Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác

--- Bài mới hơn ---

  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc
  • Trên Tập Số Phức, Phương Trình: (Z^4+4=0) Có Bao Nhiêu Nghiệm?
  • Giải Phương Trình 6 Ẩn
  • Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới.

    Trước hết thì các bạn cần nắm được nh ữ ng phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

    Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là đề thi khối B – 2008

    “Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2008 ).”

    Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu .

    Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó:

    Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

    “Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.”

    Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình một hàm số là .

    Ví dụ: Giải các phương trình sau

    1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên

    2)

    Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).

    Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.

    Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A – 2008 )

    Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

    Ta có:

    Nên phương trình đã cho

    * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên ta có thể làm theo cách khác như sau:

    .

    .

    * Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn. Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại!

    Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ?

    Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là:

    Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 ).

    Lời giải:

    Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung về cung

    Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

    Đặt .

    Ta có:

    Từ đây các bạn tìm được

    Chú ý : * Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn

    * Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như sau

    PT Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 Chú ý Ví dụ 5 Biến đổi tích thành tổng và ngược lại Ví dụ 7 Ví dụ 8 Ví dụ 9 Ví dụ 10 [/B]: Giải phương trình ( ĐH Khối D – 2003 ).

    Phương trình

    Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm :

    1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác).

    Ví dụ 1: Giải phương trình : ( ĐH Công Đoàn – 2000).

    Phương trình . Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta được phương trình :

    thỏa điều kiện .

    Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.

    ( Ví dụ 2: Giải phương trình : ĐH Khối B – 2003 ).

    Phương trình

    (do )

    .

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: .

    ( Ví dụ 3: Giải phương trình : HVBCVT TPHCM – 2001 ).

    Nên phương trình

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức

    .

    .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: ( ĐH Khối D – 2005 ).

    Nên phương trình .

    .

    : Tức là ta biến đổi phương trình 2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích về dạng

    . Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : .

    Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung.

    * Các biểu thức ; ; ; nên chúng có thừa số chung là .

    * Các biểu thức có thừa số chung là .

    * có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung .

    Giải phương trình: Ví dụ 1: ( ĐH Khối B – 2005 ).

    Phương trình

    .

    .

    Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau

    Phương trình

    Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng đều dựa trên nguyên tắc “ . đưa về một cung”.

    Giải phương trình: Ví dụ 2: ( Dự bị Khối D – 2003 ).

    Phương trình

    .

    Phương trình

    .

    Giải:

    Phương trình

    ( Lưu ý : ).

    Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp

    Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.

    Cho hàm số , xác định trên .

    Ta biết là nghiệm phương trình .

    Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì

    . Từ đây ta có nhận xét:

    Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau:

    Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng

    điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi :

    .

    Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương trình:

    .

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:

    hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.

    2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .

    Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện : .

    Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

    Ta có:

    .

    Mặt khác vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .

    * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:

    (Điều kiện : ).

    * Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện: .

    Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: .

    Giải: Điều kiện: .

    Nhận thấy phương trình có một nghiệm .

    Phương trình

    Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :

    (*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .

    Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.

    Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:

    Ví dụ 5: Giải phương trình :

    .

    Giải: Do nên .

    Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    (do nên khi đặt làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).

    là nghiệm của phương trình đã cho.

    Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng

    tìm cách phân tích ra thừa số . Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.

    Ví dụ 8: Giải phương trình: .

    Giải:

    Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức nên ta biến đổi như sau:

    Phương trình

    là nghiệm của phương trình.

    Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:

    Cách 2: Vì không là nghiệm phương trình nên.

    Phương trình

    Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: .

    2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế nào ?.

    Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:

    .

    Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .

    3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.

    Ví dụ 9: Giải phương trình : .

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta có:

    Phương trình . Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được , do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng :

    Phương trình

    (1).

    * Nếu

    .

    Khi đó (1) đúng là một nghiệm của phương trình.

    * Nếu

    Ta có: (a) có hai nghiệm và

    (b)

    .

    Vậy phương trình có bốn nghiệm: .

    Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?

    Ví dụ 10: Giải phương trình:

    .

    Giải: Đk : .

    Đặt : ( I)

    Ta thấy phương trình có nghiệm .Ta biến đổi như sau:

    (Vì hai pt: và vô nghiệm ). .

    Kết hợp ( I) và ( II) ta có hệ :

    .

    Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : .

    Giải: Điều kiện :

    Bất phương trình .

    .

    Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình : .

    VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập

    Giải các phương trình sau:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) .

    6)

    7) )

    8)

    9)

    10)

    11)

    12)

    13)

    Nguyễn Tất Thu @ 21:00 20/02/2012

    Số lượt xem: 12843

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Đề tài SKKN “Giải PT vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ”

    NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

    PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỚI CÁCH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    A. Lý do chọn đề tài

    Toán học là môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông, đối với học sinh môn toán nói chung và môn đại số nói riêng là một môn học khó. Bởi vậy không ít học sinh dù đã cố gắng xong kết quả môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng còn thấp so với yêu cầu. Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện các nhà trường nói chung, các giáo viên trực tiếp giảng dạy nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn đại số của học sinh THPT

    Nhằm mục đích nâng cao chất lượng học sinh khi học môn đại số nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng, nên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm ”Phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ”

    B. Mục đích nghiên cứu đề tài

    Xây dựng những dạng bài tập cơ bản và phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ. Giúp học sinh nâng cao trách nhiệm trong học tập, khắc phục tính chủ quan tự mãn, đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá. Giúp người thầy tự điều chỉnh hoạt động dạy và học cho phù hợp.

    C. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

    Đối tượng: Học sinh lớp 10, 11 trường THPT Tuần Giáo.

    Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ.

    D. Nhiệm vụ nghiên cứu

    + Giúp học sinh khối 10, 11 nắm chắc kiến thức cơ bản về phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    + Học sinh hứng thú học và đạt kết quả cao.

    E. Phương pháp nghiên cứu

    + Nghiên cứu phương trình vô tỉ, đặc biệt với cách giải đặt ẩn phụ

    + Lấy ý kiến

    + Thử nghiệm sư phạm

    F. Nội dung nghiên cứu: Giải PT vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    Khi giải pt dạng , chúng ta đều biết phải bình phương hai vế để khử căn bậc hai. Vậy với pt , và một số pt dạng khác có giải được bằng phương pháp đó không? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh chưa trả lời được. Qua nhiều năm dạy học sinh THPT tôi rút ra được kinh nghiệm giải pt vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    I. Dạng 1 : Sử dụng ẩn phụ để chuyển PT ban đầu thành 1 pt với ẩn phụ.

    1)Các phép đặt ẩn phụ thường gặp :

    PT chứa và f(x)

    Đặt t = ( t 0 ) f(x) = t2

    PT chứa , và . = k ( k= const)

    Đặt t= ( t 0 ) =

    PT chứa ± ; và f(x) + g(x) = k ( k= const)

    Đặt t = ± = ±

    PT chứa Đặt x = sint với thoặc x = cost với t

    PT chứa Đặt x = tant với thoặc x = cott với t

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    2) Chú ý : Với PT vô tỉ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

    3) Các ví dụ :

    VD1 : GPT : + = 3 (1)

    Đặt t = x2 – 3x + 3 Ta có : t = Đk t

    Khi đó (1) có dạng + = 3

    t + t + 3 + 2 = 9

    = 3 – t

    t = 1

    x2 – 3x + 3 = 1

    KL : PT có 2 nghiệm x= 1 ; x = 2.

    VD 2 :GPT : 2×2 + = 8x + 13 (2)

    ĐK : x2 – 4x -5 0 x -1 hoặc x 5

    PT ( 2 ) = -2×2 + 8x + 13 (2′)

    Đặt y = ĐK y 0 Ta có y2 = x2 – 4x – 5

    PT ( 2′) y = – 2y2 + 3

    2y2 + y – 3 = 0 loại

    Với y = 1 x2 – 4x – 5 = 1 x2 – 4x – 6 = 0 tm ĐK

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Họ và tên : Đặng Việt Anh

    Lớp : 10A3

    Trường : THPT Ân Thi

    Nhóm :. . . . . .

    Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

    Xác định phương trình cơ bản:

    Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

    + chọn t = ( phương trình có dạng

    + chọn t = ( phương trình có dạng

    II, Các phương pháp đặt ẩn phụ

    1, Đặt 1 ẩn phụ

    Một số kiểu đặt thường gặp

    + ( Ta nên đặt t = (

    + ( Ta nên đặt

    + ( Ta nên đặt

    2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ

    Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp.

    Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không

    III, Bài tập hướng dẫn

    Bài tập 1: Giải phương trình

    Bài giải:

    B1: Đặt ()

    B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương

    (1)

    Ta nhận thấy

    B3: Thay vào phương trình

    Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện )

    B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x.

    t=1 (

    ( phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM).

    KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt

    Bài tập 2: Giải phương trình .

    Bài giải:

    Tương tự như các bước trên:

    Đk:

    Đặt

    (2)

    Thay vào pt:

    Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện)

    Thay t=5 vào (2)

    Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM)

    KL: x=3 là nghiệm của pt

    Thay vào phương trình:

    (loại ktm đk)

    Thay t=2 vào (3)

    Giải pt suy ra cả 2 đều TM

    KL:

    Ví dụ 4: giải pt

    Bài giải:

    Bình phương khử căn:

    Chia cả 2 vế cho ta đc:

    Đặt

    loại t=0 vì k tm đk

    Thay t=5 vào pt

    Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ.

    Trong chương trình Toán ở phổ thông cơ sở (PTCS), phổ thông trung học (PTTH) và nhất là ở trong các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng thường gặp nhiều bài toán về giải phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ. Ngay cả ở chương trình Đại học sư phạm hoặc Cao đẳng sư phạm cũng yêu cầu sinh viên phải học và nắm vững các kỹ năng này (ở các môn đại số sơ cấp, thực hành giải toan, phương pháp dạy học toán,…). Tuy nhiên khi gặp loại toán này, đa số học sinh-sinh viên còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ, do đó không đạt điểm tố đa.

    Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ:

    Định lý 1:

    Phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 2:

    Bất phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 3:

    Bất phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 4:

    Bất phương trình tương đương với hệ:

    Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ:

    Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn.

    Một trong các nguyên tắc để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn. Thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để bổ dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình. Thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình và bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dạng hơn.

    Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là

    Ta xét các khả năng có thể xảy ra sau đây:

    1. Nếu : Khi đó (1)( (2)

    Do nên hai vế của (2) không âm, ta có thể bình phương hai vế, khi đó ta được:

    Bất phương trình cuối cùng đúng với mọi x thoả mãn , vậy là nghiệm của bất phương trình đã cho.

    2. Nếu : Khi đó 1+x(1-x . Khi đó ta có

    (1)(

    Nghiệm nà bị loại.

    Vậy nghiệm của bất phương trình là .

    Xét dấu của vế trái của 2 ta có:

    Vậy nghiệm của bất phương trình là: x(-13/6 và x(3.

    Ví dụ 3: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là 10-x2(0(10 (x2 (

    . Với điều kiện đó ta có: (1) (2)

    Xét phương trình :

    Xét dấu vế trái của (2) ta có:

    Vậy nghiệm của bất phương trình là: .

    Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.

    Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thường có thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau:

    Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới.

    Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn.

    Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai).

    Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là. Đặt t=, do (1 nên t(1. Khi đó ta có . Phương trình (1) trở thành: t=1,t=-3 (loại). Vậy ta có t=1

    . Vậy ta có x=1.

    Ví dụ 5: Giải

    --- Bài cũ hơn ---

  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải
  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Nâng Cao Toán Lớp 8
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa
  • A. Những vấn đề chung

    I/ Lý do chọn đề tài:

    Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên là những bài toán khó. Đường lối chung để giải phương trình này là dựa vào đặc điểm của phương trình để thu hẹp miền chứa nghiệm.

    Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của mỗi học sinh, đối với mỗi dạng toán này cũng như việc tạo ra sự hứng thú say mê học tập của các em là việc rất cần thiết của các thầy cô giáo dạy toán. Do vậy tôi muốn trao đổi kinh nghiệm về một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp trong chương trình toán cấp 2 mà tôi đã làm.

    II/ Mục đích:

    Giúp học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để giải phương trình nghiệm nguyên.

    III/ Nhiệm vụ:

    – Đưa ra các phương pháp và ví dụ minh hoạ

    – Rút kinh nghiệm

    IV/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

    – Đối tượng: các tài liệu về phương trình nghiệm nguyên

    – Phạm vi nghiên cứu: các bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán cấp 2.

    V/ Phương pháp nghiên cứu:

    – Nghiên cứu tài liệu

    – Trao đổi kinh nghiệm

    – Tổng kết rút kinh nghiệm

    Thử lại:

    x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho.

    Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát:

    III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:

    1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn:

    Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

    Giải:

    Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)

    Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau:

    Giải:

    Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ y

    Ta có:

    (1)

    Mặt khác do

    Do đó

    nên (2)

    Từ (1) và (2) ta có : . Do y

    +Với y =4 ta được:

    + Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên

    + Với y = 6 ta được:

    Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)

    3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:

    Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5x

    Giải:

    Chia hai vế cho 5x, ta được:

    (1)

    +Với x=0 vế trái của phương trình (1) bằng 2 (loại)

    + Với x = 1 thì vế trái của phương trình bằng 1 ( đúng)

    + Với x thì:

    Nên: ( loại)

    Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

    4/ Sử dụng điều kiện của phương trình bậc hai có nghiệm

    Ta viết phương trình f(x; y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn đã chọn. Chẳng hạn chọn ẩn x, khi đó y là tham số, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là , để có nghiệm nguyên còn cần phải là số chính phương.

    Ví dụ 9:

    Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

    x+y+xy = x2+y2 (1)

    Giải:

    Phương trình (1) tương đương với: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0 (2)

    Điều kiện để (2) có nghiệm là

    --- Bài cũ hơn ---

  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc

    --- Bài mới hơn ---

  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 0 7/12/2017

    B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực

    1.1. Phương trình lượng giác cơ bản

    1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

    1.5 Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

    1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

    1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

    2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

    2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ

    2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

    2.3 Một số phương pháp khác

    2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm

    2.3.3 Phương pháp phản chứng

    2.3.4 Phương pháp đoán nghiệm

    2.3.5 Phương pháp đưa về tích

    3. Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác

    3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số

    3.1.1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản

    3.1.2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

    3.2. Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

    3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

    3.2.3. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối

    3.3. Phương trình lượng giác chứa căn thức

    3.3.1. Biến đổi tương đương

    3.3.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

    3. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng

    * Chú ý :

    Nhìn chung có h ai phương pháp để giải phự ơng trình lượng giác là biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác về dạng mẫu mực hay phương trình lượng giác dạng không mẫu mực.

    1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
    2. Dùng các công thức lượng giác đã biết biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình dạng cơ bản.
    3. Đối chiếu với điều kiện loại các nghiệm không thỏa mãn các điều kiện.

     Nghiệm của phương trình lượng giác là một tậ p hợp vô hạn và được biểu diễn d ưới dạng một họ nghiệm.

    2) Giải phương tr ình (2)

    (2)

    Đặt

     Nếu  là một số cho trước mà xác định thì phương trình tanx = tan  có nghiệm x = k  thoả điều kiện .

     Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x)  0 và cosQ(x)  0.

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Khi đó phương trình trở thành:

    Đặt

    So sánh với điều kiện (*) s uy ra nghiệm của phương trình là : ,

    Dạng phương trình:

    Điều kiện có nghiệm:

    Phương trình trở thành:

    Đặt . Khi đó

    Phương trình trở thành:

    Nếu chia 2 vế cho a rồi ta đặt

    Đặt ta được phương trình lượng giác cơ bản

    Ví dụ minh họa

    Đặt . Khi đó

    P hương trình (2) trở thành:

    (3)

    Điều kiện có nghiệm của phương trình:

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

    Dạng phương trình:

    ( a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

     Xét , c hia hai vế của (1) cho ta được:

    P hương trình trở thành :

    Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo

    ; ;

    Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

     Xét , chia hai vế của cho ta được phương trình :

    (2) (2′)

    So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (3) là ,

    Dạng phương trình

     Xét có là nghiệm của (1) hay không

    (2)

    Ví dụ minh họa

    nên phương trình tr ên vô nghiệm .

    Do điều kiện (*) , chia hai vế của (2 ‘) cho ta được:

    (3)

     Xét , chia hai vế của (3′) cho ta được phương trình :

    Chú ý : Nế u là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx và cosx thì chia hai vế cho , ta được một phương trình bậc k the o .

    Dạng 1:

    Đặt

    Suy ra

    Chú ý : Ta cũng có thể đặt và làm tương tự như trên .

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

    Khi đó trở thành:

    Khi đó (2)

    Đặt

    Điều kiện: (* * )

    Khi đó trở thành:

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    Khi đó trở thành: (nhận)

    Với

    Vậy nghiệm của ( 3 ) là , ,

    Suy ra

    Vậy nghiệm của (4 ) là ,

    Dạng 2:

    Đặt

    Khi đó phương trình trở thành:

    G iải phương trình lượng giác cơ bản , suy ra x

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    (2)

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    Khi đó trở thành :

    Đặt . Điều kiện: (* * )

    Suy ra

    Khi đó trở thành:

    (với )

    Giải phương trình

    Ví dụ mimh họa

    Điều kiện:

    Đặt , điều kiện . Khi đó

    trở thành:

    Vậy nghiệm của (1) là , , ,

    Điều kiện:

    (2)

    Đặt , điều kiện . Khi đó

    trở thành:

    Dạng 2:

    Đặt . Khi đó

    Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có) , suy ra t

    Giải phương trình

    Ta có

    Ta có:

    Đây là phương trình cơ bản của cot2x

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Vậy nghiệm của (1 ) là , ,

    Điều kiện:

    Khi đó

    Vậy nghiệm của (2) là , ( với )

    Phương pháp

    Một số dạng phương trình thường gặp

    1. f (sinx, cosx) = 0 , đặt

    2. f (sin 2 x, sinxcosx) = 0 , đ ặt

    3. f (sinx, cos2x) = 0 , đ ặt ,

    4 . f (cosx, cos2x) = 0 , đ ặt ,

    5. f , đ ặt ,

    6 . f , đ ặt ,

    7. f , đ ặt ,

    8. f , đặt ,

    K hi đó ,

    9. f ,đặt ,

    10. Dạng: , đặt

    11. Dạng: h oặc .

    12. , đ ặt ,

    h oặc

    13. , đ ặt ,

    Ví dụ minh họa

    (3)

    Khi đó phương trình trở thành:

    Điều kiện:

    So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (5) là ,

    Khi đó

    Phương trình trở thành:

    (7)

    Đặt

    Điều kiện:

    Với

    Phương pháp

    c) có thừa số chung .

    d) có thừa số chung .

    Ví dụ minh họa

    (1)

    (2)

    (3)

    4) Giải phương trình (4 )

    Điều kiện:

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

    Kế t hợp với (*), suy ra nghiệm của (1) là:

    (2)

    Ví dụ minh họa

    (1)

    (2)

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Do đó (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    (2)

    (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Ta có

    (2.2)

    Ta có

    (vô nghiệm)

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    hoặc

    hoặc ,

    Phương pháp

    + Chọn một giá trị đặc biệt thay vào phương trình nếu thỏa thì là nghiệm của phương trình.

    + Dùng tính chất đơn điệu chứng minh nghiệm trên là duy nhất.

    Ví dụ minh họa

    Đặt

    + Khi

    + Khi

    Như vậy nghiệm của (1) là

    2) Giải phương trình với (2)

    Đặt

    N ên đồ thị của hàm số cắt tại một điểm duy nhất .

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    hoặc

    hoặc

    hoặc

    (vô nghiệm)

    Phương pháp

    + Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

    + Kết hợp những kiế n thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.

    Ví dụ minh họa

    1) Định m để phương trình (1) có nghiệm

    Vậy phương trình (1) có nghiệm khi

    2) Định m để phương trình (2) có nghiệm trên khoảng

    Với thì nên chia hai vế của (2) cho ta được :

    Khi đó

    Giả sử

    tăng trên khoảng có nghiệm

    .

    Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: (1) . Định m để phương trình (1) có nghiệm .

    Phương pháp

    5) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm khi và chỉ khi có điểm chung với

    Ví dụ minh họa

    (1) có nghiệm.

    (1)

    (2) có nghiệm.

    Đặt

    Khi đó

    Xét hàm số

    Ta có

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, phương trình (2) có nghiệm khi

    3) Cho phương trình (3 ) . Định m để (3 ) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn .

    Với , đặt . Khi đó

    (3) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt trên .

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương

    Đặt

    Xét

    Do đó

    Bảng biến thiên

    3.2 . Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

    Phương pháp

    • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
    • Chọn lựa phương pháp thực hiện thích hợp
    • Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
    • Một số phương pháp khử dấu trị tuyệt đối

    3.2.1. Sử dụng định nghĩa

    Dạng 1:

    + Kết luận (tập nghiệm của (1) là hợp của hai tập nghiệm (2),(3)).

    hoặc

    Ví dụ minh họa:

    (1)

    (2)

    (2.2)

    Kiểm tra điều kiện (2.1)

    Do đó họ nghiệm này bị loại

    Do đó họ nghiệm này thỏa (2.1)

    (3)

    Phương pháp

    .

    .

    .

    .

    Ví dụ minh họa

    (1)

    Khi đó phương trình trở thành

    Vậy nghiệm của (1) là , ,

    Do đó

    Nên điều kiện của t là

    Phương pháp giải

    Ví dụ minh họa

    (1)

    Vậy tập nghiệm của (1) là

    (2)

    Vậy tập nghiệm của (2) là

    (3)

    Phương pháp

    Dạng 1: (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)

    (f(x), g(x), h(x) có nghĩa)

    Ví dụ minh họa

    Kết hợp với điều kiện , suy ra nghiệm của (1) là

    (2)

    (3)

    Kiểm tra điều kiện (3.1)

    Một số phép đặt ẩn phụ thường gặp

    (k: hằng số), ta đặt , điều kiện . Khi đó

    (k =const) , ta đặt .

    Khi đó

    Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:

    Ví dụ minh họa:

    1) Giải phương trình (1)

    Đặt

    Ta có

    Suy ra

    Vậy nghiệm của (1) là ,

    Vậy nghiệm của (2) là , , (với )

    Vậy nghiệm c ủa (3) là , ,

    Nếu phương trình vô tỷ có dạng:

    thì ta đặt với hoặc với .

    thì ta đặt với hoặc với .

    thì ta đặt với hoặc với

    hoặc thì ta đặt

    Ví dụ minh họa

    Đặt

    (do (**)) (2′)

    Đặt

    Khi đó phương trình (2′) trở thành :

    (***)

    Do (**) nên từ (***) ta có:

    Giải các phương trình sau:

    Điều kiện:

    Khi đó (1)

    (4)

    (6)

    + Xét , chia hai vế của (6′) cho ta được :

    (8)

    (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    (9)

    + Xét , c hia hai vế phương trình cho , ta được :

    (10)

    (11)

    (12)

    Đặt

    Khi đó (13)

    Phương trình trở thành:

    Vậy nghiệm của (14) là ,

    Đặt . Khi đó

    Phương trình trở thành:

    Với

    Với

    (16)

    Khi đó (18 )

    Với mọi m, phương trình đã cho luôn có nghiệm

    Ta có

    Vậy giá trị m cần tìm là

    21) Cho phương trình (21) . Tìm m để phương trình có nghiệm

    Đặt . Ta có

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán tương đương

    (22)

    Vậy nghiệm của (22) là ,

    (23)

    Ta có

    Do đó ( vô nghiệm )

    Giải các phương trình sau:

    24) Định m để phương trình có đúng hai nghiệm

    25) Cho phương trình tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • 30 Câu Trắc Nghiệm: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Đáp Án (Phần 1)
  • Để Giải Các Phương Trình Mũ Ta Thường Sử Dụng Các Phương Pháp Sau Đây:
  • Tổng Hợp Kiến Thức Về Logarit Và Cách Giải Toán Logarit
  • Giải Phương Trình Mũ Và Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số
  • Lời Giải Tham Khảo Môn Sinh Học Thpt Quốc Gia Năm 2021

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 8 Bài 7: Hình Chóp Đều Và Hình Chóp Cụt Đều
  • Giải Bài Tập 48: Trang 93 Sgk Hình Học Lớp 8
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Bài 11: Hình Thoi
  • Giải Bài Tập 43: Trang 92 Sgk Hình Học Lớp 8
  • Giải Bài Tập 44: Trang 92 Sgk Hình Học Lớp 8
  • Lời giải tham khảo đề thi môn Sinh học tốt nghiệp THPT quốc gia 2021. Cập nhật lời giải tham khảo tốt nghiệp THPT quốc gia môn Sinh học của Bộ GD-ĐT năm 2021 nhanh nhất trên báo VietNamNet.

    Đề thi môn Sinh học THPT quốc gia năm 2021 Đề thi môn Hóa học THPT quốc gia năm 2021

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 209

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 218

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 220

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 205

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 203

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 204

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 212

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 213

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 206

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 214

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 216

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 219

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 222

    Lời giải tham khảo môn Sinh học mã đề 223

    Sáng 23/6, các thí sinh làm bài thi tổ hợp Khoa học tự nhiên gồm 3 môn: Vật lý, Hóa học và Sinh học. Năm nay là năm đầu tiên các môn được chia thành 2 nhóm Khoa học tự nhiên (Vật lý, Hóa học, Sinh học) và Khoa học xã hội (Lịch sử, Địa lý, Giáo dục công dân).

    Cụ thể, thí sinh làm bài các môn thi thành phần của bài thi tổ hợp theo lịch thi trên cùng một phiếu trả lời trắc nghiệm (TLTN).

    Hết thời gian làm bài của môn thi thành phần cuối cùng của bài thi tổ hợp, cán bộ coi thi (CBCT) mới thu phiếu TLTN.

    Các môn thi thành phần trong mỗi bài thi tổ hợp có cùng một mã đề thi, thí sinh ghi mã đề thi này trên phiếu TLTN để theo dõi.

    Thời gian làm bài thi mỗi môn thành phần là 50 phút.

    Các thí sinh được chọn dự thi cả 2 bài thi tổ hợp, điểm bài thi tổ hợp nào cao hơn sẽ được chọn để tính điểm xét công nhận tốt nghiệp THPT. Thí sinh giáo dục thường xuyên có thể chọn dự thi cả bài thi Ngoại ngữ, điểm bài thi này để xét tuyển sinh ĐH, CĐ, không dùng để tính điểm xét công nhận tốt nghiệp THPT.

    Để xét tuyển ĐH, CĐ, thí sinh đã tốt nghiệp THPT phải dự thi các bài thi độc lập, bài thi tổ hợp hoặc các môn thi thành phần của bài thi tổ hợp, phù hợp với tổ hợp bài thi, môn thi xét tuyển vào ngành, nhóm ngành theo quy định của trường ĐH, CĐ.

    Bộ GD-ĐT cũng cho biết, các đơn vị hội đồng thi công bố và thông báo kết quả cho thí sinh vào ngày 07/7/2017.

    Công bố kết quả xét công nhận tốt nghiệp THPT chậm nhất ngày 14/7/2017.

    * BAN GIÁO DỤC

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Cương Ôn Tập Môn Sinh Học Lớp 8, Kì Ii
  • Giải Đề Cương Ôn Tập Hkii Môn Sinh Học 8 Giai De Cuong On Tap Hkii Mon Sinh Hoc Lop 8 Doc
  • Đề Cương Ôn Tập Hk2 Môn Sinh Học Lớp 8 Năm 2021
  • Đề Cương Ôn Tập Học Kì 2 Môn Sinh Học Lớp 8
  • Giải Bài Tập Môn Sinh Học Lớp 8 Trang 110: Vitamin Và Muối Khoáng
  • Hướng Dẫn Giải Đề Thi Minh Họa Môn Giáo Dục Công Dân Kỳ Thi Thpt Quốc Gia 2021

    --- Bài mới hơn ---

  • Trả Lời Câu Hỏi Bài 1 Trang 4 Sgk Gdcd 6
  • Bài 6 Trang 15 Gdcd 6
  • Trả Lời Gợi Ý Bài 12 Trang 30 Sgk Gdcd 6
  • Trả Lời Gợi Ý Bài 12 Trang 30 Sgk Gdcd Lớp 6
  • Trả Lời Câu Hỏi Bài 13 Trang 34 Sgk Gdcd 6
  • Lao Động xin đăng tải đề thi minh họa môn Giáo dục công dân kỳ thi THPT Quốc gia 2021 của Bộ GDĐT và hướng dẫn giải đề do các thầy cô của Hệ thống giáo dục Hocmai thực hiện.

    Nhận xét về đề thi minh họa môn Giáo dục công dân vừa được Bộ GDĐT công bố, tổ giáo viên tại Hệ thống giáo dục Hocmai cho rằng, đề thi khó, chứa nhiều câu hỏi mang tính thời sự.

    Về phạm vi đề thi: Mặc dù các câu hỏi bao gồm kiến thức lớp 11 và lớp 12 nhưng trọng tâm vẫn là kiến thức lớp 12. Trong đó, các câu hỏi đảm bảo phủ các chuyên đề lớp 12 như đề thi THPT quốc gia 2021. Đặc biệt, các câu hỏi thuộc phần kiến thức lớp 11 mặc dù xuất hiện với tần suất ít hơn nhưng trải đều ở tất cả các chuyên đề. Tỉ lệ câu hỏi lớp 11 – lớp 12 khoảng 22,5% – 77, 5%.

    Về cấu trúc đề thi và độ khó: So với đề thi THPT quốc gia năm 2021, đề thi tham khảo 2021 có độ khó hơn hẳn. Điều này được thể hiện ở tần suất xuất hiện các câu hỏi khó tăng chiếm khoảng 30% (ví dụ: câu 109; 111; 112; 119, 120). Trong đó, các câu hỏi khó, có tính phân hóa cao thường rơi vào các chuyên đề: Công dân với các quyền tự do cơ bản, Công dân với các quyền dân chủ, Pháp luật với sự phát triển của công dân…, đặc biệt không có câu hỏi khó rơi vào các chuyên đề lớp 11.

    Với đề thi này, rõ ràng, thế hệ học sinh tham dự kì thi THPT quốc gia năm 2021 phải ôn tập nhiều hơn, thực hành và luyện tập vất vả hơn để đạt kết quả cao.

    Đề thi thử THPT quốc gia 2021 là những bước đệm để các sĩ tử chuẩn bị cho kỳ thi lớn sắp tới.

    Theo Bộ GDĐT, phương thức tổ chức các môn thi, bài thi của kỳ thi THPT quốc gia trong những năm tới sẽ được giữ ổn định như năm 2021. Ngoài ra, nội dung thi THPT Quốc gia năm 2021 nằm trong chương trình lớp 12 và lớp 11.

    Các nhà trường và học sinh sử dụng tài liệu hướng dẫn của Bộ kết hợp với các đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm, đề thi tham khảo và đề thi chính thức của Kỳ thi THPT quốc gia năm 2021 làm tài liệu tham khảo để dạy học và ôn tập trong năm học 2021 – 2021, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia năm 2021.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Câu Hỏi Trắc Nghiệm Môn Giáo Dục Công Dân Lớp 12 Bài 6
  • Bài Giảng Môn Giáo Dục Công Dân Lớp 6
  • Giải Bài 7.5, 7.6, 7.7, 7.8 Trang 26 Sách Bài Tập Vật Lí 6
  • Giải Bài 7.9, 7.10, 7.11, 7.12 Trang 27 Sách Bài Tập Vật Lí 6
  • Giải Bài 16.1, 16.2, 16.3, 16.4, 16.5 Trang 53 Sách Bài Tập Vật Lí 6
  • 16 Cách Giải Phóng Và Tăng Ram Trên Laptop Cực Hiệu Quả

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Phóng Dung Lượng Ổ Đĩa Một Cách Toàn Diện Nhất
  • Một Số Cách Giải Phóng Dung Lượng Trên Macbook Bạn Nên Biết 【Topvn】
  • Xiaomi Báo Đầy Bộ Nhớ, Làm Sao Để Tăng Dung Lượng?
  • Top 5 Cách Tiết Kiệm Bộ Nhớ Cho Xiaomi Redmi 5 Plus Hiệu Quả Hơn Icloud Của Apple
  • Cách Giảm Dung Lượng File Dữ Liệu Outlook (.pst Và .ost)
  • 1Khởi động lại máy tính

    Bạn nên khởi động lại máy tính thường xuyên như là một cách để giải phóng RAM, đặc biệt nếu bạn sử dụng máy tính thường xuyên.

    2Tắt System Restore

    System Restore là tính năng khôi phục lại trạng thái hệ thống về một thời điểm cụ thể để khắc phục các sự cố. Đây là một tính năng hữu ích tuy nhiên nó lại chiếm khá nhiều không gian hệ thống khi được kích hoạt.

    Bạn có thể tắt System Restore bằng cách:

    3Reset lại máy tính

    Reset lại máy tính về trạng thái ban đầu sẽ khiến máy tính của bạn trở nên sạch sẽ hoàn toàn và hoạt động nhanh hơn. Tuy nhiên các tài khoản, ứng dụng, cài đặt hệ thống của bạn sẽ bị xóa sau khi thực hiện reset.

    Hướng dẫn thực hiện:

    4Dùng ứng dụng nhẹ hoặc phần mềm trực tuyến

    Hãy thử sử dụng các ứng dụng hay phần mềm trực tuyến nhẹ hơn thay thế cho phần mềm trên máy tính. Nếu máy tính của bạn gặp khó khăn khi bạn mở Photoshop, hãy thử sử dụng một ứng dụng nhỏ hơn như chúng tôi cho các chỉnh sửa nhỏ.

    Bên cạnh đó, cần chú ý hơn đến các chương trình bạn đang mở. Đóng mọi phần mềm mà bạn không thường xuyên làm việc. Đánh dấu các tab trình duyệt mà bạn thường xuyên mở cũng là một cách tiết kiệm RAM.

    5Xóa các phần mềm độc hại

    Hãy bật các chương trình quét phần mềm độc hại trên máy tính để loại bỏ những phần mềm hay mã độc có khả năng đánh cắp tài nguyên và hút dung lượng RAM có sẵn của bạn.

    Malwarebytes là một trong những phần mềm hỗ trợ quyét các phần mềm độc hại rất hiệu quả mà bạn nên thử.

    6Sử dụng Disk Cleanup

    Những tệp tin tạm, những dữ liệu không còn sử dụng đến góp phần làm đầy bộ nhớ ổ cứng của bạn. Dọn dẹp ổ cứng để tăng thêm không gian lưu trữ cũng như việc tìm kiếm dữ liệu được dễ dàng, nhanh chóng hơn.

    7Tắt tính năng phát tự động các thiết bị ngoài

    Bật tính năng phát tự động cho các thiết bị ngoại như USB, thẻ nhớ, ổ đĩa,… có thể gây nguy hiểm cho máy tính của bạn trước nguy cơ nhiễm virus.

    8Lắp thêm RAM cho máy tính

    Bạn muốn giải quyết một cách triệt để vấn đề bộ nhớ RAM thì bạn cần nâng cấp RAM, bằng cách thêm thanh RAM hoặc dùng thanh có dung lượng cao hơn.

    Cách này sẽ giúp bạn không tốn nhiều thời gian theo dõi dung lượng bị tiêu hao hay phải dọn dẹp bọ nhớ thường xuyên.

    Điều quan trọng đầu tiên, bạn cần xác định loại bộ nhớ RAM máy tính của bạn. Để biết chính xác thì cách dễ nhất là tải công cụ dọn dẹp máy tính như CPU-Z .

    9Xóa bỏ các chương trình đã lâu không sử dụng

    Có một số ứng dụng được Windows mặc định cài đặt vào. Bạn có thể xóa chúng đi để có thêm không gian cho các ứng dụng khác hoạt động tốt hơn.

    10Vô hiệu hóa các chương trình khởi động cùng Windows không cần thiết

    Khi khởi động Windows, một số ứng dụng được cài đặt sẽ khởi động cùng lúc. Điều này làm cho quá trình khởi động máy mất nhiều thời gian hơn.

    11Quét Virus và phần mềm độc hại

    Virus máy tính có thể làm giảm hiệu suất máy tính/laptop của bạn một cách đáng kể. Hoặc có thể là do bạn cài đặt những phần mềm lậu của bên thứ ba và chúng đã đánh cắp tài nguyên hệ thống của bạn.

    Do đó, bạn cần phải sử dụng các phần mềm diệt virus tốt nhất để tìm kiếm và ngăn chặn sự phá hoại của chúng đối với PC của bạn và giải phóng bộ nhớ RAM cho máy tính.

    12Dừng các ứng dụng chạy nền

    Ứng dụng chạy nền là một nguyên nhân phổ biến khiến máy tính của bạn trở nên chậm chạp. Các ứng dụng bạn không dùng đến nhưng vẫn âm thầm hoạt động để cập nhật dữ liệu, hiển thị thông báo,…

    Có thể tắt các ứng dụng chạy nền bằng cách:

    13Tắt hiệu ứng hình ảnh trên Windows

    Hiệu ứng hình ảnh sắc nét sẽ khiến bạn thích mắt hơn khi sử dụng nhưng đây cũng là một lý do khiến cho máy tính của bạn hoạt động chậm hơn. Tắt bớt các hiệu ứng hình ảnh không cần thiết sẽ giúp tối ưu hiệu suất hoạt động của Windows 10.

    Cách tắt hiệu ứng hình ảnh:

    Máy bạn sẽ hoạt động khá nhanh khi chọn chế độ Adjust for best performance (Điều chỉnh để có hiệu suất tốt nhất). Tuy nhiên các nội dung hiển thị sẽ khá mờ, có khả năng gây hại cho mắt nếu bạn thường xuyên làm việc với chế độ này.

    14Cập nhật phần mềm trên máy tính của bạn

    Nên sử dụng phiên bản mới nhất của các phần mềm/ứng dụng hiện có trên máy tính của mình.

    Các phiên bản phần mềm/ứng dụng cũ có thể khiến PC của bạn mất nhiều bộ nhớ RAM để xử lý, từ đó nó khiến cho máy tính của bạn chậm lại.

    15Hãy thử sử dụng một trình duyệt web khác

    Một cách khác để giải phóng RAM trên máy tính đó chính là bạn hãy thử thay đổi trình duyệt web mình thường hay sử dụng, để có thể trải nghiệm được thoải mái hơn.

    16Thiết lập bộ nhớ RAM ảo

    RAM ảo (Virtual Memory) có thể hiểu là bộ nhớ mô phỏng theo RAM vật lý, hệ điều hành lấy một phần dung lượng của ổ cứng máy tính để làm RAM ảo. Set thêm RAM ảo giúp các có thêm bộ nhớ để hoạt động ổn định, hiệu quả hơn.

    Hướng dẫn thiết lập thêm RAM ảo:

    Không

    --- Bài cũ hơn ---

  • Làm Thế Nào Để Giải Phóng Dung Lượng Cho Windows Nhanh Chóng
  • Làm Thế Nào Để Giải Phóng Dung Lượng Trên Iphone
  • Hướng Dẫn Thiết Lập Cấu Hình Lightroom Để Xuất Ảnh Đem In
  • 7 Cách Giải Phóng Ổ Cứng Hiệu Quả Trên Windows 10
  • Hướng Dẫn Cách Cải Thiện Và Tăng Tốc Lightroom
  • Tin tức online tv