Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số , biết
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải:
– Thay các giá trị n = 1,…,5 và tính giá trị của .
– Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:
+ Cách 1: Xét tỉ số rồi so sánh với 1 .
+ Cách 2: Xét hiệu và so sánh với 0 .
Hướng dẫn giải:
a) Ta có 5 số hạng đầu là: .
Dự đoán dãy giảm.
Để chứng minh, ta xét tỉ số .
Vậy dãy số giảm.
b) Ta có 5 số hạng đầu là .
Xét dấu của hiệu
Vậy dãy số tăng.
c) Ta có 5 số hạng đầu là .
Xét hiệu:
Vậy dãy số giảm.
d) Ta có 5 số hạng đầu là .
Xét thương:
Vậy dãy số tăng.
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải:
Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M,m sao cho
Hướng dẫn giải:
a) Bị chặn trên vì:
hay
b) Bị chặn dưới vì
hay
c) Bị chặn dưới vì
hay
d) Bị chặn vì
Lại có
Do đó .
Cho dãy số xác định bởi
a) Tìm công thức tính theo n;
b) Chứng minh là dãy số tăng
Phương pháp giải:
a) – Tính
– Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính theo n .
b) Xét hiệu và suy ra kết luận.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
Ta chứng minh bằng quy nạp.
Đặt
+) Với n = 1 thì đúng.
+) Giả sử , ta chứng minh .
Thật vậy,
Do đó ta được
Vậy hay .
b) Xét hiệu
Vậy dãy số đã cho tăng.
Cho dãy số .
a) Viết công thức truy hồi của dãy số;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.
Phương pháp giải:
a) Xét hiệu và suy ra công thức truy hồi.
b) Đánh giá suy ra dãy số bị chặn dưới.
c) Nhóm các tổng thích hợp và sử dụng các tổng quen thuộc thu gọn tổng .
Hướng dẫn giải:
a) Ta có .
Xét hiệu
.
Vậy công thức truy hồi là
b)
Vậy dãy số bị chặn dưới.
c) Ta có
Cho dãy số với .
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Tìm công thức truy hồi;
c) Chứng minh là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Phương pháp giải:
a) Cho n nhận lần lượt các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 suy ra 5 số hạng đầu.
b) Xét hiệu và suy ra công thức truy hồi.
c) Xét dấu và kết luận.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Vậy
c) Dễ thấy nên dãy số là dãy số tăng.
Do đó nên dãy đã cho bị chặn dưới.
Cho dãy số thoả mãn điều kiện: Với mọi thì và
Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.
Phương pháp giải:
Chứng minh và suy ra điều phải chứng minh.
Hướng dẫn giải:
Vì với mọi n nên .
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có .
Mặt khác, từ giả thiết
suy ra hay
So sánh (1) và (2) ta có: hay .
Vậy dãy số đã cho là dãy giảm.
Cho dãy số xác định bởi công thức . Số hạng là:
A. B. 10
C. 12 D.
Phương pháp giải:
Tính các số hạng và suy ra .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Chọn B.
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số sau:
A.
B.
C.
D.
Phương pháp giải:
Đánh giá số hạng tổng quát của từng dãy số và nhận xét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án B: Dễ thấy nhưng không có số M nào để .
Đáp án C: Ta có: .
Mà nên .
Do đó dãy số bị chặn.
Đáp án D: Hàm số bậc hai có hệ số a < 0 thì không có số m nào để .
Chọn C.
Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số sau:
A. B.
C. D.
Phương pháp giải:
Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số bằng cách xét hiệu hoặc thương .
Hướng dẫn giải:
Đáp án A:
Ta có: nên dãy số giảm.
Đáp án B:
Ta có: nên dãy số giảm.
Đáp án C:
Ta có:
Do đó dãy số đã cho tăng.
Chọn C.