Top 18 # Các Bài Toán Quỹ Tích Lớp 9 Có Lời Giải / 2023 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 12/2022 # Top Trend | Caffebenevietnam.com

Phương Pháp Giải Bài Toán Quỹ Tích Lớp 9 / 2023

Dạng toán Tìm quỹ tích các điểm là một dạng Toán khó trong chương trình Hình học lớp 9. Vì vậy các em cần biết phương pháp giải chung cho dạng toán này.

Trước tiên chúng ta sẽ nhắc lại lý thuyết quỹ tích trước khi đi vào ví dụ bài tập có lời giải.

1. Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất α (hay tập hợp của những điểm M có tính chất α ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất α. Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất α là một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình (H).

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α .

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình (H).

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích

2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán

Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:

a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.

b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v… Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.

c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v…

Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Trong bài toán này thì: Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy. Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB. Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi.

Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định…” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:

Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b.

Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C.

Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra như sau:

– Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn $ displaystyle frac{AC}{AB}$ là một số không đổi.

Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán.

2.2 Đoán nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa.

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích.

– Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng. – Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn.

Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. Đoán nhận quỹ tích – Khi M → B thì BM → O do vậy AN → O hay N → A.

Vậy A là một điểm của quỹ tích.

– Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N → I. Vậy I là một điểm của quỹ tích.

3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?

Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.

3.1 Chứng minh phần thuận

Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:

1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.

3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l.

4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r.

5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng α ( α không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB).

Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α’ bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất α’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy α’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; ” cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v…). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M(α) bằng việc xét mệnh đề M( α’) mà M(α) ⇒ M( α’)

3.2 Chứng minh phần đảo

Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α .

Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai nhóm tính chất T1 và T 2. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất T 1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T 2. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T 2 mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.

3. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểm

Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Giải:

1) Phần thuận Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên

Quỹ Tích Là Gì? Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Quỹ Tích / 2023

Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T.

Tập hợp các điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.

Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó.

Tập hợp các điểm cách đường thẳng (d) một khoảng bằng I là hai đường thẳng song song với (d) và sẽ cách đường thẳng (d) một khoảng chính bằng I.

Ta có tập hợp của các điểm cách điểm cố định O một khoảng bằng R chính là đường tròn tâm O, với bán kính R trong mặt phẳng và là mặt cầu O, R trong không gian ba chiều.

Tập hợp các điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc (widehat{AMB}) sẽ có số đo bằng (alpha) không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung tròn chứa góc (alpha) vẽ trên đoạn AB).

Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới hai điểm cố định cho trước (nằm trong mặt phẳng đó) chính là đường elíp nhận hai điểm cố định đó là tiêu điểm.

Tập hợp các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cố định sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường cố định đó.

Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tích

Trước hết bạn cần tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ xuất hiện 3 yếu tố sau đây:

Yếu tố cố định: Như các điểm, đoạn thẳng hay đường thẳng, ….

Yếu tố không đổi: Như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, ….

Yếu tố thay đổi: Thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa các điểm ta cần tìm quỹ tích.

Để hiểu rõ hơn về các yếu tố trên ta xét các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Cho một góc vuông (widehat{xOy}) cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB .

Trong bài toán này chúng ta cần xác định 3 yếu tố đã nêu trên:

Yếu tố cố định là đỉnh O của góc vuông (widehat{xOy})

Yếu tố không đổi là độ dài của đoạn thẳng AB

Yếu tố thay đổi là điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của đoạn thẳng AB cũng thay đổi.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

Yếu tố cố định là đỉnh A và đường thẳng (b)

Yếu tố thay đổi là đỉnh B và đỉnh C

Yếu tố không đổi chính là hình dạng của tam giác ABC (AB = AC)

Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần chú ý:

Đôi khi các yếu tố đặc trưng trên không được cho một cách trực tiếp nên ta cần phải hiểu được một cách linh hoạt và sáng tạo.

Ở ví dụ 2, đề bài yêu cầu là tam giác đồng dạng với chính nó, vì thế ta cần lập ra hoặc chứng minh các giả thiết để tam giác ABC luôn đồng dạng (AB = AC). Thông qua việc đó giúp ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn

Thao tác đoán nhận quỹ tích giúp chúng ta có thể hình dung ra được hình dạng của quỹ tích (đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn, ….).

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để có thể nhận được kết quả tốt và đơn giản nhất ta xét các điểm giới hạn của chúng, với điều kiện là vẽ hình chính xác.

Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì nhiều khả năng quỹ tích là đường tròn

Nếu ba điểm ta vẽ được thẳng hàng thì khả năng quỹ tích sẽ là đường thẳng.

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm

Cách giải bài toán quỹ tích

Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Thực chất của phần này là đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra với một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm).

Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Mục tiêu của việc chứng minh phần đảo là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp thì việc xét phần đảo sẽ là cách chứng minh chắc chắn nhất cho lập luận của mình).

Bước 1: Xác định các yếu tố đặc trưng (yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi)

Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ cho trước về 1 trong 5 dạng toán sau:

Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định và một điểm M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: (overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0) là đường tròn (C) có (left ( O;frac{AB}{2} right ))

Cách giải:

Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B cố định và một điểm M di chuyển có (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0). Khi đó quỹ tích điểm M sẽ là đường thẳng (left ( Delta right )) đi qua A và vuông góc với AB.

Một số bài tập tìm quỹ tích điểm

Ví dụ 1: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn (overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC}left ( kne0 right ))

Gọi (I) là trung điểm của AB. Ta có:

(overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})

(Rightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}+overrightarrow{CB}=koverrightarrow{BC}) (do (I) là trung điểm của AB)

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}-overrightarrow{CB})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}+overrightarrow{BC})

Cách giải:

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=left (k+1 right )overrightarrow{BC})

(Rightarrowoverrightarrow{MI}=left (frac{k+1}{2} right )overrightarrow{BC}) (tương ứng với dạng toán 1 đã nêu ở trên).

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta right )) đi qua (I) và song song với BC

Giả sử điểm (I) nằm giữa đoạn thẳng AB và thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})

(giống với dạng 3 đã nêu ở trên)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm (I) và bán kính = 1.

Giả sử điểm (I) thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})

Giả sử điểm (J) thỏa mãn (overrightarrow{JC}+4overrightarrow{JD}=overrightarrow{0})

(giống với dạng toán 2 đã nêu ở trên).

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta right )) là trung trực của (IJ)

Ví dụ 4: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M sao cho (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=AM^2)

Cách giải:

(overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}\Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}=0\Rightarrowoverrightarrow{AM}.left ( overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM} right )=0\Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\Rightarrow-overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0\Rightarrowoverrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0)

(giống dạng toán 4 đã nêu ở trên)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính là (frac{AB}{2}).

Gọi (I) là trung điểm của BC (Rightarrowoverrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=2overrightarrow{MI})

Gọi G là trọng tâm của (bigtriangleup ABCRightarrowoverrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0})

Ta thấy A cố định (giả thiết) và (I) là trung điểm của BC suy ra (I) cố định. (1)

G là trọng tâm của (bigtriangleup ABC) suy ra G cố định (2)

Từ (1) và (2) suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm G, bán kính là (2IA)

Ví dụ 6: Trên mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho (AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0)

(AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.left (overrightarrow{AM}+overrightarrow{MB} right )=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0)

Please follow and like us:

Phương Pháp Giải Một Bài Toán Quỹ Tích / 2023

Tìm quỹ tích các điểm là một dạng Toán khó trong chương trình Hình học 9. Tuy nhiên nếu có phương pháp giải rồi thì cũng không khó lắm đâu.

Trước tiên các em cần phải nhớ lại lý thuyết quỹ tích tại link này: http://timgiasuhanoi.com/bai-toan-quy-tich-cung-chua-goc/ Tuy nhiên chúng tôi cũng nhắc lại một chút:

1. Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất α (hay tập hợp của những điểm M có tính chất α ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất α. Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất α là một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình (H). Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α . Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình (H).

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích

2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán

2.2 Đoán nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích. – Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng. – Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn. Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. Đoán nhận quỹ tích – Khi M → B thì BM → O do vậy AN → O hay N → A. Vậy A là một điểm của quỹ tích. – Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N → I. Vậy I là một điểm của quỹ tích.

3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?

Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.

3.1 Chứng minh phần thuận

Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau: 1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy. 3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l. 4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r. 5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng α ( α không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB). Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α’ bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất α’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy α’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; ” cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v…). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M(α) bằng việc xét mệnh đề M( α’) mà M(α) ⇒ M( α’)

3.2 Chứng minh phần đảo

Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α . Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai nhóm tính chất T1 và T 2. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất T 1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T 2. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T 2 mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.

3. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểm

Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Giải: 1) Phần thuận Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên

Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích / 2023

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái nguyên – năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Chuyên ngành:phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 604640

LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS.Nguyễn Minh Hà Thái nguyên – năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Chuyên ngành:phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 604640

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Thái nguyên – năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại : Trường Đại học Khoa học – ĐHTN Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Minh Hà Phản biện 1: ……………………………………………………. Phản biện 2: ……………………………………………………. Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại : Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Vào hồi ……giờ … ngày …. tháng …. năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên và thư viện trường Đại học Khoa học.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC Trang

Lời nói đầu 01

Chương 1. Hai bài toán một bản chất 03 1.1. Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện 03 1.2. Phương trình và bài toán giải phương trình 05 1.2.1. Đẳng thức 05 1.2.2. Phương trình 05 1.2.3. Ba phương pháp giải phương trình 06 1.2.4. Phương trình hệ quả, phương trình tương đương 09 1.3. Quỹ tích và bài toán tìm quỹ tích 12 1.3.1. Cái nhìn tổng quan 12 1.3.2. Thuận-đảo, biến đổi hệ quả và thử lại 13 1.3.3. Thuận đảo đồng thời ,biến đổi tương đương 21 1.3.4. Đảo-phản đảo, đoán nhận và khẳng định 26

Chương 2. Dự đoán quỹ tích và giới hạn quỹ tích 32 2.1. Suy luận toán học và suy luận có lí 32 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ 32 2.1.2. Tính tương đối 32 2.1.3. Chú ý 33 2.2. Công đoạn dự đoán quỹ tích – sai lầm thường gặp 33 2.2.1. Thế nào là công đoạn dự đoán quỹ tích 33 2.2.2. Công đoạn dự đoán quỹ tích nằm ở đâu 33 2.2.3. Những phép suy luận có lí cơ bản 37 2.3. Công đoạn giới hạn quỹ tích – Sai lầm tràn lan 39 2.3.1. Thế nào là công đoạn giới hạn quỹ tích 39 2.3.2. Có hay không công đoạn giới hạn quỹ tích 39

Tài liệu tham khảo 53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Minh Hà.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy về công tác giảng dạy cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học và hoàn thành luận văn. Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và giảng dạy nhiệt tình của GS.TSKH.Hà Huy Khoái, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu, PGS.TS. Nông Quốc Chinh, PGS.TS.Lê Thị Thanh Nhàn, TS.Nguyễn Thị Thu Thuỷ, cùng nhiều thầy cô công tác tại các trường Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo Trường ĐH Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Yên Dũng số I, tỉnh Bắc Giang, đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học cao học. Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu thiếu sự thông cảm, chia sẻ và sự động viên kịp thời của gia đình. Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chân thành và sâu sắc.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Văn Chính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2 Dự đoán quỹ tích là công đoạn quan trọng trong quá trình giải bài toán tìm quỹ tích. Trong công đoạn dự đoán quỹ tích người làm toán không chỉ sử dụng các phép suy luận toán học mà còn có thể sử dụng các phép suy luận có lí. Do đó công đoạn dự đoán quỹ tích chỉ được thực hiện trên giấy nháp của người làm toán. Công đoạn giới hạn quỹ tích xét cho cùng chỉ là một bộ phận của phần thuận mà ở đó lẽ ra phải sử dụng các phép suy luận toán học thì không ít người làm toán lại sử dụng các phép suy luận có lí. Nói cách khác, không có công đoạn giới hạn quỹ tích. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3 CHƢƠNG 1 HAI BÀI TOÁN, MỘT BẢN CHẤT 1.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả chúng ta. Về hình thức, nó được phát biểu như sau. Tìm tất cả các đối tượng A( ).a

Kí hiệu A( )a biểu thị đối tượng A có tính chất .a

Cùng với kí hiệu A( ),a ta còn dùng kí hiệu A( )a để biểu thị đối tượng A không có tính chất .a

Các kí hiệu A( )a và A( )a có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này. Trong bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm được”. Nói một cách chính xác, tìm tập hợp { }A A( ) .a

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải, được mô hình hoá như sau. Phương pháp 1, biến đổi hệ quả và thử lại*. Bước 1, biến đổi hệ quả*. A( ) A .a Þ Î T

Bước 2, thử lại*. A A( ).Î Þ aT

Phương pháp 2, biến đổi tương đương*. A( ) A .a Û Î T

Chú ý: Về phương diện logic, phương pháp biến đổi tương đương cũng chính là phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phương pháp nào trong hai phương pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi người giải toán phải có kĩ năng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4 Phương pháp 3, đoán nhận và khẳng định*. Bước 1, đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng { }A( ) .ÐaT

Bước 2, khẳng định*. A A( ).Ï Þ aT

A A( ).Î Þ aT

Chú ý: Nếu sử dụng phương pháp đoán nhận và khẳng định thì ta phải có công đoạn đoán nhận tập hợp T trước khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh A A( ).Î Þ aT

Như vậy, phương pháp đoán nhận và khẳng định không tự nhiên bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Vì lí do trên, phương pháp đoán nhận và khẳng định ít được sử dụng hơn phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, về phương diện lôgic, song hành với các phương pháp 1, 3 còn có hai phương pháp giải khác, được mô hình hoá như sau. Phương pháp 1‟, bao gồm hai bước. Bước 1. TA A( ).Ï Þ a

Bước 2. TA( ) A .a Þ Ï

Phương pháp 3‟, bao gồm hai bước. Bước 1. A( ) A .a Þ Î T

Bước 2. TA( ) A .a Þ Ï

Tuy nhiên, trong thực tế giải toán, để giải các bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, người ta chỉ sử dụng các phương pháp 1, 2, 3, các phương pháp 1‟, 3‟ không bao giờ được sử dụng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2 2 3xx  

Lời giải. Bước 1, biến đổi hệ quả. Giả sử x0 là nghiệm của phương trình, ta có

002 2 3xx   là đẳng thức đúng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ví dụ 2, biến đổi tương đương. Giải phương trình sau.

2x 3 x 2- = –

x 3 2

x2

8 Kết luận. Phương trình có nghiệm 32

Ví dụ 3, đoán nhận và khẳng định. Giải phương trình sau.



f(x)



f(x0) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên 1( ; )2  (3). Từ (2) và (3) suy ra (1) có đúng hai nghiệm. Kết luận. Phương trình có hai nghiệm, x = 0 và x = 1. Nhận xét. Công đoạn chỉ ra tập hợp  1, 2 là tập hợp nghiệm không tự nhiên.

Ví dụ 4, đoạn nhận và khẳng định. Giải phương trình sinx sin2 sin3 4 2xx

Lời giải. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có sinx – sin2x – sin3x = (sinx – sin3x) – sin2x = 2cos2x.sin(- x) – sin2x 2 2 2 2(4sin 1)( os 2 sin 2 ) (4sin 1) 5 4 2.x c x x x      

Vậy phương trình vô nghiệm. Nhận xét. Vì phương trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bước đoán nhận mà chỉ có bước khẳng định. 1.2.4. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng Cách trình bày lời giải các ví dụ 1, ví dụ 2 trong mục 1.2.3 là cách trình bày chuẩn khi giải phương trình bằng các phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại, phương pháp biến đổi tương đương. Nhưng cách trình bày đó quá rườm rà.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

10 Để khắc phục tình trạng này, người ta đưa ra hai khái niệm: phương trình hệ quả, phương trình tương đương. Để cho đơn giản, ta chỉ giới thiệu khái niệm phương trình hệ quả, phương trình tương đương đối với phương trình một ẩn. Đối với phương trình nhiều ẩn, ta có định nghĩa tương tự. Định nghĩa 1. Nếu tập hợp nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nằm trong tập hợp nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x), kí hiệu f(x) = g(x)  f1(x) = g1(x). Định nghĩa 2. Hai phương trình f(x) = g(x) và f1(x) = g1(x) được gọi là tương đương nếu chúng có chung tập hợp nghiệm, kí hiệu f(x) = g(x)  f1(x) = g1(x). Đương nhiên f(x) = g(x)  f1(x) = g1(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)  f1(x) = g1(x) và f1(x) = g1(x)  f(x) = g(x). Nhờ hai khái niệm trên, lời giải của các ví dụ 1, ví dụ 2 trong mục 1.2.3 được trình bày một cách đơn giản hơn. Lời giải đơn giản cho ví dụ 1. Giải phương trình sau.

2 2 3xx  

Lời giải. Bước 1, biến đổi hệ quả. Ta có 2 2 3xx  Þ22x 4x 4 4x 12x 9- + = – +23x 8x 5 0Þ – + =Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11

Bước 2, thử lại. Vì 1 2 1 1 2.1 3- = ¹ – = – nên x1= không phải là nghiệm của phương trình. Vì 5 1 52 2. 33 3 3– = = – nên 5x3= là nghiệm của phương trình. Kết luận. Phương trình có nghiệm là 53. Nhận xét. + Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại chỉ được dùng dấu hệ quả (Þ). + Phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại thực sự ưu việt khi giải những phương trình vô nghiệm (không có nghiệm nên không có bước thử lại). Lời giải đơn giản cho ví dụ 2. Giải phương trình sau.

2x 3 x 2- = –

Lời giải. Ta thấy:

2x 3 x 2- = –

x 3 2Û = +

Kết luận. Phương trình có nghiệm 32

Nhận xét. Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương chỉ được dùng dấu tương đương (Û). 1.3. Quỹ tích và bài toán tìm quỹ tích 1.3.1. Cái nhìn tổng quan Quỹ tích của các điểm M( ) là hình (H) =  M( ) .

Tìm quỹ tích của những điểm M( ) là tìm hình (H) gồm những điểm M( ), cụ thể hơn, mô tả về mặt hình học hình (H) =  M( ) .

Theo định nghĩa trên bài toán tìm quỹ tích là một bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện. Do đó để giải bài toán tìm quỹ tích cũng chỉ có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại, biến đối tương đương, đoán nhận và khẳng định. Theo thói quen, với bài toán quỹ tích, thay cho các thuật ngữ biến đổi hệ quả và thử lại, biến đối tương đương, đoán nhận và khẳng định người ta dùng các thuật ngữ thuận-đảo, thuận đảo đồng thời, đảo-phản đảo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Về phương diện logic, phần thuận trong lời giải bài toán tìm quỹ tích và bước biến đổi hệ quả trong bài toán giải phương trình có cùng bản chất. Khi ta bắt đầu phần thuận với câu „„ giả sử M có tính chất  ‟‟ và kết thúc phần thuận với câu „„ vậy M thuộc hình (H) ‟‟ cũng giống như khi ta bắt đầu bước biến đổi hệ quả với câu „„ giả sử x0 là nghiệm của phương trình ‟‟ và kết thúc bước biến đổi hệ quả với câu „„ vậy x0 thuộc tập hợp  12a ,a , ‟‟. Tương tự, phần đảo của bài toán tìm quỹ tích và bước thử lại của bài toán giải phương trình có cùng bản chất logic. Tuy nhiên, cũng có những điểm khác biệt trong quá trình thực hành. Khi ta bắt đầu phần đảo với câu „„giả sử M thuộc hình (H) ‟‟ cũng là lúc ta tin chắc rằng kết thúc phần đảo sẽ là câu „„ vậy M có tính chất  ‟‟. Ngược lại, khi ta bắt đầu bước thử lại với câu „„ giả sử x0 thuộc tập hợp  12a ,a , ‟‟ ta không thể tin chắc rằng kết thúc bước thử lại sẽ là câu „„ vậy x0 là nghiệm của phương trình ‟‟. Nói cách khác, khi giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp thuận đảo,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

14 người giải toán phải thực hiện phần thuận hoàn chỉnh tới mức hình (H), tập hợp chứa các điểm M có tính chất , chính là tập hợp các điểm M có tính chất .

Từ đó, theo định lí Thasles, NP

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

15

(Hình 1)

Đảo. Giả sử I thuộc đoạn EF (h.1). Đặt P = AI ∩ BC. Lấy M, N thuộc AB, AC sao cho MP

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Thuận. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC (h.2). Dễ thấy G thuộc MA và 1MG MA3 

(Hình 2)

Dễ thấy 1333M M MA V ((O’)) V (V (O)) e((O)) (O)    và G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó G thoả mãn điều kiện đề bài. Kết luận. Quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC là đường tròn (O‟).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

17 Nhận xét. + Lời giải trên và lời giải ví dụ 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic. + Trong phần đảo, nhờ phép vị tự 1133MMVV dễ dàng chỉ ra điểm A thuộc (O) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong (O) và khác O. Các điểm B,C chạy trên (O) sao cho BAC 90 . Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn BC. Lời giải. Gọi R là bán kính của (O), gọi I là trung điểm của OA (h.3). Thuận. Giả sử M là trung điểm của BC. Vì BAC 90 nên MA = MB (1). Vì OMB 90 nên 2 2 2 2OM BM OB R (2).  

Vì A nằm trong O nên OA < R (3). Theo công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác, chú ý rằng với (1), (2) và (3), ta có

Do đó M thuộc đường tròn (I, 222R OA2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

18

(Hình 3)

Suy ra đường tròn (I, 222R OA2) nằm trong đường tròn (O). Do đó M nằm trong (O). Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM, cắt (O) tại B, C. Theo công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác, chú ý rằng 222R OAIM ,2

Suy ra AM = BM = CM.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vậy M thoả mãn điều kiện đề bài. Kết luận. Quỹ tích của M là đường tròn (I, 222R OA2). Nhận xét. + Lời giải trên và lời giải ví du 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic. + Nếu không có kết luận đường tròn (I, 222R OA2) nằm trong đường tròn (O) thì không thể chỉ ra sự tồn tại của các điểm B, C, lỗi này rất nhiều người mắc.

Ví dụ 4. Cho đường trong (O). Các điểm A, B, C thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn, tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC. Lời giải. Trước hết xin phát biểu không chứng minh một bổ đề quen thuộc. Bổ đề. Nếu O, H, G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC thì G thuộc đoạn OH và OH = 3OG. Trở lại giải ví dụ 4. Gọi R là bán kính của (O). Thuận. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC (h.4).