a) Phương trình chưa biến x là một mệnh dề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1).
– Điều kiện của phương trình là những điều kiện quy định của biến x sao cho các biể thức của (1) đều có nghĩa.
– x 0 thỏa điều kiện của phương trình và làm cho (1) nghiệm đúng thì x 0 là một nghiệm của phương trình.
– Giải một phương trình là tìm tập hợp S của tất cả các nghiệm của phương trình đó.
– S = Ø thì ta nói phương trình vô nghiệm.
b) Phương trình hệ quả
* Gọi S 1 là tập nghiệm của phương trình (1)
S 2 là tập nghiệp của phương trình (2)
– Phương trình (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi: S 1 = S 2
– Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi và chỉ khi S 1 ⊂ S 2
° a ≠ 0: S = {-b/a}
° a = 0 và b ≠ 0: S = Ø
° a = 0 và b = 0: S = R
b) Giải và biện luận: ax + by = c
° a ≠ 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; (c-ax)/b} hoặc S = {(c-by)/a; y tùy ý}
° a = 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; c/b}
° a ≠ 0 và b = 0: S = {c/a; y tùy ý}
° Quy tắc CRAME, tính định thức:
II. Các dạng bài tập toán về giải phương trình, hệ phương trình
° Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
– Vận dụng lý thuyết tập nghiệm cho ở trên
♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) m(x – 2) = 3x + 1
c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.
⇔ mx – 2m = 3x + 1
⇔ mx – 3x = 2m + 1
⇔ (m – 3)x = 2m + 1 (*)
+ Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = (2m+1)/(m-3).
+ Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3, PT (*) ⇔ 0x = 7. PT vô nghiệm.
– Kết luận:
m ≠ 3: S = {(2m+1)/(m-3)}
m = 3: S = Ø
⇔ m 2 x – 4x = 3m – 6
⇔ (m 2 – 4)x = 3m – 6 (*)
+ Nếu m 2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, PT (*) có nghiệm duy nhất:
Với m = 2: PT (*) ⇔ 0x = 0, PT có vô số nghiệm
Với m =-2: PT (*) ⇔ 0x = -12, PT vô nghiệm
– Kết luận:
m ≠ ±2: S = {3/(m+2)}
m =-2: S = Ø
m = 2: S = R
c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2
⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2
⇔ (2m + 1 – 3)x = 2m – 2
⇔ (2m – 2)x = 2m – 2 (*)
+ Nếu 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = 1
+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, PT (*) ⇔ 0.x = 0, PT có vô số nghiệm.
– Kết luận:
m ≠ 1: S = {1}
m = 1: S = R
Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: m 2(x-1) = 2(mx-2) (1)
◊ m = 0: (*) ⇔ 0x=-4 (PT vô nghiệm)
◊ m = 2: (*) ⇔ 0x=0 (PT có vô số nghiệm, ∀x ∈ R)
– Kết luận:
m ≠ 0 và m ≠ 2: S = {(m+2)/m}
m = 0: S = Ø
m = 2: S = R
◊ m = -4: (*) ⇔ 0x = 6 (PT vô nghiệm)
– Kết luận:
m ≠ -4 và m ≠ -1: S = {(2-m)/(m+4)}
m = -4 hoặc m = -1: S = Ø
– Vận dụng lý thuyết ở trên để giải
♦ Ví dụ 1 (bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
⇒ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi x 1,x 2 là nghiệm của (1) khi đó theo Vi-et ta có:
– Theo bài ra, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x 2 = 3x 1, nên kết hợp với (I) ta có:
+ TH1 : Với m = 3, PT (1) trở thành: 3x 2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 = 2/3 và x 2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ TH2 : m = 7, PT (1) trở thành 3x 2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x 1 = 4/3 và x 2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
– Kết luận: Để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì giá trị của m là: m = 3 hoặc m = 7.
– Ta có: (1) ⇔ 3x – m + x – 2 = 2x + 2m – 1
⇔ 2x = 3m + 1 ⇔ x = (3m + 1)/2
– Vận dụng tính chất:
♦ Ví dụ 1 (bài 6 trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình sau
– TXĐ: D = R.
+ Với x ≥ -3/2 bình phương 2 vế của (1) ta được:
⇔ (3x – 2 – 2x – 3)(3x – 2 + 2x + 3) = 0
⇔ (x – 5)(5x + 1) = 0
⇔ x = 5 hoặc x = -1/5. (cả 2 nghiệm đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2)
– Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt.
– Bình phương 2 vế ta được
⇔ (2x – 1 + 5x + 2)(2x – 1 – 5x – 2) = 0
⇔ (7x + 1)(-3x – 3) = 0
⇔ x = -1/7 hoặc x = -1
– Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt
– Điều kiện: x ≠ 3/2 và x ≠ -1. Quy đồng khử mẫu ta được
+ Với x ≥ -1, ta có:
(x – 1)(x + 1) = (2x – 3)(-3x + 1)
+ Với x < -1, ta có:
(x – 1)(-x – 1) = (2x – 3)(-3x + 1)
⇔ 5x 2 -11x + 4 = 0
– Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm.
+ Với x ≥ -5/2, ta có:
⇔ x = 1 (thỏa) hoặc x = -4 (loại)
+ Với x < -5/2, ta có:
-2x – 5 = x 2 + 5x + 1
⇔ x = -6 (thỏa) hoặc x = -1 (loại)
– Vật PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = -6.
– Kết luận:
m ≤ 4. PT (1) có 2 nghiệm: x = (m+2)/3 hoặc x = m – 2.
◊ Với PT: mx – 2 = 2x + m ⇔ (m – 2)x = m + 2 (2)
m ≠ 2: PT (*) có nghiệm x = (m+2)/(m-2)
m = 2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)
◊ Với PT: mx – 2 = -2x – m ⇔ (m + 2)x = 2 – m (3)
m ≠ – 2: PT (*) có nghiệm x = (2 – m)/(2 + m)
m = -2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)
– Ta thấy: m = 2 ⇒ x 2 = 0; m = -2 ⇒ x 1 = 0;
m = 2: (1) có nghiệm x = 0
m = -2: (1) có nghiệm x = 0
♥ Nhận xét: Đối vối giải PT không có tham số và bậc nhất, ta vận dụng tính chất 3 hoặc 5; Đối với PT có tham số ta nên vận dụng tính chất 1, 2 hoặc 4.
– Ngoài PP cộng đại số hay PP thế có thể Dùng phương pháp CRAME (đặc biệt phù hợp cho giải biện luận hệ PT)
♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 68 SGK Đại số 10): Giải hệ PT
– Bài này chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ vận dụng phương pháp định thức (CRAME).
– Ta có:
– Ta có:
– Ta có:
Với m = 1: từ (*) ta thấy hệ có vô số nghiệm.
Với m = -4: từ (*) ta thấy Hệ vô nghiệm.