Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 7: Hình bình hành giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 73 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Các tứ giác ABCD, EFGH & hình vẽ bên dưới có phải là hình bình hành hay không?
Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD
Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.
EH = FG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông
Bài 74 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DE = BF
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
EB = 1/2 AB (gt)
FD = 1/2 CD (gt)
Suy ra: EB = FD (1)
Mà AB
⇒ BE
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)
Bài 75 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành.
Ta có: ∠A = ∠C (tính chất hình bình hành)
AB
Hay AN
AM
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.
Bài 76 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Hình bên cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình bình hành.
Gọi O là’giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có:
∠(AEO) = ∠(CFO) = 90 o
OA = OC (chứng minh trên)
∠(AOE) = ∠(COF) (đối đỉnh)
Do đó ΔAEO = ΔCFO (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ OE = OF’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Bài 77 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Nối đường chéo AC.
Trong ΔABC ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
Nên EF là đường trung bình của ΔABC
⇒EF//AC và EF = 1/2 AC
(tính chất đường trung hình tam giác) (1)
Trong ΔADC ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
Nên HG là đường trung bình của ΔADC
⇒ HG
Từ (1) và (2) suy ra: EF
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Bài 78 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB, Đường chéo BD cắt AI, UK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
AK = 1/2 AB (gt)
CI = 1/2 CD (gt)
Suy ra: AK = CI (1)
⇒ AK
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
⇒ AI
Trong ΔABE, ta có:
K là trung điểm của AB (gt)
AI
Trong ΔDCF, ta có:
I là trung điểm của DC (gt)
AI
Suy ra: DE = EF = FB
Bài 79 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình bình hành ABCD biết:
Lời giải:
a. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒ ∠C = ∠A = 110 o (tính chất hình bình hành)
∠A + ∠B = 180 o (2 góc trong cùng phía bù nhau)
∠D = ∠B = 70 o (tính chất hình bình hành)
b. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒∠A + ∠B = 180 o (2 góc trong cùng phía bù nhau)
∠A – ∠B = 20 o (gt)
∠C = ∠A = 100 o (tính chất hình bình hành)
∠D = ∠B = 80 o (tính chất hình bình hành)
* Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB
* Tứ giác IKMN là hình bình hành vì có ∠I = ∠M = 70 o và ∠K = ∠N = 110 o
Bài 81 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Chu vi hình bình hành ABCD bằng l0cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.
Chu vì hình bình hành ABCD bằng 10cm nên (AB + AD).2 = 10(cm)
⇒ AB + AD = 10 : 2 = 5(cm)
Chu vi của ΔABD bằng:
AB + AD + BD = 9(cm)
⇒ BD = 9 – (AB + AD) = 9 – 5 = 4(cm)
Bài 82 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Hình bên dưới, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
OB = OD
Xét ΔAEB và ΔCFD, ta có:
AB = CD (tính chất hình bình hành)
∠(ABE) = ∠(CDF) (so le trong)
BE = DF (gt)
Do đó: ΔAEB = ΔCFD (c.g.c) ⇒ BE = DF
Tacó: OB = OE + BE
OD = OF + BF
Suy ra: OE = OF
Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE
Bài 83 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình hình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
a. EMNF là hình bình hành
b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.
a. Xét tứ giác AECF, ta có:
AB
Hay AE
AE = 1/2 AB
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB
BE = 1/2 AB (gt)
DF = 1/2 CD (gt)
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF//DE hay EM
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMNF là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành).
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bình hành trên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF.
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.
Bài 84 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Hình dưới cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a. EGFH là hình bình hành.
b. Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
a. Xét ΔAEH và ΔCFG:
AE = CF (gt)
∠A = ∠C (tính chất hình bình hành)
AE = CF (vì AD = BC và DH = BG)
Do đó: ΔAEH = ΔCFG (c.g.c)
⇒ EH = FG
Xét ΔBEG và ΔDFH, ta có:
DH = BG (gt)
∠B = ∠D (tính chất hình bình hành)
BE = DF (vì AD = CD và AE = CF)
Do đó: ΔBEG = ΔDFH (c.g.c) ⇒ EG = FH
Suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF
Xét tứ giác AECF, ta có: AB
AE = CF (gt)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ O là trung điểm của AC và EF
Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm AC nên O cũng là trung điểm của BD.
Tứ giác EFGH là hình bình hành có O là trung điểm EF nên O cũng là trung điểm của GH.
Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.
Bài 85 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình hình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung C với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, D đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng AA’ = BB’ + DD’
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Kẻ OO’ ⊥ xy
Ta có: BB’ ⊥ xy (gt)
DD’ ⊥ xy (gt)
Suy ra: BB
Tứ giác BB’D’D là hình thang .
OB = OD (t/chất hình bình hành)
Nên O’B’ = O’D’
Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D
⇒ OO’ = (BB’ + DD’) / 2 (tính chất đường trung hình hình thang) (1)
AA’ ⊥ xy (gt)
OO’ ⊥ xy (theo cách vẽ)
Suy ra: AA’
Trong ΔACA’ tacó: OA = OC (tính chất hình bình hành)
OO’
⇒ OO’ = 1/2 AA’ (tính chất đường trung bình của tam giác)
⇒ AA’ = 2OO’ (2)
Tử (1) và (2) suy ra: AA’ = BB’ + DD’
Bài 86 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy.
Tìm mối liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’, DD’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ OA = OC, OB = OD (tính chất hình bình hành)
Kẻ OO’ ⊥ xy
AA’ ⊥ xy (gt)
CC’ ⊥ xy (gt)
Suy ra: AA’
Tứ giác ACC’A’ là hình thang có:
OA = OC (chứng minh trên)
OO’
⇒ OO’ = (AA’ + CC’) / 2 (t/chất đường trung bình của hình thang) (1)
BB’ ⊥ xy
DD’ ⊥ xy (gt)
OO’ ⊥ xy (gt)
Suy ra: BB’// OO’
Tứ giác BDD’B’ là hình thang có:
OB = OD (Chứng minh trên)
OO’
⇒ OO’ = (BB’ + DD’) / 2 (tính chất đường trung bình của hình thang) (2)
a. Tính góc (EAF)
b. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
a. Vì ∠(BAD) + ∠(BAE) + ∠(EAF) + ∠(FAD) = 360 o
⇒ ∠(EAF) = 360 o – (∠(BAD) + ∠(BAE) + ∠(FAD) )
Mà ∠(BAD) = α o (gt)
∠(BAE) = 60 o (ΔBAE đều)
∠(FAD) = 60 o (ΔFAD đều)
b. Ta có:
∠(BAD) + ∠(ADC) = 180 o (hai góc trong cùng phía bù nhau)
⇒ ∠(ADC) = 180 o – ∠(BAD) = 180 o – α
Suy ra: ∠(CDF) = ∠(EAF)
Xét ΔAEF và ΔDCF: AF = DF ( vì ΔADF đều)
AE = DC (vì cùng bằng AB)
∠(CDF) = ∠(EAF) (chứng minh trên)
Do đó: ΔAEF = ΔDCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1)
Xét ΔBCE và ΔDCF: BE = CD ( vì cùng bằng AB)
∠(CBE) = ∠(CDF) = 240 o – α
BC = DF (vì cùng bằng AD)
Do đó ΔBCE = ΔDCF (c.g.c) ⇒ CE = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF = CF = CE
Vậy Δ ECF đều.
Bài 88 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:
a. IA = BC
b. IA ⊥ BC
a. ∠(BAD) + ∠(BAC) + ∠(DAE) + ∠(EAC) = 360 o
Suy ra: ∠(BAC) + ∠(DAE) = 180 o (1)
AE
⇒ ∠(ADI) + ∠(DAE) = 180 o (2 góc trong cùng phía)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠(BAC) = ∠(ADI)
Suy ra: ΔABC = ΔDAI (c.g.c) ⇒ IA = BC
b. ΔABC = ΔDAI (chứng minh trên) ⇒ ∠A 1= ∠B 1
Gọi giao điểm IA và BC là H.
Suy ra ∠(AHB) = 90 o ⇒ AH ⊥ BC hay IA ⊥ BC
Bài 89 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Dựng hình bình hành ABCD biết:
a. AB = 2cm, AD = 3cm, ∠A = 110 o
b. AC = 4cm, BD = 5cm, ∠(BOC) = 50 o
Lời giải:
a. Cách dựng (hình a)
– Dựng ΔABD có AB = 2cm, ∠A = 110 o, AD = 3cm
– Dựng tia Bx
– Dựng tia Dy
Ta có hình bình hành ABCD cẩn dựng
Chứng minh
AB
Ta lại có: AB = 2cm, ∠A = 110 o, AD = 3cm.
Bài toán có một nghiệm hình.
b. Cách dựng (hình b)
– Dựng ΔOBC có OC = 2cm, OB = 2,5 cm, O = 50 o
– Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2cm
– Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB =2,5cm
Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng
Chứng minh
Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Có AC = 4cm , BD = 5cm, ∠(BOC) = 50 o
Bài toán có một nghiệm hình
Bài 90 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C trên giấy kẻ ô vuông ở hình bên. Hãy vẽ điểm thứ tư M sao cho A, B,C, M là 4 đỉnh của một hình bình hành.
– Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vỉ AB là dường chéo hình vuông có 2 ô vuông nên CM 1 là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, M 1 nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ABCM 1
– Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông, điểm B cách điểm M 2 là ba ô vuông và trên một nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành ABM 2 C
– Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thì điểm M 3 cách điểm B ba ô vuông, M 3 và A nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ACBM 3.
Bài 91 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB ở E, cắt cạnh AC ở F sao cho BE = AF.
Cách dựng:
– Dựng đường phân giác AD.
– Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F.
– Qua F dựng đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.
Ta có điểm E, F cẩn dựng.
Chứng minh:
DF
⇒ ΔAFD cân tại F ⇒ AF = DF (l)
DF
EF
Tứ giác BDFE là hình bình hành ⇒ BE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AF = BE.
Bài 7.1 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu:
A. AB = CD;
B. AD = BC;
C. AB
D. AB = CD và AD = BC.
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Chọn D
Bài 7.2 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng:
a. AE song song CF
b. DK = 1/2 KC
a. Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)
OE = 1/2 OD (gt)
OF = 1/2 OB (gt)
Suy ra: OE = OF
Xét tứ giác AECF, ta có:
OE = OF (chứng minh trên)
OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) ⇒ AE
b. Kẻ OM
Trong ΔCAK ta có:
OA = OC ( chứng minh trên)
OM
⇒ CM
Trong ΔDMO ta có:
DE = EO (gt)
EK
⇒ DK
Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC ⇒ DK = 1/2 KC
Bài 7.3 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh AB, điểm F trên cạnh CD sao cho AE = CF. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét tứ giác AECF:
AB
⇒ AE
AE = CF (gt)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ AC và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
OA = OC ( tính chất hình bình hành) ⇒ EF đi qua O
Vậy AC, BD, EF đồng quy tại O.