Published on
1. chúng tôi HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS TS Tô Văn Ban (Chủ biên) TS Tạ Ngọc Ánh, TS Hy Đức Mạnh BÀI GIẢNG CHI TIẾT GIẢI TÍCH II Hà nội, 6-2013
4. chúng tôi 3 Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa trên lớp CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 12(b); 15; 18(b); 21(b); 22; 23(a); 24(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e). Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 24(c); 26(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 1.17; VD 1.26A; VD 1.27; VD 1.28; VD 1.29 (i, ii); VD 1.30; VD 1.37; VD 1.39 CHƯƠNG II Bổ trợ: 1(b, d); 2(b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; 19(b); 20(a, c); 24; 27(a). Chính: 1(e); 5(f); 6(a); 7(e, f); 8(b, d); 9(g); 10(f, g, h); 14(c, d); 19(c); 20(f); 21(c, d); 22(b, c, e); 23(a, b). VD 2.11; VD 2.13; VD2.25 ; VD 2.26; VD 2.27; VD 2.33; VD 2.34; VD2.37 ; VD 2.40 CHƯƠNG III Bổ trợ: 1(d,e), 2, 4. 5(a) , 11, 14(a), 15(a, c), 17(a), 18(d), 19(a, d), 22(a, e), 26(c), 27(a); 29(a, b), 30. Chính: 7; 8; 14(c); 16(c, d); 22(d); 24(c, d, e, f, h); 25. VD3.16 ; VD3.23 ; VD3.23 ; VD3.25 ; VD3. 26 ; VD3.27 ; VD3.28 ; VD3. 29 ; VD3.31 ; VD3.32 ; VD 3.33; VD3.34 . CHƯƠNG IV Bổ trợ: 2(a); 3(a) 8; 10(e); 12(b); 15(b,c); 18(b); 20(a); 21(d); 23(a); 24(b, e); 26(a, b, d); 28(a, b); 31(c). Chính: 3(b); 10(b, c, d, e); 12(e, f, g); 13(b); 15(f, g); 18(c, d); 19(a, b, c, d, e); 24(e); 26(f, h, i, j); 27(c, d,e); 28(d, e, f, g); 30(d, e, f); 31(b); 32; 33(a, b, c). VD 4. 34; VD 4.35 ; VD 4.36; VD 4.48; VD 4.49; VD 4.50; VD 4.51 ; VD 4.52; VD 4.53; VD 4.54((i), (ii)). CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm 1 Lý thuyết 2.0 2 Chương 1: Hàm số nhiều biến số 2.0 3 Chương 2: Tích phân bội 2.0 4 Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt 2.0 5 Chương 4: phương trinh vi phân 2.0 Điểm bài thi 10đ Điểm quá trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% + điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70% 10đ Hình thức thi: Thi viết
5. chúng tôi 4 Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa chỉ Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số) Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ § 1.1. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1.1. Tập hợp trong n a. Không gian n Xét V là tập hợp các bộ n số thực có thứ tự x 1 n i(x , … , x ), x . (Hiện thời ta viết đậm các phần tử của V). Trong V đưa vào phép cộng và và phép nhân với vô hướng: 1 n 1 n i i(x , … , x ), (y ,…,y ), x , y x y , 1 1 n n(x y , … , x y ) x y , 1 n( x , … , x ), x . Khi đó V trở thành không gian véc tơ trên ; phần tử của V gọi là véc tơ, đôi khi gọi là điểm. * Tích vô hướng. Tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một số thực, ký hiệu là x.y , (có tài liệu viết là x,y ) xác định bởi: 1 1 n nx y … x y x.y . * Không gian Euclide n . Không gian véc tơ V có trang bị tích vô hướng vừa nêu gọi là không gian Euclide n chiều, ký hiệu là n . Tích vô hướng nêu trên có các tính chất thông thường đã biết ơt phổ thông. Khi 0x.y ta nói hai véc tơ x và y là trực giao với nhau, và viết x y . * Khoảng cách. Khoảng cách giữa 1 n(x ,… ,x )x và 1 n(y ,… ,y )y ký hiệu bởi d(x, y), xác định theo công thức d( , ) ( ) ( ) x y x y x y . 2 2 1 1 n nd( , ) (y x ) … (y x ) x y . (1.1) Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau đây: d( , ) d( , )x y y x : tính đối xứng d( , ) 0; d( , ) 0 x y x y x y : tính xác định dương d( ) d( ) d( ) x,y y,z x,z : bất đẳng thức tam giác Trong 2 , điểm hay được ký hiệu là (x,y), trong 3 là (x,y,z).
6. chúng tôi 5 Đồng nhất điểm M với bộ số (x,y,z) là toạ độ của nó trong một hệ toạ độ trức chuẩn; thay cho điểm M, ta viết (x,y,z) hay đầy đủ hơn M(x,y,z). Khoảng cách (1.1) chính là khoảng cách thông thường. Trong 2 : Điểm M có thể đồng nhất với toạ độ (x, y) của nó; thay cho điểm M ta viết (x, y), hay đầy đủ hơn M(x, y). Trong phần còn lại của chương này các kết quả được trình bày chủ yếu trong 2 . Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho n . b. Phân loại tập hợp trong n Lân cận. Cho 2 ; a lân cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ), kí hiệu U ( ) a , là tập hợp xác định bởi: 2 U ( ) { : d( , ) } a x x a . Điểm a được gọi là điểm trong của tập hợp 2 E nếu E chứa một hình cầu mở nào đó tâm a: U ( ) E, ( 0) x . Đồng thời, tập E gọi là một lân cận của điểm a. Tập mở. Tập hợp E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của nó. Dễ nhận thấy rằng, tập hợp U ( ) a là tập mở. Điểm biên. Điểm x gọi là điểm biên của E nếu trong một -lân cận bất kì của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E . Tập các điểm biên của E kí hiệu là (E) , gọi là biên của E. Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E; điểm biên của E có thể thuộc E, có thể không thuộc E. Tập đóng. E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó: E đóng E E E . Hình 1.1. (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mặt cầu (tập đóng) trong 2 Chẳng hạn, các tập sau đây là đóng (xem Hình 1.1): (a) (b) (c) (d)
8. chúng tôi 7 Sử dụng các đường (đồng) mức Bảng dữ liệu. 1.1.3. Giới hạn của hàm nhiều biến a. Giới hạn của dãy điểm Ta nói dãy điểm 2 n n n{u } {(x ,y )} hội tụ đến 0 0 0u (x ,y ) nếu n 0 n lim d(u ,u ) 0 . (1.2) Khi đó ta viết n n 0 0 n lim (x ,y ) (x ,y ) , hay đơn giản n 0 n lim u u hoặc n 0u u (khi n ). Giới hạn của dãy điểm tương đương với giới hạn của từng tọa độ: n n 0 0 n 0 n 0 n n n lim (x ,y ) (x ,y ) lim x x ; lim y y . (1.3) * Điểm giới hạn (điểm tụ). Điểm a được gọi là điểm giới hạn của tập n D nếu có một dãy n{u } các phần tử khác a của D hội tụ đến a. b. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. Cho hàm số f(u) xác định trên 2 D và 0 0a (x ,y ) là một điểm giới hạn của D. Ta nói hàm f(u) có giới hạn khi u dần đến a nếu: 0, 0 , sao cho u D , 00 d(u,u ) f(u) . (1.4) Khi đó ta viết u a lim f (u) hay f (u) khi u a . Để đầy đủ, ta còn viết 0 0 0 0 (x,y) (x ,y ) limf(x,y) (hay f (x,y) khi (x,y) (x ,y )) (1.5) Định lý 1.1. Hàm f(u) có giới hạn khi u dần đến a khi và chỉ khi n n n n n n {u } D; u a; lim u a lim f (u ) . (1.6) Hệ quả. Nếu u a lim f (u) thì với u (x,y) dần đến 0 0a (x ,y ) theo một đường cong tuỳ ý trong D, f(u) dần đến . Hình 1.5. Điểm dần đến 0 0(x , y ) theo những đường khác nhau Lưu ý. Các kết quả thông thường đối với giới hạn của hàm 1 biến như giới hạn của tổng, hiệu, định lý kẹp… vẫn còn đúng cho giới hạn của hàm nhiều biến. Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn i) 2 2 2 2(x, y) (1,0) 1 lim (x y )sin x y ; ii) 2 2 2 2(x, y) (0,0) 1 lim (x y )sin x y .
9. chúng tôi 8 Giải. i) 2 2 2 2x,y 1,0 1 lim (x y )sin sin1 x y . ii) Hàm số xác định trên 2 /{(0,0)} . Ta có 2 2 0 f(x,y) x y 0 (khi (x, y) (0,0) . Theo định lí kẹp, (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) lim f (x,y) 0 lim f(x,y) 0 . Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự như với hàm một biến. Chẳng hạn 2 y x khi (x,y) (0,3) ; 2x 2 2 e 1 y z khi (x,y,z) (0,0,0). # 1.1.4. Sự liên tục của hàm số Cho hàm số f (x,y), (x,y) D , trong đó D là tập tuỳ ý của 2 và 0 0(x ,y ) D là điểm giới hạn của D. Ta nói f(x, y) liên tục tại 0 0(x ,y ) nếu 0 0 0 0 (x, y) (x , y ) lim f(x,y) f(x ,y ) . (1.7) Giả sử 0 0 0 0a (x ,y ) D, u (x,y) (x x,y y) D . Đặt 0 0 0 0f f(x x,y y) f (x ,y ) Khi đó hàm số f(u) liên tục tại 0 0(x ,y ) khi và chỉ khi ( x, y) (0,0) lim f 0 . (1.8) * Hàm f(x,y) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm 0 0(x ,y ) D . Lưu ý. Các định lí về tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến gần như vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến. Chẳng hạn Định lý 1.2. Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội D thì bị chặn trên đó và đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 1 1 2 2(x ,y ), (x ,y ) D để 1 1 2 2 (x,y) D (x,y) D f (x ,y ) m Min f (x,y); f(x ,y ) M Max f (x,y) . Định lý 1.3. Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội thì liên tục đều trên đó, tức là với mọi 0 , tìm được số sao cho với (x,y), (x ,y ) D mà d((x,y), (x ,y )) thì f(x,y) f(x ,y ) . Ví dụ 1.5. Cho hàm số 2 2 xy (x,y) (0,0) u f x,y x y 0 (x,y) (0,0)
10. chúng tôi 9 Rõ ràng hàm liên tục tại mỗi điểm 0 0(x ,y ) (0,0) (vì là thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0). Tại 0 0(x ,y ) (0,0) , theo bất đẳng thức Cauchy. 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 xyx y (x y ) (x y ) 0 xy 2 x y 2 (x y ) 2 . Trường hợp 1: 1 ( 1)/2 (x,y) (0,0) u 0 1 lim f (x,y) lim d(u,0) 0 f(0,0) 2 . Vậy f(x,y) liên tục tại (0,0). Trường hợp 2: 1 . Xét (x,y) (0,0) theo đường y = x. 2 2 2 1 x 1 f x,y f x,x 0 khi x 0 2x 2x . Vậy f(x,y) không liên tục tại (0,0). # § 1.2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1.2.1. Đạo hàm riêng Định nghĩa. Cho hàm số z f(x,y) xác định trong tập mở 2 D , lấy điểm 0 0 0M (x ,y ) D . Cố định 0y y thì 0f (x,y ) là hàm một biến x. Nếu hàm này có đạo hàm tại 0x x thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z f(x,y) theo biến x (biến thứ nhất) tại điểm 0 0 0M (x ,y ) , kí hiệu bởi một trong các cách sau: 0 0 0 0 x 0 0 x 0 0 z(x ,y ) f (x ,y ) z (x ,y ), f (x ,y ), , . x x Như vậy, cho x đủ nhỏ sao cho 0 0(x x,y ) D . Đặt: x 0 0 0 0z f(x x,y ) f (x ,y ) gọi là số gia riêng của hàm số z f(x,y) đối với biến x tại 0 0(x ,y ). Khi đó 0 0 x x 0 f (x ,y ) z lim x x . Hình 1.6. Cách lập số gia riêng của hàm số Đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0(x ,y ), kí hiệu là y y0 O 0 0x x x x 0 0 0 0(x ,y ) (x x,y )
11. chúng tôi 10 0 0 0 0 y 0 0 y 0 0 f (x ,y ) z(x ,y ) f (x ,y ), z (x ,y ), hay y y . n 3 : định nghĩa tương tự. Quy tắc. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta chỉ việc coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến. Ví dụ 1.7. Tính các đạo hàm riêng của hàm số i. y z x , (x 0). ii. x z arctan , (y 0) y . Giải. i. y 1 yz z yx ; x ln x. x y ii. 2 2 2 2 2 2 2 z 1 1 y z 1 x x ; . x y y1 (x / y) x y 1 (x / y) y x y # 1.2.2. Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa Cho hàm số z f(x,y) xác định trong tập mở D. Trong D lấy các điểm 0 0 0 0(x ,y ), (x,y) (x x,y y) . Biểu thức 0 0 0 0f f(x x,y y) f (x y ) được gọi là số gia toàn phần của hàm f(x,y) tại 0 0(x ,y ). Nếu số gia f có thể biểu diễn dưới dạng f A x B y x y (1.9) trong đó A, B là những hằng số không phụ thuộc vào x, y (chỉ phụ thuộc vào 0 0(x ,y )), (x,y) 0, (x,y) 0 khi x 0 y 0 vµ thì ta nói: + Hàm số f(x,y) khả vi tại 0 0(x ,y ); + Biểu thức A x B y gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại 0 0(x ,y ) (ứng với số gia x, y của đối số x, y tương ứng), kí hiệu là 0 0dz(x ,y ) hay 0 0df(x ,y ) . Như vậy, 0 0dz(x ,y ) A x B y . * Hàm số z f(x,y) gọi là khả vi trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm của D. Tính chất. Nếu f(x,y) khả vi tại 0 0(x ,y ) thì liên tục tại đó. CM: f A x B y x y 0 khi x, y 0 . Vậy hàm liên tục tại 0 0(x ,y ). Định lí 1.5. Cho hàm f(x,y) xác định trong tập mở 2 D và 0 0(x ,y ) D . (i) (Điều kiện cần để hàm khả vi). Nếu f(x,y) khả vi tại điểm 0 0(x ,y ) thì tồn tại các đạo hàm riêng x 0 0 y 0 0f (x ,y ), f (x ,y ) . Các hằng số A, B trong định nghĩa vi phân cho bởi x 0 0 y 0 0A f (x ,y ), B f (x ,y ) ; nói cách khác, 0 0 x 0 0 y 0 0df(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y .
12. chúng tôi 11 (ii) (Điều kiện đủ để hàm khả vi). Nếu hàm số z f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm 0 0(x ,y ) thì khả vi tại đó và 0 0 x 0 0 y 0 0dz(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y . (1.10) Chứng minh (i) Từ giả thiết, f A x B y x y . Xét 0y y const thì y 0 và xf f A x x . Do đó: x x 0 0 x 0 x 0 f A x x f (x ,y ) lim lim A x x . Tương tự, ‘ y 0 0f (x ,y ) B . (ii) Với x, y đủ nhỏ thì 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f f (x x,y y) f(x ,y ) f(x x,y y) f(x ,y y) f(x ,y y) f(x ,y ) . Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến dẫn đến x 0 1 0 y 0 0 2f f (x x,y y) x f (x ,y y) y trong đó 1 20 1; 0 1 . Vì x yf , f liên tục tại 0 0(x ,y ) nên x 0 0 y 0 0f f (x ,y ) x f (x ,y ) y trong đó 0, 0 khi x 0, y 0 . Vậy x 0 0 y 0 0f f (x ,y ) x f (x ,y ) y y (đpcm). Chú ý. Giống như trường hợp một biến, nếu x, y là biến độc lập thì dx x; dy y . Từ đó, 0 0 x 0 0 y 0 0df(x ,y ) f (x ,y )dx f (x ,y )dy . Hệ quả. Nếu x yf (x,y), f (x,y) liên tục trong tập mở D thì f (x,y) f (x,y) df (x,y) dx dy x y . (1.11) Ví dụ 1.8. Xét sự khả vi và tính vi phân dz(x,y), dz(0,1) (nếu có) của các hàm số 3 3 z x y 3xy. Giải. 2 2z z 3x 3y, 3y 3x x y , là những hàm liên tục trên 2 . Vậy hàm số là khả vi trên 2 và 2 2 dz 3[(x y)dx (y x)dy] . dz(0,1) 3dx 3dy 3( dx dy) . # Chú ý. Đối với hàm nhiều biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo để hàm số khả vi. Xét ví dụ sau. Ví dụ 1.9. (tài liệu [1]) #
13. chúng tôi 12 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng. Nếu đặt 0 0 0 0x x x, y y y (hay x x x , y y y ) , từ định nghĩa vi phân ta có 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 0 0 z f (x,y) f(x ,y ) f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) (x x ) (y y ) f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) df(x ,y ). Dẫn đến công thức xấp xỉ 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f(x x, y y) f(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y ( 0 0 0 0f(x ,y ) df (x ,y ) ). (1.12) Công thức này cho phép tính giá trị gần đúng của hàm số dùng vi phân. Vế phải là biểu thức tuyến tính của các biến x, y nên công thức cũng có tên là xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại lân cận điểm 0 0(x ,y ). Hình 1.7. Ý nghĩa hình học của vi phân Giống như trường hợp một biến, khi áp dụng công thức (1.12) để tính giá trị xấp xỉ của biểu thức A nào đó chúng ta phải: + Xác định dạng hàm f, + Xác định điểm 0 0(x ,y ), ở đó dễ tính (hoặc có sẵn) 0 0f (x ,y ), các đạo hàm riêng x 0 0 y 0 0f (x ,y ), f (x ,y ) , + Xác định các số gia x, y ; các số gia này phải đủ bé. Ví dụ 1.10. Tính xấp xỉ 1,02 A arctan 0,95 . Các bạn hãy trả lời câu hỏi “giá như?” 0 0(x ,y ) Giá trị lẻ thứ nhất x Giá trị lẻ thứ hai y } Dạng hàm f(x,y)
16. chúng tôi 15 ii) Trường hợp z f(x,y), y y(x) z f(x,y(x)) (hàm một biến) thì dz f f dy dx x y dx . (1.15) iii) Trường hợp z f (x,y), x x(t), y y(t) z f(x(t),y(t)) thì dz f dx f dy . . dt x dt y dt (1.16) iii) Trường hợp z f (u,v,w) thì f f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) . Lúc đó f f u f v f w , x u x v x w x f f u f v f w . y u y v y w y (1.17) iv) Cho phép đổi biến u u(x,y) v v(x,y) biến mỗi điểm (x,y) D thành điểm (x,y) (u(x,y), v(x,y)) , ma trận u v x x J u v y y gọi là ma trận Jacobi của phép đổi biến u u(x,y), v v(x,y) . Định thức của ma trận J gọi là định thức Jacobi hay Jacobian của phép đổi biến, ký hiệu là D(u,v) D(x,y) : u u x yD u,v det v vD x,y x y . (1.18) Nhận xét ký hiệu: Các biến tham gia ở tử: Chỉ hàm số Các biến tham gia ở mẫu: Chỉ đối số Ví dụ 1.12. Tính đạo hàm của hàm số hợp i) 2 2 z ln(u v ) với u xy, v x / y ; ii) xy 2 2 z e ln(x y ) . Giải. i) 2 2 2 2 z z u z v 2u 2v 1 2 .y . … x u x v x y xu v u v ; 4 2 2 2 2 2 4 z z u z v 2u 2v x 2(y 1) x … y u y v y u v u v y y(y 1) . ii) Thực ra, khi đạo hàm ta không cần viết ra các hàm trung gian u, v, w…, nên viết trực tiếp theo các biến cuối cùng x, y, z … # Sự bất biến dạng của vi phân
17. chúng tôi 16 Xét z f(u,v) , u, v là hai biến độc lập. Khi đó f f dz du dv u v . (*) Vẫn xét z f(u,v) nhưng với u, v là biến phụ thuộc: u u(x,y), v v(x,y) . z f(u(x,y),v(x,y)). Áp dụng (*): f f dz dx dy x y . Từ chỗ f f u f v x u x v x , …, thay vào được f u f v f u f v dz dx dy u x v x u y v y f u f f v v dx dy dx dy u x y v x y f f du dv u v . (**) Như vậy công thức (**) cùng dạng với (*). Ta nói: Vi phân cấp một bất biến dạng (có cùng dạng (*) dù là biến độc lập hay biến phụ thuộc). Áp dụng. Nếu u u(x,y), v v(x,y) là các hàm khả vi thì d u v du dv; d(uv) udv vdu; 2 u vdu udv d v v ; df(u) f (u)du . (1.19) Các công thức này đúng cho u, v là biến độc lập nên đúng cho u, v là biến phụ thuộc. Ví dụ 1.13. Tính vi phân của các hàm số sau i) 2 y z arcsin ; x ii) 2 z arctan (xy ) . Giải. i) 2 2 22 2 4 2 42 1 y x 2xydy y dx y( ydx 2xdy) dz d x xx y x x yy 1 x . ii) 2 2 2 2 2 4 1 1 dz d(xy ) (y dx 2xydy) 1 (xy ) 1 x y . 1.2.4. Đạo hàm hàm số ẩn
18. chúng tôi 17 a. Khái niệm (*). Cho trước một hệ thức giữa hai biến x và y: F(x,y) = 0. (1.20) Nếu với mọi giá trị 0x trong một khoảng nào đó, có một (hoặc một số) giá trị 0y sao cho 0 0F(x ,y ) 0 thì ta nói rằng hệ thức (1.20) xác định một (hoặc một số) hàm ẩn y theo x: y y(x) trong khoảng ấy. Vậy hàm số y f(x) được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (1.20) nếu khi thế y f(x) vào (1.20), ta được đồng nhất thức: f(x,y(x)) 0 . Ví dụ. 2 2 2 2 x y 1 a b , 2 2a y a x b và 2 2a y a x b , x ( a, a) . Ta nói hệ thức 2 2 2 2 x y 1 a b xác định 2 hàm ẩn trong khoảng ( a, a) . Không phải lúc nào cũng tìm được biểu thức tường minh. Chẳng hạn, ta không thể giải x qua y hay y qua x từ biểu thức y x x y 1 (x,y 0) , mặc dầu tồn tại mối quan hệ hàm (ẩn) từ ràng buộc này. Hàm ẩn vừa nói từ 1 ràng buộc, ràng buộc có 2 biến. Mở rộng: Từ 1 (2, 3…) ràng buộc, các ràng buộc có nhiều biến. Chẳng hạn * Hệ hai phương trình F(x,y,z,u,v) 0 G(x,y,z,u,v) 0 (1.22) Nếu từ đây có thể giải ra được một (hoặc một số) cặp hàm u u(x,y,z) v v(x,y,z) (1.23) xác định trong một miền 2 G nào đó, sao cho khi thay vào (1.22) ta nhận được những đồng nhất thức, thì ta nói (1.22) xác định một (hoặc một số) cặp hàm ẩn u, v của 3 biến x, y, z . Nói chung, khi n biến độc lập được liên kết với nhau bởi m ràng buộc (0 m n) , thì có nhiều nhất m biến trong chúng là hàm của các biến còn lại. b. Cách tính đạo hàm hàm ẩn Định lí 1.7. Định lý tồn tại và khả vi của hàm ẩn: Xem [1] Giả sử các điều kiện của Định lí 1.7 thoả mãn, thay y = f(x) vào (1.20) thì F(x,y(x)) 0 với mọi x đủ gần 0x . Lấy đạo hàm 2 vế theo x: x yF (x,y(x)) F (x,y(x))y (x) 0 x y F (x,y(x)) y x F (x,y(x)) , hay viết gọn:
19. chúng tôi 18 F dy(x) x Fdx y . (1.24) Định lí 1.8. Cho F(x,y,z) là hàm ba biến xác định trên tập mở 3 G , 0 0 0(x ,y ,z ) G sao cho 0 0 0F(x ,y ,z ) 0 . Giả sử rằng hàm F liên tục và có các đạo hàm riêng x y zF , F , F liên tục tại lân cận 0 0 0(x ,y ,z ) . Hơn nữa, giả sử rằng z 0 0 0F (x ,y ,z ) 0 . Khi đó tồn tại hàm ẩn z z(x,y) tại một lân cận của 0 0(x ,y ), liên tục, khả vi liên tục tại lân cận 0 0(x ,y ) và 0 0 0z(x ,y ) z . Để tính các đạo hàm riêng của z(x,y), ta thay z z(x,y) vào (1.21): F(x,y,z(x,y)) 0 với mọi (x,y) trong lân cận 0 0(x ,y ). Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, rồi theo biến y ta được F F z 0 x z x F F z 0. y z y . Do zF 0 , điều này dẫn đến FF z z yx , . F Fx y z z (1.25) Ví dụ 1.14. Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z z(x,y) xác định từ phương trình z 2 3 F(x,y,z) e xy x z 1 0 . Giải. x z z z F y 2x x F e 3z , y z z Fz x x F e 3z . # 1.2.5. Đạo hàm theo hướng – Gradient Bổ đề. là véc tơ đơn vị (cos , cos , cos ) , ( , , lần lượt là góc hợp bởi với các tia Ox, Oy, Oz ) Định nghĩa. Cho hàm u(x,y,z) xác định trong tập mở 3 D , 0 0 0 0M (x ,y ,z ) D , (a,b,c) là véc tơ đơn vị. Nếu hàm một biến 0 0 0F(t) u(x ta,y tb,z tc) có đạo hàm tại t 0 thì F (0) được gọi là đạo hàm theo hướng của hàm u(x,y,z) tại M0, kí hiệu là 0 0 0u(x ,y ,z ) (hay 0u(M ) ). CÁCH NHỚ! CÁCH NHỚ!
21. chúng tôi 20 Hệ quả. Cho u(x,y,z) khả vi tại 0 0 0 0M (x ,y ,z ). Khi đó (i) 0 0 u(M ) grad u(M ) ; (ii) 0 0 0 u(M ) gradu(M ) gradu(M ) . (1.31) Chứng minh. (cos , cos ,cos ) , (i) trực tiếp suy ra từ (1.29). Ta nhận được (ii) từ chỗ 0 0 0gradu(M ) gradu(M ) cos gradu(M ), . Hệ quả. Cho u là hàm khả vi tại 0M . Giá trị cực đại của đạo hàm theo hướng 0u(M ) là 2 2 2 0 x y zgrad u(M ) (u ) (u ) (u ) , xảy ra khi cùng chiều với 0gradu(M ) . 0gradu(M ) là hướng mà theo đó, tại M0 hàm số biến thiên nhanh nhất: + Theo hướng grad u : Hàm tăng nhanh nhất; + Theo hướng -grad u : Hàm giảm nhanh nhất. Nếu u(x,y,z) là nhiệt độ của chất điểm M(x,y,z) thì: Khi di chuyển theo hướng grad u , chất điểm đến chỗ ấm hơn nhanh nhất; Theo hướng ngược lại, sẽ đến chỗ lạnh hơn nhanh nhất. Ví dụ 1.15. Cho hàm số 3 3 3 u x y z 3xyz ; tính grad u và u tại 0M 1,2 1 biết là véc tơ đơn vị của 0 1M M với 1M 2,0,1 . Giải. 2 x 2 2 2 2 y 2 z u 3x 3yz u 3y 3zx gradu 3(x yz, y zx, z xy) u 3z 3xy . + 0gradu(M ) 3( 1,3,3) . + 0 1 0 1 0 1 M M (1, 2,2) 1 2 2 M M 1, 2,2 , , M M 3 3 3 3 0 0 u(M ) 1 2 2 .grad u(M ) 3 1. 3. 3. 1 3 3 3 . Suy ra 0 0 0 u(M ) gradu(M ) grad u(M ) 3 19 . Dấu “=” xảy ra khi 0gradu(M ) . #
24. chúng tôi 23 2 2 x y x x z 2xln(x y) , z . x y x y 2 2 xx xy yy2 2 2 3x x(x 2y) x z 2ln(x y) , z , z . (x y) (x y) (x y) # Định lí 1.11 (Schwarz). Nếu trong một lân cận của điểm 0 0(x ,y ) tồn tại các đạo hàm riêng hỗn hợp xy yxf (x,y), f (x,y) và các đạo hàm riêng này liên tục tại 0 0(x ,y ) thì chúng bằng nhau tại 0 0(x ,y ): xy 0 0 yx 0 0f (x ,y ) f (x ,y ) . (1.32) Như vậy, với các điều kiện của định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Định lý còn đúng cho trường hợp số biến n 3 cũng như cấp các đạo hàm riêng hỗn hợp 3 . Vi phân cấp cao. Giả sử ta đã tính được vi phân cấp một x ydf f dx f dy . Vi phân của df – khi coi dx, dy là những hằng số – nếu tồn tại, được gọi là vi phân cấp hai của z, kí hiệu 2 d f : 2 x xd f d(df ) d(f dx f dy) . (1.33) Cứ như vậy, ta định nghĩa vi phân cấp cao hơn Công thức tính. Khi x, y là những biến độc lập, các số gia dx x, dy y không phụ thuộc vào x, y. Giả sử tồn tại 2 d f thì 2 x yd f d(df) d(f dx f dy) x y x x y y 2 2 xx yx xy yy (f dx f dy) dx (f dx f dy) dy f (dx) (f f )dxdy f (dy) . Giả sử xy yxf , f liên tục, khi đó chúng bằng nhau. Vậy 2 2 2 xx xy yyd f f (dx) 2f dxdy f (dy) . (1.34) Công thức tượng trưng 2 2 d f dx dy f x y (1.35) Tương tự n n d f dx dy f x y . (1.36) Xảy ra công thức tương tự cho hàm nhiều biến hơn, 2 2 d f (x,y,z) dx dy dz f x y z 2 2 2 2 2 2 f f dx dy x y 2 2 2 2 2 2 f f f f dz 2 dxdy 2 dxdz 2 dydz x y x z y zz .
25. chúng tôi 24 Nếu x, y không là biến độc lập thì giống trường hợp một biến, bất biến dạng không còn đối với vi phân cấp cao. Ví dụ 1.17. Cho z là hàm của x, y xác định từ x z ln 1 z y . Tính 2 dz,d z . Giải. Có thể tính các đạo hàm riêng rồi thay vào công thức tính vi phân. Song cách sau đơn giản hơn. Giả sử yz 0 , vi phân 2 vế phương trình đã cho, dùng (1.19) thu được: 2 2 zdx xdz y ydz zdy zz y 2 yzdx xydz yzdz z dy 0 z(ydx zdy) dz yz 0;x z y(x z) (*) Vi phân hai vế (*) rồi rút gọn dẫn đến: 2 2 2 2 3 z (ydx xdy) d z y (x z) . # 1.2.7. Công thức Taylor Định lí 1.12. Giả sử hàm z f (x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n 1 trong một -lân cận nào đó của điểm 0 0 0M (x ,y ) . Giả sử 0 0M(x x, y y) cũng thuộc -lân cận đó. Khi đó xảy ra đẳng thức 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 f (x x,y y) f (x ,y ) d f (x ,y ) d f (x ,y ) . .. 2! n (n 1) 0 0 0 0 1 1 d f (x ,y ) d f (x x,y y), n! (n 1)! (0< < 1 ). (1.37) Khi dùng lũy thừa tượng trưng, ta có thể viết lại (1.37) dưới dạng kn 0 0 k 1 1 f (M) f(M ) x y f (M ) k! x y n 1 1 1 x y f (M ) n 1 ! x y (1.38) ( 1M thuộc đoạn 0 1M M ). hay viết phần dư dạng Peano: kn 0 0 k 1 1 f (M) f(M ) x y f (M ) k! x y + n 2 2 ( x, y). x y (1.39) với ( x, y) (0,0) lim ( x, y) 0 .
26. chúng tôi 25 Đặc biệt, với n = 1 ta được công thức số gia giới nội cho hàm nhiều biến 1 1 0 f (M ) f (M ) f (M) f(M ) x y x y (1.40) 1M là điểm trên đoạn thẳng 0MM . Chứng minh. (Xem [1]) § 1.3. CỰC TRỊ 1.3.1. Cực trị địa phương của hàm nhiều biến Định nghĩa. 2 z f (x,y), (x,y) D , 0 0 0M (x ,y ) là một điểm trong của D. Giả sử U là một lân cận đủ nhỏ của 0M . * M U mà 0f (M) f (M ) thì: 0M gọi là điểm cực tiểu của hàm f(x,y); Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực tiểu tại 0M , 0f(M ) gọi là giá trị cực tiểu. * Tương tự với cực đại. Điểm cực tiểu, cực đại gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. Hình 1.8. Cực trị địa phương của hàm 2 biến Ví dụ 1.18. Xét cực trị hàm số 2 2 z x 2x y 4y 7 . G. 2 2 z (x 1) (y 2) 2 2 . Dấu bằng đạt được x 1, y 2 . Vậy ( 1, 2) là đểm cực tiểu của hàm số đã cho, CTz z( 1,2) 2 . # Định lí 1.13 (Điều kiện cần của cực trị). Giả sử hàm số z f (x,y) đạt cực trị tại 0 0 0M (x ,y ) , và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng 0 0f (M ) f (M ) , x y . Khi đó 0 0f (M ) f (M ) 0 x y . (1.41) z O 0y y 0x D 0M
27. chúng tôi 26 Chú ý. * Điều ngược lại không đúng. Cụ thể là: Có thể tại 0 0(x ,y ), cả hai đạo hàm riêng triệt tiêu ( x yf f 0 ), nhưng hàm số không đạt cực trị tại 0 0(x ,y ). * Ta chỉ việc tìm cực trị tại những điểm tại đó: + f f 0 x y : điểm dừng + Hoặc ít nhất một trong các đạo hàm riêng } điểm tới hạn (nghi ngờ CT). Định lí 1.14 (Điều kiện đủ của cực trị). Cho D là một tập mở của 2 . Giả sử hàm hai biến z f (x,y), (x,y) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng 0 0(x ,y ) D . Coi vi phân cấp hai 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 o o 2 2 f(x ,y ) f (x ,y ) f(x ,y ) d f (x ,y ) dx 2 dxdy dy x yx y là dạng toàn phương của các biến dx, dy. i) Nếu 2 o od f (x ,y ) xác định dương thì f đạt cực tiểu tại 0M . ii) Nếu 2 o od f (x ,y ) xác định âm thì f đạt cực đại tại 0M . iii) Nếu 2 o od f (x ,y ) đổi dấu thì 0M không là điểm cực trị. Lưu ý. Nếu 2 o od f (x ,y ) suy biến (tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 để 2 0 0 0d f (x , y ,z ) 0 ) thì chưa có kết luận. Chứng minh (☼). (Xem tài liệu [1]) Nhận xét. Đặt 2 2 2 0 0 0 2 2 f (M ) f(M ) f (M ) A , B , C , x yx y 2 B AC. (1.42) Ma trận của dạng toàn phương 2 o od f (x ,y ) là A B B C . Từ Đại số tuyến tính ta biết rằng dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó dương; xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính đổi dấu, định thức con chính thứ nhất âm. Từ đó Định lý 1.14′. Giả sử xảy ra các giả thiết của Định lý 1.14. Khi đó i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại 0M . ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại 0M . iii) Nếu 0 thì 0M không là điểm cực trị.
28. chúng tôi 27 Hình 1.9. Điểm yên ngựa Lưu ý. Khi 0, chưa có kết luận: Hàm f có thể đạt, cũng có thể không đạt cực trị tại 0M . Để tiện lợi, người ta gọi điểm 0M ở trường hợp iii) là điểm yên ngựa (saddle point) (xem Hình 1.9a, b), dù rằng thực ra tình huống như ở Hình 1.9a mới đáng gọi là như thế. Tổng quát cho trường hợp số biến lớn hơn 2. Định lí 1.15. Cho D là một tập mở trong 3 . Giả sử hàm z f(x, y,z), (x, y,z) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng 0 0 0 0M (x ,y ,z ) D , tại đó 0 0 0 0 0 0 0 0 0f (x ,y ,z ) f (x ,y ,z ) f (x ,y ,z ) 0 x y z . (1.43) Xét dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz 2 2 0 0 0 0 0 0d f (x ,y ,z ) dx dy dz f (x ,y ,z ) x y z . Khi đó, Nếu 2 0 0 0d f (x , y ,z ) xác định dương thì 0 0 0(x ,y ,z ) là điểm cực tiểu; Nếu 2 0 0 0d f (x , y ,z ) xác định âm thì 0 0 0(x ,y ,z ) là điểm cực đại; Nếu 2 0 0 0d f (x , y ,z ) không xác định thì 0 0 0(x ,y ,z ) không là điểm cực trị. Ví dụ 1.19. Xét cực trị của hàm số 3 3 z x y 3xy . Giải. 2 x 0 2 1y z 3x 3y 0 M (0,0) M (1,1)z 3y 3x 0 là các điểm dừng. xx xy yyz 6x; z 3; z 6y. + Tại 0M : A 0; B 3; C 0 9 0 : Không đạt cực trị.
29. chúng tôi 28 + Tại 1M : A 6; B 3; C 6 9 36 25 0 . Vậy 1M là điểm cực tiểu của z (z đạt cực tiểu tại M1), CTz z(1,1) 5 .# Ví dụ 1.20. Tìm cực trị của hàm số 2 2 y z 2 u x (x,y,z 0) 4x y z . Giải. Điểm dừng của hàm số xác định từ hệ 2 x 2 2 y 2 z 2 y u 1 0 4x y z 1 u 0 M ,1,1 2x 2y 2z 2 u 0 y z (điểm dừng duy nhất). 2 2 xx xy xz yy yz zz3 2 3 2 3 y y 1 2z 2z 2 4 u , u , u 0, u , u , u 2x y2x 2x y y z Tính các đạo hàm riêng cấp hai này tại M, dẫn đến 2 2 2 2 d u(M) 4dx 3dy 6dz 4dxdy 4dydz . Đây là dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz. Ma trận của dạng toàn phương này là 4 2 0 A 2 3 2 0 2 6 . Xét các định thức con chính của nó, 1 2 3 4 2 0 4 2 A 4 0, A 8 0, A 2 3 2 32 0 2 3 0 2 6 . Vậy A là ma trận xác định dương, từ đó 2 d u(M) xác định dương. (Để chứng tỏ tính xác định dương của 2 d u(M) ta còn có thể dùng cách sơ cấp hơn sau đây : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d u(M) 4dx 3dy 6dz 4dxdy 4dydz 1 1 4(dx 2. dxdy dy ) 2(dy 2dydz dz ) 4dz 2 4 1 4 dx dy 2(dy dz) 4dz 0.) 2 Vì vậy hàm u đạt cực tiểu tại M, CTu u(M) 4 . # 1.3.2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa. Cho hàm số 2 f (x,y), (x,y) D . Nếu 0f (M) f(M ), M D , giá trị 0A f (M ) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) – hay cực đại toàn cục – của hàm f trên D. Tương tự, ta định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) – hay cực tiểu toàn cục.
30. chúng tôi 29 Khi đã tìm được các điểm cực trị (địa phương), ta cần làm thêm các lí luận phụ để kiểm tra xem đấy có phải là điểm cực trị toàn cục hay không. Trường hợp 1: miền đóng, giới nội Chúng ta biết rằng, nếu hàm f liên tục trên miền đóng, giới nội D thì đạt GTLN – GTNN trên đó. Vậy nếu GTLN (GTNN) đạt tại một điểm trong của D thì điểm trong đó phải là điểm tới hạn. Cũng có thể GTLN-GTNN đạt được trên biên. Dẫn đến quy tắc sau. Quy tắc (Tìm GTLN – GTNN trên miền đóng, giới nội) Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: 1 kM ,…,M ; Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: 1N ,…,N Tính giá trị hàm số tại các điểm này: 1 k 1f (M );… ; f (M ); f(N );…; f(N ) ; Kết luận: GTLN – GTNN của hàm là Max, Min các giá trị nhận được. Hình 1.10. Các điểm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giới nội Trường hợp 2: miền không giới nội Các nhận xét sau là có ích trong một số trường hợp: + 0 0 0 0 (x,y) (x ,y ) (x ,y ) : lim z(x,y) : Hàm số không đạt GTLN; + 0 0 0 0 (x,y) x ,y (x , y ) : lim z(x,y) : Hàm số không đạt GTNN. (Chỉ cần 0 0(x,y) (x ,y ) theo một đường cong (L) nào đó). + z(z,y) liên tục trên 2 , 0 0(x ,y ) là điểm dừng duy nhất, 2 2 z(x,y) khi x y : 0 0(x ,y ) là điểm cực tiểu. Ví dụ 1.21. Tìm GTLN – GTNN của hàm số 2 2 z x y xy 3xy trong miền D {0 x 2, 0 y 2} . Giải. 2 x 1 2 3 42 z 2xy y 3y 0 M (1,1), M (0,0), M (3,0), M (0,3) z x 2xy 3x 0 . Tuy nhiên chỉ có điểm 1M (1,1) là điểm trong của D, z(1,1) 1 .
31. chúng tôi 30 * y 0, x [0, 2] z 0 . * 2 y 2, x [0, 2] z 2x 2x, z 4x 2 ; z 0 tại 1 x 2 , 1 1 z , z(2) 4, z(0) 0 2 2 . Vai trò x, y như nhau, so sánh mọi giá trị đã tính, ta thấy: Max z Max{ 1, 0, 4} 4 , đạt được tại (2,2). Min z Min{ 1, 0, 4} 1 , đạt được tại (1,1). # Ví dụ 1.22. Chứng tỏ rằng hàm số 2 3 4 f (x, y) x (1 y) y có một điểm dừng duy nhất, cũng là điểm cực tiểu địa phương, nhưng hàm số không đạt được giá trị nhỏ nhất. Giải. Hệ ‘ ‘ x yf f 0 x = y = 0, vậy (0,0) là điểm dừng duy nhất. 2 3 4 f (x,y) f (0,0) x (1 y) y 0, x và y 1 . Vậy (0,0) là điểm cực tiểu địa phương. Mặt khác , 3 5 x x 1 1 lim f (x,x) lim x 1 x x nên f không có GTNN. Rõ ràng hàm f cũng không có GTLN. # 1.3.3. Cực trị có điều kiện Baì toán1. Tìm cực trị của hàm u f(x,y,z) với điều kiện F(x,y,z) 0 . Cách 1. Từ điều kiện F(x,y,z) = 0 giải ra z z(x,y) , thế vào hàm đã cho ta được u f (x,y,z(x,y)) : Bài toán cực trị với hàm hai biến đã biết. Phải lưu ý giá trị hàm thu được trên biên của tập xác định (mới). Ví dụ 1.23. Tìm cực trị của hàm số 2 z 6x 2xy 1 với điều kiện 2 x 2y 2 . Giải. Từ điều kiện nhận thì 2 2y 2 x 0 x 2 . 2 z 6x x(2 x) 1 x 4x 1 . z 2x 4, z 0 x 2 . x 2 2 z’ 0 z 5 11 y 2 0 Như vậy cực đại điều kiện là 5, đạt được tại ( 2, 2) ; Cực tiểu điều kiện là -11, đạt được tại (2, 0).
32. chúng tôi 31 Cách 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange) i) Lập hàm Lagrange (x,y,z, ) f(x,y,z) F(x,y,z) . ii) Ta tìm các điểm dừng (thông thường) của hàm 4 biến này. x y z 0 hay x x y y z z f (x,y,z) F (x,y,z) 0 f (x,y,z) F (x,y,z) 0 f (x,y,z) F (x,y,z) 0 F(x,y,z) 0 (1.44) iii) Từ đây ta tính được i và i i i iN (x ,y ,z ). Các điểm i i i iN (x ,y ,z ) gọi là các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện. iv) Coi cố định, lập hàm 3 biến x, y,z (x,y,z) f (x,y,z) F(x,y,z) . (1.45) Tính vi phân cấp hai của hàm này: 2 2 2 d (x, y,z) d f (x,y,z) d F(x,y,z) . (1.46) v) Thay i i i i, (x,y,z) (x ,y ,z ) và dx, dy, dz thỏa mãn điều kiện i x i y i z idF(N ) F (N )dx F (N )dy F (N )dz 0 . (1.47) vào biểu thức của 2 d (x, y,z) ở (1.46) ta được i 2 id (N ) , là một dạng toàn phương của 2 trong 3 biến dx, dy, dz. vi) Kết luận: * i 2 i i i i id (N ) 0 N (x ,y ,z ) là điểm cực tiểu điều kiện. * i 2 i i i i id (N ) 0 N (x ,y ,z ) là điểm cực đại điều kiện. * i 2 id (N ) không xác định i i i iN (x ,y ,z ) không là điểm CTĐK. * Khi cần tìm GTLN-GTNN điều kiện, nếu tập {(x,y,z) : F(x,y,z) 0} là compact (đóng và giới nội), không cần thực hiện bước iv – vi, chỉ cần so sánh giá trị của hàm f(x,y,z) tại các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện i i i iN (x ,y ,z ). Baì toán 2. Tìm cực trị của hàm z f(x,y) với điều kiện F(x,y) = 0. Tương tự BT 1, (một chút thay đổi về ký hiệu). Các bài toán trên được tổng quát sang trường hợp có nhiều biến hơn, và (hoặc) có nhiều ràng buộc hơn. Baì toán3. Tìm cực trị của hàm u f(x,y,z) với hai ràng buộc G(x,y,z) 0 H(x, y,z) 0 (1.48) ta tiến hành tương tự Bài toán 1, cụ thể như sau. i) Lập hàm Lagrange của 5 biến (x,y,z, , ) f (x,y,z) F(x,y,z) G(x,y,z) . (1.49)
33. chúng tôi 32 ii) Tìm điểm dừng của hàm thỏa mãn x y z 0 : x x x y y y z z z f (x,y,z) F (x,y,z) G (x,y,z) 0 f (x,y,z) F (x,y,z) G (x,y,z) 0 f (x,y,z) F (x,y,z) G (x,y,z) 0 F(x,y,z) 0 G(x,y,z) 0 (1.50) iii) Giải ra i i, và các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện i i i iN (x ,y ,z ). iv) Coi , cố định, lập hàm ba biến x, y, z (x,y,z) f(x,y,z) F(x,y,z) G(x,y,z) . Tính vi phân cấp hai của hàm này 2 2 2 2 d (x,y,z) d f (x,y,z) d F(x,y,z) d G(x,y,z) (1.51) v) Thay i i i i i, ; (x,y,z) (x ,y ,z ) , và dx, dy, dz thỏa mãn: i x i y i z i i x i y i z i dF(N ) F (N )dx F (N )dy F (N )dz 0 dG(N ) G (N )dx G (N )dy G (N )dz 0 (1.52) vào biểu thức của 2 d (x,y,z) ở (1.51) ta được i i 2 id (N ) là dạng toàn phương của một trong 3 biến dx, dy, dz. vi) Kết luận tương tự như đã làm ở Bài toán 1. Ví dụ 1.24. Tìm cực trị điều kiện của các hàm số với điều kiện chỉ ra ở bên i) 2 2 z x y, x y 1; ii) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z u x y z , 1 (a b c). a b c Giải. i) Đặt 2 2 (x,y, ) x y (x y 1) x y 2 2 1 2 x 0 1 2 y 0 x y 1 0 2 1 21/ 2 1/ 2, 1/ 2 , điểm dừng điều kiện tương ứng là 1 1 1 1 (x ,y ) , 2 2 và 2 2 1 1 (x ,y ) , 2 2 . Đặt 2 2 (x,y) x y (x y ) . 2 2 2 d (x,y) …; d (x, y) (dx dy ). dx, dy: 2 2 d(x y 1) 0 xdx ydy 0 . * Với 1 1 1 1 1 1 , (x ,y ) , 2 2 2
34. chúng tôi 33 dx, dy: 1 1 dx dy 0 dy dx 2 2 . 1 2 2 2 2 1 1 1 d x ,y (dx dx ) 2 dx 0 (dx 0). 2 Vậy 1 1 , 2 2 là cực tiểu điều kiện (CTĐK), zCTĐK 1 1z(x ,y ) 2 . * Với 2 1 2 , làm tương tự trên, 2 2 1 1 (x ,y ) , 2 2 là điểm cực đại điều kiện và 2 2z(x ,y ) 2 . Nếu chỉ cần tìm GTLN – GTNN điều kiện, vì đường tròn 2 2 x y 1 là đóng và giới nội nên sau khi tìm được các giá trị 1,2 1 1 2 2, (x ,y ), (x ,y ) ta thực hiện như sau: 1 1 2 2f (x ,y ) 2, f(x ,y ) 2 , GTLN ĐK Max( 2, 2) 2 , GTNN ĐK =Min( 2, 2) 2 . ii) Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z (x,y,z, ) x y z 1 a b c . 2 x 2 y 2 z 2 2 2 2 2 2 2x 2 x / a 0 2x 2 y / b 0 2x 2 z / c 0 x y z 1 0 a b c Từ 3 phương trình đầu ta được 2 2 2 x 0 y 0 z 0 , , a b c . 2 1 1,2 2 2 3,4 2 3 5,6 c M (0, 0, c), b M (0, b, 0), a M ( a, 0, 0). * Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z (x,y,z) x y z 1 a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dy dz d (x,y,z) … 2dx 2dy 2dz 2 a b c 2 2 2 2 2 2 2 1 dx 1 dy 1 dz a b c .
37. chúng tôi 36 0 0 0y f (x )(x x ) y . Bây giờ giả sử đường cong C có phương trình tham số x x(t) t y y(t) , x(t), y(t) là liên tục. Đường cong trơn: x(t), y(t) khả vi liên tục trên [ , ] , 2 2 x (t) y (t) 0 t Nếu tại điểm 0t [ , ] nào đó mà 0 0x (t ) y (t ) 0 thì điểm tương ứng 0 0 0M (x(t ),y(t )) trên C gọi là điểm kỳ dị. Chúng ta không xét trường hợp đường cong có điểm kỳ dị. Bây giờ lấy 0t [ , ] và giả sử điểm tương ứng trên đường cong là 0 0 0M (x ,y ) . Ta đã biết hệ số góc của tiếp tuyến tại 0M là 0 x 0 y (t ) k y x (t ) . Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng 0 0 0 0 y (t ) y y (x x ) x (t ) hay 0 0 0 0 x x y y x (t ) y (t ) . (1.53) Véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến là 0 0 0(t ) (x (t ),y (t )) . Suy ra phương trình pháp tuyến: 0 0 0 0x (t )(x x ) y (t )(y y ) 0 (1.54) b. Độ cong Định nghĩa độ cong của đường cong tại 1 điểm (xem [1]) Cách tính độ cong + Đường cong cho dưới dạng phương trình y f(x) thì 2 3/2 y K (1 y ) . (1.55) + Đường cong cho dưới dạng tham số x x(t), y y(t) thì 2 2 3/2 x y x y K (x y ) . (1.56) c. Đường tròn mật tiếp Cho trước điểm M trên đường cong. Nhiều khi cần phải xấp xỉ đường cong tại lân cận điểm M bằng một cung tròn nào đó. Đường tròn chứa cung tròn đó phải tiếp xúc với đường cong tại M, có cùng bề lõm với đường cong và có độ cong bằng độ cong của đường cong tại M (Hình 1.14). Đường tròn đó gọi là đường tròn mật tiếp (còn gọi là đường tròn chính khúc) với đường cong tại M. Bán kính của đường tròn mật tiếp gọi là bán kính cong, tâm của đường tròn mật tiếp gọi là tâm cong của đường cong (tại điểm M).
38. chúng tôi 37 Hình 1.14. Đường tròn mật tiếp, tâm cong, bán kính cong d. Bán kính cong Theo trên, bán kính cong bằng nghịch đảo của độ cong. Vây, Nếu đường cong cho dưới dạng phương trình y f(x) – tương ứng phương trình tham số – thì bán kính cong được tính lần lượt theo công thức: 2 3/2 (1 y ) R y , (1.57) 2 2 3/2 (x y ) R x y x y . (1.58) e. Tọa độ tâm cong. Lưu ý. Người ta cũng có công thức tính độ cong, bán kính cong cho trường hợp đường cong cho dưới dạng tọa độ cực. f. Túc bế, thân khai Xét đường cong phẳng C. Mỗi điểm M trên C có tương ứng một tâm cong I. Quỹ tích L các tâm cong I của đường cong C gọi là đường túc bế của C, còn C gọi là thân khai cuả L (xem Hình 1.15.) Nếu C cho bởi phương trình y = f(x) hay phương trình tham số thì phương trình túc bế dưới dạng tham số lần lượt là Hình 1.15. Đường thân khai C và đường túc bế L 2 2 (1 y )y X x y 1 y Y y y (tham số x hoặc y) (1.61) M M0
39. chúng tôi 38 2 2 0 2 2 0 (x y )y x x x y x y (x y )x y y x y x y (tham số t) (1.62) Ví dụ1.57. Tìm đường túc bế của parabole 2 y 2px (p 0). Giải. Rõ ràng là x 0 , ta có y 2p x . Vì pp y , y 2x 2 2x x , thay vào (1.61) nhận được túc bế 2 3 3 2 2 3y X 3x p X p 2p hay( 2px) Y y Yp p (xem Hình 1.14 khi p = 2). # 1.5.2. Đường cong trong không gian a. Hàm véc tơ của đối số vô hướng Định nghĩa. Nếu với mỗi t [a, b] có tương ứng với một véc tơ V V(t) thì ta nói, ta đã có một hàm véc tơ của đối số vô hướng t, ký hiệu V V(t), t [a, b] . Các véc tơ nói đến ở định nghĩa là véc tơ tự do. Ta có thể đưa chúng về cùng gốc là gốc tọa độ O bằng cách đặt OM V(t) . Ký hiệu r(t) OM gọi là hàm bán kính véc tơ của điểm M. Từ đây, ta chỉ cần xét hàm bán kính véc tơ r r(t) . Nếu M có tọa độ (x,y,z) thì x x(t), y y(t), z z(t) (1.63) r x(t) i y(t) j z(t)k . (1.64) Khi t biến thiên từ a đến b, điểm M vạch nên đường cong C nào đó trong không gian. C được gọi là tốc đồ của hàm véc tơ r r(t) . Hệ (1.63) được gọi là phương trình tham số của C, (1.64) gọi là phương trình véc tơ của C. Sự liên tục. Hàm véc tơ r r(t) được gọi là liên tục nếu các hàm x(t), y(t), z(t) là những hàm liên tục. Khi đó đường cong C được gọi là đường cong liên tục. Sự khả vi. Hàm véc tơ r r(t) gọi là khả vi tại điểm 0t nếu các hàm x(t), y(t), z(t) là khả vi tại 0t ; gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm t (a, b) . Đạo hàm của hàm véc tơ r r(t) , ký hiệu bởi r r (t) tính theo công thức
40. chúng tôi 39 r r (t) x (t) i y (t) j z (t)k . (1.65) Nếu các hàm x(t), y(t), z(t) là khả vi trong khoảng (a, b) thì đường cong C gọi là đường cong trơn. Ta cũng chỉ xét trường hợp đường cong không có điểm bất thường, nghĩa là chỉ xét trường hợp 2 2 2 x (t) y (t) z (t) 0, t . Nếu đường cong C liên tục, có thể phân thành một số hữu hạn cung trơn thì C được gọi là trơn từng khúc (xem Hình 1.16). Lưu ý. Để đường C trơn từng khúc, trước hết nó phải liên tục. Hình 1.16. Đường cong trơn từng khúc Ý nghĩa của véc tơ đạo hàm * Ý nghĩa hình học. Véc tơ đạo hàm của hàm véc tơ trùng phương với phương của tiếp tuyến của tốc đồ của hàm véc tơ tại điểm tương ứng. * Ý nghĩa cơ học. Khi coi t là tham số thời gian, độ dài của véc tơ đạo hàm r r (t) của hàm bán kính véc tơ tại thời điểm t bằng tốc độ của điểm M tại thời điểm đó và được tính theo công thức 2 2 2dr V(t) x (t) y (t) z (t) dt . (1.66) b. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Như đã nói, véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến là T r (t) x (t) i y (t) j z (t)k . Vậy, phương trình tiếp tuyến tại điểm 0 0 0 0M (x ,y ,z ) trên đường cong ứng với giá trị 0t của tham số là: 0 0 0 0 0 0 x x y y z z x (t ) y (t ) z (t ) (1.67) (quy ước khi mẫu số bằng 0 thì tử số cũng vậy), và phương trình mặt phẳng pháp với đường cong tại 0M là: 0 0 0 0 0 0x (t )(x x ) y (t )(y y ) z (t )(z z ) 0 . (1.68) Với r x (t) i y (t) j z (t)k , đặt i j k i j k B r r x y z x (t) y (t) z (t) , x y z x (t) y (t) z (t) N B T .
41. chúng tôi 40 Chuẩn hóa các véc tơ B,T,N ta được T B N , , T B N . Mặt phẳng qua 0M , + Có cặp véc tơ chỉ phương , (véc tơ pháp ) gọi là mặt phẳng mật tiếp; + Có cặp véc tơ chỉ phương , (véc tơ pháp ) gọi là mặt phẳng pháp; + Có cặp véc tơ chỉ phương , (véc tơ pháp ) gọi là mặt phẳng trực đạc. Các véc tơ đơn vị , , với các mặt phẳng vừa nêu gọi là tam diện Frénet. Với đường cong trong không gian, người ta cũng xét độ cong, bán kính cong, hơn nữa độ xoắn; tuy nhiên chúng ta không trình bày ở đây. Ví dụ 1.58. Tìm các véc tơ , , của đường đinh ốc trụ là quỹ đạo của một điểm M vừa quay đều xung quanh một trục d với vận tốc góc không đổi , vừa tịnh tiến dọc theo trục đó với vận tốc không đổi C. Giải. Lập hệ trục Oxyz (xem Hình 1.17). Chiếu M xuống mặt Oxy được điểm M gọi là góc hợp bởi trục Ox với OM . Theo giả thiết t , từ đó phương trình tham số của chuyển động là x acos t, y asin t, z Ct (t 0). Tính các đạo hàm ta được 2 2 x a sin t, y a cos t, z C; x a cos t, y a sin t, z 0. Từ đó nhận được 2 2 i j k B a sin t a cos t C a cos t a sin t 0 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Ca sin t i Ca cos t j a k, N B T a (C a )cos t i a (C a )sin t j. Vậy các véc tơ đơn vị cần tìm là (C) 0M
42. chúng tôi 41 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T a sin t a cos t C i j k, T a C a C a C B Csin t Ccos t a i j k, B a C a C a C N cos t i sin t j. N Trong trường hợp a C 1, t thì M(-1, 0, π). 1 1 1 1 0, , , 0, , , ( 1, 0, 0) 2 2 2 2 Mặt phẳng mật tiếp (véc tơ pháp ) là: y z 0 , Mặt phẳng pháp (véc tơ pháp ) là : y z 0 , Mặt phẳng trực đạc (véc tơ pháp ) là : x 1 0 . # Hình 1.17. Đường đinh ốc trụ 1.5.3. Mặt cong a. Khái niệm mặt cong Cho hàm ba biến F(x,y,z) xác định trong miền 3 G . Tập hợp S các điểm M(x,y,z) thỏa mãn phương trình F(x,y,z) 0 hay tổng quát hơn F(x,y,z) k (1.69) được gọi là mặt cong, phương trình (1.69) gọi là phương trình của mặt. Đôi khi từ (1.69) ta có thể giải ra dưới dạng z z(x,y) , hay x x(y,z) , hay y y(z,x) (1.70)
43. chúng tôi 42 thì mỗi phương trình này cũng được gọi là phương trình của mặt, mặt được gọi là cho dưới dạng hiện. Chúng ta chỉ xét trường hợp mặt cong liên tục, ở đó hàm F(x,y,z) liên tục. Mặt S được gọi là trơn nếu hàm F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục và không đồng thời bằng không: Nói cách khác, trên S thì véc tơ gradient gradF(M) khác không. Mặt S được gọi là trơn từng mảnh nếu nó liên tục, có thể phân thành hữu hạn mảnh trơn. Lưu ý. Để mặt S trơn từng mảnh, trước hết nó phải liên tục. b. Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong Giả sử mặt S cho bởi (1.69). Tại 0 0 0 0M (x ,y ,z ) S , + Véc tơ pháp tuyến với mặt: 0 0 x 0 y 0 z 0n n(M ) F (M ) i F (M ) j F (M )k. (1.72) Ta còn viết véc tơ pháp tuyến dưới dạng tọa độ 0 x 0 y 0 z 0n(M ) F (M ), F (M ), F (M ) . (1.73) + Phương trình pháp tuyến và phương trình tiếp diện lần lượt là 0 0 0 x 0 y 0 z 0 x x y y z z F (M ) F (M ) F (M ) , (1.74) x 0 0 y 0 0 z 0 0F (M )(x x ) F (M )(y y ) F (M )(z z ) 0 . (1.75) Hình 1.18. Pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong Đặc biệt, nếu mặt cho dưới dạng z f (x,y) F(x,y,z) z f (x,y) , tại điểm 0 0 0 0 0M (x ,y ,f (x ,y )) S thì véc tơ pháp tuyến, phương trình pháp tuyến và phương trình tiếp diện lần lượt là 0 x 0 0 y 0 0n f (x ,y ), f (x ,y ), 1 , (1.76) 0 0 0 x 0 0 y 0 0 x x y y z z f (x ,y ) f (x ,y ) 1 , (1.77) x 0 0 0 y 0 0 0 0f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) (z z ) 0.
44. chúng tôi 43 hay 0 x 0 0 0 y 0 0 0z z f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ). (1.78) Ví dụ 1.59. Viết phương trình tiếp diện của mặt S: 2 2 2 x y 2z 10 song song với mặt P : x y z 0 . Giải. 1(Q ) : (x 2) (y 2) (z 1) 0 x y z 5 0. 2(Q ) : (x 2) (y 2) (z 1) 0 x y z 5 0. #
45. chúng tôi 44 TÓM TẮT CHƯƠNG 1 Các định lí về giới hạn, liên tục của tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm, các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến. Đạo hàm hàm hợp: F F(u(x,y),v(x,y)) F F u F vF F u F v , y u y v yx u x v x . Đạo hàm hàm số ẩn: z z(x,y) xác định từ F(x,y,z) 0 yx z z Fz F z , . x F y F Các phép toán về vi phân d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, 2 u vdu udv d v v , df(u) f (u)du . Dù u, v là biến độc lập hay biến phụ thuộc luôn có f f dz du dv u v . Tính gần đúng 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f(x x, y y) f(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y Đạo hàm theo hướng (cos , cos , cos ) : 0 0 0 0 0 u(M ) u(M ) u(M ) u(M ) gradu(M ) cos + cos cos x y z . 2 2 2 x y z u grad u u u u . Dấu bằng xảy ra khi cùng phương với grad u . Điều kiện cần của cực trị. f (x,y) khả vi, đạt cực trị tại 0M thì 0 0f (M ) f (M ) 0 x y . Điều kiện đủ của cực trị Cho 0 0 0M (x ,y ) là điểm dừng của hàm z f (x,y) . Đặt 2 2 2 0 0 0 2 2 f (M ) f(M ) f (M ) A , B , C , x yx y 2 B AC. i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại 0M . ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại 0M . iii) Nếu 0 thì 0M không là điểm cực trị.
46. chúng tôi 45 Trường hợp 3 biến Tại điểm dừng 0 0 0 0M (x ,y ,z ) D của hàm u f (x,y,z) tính 2 2 0 0d f (M ) dx dy dz f(M ) x y z . Nếu 2 0d f (M ) xác định dương thì 0M là điểm cực tiểu. Nếu 2 0d f (M ) xác định âm thì 0M là điểm cực đại. Tìm GTLN – GTNN trên miền đóng, giới nội D + Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: 1 kM ,…,M ; + Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: 1N ,…,N ; + Tính: 1 k 1f (M );… ; f (M ); f(N );…; f(N ) ; + Kết luận: GTLN – GTNN của hàm là Max, Min các giá trị nhận được. Cực trị có điều kiện Tìm cực trị của hàm f(x,y,z) với điều kiện F(x,y,z) 0 , ta có thể dùng a) Đưa về trường hợp ít biến hơn b) Phương pháp nhân tử Lagrange: i) Lập hàm Lagrange (x,y,z, ) f(x,y,z) F(x,y,z) . ii) Tìm các nghiệm i i i i, x , y , z , i 1,…,k từ hệ x x x y y y z z z f (x,y,z) F (x,y,z) 0 f (x,y,z) F (x,y,z) 0 f (x,y,z) F (x,y,z) 0 F(x,y,z) 0 iii) Kiểm tra xem các điểm dừng điều kiện i i i iN (x ,y ,z ) có là điểm cực trị điều kiện hay tại đó đạt GTLN, GTNN điều kiện hay không. Tiếp tuyến của đường – pháp tuyến, tiếp diện của mặt Tiếp tuyến của đường cong x x(t), y y(t), z z(t) tại điểm 0 0 0 0M (x ,y ,z ) trên đường ứng với giá trị 0t t của tham số là: 0 0 0 0 0 0 x x y y z z x (t ) y (t ) z (t ) . Pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong F(x,y,z) 0 tại điểm 0 0 0 0M (x ,y ,z ) trên mặt có phương trình lần lượt là: 0 0 0 x 0 y 0 z 0 x x y y z z F (M ) F (M ) F (M ) , x 0 0 y 0 0 z 0 0F (M ) (x x ) F (M ) (y y ) F (M ) (z z ) 0
48. chúng tôi 47 + Hàm f(x,y) khả tích trên D; + I được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên D, ký hiệu là D f (x,y) dxdy ; + D là miền lấy tích phân; f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân. Lưu ý. Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có diện tích (hay cầu phương được). Không cần quan tâm nhiều, đại thể đó là các tập thông thường. b. Ý nghĩa hình học Thể tích D V f (x,y)dxdy . (2.2) Cho f (x,y) 1 , được công thức tính diện tích miền phẳng: D dt(D) dxdy . (2.3) c. Điều kiện tồn tại. Cho D là miền giới nội, (có diện tích). * Nếu f(x,y) bị chặn, liên tục trên D thì khả tích trên D. * Nếu f(x,y) bị chặn, liên tục từng mảnh trên D thì khả tích trên D. Chú ý. Để tham khảo, chúng ta nên biết điều kiện rộng rãi nhất của khả tích (xem [15] tr 130): d. Tính chất của tích phân kép Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân xác định. Định lý 2.1. Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên miền (có diện tích) D nào đó, và a là một số thực. Khi đó i) Các hàm f (x,y) g(x,y), af(x,y), f (x, y) khả tích trên D và D D D D D (f (x,y) g(x,y))dxdy f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy, af (x,y)dxdy a f(x,y)dxdy, D D f (x,y)dxdy f (x,y) dxdy . (2.4) ii) Nếu D có thể tách thành hai miền (có diện tích) và không dẫm lên nhau (phần chung chỉ có thể là một phần biên của mỗi miền): 1 2D D D , thì 1 2D D D f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy . (2.5) iii) Nếu f (x,y) g(x,y), (x,y) D thì D D f (x,y)dxdy g(x,y)dxdy . (2.6)
49. chúng tôi 48 iv) Các hàm 2 2 f (x, y)g(x,y), f (x,y), g (x,y) khả tích trên D và 2 2 2 D D D f (x,y)g(x,y)dx dy f (x,y) dx dy g (x,y)dxdy (2.7) (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Nghiệm đúng Định lý về giá trị trung bình. 2.1.2. Cách tính trong tọa độ Descates a. Miền lấy tích phân có dạng hình chữ nhật Định lý 2.2. Cho D {(x,y) : a x b, c y d} và giả sử f(x,y) là hàm liên tục trên D. Khi đó tích phân d c f (x,y)dy xác định với mọi x [a, b] và b d b d D a c a c f(x,y)dxdy f (x,y)dy dx : dx f (x,y)dy . Đổi vai trò hai biến ta thu được d b D c a f(x,y)dxdy dy f (x,y)dx . (2.9) Xét trường f (x,y) h(x).k(y) . Theo Định lý 2.2, b d b d D a c a c h(x).k(y)dxdy dx h(x).k(y) dy h(x)dx . k(y)dy . Hệ quả. b d {a x b; c y d} a c h(x).k(y)dxdy h(x)dx. k(y)dy . (2.10) Ví dụ 2.1. Tính i) 2 0 x,y 1 (x y )dxdy , ii) y {0 x /2, 1 y 2} sin 2x 2 dxdy . Giải. i) 1 1 1 3 y 12 y 0 0 0 0 y I dx (x y )dy xy dx 3 1 0 1 5 x dx 3 6 . ii) /2 2 y y /2 2 0 1 0 1 cos2x 2 3 J sin 2xdx. 2 dy . 2 ln 2 ln 2 . # b. Miền lấy tích phân có dạng bất kỳ Nếu D là hình thang cong 1 2D {(x,y): a x b, y (x) y y (x)} (Hình 2.2a), 1 2y (x), y (x) liên tục trên [a, b], hàm f(x,y) liên tục trên D thì
50. chúng tôi 49 2 2 1 1 y (x) y (x)b b D a y (x) a y (x) f(x,y)dxdy dx f (x,y)dy f (x,y)dy dx. (2.11) D-hình thang cong đáy//Ox: 1 2D {(x,y): c y d, x (y) x x (y)} f(x,y), 1 2x (y), x (y) là những hàm liên tục thì Hình 2.2. Một số miền lấy tích phân thông dụng trong 2 2 2 11 x (y) x (y)d d D c x (y) c x (y) f(x,y)dxdy dy f(x,y)dx f (x,y)dx dy. (2.12) D vừa có dạng ở Hình 2.2a, vừa có dạng ở Hình 2.2b (xem Hình 2.2c): Chọn một trong hai công thức (2.11) hoặc (2.12). Từ đó 2 2 1 1 y (x) x (y)b d D a y (x) c x (y) f(x,y)dxdy dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx (2.13) Dường như luôn có một thứ tự lấy tích phân thuận lợi hơn thứ tự kia! Hướng dẫn cách xác định cận TP (xem [1]). Ví dụ 2.2. Tính 2 D I x (y x)dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường 2 2 y x và x y . Giải. 2 x y 0 y x . Giao điểm: 2 2 y x , y x x 0, x 1. 2 2 1 x 1 2 y x2 2 3 y x 0 0x y 1 I dx x (y x)dy x x y dx … . 2 504 #
51. chúng tôi 50 Ví dụ 2.3. Cho D là miền giới hạn bởi các đường y x, y x 1, y 1, y 3 . Tính 2 2 D I (x y )dxdy . Giải. D {(x,y) :1 y 3, y 1 x y} . y3 3 3 x y2 2 2 x y 1 1 y 1 1 x I dy (x y )dx y x dy 3 3 3 3 3 2 1 y (y 1) y y (y 1) dy … 14 3 3 . # Ví dụ 2.4. Tính tích phân 2 1 2 x 0 2y dy e dx . (Không có nguyên hàm sơ cấp) 2 2 2 2 2 x/2 2 2 x x x 2 x 2 4 0 0 0 0 0 1 1 1 1 I dx e dy xe dx e d(x ) e e 1 2 4 4 4 . 2.1.3. Đổi biến số với tích phân kép a. Công thức đổi biến tổng quát Để tính tích phân kép nhiều khi ta dùng phép đổi biến x x(u,v) y y(u,v), (u,v) D’ . (2.14) + x(u,v), y(u,v) là các hàm liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, giới nội D Oxy, (Dcó diện tích); + (2.14) xác định một song ánh (đơn ánh và lên) từ D D Oxy ; + Định thức Jacobi u v u v x xD(x,y) J det 0, (u,v) D’ y yD(u,v) ; (có thể trừ ra tại một số hữu hạn đường). Khi đó D D’ f (x,y)dxdy f (x(u,v),y(u,v)) J dudv . (2.15) y 3 1 O 1 3 x
52. chúng tôi 51 Chú ý. i) Tính chất của định thức Jacobi là: D(u,v) D(x,y) 1 0 D(u,v)D(x,y) D(u,v) D(x,y) . (2.16) Điều này có thể giúp ta tính định thức Jacobi J thuận lợi hơn. ii) Bằng đổi biến u x, v y ta nhận được kết quả hữu ích sau: * Cho D là miền đối xứng qua trục Ox, 1D là phần miền D phía trên trục Ox (xem Hình 2.3a) thì 1D D 2 f (x,y)dxdy, f(x,y) f(x,y) dxdy 0, f (x,y) ch½n víi biÕn y lÎ víi biÕn y (2.17) (Hàm f(x,y) chẵn với biến y nếu f (x, y) f (x,y), (x,y) D lẻ với biến y nếu f (x, y) f (x,y), (x,y) D ). * Tương tự khi miền D đối xứng qua trục tung. Hình 2.3. Miền đối xứng qua trục Ox (a) và qua trục Oy (b) Ví dụ 2.5. Tính tích phân 4 5 D I (x y) (x 2y) dxdy . trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x y 2, x y 3, x 2y 1, x 2y 2. Giải. D {(x,y) : 2 x y 3, 1 x 2y 2} . Đặt 2 1 2 1 x u v u x y 13 3 3 3 J det . v x 2y 1 1 1 1 3 y u v 3 3 3 3 Khi đó miền D trở thành D {(v,v) : 2 u 3, 1 v 2} .
53. chúng tôi 52 3 2 5 6 4 5 3 2 2 1 2 1 1 1 u v I du u v dv 147,7 3 3 5 6 . Chú ý. Dùng tính chất (2.16) ta có cách thứ hai để tính J thuận lợi hơn: 1 1D(u,v) D(x,y) 1 1 3 J D(u,v)1 2D(x,y) D(u,v) 3 D(x,y) . # b. Đổi biến tọa độ cực Xét đổi biến tọa độ cực x rcos y rsin . . Định thức Jacobi của phép biến đổi là r r x x cos rsinD(x,y) J det r 0 y y sin rcosD(r, ) (trừ ra tại O(0,0)). D D’ f (x,y)dxdy f (rcos ,rsin )rdrd . (2.18) Đặc biệt, nếu miền D có dạng hình quạt như ở Hình 2.4 ta nhận được 1 2D { , r ( ) r r ( )} , 2 1 r ( ) D r ( ) f(x,y)dxdy d f (rcos ,rsin )rdr . (2.19) Hình 2.4. Miền hình quạt Cách xác định cận: Xem [1] Ví dụ 2.6. i) Chứng minh rằng 2 2 2 4 2 2 {x y R } R (x y )dxdy 4 . ii) Tính tích phân 2 2 2 D 1 I sin(xy dxdy 1 x y , với D là nửa trên hình tròn tâm O, bán kính 1. Giải. i) Đặt x rcos , y rsin thì J r , từ đó