Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương 3
Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):
Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Lời giải:
Bài 2 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân có u 1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
b.q < 0
Lời giải:
b.Nếu q < 0, u1 < 0, ta có:
Bài 3 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số cộng có cùng các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Lời giải:
Giả sử có hai cấp số cộng (u n), (v n) có công sai lần lượt là d 1, d 2 cùng các số hạng bằng nhau, nghĩa là:
Điều đó cho thấy dãy số mà mỗi số hạng là tổng các số hạng tương ứng của hai cấp số cộng (1) và (2) cũng là một cấp số cộng với công sai bằng tổng các công sai của hai cấp số cộng kia.
Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: d 1 = 3
20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d 2 = – 2
Dãy tổng các số hạng tương ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cấp số cộng có công sai
Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số nhân có cùng các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Lời giải:
vậy dãy số (a n) là cấp số nhân với công bội q = q 1q 2.
Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:
a. 13 n – 1 chia hết cho 6
b. 3n 3 + 15 chia hết cho 9
Lời giải:
ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6
giả sử: u k = 13 k – 1 chia hết cho 6
Vậy u k+1 chia hết số 6
Như vậy, mỗi số hạng của dãy số (u n) đều chia hết cho 6 ∀n ∈ N*
b. 3n 3 + 15n chia hết cho 9
+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
u k = (3k 2 + 15k) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)
+ Ta chứng minh: u k+1 chia hết 9
Thật vậy, ta có:
Theo giả thiết u k chia hết 9, hơn nữa 9(k 2 + k + 2) chia hết 9 k ≥ 1
Do đó u k+1 cũng chia hết cho 9.
Vậy u n = 3n 3 + 15n chia hết cho 9 ∀n ∈ ∈ N*
Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u n) biết u 1 = 2, u n+ 1 = 2u n – 1 (với n ≥ 1)
a.Viết năm số hạng đầu của dãy.
b.Chứng minh u n = 2 n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải:
a. 5 số hạng đầu dãy là:
b. Chứng minh: u n = 2 n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp:
Giả sử (u n) đúng với n = k ≥ 1
Ta phải chứng minh phương trình đã cho đúng với n = k + 1 nghĩa là:
Biểu thức đã cho đúng với n = k + 1, vậy nó đúng với n ∈ N*
Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u n), biết:
Lời giải:
Kí hiệu: ∠ : góc
Vậy ∠B=∠A + d, ∠C=∠A + 2d, ∠D= ∠A+3d.
Mặt khác ∠A + B ∠ + C ∠ + ∠D =360 o
Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng ba x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Lời giải:
Cấp số nhân (u n) có công bội q có thể viết dưới dạng:
vì x, y, z lập thành cấp số nhân nên: y = x.q, z = x.q 2 (1)
Mặt khác x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng nên (x+3z)/2= 2y (2)
Lời giải:
Gọi S là diện tích mặt đáy của tháp
Diện tích của tầng một bằng nửa diện tích của đáy tháp
Lời giải:
a. Số hạng u n+1 bằng:
D. 3(n+1)
b. Số hạng u 2n bằng:
c. Số hạng un-1 bằng:
D. 3n – 1
d. Số hạng u 2n-1 bằng:
Lời giải:
Chọn đáp án C
Chọn đáp án B.
Chọn đáp án B.
Chọn đáp án B
Vậy dãy ( -1) 2n(5 n + 1) là dãy số tăng. Chọn đáp án B.
Bài 16 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = – 6, y = – 2
B. x = 1, y = 7
C.x = 2, y = 8
D. x = 2, y = 10
Lời giải:
A. x = 36
B. x = -6, 5
C. x = 6
D. x = -36
Lời giải:
Ta có: u n là cấp số cộng số hạng đầu u 1, công sai d thì:
Chọn đáp án B.
Bài 19 (trang 109 SGK Đại số 11): Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn các dãy số là cấp số nhân:
(u n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi;