Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 9: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 35 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ vi-ét:
a. 5x 2 + 2x -16 =0 b.3x 2 -2x -5 =0
Lời giải:
Phương trình 5x 2 + 2x -16 =0 có hệ số a=5 ,b=2 c=-16
Δ’ = 81 =9
Phương trình 3x 2 -2x -5 =0 có hệ số a =3,b = -2, c = -5
Δ’ = 16 =4
Δ’ = 25 =5
Δ’ = 5
Bài 36 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình
a.2x 2 – 7x +2 =0 b.5x 2 +2x -16 =0
c. (2 – √3 )x 2+4x +2 +√2 =0 d.1,4x 2 -3x +1,2 =0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
b) c = -16 suy ra ac < 0
Phương trình có 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
c) Ta có: Δ’ = 2 2 – (2 -√3 )(2 + √2 ) =4 -4 – 2√2 +2√3 +√6
Phương trình 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Phương trình có 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có: Δ = 1 2 -4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0
Bài 37 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
c.1975x 2 + 4x -1979 =0 d.(5 +√2 )x 2 + (5 – √2 )x -10 =0
Lời giải:
a) Phương trình 7x 2 -9x +2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2
Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x 1 = 1, x 2 = c/a = 2/7
b) Phương trình 23x 2 – 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32
Ta có: a -b +c =23 – (-9) +(-32) =0
Suy ra nghiệm của phương trình là x 1= -1, x 2 = -c/a = -(-32)/23 = 32/23
c. Phương trình 1975x 2 + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979
Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x 1 = 1, x 2 = c/a = -1979/1975
d) Phương trình (5 +√2 )x 2 + (5 – √2 )x -10 = 0 có hệ số
a =5 +√2 , b = 5 – √2 , c = -10
Ta có: a +b +c =5 +√2 +5 – √2 +(-10)=0
Suy ra nghiệm của phương trình là x 1 = 1 , x 2 = ca = (-10)/(5+ √2)
Ta có: a -b +c =2 – (-9) +(-11) =0
Suy ra nghiệm của phương trình là x 1=-1 , x 2 = -c/a = -(-11)/2 =11/2
f. Phương trình 31,1x 2 – 50,9x + 19,8 = 0 ⇔ 311x 2 – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198
Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x 1 = 1 , x 2 = c/a = 198/311
Bài 38 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 39 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
a. Chứng tỏ rằng phương trình 3x 2 +2x -21 =0 có một nghiệm là -3.Hãy tìm nghiệm kia
b. Chứng tỏ rằng phương trình -4x 2 -3x +115=0 có một nghiệm là 5.Hãy tìm nghiệm kia
Lời giải:
a. Thay x =-3 vào vế trái của phương trình , ta có:
3.(-3) 2+2(-3) -21 =27 – 6 -21 =0
Vậy =-3 là nghiệm của phương trình 3x 2 +2x -21 =0
Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3
b. Thay x =5 vào vế trái của phương trình ,ta có:
-4.5 2 -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0
Vậy x=5 là nghiệm của phương trình -4x 2 -3x +115=0
Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4
Bài 40 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a. Phương trình x 2 +mx -35 =0 có nghiệm x 1 =7
b. Phương trình x 2 -13x+m=0 có nghiệm x 1 =12,5
c. Phương trình 4x 2 +3x – m 2 +3m =0 có nghiệm x 1 =-2
d. Phương trình 3x 2 -2(m -3)x +5 =0 có nghiệm x 1 =13
Lời giải:
a. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1x 2 =-35
Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 =-m
Suy ra: m=-7 +5 ⇔ m =-2
Vậy với m =-2 thì phương trình x 2 + mx – 35 = 0 có hai nghiệm x 1 =7, x 2 =-5
b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 =13
Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1x 2 = m
Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m =6,25
Vậy với m = 6,25 thì phương trình x 2 -13x + m = 0 có hai nghiệm
c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 = – 3/4
Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1x 2 = (-m 2+3m)/4
Suy ra: -2. 5/4 = (-m 2+3m)/4 ⇔ m 2 -3m -10 =0
Δ= (-3) 2 -4.1.(-10) =9+40 =49
√Δ =√49 =7
Vậy với m =5 hoặc m = -2 thì phương trình 4x 2 +3x – m 2 +3m = 0 có hai nghiệm x 1 =-2 , x 2 =5/4
d) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1x 2 =5/3
Suy ra: 1/3 .x 2 = 5/3 ⇔ x 2 =5/3 : 1/3 =5/3 .3=5
cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 =[2(m -3)]/3
Suy ra: 1/3 +5 = [2(m -3)]/3 ⇔ 2(m -3) =16 ⇔ m-3=8 ⇔ m=11
Vậy với m =11 thì phương trình 3x 2 -2(m -3)x +5 =0 có hai nghiệm x 1 = 13 , x 2 = 5
Bài 41 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a. u +v =14, uv =40 b. u +v =-7, uv =12
c. u +v =-5, uv =-24 d. u +v =4, uv =19
e. u – v =10, uv =24 f. u 2 + v 2 =85,uv =18
Lời giải:
a) Hai số u và v với u +v =14 và uv =40 nên nó là nghiệm của phương trình x 2 -14x + 40=0
√Δ’ = √9 =3
Vậy u=10, v=4 hoặc u = 4, v = 10
b. Hai số u và v với u +v =-7 và uv =12 nên nó là nghiệm của phương trình x 2 +7x + 12=0
√Δ =√1 =1
Vậy u=-3,v=-4 hoặc u=-4,v=-3
c. Hai số u và v với u +v =-5 và uv =-24 nên nó là nghiệm của phương trình x 2 +5x -24 =0
√Δ = √121 =11
Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3
d. Hai số u và v với u +v =4 và uv =19 nên nó là nghiệm của phương trình x 2 – 4x +19 = 0
Δ’= (-2) 2 – 1.19= 4 – 19=-15 < 0
Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán
e. Hai số u và v với u – v =10 suy ra : u + (- v) = 10 và uv = 24 suy ra u(-v) = -24 nên nó là nghiệm của phương trình x2 -10x -24 =0
√Δ’ = √49 =7
Vậy u = 12 , -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12 , v = 2 hoặc u = -2 , v = -12
f. Hai số u và v với u 2 + v 2 =85 và uv =18 suy ra : u 2v 2=324 nên u 2 và v 2 là nghiệm của phương trình x 2 -85x +324 =0
√Δ = √2959 =77
Ta có: u 2 =81 ,v 2 =4 suy ra: u =±9 ,v=± 2
hoặc u 2 =4 ,v 2 =81 suy ra: u =±2 ,v=± 9
Vậy nếu u=9 thì v=2 hoặc u=-9 ,v=-2
nếu u=2 thì v=9 hoặc u= -2 ,v=-9
Bài 42 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Lập phương tình có hai nghiệm là hai số được cho mỗi trường hợp sau:
a. 3 và 5 b.-4 và 7
c. -5 và 1/3 d.1,9 và 5,1
e. 4 và 1 -√2 f.3 – √5 và 3 + √5
Lời giải:
a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
(x -3)(x -5) = 0 ⇔ x 2 -3x -5x +15 =0 ⇔ x 2 -8x +15 =0
b. Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
(x +4)(x -7) = 0 ⇔ x 2 +4x -7x -28 =0 ⇔ x 2 -3x -28 =0
c. Hai số -5 và 1/3 là nghiệm của phương trình:
(x +5)(x -1/3 )=0 ⇔ x 2 +5x -1/3 x -5/3 =0 ⇔ 3x 2 +14x – 5 =0
d. Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:
(x – 1,9)(x -5,1)=0 ⇔ x 2 – 1,9x – 5,1x + 9,69 = 0
e. Hai số 4 và 1 -√2 là nghiệm của phương trình:
(x – 4)[x -(1 -√2 )] =0 ⇔ (x -4)(x -1 +√2 ) =0
⇔ x 2 – x +√2 x -4x +4 – 4√2 =0
⇔ x 2 – (5 -√2 )x +4 – 4√2 =0
f. Hai số 3 – √5 và 3 + √5 là nghiệm của phương trình:
[x – (3 – √5 )][ x – (3 + √5 )] = 0
⇔ x 2 – (3 + √5 )x – (3 – √5 )x +(3+ √5 )(3 – √5 ) =0
Bài 43 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
a) Phương trình x 2+px -5=0 có hai nghiệm x 1 và x 2 nên theo hệ thức vi-ét ta có:
Hai số -x 1 và -x 2 là nghiệm của phương trình:
Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là x 2 – px -5 =0
Bài 44 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 -6x +m=0
Lời giải:
Phương trình x 2 – 6x + m = 0 có hai nghiệm x 1 và x 2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
Kết hợp với điều kiện x 1 – x 2 =4 ta có hệ phương trình :
Áp dụng hệ thức vi-ét vào phương trình x 2 -6x +m=0 ta có:
Vậy m =5 thì phương trình x 2 -6x +m=0 có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn điều kiện x 1 – x 2 =4
Bài 1 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Bài 2 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.
Lời giải:
Giả sử x 1, x 2 là nghiệm của phương trình: x 2 + px + q = 0
Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.
(x + p)(x – q) = 0 ⇔ x 2 – qx + px – pq = 0 ⇔ x 2 + (q – p)x – pq = 0
Phương trình cần tìm: x 2 + (p – q)x – pq = 0
Bài 3 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Bài 4 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình
(SBT)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x 1, x 2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.