I. Lý thuyết về phương trình đường tròn
1. Phương trình đường tròn:
– Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
– Cho điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0II. Các dạng bài tập phương trình đường tròn.
* Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình đường tròn
* Phương pháp:
+) Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = P (*)
– Nếu P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT đường tròn.
+) Cách 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (**)
° Đặt P = a2 + b2 – c
– Nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT đường tròn.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính nếu có.
a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0
b) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0
c) 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0
d) 5×2 + 4y2 + x – 4y + 1 = 0
* Lời giải:
a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0,
– Ta có a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 – c = (-1)2 + (2)2 – 9 = -4 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.
b) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0,
– Tương tự có: a2 + b2 – c = (3)2 + (-2)2 – 13 = 0 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.
c) 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0
d) 5×2 + 4y2 + x – 4y + 1 = 0, phương trình này không phải pt đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 – 2mx – 4(m-2)y + 6 – m = 0
a) Tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn.
b) Khi (Cm) là pt đường tròn tìm toạ độ tâm và bán kính theo m.
* Lời giải:
b) Với điều kiện trên thì (Cm) có tâm I[m;(2m – 4)] và bán kính
Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)
a) CMR (Cα) là đường tròn
b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất
c) Tìm quỹ tính tâm I của (Cα)
* Lời giải:
– Lưu ý: Nếu α = kπ đường tròn là 1 điểm.
b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:
– Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)
⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).
c) Đường tròn Cα có toạ độ tâm I(cosα; sinα) tức là: khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích tâm I của Cα.
* Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm
* Phương pháp:
° Cách 1:
– Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
– Tìm bán kính R của (C)
– Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
° Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
– Từ điều kiện bài toán cho thiết lập hệ pt 3 ẩn a, b, c
– Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).
* Lưu ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 và thường được vận dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).
Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)
b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).
c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)
* Lời giải:
a) (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):
– Ta có R = OI, mà
⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính có pt:
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 10
b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).
– Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:
– Bán kính
⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính có pt:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 5
c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)
– Goi (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
– Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:
– Giải hệ trên ta được
⇒ Đường tròn (C) là:
* Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
* Phương pháp: Dựa vào tính chất tiếp tuyến
– Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì: d[I,Δ] = R
– Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d[I,Δ] = IA = R
– Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d[I,Δ1] = d[I,Δ2] = R
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox
b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y – 8 = 0
c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy
* Lời giải:
a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox
– Ox có phương trình: y = 0
– Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox ta có:
⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x – 2)2 + (y – 5)2 = 25
b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y – 8 = 0
– Ta có:
⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y – 2)2 = 5
c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy
– Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư này, nên toạ độ tâm I=(R;-R).
– Ta có:
⇔ R2 = R2 – 4R + 4 + R2 – 2R + 1
⇔ R2 – 6R + 5 = 0
⇔ R = 1 hoặc R = 5
⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:
(C1): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1
(C2): (x – 5)2 + (y + 5)2 = 25
Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y – 3 = 0 và (d2): x + 3y – 5 = 0. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=√10 có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2.
* Lời giải:
– Tâm I ∈ d1 nên I(-2a+3;a) do (C) tiếp xúc với d2 nên ta có:
⇒ I1(19;-8) và I2(-21;12)
⇒ Có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện là:
(C1): (x – 19)2 + (y + 8)2 = 10
(C2): (x + 21)2 + (y – 12)2 = 10
Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y – 8 = 0 và (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên (d): x – 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.
* Lời giải:
– Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) do (C) tiếp xúc với (d1) và (d2) nên ta có:
⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện.
– Với a = -12 thì I(-25;-12), Phương trình đường tròn (C1):
– Với thì , Phương trình đường tròn (C2):
* Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
* Phương pháp:
° Cách 1:
– Tính diện tích S và nửa chu vi P của tam giác để tính được bán kính đường tròn
– Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác bằng nhau và bằng r, từ đó lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.
– Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b và phương trình đường tròn.
° Cách 2:
– Viết phương trình đường phân giác trong của 2 góc trong tam giác.
– Tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn
– Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được bán kính.
Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
* Lời giải:
a) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiêp là: I=(2;3/2).
⇒ Bán kính: R = IA = 5/2
⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
b) Ta sẽ tính diện tích và nửa chu vi của OAB
– Ta có
– Nửa chu vi:
⇒
– Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ nên tâm Ir=(r;r)=(1;1)
⇒ Pt đường tròn là: (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi 3 đường thẳng:
(d1): 4x – 3y – 65 = 0
(d2): 7x – 24y + 55 = 0
(d3): 3x + 4y – 5 = 0
* Lời giải:
– Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x – 3y – 65 = 0
BC: 7x – 24y + 55 = 0
CA: 3x + 4y – 5 = 0
– Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)
– Ta có VTPT: ,
– Dễ thấy tam giác vuông tại A do
– Tính độ dài các cạnh ta có: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15
– Diện tích tam giác ABC: SABC = 150
– Nửa chu vi là:
– Bán kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.
– Gọi bán kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng đã cho đều là r=5 nên ta có.
– Giải hệ trên ta được: a = 10 và b = 0;
⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 10)2 + y2 = 25
Xem Video bài học trên YouTube
Giáo viên dạy thêm cấp 2 và 3, với kinh nghiệm dạy trực tuyến trên 5 năm ôn thi cho các bạn học sinh mất gốc, sở thích viết lách, dạy học