Top 12 # Giải Phương Trình Số Phức Bậc 4 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 5/2023 # Top Trend

Giải phương trình bậc 2 số phức

A. Phương pháp giải & Ví dụ

– Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

Xét Δ = b 2 – 4ac, ta có

+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .

+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

+ Chú ý.

Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x 1;x 2 (thực hoặc phức).

– Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

Ví dụ minh họa

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z 2 – z + 1 = 0

Hướng dẫn:

Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + √5 = 0 là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án B

Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 3 – 8 = 0 là :

Hướng dẫn:

Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4:Trong C , phương trình z 2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :

Phương trình có hai nghiệm phức là:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho z = 1 – i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z 2 + i)(z 2– 2iz – 1) = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 7:Trong C , phương trình có nghiệm là:

(1 ± √3)i B. (5 ± √2)i C. (1 ± √2)i D.(2 ± √(5)i)

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A.

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Trong C, phương trình 2x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A Giải thích :

Câu 2:Trong C , phương trình z 2 – z + 1 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0

Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 = -5 + 12i là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A Giải thích :

Do đó phương trình có hai nghiệm là

Câu 4: Trong C , phương trình z 4-6z 2 + 25 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Câu 6: Phương trình z 2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:

A. 0 B. C. 3 D. -1

A. 5 B. 6 C. 4 D. 7

Hiển thị đáp án

Đáp án : B Giải thích :

Theo Viet, ta có:

A.-7 B. – 8 C.-4 D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 2 – 6z + 13 = 0. Tính

A. √17 và 4 B. √17 và 5 C. √17 và 3 D. √17 và 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B Giải thích :

A.5 B.√13 C. 2√13 D. √20

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Theo Viet, ta có:

A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án : C Giải thích :

Ta có:

Câu 12: Cho phương trình z 2 + mz – 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:

A. 0 B. 1 C. -2 D. -1

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 13:Gọi z 1;z 2;z 3;z 4 là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :

Hiển thị đáp án

Đáp án : B Giải thích :

Với mọi , ta có:

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

A. z = -3 + 4i B. z = -2 + 4i

C. z = -4 + 4i D. z = -5 + 4i

Thay vào phương trình:

Câu 2:Hai giá trị x 1 = a + bi ; x 2 = a – bi là hai nghiệm của phương trình nào :

Hiển thị đáp án

Đáp án : C Giải thích :

Áp dụng định lý đảo Viet :

Câu 3: Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + 4z + 5 = 0 là:

Câu 4:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 1 – 2i = 0 là

Câu 5:Trong C , phương trình z 3 + 1 = 0 có nghiệm là:

Câu 6: Trong C , phương trình z 4 – 1 = 0 có nghiệm là:

A ±1;±2i B. ±2;±2i C. ±3; ±4i D. ±1;±i

Câu 7:Phương trình z 3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án : A Giải thích :

Câu 8: Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2 + 2z + 2 = 0

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 9: Trong C , phương trình z 4 + 4 = 0 có nghiệm là:

Câu 10:Tập nghiệm trong C của phương trình z 3 + z 2 + z + 1 = 0 là:

A. {-i ; i ; 1 ; -1} B. {-i ; i ; 1 } C. {-i ; -1} D . {-i ; i ; -1}

Câu 11:Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B Giải thích :

Áp dụng định lý Viet, ta có: .

Câu 12: Phương trình (2 + i) z 2 + az + b = 0 có hai nghiệm là 3 + i và 1 – 2i. Khi đó a = ?

A. -9 – 2i B. 15 + 5i C. 9 + 2i D. 15 – 5i

Hiển thị đáp án

Đáp án : A Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 13:Giá trị của các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : C Giải thích :

A. -7 B. 8 C. 15 D. 22

Câu 15:Trên tập số phức, cho phương trình sau: (z + i) 4 + 4z 2 = 0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?

1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực R .

2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức C .

3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.

4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.

5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.

6. Phương trình có hai nghiệm là số thực

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích :

Câu 16:Giả sử z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z 1;z 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A.I(1;1) B.I(-1;0) C. I(0;1) D.I(1;0)

Câu 17:Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2 + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng -4i là:

A.±(1-i) B.1-i C.±(1+i) D. -1-i

Hiển thị đáp án

Đáp án : A Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 18:Cho phương trình z 2 – mz + 2m – 1 = 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z 1;z 2 thỏa mãn z 12 + z 22 = 10 là:

A. m = 2 ± 2√2i B. m = 2 + 2√2i C. m = 2 – 2√2i D. m = -2 – 2√2i

Hiển thị đáp án

Đáp án : A Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 19: Gọi z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 8 = 0, trong đó z 1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức là:

A. 12 + 6i B. 10 C. 8 D. 12 – 6i

Câu 21:Phương trình x 4 + 2x 2 – 24x + 72 = 0 trên tập số phức có các nghiệm là:

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

Sách giải toán 12 Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 17 (trang 195 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các căn bậc hai của số phức sau: -i; 4i; -4;1+4 √3 i

Lời giải:

Gọi z=x+yi là căn bậc hai của -I, ta có: z 2=-i

Tương tự, 4i có căn bậc hai là z=√2+√2 i và z=-√2-√2 i; -4 có căn bậc hai là: z = 2i và z = -2i, 1+4 √3 i và z=-2-2 √3 i

Lời giải:

Giả sử w=a+bi có một căn bậc hai là z=x+yi

Vì z là một căn bậc hai của w nên z 2=w

Bài 19 (trang 196 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải các phương trình bậc hai sau:

Vậy phương trình có hai nghiệm là

Vậy Phương trình có hai nghiệm là: z 1=-1-2i;z 2=-1+2i

c) z 2+(1-3i)z-2(1+i)=0

Ta có Δ=(1-3i) 2+8(1+i)=2i

Δ có căn bậc hai là: a 1=1+i,a 2=-1-i

Nên Phương trình có 2 nghiệm là:

Bài 20 (trang 196 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Hỏi công thức Viet về Phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho Phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biế tổng của chúng bằng 4 – I và tích của chúng bằng 5(1 – i).

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2+Bx+C=0 (B, C là hai số phức nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải:

a) Định lí Viet vẫn đúng cho Phương trình bậc hai với hệ số phức,

Giả sử Phương trình: Az 2+Bz+C=0 (A ≠ 0;A,B,C ∈C) có hai nghiệm:

với α là một căn bậc hai của biệt số Δ=B 2-4AC

b) Theo định lí Viet thì hai số phức có nghiệm của Phương trình:

Ta có Δ=(4-i) 2-20(1-i)=-5+12i

Δ là một căn bậc hai là α=2+3i, nên (*) có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là: 3+i;1-2i

c) Giả sử phương trình: z 2+Bz+C=0 nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thức sau đây: z 1=a+bi;z 2=a-bi với b ≠ 0;a.b ∈R

Vì z 1;z 2 là nghiệm Phương trình: z 2+Bz+C=0 nên ta có:

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

Thay vào (1) ta được:

Vì b ≠ 0 nên B = -2a – bi không thể là một số thực, vật khẳng định: B và C là hai số thực là sai.

– Điều ngược lại. nếu B, C là hai số thực thì Phương trình z 2+Bz+C=0 nhận hai nghiệm số phức liên hợp là sai, chẳng hạn Phương trình z 2+2z-3=0 có nghiệm là z = 1; z =-3

Bài 21 (trang 197 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Giải Phương trình: (z 2+i)(z 2-2iz-1)=0

b) Tìm số phức B để Phương trình bậc hai z 2 Bz+3i=0 có tổng bình Phương hai nghiệm bằng 8.

Lời giải:

a) Phương trình: (z 2+i)(z 2-2iz-1)=0

Vậy Phương trình đã cho có 3 nghiệm:

Số 6i + 8 có căn bậc hai là: 3+i và-3-i

Vậy B = 3 + i hoặc B = -3 – i

Đáp số: có hai số B thỏa mãn bài toán.

Bài 22 (trang 197 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của -1 là √(-1) và tính √(-1).√(-1) như sau:

a) Tính theo định nghĩa của căn bậc hai là -1 thì √(-1).√(-1)=-1

b) Tính theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì:

√(-1).√(-1)=√((-1)(-1) )=√1=1

Từ đó, học sinh suy ra – 1 = 1. Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Lời giải:

1. Trước hết không nên kí hiệu √(-1) là một căn bậc hai của -1, bởi vì trong phần lí thuyết ta đã biết số -1 có dùng căn bậc hai là: √(-(-1) ) i và -√(-(-1) ) i. Kí hiệu √a chỉ nên chỉ: “Giá trị không âm của căn bậc hai của số thực không âm a” mà thôi.

2. Sai lầm chính ở điểm b). học sinh đó đã xem kí hiệu mới của mình √(-1) như là căn bậc hai số học của một số thực không âm, mặc dù rằng √(-1) không phải là một số thực. (học sinh đó dùng √(-1) để chỉ số ảo i hoặc số ảo -i) và kí hiệu mới √(-1) của học sinh đó cũng không có tính chất tương tự như tính chất của √a (Với a là số thực không âm) mà bằng chứng là chính mâu thuẫn tìm được trong b)

3. Một sai lầm nữa phải nhắc đến đó là: tính chất trong b) “tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của hai số đó” là phát biểu sai, chẳng hạn.

Ví dụ: số 2 là một căn bậc hai của 4.

Số -3 là một căn bậc hai của số 9

Số 6 là một căn bậc hai của số 4.9

Theo tính chất trên thì:2(-3) = 6, đường nhiên sai.

Ví dụ 2. Số I là một căn bậc hai của số -1;

Số I +1 là một căn bậc hai của 2i

Số I – 1 là một căn bậc hai của số -1.2i

Theo tính chất trên thì:

4. Cần giải thích thêm sự phân tích trong 2) như sau:

Tính chất. nếu x, y là các số thực không âm thì: √x √y=√(x.y) (1)

Khi kí hiệu: √(-1).√(-1)=√((-1)(-1) )=1, nghĩa là đã xem số -1 thõa mãn tích chất -1 ≥ 0

Con đường dẫn đến sai lầm của học sinh đó (có lẽ) diễn ta như sự phân tích trong 4).

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:

Phương pháp 1: rút [z] hoặc [bar z]

Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn [z] hoặc [bar z].

Ví dụ 1: Tìm số phức [z] thỏa: [left( {1 – i} right)z + 3 – 4i = 0].

Giải:

[left( {1 – i} right)z + 3 – 4i = 0 Leftrightarrow z = frac{{ – 3 + 4i}}{{1 – i}} Leftrightarrow z = – frac{7}{2} + frac{1}{2}i]

Ví dụ 2: Tìm số phức [z] thỏa: [left( {i,bar z – 3} right)left( {2 – i} right) + bar zleft( {1 + 2i} right) = i + 1]

Giải:

[left( {i,bar z – 3} right)left( {2 – i} right) + bar zleft( {1 + 2i} right) = i + 1]

[ Leftrightarrow left( {2i + 1} right)bar z – 6 + 3i + bar zleft( {1 + 2i} right) = i + 1]

[ Leftrightarrow bar zleft( {2i + 1 + 1 + 2i} right) = i + 1 + 6 – 3i]

[ Leftrightarrow bar z = frac{{7 – 2i}}{{2 + 4i}} = frac{3}{{10}} – frac{8}{5}i Rightarrow z = frac{3}{{10}} + frac{8}{5}i]

Phương pháp 2: đặt [z = a + bi,,left( {a,b in R} right)]

Ví dụ 3: Tìm số phức [z] biết $(2 – i)z – (5 + 3i)overline z = – 17 + 16i$

Giải:

Đặt [z = a + bi,,left( {a,b in R} right)]. Ta được phương trình:

[left( {2 – i} right)left( {a + bi} right) – left( {5 + 3i} right)left( {a – bi} right) = – 17 + 16i]

[ Leftrightarrow 2a + 2bi – ai + b – 5a + 5bi – 3ai – 3b = – 17 + 16i]

[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2a + b – 5a – 3b = – 17\2b – a + 5b – 3a = 16end{array} right.]

[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}- 3a – 2b = – 17\- 4a + 7b = 16end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 3\b = 4end{array} right.]

Vậy [z = 3 + 4i].

Ví dụ 4: Tìm số phức [z] biết [z.overline z + left( {z – overline z } right) = 4 – 2i]

Giải:

Đặt [z = a + bi,,left( {a,b in R} right)]. Ta được phương trình:

[left( {a + bi} right)left( {a – bi} right) + left( {a + bi – a + bi} right) = 4 – 2i]

[ Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2bi = 4 – 2i]

[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 4\2b = – 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} + 1 = 4\b = – 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = pm sqrt 3 \b = – 1end{array} right.]

Vậy [z = sqrt 3 – i] hoặc [z = sqrt 3 + i]

Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức

Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:

[overline {{z_1} pm {z_2}} = {bar z_1} pm {bar z_2}] [overline {{z_1}.{z_2}} = {{bar z}_1}.{{bar z}_2}] [overline {left( {frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} right)} = frac{{{{bar z}_1}}}{{{{bar z}_2}}}]

Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.

Giải:

Đặt [w = a + bi,,left( {a,b in R} right)] ta được:

Vậy [w = – 8 Leftrightarrow z^3 = – 8] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = – 2\ z = 1 – sqrt 3 i\ z = 1 + sqrt 3 i end{array} right.]

Giải:

Thế lại ta được: [frac{{sqrt {10} }}{z} = 3 + i][ Leftrightarrow z = frac{{3sqrt {10} }}{{10}} – frac{{sqrt {10} }}{{10}}i]

Share this:

Facebook

Twitter

Email

Print

More

Pinterest

Like this:

Like

Loading…