Top 15 # Giải Pt Sinx+Cosx=1 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 6/2023 # Top Trend

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

chúng tôi 2 x+ b. sinx. cosx + c. cos 2 x= 0 (1)

trong đó a; b và c là các số đã cho với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0

+Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

* Cách 1.

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có nghiệm của phương trình.

Chú ý: cosx=0 ⇒ sin 2 x= 1

Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos 2x. Khi đó phương trình đã cho có dạng: a. tan 2 x+ b. tanx+ c= 0

Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx. Giải phương trình ta tính được tanx

⇒ x= ….

Chú ý:

* Cách 2.Áp dụng công thức hạ bậc; công thức nhân đôi ta có:

a. sin 2 x+ b. sinx. cosx+ chúng tôi 2 x= 0

⇒ b.sin2x+( c-a) cos2x = – a- c

Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm

Lời giải

+ Trường hợp 1.

Thay cosx = 0 vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Với cosx ≠ 0

Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 2: Phương trình có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Trường hợp 1. Với cosx=0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được :

6.1+0 – 0= 6 (luôn đúng )

⇒ phương trình có nghiệm x= π/2+kπ

Trường hợp 2. Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được

Chọn A

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx=0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

2tan 2 x – 5tanx + 3= 0

Chọn C

A.

B.x= arctan⁡(-2)+kπ

C.

D.x= arctan⁡2+kπ

Lời giải

+ Trường hợp 1.Nếu cosx= 0 ⇒ sin 2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos 2 x ta được :

4tan 2 x + 4tanx +1= 0 ⇒ (2tanx+1) 2= 0

⇒ 2tanx+1 = 0 ⇒ tan x= (-1)/2

⇒ x= arctan⁡(- 1)/2+kπ

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình có các nghiệm là:

A .

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ trường hợp 2: Nếu cosx ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

Chọn A.

A.

B .

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin 2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:

⇒ – 3tan 2 x – 2tanx + 4= – 3( 1+ tan 2 x)

⇒ – 2tanx = -7 ⇒ tanx= 7/2

⇒ x=arctan 7/2+kπ

Chọn A.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin 2 x=1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

2tan 2 x+ tanx – 1= 0

Chọn C.

A. x=

B. x=

C. x=

D. x=

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin 2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2 x ta được :

⇒ 2tan 2 x – 5tanx – 1= – 2( 1+ tan 2 x)

⇒ 2tan 2x – 5tanx -1= – 2 – 2tan 2 x

⇒ 4tan 2 x – 5tanx + 1= 0

Chọn B.

A. 1 < m hoặc m < – 1

C. 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

D.Đáp án khác

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

2sin 2 x- 4sinx.cosx+ 4cos 2 x=m

⇒ (1-cos2x)-2sin2x+2cos2x+1 = m

⇒ cos2x – 2sin2x = m- 2

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1 2 + (-2) 2 ≥ (m-2) 2

⇒ 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

Chọn C.

Ví dụ 10: Giải phương trình 4sin 3 x+ 3cos 3x- 3sinx – sin 2 x.cosx= 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin 2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế cho cos 3 x ta được:

Chọn B.

Ví dụ 11: Giải phương trình 2cos 3 x = sin3x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình đã chúng tôi cả hai vế phương trình cho cos 3 x ta được:

⇒ 2= 3. tanx( 1+ tan 2 x) – 4tan 3 x

⇒ 2= 3tanx + 3tan 3x – 4tan 3 x

⇒ tan 3 x – 3tanx + 2= 0

Chọn C.

Ví dụ 12: Giải phương trình

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

4tan 2 x + 5tanx – 9=0

Chọn A.

A. x = arctan (-3)+ kπ

B. x = arctan 3+ kπ

C. x = arctan 2+ kπ

D. x = arctan (-2)+ kπ

Câu 3:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn C.

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình: sin 2 x – 3sinx. cosx = 2 là

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Chọn C.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A

Câu 6:Phương trình : có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Trương hợp 1.

+ Trường hợp 2.

Chọn B.

Câu 7:Phương trình có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Câu 8:Phương trình có một họ nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình sin 2 x + 3tanx = cosx.( 4sinx – cosx)

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Điều kiện : cosx ≠ 0

⇒ tanx= – 1

⇒ x= (- π)/4+kπ

Chọn A.

Câu 10:Giải phương trình: sin 2 x. ( tanx+ 1) = 3sinx.(cosx – sinx) + 3

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0 .

tan 2 x. ( tanx+ 1) = 3tanx + 3

Chọn B.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

A. Những vấn đề chung

I/ Lý do chọn đề tài:Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên là những bài toán khó. Đường lối chung để giải phương trình này là dựa vào đặc điểm của phương trình để thu hẹp miền chứa nghiệm.Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của mỗi học sinh, đối với mỗi dạng toán này cũng như việc tạo ra sự hứng thú say mê học tập của các em là việc rất cần thiết của các thầy cô giáo dạy toán. Do vậy tôi muốn trao đổi kinh nghiệm về một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp trong chương trình toán cấp 2 mà tôi đã làm.

II/ Mục đích:Giúp học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để giải phương trình nghiệm nguyên.

III/ Nhiệm vụ:– Đưa ra các phương pháp và ví dụ minh hoạ– Rút kinh nghiệm

IV/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:– Đối tượng: các tài liệu về phương trình nghiệm nguyên– Phạm vi nghiên cứu: các bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán cấp 2.

V/ Phương pháp nghiên cứu:– Nghiên cứu tài liệu– Trao đổi kinh nghiệm – Tổng kết rút kinh nghiệm

Thử lại: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho.Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát:

III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn:Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúngGiải:Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau:

Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ yTa có: (1)Mặt khác do Do đó nên (2)Từ (1) và (2) ta có : . Do y+Với y =4 ta được: + Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên+ Với y = 6 ta được: Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5xGiải: Chia hai vế cho 5x, ta được: (1)+Với x=0 vế trái của phương trình (1) bằng 2 (loại)+ Với x = 1 thì vế trái của phương trình bằng 1 ( đúng)+ Với x thì:

Nên: ( loại)Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 14/ Sử dụng điều kiện của phương trình bậc hai có nghiệm Ta viết phương trình f(x; y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn đã chọn. Chẳng hạn chọn ẩn x, khi đó y là tham số, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là , để có nghiệm nguyên còn cần phải là số chính phương.Ví dụ 9: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :x+y+xy = x2+y2 (1)Giải: Phương trình (1) tương đương với: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0 (2)Điều kiện để (2) có nghiệm là

Ngày 15 / 12/ 2009Tiết 33: §3.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP A . Mục tiêu:– Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng qui tắc thế.– HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế – HS không bị túng khi gặp các trường hợp đặc biệt ( hệ vô nghiệm hoặc hệ vô số nghiệm) b. Chuẩn bị:-GV: Bảng phụ có ghi sẵn qui tắc thế, chú ý và cách giải mẫu một số hệ phương trình.-HS: -Bảng phụ nhóm,bút dạ , giấy kẻ ô vuông.C. tiến trình dạy học: Hoạt động 1: tra bài cũ: HS 1: Làm BT 8a(SGK) HS 2: Làm BT 9b(SGK) Hoạt động 2: 1. Quy tắc thế:

– Xét hệ phương trình sau:

– Từ pt (1) , hãy biểu diễn x theo y ?– Lấy kết quả trên thế vào chỗ của x trong pt (2) thì ta sẽ được pt nào ?– Có nhận xét gì về pt vừa tìm được ?– Dùng pt (1′) cho pt (1), pt (2′) cho pt (2)ta được hệ pt nào?– Hệ này như thế nào với hệ (I) ?– Giải hệ pt mới và kết luận nghiệm của hệ đã cho?– Qua ví dụ trên , hãy nêu quy tắc thế?– ở bước 1 ta có thể biểu diễn y theo x được không ? Ta được biểu thức nào ? Ví dụ1:Xét hệ phương trình: (I) x – 3y = 2 (1) -2x + 5y = 1 (2)B: Từ (1) ta có : x = 3y + 2 (1′)vào (2) ta được: -2(3y +2) + 5y = 1 (2′)B: (I) x = 3y + 2 (1′) -2(3y + 2) + 5y = 1 (2′)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-13 ; -5)

Quy tắc thế : (SGK)

Hoạt động 3: 2. áp dụng:

– áp dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình sau.

– HS đứng tại chỗ trình bày bài dưới sự hướng dẫn của GV.

– GV cho HS quan sát minh hoạ bằng đồ thị của hệ pt này và kết luận.– HS thực hiện ?1(theo nhóm)– Sau đó GV thu bảng nhóm treo lên, HS lớp quan sát ,nhận xét.– Khi giải hệ pt bằng phương pháp đồ thị thì hệ vô nghiệm , vô số nghiệm có đặc điểm gì? – Khi giải hệ pt bằng phương pháp thế thì hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm có đặc điểm gì? – Đọc chú ý (SGK)– HS đọc VD3 (SGK)– HS làm ?2 và ?3 SGK Ví dụ2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (I) 2x – y = 3 (1) x + 2y = 4 (2) Giải : Ta có : (I)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (2; 1)

?1. Giải hệ pt sau

Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế?Làm BT 12a; 13a; 14a(SGK)

Hoạt động 5: Hướng dẫn về nhà:

Nắm vững hai bước giải hệ pt bằng phương pháp thế.Làm BT 13b;14b;15;16(SGK) Đọc trước §4.Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số.

Mục tiêu – HS hiểu được cách biến đổi hệ phương trình bằng phương pháp thế – HS nắm vững cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế . – HS biết xử lí các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm )II. Chuẩn bị Giáo viên: SGK , máy chiếu .2. Học sinh : SGK, bảng nhóm , bút dạ ….

HS1. Kiểm tra (x;y) = (2; – 1) có là nghiệm của hệ phương trình sau không?HS2:Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau và minh hoạ bằng đồ thị.Kiểm tra bài cũ:Tiết 33: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾVí dụ: Xét hệ phương trình B1:Từ PT(1) biểu diễn x theo yB2: Ta có hệ PT(II) tương đương hệ PT(I). Giải hệ PT(II).Khi đó nghiệm của hệ PT(II) chính là nghiệm của hệ PT(I)Từ PT (2′) ta có : y = – 5 Vậy hệ PT(I) đã cho có nghiệm là (- 13;-5)Thế x từ PT (1′) vào PT (2). GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾThay y = – 5 Vào PT(1′) ta có : x = – 13GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ1. Quy tắc thếQuy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương thông qua hai bước :Bước 1: Từ một phương trình của HPT ban đầu ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ta được phương trình (*) .Bước 2: Thay phương trình (*) vào phương trình còn lại ta được phương trình (**) . Thay các phương trình của HPT (I) bởi các phương trình (*) và (**) ta được HPT mới tương đương HPT ban đầu.2.Vận dụng Ví dụ 2Giải hệ phương trình GiảiVậy hệ (II) có nghiệm duy nhất là (2 ; 1)Trong hệ phương trình nếu ẩn nào của phương trình có hệ số bằng 1 hoặc -1 ta nên biểu diễn ẩn đó theo ẩn còn lại

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ )GiảiVậy hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất là (7 ;5 )?1GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾTa cóĐặc điểm PT một ẩn Số ngiệm của hệ HPT đã cho có một nghiệm duy nhất HPT đã cho vô nghiệmHPT đã cho có vô số nghiệmĐặc điểmVí dụGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ3y = 31 nghiệm duy nhất 0y = 9Vô nghiệm0x = 0 vô số nghiệm

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ1. Quy tắc thế 2. Áp dụngChú ý : * Số nghiệm của phương trình một ẩn trong hệ phương trình mới chính là số nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 3Giải hệ phương trình Giải ?2Minh hoạ hình họcVậy HPT(III) vô số nghiệmDo d1 trùng với d2 nên hệ có vô số nghiệmGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾd1d2?3Cho hệ phương trình Bằng minh hoạ hình học và bằng phương pháp thế ,chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.Nhóm 1Minh hoạ hình họcNhóm 2Giải phương trình bằng phương pháp thế GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ1)Dùng quy tắc thế biến đổi hệ đã cho thành hệ mới ,trong đó có một phương trình một ẩn.2)Giải phương trình một ẩn vừa có ,rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.*Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾHƯỚNG DẪN VỀ NHÀ Học thuộc quy tắc thế , xem lại cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế .– Bài tập : 12 đến 15 SGK trang15CẢM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO CÙNG CÁC EM ĐÃ NHIỆT TÌNH THAM GIA TIẾT HỌC