Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp

--- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp

    Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.

    Cho hàm số , xác định trên .

    Ta biết là nghiệm phương trình .

    Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì

    . Từ đây ta có nhận xét:

    Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau:

    Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng

    điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi :

    .

    Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương trình:

    .

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:

    hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.

    2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .

    Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện : .

    Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

    Ta có:

    .

    Mặt khác vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .

    * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:

    (Điều kiện : ).

    * Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện: .

    Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: .

    Giải: Điều kiện: .

    Nhận thấy phương trình có một nghiệm .

    Phương trình

    Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :

    (*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .

    Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.

    Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:

    Ví dụ 5: Giải phương trình :

    .

    Giải: Do nên .

    Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    (do nên khi đặt làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).

    là nghiệm của phương trình đã cho.

    Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng

    tìm cách phân tích ra thừa số . Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.

    Ví dụ 8: Giải phương trình: .

    Giải:

    Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức nên ta biến đổi như sau:

    Phương trình

    là nghiệm của phương trình.

    Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:

    Cách 2: Vì không là nghiệm phương trình nên.

    Phương trình

    Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: .

    2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế nào ?.

    Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:

    .

    Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .

    3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.

    Ví dụ 9: Giải phương trình : .

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta có:

    Phương trình . Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được , do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng :

    Phương trình

    (1).

    * Nếu

    .

    Khi đó (1) đúng là một nghiệm của phương trình.

    * Nếu

    Ta có: (a) có hai nghiệm và

    (b)

    .

    Vậy phương trình có bốn nghiệm: .

    Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?

    Ví dụ 10: Giải phương trình:

    .

    Giải: Đk : .

    Đặt : ( I)

    Ta thấy phương trình có nghiệm .Ta biến đổi như sau:

    (Vì hai pt: và vô nghiệm ). .

    Kết hợp ( I) và ( II) ta có hệ :

    .

    Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : .

    Giải: Điều kiện :

    Bất phương trình .

    .

    Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình : .

    VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập

    Giải các phương trình sau:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) .

    6)

    7) )

    8)

    9)

    10)

    11)

    12)

    13)

    Nguyễn Tất Thu @ 21:00 20/02/2012

    Số lượt xem: 12843

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Họ và tên : Đặng Việt Anh

    Lớp : 10A3

    Trường : THPT Ân Thi

    Nhóm :. . . . . .

    Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

    Xác định phương trình cơ bản:

    Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

    + chọn t = ( phương trình có dạng

    + chọn t = ( phương trình có dạng

    II, Các phương pháp đặt ẩn phụ

    1, Đặt 1 ẩn phụ

    Một số kiểu đặt thường gặp

    + ( Ta nên đặt t = (

    + ( Ta nên đặt

    + ( Ta nên đặt

    2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ

    Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp.

    Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không

    III, Bài tập hướng dẫn

    Bài tập 1: Giải phương trình

    Bài giải:

    B1: Đặt ()

    B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương

    (1)

    Ta nhận thấy

    B3: Thay vào phương trình

    Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện )

    B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x.

    t=1 (

    ( phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM).

    KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt

    Bài tập 2: Giải phương trình .

    Bài giải:

    Tương tự như các bước trên:

    Đk:

    Đặt

    (2)

    Thay vào pt:

    Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện)

    Thay t=5 vào (2)

    Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM)

    KL: x=3 là nghiệm của pt

    Thay vào phương trình:

    (loại ktm đk)

    Thay t=2 vào (3)

    Giải pt suy ra cả 2 đều TM

    KL:

    Ví dụ 4: giải pt

    Bài giải:

    Bình phương khử căn:

    Chia cả 2 vế cho ta đc:

    Đặt

    loại t=0 vì k tm đk

    Thay t=5 vào pt

    Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài 3 : Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B
  • Phương Trình Hàm Trên N
  • Lịch Sử Hình Thành Serie A Giải Đấu Số 1 Nước Ý
  • Giải Vô Địch Yoga Quốc Gia Lần Iii Năm 2022 Sẽ Diễn Ra Tại Đồng Nai
  • Serie A 2022/2022 Trực Tiếp Tỉ Số, Kết Quả, Bóng Đá Ý
  • Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.

    Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

    Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.

    Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $sqrt{A}pmsqrt{B}$ là $sqrt{A}mpsqrt{B}$, tức là biến đổi:

    $$ sqrt{A}pm sqrt{B}=frac{A-B}{sqrt{A}pmsqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $sqrt{B}$ là $(sqrt{A}sqrt{B})^2$ $$ sqrt{B}=frac{Apm B}{(sqrt{A}sqrt{B})^2} $$

    • Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
    • Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.

    2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như saubegin{align*}

    & x^3+8-3sqrt{x+3}+3=0 \

    Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-frac{3(x+2)}{sqrt{x+3}+1}=0\

    Leftrightarrow &(x+2)left(x^2+2x+4-frac{3}{sqrt{x+3}+1}right)=0\

    Leftrightarrow &left{{{x}^{2}}-1}+x=sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $xge sqrt{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = sqrt {{x^3} – 2} – 5 \

    Leftrightarrow;& left( {x – 3} right)left{{{x^2} – 1}} + 4}}} right] = frac{{left( {x – 3} right)left( {{x^2} + 3x + 9} right)}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \

    Leftrightarrow;& x = 3

    end{align*} Ta có {{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + dfrac{{x + 3}}{{{{left( {sqrt=0

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+15}=3x-2 +sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau begin{align}

    &sqrt{x^2+15}-4=3x-3+sqrt{x^2+8}-3 notag\

    Leftrightarrow &frac{x^2+15-16}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2+8-9}{sqrt{x^2+8}+3}notag\

    Leftrightarrow &frac{x^2-1}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2-1}{sqrt{x^2+8}+3} ,,,(*)

    end{align} Xét hai trường hợp:

    • $ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
    • begin{align*} &3x-2=sqrt{x^2+15}-sqrt{x^2+8}\

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

    Ví dụ 6. Giải phương trình Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:

    begin{align*}

    &frac{3(x-5)}{sqrt{3x+1}+4}-frac{5-x}{sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\

    Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{3}{sqrt{3x+1}+4}+frac{1}{sqrt{6-x}+1}+3x+1right)=0

    Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

    Ví dụ 7. Giải phương trình Sau đó, nhân liên hợp được: begin{align*}

    &(x+3)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+4}+3}+(x+9)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\

    Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7right)=0

    end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7=0,,(*)

    $$ Vì điều kiện là $ xge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ frac{1}{sqrt{x+4}+3} $ và $ frac{1}{sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:

    begin{align*}

    VT(*)&= frac{x+4}{sqrt{x+4}+3}-frac{x+4}{2}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-frac{x+9}{2}-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\

    &=(x+4)left(frac{1}{sqrt{x+4}+3}-frac{1}{2}right)+(x+9)left(frac{1}{sqrt{x+11}+4}-frac{1}{2}right)-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\

    &<0

    end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

    Ví dụ 9. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+5}+sqrt{x^2+12}-sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.

    &bigg( (x+2)-(x-1) bigg)left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)=3left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)\

    Leftrightarrow;& sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=sqrt{x+2}-sqrt{x-1}\

    Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l}

    sqrt{{{x}^{2}}+x-2}ge 1 \

    {{left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)}^{2}}={{left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)}^{2}} \

    end{array} right.\

    Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l}

    {{x}^{2}}+x-3ge 0\

    {{x}^{2}}+x-1-2sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2sqrt{x+2}.sqrt{x-1} \

    end{array} right.\

    Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l}

    {{x}^{2}}+x-3ge 0 \

    {{x}^{2}}-x-2=0 \

    end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}

    {{x}^{2}}+x-3ge 0 \

    x=-1vee x=2 \

    end{array} right.Leftrightarrow x=-1vee x=2.

    end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

    Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ left( sqrt{x+3}-sqrt{x-1} right)left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2text{x}-3} right)ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ xge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với begin{align*}

    & 4left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} right)ge 4left( sqrt{x+3}+sqrt{x-1} right)\

    Leftrightarrow & 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge sqrt{x+3}+sqrt{x-1}\

    Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge 2x+2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\

    Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4ge 0\

    Leftrightarrow & left Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = frac{8}{7}. $

    3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

    Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.

    Bài 1. Giải phương trình $ sqrt{2x-3}-sqrt{x}=2x-6 $

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 2. Giải phương trình $ sqrt{4x^2 +5x+1}-2sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $

    Đáp số. $ x=frac{1}{3}. $

    Bài 3. Giải phương trình $ sqrt{10x+1}+sqrt{3x-5}=sqrt{9x+4}+sqrt{2x-2} $

    Hướng dẫn. Nhóm thành $ left(sqrt{10x+1}-sqrt{9x+4}right)+left(sqrt{3x-5}-sqrt{2x-2}right)=0, $ rồi nhân liên hợp…

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 4. Giải phương trình $ sqrt{x-2}+sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $

    Hướng dẫn. Tách thành $ left(sqrt{x-2}-1right) +left(sqrt{4-x}-1right)-left(2x^2-5x-3right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 5. Giải phương trình $2sqrt{left( 2-x right)left( 5-x right)}=x+sqrt{left( 2-x right)left( 10-x right)}$

    Đáp số. $ x=1,x=frac{15+5sqrt{5} }{2} $

    Bài 6. Giải phương trình $sqrt{{{x}^{2}}-1}+sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$

    Bài 8. {4x-4}=0$

    Bài 9. Giải phương trình $sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$

    Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=left( x+3 right)sqrt{{{x}^{2}}+1}$

    Bài 11. Giải phương trình $1+sqrt{x}=4x^{2}+sqrt{3x-1}$

    Đáp số. $x=frac{1}{2}$

    Bài 12. Giải phương trình $ sqrt{x}=1-sqrt{2x+1} $

    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 13. Giải phương trình $ 2sqrt {{x^2} + 5} = 2sqrt {x – 1} + {x^2} $

    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4Leftrightarrow 2frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2frac{x-2}{sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ frac{2(x+2)}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=frac{2}{sqrt{x-1}+1}+x+2Leftrightarrow frac{2}{{sqrt {x – 1} + 1}} + left( {x + 2} right)left( {1 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

    Bài 14. Giải phương trình $ sqrt{x^2+12}+5=3x+sqrt{x^2+5} $

    Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $sqrt{{{x}^{2}}+12}-sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5ge 0Leftrightarrow xge frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành begin{align*}

    & sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+sqrt{{{x}^{2}}+5}-3Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3left( x-2 right)+frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \

    & Leftrightarrow left( x-2 right)left( frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 right)=0Leftrightarrow x=2

    Đáp số. $ x=2 $

    Bài 15. Giải bất phương trình $frac{1-sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$

    Đáp số. $ left[ -frac{1}{2};frac{1}{2} right]backslash left{ 0 right}$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Toán 9
  • Giải Các Hệ Phương Trình Tuyến Tính
  • Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Hướng Dẫn Xoay Rubik 3X3X3 Theo Cách Đơn Giản Nhất
  • Cách Giải Rubik 3×3 Nâng Cao Theo Petrus Method
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc
  • Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp cực hay

    Phương pháp giải

    Bước 1: Tìm đkxđ.

    Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a

    Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).

    Các biểu thức liên hợp thường dùng:

    Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương

    Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

    Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Phân tích: Để ý thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, do đó ta có thể liên hợp và 1; và 2.

    Đkxđ: x ≥ -2 .

    Ta có:

    ⇔ x = 2 (t.m đkxđ)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

    Ví dụ 2: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ: ∀ x ∈ R

    Ta có:

    Vậy phương trình có hai nghiệm .

    Ví dụ 3: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Gợi ý: Nhẩm được phương trình có nghiệm x = 2 nên ta tách các biểu thức để liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử (x – 2).

    Đkxđ: ∀ x ∈ R

    Khi đó:

    Lại có

    (*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

    Bài tập trắc nghiệm tự luyện

    Bài 1: Biểu thức liên hợp của là:

    Bài 2: Biểu thức liên hợp của là:

    Bài 5: Nghiệm của phương trình có nghiệm là:

    A. x = √2 B. x = -√2

    C. x = √3 D. x = -√3

    Bài 6: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ:

    ⇔ x – 2 = 0 (Vì biểu thức trong luôn dương)

    ⇔ x = ±√3(t.m đkxđ).

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±√3 .

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP

    I. KIẾN THỨC CƠ SỞ:

    1. , với mọi A, B lớn hơn 0 và A khác B.

    2. , với mọi A, B.

    3. , với mọi A, B lớn hơn 0 và A khác B.

    II. NỘI DUNG:

    1. Phương pháp liên hợp trực tiếp:

    * Phương pháp chung: Ta phát hiện trong phương trình có ngay dấu hiệu liên hợp

    Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1)

    * Phân tích: Ta để ý hiệu của hai biểu thức trong căn bằng 6x, do đó ta sẽ nghĩ ngay đến nhân liên hợp.

    Lời giải:

    (2)

    Đến đây ta kết hợp phương trình (1) và (2), ta được:

    Ta thay x = 4 vào phương trình thấy thỏa mãn.

    * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

    Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (1)

    * Phân tích: Ta để ý hiệu của hai biểu thức trong căn bằng x – 3, còn vế phải ta đặt 2 ra ngoài khi đó trong ngoặc còn x – 3, do đó ta sẽ nghĩ ngay đến nhân liên hợp.

    Lời giải:

    Điều kiện:

    Đến đây ta đã có một nghiệm x = 3, giờ ta sẽ đi xử lý phương trình (*). Nhân thấy với thì mẫu luôn dương, do đó ta chỉ cần chứng minh tử của nó luôn khác 0.

    (*)

    Rõ ràng ta nhận thấy phương trình cuối vô nghiệm, vậy biểu thức (*) luôn khác 0.

    * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

    2. Phương pháp nhân liên hợp không trực tiếp:

    Phương pháp chung là ta phải tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình, rồi từ đó mới tìm được biểu thức liên hợp. Phương pháp nhẩm nghiệm sử dụng máy tính cầm tay Casio fx-570ES PLUS:

    a) Dạng 1: Phương trình có 1 môt nghiệm đẹp:

    Phương pháp:

    – Bước 1: Sử dung SHIFT + SOLVE để tìm nghiệm x = a

    – Bước 2: Kiểm tra còn nghiệm nào khác nữa không bằng cách sử dụng

    SHIFT + SOLVE

    – Bước 3: Liên hợp

    – Bước 4: Chứng minh phần trong dấu ngoặc khác 0 (vô nghiệm).

    Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

    (1)

    Lời giải:

    TXĐ:

    Nhẩm nghiệm (ở đây rơi vào trường hợp 1) ta được x = 5. Giờ ta đi tìm biểu thức liên hợp.

    (ta thay x = 5 vào hai biểu thức chứa căn được kết quả).

    Ta có:

    Ta có nghiệm x = 5, giờ ta đi xử lý phương trình (*). Nhưng ta nhận thấy với TXĐ thì phương trình (*) luôn dương, do đó nó vô nghiệm.

    * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

    Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

    (1)

    * Phân tích: Ta tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình (1). Để nhẩm được nghiệm của phương trình (1) ta sẽ sử dụng máy tính cẩm tay để nhẩm.

    Lời giải:

    TXĐ:

    Nhẩm nghiệm (ở đây rơi vào trường hợp 2): Ở đây ta được nghiệm x = 5. Giờ ta đi tìm biểu thức liên hợp.

    (ta thay x = 5 vào hai biểu thức chứa căn)

    Với thì:

    Từ đó ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 5

    * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

    b) Dạng 2: Phương trình có 2 nghiệm đẹp:

    Phương pháp:

    – Bước 1: Sử dung SHIFT + SOLVE để tìm nghiệm x = a

    – Bước 2: Tìm x = b bằng cách sử dụng SHIFT + SOLVE

    – Bước 3: Kiểm tra phương trình chỉ có 2 nghiệm bằng cách SHIFT + SOLVE khi nào ra CAN,T SOLVE thì thôi.

    – Bước 4: Tìm đại lượng liên hợp

    – Bước 5: Liên hợp

    – Bước 6: Chứng minh phần trong dấu ngoặc vô nghiệm

    Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

    (1)

    Lời giải:

    TXĐ:

    Nhẩm nghiệm ta được nghiệm x = 1 và x = 2. Giờ ta đi tìm biểu thức liên hợp (ta thay x = 1 và x = 2 vào hai biểu thức chứa căn):

    Biểu thức liên hợp của là x

    Biểu thức liên hợp của là x + 1

    Do đó, ta có:

    Ta có: ,(Vì )

    Dấu “=” không thể đồng thời xảy ra được vì x = 1/5 và x = 2/

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

    – Xác định phương trình cơ bản:

    Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

    Họ và tên : Đặng Việt Anh Lớp : 10A3 Trường : THPT Ân Thi Nhóm :. . . . . . Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I, Tư tưởng đặt ẩn phụ Xác định phương trình cơ bản: Ví dụ: phương trình t2 - 3t + 2 + chọn t = à phương trình có dạng + chọn t = à phương trình có dạng II, Các phương pháp đặt ẩn phụ 1, Đặt 1 ẩn phụ Một số kiểu đặt thường gặp + à Ta nên đặt t = ( + à Ta nên đặt + à Ta nên đặt 2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp. Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không III, Bài tập hướng dẫn Bài tập 1: Giải phương trình Bài giải: B1: Đặt () B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương (1) Ta nhận thấy B3: Thay vào phương trình Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện ) B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x. t=1 à à phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM). KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt Bài tập 2: Giải phương trình . Bài giải: Tương tự như các bước trên: Đk: Đặt (2) Thay vào pt: Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện) Thay t=5 vào (2) Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM) KL: x=3 là nghiệm của pt Bài tập 3: Giải phương trình . Bài giải: ĐK: Rút gọn pt: Đặt +1 (3) Thay vào phương trình: (loại ktm đk) Thay t=2 vào (3) Giải pt suy ra cả 2 đều TM KL: Ví dụ 4: giải pt Bài giải: Bình phương khử căn: Chia cả 2 vế cho ta đc: Đặt loại t=0 vì k tm đk Thay t=5 vào pt Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

    Tài liệu đính kèm:

      giai_pt_vo_ti_bang_phuong_phap_dat_an_phu.doc

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc
  • Trên Tập Số Phức, Phương Trình: (Z^4+4=0) Có Bao Nhiêu Nghiệm?
  • Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay

    Phương pháp giải

    Bước 1: Tìm đkxđ

    Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

    Phương trình có nghiệm ⇔ A = B = C = … = 0.

    + Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

    BĐT Cô-si áp dụng cho hai số dương : a 2 + b 2 ≥ 2ab

    BĐT Cô-si áp dụng cho ba số dương : a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc

    Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

    Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Dấu “=” khi (x – 2) 2 = 0 ⇔ x = 2.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

    Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

    Hướng dẫn giải:

    Ta có:

    Suy ra

    Suy ra pt (1) ⇔

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = 2; z = 3.

    Ví dụ 3: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ : x ≠ 0.

    Nhân cả hai vế với 3x ta được : (1) .

    Ta có :

    Áp dụng BĐT Cô si cho ba số ta có :

    ⇒ VT (1) ≤ VP (1).

    Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±√3 .

    Bài tập trắc nghiệm tự luyện

    Bài 2: Phương trình có tổng các nghiệm bằng :

    A. 0 B. 1

    C. 2 D. 3

    A. Phương trình có một nghiệm âm

    B. Phương trình có một nghiệm dương

    C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

    D. Phương trình vô nghiệm.

    Bài 5: Phương trình có số nghiệm là :

    A. 0 B. 1

    C. 2 D. 3

    Bài 6: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ : x ≥ -1.

    Nhận thấy : VT = với mọi x.

    PT có nghiệm ⇔ ⇔ x = 3 (t.m)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

    Bài 7: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Ta có :

    VT

    Phương trình có nghiệm ⇔

    Vậy phương trình vô nghiệm

    Bài 8: Giải phương trình :

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ : 5 ≤ x ≤ 7 .

    ⇒ VT ≤ VP với mọi x.

    Phương trình có nghiệm ⇔ ⇔ x = 6.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

    Bài 9: Giải phương trình :

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ : 0 ≤ x ≤ 1 .

    + Nếu x = 1, VT (*) = 3 ; VP (*) = 3.

    ⇒ x = 1 là nghiệm của phương trình.

    + Với 0 ≤ x ≤ 1 thì

    ⇒ Phương trình vô nghiệm.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

    Bài 10: Giải phương trình :

    Hướng dẫn giải:

    Gợi ý: PT có nghiệm x = 1/2 . Do đó ta thêm bớt các số để đánh giá BĐT sao cho dấu = đều xảy ra tại x = 1/2 .

    Giải :

    Khi đó áp dụng BĐT Cô-si cho VT ta có :

    Áp dụng BĐT Cô-si cho vế trái ta được :

    ⇒ VT ≥ VP

    Phương trình có nghiệm ⇔ x = 2.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay

    Phương pháp giải

    Bước 1: Tìm đkxđ.

    Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.

    Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.

    Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu đkxđ và kết luận.

    Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ: ∀ x ∈ R.

    Phương trình trở thành:

    t 2 + t – 42 = 0 ⇔ (t – 6)(t + 7) = 0

    Với t = 6 ⇒

    ⇔ (x-3) (2x+9) = 0 .

    ⇔ x = 3 hoặc x = -9/2

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = -9/2.

    Ví dụ 2: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ : 4x 2 + 5x + 1 ≥ 0

    Phương trình trở thành : a – b = a 2 – b 2

    ⇔ (a-b)(a+b-1) = 0 ⇔ a – b = 0 hoặc a + b – 1 = 0.

    TH1 : a – b = 0 ⇔ 9x – 3 = 0 ⇔ x = 1/3 (t.m đkxđ).

    ⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/3 .

    Ví dụ 3: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ: ∀ x ∈ R.

    Phương trình trở thành: t 2 – (x+3)t + 3x = 0

    ⇔ (t-3)(t-x) = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = x .

    + t = 3 ⇒ ⇔ x 2 = 8 ⇔ x = ±2√2 .

    + t = x ⇒ ⇒ x 2 + 1 = x 2. Phương trình vô nghiệm.

    Vậy phương trình có hai nghiệm .

    Bài tập trắc nghiệm tự luyện

    Bài 1: Cho phương trình: Nếu đặt thì t phải lưu ý điều kiện nào?

    A. t ∈ R B. t ≤ 1

    C. t ≥ 1 D. t ≥ -1 .

    Bài 2: Số nghiệm của phương trình là:

    A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

    Bài 3: Tập nghiệm của phương trình có bao nhiêu phần tử?

    A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

    A. Phương trình có nghiệm âm duy nhất.

    B. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

    C. Phương trình có 2 nghiệm âm.

    D. Phương trình có hai nghiệm dương.

    Bài 5: Phương trình có tổng các nghiệm bằng:

    A. 3/2 B. 1 C. 2/3 D. -3/2 .

    Bài 6: Giải phương trình

    Hướng dẫn giải:

    Ta có:

    Phương trình trở thành: t + t 3 – 30 = 0 ⇔ (t-3)(t 2 + 3t + 10) = 0 ⇔ t = 3

    Thay trả lại biến x ta được:

    ⇔ x = 2.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

    Bài 7: Giải phương trình :

    Hướng dẫn giải:

    a) Đkxđ:

    Phương trình trở thành:

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

    b) Đkxđ: x – 1/x ≥ 0 ; x ≠ 0 .

    Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được:

    Pt trở thành: t 2 + 2t – 3 = 0 ⇔ (t + 3)(t – 1) = 0 ⇔ t = -3(L) hoặc t = 1 (t/m) .

    + t = 1

    Vậy phương trình có hai nghiệm

    c) Đkxđ: x ≥ -1 .

    Phương trình trở thành : 2a 2 – 5ab + 2b 2 = 0

    ⇔ (2a-b) (a-2b) = 0

    ⇔ a = b/2 hoặc a = 2b

    + a = b/2 ⇔

    ⇔ x 2 – x + 1 = 4(x+1) ⇔ x 2 – 5x – 3 = 0 ⇔

    + a = 2b ⇔

    Phương trình vô nghiệm.

    Vậy phương trình có hai nghiệm .

    Bài 8: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    a) Đkxđ: x 2 ≤ 15.

    Đặt

    Thay trả lại biến x ta được:

    Vậy phương trình có hai nghiệm

    b)

    Đkxđ: x ≥ 1.

    Đặt

    Mà theo đề bài ta có u + v = 1 ⇒ v = 1 – u

    Thay v = 1 – u vào (*) ta được: u 3 + (1 – u) 2 = 1

    ⇔ u(u – 1)(u + 2) = 0

    ⇔ u = 0 hoặc u = 1 hoặc u = -2.

    + u = 0 ⇒ x = 2 (t.m)

    + u = 1 ⇒ x = 1 (t.m)

    + u = -2 ⇒ x = 10 (t.m)

    Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1; x = 2 và x = 10.

    c)

    Đkxđ: ∀x ∈ R.

    Đặt

    Phương trình trở thành: a 2 + b 2 + ab = 1 (**)

    Thay vào (*) ta được: (a – b).1 = 2 ⇒ a – b = 2 ⇒ a = 2 + b

    Thay a = 2 + b vào (**) ta được:

    ⇔ 3(b + 1)2 = 0

    ⇔ b = -1

    ⇒ ⇔ x = 0.

    Thử lại x = 0 là nghiệm của phương trình.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

    Bài 9: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Đkxđ: x ≥ 1 .

    Đặt

    Khi đó

    Phương trình trở thành:

    a + b = 1 + ab ⇔ ab + 1 – a – b = 0 ⇔ (a – 1)(b – 1) = 0 ⇔ a = 1 hoặc b = 1

    + a = 1 ⇔ √(x-1) = 1 ⇔ x = 2.

    + b = 1 ⇔

    ⇔ x = 0 (không t.m đkxđ).

    Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

    Bài 10: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    Đặt

    Phương trình trở thành: a + b = 4 (**)

    ⇔ (ab – 3)(ab – 29) = 0

    ⇔ ab = 3 hoặc ab = 29.

    + ab = 3.

    Từ (**) ⇒ a = 4 – b.

    Thay vào ab = 3 ⇒ (4 – b)b = 3 ⇔ b2 – 4b + 3 = 0 ⇔ (b – 1)(b – 3) = 0 ⇔

    Nếu a = 3; b = 1 ⇒ ⇒ x =

    Nếu a = 1; b = 3 ⇒ ⇒ x =

    Thử lại cả hai đều là nghiệm của phương trình.

    + Nếu ab = 29

    Từ (**)⇒ a = 4 – b.

    Thay vào ab = 29 ⇒ (4 – b)b= 29 ⇔ b 2 – 4b + 29 = 0.

    Phương trình vô nghiệm.

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 63/5 và x = -17/5

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Đề tài SKKN “Giải PT vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ”

    NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

    PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỚI CÁCH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    A. Lý do chọn đề tài

    Toán học là môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông, đối với học sinh môn toán nói chung và môn đại số nói riêng là một môn học khó. Bởi vậy không ít học sinh dù đã cố gắng xong kết quả môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng còn thấp so với yêu cầu. Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện các nhà trường nói chung, các giáo viên trực tiếp giảng dạy nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn đại số của học sinh THPT

    Nhằm mục đích nâng cao chất lượng học sinh khi học môn đại số nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng, nên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm ”Phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ”

    B. Mục đích nghiên cứu đề tài

    Xây dựng những dạng bài tập cơ bản và phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ. Giúp học sinh nâng cao trách nhiệm trong học tập, khắc phục tính chủ quan tự mãn, đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá. Giúp người thầy tự điều chỉnh hoạt động dạy và học cho phù hợp.

    C. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

    Đối tượng: Học sinh lớp 10, 11 trường THPT Tuần Giáo.

    Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ.

    D. Nhiệm vụ nghiên cứu

    + Giúp học sinh khối 10, 11 nắm chắc kiến thức cơ bản về phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    + Học sinh hứng thú học và đạt kết quả cao.

    E. Phương pháp nghiên cứu

    + Nghiên cứu phương trình vô tỉ, đặc biệt với cách giải đặt ẩn phụ

    + Lấy ý kiến

    + Thử nghiệm sư phạm

    F. Nội dung nghiên cứu: Giải PT vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    Khi giải pt dạng , chúng ta đều biết phải bình phương hai vế để khử căn bậc hai. Vậy với pt , và một số pt dạng khác có giải được bằng phương pháp đó không? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh chưa trả lời được. Qua nhiều năm dạy học sinh THPT tôi rút ra được kinh nghiệm giải pt vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    I. Dạng 1 : Sử dụng ẩn phụ để chuyển PT ban đầu thành 1 pt với ẩn phụ.

    1)Các phép đặt ẩn phụ thường gặp :

    PT chứa và f(x)

    Đặt t = ( t 0 ) f(x) = t2

    PT chứa , và . = k ( k= const)

    Đặt t= ( t 0 ) =

    PT chứa ± ; và f(x) + g(x) = k ( k= const)

    Đặt t = ± = ±

    PT chứa Đặt x = sint với thoặc x = cost với t

    PT chứa Đặt x = tant với thoặc x = cott với t

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    2) Chú ý : Với PT vô tỉ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

    3) Các ví dụ :

    VD1 : GPT : + = 3 (1)

    Đặt t = x2 – 3x + 3 Ta có : t = Đk t

    Khi đó (1) có dạng + = 3

    t + t + 3 + 2 = 9

    = 3 – t

    t = 1

    x2 – 3x + 3 = 1

    KL : PT có 2 nghiệm x= 1 ; x = 2.

    VD 2 :GPT : 2×2 + = 8x + 13 (2)

    ĐK : x2 – 4x -5 0 x -1 hoặc x 5

    PT ( 2 ) = -2×2 + 8x + 13 (2′)

    Đặt y = ĐK y 0 Ta có y2 = x2 – 4x – 5

    PT ( 2′) y = – 2y2 + 3

    2y2 + y – 3 = 0 loại

    Với y = 1 x2 – 4x – 5 = 1 x2 – 4x – 6 = 0 tm ĐK

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Thế

    --- Bài mới hơn ---

  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Giáo Án Đại Số Lớp 8 Tiết 42 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Ngày 15 / 12/ 2009

    Tiết 33: §3.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

    A . Mục tiêu:

    – Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng qui tắc thế.

    – HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

    – HS không bị túng khi gặp các trường hợp đặc biệt ( hệ vô nghiệm hoặc hệ vô số nghiệm)

    b. Chuẩn bị:

    -GV: Bảng phụ có ghi sẵn qui tắc thế, chú ý và cách giải mẫu một số hệ phương trình.

    -HS: -Bảng phụ nhóm,bút dạ , giấy kẻ ô vuông.

    C. tiến trình dạy học:

    Hoạt động 1: tra bài cũ:

    HS 1: Làm BT 8a(SGK)

    HS 2: Làm BT 9b(SGK)

    Hoạt động 2:

    1. Quy tắc thế:

    – Xét hệ phương trình sau:

    – Từ pt (1) , hãy biểu diễn x theo y ?

    – Lấy kết quả trên thế vào chỗ của x trong pt (2) thì ta sẽ được pt nào ?

    – Có nhận xét gì về pt vừa tìm được ?

    – Dùng pt (1′) cho pt (1), pt (2′) cho pt (2)ta được hệ pt nào?

    – Hệ này như thế nào với hệ (I) ?

    – Giải hệ pt mới và kết luận nghiệm của hệ đã cho?

    – Qua ví dụ trên , hãy nêu quy tắc thế?

    – ở bước 1 ta có thể biểu diễn y theo x được không ? Ta được biểu thức nào ?

    Ví dụ1:Xét hệ phương trình:

    (I) x – 3y = 2 (1)

    -2x + 5y = 1 (2)

    B: Từ (1) ta có : x = 3y + 2 (1′)

    vào (2) ta được: -2(3y +2) + 5y = 1 (2′)

    B: (I) x = 3y + 2 (1′)

    -2(3y + 2) + 5y = 1 (2′)

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-13 ; -5)

    Quy tắc thế : (SGK)

    Hoạt động 3:

    2. áp dụng:

    – áp dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình sau.

    – HS đứng tại chỗ trình bày bài dưới sự hướng dẫn của GV.

    – GV cho HS quan sát minh hoạ bằng đồ thị của hệ pt này và kết luận.

    – HS thực hiện ?1(theo nhóm)

    – Sau đó GV thu bảng nhóm treo lên, HS lớp quan sát ,nhận xét.

    – Khi giải hệ pt bằng phương pháp đồ thị thì hệ vô nghiệm , vô số nghiệm có đặc điểm gì?

    – Khi giải hệ pt bằng phương pháp thế thì hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm có đặc điểm gì?

    – Đọc chú ý (SGK)

    – HS đọc VD3 (SGK)

    – HS làm ?2 và ?3 SGK

    Ví dụ2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    (I) 2x – y = 3 (1)

    x + 2y = 4 (2)

    Giải :

    Ta có :

    (I)

    Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (2; 1)

    ?1. Giải hệ pt sau

    Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế?

    Làm BT 12a; 13a; 14a(SGK)

    Hoạt động 5:

    Hướng dẫn về nhà:

    Nắm vững hai bước giải hệ pt bằng phương pháp thế.

    Làm BT 13b;14b;15;16(SGK)

    Đọc trước §4.Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Kĩ Thuật Giải Hệ Phương Trình
  • Cđ Giải Hpt Không Mẫu Mực
  • Một Số Lưu Ý Khi Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100