Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình bình hành
Bài 73 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Các tứ giác ABCD, EFGH & hình vẽ bên dưới có phải là hình bình hành hay không?
Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD
Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.
EH = FG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông
Bài 74 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DE = BF
Lời giải:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
EB = 1/2 AB (gt)
FD = 1/2 CD (gt)
Suy ra: EB = FD (1)
Mà AB
⇒ BE
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)
Bài 75 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành.
Lời giải:
Ta có: ∠A = ∠C (tính chất hình bình hành)
AB
Hay AN
AM
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.
Bài 76 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Hình bên cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình bình hành.
Lời giải:
Gọi O là’giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có:
∠(AEO) = ∠(CFO) = 90 o
OA = OC (chứng minh trên)
∠(AOE) = ∠(COF) (đối đỉnh)
Do đó ΔAEO = ΔCFO (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ OE = OF’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Bài 77 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Nối đường chéo AC.
Trong ΔABC ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
Nên EF là đường trung bình của ΔABC
⇒EF//AC và EF = 1/2 AC
(tính chất đường trung hình tam giác) (1)
Trong ΔADC ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
Nên HG là đường trung bình của ΔADC
⇒ HG
Từ (1) và (2) suy ra: EF
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Bài 78 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB, Đường chéo BD cắt AI, UK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB
Lời giải:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
AK = 1/2 AB (gt)
CI = 1/2 CD (gt)
Suy ra: AK = CI (1)
Mặt khác: AB
⇒ AK
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
⇒ AI
Trong ΔABE, ta có:
K là trung điểm của AB (gt)
AI
Trong ΔDCF, ta có:
I là trung điểm của DC (gt)
AI
Suy ra: DE = EF = FB
Bài 79 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình bình hành ABCD biết:
Lời giải:
a. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒ ∠C = ∠A = 110 o (tính chất hình bình hành)
∠A + ∠B = 180 o (2 góc trong cùng phía bù nhau)
∠D = ∠B = 70 o (tính chất hình bình hành)
b. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒∠A + ∠B = 180 o (2 góc trong cùng phía bù nhau)
∠C = ∠A = 100 o (tính chất hình bình hành)
∠D = ∠B = 80 o (tính chất hình bình hành)
Lời giải:
* Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB
* Tứ giác IKMN là hình bình hành vì có ∠I = ∠M = 70 o và ∠K = ∠N = 110 o
Bài 81 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Chu vi hình bình hành ABCD bằng l0cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.
Lời giải:
Chu vì hình bình hành ABCD bằng 10cm nên (AB + AD).2 = 10(cm)
⇒ AB + AD = 10 : 2 = 5(cm)
Chu vi của ΔABD bằng:
AB + AD + BD = 9(cm)
⇒ BD = 9 – (AB + AD) = 9 – 5 = 4(cm)
Bài 82 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Hình bên dưới, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
OB = OD
Xét ΔAEB và ΔCFD, ta có:
AB = CD (tính chất hình bình hành)
∠(ABE) = ∠(CDF) (so le trong)
BE = DF (gt)
Do đó: ΔAEB = ΔCFD (c.g.c) ⇒ BE = DF
Tacó: OB = OE + BE
OD = OF + BF
Suy ra: OE = OF
Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE
Bài 83 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình hình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
a. EMNF là hình bình hành
b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.
Lời giải:
a. Xét tứ giác AECF, ta có:
AB
Hay AE
AE = 1/2 AB
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB
BE = 1/2 AB (gt)
DF = 1/2 CD (gt)
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF//DE hay EM
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMNF là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành).
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bình hành trên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF.
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.
Bài 84 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Hình dưới cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a. EGFH là hình bình hành.
b. Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
Lời giải:
a. Xét ΔAEH và ΔCFG:
AE = CF (gt)
∠A = ∠C (tính chất hình bình hành)
AE = CF (vì AD = BC và DH = BG)
Do đó: ΔAEH = ΔCFG (c.g.c)
⇒ EH = FG
Xét ΔBEG và ΔDFH, ta có:
DH = BG (gt)
∠B = ∠D (tính chất hình bình hành)
BE = DF (vì AD = CD và AE = CF)
Do đó: ΔBEG = ΔDFH (c.g.c) ⇒ EG = FH
Suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF
Xét tứ giác AECF, ta có: AB
AE = CF (gt)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ O là trung điểm của AC và EF
Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm AC nên O cũng là trung điểm của BD.
Tứ giác EFGH là hình bình hành có O là trung điểm EF nên O cũng là trung điểm của GH.
Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.
Bài 85 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình hình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung C với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, D đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng AA’ = BB’ + DD’
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Kẻ OO’ ⊥ xy
Ta có: BB’ ⊥ xy (gt)
DD’ ⊥ xy (gt)
Suy ra: BB
Tứ giác BB’D’D là hình thang .
OB = OD (t/chất hình bình hành)
Nên O’B’ = O’D’
Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D
⇒ OO’ = (BB’ + DD’) / 2 (tính chất đường trung hình hình thang) (1)
AA’ ⊥ xy (gt)
OO’ ⊥ xy (theo cách vẽ)
Suy ra: AA’
Trong ΔACA’ tacó: OA = OC (tính chất hình bình hành)
OO’
⇒ OO’ = 1/2 AA’ (tính chất đường trung bình của tam giác)
⇒ AA’ = 2OO’ (2)
Tử (1) và (2) suy ra: AA’ = BB’ + DD’
Bài 86 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy.
Tìm mối liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’, DD’
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ OA = OC, OB = OD (tính chất hình bình hành)
Kẻ OO’ ⊥ xy
AA’ ⊥ xy (gt)
CC’ ⊥ xy (gt)
Suy ra: AA’
Tứ giác ACC’A’ là hình thang có:
OA = OC (chứng minh trên)
OO’
⇒ OO’ = (AA’ + CC’) / 2 (t/chất đường trung bình của hình thang) (1)
BB’ ⊥ xy
DD’ ⊥ xy (gt)
OO’ ⊥ xy (gt)
Suy ra: BB’// OO’
Tứ giác BDD’B’ là hình thang có:
OB = OD (Chứng minh trên)
OO’
⇒ OO’ = (BB’ + DD’) / 2 (tính chất đường trung bình của hình thang) (2)
a. Tính góc (EAF)
b. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
Lời giải:
a. Vì ∠(BAD) + ∠(BAE) + ∠(EAF) + ∠(FAD) = 360 o
⇒ ∠(EAF) = 360 o – (∠(BAD) + ∠(BAE) + ∠(FAD) )
Mà ∠(BAD) = α o (gt)
∠(BAE) = 60 o (ΔBAE đều)
∠(FAD) = 60 o (ΔFAD đều)
b. Ta có:
∠(BAD) + ∠(ADC) = 180 o (hai góc trong cùng phía bù nhau)
Suy ra: ∠(CDF) = ∠(EAF)
Xét ΔAEF và ΔDCF: AF = DF ( vì ΔADF đều)
AE = DC (vì cùng bằng AB)
∠(CDF) = ∠(EAF) (chứng minh trên)
Do đó: ΔAEF = ΔDCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1)
Xét ΔBCE và ΔDCF: BE = CD ( vì cùng bằng AB)
∠(CBE) = ∠(CDF) = 240 o – α
BC = DF (vì cùng bằng AD)
Do đó ΔBCE = ΔDCF (c.g.c) ⇒ CE = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF = CF = CE
Vậy Δ ECF đều.
Bài 88 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:
a. IA = BC
b. IA ⊥ BC
Lời giải:
a. ∠(BAD) + ∠(BAC) + ∠(DAE) + ∠(EAC) = 360 o
Suy ra: ∠(BAC) + ∠(DAE) = 180 o (1)
AE
⇒ ∠(ADI) + ∠(DAE) = 180 o (2 góc trong cùng phía)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠(BAC) = ∠(ADI)
Suy ra: ΔABC = ΔDAI (c.g.c) ⇒ IA = BC
b. ΔABC = ΔDAI (chứng minh trên) ⇒ ∠A 1= ∠B 1
Gọi giao điểm IA và BC là H.
Suy ra ∠(AHB) = 90 o ⇒ AH ⊥ BC hay IA ⊥ BC
Bài 89 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Dựng hình bình hành ABCD biết:
a. AB = 2cm, AD = 3cm, ∠A = 110 o
b. AC = 4cm, BD = 5cm, ∠(BOC) = 50 o
Lời giải:
a. Cách dựng (hình a)
– Dựng ΔABD có AB = 2cm, ∠A = 110 o, AD = 3cm
– Dựng tia Bx
– Dựng tia Dy
Ta có hình bình hành ABCD cẩn dựng
Chứng minh
AB
Ta lại có: AB = 2cm, ∠A = 110 o, AD = 3cm.
Bài toán có một nghiệm hình.
b. Cách dựng (hình b)
– Dựng ΔOBC có OC = 2cm, OB = 2,5 cm, O = 50 o
– Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2cm
– Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB =2,5cm
Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng
Chứng minh
Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Có AC = 4cm , BD = 5cm, ∠(BOC) = 50 o
Bài toán có một nghiệm hình
Bài 90 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C trên giấy kẻ ô vuông ở hình bên. Hãy vẽ điểm thứ tư M sao cho A, B,C, M là 4 đỉnh của một hình bình hành.
Lời giải:
– Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vỉ AB là dường chéo hình vuông có 2 ô vuông nên CM 1 là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, M 1 nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ABCM 1
– Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông, điểm B cách điểm M 2 là ba ô vuông và trên một nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành ABM 2 C
– Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thì điểm M 3 cách điểm B ba ô vuông, M 3 và A nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ACBM 3.
Bài 91 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB ở E, cắt cạnh AC ở F sao cho BE = AF.
Lời giải:
Cách dựng:
– Dựng đường phân giác AD.
– Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F.
– Qua F dựng đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.
Ta có điểm E, F cẩn dựng.
Chứng minh:
DF
⇒ ΔAFD cân tại F ⇒ AF = DF (l)
DF
EF
Tứ giác BDFE là hình bình hành ⇒ BE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AF = BE.
Bài 7.1 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu:
A. AB = CD;
B. AD = BC;
C. AB
D. AB = CD và AD = BC.
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Chọn D
Bài 7.2 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng:
a. AE song song CF
b. DK = 1/2 KC
Lời giải:
a. Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)
OE = 1/2 OD (gt)
OF = 1/2 OB (gt)
Suy ra: OE = OF
Xét tứ giác AECF, ta có:
OE = OF (chứng minh trên)
OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) ⇒ AE
b. Kẻ OM
Trong ΔCAK ta có:
OA = OC ( chứng minh trên)
OM
⇒ CM
Trong ΔDMO ta có:
DE = EO (gt)
EK
⇒ DK
Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC ⇒ DK = 1/2 KC
Bài 7.3 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh AB, điểm F trên cạnh CD sao cho AE = CF. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét tứ giác AECF:
AB
⇒ AE
AE = CF (gt)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ AC và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
OA = OC ( tính chất hình bình hành) ⇒ EF đi qua O
Vậy AC, BD, EF đồng quy tại O.