0 C. x- y+ 2z= 0 D. x + z = 0

Hướng dẫn giải:

+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là:

2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1) và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

A. 2x+ y – z – 3= 0 B. x+ 2y – 2z + 2 = 0

C. -2x + y + z – 4 = 0 D. x + y + z + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3; 0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng (d): ?

A. 5x+ 27 y – 5z + 12 = 0 B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0

C. 2x+ y+ 3z – 8=0 D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0

Hướng dẫn giải:

+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1); B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng (d) : ?

A. 2x – 3y+ z- 10= 0 B. 3x- 4y+ z – 1= 0

C. 3x+ 4y – z + 3= 0 D. 4x- 3y+ 2z – 10= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

.

Hay 3x – 4y + z- 1= 0

Chọn B.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (β) .

1. Phương pháp giải

* Lấy một điểm M trên Δ

* Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT n α→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y – z+ 10 = 0

A. x+ z = 0 B. x+ y +1= 0 C. y – z + 1= 0 D. x – y + 2z= 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là

1( x + 1) + 0( y – 2) + 1( z – 1) = 0 hay x+ z = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z – 98= 0 có phương trình là

A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0 B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0

C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0 D.5x – 8y- 6z – 5 = 0

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n →=[u ∆→ ,n α→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)

Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

5( x+ 1) – 8( y – 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x – 8y – 6z – 5 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2; -1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là

A. x – 3y – 5z + 5 = 0 B. 3x – 4y – 5z = 0.

C. 3x – 4y – 5z – 2= 0 D. 3x+ 4y – 5z = 0

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n → = [AB → , n α→ ] = (-3; 4; 5) và đi qua A(3; 1; 1)

+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0

Vậy phương trình mp (P): – 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0

Chọn B.

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’; (Δ; Δ’ chéo nhau).

1. Phương pháp giải

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là = [, ]

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

A.- 6x+ y+ 2z- 3= 0 B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0

C. 6x+ y- 2z+ 1= 0 D. 6x- y- 2z+ 4= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u 1→(0;-2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u 2→(1;2;2)

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có: nên → cùng phương với [u 1→,u 2→] . Chọn n → ( -6; 1; 2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n → (-6; 1; 2) có phương trình là:

– 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z – 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Mặt phẳng α chứa ∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2 có phương trình là

A. x+ 4y + 2z + 2 = 0 B. 3x – 2y + 2z – 6 = 0

C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0 D. x+ 4y+ 2z – 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và có vecto chỉ phương u 1→ (2; 1; -2)

Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) có vecto chỉ phương u 2→ (2; 2; -1)

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n → cùng phương với [u 1→, u 2→] .Chọn n → ( 3; -2; 2)

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n → ( 3; -2; 2) có phương trình là:

3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x – 2y + 2z + 6 = 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng .Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’

A. x+ 3y – 2z – 24= 0 B. x+ 3y+ 2z – 24=0

C. x – 3y+ 2z + 12= 0 D. x – 3y – 2z – 1= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u 1→ (2; 0; -1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u 2→ (1; 1; -1)

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n → cùng phương với [u 1→, u 2→]. Chọn n →(1;3;2) .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n →(1;3;2) có phương trình là:

1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A. 10x+ 9y + 5z – 74= 0 B. 10x – 9y – 5z+ 2= 0

C. 10x – 9y + 5z + 56= 0 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có nên n → cùng phương với [AB →, CD →] . Chọn n → (10; 9; 5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n → (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10. (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0

Chọn A.

Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M không thuộc d

1. Phương pháp giải

* Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u → . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN →

* Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n → = [u →, MN →]

* Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0 B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0

C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0 D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u →(2;1; 2); AN →( – 5; 4; -2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là:

10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và chứa trục hoành có phương trình là:

A. y= 0 B. y= 2 C. z= 2 D. x= 0

Hướng dẫn giải:

Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u →(1; 0; 0) ; OA →(0; 0; 2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 0) + 1( y-0) + 0(z – 2) = 0 hay y = 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua A( 1; 2; 3) và chứa đường thẳng d: Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a+ b+ c?

A. – 1 B. 3 C. 2 D. 5

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm N(1; -1; -1) và có vecto chỉ phương u →(2; 1; 3); AN →(0; -3; -4)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x- 1)+ 8( y-2) – 6( z- 3) = 0 hay 5x+ 8y- 6z – 3= 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 1); B( 1; -2; 0) và C(2; 1; 2). Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng : 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?

A. 10 B. – 8 C. 6 D.12

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) có một vecto pháp tuyến là

5(x- 1) +1( y- 2) – 4( z- 1) = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0

Chọn D.

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d’

1. Phương pháp giải

* Lấy 1 điểm M trên d

* Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

có phương trình là

A. (P): x+ y- z+ 2= 0 B. (P) : x- y- z+ 2= 0

C. (P) : x- z+ 2= 0 D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Ta có: [,] = ( 3; -3; -3); (1; 1;0)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x+ 2) – 1( y+ 1) – 1( z- 1) = 0 hay x- y – z + 2= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?

A. 10 B. -11 C. 11 D. 8

Hướng dẫn giải:

Ta có: [, ]= ( 6; 3; 1); MN → ( 0; 3; -9)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là:

6( x- 1)+ 3( y – 2) + 1( z- 3) =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0

Chọn B

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?. Gọi mặt phẳng (P) chứa d 1 và d 2. Tính khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P)?

có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d 1 đi qua điểm M(0; -2; 3) và có vecto chỉ phương (2; 1; 3)

Đường thẳng d 2 đi qua điểm N(2; -3; 3) và có vecto chỉ phương (2; -1; 0)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là:

3( x-0) + 6( y+2) – 4( z-3) = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0

Khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P) là:

Chọn D.

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’

1. Phương pháp giải

* Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u 1→;u 2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’

* Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

A. 6x+ 3y+ z-10= 0 B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0

C. 6x- 3y+ z- 14= 0 D . Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2; 3) là:

6( x – 1)+ 3(y -2) +1(z – 3) = 0 hay 6x + 3y + z – 15 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đường thẳng

A. x+ 3x= 0 B. y+ 3z= 0 C. x+ 3y= 0 D. z= 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1); B( 0; 4; – 2) và chứa đường thẳng d:

A. 7x + y + 3z+ 2= 0 B. 7x – 6y+ z- 10= 0

C. 7x – y + 3z- 16= 0 D. 7x – y + z + 10= 0

Hướng dẫn giải:

Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau.

7( x+ 1) + 1( y-2) + 3( z- 1)= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi mặt phẳng (P) chứa d1và d2. Biết mặt phẳng (P) có phương trình dạng: x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?

A. 8 B. – 5 C. 12 D. -3

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên (P) có VTPT là

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x- 0) + 1( y- 1) + 1( z-2) = 0 hay x + y + z – 3= 0

Chọn D.

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 2: Phương trình mặt phẳng, hy vọng tài liệu sẽ là nguôn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 12 bài 2

Bài 3.17 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

a) (α) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận n →=(1;1;1) làm vecto pháp tuyến;

b) (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto u →=(0;1;1), v →=(−1;0;2);

c) (α) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình (α) có dạng: (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0

b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng (α) là: u →=(0;1;1) và v →=(−1;0;2).

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là n →=u →∧v →=(2;−1;1)

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận n →=(2;−1;1) là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 1) – y +z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0

c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: MN →=(3;2;1) và MP →=(4;1;0)

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là n →=MN →∧MP →=(−1;4;−5)

Vậy phương trình của (α) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 hay x – 4y + 5z – 2 = 0

Bài 3.18 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Hướng dẫn làm bài

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là n →=IB →=(1;4;−1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

Bài 3.19 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn làm bài:

Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là n →=(4;4;4) hoặc n → ′=(1;1;1)

Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0 hay x + y + z – 9 =0

b) Mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên (α) cũng có vecto pháp tuyến là n → ′=(1;1;1)

Vậy phương trình của (α) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0 hay x + y + z – 10 = 0.

Bài 3.20 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng (β): x + y + 2z – 7 = 0.

Hướng dẫn làm bài

Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): x + y + 2z – 7 = 0

Vậy phương trình của (α) có dạng: x + y + 2z + D = 0

(α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.

Vậy phương trình của (α) là x + y + 2z = 0.

Bài 3.21 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (β): x + 2y – z = 0.

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β): x + 2y – z = 0.

Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là AB →=(2;2;1) và n β→=(1;2;−1)

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là: nα →=(−4;3;2)

Vậy phương trình của (α) là: -4(x) + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0

Bài 3.22 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

(α): Ax – y + 3z + 2 = 0

(β): 2x + By + 6z + 7 = 0

Hướng dẫn làm bài:

(α)//(β)⇔A/2=−1/B=3/6≠2/7⇔{A=1;B=−2

Bài 3.23 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) (α): x + 2y – 2z + 1 = 0

b) (β): 3x + 4z + 25 = 0

c) (γ): z + 5 = 0

Hướng dẫn làm bài

Bài 3.24 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

(α): 3x – y + 4z + 2 = 0

(β): 3x – y + 4z + 8 = 0

Hướng dẫn làm bài:

Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng (α) và (β)

⇔3x-y+4z+5=0

Bài 3.25 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Hướng dẫn làm bài

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0), B(1;0; 0), D(0; 1; 0)

B'(1; 0 ; 1), D'(0; 1; 1), C’ (1; 1; 1)

a) Phương trình của hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) là:

x + y – z = 0 và x + y – z – 1 = 0

Ta có: 1/1=1/1=−1/−1≠0/−1. Vậy (AB’D’)

b) d((AB′D′),(BC′D))=d(A,(BC′D))=1/√3

Bài 3.26 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

(β): 3x – 2y + 2z + 7 = 0

(γ): 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β) và (γ), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: n β→=(3;−2;2) và n γ→=(5;−4;3).

Mặt khác (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là n α→ . Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.