Top 1 # Giải Bài Tập Toán Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 1/2023 # Top Trend | Caffebenevietnam.com

Giải Sbt Toán 9: Bài 1. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Hãy tính x và y trong các hình sau:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

142 = y.16

Bài 2 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Hãy tính x và y trong các hình sau:

a. Hình a:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

x 2 = 2.(2 + 6) = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

y 2 = 6.(2 + 6) = 6.8 = 48 ⇒ y = √48 = 4√3

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

x 2 = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

Bài 3 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Hãy tính x và y trong các hình sau:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y 2 = x.(x + x) = 5.(5 + 5) = 50 ⇒ y = √50 = 5√2

Bài 4 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Hãy tính x và y trong các hình sau:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y 2 = x.(x + 2) = 4,5.(4,5 + 2) = 29,25 ⇒ y = √29,25

b. Hình b:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Suy ra: y = √625 = 25

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

Bài 5 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a. Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH

b. Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH

a. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: AH 2= BH.CH

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

≈ 29,68

b. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

Bài 6 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

Bài 7 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB 2 = chúng tôi = 3.(3 + 4) = 3.7 = 21 ⇒ AB = √21

AC 2 = chúng tôi = 4.(3 + 4) = 4.7 = 28 ⇒ AC = √28 = 2√7

Bài 8 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cạnh huyển của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyển là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 (cm) (1)

AB + AC – BC = 4 (cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 (cm)

Từ (1) suy ra: BC = AB + 1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có:

⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 (cm)

Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: BC = 12 + 1 = 13 (cm)

Bài 9 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao tương ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.

Ta có: BH + CH = 5 (1)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: BH = 1 và CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB 2 = chúng tôi = 1.5 = 5

Suy ra: AB = √5

Bài 10 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạn góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ta có: OA = R + 230

= 6370 + 230 = 6600 (km)

Trong tam giác AOB ta có: OH ⊥ AB

Suy ra: HA = HB = AB/2 = 2200/2 = 1100 (km)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

Suy ra:

Bài 13 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:

– Dựng góc vuông xOy.

– Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a

– Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

– Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.

– Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng √(ab) như thế nào?

– Dựng đường thẳng t.

– Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

– Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

– Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D

Ta có đoạn BD = √(ab) cần dựng.

*Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta có ΔACD vuông tại D và DB ⊥ AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

BD 2 = chúng tôi = a.b

Suy ra: BD = √(ab)

Bài 15 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Ta có: BC = DH và BH = CD (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DH = 4(cm)

AH = 8 – 4 = 4 (cm)

BH = 10 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8 m.

Bài 16 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông.

Bài 17 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Suy ra: AB 2 = 9.4 = 36 ⇒ AB = √36 = 6 (m)

BC 2 = 16.4 = 64 ⇒ BC = √64 = 8 (m)

Vậy: AB = CD = 6m

BC = AD = 8m.

Bài 18 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: AB 2 = AM.AN

Bài 20 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

Bài 1 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng

A.6cm;

B. 9cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Hướng dẫn:

Suy ra HC = 4/3HA = 12. Chọn C.

Bài 2 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng

A. 6cm;

B. 9,6cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn phương án đúng.

*Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Hướng dẫn:

Suy ra HB = 4/5HA = 48/5 = 9,6. Chọn B.

Bài 3 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Tính h, b, c nếu biết b’ = 36, c’ = 64.

b) Tính h, b, b’, c’ nếu biết a = 9, c = 6.

Bài 4 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Hãy biểu thị b’, c’ qua a, b, c.

Bài 5 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Chứng minh rằng:

Cách 1: Dùng công thức tính diện tích tam giác vuông ABC:

S = 1/2ah = 1/2bc suy ra h = bc/a.

Cách 2: Dùng tam giác đồng dạng:

Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12cm, 13, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó.

Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, Bc = 13cm.

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3.

AH 2 = HB. HC = 12 2 = 144 nên HC = 3HB nên HB 2 = 12 2/3 = 48, suy ra HB = 4√3, HC = 12√3 và BC = HB + HC = 16√3 (cm).

Bài 9 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?

a) ΔHCD ∼ ΔABM.

b) AH = 2HD.

a) Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng (có cùng góc nhọn tại C) mà

ΔDCM ∼ ΔABM (vì là hai tam giác vuông có ∠(DMC) = ∠(AMB), vậy ΔHCD ∼ ΔABM. Khẳng định a) là đúng.

b) Theo câu a), từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC (h là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D) nên HC = 2HD < MC = AM < AH (do M nằm giữa A và H), vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b) là sai.

Bài 10 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:

Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữ cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

142 = y.16

x + y = 15 ⇒ x = 16 – y = 16 – 12,25 = 3,75

Bài 2 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

x 2 = 2.(2 + 6) = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

y 2 = 6.(2 + 6) = 6.8 = 48 ⇒ y = √48 = 4√3

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

Bài 3 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y 2 = x.(x + x) = 5.(5 + 5) = 50 ⇒ y = √50 = 5√2

Bài 4 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y 2 = x.(x + 2) = 4,5.(4,5 + 2) = 29,25 ⇒ y = √29,25

b. Hình b:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Suy ra: y = √625 = 25

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

Bài 5 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a. Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH

b. Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH

a. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: AH 2 = chúng tôi

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

≈ 29,68

b. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

Bài 6 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

Bài 7 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có góc BAC = 90 o, AH ⊥ BC, BH = 3, CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB 2 = chúng tôi = 3.(3 + 4) = 3.7 = 21 ⇒ AB = √21

AC 2 = chúng tôi = 4.(3 + 4) = 4.7 = 28 ⇒ AC = √28 = 2√7

Bài 8 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cạnh huyển của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyển là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = 90 o

Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 (cm) (1)

AB + AC – BC = 4 (cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 (cm)

Từ (1) suy ra: BC = AB + 1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có:

⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 (cm)

Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: BC = 12 + 1 = 13 (cm)

Bài 9 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao tương ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = 90 o, AH ⊥ BC, BC = 5, AH = 2 và BH < CH

Ta có: BH + CH = 5 (1)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: BH = 1 và CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB 2 = chúng tôi = 1.5 = 5

Suy ra: AB = √5

Bài 10 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạn góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230 km nên tam giác AOB cân tại O.

Ta có: OA = R + 230

= 6370 + 230 = 6600 (km)

Trong tam giác AOB ta có: OH ⊥ AB

Suy ra: HA = HB = AB/2 = 2200/2 = 1100 (km)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

Suy ra:

Bài 13 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:

Lời giải:

a. *Cách dựng (hình a):

– Dựng góc vuông xOy.

– Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a

– Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

b. *Cách dựng (hình b):

– Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.

– Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

Bài 14 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng √(ab) như thế nào?

Lời giải:

*Cách dựng:

– Dựng đường thẳng t.

– Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

– Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

– Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D

Ta có đoạn BD = √(ab) cần dựng.

*Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta có ΔACD vuông tại D và DB ⊥ AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

Suy ra: BD = √(ab)

Bài 15 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Kẻ BH ⊥ AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.

Ta có: BC = DH và BH = CD (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DH = 4(cm)

AH = 8 – 4 = 4 (cm)

BH = 10 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8 m.

Bài 16 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.

Lời giải:

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lí Pi-ta-go (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông.

Suy ra: AB 2 = 9.4 = 36 ⇒ AB = √36 = 6 (m)

BC 2 = 16.4 = 64 ⇒ BC = √64 = 8 (m)

Vậy: AB = CD = 6m

BC = AD = 8m.

Bài 18 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

Bài 19 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Lời giải:

Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥ BN

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: AB 2 = chúng tôi

Bài 20 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

Bài 1 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng

A. 6cm; B. 9cm; C. 12cm; D. 15cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Hướng dẫn:

Suy ra HC = 4/3HA = 12. Chọn C.

Bài 2 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng

A. 6cm; B. 9,6cm; C. 12cm; D. 15cm.

Hãy chọn phương án đúng.

*Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Lời giải:

Hướng dẫn:

Suy ra HB = 4/5HA = 48/5 = 9,6. Chọn B.

Bài 3 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: a) Tính h, b, c nếu biết b’ = 36, c’ = 64.

b) Tính h, b, b’, c’ nếu biết a = 9, c = 6.

Lời giải:

Bài 4 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy biểu thị b’, c’ qua a, b, c.

Lời giải:

Bài 5 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Hai cách:

Cách 1: Dùng công thức tính diện tích tam giác vuông ABC:

S = 1/2ah = 1/2bc suy ra h = bc/a.

Cách 2: Dùng tam giác đồng dạng:

Bài 6 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm. Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6:5.

Bài 7 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12cm, 13, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, Bc = 13cm.

Bài 8 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3.

Lời giải:

AH 2 = HB. HC = 12 2 = 144 nên HC = 3HB nên HB 2 = 12 2/3 = 48, suy ra HB = 4√3, HC = 12√3 và BC = HB + HC = 16√3 (cm).

Bài 9 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?

a) ΔHCD ∼ ΔABM.

b) AH = 2HD.

a) Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng (có cùng góc nhọn tại C) mà

ΔDCM ∼ ΔABM (vì là hai tam giác vuông có ∠(DMC) = ∠(AMB), vậy ΔHCD ∼ ΔABM. Khẳng định a) là đúng.

b) Theo câu a), từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC (h là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D) nên HC = 2HD < MC = AM < AH (do M nằm giữa A và H), vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b) là sai.

Bài 10 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:

Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy KB = AB – DC = 6 – 8/3 = 10/3.

Bài 4. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông

Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là α ; góc đối diện với cạnh b là β và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng:

(A) a = csinα ;

(B) a = ccosα ;

(C) a = ctgα ;

(D) a = ccotgα.

Gợi ý làm bài

(A) a = csinα

Câu 4.2 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là α ; góc đối diện với cạnh b là β và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng:

(A)a = csinβ ;

(B) a = ccosβ ;

(C) a = ctgβ ;

(D) a = ccotgβ

Gợi ý làm bài

(B) a = ccosβ

Câu 4.3 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là α ; góc đối diện với cạnh b là β và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng:

(A)a = bsinα ;

(B) a = bcosα ;

(C) a = btgα ;

(D) a = bcotgα.

Gợi ý làm bài

(C) a = btgα

Câu 4.4 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là α ; góc đối diện với cạnh b là β và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng:

(A)a = bsinβ ;

(B) a = bcosβ ;

(C) a = btgβ ;

(D) a = bcotgβ.

Gợi ý làm bài

(D) a = bcotgβ

AH = asinα và diện tích hình thang là:

(S = {{AD + BC} over 2}.AH = {{ab} over 2}sin alpha .)

a) AB = AC = b thì AH = bsinα, BH = bcosα nên diện tích tam giác ABC là

(eqalign{ & S = {1 over 2}AH.BC = chúng tôi cr & = {b^2}sin alpha cos alpha . cr} )

b) BC = a thì (AH = {a over 2}tgalpha )

nên (S = {a over 2}.AH = {{{a^2}} over 4}tgalpha ).

(eqalign{ & BH = hcot gwidehat {ABH} = hcot g42^circ , cr & CH = hcot gwidehat {ACH} = hcot g35^circ cr} )

(để ý rằng H thuộc đoạn BC vì 35º, 42 º đều là góc nhọn). Do đó

7 = BC = BH + CH = h (cotg42 º + cotg35 º), suy ra

(eqalign{ & h = {7 over {cot g42 + cot g35}} cr & = {7 over {tg48 + tg55}} approx 2,757. cr} )

Câu 4.8 trang 117 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho tam giác nhọn MNP. Gọi D là chân đường cao của tam giác đó kẻ từ M. Chứng minh rằng:

a) ({S_{MNP}} = {1 over 2}MP.NP.sin P);

b) (DP = {{MN.sin N} over {tgP}});

c) ∆DNE đồng dạng với ∆MNP, trong đó E là chân đường cao của tam giác MNP kẻ từ P.

a) Ta có MD = MP sin P, suy ra:

({S_{MNP}} = {1 over 2}NP.MD = {1 over 2}NP.MPsin P.)

b) Ta có MD = MN sin N và MD = DP tg P nên từ đó suy ra DP ( = {{MNsin N} over {tgP}})

c) Hai tam giác vuông DMN và EPN đồng dạng vì có góc nhọn N chung nên ({{DN} over {MN}} = {{EN} over {PN}}.)

Hai tam giác DNE và MNP đồng dạng vì có góc N chung và ({{DN} over {MN}} = {{EN} over {PN}}.)

Giải Toán Lớp 9 Bài 4: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông

Bài 26 (trang 88 SGK Toán 9 Tập 1):

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

Kí hiệu như hình vẽ. Chiều cao của tòa nhà là b = AC.

Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

b = chúng tôi = 86.tg34 o ≈ 86.0,6745 ≈ 58 (m)

Bài 27 (trang 84 SGK Toán 9 Tập 1):

Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng

Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).

Lời giải:

Kí hiệu như hình bên. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)

Lời giải:

Ta có thể mô tả khúc sông và đường đi của chiếc thuyền bởi hình bên.

AB là chiều rộng của khúc sông.

AC là đoạn đường đi của chiếc thuyền.

Theo giả thiết thuyền qua sông mất 5 phút với vận tốc 2km/h (≈ 33m/phút), do đó AC ≈ 33.5 = 165 (m).

Vậy trong tam giác vuông ABC đã biết góc C =70 o,AC≈ 165m nên có thể tính được chiều rộng của dòng sông.

AB = chúng tôi ≈ chúng tôi 70 o ≈ 155 (m)

Chuyên mục: Giải bài tập Toán học lớp 9