Top 15 # Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải / 2023 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 11/2022 # Top Trend | Caffebenevietnam.com

Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải / 2023

Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu 1, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Mai Lan Hương Lớp 7, Trắc Nghiệm Giải Phẫu, Trắc Nghiệm Giải Phẩu Hệ Tim, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Tim Mạch, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Mạch, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Tiếng Anh 7 Mai Lan Hương, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh Yds, Đề Thi Trắc Nghiệm Công Nghệ Chế Tạo Máy Có Lời Giải, Trắc Nghiệm Thi Giải Quyết Tranh Chấp, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Số Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 3, Bài Tập Trắc Nghiệm Toán ôn Thi Đại Học, Đề Trắc Nghiệm Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3 Học Kỳ 2, Đề Trắc Nghiệm Toán 11, Đề Trắc Nghiệm Toán 12, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 10 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Kế Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào 10 Môn Toán, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 7 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào Lớp 10 Môn Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán 3, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 1, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Toán Lớp 6 Trắc Nghiệm, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc, Trắc Nghiệm Toán 9, Trắc Nghiệm 11 Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Kho Bạc, Bài Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 11, Trắc Nghiệm Toán 8, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 12, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 4, Trắc Nghiệm Toán 5, Trắc Nghiệm Toán 6, Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 7, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 9, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 9, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán 4, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 8 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 4, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 6, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 1 Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 9 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5 Có Đáp án, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 9 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 8, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 6 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 7 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 4, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 7 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 1 Tập 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 7 Hk2, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 7, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 8 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 4 Học Kỳ 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 1 Toán 11, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh Tuyến Giáp , Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Tài Chính, Đáp án 1500 Câu Trắc Nghiệm Toán 11, Trắc Nghiệm An Toàn Điện, Trắc Nghiệm Kế Toán Tài Chính 3, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5 Violet, Trắc Nghiệm Tổng Hợp Toán 11, Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Tài Chính 1, Trắc Nghiệm Lý Thuyết Toán, Trắc Nghiệm Toán 11 Chương 3 Đại Số, Bài Thi Trắc Nghiệm An Toàn Điện, Đề Thi Trắc Nghiệm An Toàn Bảo Mật Thông Tin Có Đáp An, Đề Thi Trắc Nghiệm An Toàn Điện, Trắc Nghiệm Toán Hình, Trắc Nghiệm Toán Hình 10 Có Đáp án, Trắc Nghiệm Toán Thpt, Trắc Nghiệm An Toàn Điện Có Đáp án, Đề Kiểm Tra Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 6, Trắc Nghiệm Toán 6 Hay Nhất, Đề Thi Trắc Nghiệm Nguyên Lý Kế Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Kiểm Toán Ueh, Trắc Nghiệm An Toàn Bảo Mật Thông Tin, Trắc Nghiệm Online Toán 12, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Nguyên Lý Kế Toán,

Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu 1, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Mai Lan Hương Lớp 7, Trắc Nghiệm Giải Phẫu, Trắc Nghiệm Giải Phẩu Hệ Tim, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Tim Mạch, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Mạch, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Tiếng Anh 7 Mai Lan Hương, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh Yds, Đề Thi Trắc Nghiệm Công Nghệ Chế Tạo Máy Có Lời Giải, Trắc Nghiệm Thi Giải Quyết Tranh Chấp, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Số Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 3, Bài Tập Trắc Nghiệm Toán ôn Thi Đại Học, Đề Trắc Nghiệm Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3 Học Kỳ 2, Đề Trắc Nghiệm Toán 11, Đề Trắc Nghiệm Toán 12, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 10 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Kế Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào 10 Môn Toán, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 7 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào Lớp 10 Môn Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán 3, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 1, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Toán Lớp 6 Trắc Nghiệm, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc, Trắc Nghiệm Toán 9, Trắc Nghiệm 11 Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Kho Bạc, Bài Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 11, Trắc Nghiệm Toán 8, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 12, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 4, Trắc Nghiệm Toán 5, Trắc Nghiệm Toán 6, Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2,

Tổng Hợp Bài Tập Toán Rời Rạc Có Đáp Án Rời Rạc Có Lời Giải, Bài Tập Toán Rời Rạc Có Lời Giải / 2023

Giải Toán 6 Đề CươngGiải Toán Lớp 6 Đề CươngGiải Toán 7 Đề CươngĐề Cương Toán Rời Rạc Có GiảiGiải Toán 9 Đề CươngGiải Toán Lớp 5 Đề CươngĐề Cương ôn Tập Toán 8 Thcs Long Toàn Có Đáp ánPhương Hướng,nội Dung,giải Pháp Phát Huy Sức Mạnh Toàn Dân Tộc Trong Giai Đoạn Hiện NayBài Giải Vật Lý Đại Cương A2Bài Giải Vật Lý Đại CươngGiải Bài Hoá Đại Cương 2Bài Giải Vật Lý Đại Cương 2Bài Giải Hóa Đại CươngGiải Đề CươngGiải Hóa 8 Đề CươngGiải Bài Tập Vật Lý Đại Cương 1Bài Giải Logic Học Đại CươngĐề Cương Giải Tích 2

Giải Toán 6 Đề Cương,Giải Toán Lớp 6 Đề Cương,Giải Toán 7 Đề Cương,Đề Cương Toán Rời Rạc Có Giải,Giải Toán 9 Đề Cương,Giải Toán Lớp 5 Đề Cương,Đề Cương ôn Tập Toán 8 Thcs Long Toàn Có Đáp án,Phương Hướng,nội Dung,giải Pháp Phát Huy Sức Mạnh Toàn Dân Tộc Trong Giai Đoạn Hiện Nay,Bài Giải Vật Lý Đại Cương A2,Bài Giải Vật Lý Đại Cương,Giải Bài Hoá Đại Cương 2,Bài Giải Vật Lý Đại Cương 2,Bài Giải Hóa Đại Cương,Giải Đề Cương,Giải Hóa 8 Đề Cương,Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương 1,Bài Giải Logic Học Đại Cương,Đề Cương Giải Tích 2,Đề Cương Giải Tích 3,Giải Bài Tập Quản Trị Học Đại Cương,Giải Bài Tập Excel Tin Học Đại Cương,Giai Bai Tap Thien Van Dai Cuong,Bài Giải Đề Cương ôn Thi Ppnckh,Đề Cương Bài Tập Giải Tích 2,Đề Cương Giải Tích 3 Hust,Đề Cương 45 Năm Giải Phóng Miền Nam,Đề Cương 40 Năm Giải Phóng Miền Nam,Đề Cương Giải Tích 2 Sami,Giải Bài Tập 24 Cường Độ Dòng Điện,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16,Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt,Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16,Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8,Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6,Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic,Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1,Đề Cương Sơ Bộ Giải Quyết Tranh Chấp Về Thừa Kế,Đề Cương Tuyên Truyền 39 Năm Giải Phóng Miền Nam,Giải Pháp Tăng Cường Công Tác Tư Tưởng Của Đảng,Giải Toán Cuối Tuần 12 Lớp 3 Môn Toán,Toán Lớp 5 Bài Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm,Đề Cương Toán Lớp 7 Học Kì 2,Đề Cương Kì 2 Toán 7,Đề Cương Toán Lớp 5,Đề Cương Toán Lớp 4 Học Kỳ 1,Đề Cương Toán Lớp 4,Đề Cương Toán Lớp 3,Đề Cương ôn Tập Học Kì 1 Toán 9,Đề Cương Toán Lớp 2 Học Kỳ 1,Đề Cương Học Kì 2 Toán 8,Đề Cương Toán Lớp 5 Học Kì 1,Đề Cương Toán Lớp 5 Học Kỳ 1,Đề Cương ôn Tập Học Kì 2 Toán 6,Đề Cương Toán Rời Rạc,Đề Cương Toán Lớp 5 Học Kỳ 2,Đề Cương ôn Tập Kì 2 Toán 6,Đề Cương ôn Tập Toán 6 Học Kì 1,Đề Cương ôn Tập Kì 1 Toán 9,Đề Cương ôn Tập Toán 8 Kì 1 Có Đáp án,Đề Cương ôn Tập Học Kì 2 Toán 8,Đề Cương ôn Tập Học Kì 2 Toán 7,Đề Cương Học Kì 2 Toán 7,Đề Cương Học Kì 2 Toán 6,Đề Cương Toán 5 Học Kì 1,Đề Cương Toán 5 Học Kì 2,Đề Cương Toán 5 Học Kỳ 1,Đề Cương Toán 6,Đề Cương Toán 6 Học Kì 1,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Rời Rạc,Đề Cương Toán 6 Học Kì 2,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Lớp 7,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Lớp 6,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Lớp 5,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Lớp 4,Đề Cương Toán 6 Học Kỳ 1,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Lớp 3 Học Kì 1,Đề Cương Toán 7 Học Kì 1,Đề Cương Toán 7,Đề Cương Toán 6 Kì 2,Đề Cương ôn Tập Môn Toán Lớp 3,Đề Cương Toán 5,Đề Cương Toán 7 Học Kì 2,Đề Cương Học Kì 2 Toán 11,Đề Cương Học Kì 2 Toán 10,Đề Cương Toán 9 Học Kì 2 Có Đáp án,Đề Cương Toán 9 Học Kì 2,Đề Cương Học Kì 1 Toán 8,Đề Cương Toán 9 Học Kì 1,Đề Cương Học Kì 1 Toán 7,Đề Cương ôn Tập Học Kì 1 Toán 8,Đề Cương Học Kì 1 Toán 6,Đề Cương Toán 8 Học Kì 2,

Giải Toán 6 Đề Cương,Giải Toán Lớp 6 Đề Cương,Giải Toán 7 Đề Cương,Đề Cương Toán Rời Rạc Có Giải,Giải Toán 9 Đề Cương,Giải Toán Lớp 5 Đề Cương,Đề Cương ôn Tập Toán 8 Thcs Long Toàn Có Đáp án,Phương Hướng,nội Dung,giải Pháp Phát Huy Sức Mạnh Toàn Dân Tộc Trong Giai Đoạn Hiện Nay,Bài Giải Vật Lý Đại Cương A2,Bài Giải Vật Lý Đại Cương,Giải Bài Hoá Đại Cương 2,Bài Giải Vật Lý Đại Cương 2,Bài Giải Hóa Đại Cương,Giải Đề Cương,Giải Hóa 8 Đề Cương,Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương 1,Bài Giải Logic Học Đại Cương,Đề Cương Giải Tích 2,Đề Cương Giải Tích 3,Giải Bài Tập Quản Trị Học Đại Cương,Giải Bài Tập Excel Tin Học Đại Cương,Giai Bai Tap Thien Van Dai Cuong,Bài Giải Đề Cương ôn Thi Ppnckh,Đề Cương Bài Tập Giải Tích 2,Đề Cương Giải Tích 3 Hust,Đề Cương 45 Năm Giải Phóng Miền Nam,Đề Cương 40 Năm Giải Phóng Miền Nam,Đề Cương Giải Tích 2 Sami,Giải Bài Tập 24 Cường Độ Dòng Điện,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16,Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình,Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt,Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16,Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8,Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6,Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic,Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1,Đề Cương Sơ Bộ Giải Quyết Tranh Chấp Về Thừa Kế,Đề Cương Tuyên Truyền 39 Năm Giải Phóng Miền Nam,Giải Pháp Tăng Cường Công Tác Tư Tưởng Của Đảng,Giải Toán Cuối Tuần 12 Lớp 3 Môn Toán,Toán Lớp 5 Bài Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm,Đề Cương Toán Lớp 7 Học Kì 2,

Bài Giải Toán Rời Rạc / 2023

Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1, Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6, Giải Toán Cuối Tuần 12 Lớp 3 Môn Toán, Toán Lớp 5 Bài Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm, Toán Lớp 3 Bài ôn Tập Về Giải Toán Trang 176, Giải Bài Giải Toán Lớp 3, Giải Toán Lớp 4 Bài Giải, Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Lớp 4 Môn Toán Tuần 20, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 2, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 6, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 7, Toán 8 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập 17 Sgk Toán 9 Tập 2, Giải Bài Tập 62 Toán 9 Tập 2, Giải Bài Tập Toán 9, Toán 9 Giải Bài Tập Sgk, Giải Bài Toán Vận Tải, Giải Bài Tập Toán 6 Sgk, Giải Bài Tập Toán 6 Tập 2, Giải Bài Tập Toán 7, Giải Bài Tập 9 Toán, Giải Bài Tập Toán 7 Sgk, Giải Bài Toán Tìm X Lớp 3, Giải Bài Tập Toán 8, Giải Bài Tập Toán 8 Sgk, Giải Bài Tập Toán 8 Tập 2, Toán 9 Giải Bài Tập, Giải Bài Toán Tối ưu, Giải Bài Tập Toán 7 Tập 2, Giải Bài Tập Toán Tìm X Lớp 4, Bài Giải Vở Bài Tập Toán, Bài Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Bài 95, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 2, Giải Toán 7 Tập 2 Bài 2, Bài 9 ôn Tập Về Giải Toán Lớp 5, Bài 9 ôn Tập Về Giải Toán, Giải Toán 8 Bài 3 Tập 2, Giải Bài Tập Toán Lớp 5, Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Bài 101, Giải Bài Toán Tìm Y Lớp 2, Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Bài 102, Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Bài 92, Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Bài 96, Giải Toán 8 Tập 2 Bài 1, Giải Bài Toán Tìm Y, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Bài 103, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Bài 100, Giải Bài Tập Toán Lớp 4, Bài Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2, Giai Toan, Giải Bài Tập Toán 9 Tập 2, Giải Bài Tập Toán Bài 101, Giải Bài Tập Toán Bài 99, Giải Bài Tập Toán Kì 2, Giải Bài Tập Toán Lớp 1, Giải Bài Tập Toán Lớp 1 Bài 71, Giải Bài Tập Toán Lớp 2, Giải Bài Tập Toán Lớp 3, Giải Bài Tập Toán Lớp 3 Bài 100, Giải Bài Tập Toán Lớp 3 Tập 2, Giải Toán 7 Tập 2 Bài 1, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 5, Giải Bài Toán Tìm X Lớp 6, Bài Giải Toán Tìm X Lớp 6, Toán 6 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập 55 Sgk Toán 8 Tập 2, Toán Lớp 3 Bài Giải, Bài Giải Kế Toán Chi Phí Ueh, Toán Lớp 7 Giải Bài Tập, Toán Lớp 2 Bài Giải, Toán Lớp 3 Giải Bài Tập, Toán 11 Bài 2 Giải Bài Tập, Bài Giải Toán, Bài Giải Toán 8, Bài Giải Toán 9, Bài Giải Toán 9 Tập 2, Bài Giải Toán Bài Thơ, Bài Giải Toán Cần Thơ, Bài Giải Toán Có Lời Văn, Giải Bài Tập 43 Sgk Toán 8 Tập 2, Toán 7 Giải Bài Tập, Toán Lớp 4 Giải Bài Tập, Toán Lớp 8 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập 42 Sgk Toán 8, Bài Giải Mẫu Toán Lớp 5,

Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1, Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6, Giải Toán Cuối Tuần 12 Lớp 3 Môn Toán, Toán Lớp 5 Bài Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm, Toán Lớp 3 Bài ôn Tập Về Giải Toán Trang 176, Giải Bài Giải Toán Lớp 3, Giải Toán Lớp 4 Bài Giải, Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Lớp 4 Môn Toán Tuần 20, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 2, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 6, Bài Giải Bài Tập Toán Lớp 7, Toán 8 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập 17 Sgk Toán 9 Tập 2, Giải Bài Tập 62 Toán 9 Tập 2, Giải Bài Tập Toán 9, Toán 9 Giải Bài Tập Sgk, Giải Bài Toán Vận Tải, Giải Bài Tập Toán 6 Sgk, Giải Bài Tập Toán 6 Tập 2, Giải Bài Tập Toán 7, Giải Bài Tập 9 Toán, Giải Bài Tập Toán 7 Sgk, Giải Bài Toán Tìm X Lớp 3, Giải Bài Tập Toán 8, Giải Bài Tập Toán 8 Sgk, Giải Bài Tập Toán 8 Tập 2, Toán 9 Giải Bài Tập, Giải Bài Toán Tối ưu, Giải Bài Tập Toán 7 Tập 2, Giải Bài Tập Toán Tìm X Lớp 4, Bài Giải Vở Bài Tập Toán, Bài Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Bài 95, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 2, Giải Toán 7 Tập 2 Bài 2, Bài 9 ôn Tập Về Giải Toán Lớp 5,

Bài Tập Toán Rời Rạc Chương 2: Đồ Thị / 2023

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC *** CHƯƠNG 2: ĐỒ THỊ Giảng viên : Nguyễn Mậu Hân Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Diệu Hằng Lớp : Tin K30D * Bài 1: Cho G là một đồ thị có v đỉnh và e cạnh.M và m tương ứng là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh của G.Chứng minh rằng: m £ 2.e/v £ M Lời giải: Theo đề ra ta có: M: bậc lớn nhất của đỉnh của G. m: bậc nhỏ nhất của đỉnh của G. Như vậy: m £ deg(vi) £ M (với deg(vi) : bậc của đỉnh vi) v.m £ ∑deg(vi) £ v.M v.m £ 2.e £ v.M m £ 2.e £ M Vậy ta có điều phải chứng minh. * Bài 2: Chứng minh rằng nếu G là đơn đồ thị phân đôi có v đỉnh và e cạnh, khi đó e £ v2/4. Lời giải : Ta có: G=(V,E) là đơn đồ thị phân đôi. V=V1 U V2, V1 ∩ V2 =ø, V1 ≠ ø, V2 ≠ ø. Gọi n1 và n2 lần lượt là số phần tử của V1 và V2. n1 + n2 = v G là đồ thị phân đôi nên e đạt giá trị max khi G là đồ thị phân đôi đầy đủ.Khi đó: e = n1.n2 Có nghĩa là trong trường hợp tổng quát thì: e £ n1.n2 Như vậy, để chứng minh e £ v2/4 chỉ cần chứng minh: n1.n2£ v2/4 Thật vậy: n1.n2 £ v2/4 n1.n2 £ (n1+ n2)2/4 4.n1.n2 £ n12 + n22 + 2.n1.n2 n12 + n22 – 2.n1.n2 ≥ 0£ v2/4 (n1- n2)2 ≥ 0 (hiển nhiên đúng) Suy ra: e £ n1.n2 £ v2/4 Vậy ta có điều phải chứng minh. * Bài 3: Trong một phương án mạng kiểu lưới kết nối n=m2 bộ xử lý song song, bộ xử lý P(i,j) được kết nối với 4 bộ xử lý (P(i±1) mod m, j), P(i, (j±1) mod m), sao cho các kết nối bao xung quanh các cạnh của lưới. Hãy vẽ mạng kiểu lưới có 16 bộ xử lý theo phương án này. Lời giải: P(0,1) P(0,0) P(2,0) P(2,1) P(0,2) P(0,3) P(2,2) P(2,3) P(3,1) P(3,0) P(1,0) P(1,1) P(3,2) P(3,3) P(1,3) P(1,2) * Bài 4: Hãy vẽ các đồ thị vô hướng được biểu diễn bởi ma trận liền kề sau: a) b) 1 2 3 1 2 0 1 2 0 4 2 0 3 0 3 4 0 0 3 1 1 1 0 1 0 c) 0 1 3 0 4 1 2 1 3 0 3 1 1 0 1 0 3 0 0 2 4 0 1 2 3 Lời giải: a) b) V1 V3 V2 c) V4 V3 V1 V2 V1 V2 V5 V3 V4 *Bài 5: Nêu ý nghĩa của tổng các phần tử trên một hàng (tương ứng cột) của một ma trận liền kề đối với một đồ thị vô hướng ? Đối với đồ thị có hướng ? Lời giải: Cho đồ thị G=(V,E).V= {v1,v2,…,vn } Ma trận liền kề của đồ thị G=(V,E) là ma trận: A=( aij ) với 1≤i,j≤n a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n A= ……… an1 an2 … ann *Nếu G là đồ thị vô hướng: aij là số cạnh nối đỉnh vi và vj -Tổng hàng i của ma trận A: n ∑ aij chính là bậc của đỉnh vi j=1 -Tổng cột j của ma trận A: n ∑aij chính là bậc của đỉnh vj i=1 *Nếu G là đồ thị có hướng: aij là số cung nối vi và vj mà vj là đỉnh cuối -Tổng hàng i của ma trận A: n ∑ aij chính là bậc ra của đỉnh vi j=1 -Tổng cột j của ma trận A: n ∑aij chính là bậc ra của đỉnh vj i=1 *Bài 6: Tìm ma trận liền kề cho các ma trận sau: a) Kn b) Cn c) Wn d) Km,n e) Qn Lời giải: Ma trận liền kề của đồ thị đầy đủ Kn: ai1 ai2 … aij … ain a1j 0 1 … 1 … 1 a2j 1 0 … 1 … 1 … … … … … … … aij 1 1 … 0 … 1 … … … … … … … anj 1 1 … 1 … 0 Hay viết cách khác: Ma trận liền kề của đồ thị đầy đủ Kn là: 0 nếu i = j A = (aij), trong đó aij = 1 nếu i ≠ j Ma trận liền kề của đồ thị vòng Cn: ai1 ai2 ai3 … aij-1 aij aij+1 … ain-1 ain a1j 0 1 0 … 0 0 0 … 0 1 a2j 1 0 1 … 0 0 0 … 0 0 a3j 0 1 0 … 0 0 0 … 0 0 … … … … … … … … … … … aij 0 0 0 … 1 0 1 … 0 0 … … … … … … … … … … … anj 1 0 0 … 0 0 0 … 1 0 Viết cách khác: Ma trận liền kề của đồ thị vòng Cn là: A = (aij), trong đó: 1 nếu j=2 hoặc j=n – Với i=1: aij= 0 nếu j≠2và j≠n 1 nếu j=1 hoặc j=n-1 – Với i=n: aij= 0 nếu j≠1 và j≠n-1 -Với i≠1 và i≠n: 1 nếu j=i+1, j=i-1 aij = 0 nếu j≠i+1 và j≠i-1 c) Ma trận liền kề A của đồ thị bánh xe Wn: ai1 ai2 ai3 … aij-1 aij aij+1 … ain-1 ain ain +1 a1j 0 1 0 … 0 0 0 … 0 1 1 a2j 1 0 1 … 0 0 0 … 0 0 1 … … … … … … … … … … … … aij 0 0 0 … 1 0 1 … 0 0 1 … … … … … … … … … … … … anj 1 0 0 … 0 0 0 … 1 0 1 an+1j 1 1 1 … 1 1 1 … 1 1 0 Ma trận liền kề của đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n: Cho G=(V,E)=Km,n, trong đó V=V1 U V2 V1={v1,v2,…,vm} V2={v’1,v’2,…,v’n} Ta có ma trận liền kề của Km,n như sau: v1 v2 … vm v’1 v’2 … v’n v1 0 0 … 0 1 1 … 1 v2 0 0 … 0 1 1 … 1 … … … … … … … … … vm 0 0 … 0 1 1 … 1 v’1 1 1 … 1 0 0 … 0 v’2 1 1 … 1 0 0 … 0 … … … … … … … … … v’n 1 1 … 1 0 0 … 0 Ma trận liền kề của đồ thị lập phương Qn( 2n đỉnh ứng với n xâu nhị phân khác nhau chứa bit 0, 1) 00..00 00..01 00..10 00..11 … 10..00 10..01 … 11..11 00..00 0 1 1 0 … 1 0 … 0 00..01 1 0 0 1 … 0 1 … 0 00..10 1 0 0 1 … 0 0 … 0 00..11 0 1 1 0 … 0 0 … 0 … … 10..00 1 0 0 0 … 0 1 … 0 10..01 0 0 0 0 … 1 0 … 0 … 11..11 0 0 0 0 … 0 0 … 0 *Bài 7: Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đây có là đẳng cấu không? 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 Ma trận 1 Ma trận 2 Lời giải: * Cách 1: Dựa vào ma trận liền kề, ta có thể vẽ được 2 đồ thị tương ứng như sau: V1 V4 V3 V2 V’4 V’1 V’3 V’2 G1 G2 G1=(V,E): đồ thị ứng với ma trận 1 G2=(V’,E’): đồ thị ứng với ma trận 2 Dễ dàng nhận thấy: Số cạnh của 2 đồ thị khác nhau: G1 có 4 cạnh, G2 có 5 cạnh Ngoài ra: G1 có 1 đỉnh bậc 1 (V3) 2 đỉnh bậc 2 (V1,V2) 1 đỉnh bậc 3 (V4) G2 không có đỉnh bậc 1 2 đỉnh bậc 2(V’2,V’3) 2 đỉnh bậc 3(V’1,V’4) Vậy 2 đồ thị trên không đẳng cấu. * Cách 2: Tổng các phần tử trong ma trận liền kề của đơn đồ thị bằng tổng số bậc của các đỉnh và bằng 2 lần số cạnh của đồ thị. Từ 2 ma trận trên ta có: Đồ thị ứng với ma trận 1 có 8:2=4 cạnh Đồ thị ứng với ma trận 2 có 10:2=5 cạnh Như vậy, 2 đơn đồ thị ứng với 2 ma trận liền kề trên không đẳng cấu. *Bài 8: Hai đơn đồ thị với ma trận liên thuộc sau có là đẳng cấu không? 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Lời giải: – Ma trận 1: e1 e2 e3 e4 e5 u1 1 1 0 0 0 u2 1 0 1 0 1 u3 0 0 0 1 1 ứng với đồ thị G=(U,E) u4 0 1 1 1 0 Ma trận 2: e’1 e’2 e’3 e’4 e’5 v1 0 1 0 0 1 v2 0 1 1 1 0 ứng với đồ thị G’=(V,E’) v3 1 0 0 1 0 v4 1 0 1 0 1 U2 V1 V2 U1 e1 e’2 e2 e3 e5 e’5 e’3 e’4 U3 V4 V3 U4 e4 e’1 G=(U,E) G’=(V,E’) Xét phép đẳng cấu f: e1→e’2 e2→e’5 e3→e’3 e4→e’1 e5→e’4 Lúc này, ta biểu diễn lại ma trận liên thuộc của đồ thị G’ theo thứ tự các đỉnh v1, v2, v3,v4 và thứ tự các cạnh e’2, e’5, e’3, e’1, e’4 như sau: e’2 e’5 e’3 e’1 e’4 v1 1 1 0 0 0 v2 1 0 1 0 1 v3 0 0 0 1 1 v4 0 1 1 1 0 Ma trận n ày và ma trận liên thuộc của G bằng nhau. Vậy G và G’ đẳng cấu với nhau. * Bài 9: Các đồ thị G và G’ sau có đẳng cấu với nhau không? v2 v1 v6 u1 a) v4 u2 u3 v5 u4 v3 u6 u5 v2 v1 u3 u2 u1 b) v3 v6 u6 u5 u4 v5 v4 Lời giải: Xét phép đẳng cấu f: u1→v2 u2→v3 u3→v6 u4→v5 u5→v4 u6→v1 Lúc này, ma trận liền kề của G (theo thứ tự các đỉnh u6, u1, u2, u5, u4, u3) và ma trận liền kề của G’ là bằng nhau và bằng: 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 Vậy G và G’ đẳng cấu với nhau. b)Xét phép đẳng cấu f: u1→v3 u2→v5 u3→v1 u4→v2 u5→v4 u6→v6 Lúc này, ma trận liền kề của G(theo thứ tứ các đỉnh v3, v4, v1, v5, v2, v6) và na trận liền kề của G’ bằng nhau và bằng: 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Vậy, hai đồ thị G và G’ đẳng cấu với nhau. * Bài 10: Cho V={2,3,4,5,6,7,8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u,v) của V sao cho u<v và u,v nguyên tố cùng nhau. Hãy vẽ đồ thị có hướng G=(V,E). Tìm số các đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8. Lời giải: Các cặp phần tử (u,v) thỏa mãn yêu cầu đề bài là: E={(2,3), (2,5), (2,7), (3,4), (3,5), (3,7), (3,8), (4,5), (4,7), (5,6), (5,7), (5,8), (6,7), (7,8)} Đồ thị G cần vẽ : 4 3 2 8 7 6 5 Các đường đi phân biệt độ dài 3 đi từ 2 đến 8 là: 2, 3, 7, 8 2, 3, 5, 8 2, 5, 7, 8 * Bài 11: Hãy tìm số đường đi độ dài n giữa hai đỉnh liền kề (t.ư. không liền kề) tùy ý trong K3,3 với mỗi giá trị của n sau: a) n=2 b) n=3 c) n=4 d) n=5 Lời giải: V4 V5 V6 V2 V3 V1 K3,3 * Cách 1: Tập các đỉnh của K3,3 được chia làm 2 phần: Phần 1 gồm V1, V2, V3 Phần 2 gồm V4, V5, V6 Trong đó, 2 đỉnh thuộc cùng 1 phần thì không liền kề 2 đỉnh thuộc 2 phần khác nhau thì liền kề. Gọi d là số đường đi độ dài n giữa 2 đỉnh thuộc K3,3. * Nếu n chẵn thì điểm đầu và điểm cuối của đường đi phải nằm trong cùng 1 phần (chúng không liền kề). * Nếu n lẻ thì điểm đầu và điểm cuối của đường đi phải nằm ở 2 phần khác nhau (chúng liền kề với nhau). Mà khi xuất phát từ 1 đỉnh ta luôn có 3 cách đi(do mỗi phần gồm 3 đỉnh). Áp dụng quy tắc nhân ta có số đường đi có độ dài n giữa 2 đỉnh là: Nếu 2 đỉnh liền kề: + n chẵn: d=0 + n lẻ : d=3n-1(do cạnh cuối cùng nối với đỉnh cuối chỉ có 1 cách) Nếu 2 đỉnh không liền kề: + n chẵn : d=3n-1(do cạnh cuối cùng nối với đỉnh cuối chỉ có 1 cách) + n lẻ : d=0 Áp dụng cụ thể: Độ dài Đỉnh n=2 n=3 n=4 n=5 Liền kề d=0 d=9 d=0 d=81 Không liền kề d=3 d=0 d=27 d=0 * Cách 2: Đồ thị K3,3 có ma trận liền kề theo thứ tự các đỉnh V1, V2, V3, V4, V5, V6 như sau: 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 A= 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 Ta có mệnh đề: Cho G là một đồ thị (vô hướng hoặc có hướng) với ma trận liền kề A theo thứ tự các đỉnh v1, v2, …, vn. Khi đó số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj trong đó r là một số nguyên dương, bằng giá trị của phần tử dòng i cột j của ma trận Ar. n Ta có: An = A.A…A.A 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 A= 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 , nếu n chẵn 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 A= 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 , nếu n lẻ 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 3n-1 3n-1 3n-1 0 0 0 Như vậy, theo mệnh đề trên, áp dụng vào các trường hợp cụ thể đề bài đã cho ta có kết quả như ở cách 1. * Bài 12: Một cuộc họp có ít nhất 3 đại biểu đến dự.Mỗi người quen ít nhất 2 đại biểu khác.Chứng minh rằng có thể sắp xếp một số đại biểu ngồi xung quanh một bàn tròn để mỗi người ngồi giữa 2 người mà đại biểu đó quen. Lời giải: * Ta có thể biểu diễn mối quan hệ của các đại biểu đến tham dự cuộc họp bằng đơn đồ thị G=(V,E). G có n đỉnh (n≥3, n là số đại biểu) và e cạnh. Mỗi đỉnh của đồ thị ứng với 1 đại biểu, giữa 2 đỉnh ứng với 2 đại biểu quen nhau tồn tại 1 cạnh. Gọi Vi (i=1,2,…,n): đỉnh của đồ thị (ứng với 1 đại biểu) Do mỗi người quen ít nhất 2 đại biểu khác nên deg(Vi) ≥ 2 n ∑deg(Vi) ≥ 2n i=1 Số cạnh của đồ thị: e ≥ n (1) * Mặt khác, theo đề ra ta có: các đại biểu ngồi xung quanh 1 bàn tròn. Vì vậy, đồ thị biểu diễn cách sắp xếp chỗ ngồi của các đại biểu thỏa yêu cầu là đồ thị vòng Cn. Trong đồ thị vòng Cn có n (cạnh), n cạnh này được lấy từ e cạnh của G(do nó biểu thị mối quan hệ giữa các đại biểu) (2) * Tập đỉnh của G và Cn bằng nhau và bằng n. (3) Từ (1), (2) và (3) cho thấy, Cn là đồ thị con bao hàm của G.(Cn được tạo ra bằng cách bỏ đi một số cạnh thích hợp của G) Vậy, dựa trên mối quan hệ giữa các đại biểu như trên ta có thể sắp xếp các đại biểu ngồi quanh bàn tròn sao cho mỗi người ngồi giữa 2 người mà họ quen.( Đpcm) *Bài 13: Một lớp học có ít nhất 4 sinh viên. Mỗi sinh viên thân với ít nhất 3 sinh viên khác. Chứng minh rằng có thể xếp một số chẵn sinh viên ngồi quanh một cái bàn tròn để mỗi sinh viên ngồi giữa 2 sinh viên mà họ thân. Lời giải: * Mối quan hệ giữa các sinh viên trong lớp có thể biểu diễn bằng 1 đơn đồ thị G=(V,E) n đỉnh(n≥4, n: số sinh viên), e cạnh. Hai đỉnh ứng với 2 sinh viên thân nhau liền kề với nhau. Gọi Vi (i=1,2,…,n): đỉnh của đồ thị ứng với 1 sinh viên. Mỗi sinh viên thân với ít nhất 3 người deg(Vi) ≥ 3 n ∑ deg(Vi) ≥ 3n i=1 Tổng số cạnh của G là: e ≥ 3n/2 (1) * Mặt khác, theo đề ra ta có: cách sắp xếp chỗ ngồi của các sinh viên có thể biểu diễn bằng đồ thị vòng Cn (do các sinh viên ngồi quanh bàn tròn). Cn có n cạnh (n cạnh này lấy từ e cạnh của G) Mà e phải là số nguyên suy ra n phải chia hết cho 2 (n chẵn) Tập đỉnh của Cn và G bằng nhau và bằng n. Từ đó, ta thấy Cn chính là đồ thị con bao hàm của G.(Cn có thể tạo ra từ G bằng cách bỏ đi một số cạnh thích hợp) Hay: có thể sắp xếp một số chẵn sinh viên ngồi quanh một cái bàn tròn sao cho mỗi người ngồi giữa 2 người mà họ thân.( Đpcm) * Bài 14: Trong một cuộc họp có đúng 2 đại biểu không quen nhau và mỗi đại biểu này có một số lẻ người quen đến dự.Chứng minh rằng luôn luôn có thể xếp một số đại biểu ngồi chen giữa 2 đại biểu nói trên, để mỗi người ngồi giữa 2 người mà đại biểu đó quen. Lời giải: Mối quan hệ giữacác đại biểu đến tham dự cuộc họp có thể biểu diễn bằng 1 đơn đồ thị G=(V,E).Trong đó mỗi đỉnh là một đại biểu, giữa 2 đỉnh ứng với 2 đại biểu quen nhau tồn tại 1 cạnh. Trong cuộc họp có đúng 2 đại biểu không quen nhau và có số lẻ người quen đến tham dự.Vậy G có đúng 2 đỉnh không liền kề và 2 đỉnh này có bậc lẻ. Từ mệnh đề: Nếu một đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên thông, tức là có một đường đi nối chúng ta suy ra có thể tìm ra một số đại biểu ngồi chen vào giữa 2 đại biểu này sao cho mỗi đại biểu ngồi giữa 2 người mà đại biểu đó quen.(do 2 đỉnh ứng với 2 người này không liên thông, 2 người không ngồi sát nhau và họ quen với n-2 người còn lại) *Bài 15: Một thành phố có n (n ³ 2) nút giao thông và hai nút giao thông bất kỳ đều có số đầu mối đường ngầm tới một trong các nút giao thông này đều không nhỏ hơn n. Chứng minh rằng từ một nút giao thông tuỳ ý ta có thể đi đến một nút giao thông bất kỳ khác bằng đường ngầm. Lời giải: – Ta có thể xem hệ thống đường ngầm của thành phố là một đơn đồ thị có các đỉnh là các nút giao thông. Số đỉnh của đồ thị chính là số nút giao thông: n (n≥2) Cạnh của đồ thị là đường ngầm nối 2 nút giao thông. Theo đề ra ta có: Hai nút giao thông bất kì đều có số đầu mối đường ngầm tới một trong các nút giao thông đều không nhỏ hơn n. – Ta có mệnh đề: Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n≥2) có tổng bậc của 2 đỉnh tùy ý không nhỏ hơn n đều là đồ thị liên thông. Vậy, theo định lí trên, hệ thống đường ngầm của thành phố là đồ thị liên thông. Suy ra, từ một nút giao thông tuỳ ý ta có thể đi đến một nút giao thông bất kỳ khác bằng đường ngầm.(Đpcm). *Bài 16: Có bao nhiêu đơn đồ thị đẳng cấu với n đỉnh khi: a) n=2 b) n=3 c) n=4 Lời giải: Với n=2, có 2 đơn đồ thị không đẳng cấu như sau: và Với n=3, có 4 đơn đồ thị không đẳng cấu: c) Với n=4 có 11 đơn đồ thị không đẳng cấu: