Luyện Tập Giới Hạn Hàm Số

--- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Giới Hạn Của Dãy Số Và Hàm Số
  • Giải Bài Tập Về Định Giá Trái Phiếu
  • Một Số Bài Tập Nâng Cao Hóa 8 Có Đáp Án
  • Bài Tập Nâng Cao Hóa 8
  • 40 Bài Tập Nâng Cao Hóa 8
  • Trường THPT Bình Mỹ

    Tổ chuyên môn: Toán

    …………………………….

    GIÁO ÁN

    Tên bài: Luyện tập giới hạn hàm số.

    Tiết: 57. Chương: IV

    Họ và tên sinh viên: Lý Hồng Hào. MSSV: DTO055063

    Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Phạm Văn Lường.

    Ngày tháng năm 2009

    Mục đích, yêu cầu:

    – Kiến thức: Củng cố kiến thức giới hạn hàm số.

    – Kỹ năng, kỹ xảo cơ bản: vận dụng định nghĩa, tính chất… vào việc giải bài tập.

    – Tư tưởng: rèn luyện tính cẩn thận trong khi làm bài tập.

    II. Phương pháp, phương tiện:

    – Gợi mở, đặt vấn đề.

    – Phát huy tính tích cực của học sinh.

    – Sử dụng SGK, hình vẽ, thước thẳng, compa…

    III. Tiến trình:

    – Ổn định lớp: kiểm tra sỉ số ( 1′ )

    – Kiểm tra bài củ: ( 4′ )

    1) Nêu định nghĩa giới hạn hàm số?

    2) Định lý 1, định lý 2?

    – Tiến trình bài học:

    Thời gian

    Nội dung ghi bảng

    Hoạt động của GV và HS

    15 phút

    10 phút

    Bài 4. Tìm các giới hạn sau:

    a)

    b)

    a)

    d)

    Giải:

    -GV: Hướng dẫn HS giải câu b, c, f bài 3 (trang 132). Hỏi HS hướng giải:

    b) khử dạng vô định bằng cách nào?

    c) ta có thể khử dạng vô định không? bằng cách nào?

    -HS: dự kiến trả lời

    b) Áp dụng hằng đẳng thức .

    c) Có thể khử dạng vô định bằng cách nhân lượng liên hiệp

    -GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

    -HS: lên bảng giải.

    -GV: yêu cầu HS trình bày lời giải của mình cho cả lớp.

    -HS: trình bày. Các HS khác lắng nghe theo dõi.

    -GV: gọi một HS nhận xét về bài làm của bạn.

    -HS: nhận xét.

    -GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

    -GV: gọi HS lên bảng giải.

    -HS: lên bảng giải.

    -GV: yêu cầu học sinh trình bày lời giải của mình.

    -HS: trình bày và giải thích (nếu có thắc mắc của các bạn khác).

    -GV: nhận xét và sữa chữa (nếu có sai sót).

    -GV: gọi HS nêu hướng giải?

    -HS:

    a) áp dụng định lý 1 (tích các lim).

    d) áp dụng định lý 1 (thương các lim).

    -GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

    -HS: giải bài tập.

    -GV: yêu cầu HS trình bày bài giải của mình.

    -HS: trình bày.

    -GV: hỏi các HS còn lại có thắc mắc gì về bài làn của bạn không?

    -HS: hỏi (nếu có).

    -HS: trả lời các câu hỏi của các bạn khác (nếu có).

    -GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

    IV. Củng cố: (3 phút)

    -Khi tính giới hạn hàm số, cần lưu ý đến các phương pháp thích hợp để dạng vô định: nhân chia với lượng liên hiệp, áp dụng hằng đẳng thức…

    -Lưu ý giới hạn bên trái và bên phải.

    -Sử dụng linh hoạt các tính chất đã học.

    Bài tập về nhà: (2 phút)

    Giải các bài tập còn lại.

    Bài 1: dùng định nghĩa.

    Bài 2: giới hạn vô cực.

    Bài 3: tương tự.

    Bài 4

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pp Mới Giải Một Lớp Bài Tập Khó Vê Giới Hạn Trong Ct Thpt
  • Một Số Bài Tập Mẫu Sql(Phân I)
  • Bài Tập Tổng Hợp Sql Kèm Đáp Án
  • 25 Ví Dụ Về Ôn Tập Sql Quản Lý Sinh Viên
  • Bài Tập Sql Giải Đề Thi Tuyển Lập Trình Viên Của Fpt Fsoft
  • Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số

    --- Bài mới hơn ---

  • 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số
  • Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian Quan Hệ Vuông Góc
  • Bài Tập Hóa Học Nâng Cao Môn Hóa Lớp 8
  • Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • 3 Dạng Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử Cơ Bản Nhất
  • 6. Các ví dụ:

    Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, nhưng tồn tại giới hạn lặp

    Xét ví dụ 2 ở mục 4.

    Ta có:

    Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau

    Ta xét hàm số

    Khi đó: ,

    Ví dụ 3: Tồn tại giới hạn kép, nhưng không tồn tại giới hạn lặp

    nhưng không tồn tại

    7. Liên tục:

    Hàm số f(x; y) được gọi là liên tục tại nếu:

    1. f(x; y) xác định tại

    2. Tồn tại

    3.

    Hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định Df

    Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (nếu hàm ở mẫu số khác không).

    Bài tập giải mẫu:

    Bài 1: Tính giới hạn của hàm số:

    Ta chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn.

    Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường cong parabol : (k – hằng số). Ta có :

    Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.

    Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)

    Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

    Nhưng:

    Còn:

    Vậy hàm số đã cho không có giới hạn

    Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số:

    Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng : (k – hằng số). Ta có :

    Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.

    Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)

    Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

    Nhưng:

    Còn:

    Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

    Cách 3: Chuyển hàm số đã cho về tọa độ cực ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Và khi (x; y) → (0;0) thì r → 0.

    Khi đó ta có:

    Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào góc quay φ, nên giá trị giới hạn sẽ thay đổi khi φ thay đổi.

    Bài 3: Tìm giới hạn của hàm số:

    Bài này chỉ khác bài trên ở chỗ tử số có thêm x. Tuy nhiên, kết quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 khi (x;y) → (0; 0)

    Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có được giới hạn hàm số bằng 0 khi (x; y) → (0;0)

    Việc ta tìm cách tính giới hạn bằng cách sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với mọi giá trị φ. Chính điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết được giá trị giới hạn hàm số là tồn tại và bằng o.

    Bài 4: Tìm giới hạn của hàm số:

    Các bạn có thể chứng minh bài toán này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét dãy điểm tiến về (0;0) theo đường tròn: (k – hằng số) (xuất phát từ việc trong hàm số có chứa nên ta xây dựng đường tròn đi qua gốc tọa độ), hoặc bạn cũng có thể xét 2 dãy điểm khác nhau cùng tiến về (0; 0) là:

    Bình chọn

    Share this:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đáp Án Bài Tập Csdl
  • Bài Tập Toán Lớp 2 Cơ Bản Và Nâng Cao Cho Bé
  • Hệ Mật Mã Khối Và Các Thuật Toán Mã Hóa Khối Kinh Điển: Des
  • Des Là Gì? Code Ví Dụ Des Bằng Java
  • Tài Liệu Bài Tập Về Diode Có Lời Giải, Bài Tập Diode Có Lời Giải
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Cấp Số Cộng
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Bài 25, 26, 27, 28, 29, 30 Trang 11 Sbt Toán 9 Tập 2
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
  • VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

    Giới hạn của hàm số

    Bài 2.1 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

    a) lim x→5 x+3/x−3

    Giải:

    a) – 4 ; b) + ∞

    Bài 2.3 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

    b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

    Giải:

    a) Xét hai dãy số (a n) với a n=2nπ và (b n) với (b n)=π/2+2nπ(n∈N∗)

    Ta có, lima n=lim2nπ=+∞

    limb n=lim(π/2+2nπ)

    =limn(π/2n+2π)=+∞

    limsina n=limsin2nπ=lim0=0

    limsinb n=limsin(π/2+2nπ)=lim1=1

    Như vậy, an→+∞,bn→+∞ nhưng limsina n≠limsinb n. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

    Bài 2.4 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải:

    Do đó, limn →+∞ f(xn).g(xn)=L.M

    Từ định nghĩa suy ra lim x→−∞ f(x).g(x)=L.M

    Bài 2.5 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Tìm giới hạn của các hàm số sau:

    a) f(x)=x 2 −2x−3/x−1 khi x→3;

    c) k(x)= khi x→−∞;

    e) h(x)=x−15/x+2 khi x→−2+ và khi x→−2−

    Giải:

    a) 0;

    b) −∞;

    c) lim x→−∞

    =lim x→−∞=+∞

    e) −∞ và +∞

    Bài 2.6 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

    Tính các giới hạn sau:

    d) lim x→5 x−5/√x−√5

    e) lim x→+∞=x−5/√x+√5

    f) lim x→−2 √x2+5−3/x+2

    g) lim x→1 √x−1/√x+3−2

    Giải:

    a) lim x→−3x+3/x 2+2x−3=lim x→−3x+3/(x−1)(x+3)=lim x→−3 1/x−1=−1/4

    b)

    c) lim x→+∞x−1/x 2−1=lim x→+∞

    d) lim x→5 x−5/√x−√5

    =lim x→5(√x−√5)(√x+√5)/√x−√5

    =lim x→5(√x+√5)=2√5

    e)

    lim x→+∞ x−5/√x+√5

    =lim x→+∞=+∞

    f) lim x→−2 √x2+5−3/x+2

    g)

    lim x→1 √x−1/√x+3−2

    =lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/x+3−4

    =lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/x−1

    =lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/(√x−1)(√x+1)

    =lim x→1 √x+3+2/√x+1=2

    h) lim x→+∞1−2x+3x 3/x 3−9=limx→+∞

    i)

    j)

    Bài 2.7 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Tính giới hạn của các hàm số sau khi x→+∞ và khi x→−∞

    a) f(x)=

    b) f(x)=x+

    c) f(x)=

    Giải:

    a) Khi x→+∞

    lim x→+∞=lim x→+∞

    =lim x→+∞=lim x→+∞

    Khi x→−∞

    =lim x→−∞−x/x+2=lim x→−∞

    b) Khi x→+∞

    lim x→+∞(x+)

    =lim x→+∞

    =lim x→+∞x=+∞

    Khi x→−∞

    lim x→−∞(x+)

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    c) Khi x→+∞

    lim x→+∞()

    =lim x→+∞

    = lim x → + ∞

    = lim x → + ∞

    Khi x→−∞

    lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    = limx→−∞

    Bài 2.8 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho hàm số f(x)=2x 2−15x+12/x 2 −5x+4 có đồ thị như hình 4

    a) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm f(x) số khi x→1+;x→1 ;x→4+;x→4 ;x→+∞;x→−∞

    b) Chứng minh dự đoán trên.

    Giải:

    a) Dự đoán:

    b) Ta có

    và x 2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim x→1+2x 2−15x+12/x 2 −5x+4=+∞

    lim x→4−(2x 2 −15x+12)=−16<0,

    và x 2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim x→4−2x 2−15x+12/x 2 −5x+4=+∞

    lim x→+∞2x 2−15x+12/x 2−5x+4=lim x→+∞

    lim x→−∞2x 2−15x+12/x 2−5x+4=lim x→−∞

    Bài 2.9 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho hàm số

    Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm giới hạn này.

    Giải:

    lim x→1+f(x)=lim x→1+(1/x−1−3/x3−1)

    lim x→1−f(x)=lim x→1−(mx+2)=m+2

    f(x) có giới hạn khi x→1⇔m+2=1⇔m=−1. Khi đó lim x→1 f(x)=1

    Bài 2.10 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho khoảng K,x 0∈K và hàm số y=f(x) xác định trên K∖{x 0}

    Giải:

    Từ định nghĩa suy ra f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Bài 2.11 trang 165 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

    Cho hàm số xác định trên khoảng (a;+∞)

    Chứng minh rằng nếu lim x→+∞ f(x)=−∞ thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc (a;+∞) sao cho f(c)<0

    Giải:

    Theo định nghĩa suy ra −f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Đặt c=x k ta có f(c)<0

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sbt Toán 8 Bài 12: Hình Vuông
  • Giải Sbt Toán 8 Bài 12: Hình Vuông
  • Câu 1, 2, 3 Trang 30 Vở Bài Tập (Sbt) Toán 5 Tập 2
  • Bài 48 Trang 60 Sbt Toán 9 Tập 2
  • Câu 1, 2, 3 Trang 43 Vở Bài Tập (Sbt) Toán 4 Tập 1
  • Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Kế Toán Thuế Gtgt Có Lời Giải
  • Bài Tập Về Thuế Giá Trị Gia Tăng (Vat) Có Lời Giải
  • Tổng Hợp Bài Tập Thuế Có Lời Giải Theo Luật Mới
  • Dạng Bài Tập Tính Thuế Gtgt Theo Phương Pháp Khấu Trừ (Có Lời Giải)
  • 11 Câu Trắc Nghiệm: Vectơ Trong Không Gian Có Đáp Án (Phần 1).
  • 4.1 Biết rằng dãy số có giới hạn là 0.

    ( 4.2 Cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn, còn dãy số không có giới hạn hữu hạn. Dãy số + ) có thể có giới hạn hữu hạn không ?

    lim ≤ a) Cho hai dãy số và . Biết = − ∞ và với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy khi n → + ∞ ?

    b) Tìm lim với = − n !

    4.5 Tính các giới hạn sau :

    4.8 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi :

    Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞ Tìm giới hạn đó.

    1 , − 1/ 2 , 1/ 4 , − 1/ 8 , . . . , . . 4.9 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .

    4.10 Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

    4.11 Cho dãy số có số hạng tổng quát là :

    = sin α + α + + . . . α với α ≠ π/ 2 + k/ π .

    Tìm giới hạn của

    4.12 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

    4.13 Giới hạn của dãy số với = là :

    D. Không tồn tại .

    4.15 lim ( – ) n bằng :

    4.16 Nếu S = 1 + 0,9 + + + …. + + … thì :

    D. Không thể tính được S.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit
  • 60 Bài Tập Trắc Nghiệm Giới Hạn Của Dãy Số Có Đáp Án Chi Tiết (Phần 1)
  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 2 Cơ Bản, Nâng Cao Có Đáp Án
  • 700 Bài Tập Trắc Nghiệm Giải Tích 12 Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Thuật Toán Mã Hóa Và Giải Mã Des
  • Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số
  • Bài Tập Kế Toán Thuế Gtgt Có Lời Giải
  • Bài Tập Về Thuế Giá Trị Gia Tăng (Vat) Có Lời Giải
  • Tổng Hợp Bài Tập Thuế Có Lời Giải Theo Luật Mới
  • Dạng Bài Tập Tính Thuế Gtgt Theo Phương Pháp Khấu Trừ (Có Lời Giải)
  • Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

    Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Bài toán 1: Giới hạn của hàm số mũ, hàm số Logarit

    Phương pháp

    Chúng ta có các dạng giới hạn đặc biệt sau:

    Mở rộng: Ta có

    Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 thì:

    Đồng thời

    Quy tắc vẫn đúng với x → ∞

    Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

    Phương pháp:

    – Hàm số lũy thừa:

    – Hàm số mũ:

    – Hàm số Logarit:

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

    Hướng dẫn:

    a) Ta biến đổi

    b) Ta biến đổi

    c) Ta biến đổi

    Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

    Hướng dẫn:

    Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

    Hướng dẫn:

    B. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Tìm giới hạn sau

    Bài 2: Tìm giới hạn sau

    Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 2

    Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x).

    Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số

    Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số

    Bài 7: Tính đạo đạo hàm của hàm số y=log 3(x+1)-2ln(x-1)+2x tại điểm x = 2

    Bài 8: Cho hàm số . Tính tổng T

    Bài 9: Cho . Tính giá trị biểu thức S

    Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x 2 + e 2). Nếu thì giá trị m bằng bao nhiêu?

    Ta có

    • Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
    • Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
    • Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • 60 Bài Tập Trắc Nghiệm Giới Hạn Của Dãy Số Có Đáp Án Chi Tiết (Phần 1)
  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 2 Cơ Bản, Nâng Cao Có Đáp Án
  • 700 Bài Tập Trắc Nghiệm Giải Tích 12 Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Thuật Toán Mã Hóa Và Giải Mã Des
  • Dòng Điện Trong Chất Bán Dẫn, Điôt (Diode) Bán Dẫn Và Tranzito Có Công Dụng Gì?
  • Chuyên Đề Giới Hạn Của Dãy Số Và Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Về Định Giá Trái Phiếu
  • Một Số Bài Tập Nâng Cao Hóa 8 Có Đáp Án
  • Bài Tập Nâng Cao Hóa 8
  • 40 Bài Tập Nâng Cao Hóa 8
  • Chuyên Đề Vài Bài Tập Nâng Cao Hóa 8 (Khó)
  • §1. Dãy số có giới hạn 0:

    Định nghĩa: thì (un (< (

    Một số dãy có giới hạn 0:

    * Định lý 1: Hai dãy số (un) và (vn)

    Nếu (un( ( vn (n và limvn = 0 thì limun = 0.

    * Định lý 2: Nếu (q( < 1 thì limqn = 0.

    §2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:

    Định nghĩa: limun = L ( lim(un – L) = 0.

    Định lý 1: Giả sử limun = L. Khi đó:

    lim(un( = (L( và

    Nếu un ( 0 (n thì L ( 0 và

    Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M và c là một hằng số. Khi đó:

    lim(un + vn) = L + M; lim(un – vn) = L – M; lim(un.vn) = L.M;

    lim(cun) = cL; (nếu M ≠ 0).

    Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

    Bài tập áp dụng:

    1. Dùng định nghĩa, chứng minh các dãy sau có giới hạn 0:

    với a là số thực hữu hạn, k là số tự nhiên hữu hạn

    7. Tìm các giới hạn limun với:

    8. Chứng minh rằng

    9. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì

    b) Từ đó suy ra limun = 0.

    10. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì

    b) Từ đó suy ra limun = 0.

    11. Tìm giới hạn của các dãy sau:

    12. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì

    Bài tập áp dụng:

    3. Cho một hình vuông cạnh a. Nối trung điểm của bốn cạnh ta được một hình vuông mới nhỏ hơn. Lại làm như vậy đối với hình vuông mới. Cứ tiếp tục như thế mãi. Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành.

    4. Tìm giới hạn sau: với (a( < 1 và (b( < 1.

    5. Tìm các giới hạn:

    6. Tìm các giới hạn sau:

    7. CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:

    §4. Giới hạn của hàm số:

    Định nghĩa 1: ( ( dãy (xn), limxn = x0 ta đều có limf(xn) = L. Trong đó x0 (

    --- Bài cũ hơn ---

  • Luyện Tập Giới Hạn Hàm Số
  • Pp Mới Giải Một Lớp Bài Tập Khó Vê Giới Hạn Trong Ct Thpt
  • Một Số Bài Tập Mẫu Sql(Phân I)
  • Bài Tập Tổng Hợp Sql Kèm Đáp Án
  • 25 Ví Dụ Về Ôn Tập Sql Quản Lý Sinh Viên
  • Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài 1,2,3,4 Trang 7,8 Sgk Hình Học 11: Phép Tịnh Tiến
  • Bài 1,2,3,4 Trang 49,50 Môn Đại Số 10: Hàm Số Bậc 2
  • Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 3: Hàm Số Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Hàm Số Bậc Hai
  • Giải Sbt Tiếng Anh 9 Unit 6: The Environment
  • Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

    Bài 4.18 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

    a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

    b) Dùng định nghĩa chứng minh định nghĩa trên

    Bài 4.20 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: a) Chứng minh rằng hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞

    b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

    Lời giải:

    Ta có, lim a n = lim 2nπ = +∞;

    Lim b n = lim(π/2 + 2nπ) = lim n(π/2n + 2π) = +∞

    lim sin a n = lim sin2nπ = lim 0 = 0

    lim sin b n = lim sin(π/2 + 2nπ) = lim 1 = 1

    Như vậy, a n → +∞, b n →+∞ nhưng lim sin a n ≠ lim sin b n. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞

    Lời giải:

    Giả sử (x n) là dãy số bất kì thoả mãn n < a và x n → −∞

    Bài 4.22 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau :

    Lời giải:

    a) 0;

    b) -∞;

    d) -∞ và +∞

    Bài 4.23 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: Tính các giới hạn sau:

    Bài 4.24 trang 166 Sách bài tập Đại số 11: Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞

    Lời giải:

    a) Khi x → +∞

    Khi x → -∞

    b) Khi x → +∞

    Khi x → -∞

    c) Khi x → +∞

    Khi x → -∞

    Bài 4.25 trang 166 Sách bài tập Đại số 11: Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số y = f(x) xác định trên K { x0}

    Từ định nghĩa suy ra f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Bài 4.26 trang 166 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)

    Theo định nghĩa suy ra −f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Đặt c = x k ta có f(c) < 0

    Bài tập trắc nghiệm trang 166, 167 Sách bài tập Đại số 11:

    A. 1 B. +∞ C. -∞ D. -1

    Lời giải:

    Cách 1: Chọn đáp án từ nhận xét “Giới hạn của đa thức bậc lẻ với hệ số của biến bậc cao nhất là a, khi x → -∞ bằng +∞ (nếu a âm), bằng -∞ (nếu a dương)”.

    Cách 2: Tính trực tiếp giới hạn.

    Chọn đáp án: C

    A. 0 B. 1 C. 3 D. +∞

    Lời giải:

    Tính giới hạn bằng cách phân tích tử số ra thừa số.

    Chọn đáp án: C

    A. 0 B. 1 C. -2/3 D. -∞

    Lời giải:

    Tính giới hạn bằng cách nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số.

    Chọn đáp án: C

    A. 2 B. 3 C. +∞ D. -∞

    Lời giải:

    Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho x 3 hoặc x 4.

    Chọn đáp án: A

    Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1?

    A. m = -1 B. m = 1 C. m = -2 D. m = 2

    Lời giải:

    Tính giới hạn trái, giới hạn phải và cho bằng nhau để tính m.

    Chọn đáp án: A

    Bài tập trắc nghiệm

    Bài tập trắc nghiệm

    Bài tập trắc nghiệm

    Bài tập trắc nghiệm

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Bài Tập Cấp Số Nhân
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Cấp Số Cộng
  • Giải Bài Tập Sbt Vật Lý Lớp 6 Bài 19: Sự Nở Vì Nhiệt Của Chất Lỏng
  • Giải Bài Tập Sbt Vật Lý Lớp 6 Bài 7: Tìm Hiểu Kết Quả Tác Dụng Của Lực
  • Tài Liệu Hướng Dẫn Giải Bài Tập Vật Lý 7
  • Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Bài Tập Đại Cương Về Kim Loại, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
  • Phân Dạng Và Các Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Giới Hạn
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Về Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Giải Bài Tập Sgk Sinh Học Lớp 12 Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

    Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

    + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

    + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

    Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

    Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

    Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

    + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

    + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

    Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

    + Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

    Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

    Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Ứng Dụng Giải Bài Tập Tốt Nhất Trên Smartphone
  • Giải Sách Bài Tập Vật Lí 10
  • Giải Bài Tập Vật Lý 10 Bài 33: Các Nguyên Lí Của Nhiệt Động Lực Học
  • Giải Bài Tập Vật Lý 10 Bài 33: Các Nguyên Lý Của Nhiệt Động Lực Học
  • Cách Giải Bài Tập Nguyên Lí 1 Nhiệt Động Lực Học Hay, Chi Tiết
  • 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian Quan Hệ Vuông Góc
  • Bài Tập Hóa Học Nâng Cao Môn Hóa Lớp 8
  • Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • 3 Dạng Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử Cơ Bản Nhất
  • Bài Tập Hai Mặt Phẳng Song Song
  • I HN DÃY S 3 3 6n 2n 1 lim n 2n − + − 2 2 1 n 2n lim 5n n − + + 3 2 3 2n 4n 3n 3 lim n 5n 7 − + + − + 2 4 2n n 2 lim 3n 5 − + + + 2 3 2 n 4n 5 lim 3n n 7 + − + + 5 4 3 2 n n n 2 lim 4n 6n 9 + − − + + 2 2 7n 3n 2 lim n 5 − + + 3 2 3n 2n 1 lim 2n n + − − 3 2 2 2n 1 5n lim 5n 12n 3 − + ++ 5 3 5 4 3n 7n 11 lim n n 3n − + − + − 2 6 5 2n 3 lim n 5n − + 2 2 2n n lim 1 3n − − 3 3n n lim n 2 + + 4 2 2n 3n 2 lim 2n n 3 + − − + 3 6 3n 7n 5n 8 lim n 12 − − + + 2n 1 n 1 lim 3n 2 + − + + ( )3lim 3n 7n 11− + 4 2lim 2n n n 2− + + 3 3lim 1 2n n+ − 2 1 2 ... n lim n + + + 2 n 2 4 ... 2n lim 3n n 2 + + + + − 3 3 3 4 3 1 2 ... n lim n n 3n 2 + + + + + + 2 n. 1 3 ... (2n 1) lim 2n n 1 + + + − + + 3 3 3 2 1 2 ... n lim 11n n 2 + + + + + ( ) 22 3 3 3 n n 11 2 ... n 4 + + + + = 2 n 2 n 2 2 2 1 ... 3 3 3 lim 1 1 1 1 ... 5 5 5 + + + + + + + + n n n 4 lim 2.3 4+ n n 3 1 lim 2 1 + − n n n 3 2.5 lim 7 3.5 − + n n n n 4 5 lim 2 3.5 − + n n n 1 n 1 ( 3) 5 lim ( 3) 5+ + − + − + ( )lim 3n 1 2n 1− − − ( )lim n 1 n n+ − ( )2lim n n 1 n+ + − ( )2 2lim n n n 1− + ( )2lim n n 2 n 1+ + − + ( )lim n 3 n 5+ − − ( )2lim n n 3 n− + − 1lim n 2 n 1+ − + GII HN HÀM S 1. ( )2 2 lim 3x 7x 11 x→ + + 2. ( ) 21 7x 11 lim 4 2x x x→ + + 3. ( )( ) x 2 3x 1 2 3x lim x 1→− + − + 4. 0 7x 11 lim 2 1 x x x→ + − 5. 2 3 lim 4 x x → − 6. 2x 9 x 3 lim 9x x→ − − 7. 2 3x 3x x 5 lim x 2→−∞ − + − 8. 4 4 2x 2x 3x 5 lim x 2x→−∞ − + − 9. 6 5 3x 3x 2x 5 lim 3x 2→+∞ − + − 10. 6 3x x 5x 1 lim 5x 2→−∞ − + − 11. 2 3 2x x 5 lim 6x 3x 2→−∞ + − + 12. x 3 3 x lim 3 x+→ − − 13. x 3 3 x lim 3 x−→ − − 14. x 3 3 x lim 3 x→ − − 15. x 0 x 2 x lim x x+→ + − 16. 2 x 2 4 x lim 2 x−→ − − 17. 3 2x 2 x 2 2 lim x 2→− + − 18. 4 2x 3 x 27x lim 2x 3x 9→ − − − 19. 4 2x 2 x 16 lim x 6x 8→− − + + 20. ( )( ) 5 3 3 2 3x 2x x 1 lim 2x 1 x x→+∞ + − − + 21. 2 x x x 2x lim 2x 3→−∞ + + + 22. ( ) 4 2x x lim x 1 2x x 1→+∞ + + + 23. ( )3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 24. 4 2 x lim 2x 5x 1 →+∞ − + 143 BAI TAP GIOI HAN DAY SO - HAM SO - WWW.MATHVN.COM 1 www.MATHVN.com 25. x 2 2x 1 lim x 2+→ + − 26. x 2 2x 1 lim x 2−→ + − 27. ( )3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 28. 3 2x x 5 lim x 1→+∞ − + 29. 3 2x 2 x 8 lim x 4→ − − 31. ( ) ( ) 2 2 x 3 2x 5x 3 lim x 3−→ − + − + 32. 3 2x 0 x 1 1 lim x x→ + − + 33. 2 3x 2x x 10 lim 9 3x→+∞ + + − 34. 3 2x 3 x 3 3 lim x 3→− + − 35. 2x 4 x 2 lim x 4x→ − − 36. 2x 1 x 1 lim x x+→ − − 37. 2 x 0 x x 1 1 lim 3x→ + + − 38. 3x 3 3 x lim 27 x − → − − 39. 3 2x 2 x 8 lim x 2x+→ − − 2 2x 2 x 3x 10 lim 3x 5x 2→ + − − − 2 x 2 x 4 lim x 2→ − − 2 2x 1 x 4x 3 lim (x 1)→ − + − x 1 x 1 lim 1 x→ − − 2 x 3 x 2x 15 lim x 3→ + − − 2 x 5 x 2x 15 lim x 5→− + − + 3 x 1 x 1 lim x(x 5) 6→ − + − 2 2x 4 x 3x 4 lim x 4x→− + − + 2 2x 4 x 5x 6 lim x 12x 20→− − + − + 3 2 2x 2 x 3x 2x lim x x 6→− + + − − 4 2x 1 x 1 lim x 2x 3→ − + − 3 2 2x 2 x 4x 4x lim x x 6→− + + − − 2 x 2 x 5 3 lim . x 2→ + − − 4 x 7 x 9 2 lim x 7→ + − − x 5 5 x lim 5 x→ − − x 2 3x 5 1 lim x 2→ − − − x 0 x lim 1 x 1→ + − 2x 1 x 1 lim 6x 3 3x→− + + + 2 x 0 1 x x 1 lim x→ + + − 2x 5 x 4 3 lim x 25→ + − − ( ) 2 x 0 1 2x x 1 x lim x→ − + − + x 3 x 3 lim 2x 10 4→ − + − x 6 x 2 2 lim x 6→ − − − 2x 1 2x 3x 1 lim x 1→ − + − 2x 1 x 1 lim x 2x 3→ − + − x 0 5 x 5 x lim x→ + − − x 0 1 x 1 x lim x→ + − − x 1 2x 1 x lim x 1→ − − − 2 x 0 1 x x x 1 lim x→ + − + + 2 2x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2→ − − − − − + 2 x 0 1 3x x 1 x lim x→ − + − + x 4 3 5 x lim 1 5 x→ − + − − x 2 x x 2 lim 4x 1 3→ − + + − 2 x 1 x x lim x 1→ − − 3 2x 1 x 1 lim x 3 2→− + + − 2 2x 0 4 x 2 lim 9 x 3→ − − − − x 9 7 2x 5 lim x 3→ + − − 2 2x x 3x 10 lim 3x 5x 2→+∞ + − − − 2 3x x 4 lim x 2→−∞ − − 2 2x x 4x 3 lim (x 1)→+∞ − + − 2 x x 2x 15 lim x 5→−∞ + − + 2 1 lim ( 5) 6x x x x→+∞ − + − 2 4x x 3x 4 lim x 4x→−∞ + − + 4 3 2x x 5x 6 lim x 12x 20→+∞ − + − + 3 2 5x x 3x 2x lim x x 6→−∞ + + − − 2 1 lim 2 3x x x x→−∞ − + − 3 6 4 2x x 4x 4 lim x x 6→−∞ − + − − x 2 8 2x 2 lim x 2+→− + − + x 0 2 x 3x lim 3 x 2x+→ − − ( ) 2 3x 1 ; x 1 f x x 1 ; x 1 − ≤ = x 1 lim f (x) → 2mx ; x 2 f (x) 3 ; x 2 ≤ = > x 2 lim f (x) → 2x 5x 6 ; x 2 f (x) mx 4 ; x 2 = + ≤ Tìm m hàm s có gii hn khi x 2→ ( )2 2 x lim x x 1 x 2 →+∞ + − − ( )2 2 x lim x 7x 1 x 3x 2 →+∞ − + − − + ( )2 2 x lim x 4x 1 x 9x →+∞ − + − − ( )2 2 x lim x 2x 1 x 6x 3 →+∞ − + − − + ( )2lim 4 7 2 x x x x →+∞ − − − + 2 www.MATHVN.com 60 BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ chúng tôi 1, 2 2 n 2n 1 lim 3n n 3 - + + - 2, ( )( ) 2 n 1 n 2 lim n 3n 1 + + - + - 3, ( )( ) ( )( ) n 1 2n 5 lim 3n 1 n 2 + - - + 4, 2 n n n 1 lim n 3 - + + 5, 3 3 2 n 4n 1 lim 4n n 2 - + - + - 6, ( )n n 3 lim n 1 + + - 7, 4n 6 lim n 1 + - 8, ( ) ( ) 2 2 n 1 3n lim 2n 1 + - - 9, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 n 1 n 1 lim n 1 n 1 + - - + + - 10, ( )( )2 3 n 1 3n 2 lim n 2n 1 - + - + - 11, ( )( )2 2 4 3 n 3n 6 2n n 1 lim 8n 4n 1 + + - - + - 12, ( )( ) ( )( ) 2 2 3 n 3 2n 4n 1 lim 6n 2n 1 2n 1 - - + - + - - 13, 24n n 1 lim n 3 + + - - 14, 2n 1 3n 1 lim 6n n 1 + - - - - + 15, 3 2n n 2n 4n lim 2n n 4n 1 + - - - - + 16, ( )2007 2007 2000 2n 1 1 lim n 3n - - - 17, ( )( )( ) ( ) 2 3 32 3n 1 n 2 3n 1 lim 2n 1 - + - - + 18, n 1 2 lim n 3 + - + 19, 3 38n 2n 1 3n lim 2n 4 n 7 + - + - + 20, 2 22n 1 n 1 lim n 1 + - + + 21, 2 1 2 3 ... n lim n + + + + 22, ( ) 2 n 1 3 5 ... 2n 1 lim 3n n 1 + + + + + - + 23, 3 2n 1 n 2n lim 3n n 2n 1 + - + - + 24, ( )2 2 2 n 3n 1 n 2n 1 lim 5n 3n 2 + + + - - + 25, 3 3 2n 3n 1 3n 4 lim 3n 1 + + - + - 26, ( )( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 5n 3n 1 2n 6 lim 2n 1 3n 1 + - + + - - 27, ( )n 2 n 3n 1 lim n n 2n 6 + - - + 28, ( )2 5 4n 1 2n 4n 2 lim n 3n 1 + - + + - 29, ( )2 2 n n 3 4n 7 lim 2n 4 - + - + 30, ( ) ( ) 3 3 2 2 n 7 4n 1 2n 1 lim 3n 2 + - + - - 31, n n n 2 3 lim 3 1 + + 32, n 1 n 1 n n 2 3 lim 2 3 + ++ + 33, ( ) ( ) n n n n 1 2 3 lim 2 3 + - + - - 34, n n n 1 n 2 5 3 lim 5 3+ + - + 35, ( )2lim n 3n 10- - 36, ( )3lim n 4n 1- + - 37, ( )4lim 2n 3 n 1- - + 38, ( )3lim 2n n 1- + 39, ( )3lim n n 1- + 40, 22n n lim n 1 - + 41, 2 3 3n 3n 1 lim 2n 2n 1 + - - + 42, ( )2n 1 n lim 3n 2 - - + 43, ( )3 3 4 2n 1 n 2n 1 lim 2n 3n 2 - + - + + - 44, ( ) ( ) ( ) 2 42 3 2n 1 n 1 lim 4n 3 - - + + 45, n n 3n 1 lim 5n 7 + - + 46, ( )2lim n n 5 n+ + - 47, ( )2lim 4n 3n 1 2n- + - 48, ( )2lim n 2 n n+ - 49, ( )2lim n 2 n+ - 50, ( )2lim n 3n 1 2n- + - 51, ( )2lim n 4n 2 n 2+ + - + 52, ( )2 2lim 2n 1 2n n 1+ - + + 53, ( )lim n n 3 n 1+ - + 54, ( )lim n 5 2n 3 2n 1+ + - - 55, 2 1 lim n 1 n 2+ - + 56, 2n 1 n lim 2n 5 n 2 + - - - + 57, ( )3n 2 2n 1 n 2 lim n 3 + - - - + 58, ( )3 3 2lim n 2n 1 n+ + - 59, ( )32 3 2lim n 3n n n 2n+ + + - 60, ( )3 3 2 2lim n 3n 1 n 2n+ + - +

    Tài liệu đính kèm:

    • Bai_tap_ve_gioi_han_cua_day_so_ham_so.pdf

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số
  • Đáp Án Bài Tập Csdl
  • Bài Tập Toán Lớp 2 Cơ Bản Và Nâng Cao Cho Bé
  • Hệ Mật Mã Khối Và Các Thuật Toán Mã Hóa Khối Kinh Điển: Des
  • Des Là Gì? Code Ví Dụ Des Bằng Java
  • Các Dạng Bài Tập Giới Hạn Hàm Số Lớp 11 Từ Căn Bản Tới Nâng Cao

    --- Bài mới hơn ---

  • Đáp Án Bài Tập Nguyên Lý Kế Toán Chương 5 Đại Học Thương Mại (Tmu)
  • Tổng Hợp Bài Tập Python Cơ Bản 2022
  • Bài Tập Quản Lý Chất Lượng
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 (Tập 1)
  • Bai Tap Toan Lop 3
  • Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao

    Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao

    Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.

    1. Lý thuyết giới hạn hàm số

    1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

    Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0

    Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

    • $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.
    • Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right)$

    Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0

    ta đều có limf(xn)= ±∞

    Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$  = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

    1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

    Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞

    ta đều có lim f (xn) = L

    1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn

    1.4 Giới hạn một bên

    Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau

    1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực

    1.6 Các dạng vô định

    2. Phân dạng giới hạn hàm số

    Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn

    Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.

    Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{2}{{x – 1}}$

    Lời giải

    Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ không tồn tại

    Ta thực hiện theo các bước sau:

    Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {cos x} right)$

    Lời giải

    Đặt f(x) = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:

    Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn

    Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.

    Ta có kết quả sau:

    Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ hoặc $mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right)$

    ta thực hiện các bước sau:

    Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$

    Lời giải

    $mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$ = 32 + 3 = 12

    Nhận xét

    • Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f(x)
    • Với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.
    • Trong trường hợp với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) = 0 (tức có dạng $frac{0}{0}$)
    • Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung (x − x0)

    Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

    Sử dụng các định lí với lưu ý sau:

    Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:

    Lời giải

    Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0

    Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

    Bài tập 5. Cho hàm số

    Tính $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} fleft( x right)$ và $mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right)$

    Lời giải

    Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

    Dạng 7. Dạng $frac{0}{0}$

    Bản chất của việc khử dạng không xác định $frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:

    • Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định
    • Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả

    Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

    a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau

    Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản

    Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước

    b) Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {1 + x} right)^{frac{1}{x}}} = e$, $mathop {lim }limits_{x to infty } {left( {1 + frac{1}{x}} right)^x} = e$

    --- Bài cũ hơn ---

  • 26 Bài Tập Excel Có Lời Giải Hay Nhất, Trọn Bộ Bài Tập Excel Có Lời Giải Hay Nhất
  • Lời Giải Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 4
  • Infty Square Bài Viết Về An Toàn Gi…
  • Skills 1 Trang 32 Unit 3 Sgk Tiếng Anh 8 Mới
  • Looking Back – Trang 24 Unit 8 Sgk Tiếng Anh 6 Mới
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100