Đề Cương Ôn Tập Về Phương Trình Đường Thẳng

--- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Bài Tập Trắc Nghiệm Tổ Hợp Xác Suất Violet, Bài Tập Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất Violet
  • Lời Giải Hay Toán 9 Sbt
  • Đề Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Có Đáp Án Chi Tiết
  • Các Bài Toán Về Trung Bình Cộng Lớp 4
  • Bài Tập Kế Toán Thuế Xuất Nhập Khẩu Có Lời Giải
  • A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

    Dạng

    Yếu tố cần tìm

    Công thức

    Phương trình tham số

    Phương trình tổng quát

    Phương trình đoạn chắn

    d cắt Ox tại a,cắt Oy tại b (a, b khác 0)

    Góc

    Tìm 2 VTPT hoặc 2 VTCP của 2 đ.thẳng

    Khoảng cách

    Tọa độ và

    Vị trí tương đối 2 đthẳng

    cắt

    Các công thức cần nhớ khác

    Dạng

    Yếu tố đã cho

    Công thức

    Tọa độ véctơ

    Độ dài đoạn thẳng

    Tích vô hướng

    Chuyển VTCP về VTPT

    hoặc

    Chuyển VTPT về VTCT

    hoặc

    CÁC DẠNG CƠ BẢN

    Dạng 1. Phương trình tham số – Phương trình tổng quát

    Dạng

    Hình

    Phương trình tham số

    Phương trình tổng quát

    Qua 2 điểm M, N

    N

    M

    Trung tuyến AM

    M

    C

    B

    Đường trung trực

    I

    C

    B

    A

    Có hệ số góc k

    Song song với đt

    d

    M

    d’

    Vuông góc với đt

    BÀI TẬP ÁP DỤNG

    Câu 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d biết d:

    a) Đi qua và có VTCP b) Đi qua và có VTCP

    c) Đi qua gốc tọa độ O và có VTCP d) Đi qua và có VTCP

    e) Đi qua và có VTPT f) Đi qua và có VTPT

    g) Cho và điểm thỏa . Viết ptts đt đi qua và có VTCP .

    Câu 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:

    a) Đi qua và có VTPT b) Đi qua và có VTPT

    c) Đi qua gốc tọa độ O và có VTPT d) Đi qua và có VTPT

    e) Đi qua và có VTCP f) Đi qua và có VTCP

    g) Cho và điểm thỏa . Viết pttq đt đi qua và có VTCP .

    Câu 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau:

    a) Đi qua và . b) Đi qua và .

    c) Đi qua và gốc tọa độ O. d) Đi qua và cắt trục hoành tại 3.

    e) Đi qua và cắt trục tung tại -2. f) Cắt trục Ox tại và cắt Oy tại -5.

    Câu 4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:

    a) Đi qua và có hệ số góc . b) Đi qua và có hệ số góc .

    c) Đi qua và . d) Đi qua và .

    e) Đi qua và cắt trục tung tại -2. f) Cắt trục Ox tại và cắt Oy tại 3.

    Câu 5. Cho tam giác có , , .

    a) Viết phương trình tham số cạnh AB b) Viết phương trình tổng quát cạnh BC.

    c) Viết phương trình tham số trung tuyến AM. d) Viết phương trình tổng quát đường cao BK.

    e) Viết pttq đường trung trực của cạnh BC. f) Viết ptts đường trung trực cạnh AC.

    Câu 6. Cho tam giác có , , .

    a) Viết phương trình tham số cạnh NP b) Viết phương trình tổng quát cạnh MN.

    c) Viết phương trình tổng quát trung tuyến MH. d) Viết phương trình tổng quát đường cao PK.

    e) Viết pttq đường trung trực của cạnh MP. f) Viết ptts đường trung trực cạnh MN.

    Câu 7. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

    a) Đi qua và song song với b) Đi qua và vuông góc với

    c) Đi qua và vuông góc với d) Đi qua và song song với .

    Dạng 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

    Cho hai đường thẳng

    và hệ (*)

    Vị trí tương đối

    d1

    Hình ảnh

    Tỉ số

    Số nghiệm của hệ (*)

    Cắt nhau

    d2

    Có nghiệm duy nhất

    Song song

    d1

    d2

    Vô nghiệm

    Cắt nhau

    d2

    Vô số nghiệm

    BÀI TẬP ÁP DỤNG

    Câu 8. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và trong các trường hợp sau:

    a) và b) và

    c) và d) và

    e) và f) và

    g) và h) và

    Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng

    Hình ảnh

    Công thức

    Góc giữa hai đường thẳng

    d1

    d2

    BÀI TẬP ÁP DỤNG

    Câu 9. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

    a) và b) và

    c) và d) và

    e) và f) và trục hoành

    Câu 10. Cho và . Tìm m để:

    a) song song với b) vuông góc với

    Dạng 4. Khoảng cách

    Yếu tố đã có

    Công thức

    Khoảng cách giữa 2 điểm

    Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

    Điểm

    BÀI TẬP ÁP DỤNG

    a) và b) và

    c) và d) và

    Câu 12. Tìm tọa độ M thỏa: a) M thuộc d: và cách điểm một khoảng bằng 5.

    b) M nằm trên d: và cách điểm một khoảng bằng .

    c) M nằm trên trục tung và cách đường thẳng một khoảng bằng 1.

    d) M nằm trên trục Ox và cách đường thẳng một khoảng bằng 1.

    ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III ĐỀ I

    Cho tam giác ABC có góc A = 1200 , cạnh AC = 8, cạnh AB = 5.

    Tính cạnh BC.

    Tính góc C.

    Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Tính diện tích tam giác ABC.

    Câu 1: (3.0 điểm)

    Trong mặt phẳng Oxy, Cho hai điểm A(1; -3); B(-5;1) và

    đường thẳng d: .

    1.Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

    2.Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính khoảng cách từ K đến đường thẳng d.

    Câu 2: (3.0 điểm)

    Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4); B(1;1); C(3;1).

    1.Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM của tam giác.

    2. Viết phương trình của đường cao BH của tam giác.

    Câu 3: (2.0 điểm)

    Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng: .

    Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng .

    Câu 4 (2.0 điểm)

    Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A(1; -2) và song song với đường thẳng :

    ……………………………………………………………………………………

    ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG II

    ĐỀ II

    Câu 1: (3.0 điểm)

    Trong mặt phẳng Oxy, Cho hai điểm A(1; -2); B(3;2) và

    đường thẳng d: .

    Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng m

    đi qua hai điểm A, B.

    Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính khoảng cách từ K đến đường thẳng d.

    Câu 2: (3.0 điểm)

    Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1) ,B(1;-3),C(3;0)

    Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM của tam giác.

    Viết phương trình của đường cao BH của tam giác.

    Câu 3: (2.0 điểm)

    Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng: .

    1.Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

    2.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng .

    Câu 4 (2.0 điểm)

    Viết phương trình của đường thẳng d đi qua P(2; 1) và vuông góc với đường thẳng :

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản Có Đáp Án Chi Tiết.
  • Cảm Nhận Về Nhạc Phẩm “Giải Phóng Ðiện Biên” Của Ðỗ Nhuận
  • Bài Tập Toán Đố Dạng Phân Số Lớp 6 Hk 2 (Có Lời Giải Chi Tiết)
  • Bài Tập Lời Giải Kết Cấu Thép 1
  • Giải Bài Vmo 2014: Olympiad Toán Quốc Gia 2014
  • Toán 10] Phương Trình Đường Thẳng (Kèm Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Trắc Nghiệm Gdqp 10 Bài 7 (Có Đáp Án) – Đề Số 2
  • Trắc Nghiệm Gdqp 11 Bài 4 (Có Đáp Án) – Đề Số 2
  • Trắc Nghiệm Giáo Dục Quốc Phòng 12 Bài 9 (Có Đáp Án) – Đề Số 2
  • Gdqp 12 Bài 8. Công Tác Phòng Không Nhân Dân ( Soạn + Tóm Tắt Lý Thuyết)
  • Giải Bài Tập Sbt Vật Lý 9: Bài 2. Điện Trở Của Dây Dẫn – Định Luật Ôm
  • Điều thầy/cô có thể làm được là chia sẻ kiến thức, truyền thêm niềm tin và động lực giúp các em còn tất cả phụ thuộc vào sự chăm chỉ phấn đấu từ chính bản thân.

    MỤC LỤC

    • Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
      • Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
        1. I. LÝ THUYẾT
          • Vectơ chỉ phương
          • Phương trình tham số của đường thẳng
          • Phương trình chính tắc của đường thẳng
          • Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
          • Phương trình tổng quát của đường thẳng
          • Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
          • Liên hệ giữa VTCP và VTPT
          • Vị trí tương đối của hai đường thẳng
          • Góc giữa hai đường thẳng.
          • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
        2. II. DẠNG TOÁN
          1. Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ chỉ phương của đường thẳng
            1. A. VÍ DỤ MINH HỌA
            2. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
            3. C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
          2. Viết phương trình đường thẳng
            1. A. VÍ DỤ MINH HỌA
              1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT
              2. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP
              3. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.
              4. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
              5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.
              6. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm
              7. Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng
              8. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
              9. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục Ox một góc cho trước.
              10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc.
            2. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
            3. C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
            4. D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
          3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
          4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
          5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

    Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại chúng tôi .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Kiến Thức Toán Lớp 12 Chương 1 Chọn Lọc
  • 5 App Ứng Dụng Giải Bài Tập Vật Lý Tốt Nhất Hiện Nay
  • Tục Ngữ Về Con Người Và Xã Hội
  • Sài Gòn Tôi Yêu
  • Mùa Xuân Của Tôi
  • Tổng Hợp Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Các Đề Thi (Có Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz Và Bài Tập
  • 8 10 Bài Tập Phép Đồng Dạng File Word Có Lời Giải Chi Tiết
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng Có Đáp Án
  • Giải Sbt Bài 1. Quy Tắc Đếm
  • Giải Sbt Công Nghệ 7 Bài 33: Một Số Phương Pháp Chọn Lọc Và Quản Lý Giống Vật Nuôi
  • Published on

    Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời giải) (hệ trục Oxy). được Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ . Tài liệu có 59 trang file word. Các bài toán đều có hướng dẫn giải rõ ràng và chi tiết. Đây là tài liệu không thể thiếu cho các em đang ôn thi THPT quốc gia môn Toán

    http://giavienb.net/

    1. 1. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 1 Jun . 17 C E  Bài 1Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )2;1(,)1;2(  BA , träng t©m G cña tam gi¸c n”m trªn ®-êng th¼ng 02  yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b”ng 27 2 Hướng dẫn:V× G n”m trªn ®-êng th¼ng 02  yx nªn G cã täa ®é )2;( ttG  . Khi ®ã ( 2;3 )AG t t    , ( 1; 1)AB     VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ     1)3()2(2 2 1 .. 2 1 22 2 22  ttABAGABAGS = 2 32 t NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b”ng 27 2 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b”ng 27 9 6 2  . VËy 2 3 9 2 2 t   , suy ra 6t hoÆc 3t . VËy cã hai ®iÓm G : )1;3(,)4;6( 21  GG . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn 3 ( )C G A Bx x x x   vµ 3 ( )C G A By y y y   . Víi )4;6(1 G ta cã )9;15(1 C , víi )1;3(2 G ta cã )18;12(2 C Bài 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Hướng dẫn:Gọi  là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB Ta có   6 6 4 , 4 2 2 d A      Vì  là đường trung bình của  ABC    ; 2 ; 2.4 2 8 2d A BC d A     Gọi phương trình đường thẳng BC là: 0x y a   Từ đó: 46 6 8 2 12 16 282 aa a a            Nếu 28a   thì phương trình của BC là 28 0x y   , trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và  , vô lí. Vậy 4a  , do đó phương trình BC là: 4 0x y   . Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và BC : 4 0x y   nên có phương trình là 0x y  . Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình 0 2 4 0 2 x y x x y y              Vậy H (-2;-2) VìBC có phương trình là 4 0x y   nên tọa độ B có dạng: B(m; -4-m) Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-m;m) Suy ra:  5 ; 3 , ( 6; 10 )CE m m AB m m          ;Vì CE AB nên      . 0 6 5 3 10 0ABCE a a a a           2 0 2 12 0 6 a a a a        Vậy     0; 4 4;0 B C    hoặc     6;2 2; 6 B C    . B H
    2. 6. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 6 Jun . 17 độ các đỉnh của tam giác. Bài 16. Bài 17 . 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 35 30 25 20 15 10 5 5 10 15 x+y-5=0 Hướng dẫn: * tìm M’ là điểm đối xứng của M qua BD * Viết pt đường cao AH . (Đi qua H, có vtpt:n =HM’ * Tìm các điểm A và B thuộc các đường phân giác BD và đường cao AH ,đối xứng nhau qua M c M’ M H B D 10 8 6 4 2 2 4 6 10 5 5 10 x+7y-31=0 Hướng dẫn: * Viết pt đường thẳng (D) đi qua M và tạo với đt d 1 góc 45°, Đỉnh B là giao của (D) và d * Viết pt đường thẳng (D’) đi qua N và vuông góc với (D). Đỉnh C là giao của d và (D’) * Từ đó suy ra đỉnh A ( Bài toán có nhiều hướng giải khác nhau) A’ C’ A M N C B 6 4 2 2 4 6 15 10 5 5 x+y+3=0 x-4y-2=0 Hướng dẫn: *Do tam giác ABC cân tại A, nên khi dựng hình bình hành AMEM’ thì AMEM’ là hình thoi và tâm I là hình chiếu của M trên đường cao AH. * Từ đó ta có cách xác định các đỉnh A,B,C như sau: +viết pt đt EM ( đi qua M,//d ); Xác dịnh giao điểm E cảu ME và đường cao AH. +Xác định hình chiếu I của M trên AH,và xác định tọa độ của A + xác định B là giao của MA và d +Xác định C là điểm đối xứng của B qua AH H I M’ E B M(1;1) A C
    3. 8. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 8 Jun . 17 Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm        A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5  và đường thẳng d:3x y 5 0   . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau Hướng dẫn:M thuộc d thi M(a;3a-5 ) – Mặt khác :     1 3;4 5, : 4 3 4 0 3 4 x y AB AB AB x y                 1 4 4;1 17; : 4 17 0 4 1 x y CD CD CD x y             – Tính :       1 2 4 3 3 5 4 4 3 5 1713 19 3 11 , , 5 5 17 17 a a a aa a h M AB h             – Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : 1 2 11 13 19 3 115.13 19 17. 3 111 1 . . 12 13 19 11 32 2 5 17 8 a aa a a AB h CD h a a a                 – Vậy trên d có 2 điểm :  1 2 11 27 ; , 8;19 12 12 M M       Bài 22. Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC , biết tọa độ chân các đường cao tương ứng là A’,B’,C’. Hướng dẫn: Bài chúng tôi hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C Hướng dẫn: – Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).- Ta có :   0 2 , 2 2 d B d    . – Theo giả thiết :       2 21 4 . , 2 2 2 2 0 2 2 S AC d B d AC a a        2 2 1 3 28 8 8 4 2 2 1 0 1 3 2 a a a a a a                 Gọi H là trực tâm ABC,Dễ c/m dược A’H,B’H,C’H là các đường phân giác trong của tam giác A’B’C’. và viết được phương trình của A’H, ,Từ đó suy ra phương trình của BC. A’ C’ B’ H B C A
    4. 9. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 9 Jun . 17 – Vậy ta có 2 điểm C : 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 ; , ; 2 2 2 2 C C                   Bài 24.Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )5;2(,)1;1( BA , ®Ønh C n”m trªn ®-êng th¼ng 04 x , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n”m trªn ®-êng th¼ng 0632  yx . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Hướng dẫn: – Tọa độ C có dạng : C(4;a) ,     5 3;4 1 1 : 4 3 7 0 3 4 AB AB x y AB x y              – Theo tính chát trọng tâm ; 1 2 4 1 3 3 1 5 6 3 33 A B C G G A B C GG x x x x x y y y a a yy                       – Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên : 6 2.1 3 6 0 2 3 a a            . – Vậy M(4;2) và     4.4 3.2 7 1 1 15 , 3 . , 5.3 2 2 216 9 ABCd C AB S AB d C AB          (đvdt) Bài 25.Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )2;1(,)1;2(  BA , träng t©m G cña tam gi¸c n”m trªn ®-êng th¼ng 02  yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b”ng13,5 . Hướng dẫn:Ta có : M là trung điểm của AB thì M 3 1 ; 2 2       . Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam giác : 3 3 3 3 G G a x b y       ; Do G nằm trên d :   3 3 2 0 6 1 3 3 a b a b         – Ta có :       3 52 1 1;3 : 3 5 0 , 1 3 10 a bx y AB AB x y h C AB              – Từ giả thiết :   2 5 2 51 1 . , 10. 13,5 2 2 210 ABC a b a b S AB h C AB         2 5 27 2 32 2 5 27 2 5 27 2 22 a b a b a b a b a b                     – Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :  1 2 20 6 6 3 2 32 3 38 38 38 20 ; , 6;12 3 3 36 6 122 22 3 18 6 b a b a b a b a a C C a b a b ba b a a                                                    Bài 26Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y – 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC .
    5. 10. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 10 Jun . 17 Hướng dẫn:- Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phương       2 1; 3 : 1 3 x t n AC t R y t          – Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : 2 1 3 1 0 x t y t x y           Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của AB 3 9 1 ; 2 2 a a M         . – Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :   3 9 1 1 0 3 1; 2 2 2 a a a B            – Ta có :       122 1 1; 3 10, : 3 5 0, ; 1 3 10 x y AB AB AB x y h C AB               Vậy :   1 1 12 . , 10. 6 2 2 10 ABCS AB h C AB   (đvdt). Bài 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Hướng dẫn:- Gọi B(a;b) suy ra M 5 2 ; 2 2 a b       . M nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1). – B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :    : x a t BC t R y b t      . Từ đó suy ra tọa độ N : 6 2 3 6 2 6 0 6 2 a b t x a t a b y b t x x y b a y                       3 6 6 ; 2 2 a b b a N           . Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) – Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) – Từ (1) và (2) :     2 14 0 37 37;88 , 20; 31 5 2 9 0 88 a b a B C a b b                  Bài 28Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng  : 3 8 0x y   , ‘:3 4 10 0x y    và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng  , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  ‘. Hướng dẫn:: – Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc   2 3 : 2 3 ; 2 2 x t I t t y t             – A thuộc đường tròn     2 2 3 3IA t t R     (1) A(5;2) B C x+y-6=0 2x-y+3=0 M N
    6. 11. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 11 Jun . 17 – Đường tròn tiếp xúc với    3 2 3 4 2 10 13 12 ‘ 5 5 t t t R R             . (2) – Từ (1) và (2) :           2 2 2 2 213 12 3 3 25 3 3 13 12 5 t t t t t t             Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2 ( ): – 2 – 2 1 0,C x y x y   2 2 ( ‘): 4 -5 0C x y x   cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ‘)C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB Hướng dẫn:* Cách 1. – Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương   1 ; : x at u a b d y bt        – Đường tròn        1 1 1 2 2 2: 1;1 , 1. : 2;0 , 3C I R C I R   , suy ra :           2 2 2 2 1 2: 1 1 1, : 2 9C x y C x y       – Nếu d cắt  1C tại A :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 1 ;2 t M ab b a b t bt Ab a b a bt a b                 – Nếu d cắt  2C tại B :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 6 6 6 0 1 ;6 t M a ab a b t at Ba a b a bt a b                   – Theo giả thiết : MA=2MB  2 2 4 *MA MB  – Ta có : 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 4 ab b a ab a b a b a b a b                               2 2 2 2 2 2 2 2 6 :6 6 04 36 4. 36 6 :6 6 0 b a d x yb a b a b a d x ya b a b                    * Cách 2. – Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= 1 2  . ( Học sinh tự làm ) Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M . Hướng dẫn:- Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến      1; 2 : 2 2 0 2 4 0KH AC x y x y           . – B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương    1; 2 1 ; 2KH B t t      . – M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t). – Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2) – Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,    2 2;4 , 3;4BC t t HA      . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :    . 0 3 2 2 4 4 0 1HA BC t t t            . Vậy : C(-2;1). H(1;0) K(0;2) M(3;1) A B C
    7. 12. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 12 Jun . 17 – (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương       4 4 2;6 // 1;3 : 1 3 x y BA u AB         3 8 0x y    – (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến        3;4 :3 2 4 2 0HA BC x y       3 4 2 0x y    . Bài 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình   2 2 1 : 4 5 0C x y y    và   2 2 2 : 6 8 16 0.C x y x y     Lập phương trình tiếp tuyến chung của  1C và  2 .C Hướng dẫn:: – Ta có :               2 2 22 1 1 1 2 2 2: 2 9 0;2 , 3, : 3 4 9 3; 4 , 3C x y I R C x y I R            – Nhận xét :  1 2 19 4 13 3 3 6I I C       không cắt  2C – Gọi d : ax+by+c =0 ( 2 2 0a b  ) là tiếp tuyến chung , thế thì :    1 1 2 2, , ,d I d R d I d R      2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 4 22 3 4 2 3 4 3 4 23 4 3 2 b c a b c b cb c a b ca b b c a b c a b c b ca b c a b a b a b                                 2 3 2 2 0 a b a b c       . Mặt khác từ (1) :    2 2 2 2 9b c a b    – Trường hợp : a=2b thay vào (1) :       2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 4 2 9 4 41 4 0. ‘ 4 41 45 2 3 5 4 b b c b b c b b b bc c c c c c b                     – Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :        1 2 3 5 2 3 5 : 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 0 2 4 d x y x y                   1 2 3 5 2 3 5 : 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 0 2 4 d x y x y            – Trường hợp : 2 3 2 b a c   , thay vào (1) : 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 b a b b a a b a b           2 2 2 2 0, 20 2 2 3 4 0 4 4 , 6 3 3 6 a b a cb c b a a b b ab a a a b a c b c                           – Vậy có 2 đường thẳng : 3 :2 1 0d x   , 4 :6 8 1 0d x y   Bài 32 Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng : 2 0d x y   tại điểm A có hoành độ bằng 4. Hướng dẫn:- Do A thuộc d : A(4;2)
    8. 13. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 13 Jun . 17 – Giả sử (H) :       2 2 2 2 2 2 16 4 1 * 1 1 x y A H a b a b        – Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :    2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 02 2 2 2 b a x a x a a bb x a y a b b x a x a b y x y x y x                              4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 ‘ 4 4 4 4 0 4a a b a a a b a b a b a b a b b a a b                – Kết hợp với (1) :   2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 4 8 16 0 4 : 1 8 44 4 8 b a a b b b b x y H a b a b a                           Bài 33 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Hướng dẫn:- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : 2 1 0 21 13 ; 7 14 0 5 5 x y B x y             – Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:     21 5 1; 2 : 13 2 5 x t u BC y t             – Ta có :    , 2 2 2 ,AC BD BIC ABD AB BD       – (AB) có  1 1; 2n    , (BD) có   1 2 2 1 2 n . 1 14 15 3 1; 7 os = 5 50 5 10 10 n n c n n              – Gọi (AC) có     2 2 2 a-7b 9 4 , os AC,BD os2 = 2cos 1 2 1 10 550 n a b c c a b                 – Do đó :    22 2 2 2 2 2 5 7 4 50 7 32 31 14 17 0a b a b a b a b a ab b            – Suy ra :         17 17 : 2 1 0 17 31 3 0 31 31 : 2 1 0 3 0 a b AC x y x y a b AC x y x y                         – (AC) cắt (BC) tại C 21 5 13 7 14 5 2 ; 5 15 3 3 3 0 x t y t t C x y                       – (AC) cắt (AB) tại A :   2 1 0 7 7;4 3 0 4 x y x A x y y               – (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : 7 4 2 x t y t     
    9. 14. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 14 Jun . 17 – (AD) cắt (BD) tại D : 7 7 98 46 4 2 ; 15 15 15 7 14 0 x t y t t D x y                  – Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự . Bài 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Hướng dẫn::- B thuộc d suy ra B : 5 x t y t      , C thuộc d’ cho nên C: 7 2x m y m     . – Theo tính chất trọng tâm :  2 9 2 2, 0 3 3 G G t m m t x y          – Ta có hệ : 2 1 2 3 1 m t m t m t             – Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương  3;4u   , cho nên (BG):   20 15 82 13 4 3 8 0 ; 3 4 5 5 x y x y d C BG R            – Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R=       2 213 169 : 5 1 5 25 C x y     Bài 35Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1 Hướng dẫn:- Đường (AB) cắt (BC) tại B 2 5 1 0 12 23 0 x y x y        Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k’= 2 5 , do đó ta có : 2 12 5tan 2 2 1 12. 5 B     . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có : 2 2 55tan 2 5 21 5 m m C m m      . Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có : 8 2 5 4 102 5 2 2 5 2 2 5 9 2 5 4 105 2 12 m m mm m m m mm m                    – Trường hợp :     9 9 : 3 1 9 8 35 0 8 8 m AC y x x y           – Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ). – Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 . Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : A(2;3) B C x+y+5=0 x+2y-7=0 G(2;0) M A B C 2x-5y+1=0 M(3;1) H 12x-y-23=0
    10. 15. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 15 Jun . 17 B(2;-1) A C x+2y-5=0 3x-4y+27=0 H K (C1) : (x – 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Hướng dẫn:- Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C’) có J(1;2) và R’=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( 2 2 0a b  ). – Khi đó ta có :        2 2 2 2 5 12 2 , 15 1 , , 5 2 a b c a b c h I d h J d a b a b           – Từ (1) và (2) suy ra : 5 12 3 6 3 5 12 3 2 5 12 3 6 3 a b c a b c a b c a b c a b c a b c                   9 3 2 2 a b c a b c        . Thay vào (1) : 2 2 2 5a b c a b    ta có hai trường hợp : – Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) :    2 2 2 2 2 2 7 25 21 28 24 0a b a b a ab b       Suy ra : 14 10 7 14 10 7 175 10 7 : 0 21 21 21 14 10 7 14 10 7 175 10 7 : 0 21 21 21 a d x y a d x y                               – Trường hợp :      2 2 2 2 23 2 1 : 7 2 100 96 28 51 0 2 c a b b a a b a ab b           . Vô nghiệm . ( Phù hợp vì : 16 196 212 ‘ 5 15 20 400IJ R R         . Hai đường tròn cắt nhau ) . Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 x y 2x 8y 8 0     . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. Hướng dẫn:Đường thẳng d’ song song với d : 3x+y+m=0 – IH là khoảng cách từ I đến d’ : 3 4 1 5 5 m m IH       – Xét tam giác vuông IHB : 2 2 2 25 9 16 4 AB IH IB             2 19 ‘:3 19 01 16 1 20 21 ‘:3 21 025 m d x ym m m d x y                    Bài 38.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y- 5=0 Hướng dẫn:- Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC): 2 3 1 4 x t y t       , hay :   2 1 4 3 7 0 4;3 3 4 x y x y n             – (BC) cắt (CK) tại C :   2 3 1 4 1 1;3 2 5 0 x t y t t C x y                 – (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến  ;n a b  Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi 4 6 10 2 os = 5 16 9 5 5 5 KCB KCA c          
    11. 16. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 16 Jun . 17 – Tương tự :    2 2 2 2 2 2 2 a+2b a+2b 2 os = 2 4 55 5 c a b a b a b a b                2 0 3 0 3 0 3 4 0 4 4 1 3 0 4 3 5 0 3 3 a b y y a ab b a x y x y                        – (AC) cắt (AH) tại A :  1 2 3 3 0 5 3 4 27 0 31 58231 5;3 , ; 25 254 3 5 0 25 3 4 27 0 582 25 y y x x y A Ax x y x y y                                – Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ). Bài 39.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuôngtại A, phương trình đường thẳng BC là : 3 x – y – 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Hướng dẫn:- Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là đỉnh của góc vuông ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C :   ; 3 1a a  . – Độ dài các cạnh : 2 2 2 1 , 3 1 2 1AB a AC a BC AB AC BC a          – Chu vi tam giác : 2p=    3 3 1 1 3 1 2 1 3 3 1 2 a a a a a p             – Ta có : S=pr suy ra p= S r .(*) Nhưng S=   21 1 3 . 1 3 1 1 2 2 2 AB AC a a a     . Cho nên (*) trở thành :      2 3 2 31 3 3 3 1 1 1 1 2 3 1 2 4 1 2 3 a a a a a                 – Trọng tâm G :       1 2 3 2 3 12 1 7 4 3 3 7 4 3 2 3 63 3 ; 3 33 1 3 2 2 3 2 3 6 3 3 3 G G G G a x x G a y y                                  2 2 1 2 3 12 1 1 4 3 3 1 4 3 2 3 63 3 ; 3 33 1 3 2 2 3 2 3 6 3 3 3 G G G G a x x G a y y                                 Bài 40.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : 012422  yxyx và đường thẳng d : 01  yx . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến Hướng dẫn:
    12. 17. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 17 Jun . 17 – M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó AB=MI= IA 2 =R 2 = 6 2 2 3 . – Ta có :     2 2 2 2 2 2 8 2 3MI t t t       – Do đó :     1 2 2 2 2 2; 2 1 2 8 12 2 2 2; 2 1 t M t t t M                 . * Chú ý : Ta còn cách khác – Gọi d’ là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d’ có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) . – Nếu d’ là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d’)=R 2 2 2 6 1 k kt t k                  2 2 2 2 2 2 2 6 1 4 2 2 2 2 4 2 0t k t k t t k t t k t t                  – Từ giả thiết ta có điều kiện :      2 2 2 2 2 2 4 2 0 ‘ 4 2 4 2 4 0 4 2 1 4 2 t t t t t t t t t t t                         –   1 22 2 1 2 2 1 2 2 6 1 ‘ 19 0 2 ;2 12 t k k t t t k k M k kt                         Bài 41.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : 044 22  yx .Tìm những điểm N trên elip (E) sao cho : 0 21 60ˆ FNF ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) ) Hướng dẫn:: – (E) : 2 2 2 2 2 1 4, 1 3 3 4 x y a b c c         – Gọi     2 2 0 0 0 0 1 0 2 0 1 2 4 4 3 3 ; 2 ; 2 2 2 2 3 x y N x y E MF x MF x F F                . Xét tam giác 1 2FMF theo hệ thức hàm số cos :   2 2 2 0 1 2 1 2 1 22 os60F F MF MF MFMF c      2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x                                   0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 00 4 2 1 3 3 9 32 13 3 12 8 4 8 12 4 4 9 94 2 33 x y x x x x y yx                             M x+y+1=0 A B I(2;1)
    13. 18. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 18 Jun . 17 – Như vậy ta tìm được 4 điểm : 1 2 3 4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 ; , ; , ; , ; 3 3 3 3 3 3 3 3 N N N N                                  Bài 42.Trong mă ̣t phẳng to ̣a đô ̣Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng  : 2x + 3y + 4 =0 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  sao cho đường thẳng AB và  hợp với nhau góc 450 . Hướng dẫn:- Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến  ;n a b  thì d có phương trình dạng : a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có  2;3n   . – Theo giả thiết :      20 2 2 2 2 2 3 1 os d, os45 2 2 3 13 213 a b c c a b a b a b                   2 2 1 1 : 1 1 0 5 4 0 5 55 24 5 0 5 :5 1 1 0 5 6 0 a b d x y x y a ab b a b d x y x y                             – Vậy B là giao của d với  cho nên : 1 1 2 2 5 4 0 5 6 032 4 22 32 ; , : ; 2 3 4 0 2 3 4 013 13 13 13 x y x y B B B B x y x y                             Bài 43.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 052:1  yxd . d2: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Hướng dẫn:: – Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau : 3 6 7 2 5 9 3 8 03 5 5 3 6 7 2 5 3 9 22 0 3 5 5 x y x y x y x y x y x y                     – Lập đường thẳng 1 qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 . 1 2 1 : 3 5 0 9 3 x y x y          – Lập 2 qua P(2;-1) và vuông góc với : 3x-9y+22=0 2 2 1 : 3 5 0 3 9 x y x y           Bài 44.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: 1 916 22  yx . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). Hướng dẫn:: – (H) có    2 2 2 1 216, 9 25 5 5;0 , 5;0a b c c F F       . Và hình chữ nhật cơ sở của (H) có các đỉnh :        4; 3 , 4;3 , 4; 3 , 4;3    . – Giả sử (E) có : 2 2 2 2 1 x y a b   . Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình :  2 2 2 25 1c a b   – (E) đi qua các điểm có hoành độ 2 16x  và tung độ  2 2 2 16 9 9 1 2y a b     – Từ (1) và (2) suy ra :   2 2 2 2 40, 15 : 1 40 15 x y a b E     Bài 45.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x    Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A
    14. 19. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 19 Jun . 17 Hướng dẫn:- (C) có I( 2 3;0 ), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm : J(a;b)       2 2 ‘ : 4C x a y b     -Do (C) và (‘) tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ =R+R’   2 2 2 2 2 3 4 2 6 4 3 28a b a a b          – Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên :       2 2 0 2 4 2a b    – Do đó ta có hệ :     2 2 2 2 2 222 2 3 36 4 3 24 4 02 4 a b a a b a b ba b                  – Giải hệ tìm được : b=3 và a=       2 2 3 ‘ : 3 3 4C x y     . * Chú ý : Ta có cách giải khác . – Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b – Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra : 4 2 3 2 IJ 6 2 3 IA IO OA IH HJ ba       – Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a= 3 . Bài 46.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Hướng dẫn:- Hình vẽ : ( Như bài 12 ). – Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :   2 1 0 7;3 7 14 0 x y B x y        . – Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và       7 1; 2 : 3 2 BC x t AB u BC y t            1 2 17 0 2 BCx y k       . Mặt khác : 1 1 1 1 17 2, tan 1 17 2 31 7 2 BD ABk k         – Gọi (AC) có hệ số góc là k 2 1 2 7 1 2tan 37 3tan 2 17 1 tan 41 1 7 9 k k k k               – Do đó : 17 28 4 3 21 4 7 1 3 7 31 28 4 3 21 1 k k k k k k k k                 – Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 . – C là giao của (BC) với (AC) :   7 3 2 1, 6;5 1 0 x t y t t C x y              – A là giao của (AC) với (AB) :   7 3 2 0, 1;0 2 1 0 x t y t t A x y             – (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương trình : 2x+y-2=0 . I(-2 2 ;0) A(0;2) y x
    15. 20. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 20 Jun . 17 – D là giao của (AD) với (BD) :   2 2 0 0;2 7 14 0 x y D x y        – Trường hợp : k=- 17 31 cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ). Bài 47. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); B (3;4). Tìm điểm M() sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn:- M thuộc  suy ra M(2t+2;t ) – Ta có :     2 22 2 2 2 2 3 2 5 8 13 2 10 16 26MA t t t t MA t t           Tương tự :     2 22 2 2 1 4 5 12 17MB t t t t       – Do dó : f(t)=  2 2 15 4 43 ‘ 30 4 0 15 t t f t t t         . Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) = 641 15 đạt được tại 2 26 2 ; 15 15 15 t M          Bài chúng tôi đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB Hướng dẫn:- Đường tròn (C) :      2 2 /( )1 3 4 1;3 , 2, 1 1 4 2 0M Cx y I R P M             nằm trong hình tròn (C) . – Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương   2 ; : 4 x at u a b d y bt         – Nếu d cắt (C) tại A,B thì :           2 2 2 2 2 1 1 4 2 2 0 1at bt a b t a b t          ( có 2 nghiệm t ) . Vì vậy điều kiện :       2 2 2 2 2 ‘ 2 3 2 3 0 *a b a b a ab b         – Gọi    1 1 2 22 ;4 , 2 ;4A at bt B at bt     M là trung điểm AB thì ta có hệ :         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 0 0 8 8 0 a t t a t t t t b t t b t t                     . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :   1 2 2 2 2 2 4 0 0 : : 6 0 1 1 a b x y t t a b a b d d x y a b                       Bài 49.Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E): 2 2 1 16 9 x y   , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3) Hướng dẫn:- Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến  ;n a b  qua A(4;3) thì d có phương trình là :a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) . – Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là :   22 2 .16 .9 4 3a b a b   2 2 2 2 0 : 3 0 16 9 16 24 9 24 0 0 : 4 0 a d y a b a ab b ab b d x                  Bài 50.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. Hướng dẫn:- (C) :     2 2 1 25 (1; ), 5x y m I m R      .
    16. 21. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 21 Jun . 17 – Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì   2 2 2 2 4 16 4 2 24 0 1 16 4 m y x m m x x m                     – Điều kiện : 2 ‘ 25 0m m R      . Khi đó gọi 1 1 2 2; , ; 4 4 m m A x x B x x                  2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 16 25 8 16 4 16 m m m AB x x x x x x m            – Khoảng cách từ I đến d = 2 2 4 5 16 16 m m m m m     – Từ giả thiết : 2 2 22 2 51 1 25 25 . .8 . 4 5 12 2 2 1616 16 mm m S AB d m mm m             2 22 2 2 2 25 5 3 25 25 9 16 16 m m m m m m         – Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp . Bài 51.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x – y – 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y – 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC Hướng dẫn: – (AB) cắt (AC) tại A :   2 0 3;1 2 5 0 x y A x y         – B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m) – Theo tính chất trọng tâm :     2 8 3 2 1;22 13 1 7 5 5;3 2 3 G G t m x m Ct m t m t m t B y                       Bài 52.Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d’ là đường trung trực của AB thì d’ có phương trình : 1.(x-3)- 2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 . – Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d’ cho nên I(2t-3;t) (*) – Nếu (C) tiếp xúc với d thì    3 2 3 9 5 10 , 210 10 t t t h I d R t R         . (1) – Mặt khác : R=IA=     2 2 5 2 5t t   . (2) . – Thay (2) vào (1) :      2 2 2 210 5 2 5 4 5 30 50 10 2 t t t t t t        2 6 34 12 2 0 6 34 t t t t            . Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R của (C) . * Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : 2 2 2 2 0x y ax by c     ( có 3 ẩn a,b,c) – Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d : khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R .
    17. 22. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 22 Jun . 17 Bài chúng tôi đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) tâm M(5, 1) biết (C’) ắt (C) tại các điểm A, B sao cho 3AB . Hướng dẫn:- Đường tròn (C) :       2 2 1 2 3 1; 2 , 3x y I R       . – Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C’) tâm M có bán kính R’ = MA . Nếu AB= 3 IA R  , thì tam giác IAB là tam giác đều , cho nên IH= 3. 3 3 2 2  ( đường cao tam giác đều ) . Mặt khác : IM=5 suy ra HM= 3 7 5 2 2   . – Trong tam giác vuông HAM ta có 2 2 2 249 3 13 ‘ 4 4 4 AB MA IH R      – Vậy (C’) :     2 2 5 1 13x y    . Bài 54.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) cã ph-¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®-êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®-êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®-îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu”ng. Hướng dẫn: – (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 . Nếu tam giác ABC vuông góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau ) khi đó ABIC là hình vuông . Theo tính chất hình vuông ta có IA= IB 2 (1) . – Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra :     2 2 1 2IA t t m     . Thay vào (1) :     2 2 1 2 3 2t t m       2 2 2 2 1 4 13 0t m t m m       (2). Để trên d có đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều kiện :     22 10 25 0 5 0 5m m m m             .Khi đó (2) có nghiệm kép là :  1 2 0 1 5 1 3 3;8 2 2 m t t t A            Bài 55.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x – 3y – 12 = 0 và (d2): 4x + 3y – 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. Hướng dẫn:- Gọi A là giao của  1 2 4 3 12 0 , : 3;0 Ox 4 3 12 0 x y d d A A x y          – Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của 1d với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của 2d với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0). – Theo tính chất phân giác trong : 5 5 4 9 4 4 4 IA AC IA IO OA IO AO IO IO         4 4.3 4 9 9 3 OA IO    . Có nghĩa là I( 4 ;0 3 ) I M A B H I(1;-2) B C A x+y+m=0
    18. 23. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 23 Jun . 17 – Tính r bằng cách :    5 8 51 1 15 1 1 18 6 . .5.3 2 2 2 2 2 15 5 AB BC CA S BC OA r r r             . Bài 56.Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : :3 4 4 0x y    . Tìm trên  hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15 Hướng dẫn:- Nhận xét I thuộc  , suy ra A thuộc  : A(4t;1+3t) . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có tọa độ B(4-4t;4+3t)     2 2 16 1 2 9 1 2 51 2AB t t t       – Khoảng cách từ C(2;-5) đến  bằng chiều cao của tam giác ABC : 6 20 4 6 5     – Từ giả thiết :         0 0;1 , 4;41 1 . 5.1 2 .6 15 1 2 1 2 2 1 4;4 , 0;1 t A B S AB h t t t A B              Bài 57.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2 ( ): 1 9 4 x y E   và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn:- A,B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên đường thẳng y-2=0 . C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất – Tam giác ABC có AB=6 cố định . Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất . – Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn (3;0) Bài 58.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; – 3), B(3; – 2), cã diÖn tÝch b”ng 3 2 vµ träng t©m thuéc ®-êng th¼ng  : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. Hướng dẫn:- Do G thuộc  suy ra G(t;3t-8). (AB) qua A(2;-3) có véc tơ chỉ phương  1;1u AB    , cho nên (AB) : 2 3 5 0 1 1 x y x y        . Gọi M là trung điểm của AB : M 5 5 ; 2 2       . – Ta có : 5 5 5 11 ; 3 8 ; 3 2 2 2 2 GM t t t t                     . Giả sử C 0 0;x y , theo tính chất trọng tâm ta có :    0 0 0 0 5 2 5 22 2 2 5;9 19 1 9 1911 3 8 2 3 2 x t t x t GC GM C t t y t y t t                                    – Ngoài ra ta còn có : AB= 2 ,      3 2 5 9 19 8 4 3 , 10 10 t t t h C         – Theo giả thiết :   4 31 1 3 . , 2 2 4 3 3 10 2 2 210 t S AB h C t           2 2 4 3 5 7 6 5 ; 7 9 5 3 3 2 4 3 90 9 24 29 0 4 3 5 6 5 7 ;9 5 7 3 3 t C t t t t C                                    Bài 59.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ( ;0) 2 I
    19. 24. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 24 Jun . 17 Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó Hướng dẫn:- Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t<1) – Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C 3 2 ;t t  . – Gọi d’ là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : 1 ‘: 2 2 x t d y t        , và H có tọa độ là H 0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B 2 2 ;2t t  . – Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH     2 2 1 2 2 1 2 1 4 t t        22 1 1 05 5 10 5 4. 1 1 1 1 2 14 t t t t t t t                    – Vậy khi t =         1 2;0 , 2;2 , 3;0 , 1; 2 2 A B C D    . * Chú ý : Ta còn có cách giải khác nhanh hơn – Tính   1 0 2 52 ; 25 h I AB     , suy ra AD=2 h(I,AB)= 5 – Mặt khác :     2 2 2 2 2 2 22 5 25 5 4 4 4 4 AB AD IA IH IH IH AD         IA=IB = 5 2 -Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ :    2 2 2 2 2 0 2;0 , 2;21 5 2 2 x y A B x y                    (Do A có hoành độ âm – Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2) Bài 60.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y   , phân giác trong :2 5 0BN x y   .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn:- Đường (AB) qua A(1;-2) và vuông góc với (CH) suy ra (AB): 1 2 x t y t       . – (AB) cắt (BN) tại B: 1 2 5 2 5 0 x t y t t x y               Do đó B(-4;3).Ta có : 1 2 1 1, 2 tan 1 2 3 AB BNk k            – Gọi A’ đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A’ nằm trên (AB). Khi đó A’ nằm trên d vuông góc với (BN) 1 2 : 2 x t d y t        C H B N A(1;-2) x-y+1=0 2x+y+5=0
    20. 25. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 25 Jun . 17 – d cắt (BN) tại H :   1 2 : 2 1 1; 3 2 5 0 x t H y t t H x y                  . – A’ đối xứng với A qua H suy ra A'(-3;-4) . (BC) qua B,A’ suy ra :  1; 7u      4 : 3 7 x t BC y t        . (BC) cắt (CH) tại C: 4 3 13 9 3 7 ; 4 4 4 1 0 x t y t t C x y                      – Tính diện tích tam giác ABC : – Ta có :   2 5 1 1 9 9 10 . ( , ) .2 59 2 2 4, 2 2 2 2 ABC AB S AB h C AB h C AB          Bài 61.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:1  yxd và 06:2  yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Hướng dẫn:- Theo giả thiết , tọa độ tâm I 3 0 9 3 ; 6 0 2 2 x y I x y              . Gọi M là trung điểm của AD thì M có tọa độ là giao của : x-y-3=0 với Ox suy ra M(3;0). Nhận xét rằng : IM // AB và DC , nói một cách khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng // với 1d ( có  1; 1n    . -A,D nằm trên đường thẳng d vuông góc với 1d 3 : x t d y t       . Giả sử A  3 ;t t  (1), thì do D đối xứng với A qua M suy ra D(3-t;t) (2) . – C đối xứng với A qua I cho nên C(6-t;3+t) (3) . B đối xứng với D qua I suy ra B( 12+t;3-t).(4) – Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). Do đó ta có kết quả là : : 3 2MJ AB AD   . Khoảng cách từ A tới 1d :    1 1 2 , 2 , . 2 ABCD t h A d S h A d MJ   12 2 3 2 12 12 12 ABCD tt S t t          . Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các đỉnh của hình chữ nhật :                 1 3;1 , 4; 1 , 7;2 , 11;4 1 4; 1 , 2;1 , 5;4 , 13;2 t A D C B t A D C B          Bài 62.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H): và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB Hướng dẫn:- Giải sử d có véc tơ chỉ phương  ;u a b  , qua M(2;1) 2 : 1 x at d y bt       – d cắt (H) tại 2 điểm A,B thì A,B có tọa độ :     2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 1 2 3 x at at bt y bt x y                   2 2 x y 1 2 3  
    21. 26. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 26 Jun . 17         2 2 2 2 2 3 2 2 2 6 3 2 4 3 4 0(1)at bt a b t a b t           – Điều kiện :     2 2 2 2 2 3 2 0 ‘ 4 3 4 3 2 0 a b a b a b            (*). Khi đó  1 12 ;1 ,A at bt  và tọa độ của B :  2 22 ;1B at bt  , suy ra nếu M là trung điểm của AB thì : 4+a  1 2 1 24 0t t t t     – Kết hợp với 2 1 2 1 2 2 22 2 2 3 2 3 4 4 2 3 2 2 3 2 3 t t t t t t a b b a b a             – Áp dụng vi ét cho (1) :   1 2 2 2 4 3 2 1 2 1 0 3 : 3 2 3 b a x y x y t t b a d a b a b a a                – Vậy d : 3(x-2)=(y-1) hay d : 3x-y-5=0 . Bài 63.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0),B(3;-4). Hãy tìm trên đường thẳng  một điểm M sao cho : 3MA MB   là nhỏ nhất Hướng dẫn:- D M  3 2 ;M t t   có nên ta có :    2 2; ,3 6 ; 3 12MA t t MB t t        . Suy ra tọa độ của       2 2 3 8 ; 4 14 3 8 4 14MA MB t t MA MB t t             . – Vậy : f(t) =     2 2 2 8 4 14 80 112 196t t t t     . Xét g(t)= 2 80 112 196t t  , tính đạo hàm g'(t)= 160t+112. g'(t)=0 khi 112 51 51 15.169 196 80 80 80 80 t g              – Vậy min 3 196 14MA MB     , đạt được khi t= 51 80  và 131 51 ; 40 80 M        Bài 64.Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn :   2 2 1 : 13C x y  và     2 2 2 : 6 25C x y   cắt nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt    1 2,C C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau Hướng dẫn: – Từ giả thiết :        1 2: 0;0 , 13. ; 6;0 , ‘ 5C I R C J R   – Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương   2 ; : 3 x at u a b d y bt         – d cắt  1C tại A, B :    2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 0 13 x at a b y bt a b t a b t t a b x y                          2 2 2 2 2 3 3 2 ; b b a a a b B a b a b          . Tương tự d cắt  2C tại A,C thì tọa độ của A,C là nghiệm của hệ :     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 10 6 2 3 8 3 3 ; 6 25 x at a b a ab b a ab b y bt t C a b a b a b x y                          – Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A,C . Từ đó ta có phương trình :
    22. 27. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 27 Jun . 17     2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ; : 2 3 310 6 2 4 6 9 0 3 3 ; // ‘ 3;2 2 2 x a d b ab y ta ab b a ab a b a b a b u b b u                              Suy ra : 2 3 : 3 2 x t d y t       . Vậy có 2 đường thẳng : d: x-2=0 và d’: 2x-3y+5=0 Bài 65.Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 . Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn:- Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương  1;1u   do đó d : 3x t y t     . Đường thẳng d cắt (CK) tại C :   3 4 1; 4 2 2 0 x t y t t C x y               – Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K suy ra B(2t- 3;4t- 4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : (2t- 3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo độ B(-1;0) . Gọi (C) :  2 2 2 2 2 2 2 0 0x y ax by c a b c R         là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ : 1 9 6 0 2 4 4 0 0 5 2 8 0 6 a a c a c b a b c c                     – Vậy (C) : 2 21 25 2 4 x y         Bài 66.Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện tích bằng 11 2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh C ? Hướng dẫn:- Nếu G thuộc d thì G(t;4-3t). Gọi C( 0 0; )x y . Theo tính chất trọng tâm : 0 0 0 0 1 2 3 33 12 9 4 3 3 x t x t y y t t             Do đó C(3t-3;12-9t). -Ta có :   2 1 1 ( ): 2 3 0 1 21;2 1 2 5 x y AB x y AB AB                B C K H A(3;0) x+y+1=0 2x-y-2=0
    23. 28. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 28 Jun . 17 – h(C,AB)=    2 3 3 12 9 3 15 21 5 5 t t t      . Do đó :   1 . , 2 ABCS AB h C AB    32 17 2632 ; 15 21 15 211 11 15 5 515 5 15 21 11 202 2 25 4 1;0 15 3 t Ct t t S t t t C                         Bài 67.Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình : 7x- y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông Hướng dẫn:- Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD). – Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương     4 7 4 5 7; 1 : 7 39 0 5 7 1 x t x y u AC x y y t                  . Gọi I là giao của (AC) và (BD) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ :   4 7 1 1 9 5 ; 3;4 2 2 2 7 8 0 x t y t t I C x y                     – Từ B(t;7t+8) suy ra :    4;7 3 , 3;7 4BA t t BC t t        . Để là hình vuông thì BA=BC : Và BAvuông góc với BC       2 0 4 3 7 3 7 4 0 50 50 0 1 t t t t t t t t                    0 0;8 1 1;1 t B t B         . Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I         0;8 1;1 1;1 0;8 B D B D       – Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có     4 5 4;3 : 4 3 AB x y u AB       (AD) qua A(-4;5) có     4 5 3; 4 : 3 4 AD x y u AB         (BC) qua B(0;8) có     8 3; 4 : 3 4 BC x y u BC        (DC) qua D(-1;1) có     1 1 4;3 : 4 3 DC x y u DC       * Chú ý : Ta còn cách giải khác – (BD) : 7 8y x  , (AC) có hệ số góc 1 7 k   và qua A(-4;5) suy ra (AC): 31 7 7 x y   . -Gọi I là tâm hình vuông :   2 2 3;47 8 31 7 7 A C I A C I I I C C x x x y y y Cy x x y                – Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương       0 ; , : 1;7 7 os45u a b BD v a b uv u v c           2 2 7 5a b a b    . Chọn a=1, suy ra     3 3 3 : 4 5 8 4 4 4 b AD y x x      
    24. 29. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 29 Jun . 17 Tương tự :         4 4 1 3 3 7 : 4 5 , : 3 4 3 3 3 4 4 4 AB y x x BC y x x            và đường thẳng (DC):   4 4 3 4 8 3 3 y x x       Bài 68.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. Hướng dẫn:-         2 2 : 4 2 36 4;2 , 6C x y I R      – Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7<0 suy ra E nằm trong (C) – Gọi d là đường thẳng qua E(-1;0) có véc tơ chỉ phương   1 ; : x at u a b d y bt         – Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M,N có tọa độ là nghiệm của hệ :        2 2 2 2 2 1 2 5 2 7 0 4 2 36 x at y bt a b t a b t x y                   . (1) – Gọi M(-1+at;bt),N( -1+at’;bt’) với t và t’ là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung MN     2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ‘ 2 18 20 11 ‘ ‘ ‘ a ab b a t t b t t t t a b a b a b a b                – 2 2 2 2 18 20 11 18 20 11 2 2 1 1 b b t t ba a t t ab a                            . Xét hàm số f(t)= 2 2 18 20 11 1 t t t    – Tính đạo hàm f'(t) cho bằng 0 , lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t , từ đó suy ra t ( tức là suy ra tỷ số a/b ) ). Tuy nhiên cách này dài * Chú ý : Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung càng lớn – Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vuông HIE ( I là đỉnh ) ta luôn có : 2 2 2 2 IH IE HE IE IH IE     . Do đó IH lớn nhất khi HE=0 có nghĩa là H trùng với E . Khi đó d cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất . Lúc này d là đường thẳng qua E và vuông góc với IE cho nên d có véc tơ pháp tuyến  5;2n IE    , do vậy d: 5(x+1)+2y=0 hay : 5x+2y+5=0 . Bài chúng tôi tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; – 3). Hướng dẫn:- Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ : 9 2 5 0 7 3 7 0 22 7 x x y x y y                9 22 ; 7 7 B         . Đường thẳng d’ qua A vuông góc với (BC) có     1 3; 1 1;3 3 u n k         . (AB) có A B C x+2y-5=0 3x-y+7=0 F(1;-3)
    25. 30. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 30 Jun . 17 1 2 ABk   . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương trình : 11 1 1 15 5 33 11 82 3 3 15 5 3 1 1 15 5 3 45 31 1 2 3 3 7 kk k kk k k k k kk k                             – Với k=-     1 1 : 1 3 8 23 0 8 8 AC y x x y         – Với k=     4 4 : 1 3 4 7 25 0 7 7 AC y x x y         Bài 70.Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB Hướng dẫn:- Gọi A     0 0 0 0 0 0; 2; 3 , 7; 7x y MA x y NA x y         . – Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có :       2 2 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 2 7 3 7 0 9 4 7 0MA NA x x y y x y x y                – Do đó A nằm trên đường tròn (C) :     2 2 0 03 2 20x y    – Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình :         2 2 2 2 2 31 7 31 73 2 20 50 396 768 028 7 2 207 31 0 x y x yx y y yy yx y                          – Do đó ta tìm được : 198 2 201 99 201 99 201 ; 50 25 25 y y       , tương ứng ta tìm được các giá trị của x : 82 7 201 82 7 201 ; 25 25 x x     . Vậy : 82 7 201 99 201 ; 25 25 A         và tọa độ của điểm 82 7 201 99 201 ; 25 25 A         Bài 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và 2d Hướng dẫn:- Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ :   2 5 0 11 11;17 3 2 1 0 17 x y x A x y y                – Nếu C thuộc    1 2; 2 5 , 1 2 ; 1 3d C t t B d B m m        – Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là trọng tâm thì : 2 10 1 2 133 11 2 3 2 3 2 3 3 t m t m t m t m                13 2 13 2 35 2 13 2 3 2 24 24 t m t m t m m m m                    – Vậy ta tìm được : C(-35;65) và B( 49;-53). A B C G M 2x+y+5=0 3x+2y-1=0
    26. 31. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 31 Jun . 17 Bài 72.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d: 3x – 22y – 6 = 0, sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua điểm C (0;1). Hướng dẫn:- (C) :     2 2 3 1 25x y    , có I(3;-1) và R=5 . – Gọi    1 1 2 2; , ;A x y B x y là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến kẻ từ M . – Gọi M 0 0 0 0; 3 22 6 0 (*)x y d x y     – Hai tiếp tuyến của (C) tại A,B có phương trình là : –        1 13 3 1 1 25 1x x y y      và : –        2 23 3 1 1 25 2x x y y      – Để 2 tiếp tuyến trở thành 2 tiếp tuyến kẻ từ M thì 2 tiếp tuyến phải đi qua M ; –        1 0 1 03 3 1 1 25 3x x y y      và –        2 0 2 03 3 1 1 25 4x x y y      Từ (3) và (4) chứng tỏ (AB) có phương trình là :        0 03 3 1 1 25 5x x y y      – Theo giả thiết thì (AB) qua C(0;1) suy ra :    0 0 0 03 3 2 1 25 3 2 14 0(6)x y x y          – Kết hợp với (*) ta có hệ : 0 0 0 0 0 0 1 3 22 6 0 16 ; 116 3 2 14 0 3 3 y x y M x y x                        Bài 73.Trong mặt phẳng Oxy : Cho hai điểm A(2 ; 1), B( – 1 ; – 3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0. Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn:- Trường hợp : Nếu AB là một đường chéo +/ Gọi I( 1 ; 1 2       , đường thẳng qua I có hệ số góc k suy ra d: y=k(x-1/2)-1 +/ Đường thẳng d cắt 1d tại C     4 1 2 11 2 7 2 3 0 2 1 k x ky k x k yx y k                          4 7 2 ; 2 1 2 1 k k C k k          . Tương tự d cắt 2d tại B : 1 1 2 5 16 0 y k x x y               – Từ đó suy ra tọa độ của B . Để ABCD là hình bình hành thì : AB=CD .Sẽ tìm được k * Cách khác : – Gọi C(t;-t-3) thuộc 1d , tìm B đối xứng với C qua I suy ra D (1-t;t+1) – Để thỏa mãn ABCD là hình bình hành thì D phải thuộc 2d :  1 5 1 16 0t t      Suy ra t=- 10 3 và D 13 7 ; 3 3       và C 10 1 ; 3 3       chúng tôi – Trường hợp AB là một cạnh của hình bình hành . +/ Chọn C (t;-t-3) thuộc 1d và D (5m+16;m) thuộc 2d M A B I(3;-1) H C(0;1) 3x-22y-6=0
    27. 32. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 32 Jun . 17 +/ Để ABCD là hình bình hành thì : AC=BD AB //CD    +/ Ta có :                 2 2 2 2 2 2 2 22 4 5 17 3 2 4 5 17 3 5 16 3 17 7 55 0 3 4 t t m m t t m m m t m t m t                              2 2 2 13 88 89 0 17 55 7 t t m m m t             . Giải hệ này ta tìm được m và t , thay vào tọa độ của C và D Bài 74.Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A và B lần lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn:- (AC) qua C(1;2) và vuông góc với đường cao BK cho nên có :     1 2 2; 1 : 2 5 0 2 1 x y u AC x y             – (AC) cắt (AH) tại A : 3 2 1 0 3 11 55 ; 2 5 0 11 5 5 5 5 x x y A AC x y y                      – (BC) qua C(1;2) và vuông góc với (AH) suy ra     1 1;1 : 2 BC x t u BC y t         – (BC) cắt đường cao (AH) tại B 1 3 1 1 2 ; 2 2 2 0 x t y t t B x y                    – Khoảng cách từ B đến (AC) : 1 1 5 9 1 5 9 92 . 2 5 205 2 5 2 5 S        Bài 75.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm 1F ( – 4; 0), 2F ( 4;0) và điểm A(0;3). a) Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A và có hai tiêu điểm 1F , 2F . b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc (E) sao cho M 1F = 3M 12F Hướng dẫn:- Giả sử (E) : 2 2 2 2 1 x y a b   (1) . Theo giả thiết thì : c=4  2 2 2 16 2c a b    – (E) qua A(0;3) suy ra : 2 2 9 1 9b b    , thay vào (2) ta có   2 2 2 25 : 1 25 9 x y a E    – M thuộc (E)     2 2 0 0 0 0; 1 2 25 9 x y M x y    . Theo tính chất của (E) ta có bán kính qua tiêu 1 0 2 0 1 2 0 0 0 4 4 4 4 25 5 , 5 3 5 3 5 5 5 5 5 8 MF x MF x MF MF x x x                  . Thay vào (2) ta có 2 0 02 551 551 8 8 y y    Bài 76.Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm P(1;3). a.Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm. b.Tính diện tích tam giác PEF.
    28. 33. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 33 Jun . 17 Hướng dẫn:- (C):       2 2 3 1 4 3; 1 , 2x y I R       – Giả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến      ; : 1 3 0n a b d a x b y      Hay : ax+by-(a+3b)=0 (*). – Để d là tiếp tuyến của (C) thì khoảng cách từ tâm I đến d bằng bán kính : 2 2 2 2 3 3 2 4 2 2 a b a b a b a b a b             2 2 2 2 2 4 3 0a b a b ab b               0 1 0 1 0 4 3 0 4 4 1 3 0 3 4 6 0 3 3 b a x x b a b b a a x a y x y                        -Ta có : PI=2 5 , PE=PF= 2 2 20 4 4PI R    . Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy ra : IF 2 5 IF 2 4 5 , IH 2 5 5 5 5 EP IP EP IH EH EH IE          2 8 1 1 8 8 32 2 5 chúng tôi 2 2 55 5 5 5 EPFPH PI IH S         Bài 77.Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x + y  1 = 0, d2: 2x  y + 2 = 0. Viết pt đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2. Hướng dẫn:- Gọi I(a;0) thuộc Ox . Nếu (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng thì :       1 2 1 , , , h I d h I d h I d R        2 1 2 2 1 5 5 2 1 2 5 a a a R           . Từ (1) : a= 1 4 , thay vào (2) : R=   2 25 1 5 : 10 4 100 C x y          Bài 78.Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x  3y + 1 = 0, d2: 4x + y  5 = 0. Gọi A là giao điểm của d1 và d2. Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho ABC có trọng tâm G(3; 5). Hướng dẫn:- Tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 3 1 0 7 3 ; 4 5 0 8 2 x y A x y             –    1 21 2 ;1 3 , ;5 4B d B t t C d C m m       . Tam giác ABC nhận G(3;5) làm trọng tâm : 7 57 1 2 9 2 8 8 3 15 1 3 5 4 15 3 4 2 2 t m t m t m t m                          I(3;-1)E F P(1;3) O x y H
    29. 34. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 34 Jun . 17 Giải hệ trên suy ra : 31 67 88 ; 5 5 5 207 207 257 ; 40 40 10 t B m C                     Bài chúng tôi đường tròn (C): x2 + y2  2x  4y + 3 = 0. Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng : x  2 = 0 Hướng dẫn:Ta có (C):       2 2 1 2 2 1;2 , 2x y I R      – Gọi J là tâm của (C’) thì I và J đối xứng nhau qua d : x=2 suy ra J(3;2) và (C) có cùng bán kính R . Vậy (C’):     2 2 3 2 2x y    đối xứng với (C) qua d . Bài 80.Trong mpOxy, cho ABC có trục tâm H 13 13 ; 5 5       , pt các đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x  y  3 = 0, x + y  7 = 0. Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC. Hướng dẫn:- Tọa độ A là nghiệm của hệ : 4 3 0 7 0 x y x y        Suy ra : A(2;5).   3 12 ; // 1; 4 5 5 HA u            . Suy ra (AH) có véc tơ chỉ phương  1; 4u   . (BC) vuông góc với (AH) cho nên (BC) có  1; 4n u    suy ra (BC): x- 4y+m=0 (*). – C thuộc (AC) suy ra C(t;7-t ) và   13 22 ; 1;4 5 5 ABCH t t u CH               . Cho nên ta có :   13 22 4 0 5 5;2 5 5 t t t C             . – Vậy (BC) qua C(5;2) có véc tơ pháp tuyến        1; 4 : 5 4 2 0n BC x y        (BC): 4 3 0x y    Bài 81.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y  3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(3; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. Hướng dẫn:- M thuộc d suy ra M(t;3-t) . Đường thẳng (AB) qua A(1;1) và có véc tơ chỉ phương     1 1 4; 3 : 3 4 4 0 4 3 x y u AB x y             – Theo đầu bài :  3 4 3 4 1 8 5 5 t t t             3 3;0 13 13; 10 t M t M        * Chú ý : Đường thẳng d’ song song với (AB) có dạng : 3x+4y+m=0 . Nếu d’ cách (AB) một khoảng bằng 1 thì h(A,d’)=1 3 4 1 5 m    2 ‘:3 4 2 0 12 ‘:3 4 12 0 m d x y m d x y               . Tìm giao của d’ với d ta tìm được M . Bài 82.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trung tuyến CM có pt lần lượt là: 3x  y + 11 = 0, x + y  1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C A(2;5) B C E K H 4x-y-3=0 x+y-7=0
    30. 35. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 35 Jun . 17 Hướng dẫn:Đường thẳng (AC) qua A(4;3) và vuông góc với (BH) suy ra (AC) : 4 3 3 x t y t      (AC) cắt trung tuyến (CM) tại C :   4 3 3 2 6 0 3 5;6 1 0 x t y t t t C x y                  – B thuộc (BH) suy ra B(t;3t+11 ). Do (CM) là trung tuyến cho nên M là trung điểm của AB , đồng thời M thuộc (CM) . 4 3 14 ; 2 2 t t M           4 3 14 1 0 4 2 2 t t M CM t           . Do đó tọa độ của B(-4;-1) và M(0;1 ). Bài 83.Trong mpOxy, cho elip (E): 2 2 1 8 4 x y   và đường thẳng d: x  2 y + 2 = 0. Đường thẳng d cắt elip (E) tại 2 điểm B, C. Tìm điểm A trên elip (E) sao cho ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn:-Do đường thẳng d cố định cho nên B,C cố định , có nghĩa là cạnh đáy BC của tam giác ABC cố định . – Diện tích tam giác lớn nhất khi khoảng cách từ A ( trên E) là lớn nhất – Phương trình tham số của (E) :  2 2 sin 2 2 sin ;2cos 2cos x t A t t y t      – Ta có :   2 2 sin 2 2 ost+2 , 3 t c h A d      4sin2 2 sin ost 4 4 3 3 3 xt c          . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi sin 1 4 x        . sin 1 2 2 2, 2 4 4 2 4 3 2 2 2, 2sin 1 4 2 44 x x k x k x y x k x k x yx                                                         Nhận xét : Thay tọa độ 2 điểm A tìm được ta thấy điểm  2; 2A  thỏa mãn . B H C M A(4;3) 3x-y+11=0 x+y-1=0 2 2-2 2 2 y x O -2 2 x- 2 y+2=0 B CA -2 2 A

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phép Quay Và Phép Vị Tự Lớp 11
  • 20 Câu Trắc Nghiệm: Phép Vị Tự Có Đáp Án (Phần 1).
  • Mama 2022 Tại Nhật Và Bộ Sưu Tập Những Khoảnh Khắc “mặn Mà” Của Bts
  • Bts Và Sức Công Phá Không Tưởng Tại Mama 2022
  • Kết Quả Mama 2022 Tại Hồng Kông: Bts Giật Daesang Kép, Twice Khóc Cạn Nước Mắt Khi 3 Năm Liên Tiếp Thắng Giải Daesang Bài Hát Của Năm!
  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng
  • Cách Giải Nhanh Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Chuyen De Pt Duong Thang Docx
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Nâng Cao Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng (Nâng Cao)
  • Viết Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian, Bài 1 Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Phương Trình Đường Thẳng Lớp 9, Phương Trình Đường Thẳng, Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Bài 1 Phương Trình Đường Thẳng, 2 Phương Trình Đường Thẳng Cắt Nhau Khi Nào, Phương Trình 2 Đường Thẳng Vuông Góc, Đề Kiểm Tra Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng, Chuyên Đề 1 Phương Trình Đường Thẳng, Bài Tập Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng, Bài Tập Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Đề Cương ôn Tập Phương Trình Đường Thẳng, 2 Phương Trình Đường Thẳng Vuông Góc, Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 2 Điểm, Từ Phương Trình Đường Thẳng Suy Ra Toạ Độ Điểm, Cách Viết Phương Trình Đường Thẳng, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Phương Trình Đường Thẳng, Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng, Công Thức Phương Trình Đường Thẳng, Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn, Trắc Nghiệm Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz Violet, 2 Phương Trình Đường Thẳng Song Song, Phương Trình 2 Đường Thẳng Song Song, Phương Trình 35x=53x Không Tương Đương Với Phương Trình Nào Dưới Đây, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Phương Trình 3x + 4 = 0 Tương Đương Với Phương Trình, Phương Trình 2x-4=0 Tương Đương Với Phương Trình Nào, Giải Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Thông Tư 77/2012 Quy Định Quy Trình Điều Tra Giải Quyết Tngt Đường Bộ Của Lực Lượng Csgt Đường Bộ, Em Hay Trinh Ba Phuong Phap Tim Thu Tu Dau Thang Va Dau Giang O Hoa Bieu, Phương Trình Mặt Cầu Đường Kính Ab, Phương Trình Đường Tròn, Phương Trình Đường Elip, 2 Phương Trình Tương Đương, Tìm R Của Phương Trình Đường Tròn, 2 Phương Trình Tương Đương Khi Nào, Phương Trình Tương Đương, Bài Tập Chuyên Đề Phương Trình Đường Tròn Lớp 10, Tìm R Trong Phương Trình Đường Tròn, Phương Trình Đường Trung Trực, Từ Phương Trình Đường Tròn Suy Ra Bán Kính, Định Nghĩa 2 Phương Trình Tương Đương, Định Nghĩa Phương Trình Tương Đương, Khái Niệm 2 Phương Trình Tương Đương, Trên Đường Có Nhiều Làn Đường, Khi Điều Khiển Phương Tiện ở Tốc Độ Chậm, Bạn Phải Đi ở Làn Đường Nào, Trên Đường Có Nhiều Làn Đường, Khi Điều Khiển Phương Tiện ở Tốc Độ Chậm Bạn Phải Đi Từ Làn Đường Nào, Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Cầu, Giải Phương Trình 7-3x=9-x, Giải Hệ Phương Trình ôn Thi Vào 10, Giải Phương Trình (8x-4x^2-1)(x^2+2x+1)=4(x^2+x+1), Giải Phương Trình 6 ẩn, Giải Phương Trình 7-(2x+4)=-(x+4), Giải Phương Trình 7+2x=22-3x, Giải Phương Trình 7x-3/x-1=2/3, Giải Phương Trình 7x+21=0, Giải Phương Trình 8, Giải Phương Trình 8.3^x+3.2^x=24.6^x, Giải Phương Trình 8(x+1/x)^2+4(x^2+1/x^2)^2-4(x^2+1/x^2)(x+1/x)^2=(x+4)^2, Giải Phương Trình 9x-7i 3(3x-7u), Đề Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Bài Giải Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Hai Một ẩn, C Giải Phương Trình Bậc 2, Hệ Phương Trình ôn Thi Đại Học Có Lời Giải, Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một ẩn, Phương Trình 1 ẩn Và Cách Giải, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn, Chuyên Đề Giải Hệ Phương Trình Lớp 9, Chuyên Đề Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Code C Giải Phương Trình Bậc 2, Bài 5 Giải Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Tích, Phương Trình Bậc Hai Một ẩn Và Cách Giải, Bài Giải Phương Trình Đạo Hàm Riêng, Bài Giải Phương Trình Logarit, Bài Tập Chuyên Đề Giải Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Giải Bài Tập Bài 5 Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Phương Trình Tiếp Tuyến, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Phương Trình Giải Thích Câu Tục Ngữ Nước Chảy Đá Mòn,

    Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian, Bài 1 Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Phương Trình Đường Thẳng Lớp 9, Phương Trình Đường Thẳng, Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Bài 1 Phương Trình Đường Thẳng, 2 Phương Trình Đường Thẳng Cắt Nhau Khi Nào, Phương Trình 2 Đường Thẳng Vuông Góc, Đề Kiểm Tra Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng, Chuyên Đề 1 Phương Trình Đường Thẳng, Bài Tập Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng, Bài Tập Chuyên Đề Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Đề Cương ôn Tập Phương Trình Đường Thẳng, 2 Phương Trình Đường Thẳng Vuông Góc, Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 2 Điểm, Từ Phương Trình Đường Thẳng Suy Ra Toạ Độ Điểm, Cách Viết Phương Trình Đường Thẳng, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Phương Trình Đường Thẳng, Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng, Công Thức Phương Trình Đường Thẳng, Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn, Trắc Nghiệm Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz Violet, 2 Phương Trình Đường Thẳng Song Song, Phương Trình 2 Đường Thẳng Song Song, Phương Trình 35x=53x Không Tương Đương Với Phương Trình Nào Dưới Đây, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Phương Trình 3x + 4 = 0 Tương Đương Với Phương Trình, Phương Trình 2x-4=0 Tương Đương Với Phương Trình Nào, Giải Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Thông Tư 77/2012 Quy Định Quy Trình Điều Tra Giải Quyết Tngt Đường Bộ Của Lực Lượng Csgt Đường Bộ, Em Hay Trinh Ba Phuong Phap Tim Thu Tu Dau Thang Va Dau Giang O Hoa Bieu, Phương Trình Mặt Cầu Đường Kính Ab, Phương Trình Đường Tròn, Phương Trình Đường Elip, 2 Phương Trình Tương Đương, Tìm R Của Phương Trình Đường Tròn, 2 Phương Trình Tương Đương Khi Nào, Phương Trình Tương Đương, Bài Tập Chuyên Đề Phương Trình Đường Tròn Lớp 10, Tìm R Trong Phương Trình Đường Tròn,

    --- Bài cũ hơn ---

  • 19 Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Trong Đề Thi Đại Học Có Lời Giải (Phần 2)
  • Giải Toán Lớp 11 Trang 29 Sgk Hình Học
  • Giải Bài 33,34,35, 36,37,38, 39,40,41, 42, 43 Trang 93,94, 95,96 Sgk Toán 9 Tập 1: Ôn Tập Chương
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài Tập Ôn Tập Chương 1
  • Giải Bài Tập Toán 11 Câu Hỏi Ôn Tập Chương 1: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Nhanh Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Chuyen De Pt Duong Thang Docx
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Nâng Cao Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng (Nâng Cao)
  • Viết Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
  • Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng
  • Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10

    Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng

    Tóm Tắt Lý Thuyết

    1. Phương trình tham số của đường thẳng

    1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

    1.2 Phương trình tham số của đường thẳng

    1.3 Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

    2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

    2.1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

    2.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

    3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 4. Góc giữa hai đường thẳng 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

    Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 1 Phương Trình Đường Thẳng

    Bài Tập 1 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

    Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

    a) d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương ()(vec{u} = (3;4))

    b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vec tơ pháp tuyến (vec{n}= (5; 1))

    Bài Tập 2 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

    Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

    a) ∆ đi qua điểm M (-5; -8) và có hệ số góc k = -3

    b) ∆ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5)

    Bài Tập 3 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

    Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2)

    a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA

    b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM

    Bài Tập 4 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và N(0; -1).

    Bài Tập 5 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

    Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

    a) (d_1: 4x – 10y + 1 = 0 ); (d_2 : x + y + 2 = 0)

    b) (d_1 :12x – 6y + 10 = 0 ); (d_2:left{begin{matrix} x= 5+t \ y= 3+2t end{matrix}right.)

    c) (d_1:8x + 10y – 12 = 0 ); ( d_2 : left{begin{matrix} x= -6+5t \ y= 6-4t end{matrix}right.)

    Bài Tập 6 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

    Cho đường thẳng d có phương trình tham số (begin{cases}x = 2 + 2t \ y = 3 + t end{cases})

    Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

    Bài Tập 7 Trang 81 SGK Hình Học Lớp 10

    Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng (d_1) và (d_2) lần lượt có phương trình:

    ()(d_1: 4x – 2y + 6 = 0) và (d_2: x – 3y + 1 = 0)

    Bài Tập 8 Trang 81 SGK Hình Học Lớp 10

    Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

    a) A(3; 5) ∆ : 4x + 3y + 1 = 0

    b) B(1; -2) d: 3x – 4y – 26 = 0

    c) C(1; 2) m: 3x + 4y – 11 = 0

    Bài Tập 9 Trang 81 SGK Hình Học Lớp 10

    Tìm bán kính của đường tròn tâm C(−2;−2) và tiếp xúc với đường thẳng

    Δ: 5x + 12y – 10 = 0.

    Lời kết: Các bạn vừa được xem sơ lược qua nội dung bài học bài 1 phương trình đường thẳng chương III hóa học lớp 10. Qua nội dung bài học này các em cần lưu ý một số nội dung chính sau đây:

    – Tìm hiểu về phương trình tham số của đường thẳng, vectơ chỉ phương và liên hệ giữa các vectơ chỉ phương.

    – Sau đó là tìm hiểu về vectơ pháp tuyến của đường thẳng và phương trình tổng quát của đường thẳng.

    – Sau cùng các em sẽ được tìm hiểu về vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

    Các bạn đang xem Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng tại Hình Học Lớp 10 môn Toán Học Lớp 10 của chúng tôi Hãy Nhấn Đăng Ký Nhận Tin Của Website Để Cập Nhật Những Thông Tin Về Học Tập Mới Nhất Nhé.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10
  • 19 Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Trong Đề Thi Đại Học Có Lời Giải (Phần 2)
  • Giải Toán Lớp 11 Trang 29 Sgk Hình Học
  • Giải Bài 33,34,35, 36,37,38, 39,40,41, 42, 43 Trang 93,94, 95,96 Sgk Toán 9 Tập 1: Ôn Tập Chương
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài Tập Ôn Tập Chương 1
  • Bài Tập Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Viết Phương Trình Tham Số, Phương Trình Chính Tắc Của Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao
  • Giải Bài Tập Trang 80, 81 Sgk Hình Học 10: Phương Trình Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Hình Học Lớp 10 Chương 3 Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Toán 12 Chương 3 Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
  • – PTTS của đường thẳng trong không gian

    – Các vị trí tương đốI của 2 đường thẳng trong không gian

    – Biết cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song trong không gian

    – Biét cách tìm số giao điểm giữa đường thẳng và mp trong không gian

    -Rèn luyện thành thạo việc viết PTTS của đường thẳng trong các trường hợp đơn giản như: đi qua 1 điểm và có véc tơ chi phương cho trước, đi qua 2 điểm cho trước , đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng hoặc vuông góc với mp cho trước

    – Biết cách lập PTTS c ủa đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng cho trước trên mp tọa độ

    – Rèn luyện thành thạo việc xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng, tìm số giao điểm của đường thẳng và mp

    – Tính được khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

    – Tìm được tọa độ của hình chiếu 1 điểm trên đường thẳng và mặt phẳng

    – Làm quen với việc giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ

    BÀI TẬP PTTS CỦA ĐƯỜNG THẲNG Ngày soạn: 3/8/08 ( chương trình chuẩn) Số tiết: 3 I/ Mục tiêu: Kiến thức: * Khắc sâu: PTTS của đường thẳng trong không gian Các vị trí tương đốI của 2 đường thẳng trong không gian Biết cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song trong không gian Biét cách tìm số giao điểm giữa đường thẳng và mp trong không gian Kỷ năng: -Rèn luyện thành thạo việc viết PTTS của đường thẳng trong các trường hợp đơn giản như: đi qua 1 điểm và có véc tơ chi phương cho trước, đi qua 2 điểm cho trước , đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng hoặc vuông góc với mp cho trước - Biết cách lập PTTS c ủa đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng cho trước trên mp tọa độ - Rèn luyện thành thạo việc xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng, tìm số giao điểm của đường thẳng và mp - Tính được khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng - Tìm được tọa độ của hình chiếu 1 điểm trên đường thẳng và mặt phẳng - Làm quen với việc giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ Về tư duy,thái độ: -Rèn luyện tư duy phân tích ,tổng hợp qua việc giải bài tập -Rèn luyện tính cẩn thận , chính xác có nhièu sáng tạo trong hình học Hứng thú học tập,tích cực phát huy tính độc lập trong học tập II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Giáo viên : - Giáo án , bảng phụ và một số hình vẽ -Hệ thống lý thuyết đã học 2. Học sinh: - Ôn tập lý thuyết đã học một cách có hệ thống Chuẩn bị trước các bài tập ở sách giáo khoa III/ Phương pháp : Kết hợp nhiều phương pháp .Trong đó chủ yếu là phương pháp gợi mở, nêu vấn đề và hoạt động nhóm IV/ Tiến hành bài giảng: Tiết 1: 1. Ổn định: 2. Bài cũ: (8phút) Câu hỏi : Em hãy nhắc lại định nghĩa PTTS của đường thẳng trong không gian . Áp dụng giải bài tập 1d ở sgk 3.Bài mới: Hoạt động 1: Giải bài tập về viết PTTS của đường thẳng T/gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 15 15 -.Chia bảng thành 2 phần ,ghi đề bài lên bảng và gọi 2 hs diện trung bình lên giải bài tập 1 câu b,c . Kết hợp kiểm tra vở giải bài tập ở nhà của một số học sinh trong lớp - Gọi lần lượt 2 học sinh đứng tại lớp nhận xét bài giải của bạn và bổ sung cho hoàn chỉnh - Giáo viên nhắc lại cách giải chung của cả 2 câu và chốt vấn đề : Để viết PTTS cùa đt ta cần phảI tìm VTCP và điểm thuộc đt đó - Cho hs nêu phương pháp giải bài tập 2a -Gv nhắc lại phương pháp giải và hướng dẫn hs thực hành giải bài tập này qua hệ thống câu hỏi gợi ý sau: 1? Trình bày cách dựng hình chiếu của vuông góc d/ của đt d trên mp ? 2? Nêu cách tìm VTCP của d/? 3? Gọi () là mp chứa d và vuông góc với (Oxy) thì vtpt của (có quan hệ như thế nào đối với VTCP của d và VTPT của(oxy)?Tìm tọa độ VTPT của () 4?GọI d/ là hình chiếu của d trên (0xy),em có nhận xét gì về VTCP của d/ và 2 vectơ .Suy ra tọa độ của nó 5?Viết pt tham số của đt đi qua điểm M(2,-3,1) của d và vuông góc (oxy)? 6?Tìm giao điểm N của và (oxy) 7? Điểm N có thuộc d/ không? Hãy viết PTTS của nó. - Lên bảng trình bày lời giải ( 2hs trình bày 2 câu ), số học sinh còn lại theo dõi bài giải của bạn và chuẩn bị nhận xét - Nhận xét và bổ sung bài giải của bạn - Lắng nghe và ghi nhớ phương pháp viết PTTS của đường thẳng -Nêu phương pháp giải bài tập 2 theo chỉ định của giáo viên -lắng nghe và trả lời các câu hỏi của giáo viên theo gợi ý sau - cách dụng theo hình vẽ -mp (song song hoặc chứa giá của 2 véc tơ suy ra (có VTPT -VTCP của d/ vuông góc vớI 2 vcctơ nên có tọa độ là =(-1,-2,0) - - N(2,3,0) PTTS d/ Bài 1:Viết PTTS của đt b/ Cho d: c/ Cho d: qua B(2,0,-3) và // Bài 2:a/cho d: Viết pt hình chiếu vuông góc của d trên mp(oxy) * Phương pháp: - Tìm VTPT của (chứa d và vuông góc với (oxy) -Tìm VTCP của h/c d/ -Viết pt đường thẳng đi qua điểm Mvà vuông góc với (oxy) -Tìm giao điểm N của và mp(oxy) - Viết pt đường thẳng d/ HĐ2: Giải bài tâp củng cố: 5 phút Treo bảng phụ số 1 trên bảng và cho học sinh làm việc theo nhóm sau đó cử đại diện trả lời -Mỗi nhóm chuẩn bị một câu trắc nghiệm sau đó đại diện đứng tại chỗ đọc kết quả Bảng phụ 1 3/ Dặn dò : -Hoàn chỉnh việc trình bày bài tập 2 vào vở Ôn tập lại lý thuyết về vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian Giải bài tập 3,4,5,9.sgk trang 90 Tiết 2 : Ổn định Bài cũ:(10 phút) HS1: Nêu điều kiện để 2 đường thẳng song song,trùng nhau. Áp dụng giải bài tập 3b HS2: Nêu đièu kiện để 2 đt cắt nhau, chéo nhau. Áp dụng giảI bài tập 3a Bài mới: HĐ1: Giải bài tập SGK T/ gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 10 phút 10 phút - Cho hs nêu phương pháp giải bài tập 4 - Gọi hs lên bảng trình bày lời giảI của bài 4 theo phương pháp đã trình bày -Gọi hs nhận xét bài giải của bạn trên bảng - Nhân xét đánh giá,cho điểm và chốt lại cách giải bài tập này.Chú ý cách trình bày bài giải cho học sinh -Cho hs nhắc lại cách c/m 2 đt chéo nhau trong không gian -Gọi học sinh lên bảng giải bài tập 9 -Gọi hs khác nhận xét và bổ sung * Cho học sinh nêu các phương pháp giải bài tập 5 -GV nhắc lại 2 pp thường vận dụng và tóm tắc pp 2trên bảng - Hướng dẫn hs giải bt 5b theo hệ thống câu hỏi gợi ý sau: 1? Tìm tọa độ điểm M và vtcp của đt d? 2?Tìm vtpt của mp 3? Tính tích vô hướng của 2 véc tơ ? 4?Kiểm tra điểm M có thuộc đt không?Kết luận về số gđ của 2 đường thẳng đó -Đứng tại chỗ nêu phương pháp giải -Lên bảng trình bày, số còn lại theo dõi bài của bạn để nhận xét và bổ sung - Đứng tại lớp nhận xét -Lắng nghe kết luận của giáo viên -Trả lời câu hỏi của GV -Lên bảng trình bày,số còn lại theo dõi để nhận xét - Đúng tại chỗ nhận xét theo chỉ định của GV Đúng tại chỗ nêu các pp giảI bài 5 -Ghi tóm tắc pp 2 vào vở và trả lời câu hỏi của GV theo gợi ý sau: . M(1,2,1) và vtcp(1,-1,2) .VTPT (1,3,1) . = 1 - 3 + 2 = 0 . M không thuộc mp suy ra đt và mp không có điểm chung Bài 4: Tìm a để 2đt sau cắt nhau và ĐS: a = 0 Bài 9: D,d/ C/m d và d/ chéo nhau Bài 5b: Tìm số giao điểm của đt d:và mp (: x +3y + z +1= 0 Phương pháp: . 1/ Dùng nhận xét ở SGK .2/ -tìm tọa độ điểm M và vtcp của đt .Tìm vtpt của mp -Nếu thì đt & mp có 1 gđ -Nếu thì đt & mp không có giao điểm HĐ2: Giải bài tập trắc nghiệm củng cố Treo bảng phụ số 2 trên bảng và cho học sinh làm việc theo nhóm sau đó cử đại diện trả lời -Mỗi nhóm chuẩn bị một câu trắc nghiệm sau đó đại diện đứng tại chỗ đọc kết quả Bảng phụ 2 Dặn dò : Tiết 3: ổn định: Bài mới: 15phút 15 phút 10 phút - Chia lớp thành 6 nhóm ,3nhóm giải bài 6, 3nhóm giải bt 7 - Gọi đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày lời giải -Gọi hs ở các nhóm còn lại nhận xét và bổ sung bài giải của bạn - Giáo viên nhắc lại cách giải từng bài cho cả lớp và bổ sung cho hoàn chỉnh * Cho học sinh nhắc lại cách dựng hình chiếu của một điểm trên mp -Cho học sinh nêu phương pháp giải câu a và hướng dẫn học sinh thực hiện qua hệ thống câu hỏi sau: 1? Đt d điqua M và vuông góc với mp có vtcp là vectơ nào ? Viết PTTS của đt d? 2? Hãy tìm tọa độ giao điểm Hcủa đt d và mp - Gọi hs nhắc lại cách dựng điểm đối xứng với M qua mp .Từ đó đề xuất pp tìm tọa độ của nó. - Gọi hs khác nhắc lại công thức tính k/c từ 1 điểm đến mp - Chia bảng thành 2 phần và gọi 2 hs lên trình bày bài giải 2 câu b và c -Gọi 2 hs khác nhận xét và bổ sung cho hoàn chỉnh *Treo hình vẽ sẵn ở bảng phụ lên bảng và hướng dẫn hs chọn hệ tọa độ cho thích hợp -Cho học sinh xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương đối với hệ tọa độ đã chọn -Cho học sinh viết PTTQ của mp(A/BD) từ đó suy ra k/c cần tìm -Làm việc theo nhóm sau đó cử đại diện lên trình bày lời giải trên bảng - Nhận xét và bổ sung bài giải của bạn -Lắng nghe, ghi nhớ và ghi chép vào vở - Đứng tại chổ trình bày cách dựng điểm H - Trình bày pp giải câu a - Trả lời câu hỏi của GV theo gơi ý sau: .vtcp của d là (1,1,1) .PTTS của d: .H( 2,0,-1) - Trả lời theo yêu cầu của GV -Lên bảng trình bày theo chỉ đinh của GV -Nhận xét ,bổ sung -lắng nghe và trả lời câu hỏi theo yêu cầu của GV Thực hiện độc lập và đọc kết quả theo chỉ định của GV Bài 6 trang 90 sgk Bài 7 trang 91 sgk Bài 8a HĐ2: Giải bài tập trắc nghiệm củng cố 5 phút Treo bảng phụ số 3 trên bảng và cho học sinh làm việc theo nhóm sau đó cử đại diện trả lời -Mỗi nhóm chuẩn bị một câu trắc nghiệm sau đó đại diện đứng tại chỗ đọc kết quả Bảng phụ 3 Dặn dò: Hệ thống lại toàn bbộ lý thuyết và các dang bài tập thường gặp về ptts của đt Giải các bài tập tương tự còn lại ở sgk và giải bai tập ở sách bài tập Ôn lại lý thuýêt của cả chương và giải bài tập 1,2,3,4 SGK trang 91,92 V/ PHỤ LỤC: 1.Bảng phụ 1 Câu1:Phương trình nào sau đây là ptts của đt đi qua 2 điểm A(2,3,-1) và B(1,2,4) A/ B/ C/ D/ Câu2: Phương trình tham số của đt đi qua điểm A(4,3,1) và song song với đường thẳng l à A/ / C/ D/ Câu3:Cho đt D: véctơ chỉ phương của D là vectơ có tọa độ là bộ nào sau đây? A/ (1,-2,3) B/ (2,3,3) C/(-2,-3,-1) D/ (-1,2,-3) Câu4: PTTS của đt đi qua điểm A(-2,1,0) và vuông góc với (): x+2y-2z +1= 0 là pt nào sau đây? A/ B/ C/ D/ Câu5: Cho đt d: Điểm nào sau đây thuộc đt? A/ M(-1,2,-3) B/ N(0,-2,5) C/ P(1,-6,5) D/ Q(1,2,3) Đáp án : 1a,2b,3c, 4b,5b 2. Bảng phụ 2: Câu 1:Hai đt sau ở vị trí tương đối nào? D:và D/ A/ cắt nhau B/ song song C/ Chéo nhau D/ trùng nhau Câu 2: Hai đt sau ở vị trí tương đối nào? D:và D/ A/ cắt nhau B/ song song C/ Chéo nhau D/ trùng nhau Câu 3: Đường thẳng và mp sau có mấy gđ? D và (:x + y +z - 4 = 0 A/ 1 B/ 0 C/ Vô số Đáp án : 1a,2b,3c Bảng phụ 3: Câu 1:Tọa độ hình chiếu vuông góc của M(1,-1,2) trên mp : 2x-y + 2z +12 = 0 là điểm nào sau đây? A/ (1,5,9) B/(10,-5,20) C/ (- D/( Câu2: Tọa độ hình chiếu vuông góc của A(4,-3,2) trên đt D: là điểm nào sau đây? A/ (_-1,0,1) B/(1,0,-1) C/(-1,2,1) D/ (1,2,-1) Câu3: Tọa độ của điểm đối xứng M(1,-1,2)qua đt D: là điểm nào sau đây? A/( B/(- C/( D/( Đáp án : 1c,2b,3c

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng
  • Viết Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng (Nâng Cao)
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Nâng Cao Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Cách Giải Nhanh Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Chuyen De Pt Duong Thang Docx
  • Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng
  • Viết Phương Trình Tham Số, Phương Trình Chính Tắc Của Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao
  • Giải Bài Tập Trang 80, 81 Sgk Hình Học 10: Phương Trình Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Hình Học Lớp 10 Chương 3 Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng
  • 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

    ĐỊNH NGHĨA

    Vectơ $overrightarrow u $ khác $overrightarrow 0 $, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $Delta $ được gọi là vectơ chỉ phương của $Delta $.

    2. Phương trình tham số của đường thẳng

    Điều kiện cần và đủ để M(x; y) thuộc $Delta $ là có số t sao cho

    $left{ begin{gathered}

    x = {x_0} + at \

    y = {y_0} + bt \

    end{gathered} right.,,,,,,,,,,,({a^2} + {b^2} ne 0)$ (1)

    Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Delta $, với tham số t.

    CHÚ Ý

    – Với mỗi giá trị của tham số t , ta tính được x và y từ hệ (1) , tức là có được điểm M(x ;y) nằm trên$Delta $. Ngược lại , nếu điểm M (x ;y) nằm trên $Delta $ thì có một số t sao cho x,y thoả mãn hệ (1).

    – Trong phương trình tham số $left{ begin{gathered}

    x = {x_0} + at \

    y = {y_0} + bt \

    end{gathered} right.,$của đường thẳng, nếu $a ne 0,b ne 0$thì bằng cách khử tham số t từ hai phương trình trên ta đi đến

    $frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b}$ (2)

    Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

    VÍ DỤ: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc( nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng trong môi trường hợp sau

    a) Đi qua điểm A(1;1) và song song với trục hoành;

    b) Đi qua điểm B(2;-1) và song song với trục tung

    c) Đi qua điểm C(2;1) và vuông góc với đưồng thẳng d : 5x – 7y +2 =0

    GIẢI

    a, Đường thẳng cần tính có vectơ chỉ phương $overrightarrow i = (1;0)$ và đi qua A nên có phương trình tham số$left{ begin{gathered}

    x = 1 + t \

    y = 1 \

    end{gathered} right.,$và phương trình tổng quát là y – 1 = 0

    Đường thẳng đó không có phương trình chính tắc

    b, Đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương $overrightarrow j = (0;1)$ nên không có phương trình chính tắc, do đó đường thẳng đó đi qua B nên có phương trình tham số là $left{ begin{gathered}

    x = 2 \

    y = – 1 + t \

    end{gathered} right.,$ và phương trình tổng quát là x – 2 = 0

    c, Vectơ pháp tuyến $overrightarrow n = (5; – 7)$ của d cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta $cần tìm (do$Delta bot d$) do đó phương trình tham số của $Delta $là $left{ begin{gathered}

    x = 2 + 5t \

    y = 1 – 7t \

    end{gathered} right.,$và phương trình chính tắc của $Delta $ là $frac{{x – 2}}{5} = frac{{y – 1}}{{ – 7}}$

    Từ phương trình chính tắc (hoặc tham số của $Delta $ ta suy ra được phương trình tổng quát của $Delta $là7x + 5y -19 = 0.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Viết Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng (Nâng Cao)
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Nâng Cao Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Cách Giải Nhanh Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Chuyen De Pt Duong Thang Docx
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng
  • 19 Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Trong Đề Thi Đại Học Có Lời Giải (Phần 2)

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng
  • Cách Giải Nhanh Bài Tập Viết Phương Trình Đường Thẳng Chuyen De Pt Duong Thang Docx
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Nâng Cao Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 1: Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng (Nâng Cao)
  • 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (phần 2)

    Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

    1. Phương pháp giải

    Cách 1:

    – Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d 1

    – Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d 2

    – Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

    Cách 2:

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1, d 2 và song song với d 3 biết

    Hướng dẫn giải:

    + Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d 1; d 2 và d 3 lần lượt là

    – Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 3

    Một điểm thuộc d 1 là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

    Phương trình mặt phẳng (P) là:

    1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

    – Mặt phẳng (Q) chứa d 2 và song song với d 3

    Một điểm thuộc d 2 là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

    – Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

    Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

    Đặt z = t, ta có:

    Vậy phương trình tham số của d là:

    Chọn A.

    Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

    Hướng dẫn giải:

    + Đường thẳng d 1 và d 2 có vecto chỉ phương là (1; 2; 3); (- 1; 3; 2)

    – Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với Ox

    Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là = (0; 3; -2)

    Một điểm thuộc d 1 là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

    Phương trình mặt phẳng (P) là:

    0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

    – Mặt phẳng (Q) chứa d 2 và song song với Ox

    Một điểm thuộc d 2 là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

    – Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

    Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

    Vậy phương trình tham số của d là:

    Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d 1: . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d 1; d 2 là:

    Hướng dẫn giải:

    Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm

    Gọi giao điểm của ∆ với d 1 và d 2 lần lượt là A và B.

    Do A thuộc d 1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

    Do B thuộc d 2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; – 1+ 3b)

    + Do đường thẳng d//∆ nên haii vecto AB → ; cùng phương

    Vậy phương trình của ∆ là

    Chọn D.

    Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1 và d 2; song song với đường thẳng MN.

    Hướng dẫn giải:

    + Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt là A và B.

    + Điểm A thuộc d 1 nên A( a; 3- 2a; 1- a)

    + Điểm B thuộc d 2 nên B( 1- b;2+ 2b; – 2) .

    + Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là ( -1; – 3; 2)

    Chọn B

    Dạng 12. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

    1. Phương pháp giải

    Cách 1:

    – Viết PT mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2

    – Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d 1 và vuông góc với (P)

    – Tìm giao điểm M = d 1 ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

    Cách 2:

    Vì d là đường vuông góc chung nên

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

    Hướng dẫn giải:

    – Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2 có = = ( -2; 24; 27)

    Một điểm thuộc d 1 cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    – 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0

    – Giao điểm M = d 2 ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:

    Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

    Chọn B.

    Ví dụ 2: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

    Hướng dẫn giải:

    Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

    Ta có :

    Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

    Vậy phương trình của d là:

    Chọn A.

    Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d 1; d 2 là.

    Hướng dẫn giải:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    + Do A thuộc d 1 nên A( 2+a; 1- a; 2-a)

    + Do B thuộc d 2 nên B( b; 3; – 2+ b)

    AB ( – a+ b – 2; a + 2; a+ b – 4)

    + Ta có:

    + Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương AB ( 1; 2; -1)

    Vậy phương trình của d là

    Chọn C.

    Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

    A. ( -3; 0; -1) B. ( 1; 0; 1) C. ( -1; 0; 2) D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải:

    + Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto AC → ( 2 ; 1 ;1) làm vecto chỉ phương nên có phương trình

    + Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto BD → ( 0 ; -2 ; -2) làm vecto chỉ phương nên có phương trình

    + M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)

    + N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)

    + Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

    Chọn A.

    Dạng 13. Viết phương trình của đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên mặt phẳng (P).

    1. Phương pháp giải

    1. Phương pháp giải

    – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P)

    – Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:

    Hướng dẫn giải:

    Một điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    1.(x – 1) + 0.(y – 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0

    – Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

    Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

    Chọn x = t

    Vậy phương trình của d là

    Chọn A.

    Ví dụ 2: : Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết

    Hướng dẫn giải:

    Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy)

    Vậy d’ có phương trình tham số là:

    Chọn C.

    Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

    Hướng dẫn giải:

    + Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

    Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0

    + Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).

    Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0

    Ta có hệ

    Vậy phương trình tham số của d’ là:

    Chọn B.

    Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?

    Hướng dẫn giải:

    + Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :

    1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).

    Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .

    Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.

    Chọn C.

    Dạng 14. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

    1. Phương pháp giải

    Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M o và có vectơ chỉ phương ) và đường thẳng d’ (đi qua M o‘ và có vectơ chỉ phương )

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’:

    A. Song song B. Trùng nhau C. Cắt nhau D. Chéo nhau

    Hướng dẫn giải:

    Ta có: [;]. MoM’o = -2. 2+ 7.4 – 4.6 = 0

    Vậy d và d’ cắt nhau..

    Chọn C.

    Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

    A. Cắt nhau B. Trùng nhau C. Chéo nhau D. Song song

    Hướng dẫn giải:

    Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

    Chọn D.

    Ví dụ 3: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

    A. a= 2 B. a= -3 C. a= -2 D. a= 4

    Hướng dẫn giải:

    Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là ( 1; a; -1) và (2; 4; -2)

    Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

    Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

    Chọn A.

    Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối của d và d’ biết và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

    A. Trùng nhau chúng tôi song C. Cắt nhau D. Chéo nhau

    Hướng dẫn giải:

    – Trước hết viết phương trình đường thẳng d’:

    Lây điểm M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

    Chọn z = 0 ta được 1 điểm M’ thuộc d’ là (27; 15; 0)

    Lại có: M’ ∈ d (2)

    Từ (1) và (2) suy ra, d ≡ d’

    Chọn A.

    Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d 1: . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d 1 cắt d 2?

    A. m= 0 B. m= 1 C. m= -2 D.Đáp án khác

    Hướng dẫn giải:

    ⇔ – 3.( -1) – 1( – 2) + 5( – m- 1) =0

    ⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

    Chọn A.

    Dạng 15.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

    1. Phương pháp giải

    Cho đường thẳng d đi qua M o(x o; y o; z o) và có vectơ chỉ phương (a; b;c) , cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0

    Gọi là vectơ pháp tuyến của (P). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có cách sau:

    Cách 1:

    trường hợp sau:

    Cách 2:

    Viết phương trình tham số của đường thẳng d:

    Thay x, y, z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):

    Ax + By + Cz + D = 0 ta được:

    Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:

    – (1) vô nghiệm ⇔ d song song với (P)

    – (1) có vô số nghiệm ⇔ d nằm trong (P)

    – (A; B; C) = k (a; b; c) ⇔ d vuông góc với (P)

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0

    A. Cắt nhau B. (P) chứa d C. Song song D. Vuông góc

    Hướng dẫn giải:

    Đường thẳng d đi qua M o(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương (2; 4; 1)

    Vậy d cắt (P).

    Chọn A.

    Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x+ 2z – 7 = 0?

    A. Cắt nhau B. Song song C. (P) chứa d D.Vuông góc

    Hướng dẫn giải:

    Chọn B.

    Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z – 4= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thuộc mặt phẳng (Oyz) .

    A. m = 2 B. m= -1 C.m= 1 D.m= 3

    Hướng dẫn giải:

    Ta có: d ∩ (P) = A( x; y; z) .

    Lại có; A thuộc ( P) nên: 0- 2y+ 3z- 4= 0

    y = 3/2z – 2 nên A(0;3/2z -2 ;z)

    + Do A ∈ d nên:

    Chọn A.

    Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ my – 3z + m- 2= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì d cắt (P)

    A. m ≠ 1/2. B. m= 1 C. m = 1/2 . D. m ≠ -1

    Hướng dẫn giải:

    ⇔ 2. 4+ m.(- 1) – 3.3 ≠ 0 ⇔ -m-1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

    Chọn D

    Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): m 2 x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0. Tìm m để d// (P)

    Hướng dẫn giải:

    Để d song song với (P) thì m 2 x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0.

    Chọn A.

    Dạng 16.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

    1. Phương pháp giải

    Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:

    d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau:

    Thay x= x o+ at; y= y o + bt; z= z o + ct vào phương trình mặt cầu

    d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên.

    * Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u → . Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho mặt cầu (S): x 2+ y 2 + z 2– 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng d: . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng

    A. 16 B. 12 C.14 D. 10

    Hướng dẫn giải:

    + Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2

    + Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2.

    Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB.

    Suy ra d( I; d)= IA.cos45 o = 2.√2/2 = √2

    Suy ra m= -2 hoặc m= – 6 và tích cần tìm là ( -2). ( – 6) = 12.

    Chọn B.

    Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu ( S): x 2+ y 2 + z 2 – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là

    A.0 B.1 C.2. D. 3

    Hướng dẫn giải:

    Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2.

    Chọn A.

    Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu ( S): (x-1) 2+ ( y+3) 2 + ( z- 2) 2= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:

    Hướng dẫn giải:

    Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

    Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

    Để ∆ không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có ∆’ < 0

    ⇔ 25+ 40m+ 16m 2 – 20m 2 – 100 < 0

    ⇔ – 4m 2 + 40m – 75 < 0

    Chọn A.

    Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x 2 +( y+1) 2 + (z- 1) 2 = 4 và đường thẳng d: . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

    C. m= 2 hoặc m = – 5 D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

    Hướng dẫn giải:

    Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

    Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:

    Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

    Chọn D.

    Dạng 17. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng. Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

    1. Phương pháp giải

    Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

    – Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

    Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

    – Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

    Hướng dẫn giải:

    + Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

    1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

    + Tìm H là giao điểm của d và (P)

    Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

    (t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 ⇔ 9t – 1= 0 ⇔ t = 1/9

    Vậy H là hình chiếu của A trên d và H(-17/9; 11/9; -11/9)

    Chọn A.

    Ví dụ 2: Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

    A. ( 2; 1; 0) B. ( – 2;0; 1) C.(-1; 0; 0) D. ( 0; 2; 1)

    Hướng dẫn giải:

    Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

    Suy ra phương trình của d là

    + Tìm H là giao điểm của d và (P)

    Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

    2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

    ⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

    ⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t = – 1 nên H ( – 1; 0; 0)

    Chọn C.

    Ví dụ 3: Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng d: .Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

    A. ( 1; 2; 1) B.( 5; – 3; 4) C. ( -2; 1;3) D. ( 1;1;3)

    Hướng dẫn giải:

    Phương trình tham số của d là:

    H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi MH → . = 0

    ⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

    ⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

    ⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

    Chọn B.

    Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

    A.( 1; 0; – 2) B. ( -2; 1; 1) C. ( 1; 2; 3) D. (- 1; 0; 6)

    Hướng dẫn giải:

    + Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

    -1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

    + Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

    + Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t). Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

    – ( – t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

    + Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

    Chọn D.

    Dạng 18.Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

    1. Phương pháp giải

    – Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:

    + Cách 2. Công thức (với u là vectơ chỉ phương của d và M o là một điểm thuộc d)

    – Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d ( là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M o) và d’ ( u’ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M’ o) ta làm như sau:

    + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’

    + Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M’ o đến mặt phẳng (P)

    + Hoặc dùng công thức:

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng

    A. 4√5/3 B. 5√5/2 C. 3√5 D.2√5

    Hướng dẫn giải:

    Vậy

    Chọn B.

    Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d: Tính khoảng cách giữa d và (P)

    Hướng dẫn giải:

    Ta có: . = 3.2 -2.1 – 1. 4 = 0 và M o ∉ (1; 7; 3) (P)

    Vậy d // (P)

    Chọn D.

    Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

    Hướng dẫn giải:

    Điểm M o (1; -1; 1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

    – 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0

    – d’ đi qua M’ o (2; -2; 3)

    Vậy

    Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

    Hướng dẫn giải:

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

    Chọn B.

    Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là √2 ?

    A. m= -1 hoặc m = -2/3 B. m= – 1 hoặc m = 1/7

    C. m = 1 hoặc m= – 1 D. m = 1 hoặc m = 1/7

    Hướng dẫn giải:

    + Theo đầu bài ta có: d( A; d) = √2

    Chọn B.

    Dạng 19. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    1. Phương pháp giải

    Góc Φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

    – Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u (a,b,c) và mặt phẳng (P) có VTPT (A; B;C)

    Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

    2. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

    Hướng dẫn giải:

    Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyến là (1; 2; -1) và (2; 0; 3)

    Cosin góc giữa d và d’ là:

    Suy ra, góc giữa d và d’ bằng 90 o.

    Chọn D.

    Ví dụ 2: Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết d: và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

    A. √14/42 B. √14/22 C. √7/42 D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải:

    Chọn A.

    Ví dụ 3: Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

    Hướng dẫn giải:

    Chọn C.

    Ví dụ 4: Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là √5/5

    A. m = 2 B. m = – 4 C. m = -1/2 D. m = 1/4

    Hướng dẫn giải:

    Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho là:

    Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là

    Chọn C.

    Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là 1/3√3 ?

    A. m= ±1 B.m= ±2 C. m= 0 D. m = ±3

    Hướng dẫn giải:

    Do đó, sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

    Theo giả thiết ta có:

    Chọn A.

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Toán Lớp 11 Trang 29 Sgk Hình Học
  • Giải Bài 33,34,35, 36,37,38, 39,40,41, 42, 43 Trang 93,94, 95,96 Sgk Toán 9 Tập 1: Ôn Tập Chương
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài Tập Ôn Tập Chương 1
  • Giải Bài Tập Toán 11 Câu Hỏi Ôn Tập Chương 1: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt
  • Giải Bài Tập Toán 12 Ôn Tập Chương 4: Số Phức
  • Giải Toán 10 Bài 1. Phương Trình Đường Thẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 1 : Số Phức
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 1: Số Phức (Nâng Cao)
  • Giải Bài Tập Toán 12 Chương 4 Bài 1: Số Phức
  • Số Phức Toán Lớp 12 Bài 1 Giải Bài Tập
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 1: Tứ Giác
  • §1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A. Phương trình tham sô' của đường thẳng X = x0 + y = y0 + u2t (t e R) Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận U (Ui; u2) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham sô' của đường thẳng A là: u9 . Nêu Ui * 0 thì k = - là hệ sô góc của A. U1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = (a; b) và vectơ chỉ phương là U = (-b; a). Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a, 0) và N(0; b) (với a * 0, b * 0) có phương trình là: - + Ị = 1 a b VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0 A,, A2 cắt nhau A-I H A2 a1 b1 = 0 ai bi * a2 b2 hoặc * a2 b2 b1 Cl *0 C1 ai b2 c2 c2 a2 *0 , , a. bi A2 cat nhau -A. -L Ai - A2 o Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì: „ . ai bi C1 A, // A2 -L = --L TÍ - ai bi C1 A( = A2 AA- = p- = -Al. a2 b2 c2 Góc giữa hai đưởng thẳng Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi (à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0° a là góc giữa A, và A2 thì cosa = i'f2 1 A2+B2 = COS (rvnJ Đặc biệt: ả) 1A2o A,A2 + B,B2 = 0 Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2 thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0; yo). Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d(M0,A). được tính bởi công thức: d(M0,A): Ti |ax0 +by0 + c| B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u = (3; 4); d đi qua điểm M(-2; 3) và vectơ pháp tuyến là n = (5; 1). (ỹiắé Ta có: M(2; 1) và U = (3; 4). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ , , , " - fx = 2 + 3t chỉ phương u là: < [y = l + 4t M(-2; 3); vectơ pháp tuyến n = (5; 1) thì d có vectơ chỉ phương U = (1; -5) , f X = -2 + t Phương trình tham sô của d là: < [y = 3-5t Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: A đi qua M(-5; -8) và có hệ sô' góc k = -3; b) A đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5). ỹiắi Phương trình đường thẳng A đi qua M(-5; -8) có hệ sô' góc k = -3 là: y - yM = k(x - XM) y + 8 = -3(x + 5) 3x + y + 23 = 0 A có vectơ chỉ phương AB = (-6; 4) Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: < [y = l + 4t Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0. 3. -6 4 Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA; Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM. Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: X~*A = y-yA -5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0 XB-XA yB-yA 3-1 -1"4 Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0 Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0. M là trung điểm của BC thì M Phương trình trung tuyến AM: ^x+y-5 = 0. XA-XM yA-yM 4_i 2 2 Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1). Áp dụng phương trình đoạn chắn. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M(4; 0) và N(0; -1) là 4 + " = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0. 4-1 7 J Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày: df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0; dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_ [y = 3 + 2t d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t ly = 6-4t 4 -10 Ta có - -- nên di và d2 cắt nhau. 11 Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0. _ , 12 -6 10 , .. , Ta có - = nên di // d2. 2-1-7 Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0. , 8 _ 10 _ -12 . , _ , Ta có - = = -- nên di = d2. IX 2 I 6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô' 4 5-6 y = 3 + t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5. ỹiẰi Ta có M(2 + 2t; 3 + t) e d và AM = 5 AM = 5 AM2 = 25 (2 + 2t)2 + (2 + t)2 = 25 5t2 + 12t - 17 = 0 " Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0. ỹiẦí Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0. Gọi tp là góc giữa di và d2 có: costp = 10 _ 72 1072 - 2 |aia2+bib2| _ |4 + 6| _ 10 - VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ Vậy: (p = 45°. A(3; 5), B(1;-2), C(1;2), Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0. Ta có A(3; 5) A: 4x + 3y + 1 = 0 Ta có C(l; 2) m: 3x + 4y - 11 = 0 d(C,m) , l" ựgl- nl ■ 0 . vậỵ c e m. 79 + 16 Tim bán kính của đường trồn tàm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng A: 5x+ 12y-10 = 0 ỹiải Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A. R g d(C, A) = 725 +144 13 „ 44 Vậy R = c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c. 'rựcứcttỹ (tẩn AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0 Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4; -5) và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0 AC: 5x + 2y - 1 = 0 Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, (2 ; 1), M2(5 ; 3), M3(3; -4). Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác. a) 2x + 3y + 1 =0 và 4x + 5y - 6 = 0; b) 4x - y + 2 = 0 và -8x + 2y + 1 =0; c) 3x - 2y + 1 =0 và -6x + 4y - 2 = 0. 5. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1; 3) và hai Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm. đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0. Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M(-1; 1) còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. dẳtí Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC. Cho hình vuông đỉnh A(-4; 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. dẩti Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0 Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°. Cho hai điểm P(2; 5) và Q(5; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3. ĩ)afitĩ: 7x + 24y - 134 = 0. Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A(3; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c. Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2 Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; 1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d(: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2. 4".' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập 2 Trang 30 Toán 12
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 10 (Đại Số) Chương 1: Tập Hợp
  • Giải Toán 10, Giải Bài Tập Toán 10 Hình Học, Đại Số
  • Giải Bài Tập Trang 8, 9 Sgk Toán Lớp 8 Tập 1: Nhân Đa Thức Với Đa Thức
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian (Nâng Cao)
  • Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz Và Bài Tập

    --- Bài mới hơn ---

  • 8 10 Bài Tập Phép Đồng Dạng File Word Có Lời Giải Chi Tiết
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng Có Đáp Án
  • Giải Sbt Bài 1. Quy Tắc Đếm
  • Giải Sbt Công Nghệ 7 Bài 33: Một Số Phương Pháp Chọn Lọc Và Quản Lý Giống Vật Nuôi
  • Sbt Chiến Lược Phát Triển Bền Vững Đến Từ Giá Trị Nội Lực (P2)
  • Để các bạn học sinh lớp 12 nắm rõ phần nội dung kiến thức này, trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tổng hợp lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, giải một số ví dụ và bài tập một cách chi tiếtdễ hiểu để các em tự tin khi gặp các dạng toán này.

    I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian

    1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

    2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

    3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

    – d cắt (P) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0

    4. Góc giữa 2 đường thẳng

    5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

    * Cách tính 1:

    – Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M1 và vuông góc với Δ.

    – Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).

    – d(M1,Δ) = M1H

    * Cách tính 2:

    7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

    * Cách tính 1:

    – Viết phương trình mặt phẳng chứa (Δ) và song song với (Δ1).

    – Tính khoảng cách từ M0M1 tới mặt phẳng (Q).

    – d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)

    * Cách tính 2:

    II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian

    Dạng 1: Viết PT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCP

    * Phương pháp:

    * Lời giải:

    Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

    * Phương pháp

    Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3);

    * Lời giải:

    Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng Δ

    * Phương pháp

    * Lời giải:

    Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).

    * Phương pháp

    Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0

    * Lời giải:

    Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).

    * Phương pháp:

    * Lời giải:

    Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp

    – mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0;

    * Phương pháp:

    + Cách giải 1:

    + Cách giải 2:

    – Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

    – Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

    + Cách giải 3:

    – Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

    Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.

    * Lời giải:

    – Cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = – 1 ⇒ A(2;-1;0)

    – Cho z = 1 ⇒ x = 4 và y = – 4 ⇒ B(4;-4;1)

    Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).

    * Phương pháp

    – Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P).

    – Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q)

    * Lời giải:

    – Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0

    ⇔ (m+3n)x – 2ny + (-2m+n)z – 3n = 0

    Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) – 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0

    ⇔ m + 3n + 4n – 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0

    Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x – 2y – 15z – 3 = 0

    – Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d’ là giao tuyến của P và Q, phương trình của d’ sẽ là:

    + Cách giải 1:

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.

    + Cách giải 2:

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)

    + Cách giải 3:

    – Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2

    – Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C

    – Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm

    * Lời giải:

    – Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)

    * Phương pháp

    – Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d và chứa d.

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

    Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1), (d2) có PT:

    * Lời giải:

    (y-6) + (z-10) = 0 ⇔ y + z – 16 = 0

    -2(y-2) – (z+4) = 0 ⇔ 2y + z = 0

    * Phương pháp

    + Cách giải 1:

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

    + Cách giải 2:

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)

    * Lời giải:

    – PT mp (P) ⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT: 2x – 5y + z + D = 0

    – PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 – 5.1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 2

    ⇒ PT mp (P): 2x – 5y + z + 2 = 0

    – Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)

    Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’

    * Phương pháp:

    + Cách giải 1:

    – Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).

    – Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

    + Cách giải 2:

    – Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α)

    – Bước 2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.

    * Lời giải:

    * Phương pháp:

    – Bước 1: Tìm giao điểm A = d∩(P); B = d∩(P)

    – Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .

    * Lời giải:

    – Gọi A = d∩(P); B = d∩(P) thì tọa độ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)

    – Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)

    – Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)

    Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).

    * Phương pháp

    – Bước 1: Tìm giao điểm I = d’∩(P).

    * Phương pháp

    + Cách giải 1:

    – Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).

    * Cách giải 2:

    – Bước 1: Gọi M(x+at; y+bt; z+ct) ∈ d; N(x+a’t’; y’+b’t’; z’+c’t’) ∈ d là chân các đường vuông góc chung của d và d.

    – Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.

    – Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

    * Lời giải:

    – Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 với A ∈ d1; B ∈ d2

    ⇒ A(1+2t;2+t;-3-3t) và B(2+t’;-3+2t’;1+3t’)

    * Phương pháp:

    – Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).

    * Lời giải:

    – Giả sử A,B lần lượt là giao điểm của Δ với d1 và d2 ta có: A(2s;1-s;-2+s), B(-1+2t;1+t;3)

    Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

    * Phương pháp:

    – Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.

    Xem Video bài học trên YouTube

    Giáo viên dạy thêm cấp 2 và 3, với kinh nghiệm dạy trực tuyến trên 5 năm ôn thi cho các bạn học sinh mất gốc, sở thích viết lách, dạy học

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Các Đề Thi (Có Lời Giải)
  • Phép Quay Và Phép Vị Tự Lớp 11
  • 20 Câu Trắc Nghiệm: Phép Vị Tự Có Đáp Án (Phần 1).
  • Mama 2022 Tại Nhật Và Bộ Sưu Tập Những Khoảnh Khắc “mặn Mà” Của Bts
  • Bts Và Sức Công Phá Không Tưởng Tại Mama 2022
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100