Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Đối Xứng, Phản Đối Xứng

--- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Kỹ Năng Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn “chương 3, Đại Số 10 Cb”
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Có Ẩn Dưới Dấu Căn Toán 10
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn Bậc Hai
  • Trắc nghiệm phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

    Bài 1: Nghiệm của phương trình 2(sinx + cosx) + sinxcosx = 2 là:

    Đáp án: A

    Bài 3: Một nghiệm của phương trình sin 3x – cos 3 x = sinx -cosx là:

    Bài 4: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:

    Đáp án: B

    Bài 5: Tập nghiệm của phương trình cos 3x + sin 3 x = sinx + cosx là:

    Đáp án: B

    Bài 7: Cho phương trình 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0. Trong các phương trình sau, phương trình nào không tương đương với phương trình đã cho?

    Bài 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1 – 0.5sin2x là:

    Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sinxcosx – sinx – cosx + m = 0 có nghiệm?

    Đáp án: A

    Bài 10: Từ phương trình 5sin2x – 16(sinx – cosx) + 16 = 0, ta tìm được sin(x – π/4) có giá trị bằng:

    Bài 11: Từ phương trình (1 + √3)(cosx + sinx) – 2sinxcosx – √3-1=0, nếu ta đặt t = cosx + sinx thì giá trị của t nhận được là:

    A. t = 1 hoặc t = √2. B. t = 1 hoặc t = √3.

    Đáp án: B

    Bài 13: Từ phương trình √2(sinx + cosx) = tanx + cotx, ta tìm được cosx có giá trị bằng:

    Bài 14: Từ phương trình 1 + sin3x + cos3x = 3/2 . sin2x, ta tìm được cos(x + π/4) có giá trị bằng:

    Bài 15: Nếu (1 + √5)(sinx-cosx)+sin2x-1-√5=0 thì sinx bằng bao nhiêu?

    A. sinx = √2/2. B. sinx = √2/2 hoặc sinx = -√2/2.

    C. sinx = -1 hoặc sinx = 0. D. sinx = 1 hoặc sinx = 0.

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-luong-giac.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Bậc 2 Trong Java
  • Phương Trình Trùng Phương Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Giải, Các Dạng Bài Tập
  • Cách Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2
  • Phương Trình Lượng Giác Bậc Một Theo Sin ,cos
  • Giải Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Bài 6 Đối Xứng Trục

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 3 Trang 6 Câu 1, 2, 3, 4 Tập 2 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 6 Tập 2 Bài 88 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Giải Sách Bài Tập Toán 6 Trang 86, 87 Câu 16, 17, 18, 19 Tập 2
  • Giải Bài 22, 23, 24, 25 Trang 112, 113 Sách Giáo Khoa Toán 6 Tập 1
  • Giải Vở Bài Tập Toán 5 Bài 69: Luyện Tập
  • Bài 6 đối xứng trục – Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

    Câu 60 trang 86 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1 Cho tam giác ABC có(widehat A = {70^0}), điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

    a. Chứng minh rằng AD = AE

    b. Tính số đo góc DAE.

    ⇒ AB là đường trung trực MD.

    ⇒ AD = AM (tính chất đường trung trực) (1)

    ⇒ Vì E đối xứng với M qua trục AC

    ⇒ AC là đường trung trực của ME

    ⇒ AM = AE ( tính chất đường trung trực) (2)

    ⇒ Từ (1) và (2) suy ra : AD = AE

    b. AD = AM suy ra ∆ AMD cân tại A có AB ⊥ MD

    nên AB cũng là đường phân giác của góc MAD

    ( Rightarrow {widehat A_1} = {widehat A_2})

    AM = AE suy ra ∆ AME cân tại A có AC ⊥ ME nên AC cũng là đường phân giác của (widehat {MAE})

    ( Rightarrow {widehat A_3} = {widehat A_4})

    (widehat {DAE} = {widehat A_1} + {widehat A_2} + {widehat A_3} + {widehat A_4})

    (= 2left( {{{widehat A}_2} + {{widehat A}_3}} right) = 2widehat {BAC} = {2.70^0} = {140^0})

    ⇒ BC là đường trung trực của HM

    ⇒ BH = BM ( tính chất đường trung trực)

    CH = CM ( tính chất đường trung trực)

    Suy ra: ∆ BHC = ∆ BMC (c.c.c)

    b. Gọi giao điểm BH với AC là D, giao điểm của CH và AB là E

    H là trực tâm của ∆ ABC

    ⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB

    Xét tứ giác ADHE ta có:

    (widehat {DHE} = {360^0} – left( {widehat A + widehat D + widehat E} right) )

    (= {360^0} – left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} right) = {120^0})

    (widehat {BHC} = widehat {DHE}) (đối đỉnh)

    ∆ BHC = ∆ BMC (chứng minh trên)

    ( Rightarrow widehat {BMC} = widehat {BHC})

    Suy ra: (widehat {BMC} = widehat {DHE} = {120^0})

    I và A đối xứng với chính nó qua AD

    Nên (widehat {AIB}) đối xứng với (widehat {AIH}) qua AD

    ( Rightarrow widehat {AIB} = widehat {AIH})

    (widehat {AIH} = widehat {DIC})( đối đỉnh)

    Suy ra: (widehat {AIB} = widehat {DIC})

    ⇒ xy là đường trung trực của AA’

    ⇒ CA’ = CA (tính chất đường trung trực)

    MA = MA’ (tính chất đường trung trực)

    AC + CB = A’C + CB = A’B (1)

    MA + MB = MA’ + MB (2)

    Trong ∆ MA’B ta có:

    A’B < A’M + MB (bất đẳng thức tam giác) (3)

    Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB

    AH ⊥ BC (gt)

    Suy ra : AH là tia phân giác (widehat A)

    AI = AK (gt)

    ⇒∆ AIK cân tại A

    AH là tia phân giác (widehat A)

    nên AH là đường trung trực của IK

    Vậy I đối xứng với K qua AH.

    Suy ra b thuộc đường trung trực của AC

    DC = DA (gt)

    Suy ra D thuộc đường trung trực của AC

    mà B ≠ D nên BD là đường trung trực của AC

    do đó A đối xứng với C qua trục BD.

    K đối xứng với A qua d

    nên đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua d là đoạn KC

    Đoạn thẳng đối xứng với đoạn AC qua d là đoạn KB

    b. d là đường trung trực của BC (gt)

    ⇒ d ⊥ BC

    A và K đối xứng qua d nên d là trung trực của AK

    ⇒ d ⊥ AK

    Suy ra: BC // AK. Tứ giác ABCK là hình thang

    AC và KB đối xứng qua d nên AC = BK.

    Vậy hình thang ABCK là hình thang cân.

    ⇒ MA = ME ( tính chất đường trung trực)

    Ta có: AB + BC = BC + CE = BE (1)

    MA + MB = MB + ME (2)

    Trong ∆ MBE ta có: BE < MB + ME ( bất đẳng thức tam giác) (3)

    Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB + BC = MA + MB

    Xét ∆ ADC và ∆ BCD:

    AD = BC ( tính chất hình thang cân)

    AC = BD ( tính chất hình thang cân)

    CD cạnh chung

    Do đó ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)

    ( Rightarrow {widehat D_1} = {widehat C_1})

    ⇒ ∆ OCD cân tại O

    ⇒ OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.

    Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy.

    Vậy O thuộc trục đối xứng của hình thang cân.

    – Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox

    – Dựng điểm E đối xứng với A qua tia Oy

    – Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C

    Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

    Vì (widehat {xOy} < {90^0}) nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ∆ ABC luôn dựng được.

    Chứng minh:

    Chu vi ∆ ABC bằng AB + BC + AC

    Vì D đối xứng với A qua Ox nên Õ là đường trung trực của AD

    ⇒ AB = BD ( tính chất đường trung trực)

    E đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AE

    ⇒AC = CE ( tính chất đường trung trực)

    Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE (1)

    Lấy B’ bất kì trên Ox, C’ bất kì trên tia Oy. Nối C’E, C’A, B’A, B’D.

    Ta có: B’A = B’D ( tính chất đường trung trực)

    C’A = C’E (tính chất đường trung trực)

    Chu vi ∆ AB’C’ bằng AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E (2)

    Vì DE ≤ B’D + B’C’ + C’E (dấu bằng sảy ra khi B’ trùng B. C’ trùng C)

    nên chu vi của ∆ ABC ≤ chu vị của ∆ A’B’C’

    Vậy ∆ ABC có chu vi bé nhất.

    Câu 6.1 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 Hãy nối mỗi cột của ô bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng.

    1. Trục đối xứng của tam giác ABC (AB = BC) là

    A. đường trung trực của AB.

    2. Trục đối xứng của hình thang cân ABCD (AB // CD) là

    B. đường trung trực của BC.

    C. đường trung trực của AC.

    Giải:

    Nối 1. với B

    Nối 2. với A

    AM là đường trung tuyến

    ⇒ AM là tia phân giác (widehat {BAC})

    ( Rightarrow widehat {BAM} = widehat {MAC}) (1)

    Kéo dài MA cắt DE tai N, ta có:

    (widehat {BAM} = widehat {DAN}) (đối đỉnh) (2)

    (widehat {MAC} = widehat {NAE}) (đối đỉnh)(3)

    Từ (1), (2) và (3) suy ra: (widehat {DAN} = widehat {NAE})

    ∆ ADE cân tại A có AN là tia phân giác

    ⇒ AN là đường trung trực của DE

    hay AM là đường trung trực của DE

    Vậy D đối xứng với E qua AM.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài 3 Ghi Số Tự Nhiên
  • Bộ Đề Ôn Tập Môn Tiếng Việt Lớp 5
  • Giải Hoạt Động Cơ Bản
  • Soạn Tiếng Việt 5 Vnen Bài 10B: Ôn Tập 2
  • Giải Tiếng Việt Lớp 5 Vnen: Bài 28B: Ôn Tập 2
  • Chương I. §6. Đối Xứng Trục

    --- Bài mới hơn ---

  • Ôn Tập Và Bồi Dưỡng Toán 6 Theo Chuyên Đề
  • Đáp Án Của Trò Chơi Brain Out
  • Giải Bài Tập Trang 57 Sgk Toán 4: Nhân Với Số Có Một Chữ Số
  • 252 Bài Thi Nâng Cao Lớp 3
  • Bộ Đề Thi Hsg Toán Lớp 3 (42 Đề)
  • * Hình học lớp 8 *

    ĐỐI XỨNG TRỤC

    BÀI 6:

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    Ta gọi hai điểm A và A’ là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d .

    d

    .

    H

    A

    .

    A`

    Cách dựng:

    – Điểm A` chính là điểm cần dựng.

    – Kẻ AH  d

    – Trên tia đối của tia HA đặt đoạn thẳng HA` = HA.

    Ta gọi hai điểm A và A’ là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d .

    Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

    d

    .

    H

    A

    .

    A`

    .

    B

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    Ta gọi hai điểm A và A’ là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d .

    Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

    Quy ước: Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng d cũng là điểm B.

    d

    .

    H

    A

    .

    A`

    .

    B

    .

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    ?2. Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB.

    + Vẽ điểm A’đối xứng với A qua d.

    + Vẽ điểm B’ đối xứng với B qua d.

    + Lấy điểm C thuộc đoạn AB, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua d.

    + Dùng thước để kiểm nghiệm rằng điểm C’ thuộc đoạn thẳng A’B’.

    C

    A’

    C’

    B’

    d

    A

    B

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

    ?2. Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB.

    + Vẽ điểm A’đối xứng với A qua d.

    + Vẽ điểm B’ đối xứng với B qua d.

    + Lấy điểm C thuộc đoạn AB, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua d.

    + Dùng thước để kiểm nghiệm rằng điểm C’ thuộc đoạn thẳng A’B’.

    C

    A’

    C’

    B’

    d

    A

    B

    * Hai đoạn thẳng AB và A’B’ gọi là hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

    Vậy thế nào là hai hình đối xứng với nhau qua đường thẳng d?

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

    * Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

    C

    A’

    C’

    B’

    d

    A

    B

    * Hai đoạn thẳng AB và A’B’ gọi là hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

    Vậy thế nào là hai hình đối xứng với nhau qua đường thẳng d?

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    * Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    * Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

    * Hai hình H và H ‘ đối xứng với nhau qua trục d.

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    3. Hình có trục đối xứng.

    ?3. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Tìm hình đối xứng với mỗi cạnh của tam giác ABC qua AH.

    Xét tam giác ABC cân tại A.

    + Hình đối xứng với cạnh AB qua đường cao AH là cạnh AC.

    + Hình đối xứng với cạnh AC qua đường cao AH là cạnh AB.

    + Hình đối xứng với đoạn BH qua đường cao AH là đoạn CH và ngược lại.

    Vậy điểm đối xứng với mỗi điểm của tam giác ABC qua đường cao AH ở đâu?

    Bài 6: ĐỐI XỨNG TRỤC

    1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

    2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

    3. Hình có trục đối xứng.

    ?3. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Tìm hình đối xứng với mỗi cạnh của tam giác ABC qua AH.

    Xét tam giác ABC cân tại A.

    + Hình đối xứng với cạnh AB qua đường cao AH là cạnh AC.

    + Hình đối xứng với cạnh AC qua đường cao AH là cạnh AB.

    + Hình đối xứng với đoạn BH qua đường cao AH là đoạn CH và ngược lại.

    Vậy điểm đối xứng với mỗi điểm của tam giác ABC qua đường cao AH sẽ nằm ở đâu?

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lý Thuyết Và Bài Tập Đối Xứng Trục (Có Lời Giải)
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Tích Phân
  • Bài Tập Có Lời Giải Trang 77, 78 Sbt Sinh Học 8
  • Bài Tập Có Lời Giải Trang 27, 28 Sbt Sinh Học 8
  • Đáp Án Vở Bài Tập Sinh Học 7
  • Giải Bài Luyện Tập Đối Xứng Trục.

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Toán Lớp 8: Bài 6. Đối Xứng Trục
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài 6: Cộng, Trừ Đa Thức
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 9 Bài 3: Bảng Lượng Giác
  • Giải Bài Tập Trang 29, 30 Sgk Toán 5: Héc
  • Các bạn đã có những hình dung về đối xứng trục. Tuy nhiên để có một cái nhìn đầy đủ hơn, các bạn nên thường xuyên luyện giải bài tập, tự đặt cho mình những câu hỏi và tìm câu trả lời trong thực tế.

    Giải bài tập 39 trang 88 sgk hình học 8 tập 1

    a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D). Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

    b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là đường nào?

    Bài giải:

    Giải bài tập 40 trang 88 sgk hình học 8 tập 1

    Trong các biển báo giao thông sau đây, biển báo nào có trục đối xứng?

    a) Biển nguy hiểm: đường hẹp hai bên (h.61a)

    b) Biển nguy hiểm: đường giao với đường sắt có rào chắn (h.61b)

    c) Biển nguy hiểm: đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)

    d) Biển nguy hiểm khác (h.61d)

    Bài giải:

    Biển có trục đối xứng là a), b), c)

    Giải bài 41 trang 88 sgk hình học 8 tập 1

    Các câu sau đúng hay sai?

    a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng thẳng hàng.

    b) Hai tam giác đối xứng nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhau.

    c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng

    d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng

    Bài giải:

    a) Ta biết ba điểm thẳng hàng thì thuộc cùng một đường thẳng, khi đối xứng qua một trục cũng sẽ thuộc cùng một đường thẳng, nghĩa là chúng thẳng hàng. Do đó câu a) đúng.

    b) Câu b) đúng vì hai tam giác đối xứng nhau qua trục thì bằng nhau nên chu vi của hai tam giác cũng bằng nhau.

    c) Đúng vì mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó.

    d) Ta biết trục đối xứng của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ngoài ra, đường thẳng chứa đoạn thẳng đó cũng là một trục đối xứng. Do đó câu c) sai.

    Giải bài 42 trang 89 sgk hình học 8 tập 1

    Đố. a) Hãy tập cắt chữ D (h.62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng

    b)Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (h.62b)

    Bài giải:

    a) Khi gấp đôi tờ giấy nét gấp sẽ là trục đối xứng ngang của chữ D, các bạn chỉ việc cắt thôi.

    b) Sở dĩ ta có thể gấp làm tư tờ giấy để cắt chữ H vì chữ H có hai trục đối xứng dọc và ngang vuông góc với nhau.

    Xem bài trước: Giải bài tập trục đối xứng.

    Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đối Xứng Trục Toán Lớp 8 Bài 6 Giải Bài Tập
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 4: Tích Của Một Vectơ Với Một Số (Nâng Cao)
  • Giải Bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 Trang 17 Sgk Hình Học 10: Tích Của Véctơ Với Một Số
  • Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 1: Tổng Ba Góc Của Một Tam Giác
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài 1: Tổng Ba Góc Của Một Tam Giác
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay
  • Giải Phương Trình Tình Yêu Bằng Toán, Kết Quả Như Một Mũi Dao Đâm Vào Trái Tim Những Kẻ Yêu Đơn Phương
  • Bài Tập Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Skkn Một Số Phương Pháp Giúp Học Sinh Lớp 9 Học Tốt Giải Phương Trình Có Chứa Ẩn Ở Mẫu Skkn Nam 20122013 Doc
  • Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Lớp 8A1
  • Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng hệ phương trình các bạn được học trong chương trình Toán lớp 11. Để giải được bài tập của dạng toán này. C ác bạn cần hiểu được định nghĩa và các dạng của hệ PT đối xứng loại 2 như thế nào? Do đó, để bổ trợ cho các bạn trong quá trình học tập và ôn tập. Chúng tôi có tổng hợp đầy đủ kiến thức lý thuyết cần nhớ và bài tập vận dụng. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.

    Trọng tâm kiến thức về hệ phương trình đối xứng loại 2.

    Hệ PT đối xứng loại 2 là hệ PT chứa hai ẩn x và y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì PT này trở thành PT kia của hệ. Hay được tổng quát dưới dạng: f(x, y) = a và f(y, x) = a.

    Hệ PT đối xứng loại 2 có 2 dạng toán. Đó là:

      Dạng 1: f(x,y) = 0 và f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)

    Phương pháp giải: Lấy hai phương trình trừ vế với vế và biến đổi về dạng tích số. Sau đó, kết hợp một PT tích số với một PT của hệ để suy ra nghiệm của hệ PT

    Phương pháp giải: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại để tìm nghiệm.

    Hệ PT đối xứng loại 2 sẽ có 2 chú ý các bạn cần nhớ. Hãy tham khảo bài học bên dưới để nắm rõ các chú ý.

    Bí quyết đạt điểm cao với bài toán hệ phương trình.

    Để làm tốt bài tập về hệ PT hay hệ PT đối xứng loại 2, các bạn cần làm tốt bài tập PT. Vì hệ phương trình là dạng toán kết hợp từ các phương trình với nhau.

    Do đó, bằng cách rèn luyện nhiều bài tập về phương trình và hệ PT sẽ giúp học tốt hơn. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có thêm nhiều bài tập ôn luyện.

    Tải tài liệu miễn phí ở đây

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 8: Đối Xứng Tâm

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 8: Đối Xứng Tâm
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 8: Đối Xứng Tâm
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 8: Bài 8. Đối Xứng Tâm
  • Đối Xứng Tâm Toán Lớp 8 Bài 8 Giải Bài Tập
  • Giải Vở Bài Tập Toán 4 Bài 18. Yến, Tạ, Tấn Trang 20
  • Giải Toán lớp 8 Bài 8: Đối xứng tâm

    Bài 50 (trang 95 SGK Toán 8 Tập 1):

    Vẽ điểm A’ đối xững với A qua B, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua B (h.81)

    Lời giải:

    Vẽ đoạn thẳng AB kéo dài về phía B.

    Chọn điểm A’ sao cho B là trung điểm AA’.

    Vẽ đoạn thẳng CB và kéo dài về phía B, chọn điểm C’, sao cho B là trung điểm CC’.

    Bài 51 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm H có tọa độ (3;2). Hãy vẽ điểm K đối xứng với H qwua gốc tọa độ và tìm tọa độ của K.

    Lời giải:

    Tọa độ của điểm K là K(-3;-2)

    Bài 52 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A, gọi F là điểm đối xứng với D qua C. Chứng minh rằng E đối xứng với điểm F qua điểm B.

    Lời giải:

    AE // BC (vì AD // BC)

    AE = BC (cùng bằng AD)

    Nên ACBE là hình bình hành

    Suy ra: BE // AC, BE = AC (1)

    Tương tự BF // AC, BF = AC (2)

    Từ (1) và (2) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF. Nên B là trung điểm của EF, vậy E đối xứng với F qua B.

    Bài 53 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Cho hình 82, trong đó MD // AB và ME // AC.

    Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm M qua điểm I.

    Lời giải:

    Ta có MD// AE (vì MD// AB)

    ME // AD (vì ME // AC)

    Nên AEMD là hình bình hành, I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của AM, do đó A đối xứng với M qua I.

    Bài 54 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.

    Lời giải:

    Bài 55 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua O.

    Lời giải:

    Bài 56 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng?

    a) Đoạn thẳng AB (h.83a)

    b) Tam giác đều ABC (h.83b)

    c) Biển cấm đi ngược chiều (h.83c)

    d) Biển chỉ hướng đi vòng tránh chướng ngại vật (h.83d)

    Lời giải:

    ài 57 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1):

    Các câu sau đúng hay sai?

    a) Tâm đối xứng của một đường thẳng là điểm bất kì của đường thẳng đó.

    b) Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.

    c) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì có chu vi bằng nhau.

    Lời giải:

    a) Đúng, vì nếu lấy một điểm O bất kì trên đường thẳng thì nó chia đường thẳng đó thành hai và với bất kì một điểm M, trên tia này cũng luôn có một điểm M’ đối xứng với nó qua O trên tia kia.

    b) Sai, vì nếu lấy điểm đối xứng của đỉnh A của tam giác qua trọng tâm thì điểm đối xứng này không nằm trên tam giác.

    c) Đúng, vì hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. (Hai tam giác bằng nhau có chu vi bằng nhau.)

    Từ khóa tìm kiếm:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Toán Nâng Cao Lớp 5
  • Giải Toán 11 Bài 5. Xác Suất Của Biến Cố
  • Giải Bài 1,2,3, 4,5,6,7 Trang 74, 75 Đại Số Và Giải Tích 11: Xác Xuất Và Biến Cố
  • Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố
  • Giải Bài Tập Trang 74, 75 Sgk Giải Tích 11: Xác Suất Và Biến Cố
  • Giải Toán 8 Bài 6: Đối Xứng Trục

    --- Bài mới hơn ---

  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 6: Đối Xứng Trục
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 6: Đối Xứng Trục
  • Giải Vbt Ngữ Văn 6 Lao Xao (Duy Khán)
  • Soạn Bài Lao Xao (Duy Khán)
  • Giải Vbt Sinh Học 6 Bài 39: Quyết
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 6

    Giải bài tập Toán 8 bài 6: Đối xứng trục

    Ngoài ra, chúng tôi đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

    Giải Toán 8 Tập 1 Bài 6 trang 84

    Cho đường thẳng d và một điểm A không thuộc d. Hãy vẽ điểm A’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

    Lời giải

    Giải Toán 8 Tập 1 Bài 6 trang 84

    Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB (h.51).

    – Vẽ điểm A’ đối xứng với A qua d. – Vẽ điểm B’ đối xứng với B qua d.

    – Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua d.

    Lời giải

    Giải Toán 8 Tập 1 Bài 6 trang 86

    Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (h.55). Tìm hình đối xứng với mỗi cạnh của tam giác ABC qua AH.

    Lời giải

    AB đối xứng với AC qua AH BC đối xứng với CB qua AH

    Giải Toán 8 Tập 1 Bài 6 trang 86

    Mỗi hình sau có bao nhiêu trục đối xứng?

    a) Chữ cái in hoa A (h.56a) b) Tam giác đều ABC (h.56b) c) Đường tròn tâm O.

    (h.56c)

    Lời giải

    a) 1 trục đối xứng b) 3 trục đối xứng c) vô số trục đối xứng

    Giải Toán 8 tập 1 bài 35 trang 87 SGK

    Vẽ hình đối xứng với các hình đã cho qua trục d (h.58).

    Lời giải:

    Vẽ hình:

    Giải Toán 8 bài 36 trang 87 SGK

    Cho góc xOy có số đo 50 o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

    a) So sánh các độ dài OB và OC

    b) Tính số đo góc BOC

    b) ΔAOB cân tại O (vì OA = OB)

    Giải Toán 8 bài 37 trang 87 SGK

    Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59.

    Lời giải:

    – Hình h không có trục đối xứng

    – Hình có một trục đối xứng là: b, c, d, e, i

    – Hình có hai trục đối xứng là: a

    – Hình có năm trục đối xứng là: g

    Giải Toán 8 bài 38 trang 88 SGK

    Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

    Lời giải:

    – ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

    – Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

    Giải Toán 8 bài 38 trang 88 SGK

    Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

    Lời giải:

    – ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

    – Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

    Giải Toán 8 bài 39 trang 88 SGK

    a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D).

    Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

    b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?

    Lời giải:

    a) Vì A và C đối xứng qua d

    Nên AD + DB = CD + DB = CB (1)

    Và AE = CE (d là trung trực của AC)

    Nên AE + EB = CE + EB (2)

    Mà CB < CE + EB (3)

    Nên từ (1), (2), (3) suy ra AD + DB < AE + EB

    b) Theo câu a) con đường ngắn nhất mà bạn Tú phải đi là con đường ADB.

    Giải Toán 8 bài 40 trang 88 SGK

    Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

    a) Biển nguy hiểm: Đường hẹp hai bên (h.61a)

    b) Biển nguy hiểm: Đường giao thông với đường sắt có rào chắn (h.61b)

    c) Biển nguy hiểm: Đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)

    d) Biển nguy hiểm khác (d.61d)

    Lời giải:

    – Các biển báo ở hình a, b, d có trục đối xứng.

    – Biển báo c không có trục đối xứng.

    Giải Toán 8 bài 41 trang 88 SGK

    Các câu sau đúng hay sai?

    a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng đường thẳng hàng.

    b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhau.

    c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng.

    d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.

    Lời giải:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Giải thích: Bất kì đoạn thẳng AB nào đều có hai trục đối xứng đó là chính đường thẳng AB và đường trung trực của đoạn AB.

    Giải Toán 8 bài 42 trang 89 SGK: Đố.

    a) Hãy tập cắt chữ D (h.62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng.

    b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (h.62b)?

    Hình 62

    Lời giải:

    a) Cắt được chữ D. Gấp đôi tờ giấy (theo chiều của nét thẳng của chữ D) ta được trục đối xứng ngang của chữ D.

    Các chữ cái có trục đối xứng:

    – Chỉ có một trục đối xứng dọc: A, M, T, U, V, Y

    – Chỉ có một trục đối xứng ngang: B, C, D, Đ, E, K

    – Có hai trục đối xứng dọc và ngang: H, I, O , X

    b) Có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H vì chữ H có hai trục đối xứng vuông góc.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Tiếng Anh Lớp 10 Chương Trình Mới Unit 6: Listening, Writing Để Học Tốt Tiếng Anh
  • Giải Bài Tập Sgk Tiếng Anh Lớp 10 Chương Trình Mới Unit 6: Listening, Writing
  • Unit 6: Gender Equality 6 Lớp 10: Writing
  • Unit 6 Lớp 10: Writing
  • Giải Bài Tập Tiếng Anh 8 Unit 8: Country Life And City Life
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Toán Đại Số 8 Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Đại Số 8 Tiết 48: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Thức (Tiết 1)
  • Bài Tập Đại Số 10
  • Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể.

    Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:

    “Hệ phương trình đối xứng”

    Phần b: những nội dung cụ thể

    I. Hệ phương trình đối xứng loại I:

    Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

    – Phương trình n ẩn x1, x2, …, xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.

    – Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng:

    x1 + x2 + … + xn

    x1x2 + x1x3 + … + x1xn + x2x1 + x2x3 + … + xn-1xn

    ………………………….

    x1x2 … xn

    – Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

    – Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.

    – Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.

    *) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +… an, a0 ≠ 0, ai ẻ P có nghiệm trên P là c1, …, cn thì

    phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn:

    A. Lý thuyết:

    1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10).

    Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì

    Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình

    X2 – SX + P = 0.

    2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn.

    Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi

    VD:

    3.Cách giải:

    + Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy

    + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P.

    + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0.

    + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình

    X2 – SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán.

    4.Bài tập:

    Loại 1: Giải hệ đơn thuần

    VD1: Giải hệ (I)

    Giải: (I) Û

    Đặt S = x+y, P = xy ta có Û Û

    Û

    Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X2 – 2X = 0 Û

    ị {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}

    Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm

    Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}.

    Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn

    VD2: Giải hệ (II)

    Giải: (II) Û Û

    Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}.

    VD3: Giải hệ

    Giải:

    Vậy x5, y5 là nghiệm của phương trình X2 – 4X -32 = 0 Û

    Vậy Û

    Chú ý: Với hệ có dạng

    + Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn như nghiệm của phương trình

    X2 – aX + bn = 0.

    + Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được.

    VD4: Giải hệ (1)

    Giải : Đặt -y= t ta được hệ

    (2)

    Đăt S= x+t ,P= xt ta có (3)

    Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6

    Từ đó suy ra nghiệm của (2) .

    có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3).

    VD 5: Giải hệ: (1)

    Giải: Đặt ta có hệ

    (2)

    Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1).

    Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số .

    VD6: Giải và biện luận hệ:

    Giải: ĐK: x, y ≠ 0. Khi đó hệ trên tương đương với:

    Û Û

    Với m = -2: Hệ vô nghiệm

    Với m -2: Hệ tương đương với (*)

    Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 – 4.

    Vậy với m =2 thì hệ là

    với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm.

    VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm

    Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành

    Vậy (x;y) là nghiệm của:

    Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}.

    Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ.

    VD1: Giải hệ phương trình: (ĐHSP-91)

    Giải: Đặt . Vậy ta có hệ :

    Û

    Û

    u, v là nghiệm của phương trình

    ị ị

    Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = {}.

    VD2: Cho x, y, z thoả mãn: (I)

    CMR: .

    Giải: (I) Û

    Đặt y + z = S; yz = P ị y, z là ngiệm của phương trình X2 – SX + P = 0

    ị S2 – 4P ³ 0

    Từ hệ có

    Vậy (5-x)2 -4(x2-5x+8)

    Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có .

    B. Bài tập:

    I) Giải hệ phương trình:

    1) (ĐHAN -97)

    2) (ĐHNT-98)

    3)

    4)

    5)

    6) (ĐHNT_99)

    7) (ĐHAN-99)

    8) (ĐH HH-99)

    9)

    10)

    11)

    II. giải Hệ phương trình có tham số:

    1. Giải và biện luận:

    a) (QHQT-99)

    b) (129-III)

    c) (ĐHT-96)

    2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình

    a) có nghiệm (ĐHQG-99)

    b) có nghiệm duy nhất (HVQS-00)

    c) có đúng hai nghiệm (19-I)

    d) có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I)

    3. (1II)

    a. Giải hệ khi m = 5

    b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

    4. (7I)

    a. Giải hệ khi m = 7/2

    b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

    5. (40II)

    a. Giải hệ khi m=2

    6. Cho x,y,z thoả mãn;

    CMR:

    III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ

    1. Giải phương trình: (ĐHKT-95)

    2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm

    a. (ĐHQG-98)

    b. (ĐHNT-95)

    c. (ĐHNT-98)

    phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn:

    a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng.

    b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:

    Cho 3 số x, y, z có:

    Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0. (*)

    Thậy vậy: (X – x)(X – y)(X – z) = 0

    [ X2 – (x + y)X + xy ](X – z) = 0

    X3 – X2z – X2(x + y) + (x + y)zX + xyX – xyz = 0

    X3 – αX2 + βX – γ = 0.

    (*) có nghiệm là x, y, z ị phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.

    c.Cách giải:

    + Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng α, β, γ

    Khi đó ta đặt

    Ta được hệ của α, β, γ.

    + Giải phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ.

    Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất ị hệ vô nghiệm.

    có 1 nghiệm kép duy nhất ị hệ có nghiệm.

    có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn ị hệ có 3 nghiệm.

    (1) có 3 ngiệm ị hệ có 6 nghiệm.

    d. Bài tập:

    VD1: Giải hệ:

    Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:

    x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx).

    x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.

    Vậy 6 = 22 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = -1.

    8 = 23 – 3.2.(-1) + 3xyz ị xyz = -2.

    ị x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 – 2t2 – t + 2 = 0 Û

    Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).

    VD2: Giải hệ

    Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) Û

    Do (2) ị xyz = 27

    Vậy hệ Û

    Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – 9X2 + 27X – 27 = 0

    Û (X – 3)3 = 0

    Û X = 3.

    Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).

    VD3: Giải hệ

    Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = 0.

    x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ị xyz = 0.

    Vậy có:

    ị (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – aX2 = 0 ị

    Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}

    e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này

    + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại.

    + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.

    VD:

    Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ

    Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).

    Từ (2) và (4) ị xyz = 27 (5)

    Từ (2) ị x2(y + z) + xyz = 27x (6)

    Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 – x) + 27 – 27x = 0

    x3 – 9×2 + 27x – 27 = 0

    (x – 3)3 = 0 Û x = 3

    Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: ị y = z = 3.

    Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.

    Ii. Hệ phương trình đối xứng loại iI:

    1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn:

    A. Định nghĩa:

    – Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình này trở thành phương trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn.

    B. Bài tập ví dụ:

    VD1: Giải hệ

    Giải:

    (I)

    Vậy hệ có tập nghiệm:

    VD2: Giải hệ:

    Giải:

    Đặt

    Hệ trở thành (Do u, v ≥ 0)

    Vậy hệ có nghiệm (1,1)

    VD3: Cho hệ (I)

    a.Tìm m để hệ có nghiệm

    b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

    Giải:(I)

    a)Hệ có nghiệm Û

    b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = 1.

    Vậy m = 1.

    C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0). Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0.

    Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02 – x0 + m.

    Û x02 – 2×0 + m = 0.

    Do x0 cũng là duy nhất ị ∆’xo = 0 Û 1 – m = 0 Û m = 1

    Điều kiện đủ:

    Thay m = 1 vào hệ ta có: Û

    Û

    Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1).

    VD1: Giải phương trình: (73II)

    Giải: Đặt ị 2x – 1 = t3.

    Ta có hệ Û Û

    Û ị

    Vậy phương trình có 3 nghiệm 1; .

    C. Bài tập:

    1.Giải hệ phương trình:

    a. (ĐHQG – 99)

    b. (ĐHTL- 01)

    c. (ĐHTN – 01)

    d. (TH – 94)

    e. (TH – 96)

    g. (ĐHNG – 00)

    h.

    2. (ĐHCĐ – 99)

    a. Giải hệ với m = 0.

    b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

    3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất.

    4. Giải phương trình: a. (112III)

    b. (TH – 94).

    2. Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn:

    A. Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.

    B. Ví dụ: Giải hệ

    (ĐHSP-91)

    Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ

    Hệ này đương tương với 4 hệ sau:

    Giải (I):

    (I) Û Û Û Û

    Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ()

    Làm tương tự (II) có nghiệm ();()

    Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ()

    Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).

    Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.

    VD2: Giải hệ phương trình:

    Giải: Hệ Û

    Û

    Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0);

    (0;0;1); ().

    VD4: Giải hệ:

    Giải: Xét hai trường hợp sau:

    TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:

    Giả sử x=y có hệ

    Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là :

    Tương tự y=z, z=x ta cũng được nghiệm như trên.

    TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau .

    z<y<xịf(x)<f(y)<f(z)ịy+1<z+1<x+1ịy<z<x(vô lý).

    Vậy điều giả sử là sai.

    TH2 vô nghiệm.

    VD5: (Vô địch Đức)

    Giải:

    TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau

    Giả sử x = y ta có hệ

    Từ (1) ị x = 0, x = -1.

    x = 0. Thay vào (2), (3) ị z=0.

    x = -1. Thay vào (2), (3) ị vô lý

    Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)

    Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).

    TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.

    Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1

    ị ± 2 = 0 (vô lý)

    Vậy x2 ≠ 1 ị 2x + x2y = y Û

    Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với:

    f(t) = xác định trên D = R {±1}

    f’(t) = với mọi tẻD

    ị hàm số đồng biến trên D

    Vậy điều giả sử sai. Do vai trò x, y, z như nhau.

    Vậy TH2 – hệ vô nghiệm

    Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)

    C. Bài tập

    1.

    2.

    Hướng dẫn: Đặt .

    Đưa về giải hệ

    3. 4. 5.

    Phần C: kết luận

    Trong thực tế giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về “Hệ phương trình đối xứng”. Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lượng các bài tập cũng như về phương pháp giảng dạy.

    Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong tổ bộ môn Toán và của các đồng nghiệp. Xin trân trọng cám ơn !

    Yên Lạc, tháng 01 năm 2006

    Người viết

    Doãn Hoài Nam

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I
  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ
  • Bàn Về Phương Trình Kế Toán Cơ Bản
  • Bài Tập Có Lời Giải Về Tài Sản Và Nguồn Vốn
  • Chuyên Đề Hóa Học 8: Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 8 Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
  • Lý Thuyết Và Bài Tập Đối Xứng Trục (Có Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương I. §6. Đối Xứng Trục
  • Ôn Tập Và Bồi Dưỡng Toán 6 Theo Chuyên Đề
  • Đáp Án Của Trò Chơi Brain Out
  • Giải Bài Tập Trang 57 Sgk Toán 4: Nhân Với Số Có Một Chữ Số
  • 252 Bài Thi Nâng Cao Lớp 3
  • Các em sẽ được tìm hiểu về đối xứng trục trong bài viết này. Phần 1 là phần lý thuyết, bao gồm định nghĩa về đối xứng trục, các loại hình có trục đối xứng. Phần 2 là phần bài tập kèm hướng dẫn giải chi tiết để các em ôn tập và củng cố kiến thức

    LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ĐỐI XỨNG TRỤC A. LÝ THUYẾT

    1. Hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng

    Định nghĩa: Hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

    2. Hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng

    Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

    Hình đối xứng qua một đường thẳng d của:

    – Một đường thẳng là một đường thẳng.

    – Một đoạn thẳng là một đoạn thẳng.

    – Một góc là một góc bằng nó.

    – Một tam giác là một tam giác bằng nó.

    – Một đường tròn là một đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.

    3. Hình có trục đối xứng

    Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

    Một số hình có trục đối xứng quen thuộc:

    – Một đoạn thẳng có trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

    – Một góc có trục đối xứng là tia phân giác của góc.

    – Hai đường thẳng giao nhau có trục đối xứng là hai đường thẳng chứa các phân giác của các góc do hai đường thẳng tạo nên; hai trục đối xứng này vuông góc với nhau.

    – Tam giác cân có một trục đối xứng là đường cao cũng là phân giác, trung tuyến, thuộc cạnh đáy. Tam giác đều có ba trục đối xứng.

    – Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy.

    Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

    B. BÀI TẬP

    Bài 1. Vẽ hình đối xứng với các hình đã cho qua trục d (h.58).

    Lời giải:

    Vẽ hình:

    Bài 2. Cho góc xOy có số đo 50 o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

    a) So sánh các độ dài OB và OC

    b) Tính số đo góc BOC

    Lời giải:

    b) ΔAOB cân tại O (vì OA = OB)

    Tam giác AOB cân tại O có OM là đường cao nên cũng là đường phân giác của góc AOB.

    Tương tự ta có OA = OC suy ra AOC cân tại O

    Tam giác AOC cân tại O có ON là đường cao nên cũng là phân giác của góc AOC

    Cộng vế theo vế (1) và (2), ta có:

    Bài 3: Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59.

    Lời giải:

    – Hình h không có trục đối xứng

    – Hình có một trục đối xứng là: b, c, d, e, i

    – Hình có hai trục đối xứng là: a

    – Hình có năm trục đối xứng là: g

    Bài 4: Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

    Lời giải:

    – ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

    – Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

    Bài 5: Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

    Lời giải:

    – ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

    – Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

    Bài 6: a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D).

    Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

    b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?

    Lời giải:

    a) Vì A và C đối xứng qua d

    Nên AD + DB = CD + DB = CB (1)

    Và AE = CE (d là trung trực của AC)

    Nên AE + EB = CE + EB (2)

    Mà CB < CE + EB (3)

    Nên từ (1), (2), (3) suy ra AD + DB < AE + EB

    b) Theo câu a) con đường ngắn nhất mà bạn Tú phải đi là con đường ADB.

    Bài 7. Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

    a) Biển nguy hiểm: Đường hẹp hai bên (h.61a)

    b) Biển nguy hiểm: Đường giao thông với đường sắt có rào chắn (h.61b)

    c) Biển nguy hiểm: Đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)

    d) Biển nguy hiểm khác (d.61d)

    Lời giải:

    – Các biển báo ở hình a, b, d có trục đối xứng.

    – Biển báo c không có trục đối xứng.

    Bài 8: Các câu sau đúng hay sai?

    a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng đường thẳng hàng.

    b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một truc thì có chu vi bằng nhau.

    c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng.

    d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.

    Lời giải:

    a) Ta biết ba điểm thẳng hàng thì thuộc cùng một đường thẳng, khi đối xứng qua một trục cũng sẽ thuộc cùng một đường thẳng, nghĩa là chúng thẳng hàng. Do đó câu a) đúng.

    b) Câu b) đúng vì hai tam giác đối xứng nhau qua trục thì bằng nhau nên chu vi của hai tam giác cũng bằng nhau.

    c) Đúng vì mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó.

    d) Ta biết trục đối xứng của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ngoài ra, đường thẳng chứa đoạn thẳng đó cũng là một trục đối xứng. Do đó câu d) sai.

    Bài 9: Đố.

    a) Hãy tập cắt chữ D (h.62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng.

    b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (h.62b)?

    Lời giải:

    a) Cắt được chữ D. Gấp đôi tờ giấy (theo chiều của nét thẳng của chữ D) ta được trục đối xứng ngang của chữ D.

    Các chữ cái có trục đối xứng:

    – Chỉ có một trục đối xứng dọc: A, M, T, U, V, Y

    – Chỉ có một trục đối xứng ngang: B, C, D, Đ, E, K

    – Có hai trục đối xứng dọc và ngang: H, I, O , X

    b) Có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H vì chữ H có hai trục đối xứng vuông góc.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Tích Phân
  • Bài Tập Có Lời Giải Trang 77, 78 Sbt Sinh Học 8
  • Bài Tập Có Lời Giải Trang 27, 28 Sbt Sinh Học 8
  • Đáp Án Vở Bài Tập Sinh Học 7
  • Bài Tập Có Lời Giải Môn Quản Trị Ngân Hàng
  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Bài tập hệ phương trình đối xứng

    BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH_

    Loại 1:Hệ phương trình đối xứng loại 1

    Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

    Bài 2: Cho hệ phương trình sau:

    a.Tìm m để hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất. b.Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt.

    Bài 3:Cho hệ phương trình:

    a.Giải hệ với m = 1. b.Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 cặp nghiệm

    Bài 4: Cho hệ phương trình:

    a.Giải hệ với m = -3. b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

    Bài 5: Cho hệ phương trình:

    Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

    Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:

    Loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2

    Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

    Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất

    ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG- ĐỀ SỐ 4

    PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

    Câu I (2 điểm) Cho hàm số , m là tham số

    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.

    2. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

    Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình :

    2. Giải phương trình:

    Câu III (1 điểm) Tính tích phân

    Câu IV (1 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

    Câu V (1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

    PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)

    1. Theo chương trình chuẩn.

    Câu VI.a (2 điểm)

    1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng

    x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

    2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

    Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

    Câu VII.a (1 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau:

    (Ở đây lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử)

    2. Theo chương trình nâng cao.

    Câu VI.b)1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): .Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.

    2. Cho mặt phẳng (P): và các đường thẳng .

    Tìm các điểm sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

    Câu VII.b) Tính đạo hàm f'(x) của hàm số và giải bất phương trình

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Pt Bậc Nhất 2 Ẩn Số
  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
  • Bài Toán Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
  • Web hay
  • Guest-posts
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100