Top 12 # Các Bài Giải Phương Trình Lượng Giác Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 3/2023 # Top Trend

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình (1) Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = Khi đó ta có: Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Do nên Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó đặt = .Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Do nên Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho Ta có: Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải : Do nên ta có: Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt . Từ đó ta có Vậy phương trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận theo Bước1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1) Giải: Điều kiện (*) Ta có: (1) Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy nên ta có Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1: (1) Cách giải: Đặt , điều kiện Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm Dạng 2: (2) Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm Dạng 3: (3) Cách giải: Điều kiện Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: (4) Cách giải: Điều kiện Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Phương trình (1) Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2 Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình Bài 9: Giải phương trình 1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu < phương trình vô nghiệm -Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được Vì nên tồn tại góc sao cho Khi đó phương trình (1) có dạng Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với Đặt suy ra Khi đó phương trình (1) có dạng Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . . . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình -Với . Đặt ,lúc đó Phương trình (1) sẽ có dạng Hay Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta biến đổi phương trình (2) Ta có: Suy ra < Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi (3) Đặt Phương trình (3) sẽ được viết thành Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn (*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: Giải: (4) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình. (1) trong đó a, b, c, d b) Cách giải : Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không? Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình đã cho về phương trình Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát trong đó Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí. Vậy không là nghiệm của phươngtrình. +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải : Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình (2) +) Xét với . Khi đó phương trình có dạng mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận làm nghiệm +) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được : . Đặt phương trình có được đưa về dạng: Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3) Giải : Điều kiện Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng : Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được : (do vô nghiệm) nên: Phương trình (*) Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Đặt ta được : Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng trong đó (1) b) Cách giải: Cách 1: Do nên ta đặt . Điều kiện Suy ra và phương trình (1) được viết lại: Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt thì nên phương trình (1) trở thành . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng Với không thoả mãn điều kiện nên (*) Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng (*’) Ta thấy không thoả mãn Do đó (*’) Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình Cách giải: Phương trình (1) có thể viết *Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Ta có (2) Ta có (3) (4) (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: với (1) Cách giải: Ta có: Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Điều kiện (3) Giải (4) Giải (5): Đặt (*) Suy ra . Phương trình (5) trở thành Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại Với ta có Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải : Ta có: Phương trình (1) có dạng Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện: Phương trình (2) (loại) Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và . * Phương trình có dạng Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đại số Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x Ví dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình (1) Đặt , phương trình (2) trở thành hay Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Phương trình (2) (3) Đặt , phương trình (3) có dạng Với thì nên (4) Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)). Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài tập:Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG. Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp. Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. Ví Dụ: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện (*) Khi đó (1) Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ? Suy ra không thoả mãn (*) . Vậy phương trình (1) vô nghiệm . 1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Khi đó phương trình (1) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. sin cos Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 1.3.3- Phương pháp đại số. Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số. * Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện Khi đó (1) Gía trị này là nghiệm của (1) nếu Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập: 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình: 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 6: Giải phương trình:

Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.

Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$ b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$ c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$

a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt. Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$ $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$ b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$ Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$ c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$ Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$ Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$ $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos ^24x = 1 cos ^24x = – frac12left( loại right) endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl sin 2x = 0 cos 2x = 0left( loại right) endarray right.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$

2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích. $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$ b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng. $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$ c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$ $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl sin x = 0 2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0 endarray right.$ Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$ d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$ Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích. $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 4x = 0 cos 2x = – frac12 endarray right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$ b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$ $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$ $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$ c. Điều kiện: $cos x ne 0.$ $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$ Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$ d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$ b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 2 + kpi x = – fracpi 4 + kpi endarray right.left( k in Z right)$ c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$ d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$ $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$ Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$ Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$). Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$

4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức) Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$ b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$ c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$ d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$

a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = – fracpi 6 + k2pi x = fracpi 2 + k2pi endarray right.$ $left( k in Z right).$ b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào? Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau: Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 1 cos 2x = – frac12 endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải. c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$ $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$ d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 tan 2x = 1 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 4 + kfracpi 2 x = fracpi 8 + kfracpi 2 endarray right.$ $left( k in Z right).$

. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$ b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$ c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$ d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$

a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$ $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 cos 2x = frac12 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 4 + kfracpi 2 x = pm fracpi 6 + kpi endarray right.$ $left( k in Z right).$ b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl x ne fracpi 4 + k2pi x ne frac{3pi }4 + k2pi endarray right.$ $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$ $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$ $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$ c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$ d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$

Giải phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: – 1 ≤ m ≤ 1.

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Các trường hợp đặc biệt :

* Sinx=0 ⇔ x=kπ

* Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π

* Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π

* cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ

* cosx= 1 ⇔ x=k2π

* cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2sinx – √3=0.

B. 2sinx+ √3=0.

C. 2cosx- √3=0

D.2cosx+ √3=0.

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Với x=7π/3 , suy ra .

Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

A. x=kπ (k∈Z)

B. .

C. .

D. .

Lời giải.

Chọn D.

Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.

⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)

⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).

Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

A.

B.

C.

D.

Lời Giải.

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

A.

B.

C.

D.

Lời Giải.

Chọn A.

Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .

⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3

Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3

A. sinx= √2/2

B. sinx= √2/2

C. cotx= 1

D.cot2x = 1

Lời giải

Chọn C.

Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.

Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T= 6

B. T=3

C. T= – 3

D. T= – 6

Lời giải

Chọn D.

Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

– 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ – 3 ≤ m ≤ -1.

Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}

Suy ra: T= – 3+ ( -2)+ (-1)= – 6

Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

A. -π/12+kπ

B. π/12+kπ

C. -π/3+kπ

D. -π/4+kπ

Lời giải

Ta có: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)

⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ

Chọn D .

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)

B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)

C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2 hay cos⁡((x+ π)/4)= cos π/3

Chọn C

Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

A. x= α+k2π hoặc x= – α+k2π

B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π

C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ

D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Với sinα= 2/5

Lời giải

Vì – 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Chọn D

Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

A. 2+ kπ

B. arctan 2+ kπ

C.2+ k2π

D. arctan 2+ k 2π

Lời giải

Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)

Chọn B.

Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

A. π/3+ k4π

B. π/3+ k2π

C. π/3+ kπ

D. π/6+ kπ

Lời giải

Ta có: cot⁡(π/3+x)=cot (π+x)/2

⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z

⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ

⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

Chọn B.

Ví dụ 13. Giải phương trình cos(40 0+ x)= cos( 80 0 -x)

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 10 0) = 1/3

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos( x+10 0) = 1/3

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình cos(π/3-x)=0

A. – π/2+l2π

B. – π/3+l2π

C. π/6+l2π

D. – π/6+l2π

Câu 2: Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

A.

B.x=kπ .

C.

D.

Câu 3: Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A

D.

Câu 4:Cho phương trình sin(x-10 0) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. 1

B.2

C. 3

D .4

Câu 5: Giải phương trình sinx= -1/3

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn C.

Ta có: sinx=-1/3

D.

Câu 6: Giải phương trình cot x = 3

A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)

B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)

C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)

D. – arccot 3 + k. π ( k∈Z)

Câu 7: Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn B

Câu 8: Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 9:

Câu 10: Giải phương trình tanx=(- √3)/3

A. – π/6+kπ

B. π/6+kπ

C. – π/3+kπ

D. π/3+k2π

Câu 11: Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

A. 3π/8+kπ

B. 3π/8+kπ/2

C. 3π/4+kπ/2

D. 3π/4+kπ

Câu 12: Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

A. π/12+ kπ

B. π/6+ kπ/2

C. π/12- kπ/2

D. π/3+ kπ

Câu 13: Giải phương trình sinx = cosx

A. π/4+k2π

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Lời giải

Ta có: sinx = cosx

⇒ sinx= sin(π/2-x)

.

Chọn B.

Câu 14: Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Hiển thị lời giải

Lời giải

Chọn A.

Ta có: sin3x= cosx

.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Published on

chuyên đề phương trình lượng giác

2. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2      )cos()cos( 2 1 sinsin )cos()cos( 2 1 coscos )sin()sin( 2 1 cossin bababa bababa bababa    2. Công thức biến đổi tổng thành tích 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba baba ba         VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. sin(a b) 1) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 2) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 3)cot a cot b sin a sin b          sin(a b) 4)cot a cot b sin a sin b     5) 4 4 2 2 sin x cos x 1 2sin chúng tôi x   6) 6 6 2 2 sin x cos x 1 3sin chúng tôi x   B. Bài tập Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 4 4 cos sin cos2x x x . b) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 2 x x x . c) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x . d) sin cos 2tan2 sin sin x x cosx cosx x cosx x cosx x . e) 3 3 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . f) 5 5 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin5 sin3 sin4 tan4 5 cos3 s4 x x x x cos x x co x . b) 2 cos sin 1 sin2x x x . c) 2 1 sin2 sin cosx x x . d) cot tan 2cot2x x x . Bài 3. Cho 3 sin , 0; 5 2 x x . Tính giá trị của biểu thức cos cos2P x x . Bài 4. Cho ; 2 x và tan 1 4 x Tính giá trị của biểu thức cos sin 2 A x x .

3. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3 Bài 5. Cho tan 2x Tính giá trị của biểu thức sau: a) 2sin cos cos sin x x A x x . b) 2 2 2sin sin cos 3cos 2sin cos x x x B x x x . c) 3 2 3 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x C x x x . d) 2 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x D x x x . Bài 6. Cho 1 tan , 0; 2 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2sin 3cos 12 2 5sin 2cos 2 2 x x P x x . Bài 7. Cho 2 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2 cos 3 P x . Bài 8. Cho 1 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức sin2 cos2P x x . ………………………………………………………………………………………………………….. Phần 2. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình:  sinsin x x k2 ,k Z x k2               2. Phương trình:  coscos x x k2 , k Z x k2             3. Phương trình: tan x tan k ,k Z       4. Phương trình: cot x cot k ,k Z       B. Bài tập rèn luyện Bài 9. Giải các phương trình sau: a) 2 3 6 3sin         x b) sin(3x – 2) = 1,5 c) 1 5 2cos2         x d) cos(3x – 15o ) = cos150o e) tan(2x + 3) = 3 tan  f) cot(45o – x) = 3 3 g) sin3x – cos2x = 0 h) xx 3cos 3 2 sin         i) 0 4 3cos 6 5 3sin               xx j) )302cos( 2 cos o x x  k) cos2x = cosx l)              4 2sin 4 sin  xx m) 1 12 sin         x n) 2 1 6 12sin         x o) 2 3 2 6cos         x p) 1)5cos(  x q) 1)63tan(  x r)   36tan  x s) 3 1 2 4 tan        x  t) 312 6 5 cot        x  u) 3 3 5 7 12 cot        x 

4. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4 v)   2 2 312sin  x w)   xax 3sin2cos  x) xbx 5cos)3sin(  y)              xx 6 5 cot 4 tan  z)          xx 7 12 7 tan3cot   Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : a) 1 sin2 2 x với 0 x . c) 1 sin 2 2 x với 0 2x . b) 1 cot3 3 x với 0 2 x . d) 2cos 1 0 3 x với 2 x . Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2 2sin 1x c) sin 1 2cos 1 0x x b) 2cos2 3 2cos 1 0x x d) tan 1 tan 3 0x x e) cot 1 tan 3 0x x f) 2 cos5 2sin 1x x Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sin sin3 cos 0x x x c) sin3 .sin2 sin4 sinx x x x b) 2 sin5 sin 2cos 1x x x d) 4 4 2cos 1 2sinx x e) cos2 sin cosx x x f) 2 sin 2cos 2 1x x Bài 13. Giải các phương trình sau : a) 4sin cos cos2 1x x x c) sin3 .sin2 sin4 cos2 cos3x x x x x b) 2 sin5 cos sin cos5 2cos 1x x x x x d) 2 1 cos2 sin cosx x x e) 4cos2 sin cos sin8x x x x f) 4 4 5 sin cos 8 x x Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 3 4sin cos2 3sinx x x c) 3 sin2 3cos 4cosx x x b) 2sin2 cos sin3 1x x x d) 2sin3 sin 1 cos4x x x II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 a sin sin 0( )x b x c , đặt: t sin , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 2: 2 acos s 0( )x bco x c , đặt: t cos , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 3: 2 atan tan 0( )x b x c , đặt: t tanx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 4: 2 acot cot 0( )x b x c , đặt: t cotx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.  Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) 1cossin 22  xx 2) 2 2 2 2 cos2 sin cos2 2 1 cos2 1 2sin x cos x x x cos x x x 3) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 4 x x x 4) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x .

5. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5 5) 2 1 s2 cos 2 co x x 6) 2 1 s2 sin 2 co x x 7) 3 os3 4 os 3 osc x c x c x 8) 3 sin3 3sin 4sinx x x B. Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos2 3sin 2 0 (1)x x Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi 2 cos2 1 2sinx x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải 2 2 2 (3) 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0 2 2sin 1 2 , .1 6sin 2 5 2 6 x x x x x k x x k k Z x x k Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 cos4 12sin 1 0 (2)x x (CĐ Khối A,B,D – 2011) Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ bậc nâng cung của 2 1 2 sin 2 cos x x . Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x nên ta chọn công nhân đôi của 2 cos4 2 2 1x cos x . Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo cos2x. Giải 2 21 2 (2) 2 2 1 12. 1 0 2 3 2 2 0 2 cos x cos x cos x cos x Đặt cos2 , 1t x t . Pt trở thành: 2 1( ) 3 2 0 2( ) t n t t t l . Với 1t , ta có : cos2 1 , .x x k k Z Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 4 cos sin cos4 0 (3)x x x Phân tích:Ta thấy 4 4 cos sin os2x x c x , chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của 2 cos4 2cos 2 1x x . Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo chúng tôi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh. Giải 2 2 2 2 2 2 (3) sin sin 2 2 1 0 2 2 cos2 1 0cos x x cos x x cos x cos x x cos2 1 2 , .1 cos2 22 6 x x k k Z x x k

7. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7 Cách 1:    2 2 4 2 2 2 cos 1( ) 1 7 2 1 cos 1 2 2cos cos 1 0 1 cos cos 2                 x l x x x x x  2 2cos 1 0 cos2 0 , . 4 2          k x x x k Z   . So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là , 4 2     k x k Z . Cách 2:   2 2 2 2 2 4 2 2 2 sin 1 7 2 .cos tan 2 2tan . tan 2 tan tan 2 0 cos 1 tan            x x x x x x x x x 2 2 tan 1 tan 2( )….!    x x l . Ví dụ 8. Giải phương trình:  8 8 217 sin cos cos 2 8 16  x x x . Giải Ta có:   2 28 8 4 4 4 4 2 4 2 41 1 1 sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 8 8                x x x x x x x x x x . Pt (8)  2 4 2 4 21 16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2 2sin 2 sin 2 1 0 8               x x x x x   2 2 2 sin 2 1( ) 1 2sin 2 0 cos4 0 , .1 8 4sin 2 2                 x loai k x x x k Z x   Ví dụ 9. Giải phương trình:    8 8 10 10 5 sin cos 2 sin cos cos2 9 4    x x x x x . Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể:      8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4          x x x x x x x x x x Giải      8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4          x x x x x x x x x x          8 8 8 8 4 4 4 4 2 2 3 5 5 9 sin cos2 cos cos2 cos2 cos2 cos sin cos2 4 4 5 cos2 cos sin cos sin cos2 0 4 1 chúng tôi .cos2 1 sin 2 5cos2 0 2 1 cos2 . 4cos2 . 1 1 cos 2 5 0 2 cos2 0 2cos 2 2cos2 5                                       x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  . , k Z . 4 20( )       x k VN   Ví dụ 10. Giải phương trình:  2 cos2 cos sin 2 0 10   x x x .

8. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8 Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau: 2 2 2 cos2 1 2sin ;cos 1 sin   x x x x . Giải     2 2 2 sin 1 10 2sin 1 sin sin 2 0 3sin sin 4 0 4 sin ( ) 3 2 , . 2                        x x x x x x x loai x k k Z   C. Bài tập rèn luyện: Bài 15.Giải các phương trình sau: a) 2 cos 5cos 2 0  x x b) 2 2cos cos 1 0  x x c) 2 cot 4cot 3 0  x x d)  2 tan 1 3 tan 3 0   x x e) cos2 9cos 5 0  x x f) cos2 sin 3 0  x x Bài 16.Giải các phương trình sau: a) 032cos72sin3 2  xx b) 07sin5cos6 2  xx c) 03sin52cos  xx d) 01cos2cos  xx e) 1412cos3sin6 2  xx f) 7cos12sin4 24  xx g) 5cossin8 2  xx Bài 17.Giải các phương trình sau: a) 3 2 sin 3sin 2sin 0  x x x b) 2 2 3 sin 2 2cos 0 4   x x c) 5sin3 cos6 2 0  x x d) 2cos2 cos 1 x x e) 4 2 4sin 3 12cos 3 7 0  x x f) 2 5sin 3sin 2 0  x x Bài 18.Giải các phương trình sau: a)    3 tan cot 2. 2 sin  x x x . b) 1 1 2 cos sin 2 sin 4   x x x . c) 2 6 8 2cos 1 3cos 0 5 5    x x . d) 35 sin 5cos .sin 2 2  x x x . e) sin sin5 3 5  x x . f) sin5 1 5sin  x x . g) 5 7 sin 2 3cos 1 sin ; ;2 2 2 2                            x x x x . Bài 19.Giải các phương trình sau: a)   2 sin 2 3cos2 5 cos 2 6           x x x . b) 1 1 2sin3 2cos3 sin cos   x x x x . c)   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2      x x x x . d) 3 3 1 cos .cos .cos sin sin sin 2 2 2 2 2   x x x x x x . e) 2 cot tan sin 2 sin 2   x x x x . f)   2 sin2 . cot tan2 4cos x x x x . g) 3 tan tan 1 4          x x . h)   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x . i)    3 sin2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sin 3 3     x x x x x x .

9. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9 j) 2 2 1 1 4 sin 4 sin 7 sin sin                x x x x . k) 2 tan tan .tan3 2 x x x (ĐHQG Hà Nội 1996). l)    4 sin3 cos2 5 sin 1  x x x III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng cơ bản :a sin cos ( )x b x c . Cách giải 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 a b c .  Chia hai vế pt( ) cho 2 2 0a b ta được: 2 2 2 2 2 2 a sin cos b c x x a b a b a b .  Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: 2 2 2 2 a cos ;sin b a b a b .  Phương trình trở thành: 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin c c x x x a b a b . Tới đây là dạng cơ bản !!! Cách giải 2:  Kiểm tra xem cos 0 2 2 x x k có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một họ nghiệm này.  cos 0 2 2 x x k , đặt: 2 2 2 1 2 t tan cos ;sin 2 1 1 x t t x x t t . Khi đó phương trình ( ) trở thành : 2 2 0 tan …!b c t at c b t x x Mở rộng 1 :a sin cos sinyx b x c hoặc a sin cos cosyx b x c . Mở rộng 2 :a sin cos siny dcosx b x c y . Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: bababa abbaba sinsincoscos)cos()2 cossincossin)sin()1   B. Bài tập mẫu: Ví dụ 11. Giải phương trình:  3cos2 sin 2 2 11 x x . Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…! Giải   1 3 11 sin 2 3cos2 2 sin 2 cos2 1 sin 2 .cos sin cos2 1 2 2 3 3            x x x x x x    11 sin 2 1 2 , . 3 12             x x k k Z   

12. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12 Ví dụ 19. Giải phương trình:    tan 3cot 4 sin 3cos 19  x x x x . Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn luyện. Giải      2 2sin cos 19 3 4 sin 3cos sin 3cos 4sin cos sin 3cos cos sin         x x x x x x x x x x x x             sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 sin 3 cos 0 sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 0 sin 3 cos 0 sin 3 cos 2sin 2 0                      x x x x x x x x x x x x x x x x x    tan 3 , . 3         x x k k Z     1 3 sin 3cos 2sin 2 sin cos sin 2 2 2       x x x x x x   2 3 sin sin 2 , . 43 2 9                  x k x x k Z x k      So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là:   4 2 ; 2 , . 3 9      x k x k k Z     Ví dụ 20. Giải phương trình:  3 3 sin cos sin cos 20  x x x x . Giải    2 3 2 3 20 sin sin 1 cos cos 0 sin cos cos cos 0         x x x x x x x x       2 2 cos sin cos cos 1 0 cos 0 sin cos cos 1               x x x x x x x x    , . 2     x k k Z     1 1 cos2 sin 2 1 sin 2 cos2 3( ) 2 2           x x x x vn B. Bài tập rèn luyện: Bài 20.Giải các phương trình sau: a)  2sin 2cos 2x x b) sin2 3cos2 2 x x c)  sin4 3 cos4 2x x d) cos 3sin 1  x x e)   3 cos3 sin3 2 0x x f) cos2 2sin2 3 x x Bài 21.Giải các phương trình sau:

13. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13 a)   2sin2 cos2 3 cos4 2x x x b) 2 1 sin 2 sin 2  x x c)                  5 2 2cos 3cos 6 3 2 x x d) 2 2 cos 3sin2 1 sin  x x x e) 2 5sin2 6cos 13 x x f) 2sin3 sin2 3cos2 x x x g)  sin3 sin5 3 cos5 cos3  x x x x h) 3sin4 cos4 sin 3cos  x x x x i)  sin7 cos6 3 sin6 cos7  x x x x j) sin5 3cos5 2cos3 x x x Bài 22.Giải các phương trình sau: a)         4 4 1 sin cos 4 4 x x b) 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3  x x x x x c)    2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x d)   2cos 1 sin cos 1  x x x e)  2cos2 6 cos sin x x x f) 2 sin 3cos sin 3cos 1     x x x x g) 3 4sin 1 3sin 3cos3  x x x h) sin cos4 3cos5 2 sin4 cos  x x x x x i)  4sin2 3cos2 3 4sin 1  x x x j) 2 cos sin 2 3 2cos sin 1     x x x x Bài 23.Giải các phương trình sau: a)   1 tan 3 cos x x b) 3 3sin6 4cos 2 1 3cos2  x x x c)  3 3 5 cos cos3 sin sin3 8 x x x x d) 3 4sin 2 3cos2 5cos 3 0 2          x x x  e) 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  f) cos2 3sin2 3sin cos 4 0    x x x x g)     3 sin cos 2 1 sin2 sin cos 2     x x x x x IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:  2 2 asin sin cos cos 1  x b x x c x d Cách 1:Chia hai vế cho 2 cos x hoặc 2 sin x . Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm này. Bước 2: Xét 0cos x . Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho x2 cos ta được:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos 1 a cos tan tan 1 tan cos cos cos cos          x x x x d b c x a x b x c d x x x x x   2 tan tan 0     a d x b x c d . Dạng 2:  3 2 2 3 asin sin cos sin cos cos 0 2   x b x x c x x d x Dạng 3:  4 3 2 2 3 4 asin sin cos sin cos sin cos cos 0 3    x b x x c x x d x x e x Cách giải: Chia hai vế của (2) cho 3 cos x hoặc 3 sin x. Chia hai vế của (3) cho 4 cos x hoặc 4 sin x rồi làm như trên.

15. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15 2 4 2 2 tan 1tan 1 4 tan 4tan 3 0 , . tan 3tan 3 3                       x kxx x x k Z xx x k     Ví dụ 24. Giải phương trình:  sin2 2tan 3 24 x x . Giải Điều kiện :  cos 0 , 2       x x k k Z .      2 2 2 2 2 2sin cos 1 1 24 2tan . 3. 2tan 2tan 1 tan 3 1 tan cos cos cos         x x x x x x x x x x  3 2 2tan 3tan 4tan 3 0 tan 1 , . 4           x x x x x k k Z   Ví dụ 25. Giải phương trình:  3 sin sin2 sin3 6cos 25 x x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình (25) vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế của phương trình (25) cho 3 cos x được:   3 3 3 3 3 2sin sin cos 3sin 4sin cos 25 6 cos cos cos     x x x x x x x x x   2 3 2 2 3 2 2 3 sin sin 1 sin 2 3 . t 4 6 2tan 3tan 1 tan 4tan 6 0 cos cos cos cos           x x x x x x x x x x x  3 2 tan 2tan 2 tan 2tan 3tan 6 0 , . tan 3 3                 x arc kx x x x k Z x kx    Ví dụ 26. Giải phương trình:  sin3 cos3 2cos 0 26  x x x . Phân tích: Các Em nhớ lại 3 3 sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos   x x x x x x. Khi đó viết lại phương trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x ,nhưng nhớ phải xét cos 0x trước. Giải        3 3 3 3 26 3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0 3sin 4sin 4cos cos 0           x x x x x x x x x TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình   vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của phương trình   cho 3 cos x được:   3 3 2 3 3 2 3sin 1 sin cos cos 1 . 4 4 . 0 cos cos cos cos cos cos       x x x x x x x x x x    2 3 2 3tan 1 tan 4tan 4 1 tan 0      x x x x

16. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16  3 2 tan 1 4 tan tan 3tan 3 0 , . tan 3 3                      x kx x x x k Z x x k     Ví dụ 27. Giải phương trình:  3 2 sin cos 3sin xcos 0 27  x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình  27 vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình 27 nên ta chia hai vế của phương trình  27 cho 3 cos x được:     3 2 2 2 2 3 3 sin 1 cos sin xcos 27 . 3 0 tan tan 1 1 3tan 0 cos cos cos cos          x x x x x x x x x x    3 2 tan 1 4tan 3tan tan 1 0 , . tan 1 2 arctan 1 2                     x kx x x x k Z x x k    Ví dụ 28. Giải phương trình:      2 29 cos 3 2 3cos 4 1 sin 2 , ;2 28 2 3                     x x x x      . Giải    2 2 28 cos 2 3sin4 1 sin 2    x x x TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình   vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của phương trình   cho 2 cos 2x được:   2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 cos2 1 sin 2 2 3 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2      x x x x x x x x  2 tan 2 0 2 2tan 2 2 3 tan 2 0 , . tan 3 6 2                x kx x x k Z x x k    C. Bài tập rèn luyện Bài 24.Giải các phương trình sau: a)  2 2 sin 2cos 3sin cosx x x x b)   2 sin 3sin cos 1x x x c)    2 2 2sin 3cos cos2 5sin2 0x x x x d)   2 2 5sin 2 6sin4 2cos 2 0x x x e)   2 2 5sin 5sin2 4cos 0x x x f)    2 2 2sin 3 10sin6 cos 3 2x x x g)   4 4 sin cos 3sin cos 0x x x x Bài 25.Giải các phương trình sau:

17. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17 a)   1 3sin cos cos x x x b) 2 2 sin 3cos sin2 2  x x x c)   sin3 cos3 sin cosx x x x d)  3 sin3 2cosx x e)    2 sin tan 1 3sin cos sin 3   x x x x x f) 3 sin 4sin cos 0  x x x g)  2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin .cos  x x x x x x h) sin3 cos3 2cos 0  x x x i) 3 5sin 4 .cos 6sin 2cos 2cos2   x x x x x j) 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 tan 1 2      x x x x x V. Phương trình dạng đối xứng: A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:  a sin cos sin cos 0   x x b x x c Cách giải: Đặt   2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2          t t x x t t x x x x thay vào phương trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức. Dạng 2:  a sin cos sin cos 0   x x b x x c Cách giải: Đặt   2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2          t t x x t t x x x x . Dạng 3:    2 2 a tan cot tan cot 0    x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt   22 2 2 2 tan cot , 2 tan cot tan cot 2         t x x t t x x x x t . Dạng 4:    2 2 a tan cot tan cot 0    x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt   22 2 2 2 tan cot tan cot tan cot 2        t x x t x x x x t . Dạng 5:  4 4 a sin cos sin2 0   x x b x c Cách giải: Đặt 4 4 2 21 1 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 2 2        t x t x x x t . Dạng 6:  4 4 a sin cos cos2 0   x x b x c Cách giải: Đặt  4 4 2 2 21 1 1 1 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 2 2 2 2           t x t x x x x t . Dạng 7:  6 6 a sin cos sin2 0   x x b x c Cách giải: Đặt 6 6 2 23 3 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 4 4        t x t x x x t . Dạng 8:  6 6 a sin cos cos2 0   x x b x c Cách giải: Đặt  6 6 2 2 23 3 1 3 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 4 4 4 4           t x t x x x x t . Dạng 9: 4 4 asin cos cos2 0   x b x c x d

26. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 26 a)    3 2 cos cos 2sin 2 0x x x b)  2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin cos  x x x x x x c)   3 sin 4sin cos 0x x x d)     2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x e)   2sin cot 2sin2 1x x x f) 2 2 2sin 2sin tan 4         x x x  g)  2 cos sin1 tan cot 2 cot 1     x x x x x h) 3 8sin cos 6        x x  i)  2cos5 cos3 sin cos8x x x x j) 2 2sin sin2 sin cos 1 0    x x x x k) 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3   x x x x l)   2 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 2 cos 2 4          x x x x  Bài 32.Giải các phương trình sau: a)   tan3 2tan4 tan5 0x x x b)   2 sin 2 1 cos3 sin 2sin 2 0 4           x x x x  c)      2 1 sin cos 1 sin cosx x x x d)      3 sin cos sin2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x e)   3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x f) cos3 cos 1x x g) 2 2 sin sin cos 2cos 0  x x x x h) cos3 sin6 cos9 0  x x x i)   cos sin2 sin sin2 cotx x x x x j) 3 sin4 2sin sin 3cos cos2  x x x x x Bài 33. Giải các phương trình sau: a)                 4cos cos cos sin3 3 3 x x x x b) sin2 3cos 0 x x c)   2 sin2 2sin sin cosx x x x d)       2 sin tan 1 3sin cos sin 3x x x x x e)   cos cos2 sin 0x x x f) 4sin cos 2 sin2  x x x g)   cos2 1 2cos cos sin 0   x x x x h) 2sin2 6 cos 2sin 3 0   x x x i)    3sin2 2cos2 cos4 1 0x x x j)  sin2 2cos 5 cos2 4sin 5cos 3 0     x x x x x ……………………………………………………………………………………………………… Phần 3.Đề Thi Đại Học Cao Đẳng Qua Các Năm Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2         x x x x x Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3      x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a .

27. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 27 b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2          x x x x x x Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:  2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos    x x x x Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2    x x x x x Bài 41. (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos  x x Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình:    4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0     x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2      x x x x x Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2   x x x x Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2         x x x  Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình:  2 cos2 cos 2tan 1 2  x x x Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình:  3 tan tan 2sin 6cos 0   x x x x Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0   x x x Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình:   2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1           x x x  Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình:     2 cos cos 1 2 1 sin sin cos     x x x x x Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2   x x x x Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình:   2 5sin 2 3 1 sin tan  x x x Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình:   2cos 1 2sin cos sin2 sin   x x x x x Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình:  3 3 4 sin cos cos 3sin  x x x x Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1   x x Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos         x x x  Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình:  sin sin2 3 cos cos2  x x x x Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Bài 61. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0    x x x c x

28. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 28 Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2                  c x x x x   Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4          x x c x  Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình:  2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos         x x x  Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình:  6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin     x x x x x Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x    Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8   x x x x Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6          x x  Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình:    2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0   x x x Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1  x x x Bài 76. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0   x x x x Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình:    2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x     Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x         Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2    x x x x x Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình:  2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos   x x x x x Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2                x x x  Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin    x x x x x x

29. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 29 Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12        x x  Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình:   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x   Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình:  2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x    Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình:  2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 0 2 cos         x x x x  Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1         x x x  Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình:    1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình:  3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3     x x x x x x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình:    2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0    x x x x Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x           Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình:  sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x     Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x     Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x    Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x   Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình:  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x   

30. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 30 Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4         x x  Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0  x x x Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2  x x x Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:  2 sin 2cos 2 sin 2  x x x Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức   1 3cos2 2 3cos2  P x x ,biết 2 sin 3 x Hướng dẫn các đề thi đại học Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2         x x x x x Hd: Điều kiện: sin2 1 0 x               3 3 3 3 sin3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos 3 sin cos 4 sin cos sin cos 3 4 1 sin cos sin cos 1 2sin 2 cos sin 1 2sin 2                        x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 5cos 2cos2 3 3 3       pt x x x x   . Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x Hd :     1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12 2 2 2 2 cos12 cos10 cos8 cos6 0 sin9 sin 2 0 , . 9 2                     x x x x pt x x x x k k x x x x k Z   Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x Hd :  3 2 3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 4cos 8cos 0 k , . 2               pt x x x x x x x k Z   Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3      x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a . b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Hd : a) Với a=1/3, sin 2cos 3 0, .    x x x R 2sin cos 1 1 sin cos 0 k , . sin 2cos 3 3 4               x x pt x x x k Z x x   b)       2sin cos 1 2 sin 1 2 cos 3 1 sin 2cos 3              x x pt a a x a x a x x

31. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 31 pt   có nghiệm       2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2         a a a a Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2          x x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0 cos 0 2    x x . Chú ý: cos cos sin sin 12 2sin 1 tan tan sin sin tan 2 coscos cos 2           x x x x x x x x x x x xx Đs: k2 , . x k Z Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:  2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos    x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .        4 4 2 2 2 2 1 pt sin cos 2 sin 2 sin3 1 sin 2 2 sin 2 sin3 2 2 5 2 2 sin 2 1 2sin3 0 18 3 18 3                   x x x x x x x x x x k x k     Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2    x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 9 pt cos 2 5cos2 0 4 6        x x x k   Bài 41: (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos  x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0  x x . 2 2 2 3 5 pt 8sin cos 1 2sin 2 1 0 cos4 0 2 ; 2 ; 2 8 8 8              x x x x x k x k x k       Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình:    4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0     x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Hd : Đặt  sin 2 , 0; 0;1 2          t x x t  .  có nghiệm 2 0; 3 2 3 2           x t t m  có nghiệm  0;1t . Đs: 10 2 3    m . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2      x x x x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 tan 1     x x x .        2 cos cos sin cos sincos sin pt sin sin cos sin cos sin cos sin 1 cos sin sin 0 4                x x x x xx x x x x x x x x x x x x x k  

32. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 32 Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2   x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3        x x x k   . Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2         x x x  Hd : Điều kiện: cos 0x .    pt 1 sin 1 cos sin cos 0 2 4            x x x x x k x k     . Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình:  2 cos2 cos 2tan 1 2  x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .      2 2 2 1 pt 2cos cos 2 1 1 2 1 cos 2cos 5cos 2 0 cos 2 1 2 3                          x x x x x x x k x k    . Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình:  3 tan tan 2sin 6cos 0   x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 2 pt 8cos 4cos 2 1 0 3         x x x k   . Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0   x x x Hd :    2 4 pt 3 1 cos4 2cos 4cos 1 0    x x x  4 2 cos2 2cos 5cos 3 0 ; 4 2          k x x x x x k    . Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình:   2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1           x x x  Hd : Điều kiện: 2cos 1 0 x .  pt sin 3cos 0 2 1 3       x x x k   . Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình:     2 cos cos 1 2 1 sin sin cos     x x x x x Hd : Điều kiện: sin cos 0 x x .     2 pt 1 sin 1 cos 0 ; 2 2          x x x k x k     . Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2   x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3        x x x k   . Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình:   2 5sin 2 3 1 sin tan  x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .

33. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 33      2 sin pt 5sin 2 3 1 sin 1 sin 1 sin       x x x x x 2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình:   2cos 1 2sin cos sin2 sin   x x x x x Hd :   pt 2cos 1 sin cos 0 2 ; 3 4           x x x x k x k     2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình:  3 3 4 sin cos cos 3sin  x x x x Hd : +cos 0x không là nghiệm của phương trình. +cos 0x , Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x   2 pt tan 1 tan 3 0 ; 3 4          x x x k x k     Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1   x x Hd : Bình phương hai vế đưa về phương trình đối xứng sinx và cosx. Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos         x x x  Hd : Nhân tử chung sinx + cosx. Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Hd : Sử dụng công thức chúng tôi và cosa.cosb. Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Hd: 1 1 1 1 pt 2sin cos2 sin3 sin sin5 sin3 2 2 2 2     x x x x x x   1 2sin cos2 sin5 sin 0 2sin cos2 cos2 sin3 0 2       x x x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình:  sin sin2 3 cos cos2  x x x x Hd : Mở rộng 2 phương trình bậc nhất theo sin và cos Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Hd:     1 1 pt 1 cos6 cos2 1 cos2 0 cos6 cos2 1 0 2 2        x x x x x 2 2cos 2 cos2 3 0 2      x x x k  Bài 62. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0    x x x c x Hd:    2 pt sin cos 2cos 1 0 ; k 2 4 3           x x x x k x     Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2                  c x x x x   Hd: 2 2 1 3 pt 1 2sin cos sin 4 sin 2 0 2 2 2                x x x x  2 2sin 2 sin 2 2 0 4       x x x k  

34. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 34 Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4          x x c x  Hd:   5 17 5 pt cos 2 cos ; ; 6 18 18 6              x x x x x      Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Hd : +cos 0x là nghiệm của phương trình, ta có nhận nghiệm 2  x k   . +cos 0x , chia hai vế của phương trình cho 3 cos x pt tan 1 0 4      x x k   Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình:  2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 2 5 pt 2sin sin 1 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 pt tan 1 0 4       x x k   . Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos         x x x  Hd : Điều kiện: sin 0x . 5 pt 2sin 1 0 2 ; 2 6 6        x x k x k     . Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Hd:   pt 2sin 1 sin cos 1 0    x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình:  6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin     x x x x x Hd : Điều kiện: 2 sin 2 x . 2 pt 3sin 2 sin2 4 0   x x . Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 cos 0 2      x x x . cos sin 1 pt 4 sin 2 sin cos 2      x x x x x . Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x    Hd : Cơ bản

35. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 35 Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8   x x x x Hd : 2 pt cos4 2  x . Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6          x x  Hd :  pt sin 3cos sin 2 0   x x x . Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình:    2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0   x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .  2 pt cos2 tan 2 3 0  x x . Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1  x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 77. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0   x x x x Hd : Nhân tử chung sinx+1. Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình:    2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x     Hd : Nhân tử chung cosx + sinx. Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Hd :  cos4 sin7 sin 0 cos4 2sin3 1 0       pt x x x x x Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x         Hd : Bậc nhất theo sin và cos. Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2    x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x .  2 pt cos2 2cos cos 1 0   x x x . Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình:  2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos   x x x x x Hd : 2 2cos 3cos 0 6 6                 pt x x   Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2                x x x  Hd : 3 cos 2cos 2 0 2 4             x pt x  Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin    x x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . pt cos2 cos  x x . Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12        x x 

36. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 36 Hd : áp dung công thức chúng tôi Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình:   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x   Hd : Cách 1: chia 3 cos x . Cách 2: Nhân tử chung là cos2x. Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình:  2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x    Hd : Nhân tử chung là 2cosx+1. Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  Hd : Mở rộng 1 bậc nhất theo sin và cos. Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Hd : chia 3 cos x . Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình:  2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Hd : Đưa về phương trình bậc cao theo sin. Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Hd : 3 pt tan 1  x . Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1         x x x  Hd : Qui đồng và đặt nhân tử chung Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Hd : Nhân tử chung là 2sinx -1. Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình:    1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình:  3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Hd :  3 3 1 sin3 3sin 4sin sin 3sin sin3 4     x x x x x x . Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Hd : Sử dụng công thức chúng tôi Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3     x x x x x x Hd : Nhân tử chung là sin2x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình:    2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0    x x x x Hd : Nhân tử chung là 3-2cosx

37. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 37 Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x           Hd : Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình:  sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Hd:     2 2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0 1 cos2 2sin sin cos2 cos 2 0 2 cos2 sin cos 2 0                pt x x x x x x x x x x x x x x Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x     Hd : Nhân tử chung là 2sinx-1. Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x     Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x    Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      Hd : Nhân tử chung là sinx + 1. Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x   Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình:  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x    Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4         x x  Hd : Nhân tử chung là sinx+cosx. Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Hd : pt sin5 cos2  x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0  x x x Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2  x x x Hd : Nhân tử chung là 2cosx -1. Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:  2 sin 2cos 2 sin 2  x x x Hd : Nhân tử chung là sin 2x sinx+cosx. Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức   1 3cos2 2 3cos2  P x x ,biết 2 sin 3 x

38. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 38 ……………………………………………………………………………………………………… Phần 4.Đề Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia Bài 116. (Quảng Nam) Cho góc  thỏa mản 5sin2 6cos 0   và 0 2     . Tính giá trị của biểu thức:    cos sin 2015 cot 2016 2                 A . Bài 117. (THPT Khoái Châu) Giải phương trình: 2 2 sin sin cos 2cos 0  x x x x . Bài 118. (THPT Trần Hưng Đạo) Giải phương trình: 2cos5 cos3 sin cos8 x x x x . Bài 119. (Chuyên Vinh) Giải phương trình: cos sin2 sin sin2 cot  x x x x x . Bài 120. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 1) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 cos 2 4          x x x . Bài 121. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 2) Giải phương trình: 2 sin sin 2 2 sin 0 4           x x x . Bài 122. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 3) Giải phương trình: cos2 7cos 4 0  x x . Bài 123. (Lê Quý Đôn – Tây Ninh) Cho góc x thỏa mản tan 2x . Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 8cos 2sin cos 2cos sin     x x x P x x . Bài 124. (THPT Mạc Đỉnh Chi) Giải phương trình: sin2 cos sin 1  x x x . Bài 125. (THPT Nguyễn Huệ lần1) Giải phương trình: 2 sin2 2cos 3sin cos  x x x x. Bài 126. (THPT Nguyễn Huệ lần2) Giải phương trình: 4sin5 sin 2cos4 3 x x x . Bài 127. (THPT Nguyễn Hữu Huân) Giải phương trình: 2 2 cos 3cos 3sin 3sin 0   x x x x . Bài 128. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình:   sin2 sin cos 1 2sin cos 3 0     x x x x x . Bài 129.(THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình: sin2 2sin 2cos 2 0   x x x . Bài 130. (THPT Nguyễn Trãi) Giải phương trình: cos2 sin3 2cos2 sin 0  x x x x . Bài 131. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình:  2cos 1 sin 3cos 0  x x x . Bài 132. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 3 4 sin cos 1 x x . Bài 133. (TTLT Diệu Hiền lần1) Giải phương trình: sin2 3sin cos2 cos 1   x x x x . Bài 134. (TTLT Diệu Hiền lần2) Giải phương trình:  cos2 4sin 1 3sin2 1  x x x . Bài 135. (TTLT Diệu Hiền lần3) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0  x x x . Bài 136. (TTLT Diệu Hiền lần4) Giải phương trình: sin2 2sin 1 cos2  x x x. Bài 137. (TTLT Diệu Hiền lần5) Giải phương trình: 3sin2 cos2 2cos 1  x x x . Bài 138. (TTLT Diệu Hiền lần6) Giải phương trình:  2sin 2 3 2 3cos sin  x x x . Bài 139. (TTLT Diệu Hiền lần7) Giải phương trình: sin2 sin 2 4cos  x x x . Bài 140. (TTLT Diệu Hiền lần8) Cho 1 cos , ; 3 2          x x . Tính 1 2tan 1 tan    x P x . Bài 141. (TTLT Diệu Hiền lần9) Giải phương trình:   2 cos 2sin 1 cos 2 2sin   x x x x . Bài 143. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 1) Cho 3 2     x .Chứng minh đẳng thức:

39. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 39 1 cos 1 cos cot 2 41 cos 1 cos              x x x x x . Bài 144. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Giải phương trình:   3 tan 2 cot 1 sin 4 sin 2cos sin 3 2 2           x x x x x x . Bài 145. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Giải phương trình: 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3   x x x x . Bài 146. (THPT-Đặng Thúc Hứa- Nghệ An) Giải phương trình: cos2 sin 1 3sin2  x x x . Bài 147. (Toán học và Tuổi Trẻ) Giải phương trình:   2 tan cot 2 1 sin 4cos 4sin 5   x x x x x . Bài 148. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 2) Giải phương trình: 2 2 2 cos sin 2 sin sin cos 6 6                 x x x x x . Bài 149. (THPT Đông Sơn) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x . Bài 150. (THPT Gang Thép) Giải phương trình: cos sin sin2 cos2 1   x x x x . Bài 151. (THPT Gia Viễn) Giải phương trình:    cos 1 cos sin sin 1  x x x x . Bài 152. (THPT Hàn Thuyên lần1) Giải phương trình: 4sin 2sin 2 3cos cos2 2sin 2 3 3                     x x x x x . Bài 153. (THPT Hàn Thuyên lần2) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0  x x x . Bài 154. (THPT Hàn Thuyên lần3) Giải phương trình: 2 cos2 sin cos 0  x x x . Bài 155. (THPT Hùng Vương) Giải phương trình:   2 cos sin 3cos 1 2cos   x x x x . Bài 156. (THPT Chu Văn An) Giải phương trình: 21 sin sin 2 1 cos cos 2    x x x x. Bài 157. (THPT Cẩm Bình) Giải phương trình: 2 1 cos2 cot 2 1 sin    x x x . Bài 158. (THPT Thanh Chương-Nghệ An) Giải phương trình:  sin2 cos2 1 3 sin cos   x x x x . Bài 159. (Bình Dương) Giải phương trình: 2 sin 3cos 2 4cos  x x x . Bài 160. (Lâm Đồng) Giải phương trình: 2 sin cos 1 sin 2 2 2         x x x . Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí ắt làm nên! Chủ Tịch Hồ Chí Minh