Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

--- Bài mới hơn ---

  • Nâng Cao Toán Lớp 8
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa
  • Xem Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa
  • Phản Ứng Oxi Hoá Khử, Cách Lập Phương Trình Hoá Học Và Bài Tập
  • Phản Ứng Oxi Hóa Khử Là Gì? Ví Dụ Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Giải phương trình bậc 2 số phức

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    – Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

    Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

    Xét Δ = b 2 – 4ac, ta có

    + Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .

    + Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

    + Chú ý.

    Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

    Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x 1;x 2 (thực hoặc phức).

    – Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

    Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

    + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

    + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.

    – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

    Ví dụ minh họa

    – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

    Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

    – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

    – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

    – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

    – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

    Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z 2 – z + 1 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0

    Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

    Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + √5 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án B

    Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 3 – 8 = 0 là :

    Hướng dẫn:

    Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 4:Trong C , phương trình z 2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :

    Phương trình có hai nghiệm phức là:

    Chọn đáp án A.

    Ví dụ 5: Cho z = 1 – i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án A.

    Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z 2 + i)(z 2– 2iz – 1) = 0 có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án A.

    Ví dụ 7:Trong C , phương trình có nghiệm là:

    (1 ± √3)i B. (5 ± √2)i C. (1 ± √2)i D.(2 ± √(5)i)

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án A.

    B. Bài tập vận dụng

    Câu 1:Trong C, phương trình 2x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:

    Đáp án : A Giải thích :

    Câu 2:Trong C , phương trình z 2 – z + 1 = 0 có nghiệm là:

    Đáp án : D Giải thích :

    Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0

    Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 = -5 + 12i là:

    Đáp án : A Giải thích :

    Do đó phương trình có hai nghiệm là

    Câu 4: Trong C , phương trình z 4-6z 2 + 25 = 0 có nghiệm là:

    Đáp án : D Giải thích :

    Đáp án : D Giải thích :

    Câu 6: Phương trình z 2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:

    A. 0 B. C. 3 D. -1

    A. 5 B. 6 C. 4 D. 7

    Đáp án : B Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    A.-7 B. – 8 C.-4 D. 8

    Đáp án : D Giải thích :

    Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 2 – 6z + 13 = 0. Tính

    A. √17 và 4 B. √17 và 5 C. √17 và 3 D. √17 và 2

    Đáp án : B Giải thích :

    A.5 B.√13 C. 2√13 D. √20

    Đáp án : D Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

    Đáp án : C Giải thích :

    Ta có:

    Câu 12: Cho phương trình z 2 + mz – 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:

    A. 0 B. 1 C. -2 D. -1

    Đáp án : D Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 13:Gọi z 1;z 2;z 3;z 4 là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :

    Đáp án : B Giải thích :

    Với mọi , ta có:

    Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên
  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

    A. z = -3 + 4i B. z = -2 + 4i

    C. z = -4 + 4i D. z = -5 + 4i

    Thay vào phương trình:

    Câu 2:Hai giá trị x 1 = a + bi ; x 2 = a – bi là hai nghiệm của phương trình nào :

    Đáp án : C Giải thích :

    Áp dụng định lý đảo Viet :

    Câu 3: Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + 4z + 5 = 0 là:

    Câu 4:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 1 – 2i = 0 là

    Câu 5:Trong C , phương trình z 3 + 1 = 0 có nghiệm là:

    Câu 6: Trong C , phương trình z 4 – 1 = 0 có nghiệm là:

    A ±1;±2i B. ±2;±2i C. ±3; ±4i D. ±1;±i

    Câu 7:Phương trình z 3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

    Đáp án : A Giải thích :

    Câu 8: Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2 + 2z + 2 = 0

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

    Câu 9: Trong C , phương trình z 4 + 4 = 0 có nghiệm là:

    Câu 10:Tập nghiệm trong C của phương trình z 3 + z 2 + z + 1 = 0 là:

    A. {-i ; i ; 1 ; -1} B. {-i ; i ; 1 } C. {-i ; -1} D . {-i ; i ; -1}

    Câu 11:Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

    Đáp án : B Giải thích :

    Áp dụng định lý Viet, ta có: .

    Câu 12: Phương trình (2 + i) z 2 + az + b = 0 có hai nghiệm là 3 + i và 1 – 2i. Khi đó a = ?

    A. -9 – 2i B. 15 + 5i C. 9 + 2i D. 15 – 5i

    Đáp án : A Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 13:Giá trị của các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm là:

    Đáp án : C Giải thích :

    A. -7 B. 8 C. 15 D. 22

    Câu 15:Trên tập số phức, cho phương trình sau: (z + i) 4 + 4z 2 = 0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?

    1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực R .

    2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức C .

    3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.

    4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.

    5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.

    6. Phương trình có hai nghiệm là số thực

    A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

    Đáp án : D Giải thích :

    Câu 16:Giả sử z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z 1;z 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

    A.I(1;1) B.I(-1;0) C. I(0;1) D.I(1;0)

    Câu 17:Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2 + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng -4i là:

    A.±(1-i) B.1-i C.±(1+i) D. -1-i

    Đáp án : A Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 18:Cho phương trình z 2 – mz + 2m – 1 = 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z 1;z 2 thỏa mãn z 12 + z 22 = 10 là:

    A. m = 2 ± 2√2i B. m = 2 + 2√2i C. m = 2 – 2√2i D. m = -2 – 2√2i

    Đáp án : A Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 19: Gọi z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 8 = 0, trong đó z 1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức là:

    A. 12 + 6i B. 10 C. 8 D. 12 – 6i

    Câu 21:Phương trình x 4 + 2x 2 – 24x + 72 = 0 trên tập số phức có các nghiệm là:

    Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
  • Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai
  • Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập
  • Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Các Dạng Bài Tập Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Và Bài Tập Vận Dụng
  • Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Độ Phức Tạp Tính Toán
  • Luyện Tập Đệ Quy (Phần 1)
  • Tổng Quan Về Regression (Phân Tích Hồi Quy)
  • 1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phức

    a) Căn bậc hai của số phức

    Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của w

    b) Phương trình bậc hai với hệ số thực

    Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0,,left( a,,b,,cin mathbb{R};,ane 0 right)$. Xét $Delta ={{b}^{2}}-4ac$, ta có

    • ∆ = 0 phương trình có nghiệm thực $x=-frac{b}{2a}$.

    Chú ý.

    • Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{o}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
    • Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0,,left( ane 0 right)$ có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $left{ begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = – frac{b}{a} hfill \ P = {x_1}.{x_2} = frac{c}{a} hfill \ end{gathered} right.$

    2. Các dạng bài tập giải phương trình số phức

    Dạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

    Lời giải

    Ta có $Delta ={{b}^{2}}-4ac=-12$

    Căn bậc hai của ∆ là $pm isqrt{12}$

    Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${{z}_{1}}=frac{2+isqrt{12}}{2}$ và ${{z}_{1}}=frac{2-isqrt{12}}{2}$

    Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K

    Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

    a) (2 − i)x + (2 + y)i = 2 + 2i

    b) $frac{{x – 2}}{{1 + i}} + frac{{y – 3}}{{1 – i}} = i$

    Lời giải

    Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

    Phương pháp giải

    Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện đã cho để tìm số phức z

    Lời giải

    Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

    Phương pháp giải

    Các bất đẳng thức cổ điển

    Lời giải

    Lời giải

    Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng

    Phương pháp giải

    Lời giải

    Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao

    Phương pháp giải

    Lời giải

    3. Bài tập phương trình số phức

    Câu 1. Trong $mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là:

    A. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( -1-sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( -1+sqrt{7}i right)$

    B. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( 1+sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( 1-sqrt{7}i right)$

    C. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( -1+sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( 1-sqrt{7}i right)$

    D. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( 1+sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( -1-sqrt{7}i right)$

    Lời giải

    Ta có: $Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.2.1=-7=7{{i}^{2}}<0$ nên phương trình có hai nghiệm phức là:

    ${{x}_{1,2}}==frac{-1pm isqrt{7}}{4}$

    A. $z=-3+4i$

    B. $z=-2+4i$

    C. $z=-4+4i$

    D. $z=-5+4i$

    Lời giải

    Thay vào phương trình: $sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi=2+4i$

    Suy ra $left{ begin{gathered} sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 2 hfill \ b = 4 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = – 3 hfill \ b = 4 hfill \ end{gathered} right.$

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 3. Hai giá trị ${{x}_{1}}=a+bi,;,{{x}_{2}}=a-bi$ là hai nghiệm của phương trình:

    A. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

    B. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

    C. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

    D. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

    Lời giải

    Áp dụng định lý đảo Viet : $left{ begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = 2a hfill \ P = {x_1}.{x_2} = {a^2} + {b^2} hfill \ end{gathered} right.$

    Do đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}-Sx+P=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 4. Trong $mathbb{C}$, nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+sqrt{5}=0$ là:

    A. $left{5}i hfill \ end{gathered} right.$

    C. $sqrt{5}i$

    D. $-sqrt{5}i$

    Lời giải

    ${{z}^{2}}+sqrt{5}=0Leftrightarrow {{z}^{2}}=-sqrt{5}Leftrightarrow z=pm isqrt[4]{5}$

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 5. Trong $mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{4}}-6{{z}^{2}}+25=0$ có nghiệm là:

    A. $pm 8 & ,;,pm 5i$

    B. $pm 3,;,pm 4i$

    C. $pm 5 & ,;,pm 2i$

    D. $pm left( 2+i right) & ,;,pm left( 2-i right)$

    Lời giải

    $begin{gathered} {z^4} – 6{z^2} + 25 = 0 hfill \ Leftrightarrow {left( {{z^2} – 3} right)^2} + 16 = 0 hfill \ Leftrightarrow {z^2} – 3 = pm 4i hfill \ Leftrightarrow {z^2} = 3 pm 4i hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} z = pm left( {2 + i} right) hfill \ z = pm left( {2 – i} right) hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $

    Ta chọn đáp án A.

    A. 3

    B. 0

    C. 1

    D. 2

    Lời giải

    Gọi $z=a+bi,left( a,bin mathbb{R} right)$ là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:

    Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 7. Phương trình $left( 2+i right){{z}^{2}}+az+b=0,left( a,bin mathbb{C} right)$ có hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Khi đó $a=?$

    A. -9-2i

    B. 15+5i

    C. 9+2i

    D. 15-5i

    Lời giải

    Theo Viet, ta có:

    $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-frac{a}{2+i}=4-iLeftrightarrow a=left( i-4 right)left( i+2 right)Leftrightarrow a=-9-2i$

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 8. Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ và A, B là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

    A. $Ileft( 1;1 right)$

    B. $Ileft( -1;0 right)$

    C. $Ileft( 0;1 right)$

    D. $Ileft( 1;0 right)$

    Lời giải

    ${{z}^{2}}-2z+5=0Leftrightarrow {{left( z-1 right)}^{2}}+4=0Leftrightarrow z=1pm 2i$

    $Rightarrow Aleft( 1;2 right);,Bleft( 1;-2 right)$

    Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $Ileft( 1;0 right)$.

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 9. Phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là:

    A. $2pm isqrt{2}$hoặc $-2pm 2isqrt{2}$

    B. $2pm isqrt{2}$hoặc $1pm 2isqrt{2}$

    C. $1pm 2isqrt{2}$ hoặc $-2pm 2isqrt{2}$

    D. $-1pm 2isqrt{2}$ hoặc $-2pm 2isqrt{2}$

    Lời giải

    $begin{gathered} {x^4} + 2{x^2} – 24x + 72 = 0 hfill \ Leftrightarrow left( {{x^2} – 4x + 6} right)left( {{x^2} + 4x + 12} right) = 0 hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} {x^2} – 4x + 6 = 0 hfill \ {x^2} + 4x + 12 = 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} {left( {x – 2} right)^2} + 2 = 0 hfill \ {left( {x + 2} right)^2} + 8 = 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 2 pm sqrt 2 i hfill \ x = – 2 pm 2sqrt 2 i hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $

    Ta chọn đáp án A.

    Câu 10. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+sqrt{3}z+7=0$. Khi đó $A=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$ có giá trị là:

    A. 23

    B. $sqrt{23}$

    C. 13

    D. $sqrt{13}$

    Lời giải

    Theo Viet, ta có: $left{ begin{gathered} S = {z_1} + {z_2} = – frac{b}{a} = – sqrt 3 hfill \ P = {z_1}.{z_2} = frac{c}{a} = 7 hfill \ end{gathered} right.$

    $begin{gathered} A = z_1^4 + z_2^4 hfill \ = {left( {{S^2} – 2P} right)^2} – 2{P^2} hfill \ = {left( {3 – 2.7} right)^2} – 2.49 hfill \ = 23 hfill \ end{gathered} $

    Ta chọn đáp án A.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Phương Trình Số Phức Cơ Bản Và Nâng Cao
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa – Khử – Du Học & Lao Động
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Chuyên Đề “Phương Trình Nghiệm Nguyên”
  • Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica
  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh
  • Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Lập Trình C: Giải Phương Trình Bậc 2
  • Viết Chương Trình Giải Phương Trình Bậc Nhất Ax + B = 0
  • PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM SỐ BẬC 4 I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau : Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (1) Đặt t = x2, ta có phương trình : at2 + bt + c = 0 (1’) Nghiệm dương của (1’) ứng với 2 nghiệm của (1) Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là phương trình (1’) có ít nhất một nghiệm không âm. ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ 2 2 0 ( ) 0 t x f t at bt c ⎧ = ≥⎨ = + + =⎩ t = x2 ⇔ x = ± t (1) có 4 nghiệm ⇔(1/ ) có 2 nghiệm dương ⇔ ; ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 (1) có 3 nghiệm ⇔(1/ ) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0S 0P (1) có 2 nghiệm ⇔(1/ ) có 1 nghiệm dương ⇔ P < 0 hay ; 0 / 2 0S (1) có 1 nghiệm ⇔( (1/ ) có nghiệm thỏa t1 < 0 = t2 ) hay ( (1/ ) có nghiệm thỏa t1 = t2 = 0 ) ⇔ hay 0 0 P S =⎧⎨ <⎩ 0 / 2 0S Δ =⎧⎨ =⎩ (1) vô nghiệm ⇔(1/ ) vô nghiệm hay ( 1/ ) có 2 nghiệm âm ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > ≥Δ 0S 0P 0 0 0 P S >⎧⎨ <⎩ ( 1 ) có 4 nghiệm là CSC ⇔ ⎩⎨ ⎧ = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t Dạng 2 : Phương trình bậc 4 có tính đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (2) * Nếu a = 0, ta có phương trình x(bx2 + cx + b) = 0 * Nếu a ≠ 0, ta có phương trình tương đương : 0c x 1xb x 1xa 2 2 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + Đặt t = x + x 1 phương trình cho viết thành a(t2 – 2) + bt + c = 0 (2’) với ⏐t⏐≥ 2 Chú ý : Khi khảo sát hàm số : t = x + x 1 , ta có : * Một nghiệm lớn hơn 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với 2 nghiệm dương của phương trình (2). * Một nghiệm nhỏ hơn 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với 2 nghiệm âm của phương trình (2) * Một nghiệm t = 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với nghiệm x = 1 của phương trình (2) * Một nghiệm t = – 2 của phương trình (2’) sẽ tương ứng với nghiệm x = –1 của phương trình (2) * phương trình t = x + x 1 vô nghiệm khi ⏐t⏐< 2 Dạng 3 : ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 (3) * Nếu a = 0, ta có phương trình x(bx2 + cx – b) = 0 * Nếu a ≠ 0, có phương trình tương đương 0c x 1xb x 1xa 2 2 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + Đặt t = x – x 1 , phương trình cho viết thành : a(t2 + 2) + bt + c = 0 (3’) với t ∈ R. Chú ý : phương trình t = x – x 1 có 2 nghiệm trái dấu với mọi t Dạng 4 : (x + a)4 + (x + b)4 = c (C) Đặt t = 2 bax ++ , t ∈ R thì với α = 2 ba − pt (C) viết thành : (t – α)4 + (t + α)4 = c ⇒ phương trình trùng phương đã biết cách giải và biện luận. Dạng 5 : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. I I . TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÀM BẬC 4 Cho hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c có đồ thị (C). ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (αx2 + βx + γ)2 + m ∀x ∈ R. Dùng đồng nhất thức cho ta có được các hệ số α, β, γ, m. III . CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⇔ x ax b = + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 1 2 02 ( ) ( )2 3 1. Hàm số có 3 cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0 2. Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0. ⇔ a vàb a vàab = ≠ ≠ ≥ ⎡ ⎣⎢ 0 0 0 0 IV.CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = 0 ⇔ x(4ax2 + 3bx + 2c) = 0 ⇔ x ax bx c = + + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 4 3 2 02 ( ) ⇔ (3) vô nghiệm hay (3) có nghiệm kép hay (3) có nghiệm x = 0. 2. Khi a < 0, ta có: Hàm số chỉ có 1 cực đại mà không có cực tiểu. ⇔ (3) vô nghiệm hay (3) có nghiệm kép hay (3) có nghiệm x = 0. TOÁN ÔN VỀ HÀM SỐ BẬC 4 Cho hàm số bậc 4 có đồ thị (C a ) với phương trình : y = x4 + 8ax3 – 4(1 + 2a)x2 + 3 I. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 0 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Co). Xác định tọa độ điểm uốn. 2) Định m để tiếp tuyến với (Co) tại M có hoành độ m, cắt (Co) tại hai điểm P, Q khác điểm M. Có giá trị nào của m để M là trung điểm đoạn PQ. 3) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn PQ khi m thay đổi trong điều kiện câu 2. II. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 2 1− 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 5) Cho đường thẳng ( D ) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) có hai nghiệm kép phân biệt α và β. Tìm tọa độ hai điểm chung. 6) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và có hệ số góc bằng –8. Tìm tọa độ các tiếp điểm. III. Trong phần này ta khảo sát hàm số trong trường hợp tổng quát. 7) Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Định a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. 8) Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này. 9) Định a để đồ thị có hai điểm uốn. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm uốn này. BÀI GIẢI PHẦN I: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )0C Khi a = 0 hàm số thành y = x4 – 4x2 + 3 y′= 4x3 – 8x, / /y = 12x2 – 8 y′= 0 ⇔ x = 0 x∨ 2 = 2 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 y ( )0 = 3, y ( 2± ) = –1 y′′= 0 ⇔ =2 2x 3 ⇔ x = ± 6 3 ; y 6 3 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ = 7 9 ( )0C có 2 điểm cực tiểu là ( )2 , -1± và 1 điểm cực đại là ( ) 0,3 ( )0C có 2 điểm uốn là 6 7, 3 9 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ Bảng biến thiên và đồ thị : bạn đọc tự làm. 2) Tiếp tuyến ( tại M ()D )− +4 2m , m 4m 3 thuộc ( )0C có phương trình: y = y′ ( )m ( Mx - x ) ( )x - m + yM hay y = ( + m)34m - 8m 4 – 4m2 + 3 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )D và ( )0C là x4 – 4x2 + 3 = ( )34m - 8m ( )x - m + m4 – 4m2 + 3 (1) ( Nhận xét: pt (1) chắc chắn nhận m làm nghiệm kép nên ta có: (1) ⇔ ( )2x - m ( ) =2Ax + Bx + C 0 ) (1) ⇔ x4 – m4 – 4 ( )2 2x - m = ( )x - m ( )34m - 8m ⇔ x – m = 0 ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – 4 ( )x + m = 4m3 – 8m ⇔ x = m ∨ x3 + mx2 + ( )2m - 4 x – 3m3 + 4m = 0 (2) ⇔ x = m ∨ ( )x - m ( )2 2x + 2mx + 3m - 4 = 0 ⇔ x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – 4 = 0 (3) Do đó, ( cắt ()D )0C tại 2 điểm P, Q khác m ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt khác m. ⇔ 2 2 2 2 2 m + 2m + 3m - 4 0 ⎧ ≠⎪⎨ ′Δ⎪⎩ ⇔ 2 2 2m 3 m < 2 ⎧ ≠⎪⎨⎪⎩ (4)⇔ 6m 3 m < 2 ⎧ ≠ ±⎪⎨⎪⎩ Để M là trung điểm của PQ thì xM = P Q x + x 2 m = –m m = 0 ⇒ ⇒ (m = 0 thoả (4) nên nhận) Nhận xét: pt (2) chắc chắn có nghiệm x = m. 3) I là trung điểm của PQ nên: ta có xI = –m và 2yI = yP + yQ = 2 ( )4 2m - 4m + 3 ⇒ yI = – 4 + 3 4Ix 2Ix Vậy quĩ tích của I là 1 phần đồ thị của hàm số y = x4 – 4x2 + 3 với x < 2 và x ≠ ± 6 3 PHẦN II: Khảo sát hàm số với a = – 1 2 4) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C khi a = – 1 2 : độc giả tự làm. a = – 1 2 , hàm số thành y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2 5) Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của y = x4 – 4x3 + 3 ( )C và đường thẳng: y = ax + b ( )1D có 2 nghiệm kép phân biệt α , β . Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và ( )1D là x4 – 4x3 + 3 = ax + b x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = 0 Do đó, yêu cầu bài toán x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = ( )2x - α ( )2x - β ∀x mà ( )2x-α ( )2x-β = x4 –2 ( )+ α β x3 + ( )2 2+ +4α β αβ x2 –2 x+αβ ( )α +β 2α 2β Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( ) ⎧− α + β⎪α β αβ = α +β + α⎪⎨ αβ α β⎪⎪α β⎩ 2 2 2 2 2 2 = -4 + + 4 = 0 ( ) 2 2 + = a = 3 - b β ⇔ α β⎧⎪ αβ αβ⎪⎨⎪⎪⎩ + = 2 4 + 2 = 0( =-2) a = -8 3 - b = 4 a = – 8 và b = –1. ⇒ α β αβ ⇒ α β + β α + với + = 2 và =-2 ( = 1- 3 và =1 3 )hay( = 1- 3 và =1 3 ) Khi đó, thế = ±x 1 3 và y = – 8 x – 1, ta có 2 điểm chung là A ( )1 - 3, -9 + 8 3 và B ( )1 + 3, -9 - 8 3 6) Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8, ta có: 4x3 – 12x2 = – 8 4x⇔ 3 – 12x2 + 8 = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 0 ⇔ ( )x - 1 ( )2x - 2x -2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 1± 3 y ( )1 = 0, y (1 - 3 ) = – 9 + 8 3 , y ( )1 + 3 = –9 – 8 3 Tiếp tuyến tại ( là y = – 8)1,0 ( )x - 1 hay y = –8x + 8 Theo câu 5, 2 tiếp điểm tại A và B có cùng 1 tiếp tuyến là y = – 8x – 1 Tóm lại có 2 tiếp tuyến thỏa ycbt là : y = –8x + 8 hay y = – 8x – 1. Các tiếp điểm là : ( , A)1,0 ( )1 - 3, -9 + 8 3 và B ( )1 + 3, -9 - 8 3 PHẦN III: 7) Số điểm cực trị của hàm số là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba của đa thức: f′ ( )x = 4x3 + 24ax2 – 8 ( )x 1 + 2a = 4x ( )2x + 6ax - 2 1 + 2a⎡ ⎤⎣ ⎦ Tam thức g(x) = x2 + 6ax – 2(1 + 2a) có : i) Khi a ≠ 1 2 − , g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra có 3 nghiệm đơn phân biệt ( )f x = 0′ ⇒ có 3 cực trị. ii) Khi a = 1 2 − thì g(x) = 0 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm khác 0 có 1 nghiệm kép x = 0 và 1 nghiệm đơn ⇒ ( )f x = 0′ ⇒ có 1 cực trị Điều kiện cần để hàm chỉ có 1 cực trị là a = 1 2 − . Khi a = 1 2 − , hàm đạt cực tiểu tại x = 3. (Khi a = 1 2 − , g(x) = 0 ⇔ x2 = 0 x = 3 ∨ với x = 0 là nghiệm kép và x = 3 là nghiệm đơn). Vậy khi a = 1 2 − thì hàm chỉ có cực tiểu và không có cực đại. 8) Khi a ≠ 1 2 − , hàm số có 3 cực trị. Gọi x1, x2, x3 là hoành độ 3 điểm cực trị khi a ≠ 1 2 − , ta có : x1, x2, x3 là nghiệm của f′ ( )x = 0. Chia đa thức f ( )x cho 1 4 f′ ( )x ta có: f ( )x = 1 4 f′ ( )x [ ]x + 2a – 2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 Vậy 3 điểm cực trị thoả phương trình: y = –2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 vì = = ff′ ( )1x f′ ( )2x ′ ( )3x = 0 Vậy, phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị là : y = –2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 9) y′ = 4x3 + 24ax2 – 8 ( )x 1 + 2a y′′ = 12x2 + 48ax – 8 ( ) 1 + 2a y′′ = 0 3x⇔ 2 + 12ax – 2 ( )1 + 2a = 0 (9) Vì (9) có = 36a′Δ 2 + 6 ( ) 1 + 2a nên đồ thị luôn có 2 điểm uốn I, J có hoành độ là nghiệm của phương trình (9) Hướng dẫn: giả sử chia f ( )x cho 1 4 f′′ ( )x (vế trái của (9)) Ta có : f ( )x = 1 4 f′′ ( )x ( )h x⎡⎣ ⎤⎦ + Ax + B thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm uốn là: y = Ax + B. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: (ĐH: 2,0đ; CĐ: 2,5đ): Cho hàm số : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1 . 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị . BÀI GIẢI 1) m = 1, y = x4 – 8x2 + 10 (C). MXĐ : D = R y’ = 4x3 – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 y” = 12x2 – 16; y” = 0 ⇔ x = 3 2± x −∞ − 3 2 3 2 +∞ y" + 0 − 0 + (C) lõm lồi lõm Điểm uốn I1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 9 10, 3 2 , I2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9 10, 3 2 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 10 +∞ −6 CĐ −6 CT CT 2) y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 y’ = 4mx3 + 2(m2 – 9)x y’ = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ =−+ = (*)0)9m(mx2 0x 22 y có 3 cực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0 −6 x y 10 −2 2 O ⇔ m(m2 – 9) < 0 ⇔ m < −3 ∨ 0 < m < 3 ĐỀ DỰ BỊ 1 - NĂM 2002 – KHỐI A (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x4 – mx2 + m – 1 (1) (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8. 2) Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. BÀI GIẢI 1) Khi m = 8 ⇒ y = x4 – 8x2 + 7 • MXĐ : D = R. •y' = 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4) y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2 • y'' = 12x2 – 16; y'' = 0 ⇔ 12x2 – 16 = 0 ⇔ x2 = =16 4 12 3 ⇔ x = ± 2 3 3 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 7 +∞ - 9 −9 x −∞ 2 3 3 − 2 3 3 +∞ y'' + 0 − 0 + y +∞ lõm -17/9 lồi - 17/9 lõm +∞ O 2−2 7 −9 x y 2) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. • Phương trình hoành độ giao điểm : x4 – mx2 + m – 1 = 0 (1) Đặt t = x2 ≥ 0, t2 – mt + m – 1 = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt . ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. ⇔ ⇔ 2 2 1 2 1 2 m 4(m 1) (m 2) S t t m 0 P t t m 1 0 0 m 1 m 2 >⎧⎨ ≠⎩ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - DỰ BỊ 1 - NĂM 2004 - KHỐI A (2 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 2m2x2 + 1 (1) với m là tham số 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. BÀI GIẢI 1) Khi m = 1 thì y = x4 – 2x2 + 1 MXĐ : D = R y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 - 1) , y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 1 y’’=12x2 – 4 , y’’ = 0 ⇔ x = 3 3 ± y(0) = 1 ; y (± 1) = 0 ; y( 3 3 ± ) = 4 9 x −∞ –1 0 1 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y +∞ +∞ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 x −∞ 3 3 − 3 3 +∞ y’’ + 0 – 0 + y +∞ lõm 4 9 lồi 4 9 lõm +∞ y 1 -1 0 x1 2) y’ = 4x3 – 4 m x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 2 m± . Hàm có 3 cực trị ⇔ m ≠ 0. Gọi A (0;1) ; B, C là 2 điểm cực trị có hoành độ là m± suy ra tung độ của B và C là 1 – m4 ⇒ 4AB ( m ; m )= − −uuur và 4AC ( m ; m )= −uuur .Vì y là hàm chẵn nên AC = AB. Do đó, yêu cầu bt ⇔ m ≠ 0 và chúng tôi 0 → → = ⇔ m ≠ 0 và – m2 + m8 = 0 ⇔ m6 = 1 ⇔ m = 1± DỰ BỊ 1 KHỐI B NĂM 2005: (2 điểm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 4 26 5y x x= − + 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2 26 logx x m 0− − = . 1/ Khảo sát 4 2y x 6x 5= − + MXĐ: D= R ( )= − = − = ⇔ = = ±/ 3 2 /y 4x 12x 4x x 3 ,y 0 x 0 hay x 3 = − = ⇔ = ±/ / 2 / /y 12x 12,y 0 x 1 BBT x −∞ 3− -1 0 1 3 +∞ y ' - 0 + + 0 - - 0 + y '' + + 0 - - 0 + + y +∞ 5 +∞ -4 0 0 -4 Đồ thị 2/ Tìm m để pt 4 2 2x 6x log m 0− − = có 4 nghiệm phân biệt. 4 2 4 2 2 2x 6x log m 0 x 6x 5 log m 5− − = ⇔ − + = + Đặt 2k log m 5= + Ycbt đường thẳng y= k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt ⇔ 4 k 5⇔ − < < ⇔ − < + <24 log m 5 5 ⇔ − < <29 log m 0 ⇔ < <9 1 m 1 2 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : I . ( ĐH KT QUỐC DÂN HÀ NỘI, NĂM 1 9 9 7 ) Cho hàm số : y = (1) − 2 2(2 x ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (0; 4 ). II . ( ĐH QG TP HCM ( đợt 3 ) , NĂM 1 9 9 8) Cho hàm số : y = m2 x4 – 2 x2 + m (1) với m là tham số khác không. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (1) khi m ≠ 0. Từ đó xác định m sao cho m2 x4 – 2 x2 + m ≥ 0 với mọi số thực x. III . ( ĐH Y DƯỢC TP HCM , NĂM 1 9 9 8) Cho hàm số : y = –x4 + 2 (m + 1) x2 – 2m –1 (1) với m là tham số 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng. 2) Gọi (C ) là đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. Tìm tất cả các điểm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( C ). ThS. PHẠM HỒNG DANH TT luyện thi chất lượng cao Vĩnh Viễn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất
  • Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Căn Bậc Hai Của Số Phức Và Phương Trình Bậc Hai (Nâng Cao)

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Cực Hay.
  • Cách Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Nâng Cao Cực Hay .
  • Giải Bài Tập Vật Lý 8 Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Phương Trình Cân Bằng Nhiệt: Giải Bài Tập C1,c2,c3 Vật Lý 8 Trang 89
  • Sách giải toán 12 Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

    Bài 17 (trang 195 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các căn bậc hai của số phức sau: -i; 4i; -4;1+4 √3 i

    Lời giải:

    Gọi z=x+yi là căn bậc hai của -I, ta có: z 2=-i

    Tương tự, 4i có căn bậc hai là z=√2+√2 i và z=-√2-√2 i; -4 có căn bậc hai là: z = 2i và z = -2i, 1+4 √3 i và z=-2-2 √3 i

    Lời giải:

    Giả sử w=a+bi có một căn bậc hai là z=x+yi

    Vì z là một căn bậc hai của w nên z 2=w

    Bài 19 (trang 196 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải các phương trình bậc hai sau:

    Vậy phương trình có hai nghiệm là

    Vậy Phương trình có hai nghiệm là: z 1=-1-2i;z 2=-1+2i

    c) z 2+(1-3i)z-2(1+i)=0

    Ta có Δ=(1-3i) 2+8(1+i)=2i

    Δ có căn bậc hai là: a 1=1+i,a 2=-1-i

    Nên Phương trình có 2 nghiệm là:

    Bài 20 (trang 196 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

    a) Hỏi công thức Viet về Phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho Phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

    b) Tìm hai số phức, biế tổng của chúng bằng 4 – I và tích của chúng bằng 5(1 – i).

    c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2+Bx+C=0 (B, C là hai số phức nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

    Lời giải:

    a) Định lí Viet vẫn đúng cho Phương trình bậc hai với hệ số phức,

    Giả sử Phương trình: Az 2+Bz+C=0 (A ≠ 0;A,B,C ∈C) có hai nghiệm:

    với α là một căn bậc hai của biệt số Δ=B 2-4AC

    b) Theo định lí Viet thì hai số phức có nghiệm của Phương trình:

    Ta có Δ=(4-i) 2-20(1-i)=-5+12i

    Δ là một căn bậc hai là α=2+3i, nên (*) có hai nghiệm là:

    Vậy hai số cần tìm là: 3+i;1-2i

    c) Giả sử phương trình: z 2+Bz+C=0 nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thức sau đây: z 1=a+bi;z 2=a-bi với b ≠ 0;a.b ∈R

    Vì z 1;z 2 là nghiệm Phương trình: z 2+Bz+C=0 nên ta có:

    Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

    Thay vào (1) ta được:

    Vì b ≠ 0 nên B = -2a – bi không thể là một số thực, vật khẳng định: B và C là hai số thực là sai.

    – Điều ngược lại. nếu B, C là hai số thực thì Phương trình z 2+Bz+C=0 nhận hai nghiệm số phức liên hợp là sai, chẳng hạn Phương trình z 2+2z-3=0 có nghiệm là z = 1; z =-3

    Bài 21 (trang 197 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

    a) Giải Phương trình: (z 2+i)(z 2-2iz-1)=0

    b) Tìm số phức B để Phương trình bậc hai z 2 Bz+3i=0 có tổng bình Phương hai nghiệm bằng 8.

    Lời giải:

    a) Phương trình: (z 2+i)(z 2-2iz-1)=0

    Vậy Phương trình đã cho có 3 nghiệm:

    Số 6i + 8 có căn bậc hai là: 3+i và-3-i

    Vậy B = 3 + i hoặc B = -3 – i

    Đáp số: có hai số B thỏa mãn bài toán.

    Bài 22 (trang 197 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của -1 là √(-1) và tính √(-1).√(-1) như sau:

    a) Tính theo định nghĩa của căn bậc hai là -1 thì √(-1).√(-1)=-1

    b) Tính theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì:

    √(-1).√(-1)=√((-1)(-1) )=√1=1

    Từ đó, học sinh suy ra – 1 = 1. Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

    Lời giải:

    1. Trước hết không nên kí hiệu √(-1) là một căn bậc hai của -1, bởi vì trong phần lí thuyết ta đã biết số -1 có dùng căn bậc hai là: √(-(-1) ) i và -√(-(-1) ) i. Kí hiệu √a chỉ nên chỉ: “Giá trị không âm của căn bậc hai của số thực không âm a” mà thôi.

    2. Sai lầm chính ở điểm b). học sinh đó đã xem kí hiệu mới của mình √(-1) như là căn bậc hai số học của một số thực không âm, mặc dù rằng √(-1) không phải là một số thực. (học sinh đó dùng √(-1) để chỉ số ảo i hoặc số ảo -i) và kí hiệu mới √(-1) của học sinh đó cũng không có tính chất tương tự như tính chất của √a (Với a là số thực không âm) mà bằng chứng là chính mâu thuẫn tìm được trong b)

    3. Một sai lầm nữa phải nhắc đến đó là: tính chất trong b) “tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của hai số đó” là phát biểu sai, chẳng hạn.

    Ví dụ: số 2 là một căn bậc hai của 4.

    Số -3 là một căn bậc hai của số 9

    Số 6 là một căn bậc hai của số 4.9

    Theo tính chất trên thì:2(-3) = 6, đường nhiên sai.

    Ví dụ 2. Số I là một căn bậc hai của số -1;

    Số I +1 là một căn bậc hai của 2i

    Số I – 1 là một căn bậc hai của số -1.2i

    Theo tính chất trên thì:

    4. Cần giải thích thêm sự phân tích trong 2) như sau:

    Tính chất. nếu x, y là các số thực không âm thì: √x √y=√(x.y) (1)

    Khi kí hiệu: √(-1).√(-1)=√((-1)(-1) )=1, nghĩa là đã xem số -1 thõa mãn tích chất -1 ≥ 0

    Con đường dẫn đến sai lầm của học sinh đó (có lẽ) diễn ta như sự phân tích trong 4).

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Trang 42, 43 Sgk Toán 9 Tập 2 Bài 11, 12, 13, 14
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 2: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Toán 8 Bài 2: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn: Lý Thuyết, Bài Tập Và Cách Giải
  • Trên Tập Số Phức, Phương Trình: (Z^4+4=0) Có Bao Nhiêu Nghiệm?

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình 6 Ẩn
  • Giai He Phuong Trinh Tuyen Voi Nhieu An So
  • Giải Thích Ý Nghĩa Số Điện Thoại Của Mình Bạn Nên Xem
  • Soi Kèo Bóng Đá Ý: Dự Đoán Kết Quả Nhanh Và Chính Xác Nhất
  • Yolo Là Gì? Phong Cách Sống Hay Còn Nghĩa Khác?
  • Chủ đề :

    Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

    CÂU HỎI KHÁC

    • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào sau đây biểu diễn số phức (z=-2-3i) ?
    • Tìm số phức liên hợp của số phức z, biết (z = {left( {sqrt 3 + i} right)^3})
    • Tìm phần thực của số phức z, biết (overline z = frac{{left( {4 – 3i} right)left( {2 – i} right)}}{{5 + 4i}})
    • Mô đun của số phức z, biết (z{left( {1 + i} right)^3} = 2 + 2i) là:
    • Tìm phần ảo của số phức (overline z ), biết (z = frac{{3 – 4i}}{{left( {1 – i} right)left( {2 + i} right)}})
    • Tìm các số thực x, y thỏa: (3x – y + 5xi = 2y – 1 + left( {x – y} right)i)?
    • Cho số phức (z = – 4 + 3i). Kết luận nào sau đây sai?
    • Cho số phức (z = left( {2 – 3i} right)left( {2 + i} right)). Tìm phần ảo của số phức (w = {z^2} – 3iz)?
    • Thực hiện phép tính (left( {2 – 3i} right){left( {1 + 2i} right)^3} + frac{{4 – i}}{{3 + 2i}}), ta được kết quả là (a+bi).
    • Tìm mô đun của số phức z thỏa: (left( {2 – i} right)z – 4 + 2i = 2 – 4i – 3iz) ?
    • Trên tập số phức, phương trình: (z^4+4=0) có bao nhiêu nghiệm?
    • Trên tập số phức, phương trình (x^2+4=0) có nghiệm là:
    • Phương trình: (2{left( {overline z } right)^2} – 4overline z + 3 = 0) có nghiệm là:
    • Cho hai số phức ({z_1} = – 2 – 5i) và ({z_2} = {(1 + i)^5}). Tìm điểm biểu diễn số phức (w = {z_1} – {z_2})?
    • Cho hai số phức ({z_1} = b – ai, a,b in R) và ({z_2} = 2 – i).
    • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức (z = a + bi) và N là điểm biểu diễn số phức (w
    • Biết (z_1, z_2) là hai nghiệm phức của phương trình: (2{z^2} – sqrt 3 z + 3 = 0).
    • Trong mp tọa độ Oxy, các điểm nào sau đây là điểm biểu diễn các nghiệm của pt: ({z^2} + 2i = 0)?
    • Gọi (z_1, z_2, z_3, z_4) là các nghiệm phức của phương trình (2{z^4} – 2{z^3} + {z^2} + 2z + 2 = 0).
    • Cho số phức z thỏa: (left( {3 – 2i} right)overline z – 4left( {1 – i} right) = left( {2 + i} right)z).
    • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trìn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 4

    --- Bài mới hơn ---

  • Pt Asinx+Bcosx=C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt
  • Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Ax+By=C
  • Luyện Tập Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax+B=0
  • Giải Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Bằng Php
  • Phương Trình Chứa Ẩn Trong Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Ở bài trước chúng ta đã nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba. Trong bài này chúng ta đi nghiên cứu cách giải một sô phương trình có bậc cao hơn 3. Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao là ta tìm cách chuyển về phương trình có bậc thấp hơn, thường chúng ta chuyển về phương trình bậc hai. Để làm điều này ta thường sử dụng các phương pháp sau:

    1. Phương pháp đưa về dạng tích : Tức là ta biến đổi phương trình :

    .

    Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:

    Cách 2 : Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta luôn có sự phân tích: . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

    Chú ý : * Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của .

    * Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm

    * Nếu đa thức có tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ thì đa thức có một nghiệm.

    : Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc bốn.

    Ví dụ 1 : Giải phương trình : (1) .

    Giải:

    Ta có phương trình (1.1)

    . Vậy phương trình có hai nghiệm: .

    : Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt những hạng tử thích hợp.

    Ví dụ 2 : Giải phương trình : .

    Giải: Phương trình

    .

    Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: .

    Chú ý :

    1) Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc làm sao mà ta biết cách tách như trên ?!. Thật ra thì chúng ta làm như sau:

    Phương trình .

    Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu phân tích được hằng đẳng thức, để có điều này ta phải có:

    , phương trình này có một nghiệm , do đó ta có thể phân tích như trên.

    Với phương trình bậc bốn tổng quát (I) ta cũng

    có thể biến đổi theo cách trên như sau:

    Ta cộng thêm hai vế của phương trình một lượng:

    (1.I).

    Bây giờ ta chỉ cần chọn sao cho VT của (1.I) phân tích thành hằng đẳng thức, tức là :

    (2.I)

    Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I).

    2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (4).

    , phương trình này có nghiệm: .

    Do vậy

    ,

    và .

    Đưa về phương trình tích ngoài cách tạo ra hằng đẳng thức ở trên, ta còn có cách khác là sử dụng phương trình hệ số bất định. Chẳng hạn xét ví dụ trên. Ta phân tích:

    Khai triển rồi đồng nhất các hệ số ta có được hệ phương trình :

    .

    Từ phương trình cuối ta chọn: , thay vào ba phương trình đầu ta có:

    ta thấy hệ này vô nghiệm, do đó ta chọn , thay vào ta giải được và

    Vậy: .

    Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

    (5).

    Khi gặp bài toán này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ không biết nên xử lí theo hướng nào? Vì phương trình này không có nghiệm đặc biệt, nếu sử dụng phương trình phân tích bình phương thì việc giải phương trình (2.I) e rằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì sao? Chú ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: Giải: , điều này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương trình về dạng: (mục đíc là làm giảm số ẩn cần tìm xuống còn 2 ẩn). Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :

    .

    Vậy

    (5) có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

    * (a) và (b) cùng có hai nghiệm phân biệt

    * Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là , khi đó là nghiệm của hệ: , hệ này vô nghiệm và (b) không có nghiệm chung. Vậy là những giá trị cần tìm.

    : Việc nhận thấy Nhận xét là mẫu chốt hạn chế khó khăn trong việc phân tích ra thừa số. Đây là một tính chất của đa thức rất hay được sử dụng trong việc phân tích một đa thức thành các nhân tử. Cụ thể : Nếu tam thức bậc hai (tương tự cho đa thức)

    có hai nghiệm thì ta luôn có sự phân tích . Với phương trình trên ta không sử dụng được tính chất này vì vế trái là một đa thức bậc 4 không có nghiệm đặc biệt. Tuy nhiên nếu chúng ta nhạy bén thì ta thấy VT của phương trình lại là một tam thức bậc hai đối với ẩn là tham số m. Tức là ta có:

    (5′)

    Tam thức này có :

    Suy ra (5′) có hai nghiệm

    và . Do vậy ta có:

    . Đây là phương trình mà ta vừa biến đổi ở trên.

    Ví dụ 5: Giải phương trình : .

    Đặt Giải: , ta có :

    .

    Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

    .

    : Giải phương trình : Ví dụ 6 .

    Giải:

    Ta có phương trình

    .

    Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: .

    Ví dụ 7 : Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

    Giải:

    PT:

    .

    Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

    (a) và (b) có hai nghiệm phân biệt .

    Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là

    .

    Vậy là những giá trị cần tìm.

    Nguyễn Tất Thu

    --- Bài cũ hơn ---

  • Công Cụ Máy Tính Online: Tính Nhanh, Giải Phương Trình, Căn Bậc
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Online, Cực Nhanh Tại Giaitoannhanh.com
  • Bài Tập Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Có Đáp Án
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Và Bài Tập Vận Dụng
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Số Phức Cơ Bản Và Nâng Cao

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Bài Tập Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Và Bài Tập Vận Dụng
  • Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Độ Phức Tạp Tính Toán
  • Luyện Tập Đệ Quy (Phần 1)
  • Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:

    Phương pháp 1: rút

    Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn .

    Ví dụ 1: Tìm số phức .

    Giải:

    thỏa: 

    Ví dụ 3: Tìm số phức . Ta được phương trình:

    Vậy  biết . Ta được phương trình:

    hoặc 

    Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.

    Giải:

    Đặt  [ Leftrightarrow z = frac{{3sqrt {10} }}{{10}} – frac{{sqrt {10} }}{{10}}i]

    Share this:

    • More

    Like this:

    Like

    Loading…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa – Khử – Du Học & Lao Động
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Chuyên Đề “Phương Trình Nghiệm Nguyên”
  • Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica
  • Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Cách Giải Một Số Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc 2

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Nhẩm Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 I. HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải sau đây: Dạng 1. Phương trình tích.Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 3. Phương trình trùng phương.Dạng 4. Phương trình dạng: a2 + bf(x) + c = 0 (hoặc ) với a 0: 4.1. Cách giải: +Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu cần). +Đặt f(x) = t (hoặc tương ứng = t). Ta có phương trình: at2 + bt + c = 0 (**) +Giải phương trình (**) bậc hai (ẩn t) +Trả biến và giải tiếp phương trình f(x) = t rồi kết luận. 4.2. Ví dụ: Giải phương trình sau: Giải: .Đặt , ta có: Với t1 = 1, ta có: Với t2 = ta có , phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 4.3. Nhận xét:- Nhờ phép biến đổi và bằng cách đặt ẩn phụ, ta đưa được phương trình về dạng phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải: at2 + bt + c = 0 Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số bước biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát (như trong ví dụ trên). - Cũng như một số loại phương trình khác đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian. - Phương trình trùng phương (cũng như phương trình bậc hai một ẩn) là những dạng đặc biệt của phương trình: ax2n + bxn + c = 0, trong đó: a0; n nguyên dương (còn gọi là phương trình tam thức). Các phương trình này cũng chỉ là dạng đặc biệt của phương trình: a = 0. -Với phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0), ta giải theo cách sau: +Dễ thấy x = 0 không là nghiệm. Do đó chia 2 vế cho x2 , ta được: at2 + bt + c - 2a = 0 (1) +Giải phương trình (1) rồi trả biến = t à tìm x và kết luận. 8.4. Ví dụ : Giải phương trình : 3x3 - 5x2 - 5x + 3 = 0 Hướng dẫn: Biến đổi thành: (x + 1)(3x2 - 8x + 3) = 0 (Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là ) 9. Phương trình hồi quy: 9.1. Định nghĩa: Phương trình hồi quy là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (với a.k 0) Nhận xét: Phương trình đối xứng bậc 4 chỉ là một dạng đặc biệt của phương trình hồi quy (với k = 1) 9.2. Cách giải:-Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được: -Đặt .Ta có phương trình bậc hai (ẩn t): (*) -Giải phương trình (*).Trả biến = t à tìm x và kết luận. 9.3. Ví dụ: Giải phương trình x4 + 4 = 5x(x2 - 2) (1) Giải :-Ta có (1) x4 - 5x3 +10x +4 = 0 à là phương trình hồi quy với k = - 2. -Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được : .Đặt t = ,ta có : .Ta có phương trình : Với t = 4 ta có : .Với t = 1 ta có :.Vậy S = . II. MỘT SỐ BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu: a) b) Bài 2: Giải các phương trình bậc cao sau: a)(x2 + x + 1)2 - 3x2 - 3x - 1 = 0 b)x4 +4x3 +3x2 +2x - 1 = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) b)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Rèn Kỹ Năng Giải Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8 Skkn 2014 Toan Khoa Doc
  • 4 Dạng Toán Phương Trình Thường Gặp Trong Đề Thi Hkii Toán 8
  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương
  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi
  • Chuyên đề môn Toán lớp 10

    Chuyên đề Toán học lớp 10: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

    Chuyên đề: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

    I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

    1. Phương trình bậc nhất

    Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau

    Khi a ≠0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

    2. Phương trình bậc hai

    Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

    3. Định lí Vi-ét

    Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) có hai nghiệm x 1, x 2 thì

    x 1 + x 2 = –1x 2 =

    Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình

    II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

    Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

    1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

    Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

    Giải

    Cách 1

    a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = -4.

    Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

    b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành -x + 3 = 2x + 1. Từ đó x =

    Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

    Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x =

    Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

    Phương trình cuối có hai nghiệm là x = -4 và x =

    Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x =

    2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

    Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

    Ví dụ 2. Giải phương trình

    Giải.

    Điều kiện của phương trình (4) là x ≥

    Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

    Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – √2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm (hai vế cùng bằng √2 + 1).

    Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x= 3 + √2 .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100