Giải Bài Tập Op Amp

--- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 4 Tập 2
  • Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 3 Tập 1
  • Bài Tập Phát Triển Năng Lực Học Toán Cho Học Sinh Lớp 5 (Tập 1)
  • Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn
  • Soạn Bài Lời Văn Đoạn Văn Tự Sự Trang 58 Sgk Ngữ Văn 6 Tập 1
  • Liên Hệ Giải Pháp Xây Dựng Giai Cấp Công Nhân Trong Các Trường Học, Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Ta Trong Giai Đoạn Hiện Nay. , Tiểu Luận Giải Quyết Tranh Chấp Thương Mại Bằng Hòa Giải, Cơ Cấu Xã Hội Giai Cấp Và Liên Minh Giai Cấp Tầng Lớp Trong Thời Kỳ Quá Độ Lên Chủ Nghĩa Xã Hội, Quan Điểm Của Chủ Nghĩa Mác – Lênin Về Cơ Cấu Xã Hội – Giai Cấp Và Liên Minh Giai Cấp, Tầng Lớp Tron, Đảng Lãnh Đạo Giải Quyết Mối Quan Hệ Giữa Độc Lập Dan Tộc Gắn Liền Với Chủ Nghĩa Xã Hội Giai Đoạn 19, Quan Điểm Của Chủ Nghĩa Mác – Lênin Về Cơ Cấu Xã Hội – Giai Cấp Và Liên Minh Giai Cấp, Tầng Lớp Tron, Tại Sao Phải Liên Minh Giai Cấp Công Nhân, Giai Cấp Nông Dân Và Đội Ngũ Trí Thức Trong Thời Kỳ Quá Đ, Tại Sao Phải Liên Minh Giai Cấp Công Nhân, Giai Cấp Nông Dân Và Đội Ngũ Trí Thức Trong Thời Kỳ Quá Đ, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Giai Đoạn Cuộc Cách Mạng 4.0, Tiểu Luận Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Và Sứ Mệnh Lịch Sử Của Nó Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Phân Tích Những Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Các Đồng Chí Hẫy Trình Bày Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Tron Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn H, Các Đồng Chí Hãy Trình Bày Các Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch, Vững Mạnh Trong Giai, Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Các Đồng Chí Hãy Trình Bày Các Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch, Vững Mạnh Trong Giai , Nhiệm Vụ Và Giai Pháp Xây Dựng Đẳn Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Phân Tích Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Lí Luận Về Giai Cấp Và Xung Đột Giai Cấp, Mẫu Giải Trình Giải Thể Chi Đoàn, Lý Luận Về Giai Cấp Và Xung Đột Giai Cấp, Lý Luận Về Giai Cấp Và Xung Đột Giai Cấp Là Của, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Sở Dĩ Được Thực Hiện Bởi Giai Cấp Công Nhân Vì: A. Là Một Gi, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Sở Dĩ Được Thực Hiện Bởi Giai Cấp Công Nhân Vì: A. Là Một Gi, ứng Dụng Giải Bài Giải, Giải Bài Giải Toán Lớp 3, Bài Giải Giải Tích 2, Giải Toán Lớp 4 Bài Giải, Giải Bài Tập Giải Tích 2 7e, Giải Bài Tập Bản Đồ Địa Lí 7 Bài 37, Giải Bài Tập Lớp 6, Giải Bài Tập Bản Đồ 9, Giải Bài Tập Lớp 5, Giải Bài 1 Hóa 9, Giải Bài Tập Bản Đồ 8, Giải Bài 1 Tập Bản Đồ Lớp 7, Vật Lý 6 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập Bản Đồ Địa Lí 7 Bài 38, Giải Bài 29 Địa Lý 12, Giải Bài Tập Hợp Q Các Số Hữu Tỉ, Hóa 12 Giải Bài Tập, Bài Giải Vật Lý 6, Lý 12 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập Lí 9 Bào 8.11, Giải Bài Tập Địa 10 Bài 36, Giải Bài Tập Địa 11, Giải Bài Tập Địa Lý 9, Giải Bài Tập Địa 10, Giải Bài Tập Địa, Giải Bài Tập Bản Đồ, Giải Bài Tập Anh 7, Giải Bài Tập Anh 9, Giải Bài 23 Địa Lí 12, Vật Lý 7 Giải Bài Tập, Giải Bài 20 Vật Lý 9, Bài Giải Vật Lý Lớp 6, Giải Bài Tập 5 Hóa 9, Bài Giải Vật Lý Lớp 7, Giải Bài 2 Hóa 9, Giải Bài Tập Lớp, Giải Bài 2 Tập Bản Đồ Lớp 10, Bài Giải Vật Lý 9, Bài Giải Vật Lý 8, Giải Bài Tập Lớp 1, Giải Bài Tập Anh 10, Xem Bài Giải, Giải Bài Tập Lớp 4, Bài Giải Văn Lớp 6, Giải Bài 1 Vật Lý 9, Giải Bài Tập Lớp 3, Giải Bài Tập Lớp 2, Bài Giải Văn Lớp 8, Bài Giải Vật Lý 7, Giải Bài Tập Lim, Giải Bài Tập Hóa 11, Giải Bài Giải, Giải Bài Tập Hóa 10 Bài 23, Giải Bài Tập Hóa 10 Bài 25, Giải Bài Tập Qua ảnh, Bài Giải Plc, Giải Bài 51 Vật Lý 9, Giải Bài 5.5 Lý 9, Giải Bài 5.3 Vật Lý 7, Giải Bài 5.2 Vật Lý 9, Bài Giải Ngữ âm Và âm Vị Học, Giải Bài 5.2 Vật Lý 7, Giải Bài 5.11 Lý 9, Giải Bài Tập Hoá 12, Giải Bài Tập Hóa 10, Giải Bài Tập T Anh 8, Giải Bài Tập T Anh 7, Giải Bài Tập ư, Giải Bài 8.12 Vật Lý 9, Giải Bài Tập Hoá, Giải Bài 7.7 Sbt Vật Lý 9, Giải Bài 7.10 Vật Lý 9, Giải Bài Tập Hóa 0, Giải Bài 6.2 Sbt Vật Lý 9, Giải Bài 6.12 Vật Lý 9, Giải Bài 6.11 Vật Lý 9,

    Liên Hệ Giải Pháp Xây Dựng Giai Cấp Công Nhân Trong Các Trường Học, Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Ta Trong Giai Đoạn Hiện Nay. , Tiểu Luận Giải Quyết Tranh Chấp Thương Mại Bằng Hòa Giải, Cơ Cấu Xã Hội Giai Cấp Và Liên Minh Giai Cấp Tầng Lớp Trong Thời Kỳ Quá Độ Lên Chủ Nghĩa Xã Hội, Quan Điểm Của Chủ Nghĩa Mác – Lênin Về Cơ Cấu Xã Hội – Giai Cấp Và Liên Minh Giai Cấp, Tầng Lớp Tron, Đảng Lãnh Đạo Giải Quyết Mối Quan Hệ Giữa Độc Lập Dan Tộc Gắn Liền Với Chủ Nghĩa Xã Hội Giai Đoạn 19, Quan Điểm Của Chủ Nghĩa Mác – Lênin Về Cơ Cấu Xã Hội – Giai Cấp Và Liên Minh Giai Cấp, Tầng Lớp Tron, Tại Sao Phải Liên Minh Giai Cấp Công Nhân, Giai Cấp Nông Dân Và Đội Ngũ Trí Thức Trong Thời Kỳ Quá Đ, Tại Sao Phải Liên Minh Giai Cấp Công Nhân, Giai Cấp Nông Dân Và Đội Ngũ Trí Thức Trong Thời Kỳ Quá Đ, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Giai Đoạn Cuộc Cách Mạng 4.0, Tiểu Luận Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Và Sứ Mệnh Lịch Sử Của Nó Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Phân Tích Những Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Các Đồng Chí Hẫy Trình Bày Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Tron Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn H, Các Đồng Chí Hãy Trình Bày Các Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch, Vững Mạnh Trong Giai, Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Các Đồng Chí Hãy Trình Bày Các Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch, Vững Mạnh Trong Giai , Nhiệm Vụ Và Giai Pháp Xây Dựng Đẳn Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Phân Tích Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Lí Luận Về Giai Cấp Và Xung Đột Giai Cấp, Mẫu Giải Trình Giải Thể Chi Đoàn, Lý Luận Về Giai Cấp Và Xung Đột Giai Cấp, Lý Luận Về Giai Cấp Và Xung Đột Giai Cấp Là Của, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Sở Dĩ Được Thực Hiện Bởi Giai Cấp Công Nhân Vì: A. Là Một Gi, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Sở Dĩ Được Thực Hiện Bởi Giai Cấp Công Nhân Vì: A. Là Một Gi, ứng Dụng Giải Bài Giải, Giải Bài Giải Toán Lớp 3, Bài Giải Giải Tích 2, Giải Toán Lớp 4 Bài Giải, Giải Bài Tập Giải Tích 2 7e, Giải Bài Tập Bản Đồ Địa Lí 7 Bài 37, Giải Bài Tập Lớp 6, Giải Bài Tập Bản Đồ 9, Giải Bài Tập Lớp 5, Giải Bài 1 Hóa 9, Giải Bài Tập Bản Đồ 8, Giải Bài 1 Tập Bản Đồ Lớp 7, Vật Lý 6 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập Bản Đồ Địa Lí 7 Bài 38, Giải Bài 29 Địa Lý 12, Giải Bài Tập Hợp Q Các Số Hữu Tỉ, Hóa 12 Giải Bài Tập, Bài Giải Vật Lý 6, Lý 12 Giải Bài Tập, Giải Bài Tập Lí 9 Bào 8.11, Giải Bài Tập Địa 10 Bài 36, Giải Bài Tập Địa 11, Giải Bài Tập Địa Lý 9, Giải Bài Tập Địa 10, Giải Bài Tập Địa, Giải Bài Tập Bản Đồ,

    --- Bài cũ hơn ---

  • Về Otomat Đẩy Xuống Và Ngôn Ngữ Phi Ngữ Cảnh
  • Tải Về Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Sách Miễn Phí Pdf * Thư Viện Sách Hướng Dẫn
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Tải Xuống Miễn Phí * Thư Viện Sách Hướng Dẫn
  • Bài Tập Lớn Nguyên Lý Máy
  • Bài Tập Lớn Nguyên Lý Máy Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Chuỗi

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Tích Calculus 7E (Tập 1)
  • 6 Điều Mà Sinh Viên Đh Giao Thông Vận Tảikhông Thể Không Biết
  • Ngân Hàng Đề Thi Giải Tích 1
  • Giáo Trình Môn Giải Tích 1
  • Giai Tich Ham Nhieu Bien
  • , Student at University of Information Technology

    Published on

    Hướng dẫn giải bài tập chuỗi – Toán cao cấp

    1. 1. Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 CHUỖI CHUỖI SỐ. +∞ 𝑢𝑛 𝑛=1 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑢𝑖 𝑖=1 CÁC LOẠI BÀI TOÁN VỀ CHUỖI. 1.1 Tìm số hạng tổng quát. Dựa vào các số hạng ban đầu, phân tích để tìm ra quy luật và từ đó tìm ra số hạng tổng quát của chuỗi. Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi sau: 1 3 5 7 1 4 7 10 a, 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ b, 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ 3! 5! 7! c, 2.4 + 2.4.6 + 2.4.6.8 + ⋯ Giải. a, Tử số là các số tự nhiên lẻ, mẫu số là các số tự nhiên chẵn, tử số kém mẫu số 1 nên phần tử tổng quát là: 𝑢 𝑛 = 2𝑛−1 2𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, … b, Tử số lập thành cấp số cộng với công sai là d = 3, do đó số hạng tổng quát của nó là 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑑 𝑛 − 1 = 1 + 3 𝑛 − 1 = 3𝑛 − 2, còn mẫu số lập thành cấp số nhân với công bội q = 2, 𝑏 𝑛 = 2 𝑛 . Vậy số hạng tổng quát là: 𝑢 𝑛 = 3𝑛−2 2𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, … c, Ta dễ dàng thấy: 𝑢𝑛 = (2𝑛 + 1)! , 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, … 2. (𝑛 + 1)! 1.2 Tìm tổng của chuỗi số hội tụ. Cách giải. Chuỗi số chỉ có tổng khi nó hội tụ. Phương pháp thường dùng là xác định 𝑆 𝑛 sau đó tìm giới hạn: lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 Ngoài ra có thể tìm bằng cách xác định thong qua tổng của chuỗi hàm (phần này ta sẽ đề cập ở mục chuỗi hàm). Tìm tổng của các chuỗi sau:(nễu có) Ví dụ 2: +∞ 𝑛=1 Giải. Xét tổng riêng thứ n: 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑖=2 1 1 2𝑛 − 3 (2𝑛 − 1) 1 = 2𝑖 − 3 2𝑖 − 1 2 𝑛 𝑖=2 1 1 − 2𝑖 − 3 2𝑖 − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆𝑛 = 1 − + − + ⋯+ − = 1− 2 3 3 5 2𝑛 − 3 2𝑛 − 1 2 2𝑛 − 1
    2. 2. Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 Suy ra: lim 𝑆 𝑛 = 1 𝑛→+∞ 1 2 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 2. Ví dụ 3: +∞ 𝑛 =4 1 𝑛(𝑛 + 1) Giải. Xét tổng riêng thứ n: 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑖=4 1 = 𝑖(𝑖 + 1) 𝑛 1 1 − 𝑖 𝑖+1 𝑖=4 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆𝑛 = − + − + ⋯+ − = − 4 5 5 6 𝑛 𝑛+1 4 𝑛+1 Nên lim 𝑆 𝑛 = 1 𝑛→+∞ 1 4 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 4 Ví dụ 4: +∞ 𝑛=1 1 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4) Giải. 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 = ( + + ) 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4) 8 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 1 1 Đồng nhất hệ số ta tìm được: = 2 , 𝐵 = −1, 𝐶 = 2 . thay vào ta có: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = − + = (( − )−( − )) 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4) 8 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 16 𝑛 𝑛 + 1 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑖=1 1 1 = 2𝑖 2𝑖 + 2 (2𝑖 + 4) 16 1 𝑆𝑛 = 16 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 1 1 1 1 (( − )−( − )) 𝑖 𝑖+1 𝑖+1 𝑖+2 1 1 1 ( − )− 𝑖 𝑖+1 16 𝑛 ( 𝑖=1 1 1 − ) 𝑖+1 𝑖+2 1 1 1 1 1 𝑆𝑛 = 1− − ( − ) 16 𝑛+1 16 2 𝑛 + 2 1 1 1 lim 𝑆 𝑛 = − = 𝑛 →+∞ 16 32 32 1 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 32 Ví dụ 5: +∞ 𝑛 =1 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 𝑛3 (𝑛 + 1)3
    3. 13. Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 +∞ 𝑆 𝑥 = −1 +∞ 1 𝑛 𝑥 + 𝑛 𝑛−1 𝑛=1 −1 𝑛−1 1 𝑥𝑛 𝑛+1 −1 𝑛−1 1 𝑥 𝑛 +1 𝑛+1 −1 𝑛−1 𝑛=1 Với 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ (−1,1] ta có: +∞ 𝑆 𝑥 = 𝑛−1 −1 𝑛=1 +∞ 𝑆 𝑥 = −1 𝑥 𝑛−1 −1 𝑥 1 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑛−1 𝑛=1 𝑥 𝑆 𝑥 = 0 𝑥 +∞ 1 1 𝑑𝑥 − 1+ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛=1 1 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑛 −1 0 𝑆 𝑥 = 0 𝑥 𝑛−1 𝑛=1 𝑥 +∞ +∞ 1 𝑛 1 𝑥 + 𝑛 𝑥 ( 0 +∞ 𝑥 0 𝑛=1 𝑥 +∞ 𝑛−1 −1 0 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛=1 −1 𝑛 𝑥 𝑛 − 1)𝑑𝑥 𝑛=0 𝑥 1 − 1)𝑑𝑥 0 0 1+ 𝑥 𝑥 1 𝑆 𝑥 = ln 1 + 𝑥 + ( )𝑑𝑥 0 1+ 𝑥 𝑆 𝑥 = ln 1 + 𝑥 + ln 1 + 𝑥 = 2ln⁡ + 𝑥) (1 Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: 𝑆 𝑥 = 1 1 𝑑𝑥 − 1+ 𝑥 𝑥 +∞ ( 𝑒 −𝑛𝑥 𝑛 𝑛=1 Giải. Miền hội tụ của chuỗi hàm này là 0, +∞ +∞ 𝑆 𝑥 = 𝑛 =1 𝑥 +∞ 𝑆 𝑥 =− (𝑒 0 +∞ 𝑒 −𝑛𝑥 = 𝑛 −𝑥 𝑥 − 𝑒 −𝑛𝑥 0 𝑥 𝑛 0 𝑥 1 𝑑𝑥 = 1 − 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛=1 𝑥 0 𝑒 𝑑𝑥 = −ln⁡ 𝑥 − 1) (𝑒 𝑒 −1 0 – Đưa về nghiệm của phương trình vi phân: Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: 𝑆 𝑥 =− 𝑥 +∞ 𝑛=0 𝑥 𝑛 +1 2𝑛 ‼ Giải. Miền hội tụ của chuỗi hàm này là −∞, +∞ +∞ 𝑆 𝑥 = 𝑥 𝑛 =0 𝑒 −𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = − 0 𝑛=1 ) 𝑑𝑥 = − 𝑛 =1 𝑥 +∞ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑓(𝑥) 2 𝑛 𝑛! 1 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 − 1
    4. 14. Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 +∞ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛 =1 1 Vậy 𝑓 ′ 𝑥 = 2 𝑓 𝑥 ⇒ Do 𝑓 𝑥 = 𝑛 +∞ 𝑥 𝑛=0 2 𝑛 𝑛! +∞ 𝑥 𝑛 −1 1 = 2𝑛 𝑛−1 ! 2 𝑓′ 𝑥 𝑛=1 1 = 2 ⇒ ln 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑛 −1 1 = 2 𝑛 −1 𝑛 − 1 ! 2 +∞ 𝑛=0 𝑥𝑛 1 = 𝑓 𝑥 2 𝑛 𝑛! 2 1 =2 𝑥+ 𝐶 nên 𝑓 0 = 1 ⇒ ln 𝑓 0 =0= 𝐶 Suy ra: ln 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 Hay 1 𝑓 𝑥 = 𝑒2 𝑥 1 𝑆 𝑥 = 𝑥𝑒 2 𝑥 Ta cũng có thể thực hiện bằng cách: +∞ 𝑥𝑛 = 𝑥 2 𝑛 𝑛! 𝑆 𝑥 = 𝑥 𝑛=0 +∞ 𝑥 (2) 𝑛 𝑛=0 𝑛! 𝑥 = 𝑥𝑒 2 Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: +∞ 𝑎𝑛 𝑥𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 𝑎1 = 1, 𝑎 𝑛+1 = 𝑛=0 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛 𝑛+1 Giải. 𝑎 𝑛 = 𝑛 + 1 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛−1 +∞ +∞ 𝑛 𝑆 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑛=0 +∞ 𝑛 𝑎 𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑛=1 +∞ 𝑆 𝑥 = 𝑎0 + 𝑛=1 𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛=1 𝑛=1 +∞ 𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛 +1 ′ − 𝑥 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 𝑛=1 𝑛+1 +∞ ′ 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥 − 𝑥 +∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑛=0 𝑆 𝑥 = 𝑆 ′ 𝑥 − 𝑥𝑆 𝑥 ⇔ 𝑆 ′ 𝑥 = 1 + 𝑥 𝑆 𝑥 ⇒ 𝑆 𝑥 = 𝐶𝑒 𝑛=0 +∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ′ − 𝑎1 − 𝑥 𝑆 𝑥 = 𝑎0 + Do 𝑆 𝑜 = 𝑎0 = 1 = 𝐶 nên: 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛 (𝑛 + 1)𝑎 𝑛+1 𝑥 − 𝑛=1 𝑆 𝑥 = 𝑎0 + +∞ +∞ 𝑛 (1+𝑥)𝑑𝑥 𝑥2 = 𝐶𝑒 𝑥+ 2 𝑥2 𝑆 𝑥 = 𝑒 𝑥+ 2 𝑆′ 𝑥 = (1 + 𝑥) 𝑆 𝑥

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tích Phân Hàm Phân Thức Luyện Thi Đại Học
  • Bài Giảng Giải Tích 1
  • Toán Giải Tích 12 Bài 1
  • 10 Dạng Tích Phân Thường Gặp Thanh Tùng
  • Sách Giáo Khoa Giải Tích Lớp 12
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Xác Suất

    --- Bài mới hơn ---

  • Giai Sach Bai Tap Xstk Dh Ktqd Chuong 1 Full V1
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 1
  • Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 1
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 2
  • HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    PHẦN I: XÁC SUẤT… 1

    CHƢƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ … 1

    A. LÝ THUYẾT… 1

    1.1. Một số khái niệm cơ bản… 1

    1.2. Xác suất của biến cố … 2

    1.3. Các quy tắc tính xác suất … 3

    1.4. Công thức Bernoulli… 3

    1.5. Xác suất có điều kiện. Quy tắc nhân tổng quát… 3

    1.6. Công thức xác suất đầy đủ … 4

    1.7. Công thức Bayes… 4

    B. BÀI TẬP … 4

    1.1. Bài tập trong giáo trình 1 (G1) … 4

    1.2. Nhận xét bài tập chương 1 … 18

    CHƢƠNG 2: ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC … 20

    A. LÝ THUYẾT… 20

    2.1. Phân bố xác suất và hàm phân bố … 20

    2.2. Một số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc … 20

    2.3. Phân bố đồng thời và hệ số tương quan… 21

    2.4. Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc… 22

    2.5. Phân bố nhị thức … 23

    2.6. Phân bố Poisson… 23

    B. BÀI TẬP … 24

    2.1. Bài tập trong giáo trình 1 (G1) … 24

    2.2. Nhận xét bài tập chương 2 … 40

    CHƢƠNG 3: ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC … 41

    A. LÝ THUYẾT… 41

    3.1. Hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất … 41

    3.2. Một số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục… 41

    3.3. Hàm của đại lượng ngẫu nhiên liên tục … 42

    3.4. Phân bố chuẩn… 42

    3.5. Phân bố mũ … 43

    3.6. Phân bố đều… 44

    B. BÀI TẬP … 45

    3.1. Bài tập trong giáo trình 1 (G1) … 45

    3.2. Nhận xét bài tập chương 3 … 63

    PHẦN II: THỐNG KÊ … 64

    CHƢƠNG 4: BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ… 64

    A. LÝ THUYẾT… 64

    4.1. Một số kiến thức chuẩn bị thêm cho phần thống kê … 64

    4.2. Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu… 66

    4.3. Ước lượng điểm…67

    4.4. Ước lượng khoảng…68

    4.5. Số quan sát cần thiết để có sai số (hoặc độ tin cậy) cho trước …69

    B. BÀI TẬP…70

    4.1. Bài tập trong giáo trình 2 (G2)…70

    4.2. Nhận xét bài tập chương 4…80

    CHƢƠNG 5: BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT…81

    A. LÝ THUYẾT …81

    5.1. Kiểm định giả thiết cho giá trị trung bình …81

    5.2. Kiểm định giả thiết cho phương sai …82

    5.3. Kiểm định giả thiết cho tỷ lệ (hay xác suất)…82

    5.4. So sánh hai giá trị trung bình …83

    5.5. So sánh hai phương sai…84

    5.6. So sánh hai tỷ lệ (hay hai xác suất) …84

    5.7. Tiêu chuẩn phù hợp Khi bình phương…85

    5.8. Kiểm tra tính độc lập…86

    5.9. So sánh nhiều tỷ lệ …86

    B. BÀI TẬP…87

    5.1. Bài tập trong giáo trình 2 (G2)…87

    5.2. Nhận xét bài tập chương 5…113

    CHƢƠNG 6: BÀI TOÁN TƢƠNG QUAN VÀ HỒI QUY …114

    A. LÝ THUYẾT …114

    6.1. Hệ số tương quan mẫu…114

    6.2. Đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm …114

    B. BÀI TẬP…115

    6.1. Bài tập trong giáo trình 2 (G2)…115

    6.2. Nhận xét bài tập chương 6…117

    MỘT SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ …118

    1. Đề thi cuối kỳ II năm học 2012 – 2013…118

    2. Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014 …126

    3. Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014…134

    4. Đề thi cuối kỳ phụ – hè năm 2014 …141

    5. Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2022 …148

    6. Đề thi cuối kỳ II năm học 2014 – 2022…154

    PHỤ LỤC…160

    P.1. Kiến thức chuẩn bị …160

    P.2. Tính toán chỉ số thống kê bằng máy tính bỏ túi…162

    P.3. Tính toán xác suất thống kê bằng hàm trong Excel …166

    P.4. Bảng tra cứu một số phân bố thường gặp …170

    TÀI LIỆU THAM KHẢO…183

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Xác Suất Thống Kê
  • Đáp Án Bài Tập Workbook More 1
  • Giải Bài Tập Workbook Think 1
  • Writing Unit 3 Sách Giáo Khoa Tiếng Anh Lớp 10 Giải Bài Tập Dịch Nghĩa
  • Giải Bài Tập Sách Solutions Grade 6 Workbook
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Sinh Học 9

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sinh Học 9 Bài 28. Phương Pháp Nghiên Cứu Di Truyền Người
  • Đề Tài Hình Thành Kĩ Năng Giải Bài Tập Di Truyền Sinh Học 9
  • Tài Liệu Hình Thành Kĩ Năng Giải Bài Tập Di Truyền Sinh Học 9
  • Hình Thành Kĩ Năng Giải Bài Tập Di Truyền Sinh Học 9
  • Skkn Hình Thành Kĩ Năng Giải Bài Tập Di Truyền Sinh Học 9
  • Cuốn sách Hướng dẫn giải bài tập sinh học 9 được biên soạn theo chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, cung cấp cho các em học sinh các kiến thức, bài giải giúp các em học tốt môn sinh học 9.

    Nội dung cuốn sách là giải đáp kiến thức, câu hỏi và bài tập trong từng bài học của Sách giáo khoa Sinh học lớp 9.

    Cuốn sách gồm hai phần chính:

    Chương 1: Các thí nghiệm của Menđen

    Bài 1: Menđen và Di truyền học

    Bài 2: Lai một cặp tính trạng

    Bài 3: Lai một cặp tính trạng (tiếp theo)

    Bài 4: Lai hai cặp tính trạng

    Bài 5: Lai hai cặp tính trạng (tiếp theo)

    Bài 6: Thực hành : Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại

    Bài 7: Bài tập chương I

    Chương 2: Nhiễm sắc thể

    Bài 8: Nhiễm sắc thể

    Bài 9: Nguyên phân

    Bài 10: Giảm phân

    Bài 11: Phát sinh giao tử và thụ tinh

    Bài 12: Cơ chế xác định giới tính

    Bài 13: Di truyền liên kết

    Bài 14: Thực hành: Quan sát hình thái nhiễm sắc thể

    Chương 3: ADN và Gen

    Bài 16: ADN và bản chất của gen

    Bài 17: Mối quan hệ giữa gen và ARN

    Bài 18: Prôtêin

    Bài 19: Mối quan hệ giữa gen và tính trạng

    Bài 20: Thực hành : Quan sát và lắp mô hình ADN

    Chương 4: Biến dị

    Bài 21: Đột biến gen

    Bài 22: Đột biến cấu trúc nhiễm sắc thể

    Bài 23: Đột biến số lượng nhiễm sắc thể

    Bài 24: Đột biến số lượng nhiễm sắc thể (tiếp theo)

    Bài 25: Thường biến

    Bài 26: Thực hành : Nhận biết một vài dạng đột biến

    Bài 27: Thực hành : Quan sát thường biến

    Chương 5: Di truyền học người

    Bài 28: Phương pháp nghiên cứu di truyền người

    Bài 29: Bệnh và tật di truyền ở người

    Bài 30: Di truyền học với con người

    Chương 6: Ứng dụng di truyền

    Bài 31: Công nghệ tế bào

    Bài 32: Công nghệ gen

    Bài 33: Gây đột biến nhân tạo trong chọn giống

    Bài 34: Thoái hóa do tự thụ phấn và do giao phối gần

    Bài 35: Ưu thế lai

    Bài 36: Các phương pháp chọn lọc

    Bài 37: Thành tựu chọn giống ở Việt Nam

    Bài 38: Thực hành : Tập dượt thao tác giao phấn

    Bài 39: Thực hành : Tìm hiểu thành tựu chọn giống vật nuôi và cây trồng

    Bài 40: Ôn tập phần di truyền và biến dị

    Chương 1: Sinh vật và môi trường

    Bài 41: Môi trường và các nhân tố sinh thái

    Bài 42: Ảnh hưởng của ánh sáng lên đời sống sinh vật

    Bài 43: Ảnh hưởng của nhiệt độ và độ ẩm lên đời sống sinh vật

    Bài 44: Ảnh hưởng lẫn nhau giữa các sinh vật

    Bài 45-46: Thực hành : Tìm hiểu môi trường và ảnh hưởng của một số nhân tố sinh thái lên đời sống sinh vật

    Chương 2: Hệ sinh thái

    Bài 47: Quần thể sinh vật

    Bài 48: Quần thể người

    Bài 49: Quần thể xã sinh vật

    Bài 50: Hệ sinh thái

    Bài 51-52: Thực hành : Hệ sinh thái

    Chương 3: Con người, dân số và môi trường

    Bài 53: Tác động của con người đối với môi trường

    Bài 54: Ô nhiễm môi trường

    Bài 55: Ô nhiễm môi trường (tiếp theo)

    Bài 56-57: Thực hành : Tìm hiểu tình hình môi trường ở địa phương

    Chương 4: Bảo vệ môi trường

    Bài 58: Sử dụng hợp lí tài nguyên thiên nhiên

    Bài 59: Khôi phục môi trường và giữ gìn thiên nhiên hoang dã

    Bài 60: Bảo vệ đa dạng các hệ sinh thái

    Bài 61: Luật bảo vệ môi trường

    Bài 62: Thực hành : Vận dụng Luật bảo vệ môi trường vào việc bảo vệ môi trường ở địa phương

    Bài 63: Ôn tập phần sinh vật và môi trường

    Bài 64: Tổng kết chương trình toàn cấp

    Bài 65: Tổng kết chương trình toàn cấp (tiếp theo)

    Bài 66: Tổng kết chương trình toàn cấp (tiếp theo)

    CLICK LINK DOWNLOAD EBOOK TẠI ĐÂY

    --- Bài cũ hơn ---

  • Di Truyền Liên Kết: Bài Tập 1,2,3,4 Trang 43 Sinh Học 9
  • Giải Bài Tập Trang 43 Sgk Sinh Lớp 9: Di Truyền Liên Kết
  • Hướng Dẫn Hs Giải Bài Tập Di Truyền Nhóm Máu Và Phả Hệ
  • Ôn Tập Sinh Học 9 Chương 3 Dna Và Gen
  • Giải Bài Ôn Tập Chương 1 Sinh 9: Bài 1,2,3,4,5 Trang 22,23
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Tải Xuống Miễn Phí * Thư Viện Sách Hướng Dẫn

    --- Bài mới hơn ---

  • Tải Về Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Sách Miễn Phí Pdf * Thư Viện Sách Hướng Dẫn
  • Về Otomat Đẩy Xuống Và Ngôn Ngữ Phi Ngữ Cảnh
  • Giải Bài Tập Op Amp
  • Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 4 Tập 2
  • Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 3 Tập 1
  • Trên trang này chúng tôi đã thu thập cho bạn tất cả các thông tin về Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy sách, nhặt những cuốn sách, bài đánh giá, đánh giá và liên kết tương tự để tải về miễn phí, những độc giả đọc sách dễ chịu. Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý MáyCuốn sách gồm 13 chương, bao gồm các bài tập đã giải sẵn và một số bài tập tương ứng để sinh viên tự giải. Các bài tập đã giải sẵn mang tính chất định hướng theo trình tổng quát đơn thuần đến phức tạp mang tính chất thiết kế. Cuốn sách có thêm phần đề tài bài tổng hợp để thực hiện bài tập lớn của môn học, mục đích để người học thấy được sự liên hệ, đặc điểm làm việc và sự truyền tải của các khâu, các chi tiết trong máy khi chuyển động. Bài tập tổng hợp này có tính chất ôn lại và tổng hợp các phần đã học để có thể tính toán, thiết kế các cơ cấu của một máy cụ thể với những yêu cầu đã cho.Các bài tập có thể giải bằng phương pháp giải tích với sự hỗ trợ của máy tính, đồng thời qua đó ứng dụng máy tính để tổng hợp các bài tập lớn và thực hiện các bản vẽ một cách nhanh chóng và chính xác Xem Thêm Nội Dung Cổng thông tin – Thư viện Sách hướng dẫn hy vọng bạn thích nội dung được biên tập viên của chúng tôi thu thập trên Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy và bạn nhìn lại chúng tôi, cũng như tư vấn cho bạn bè của bạn. Và theo truyền thống – chỉ có những cuốn sách hay cho bạn, những độc giả thân mến của chúng ta.

    Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy chi tiết

    • Tác giả: ThS. Trần Ngọc Nhuần
    • Nhà xuất bản: Nhà Xuất Bản Khoa học & kỹ thuật
    • Ngày xuất bản:
    • Che: Bìa mềm
    • Ngôn ngữ:
    • ISBN-10: 2442591421396
    • ISBN-13:
    • Kích thước: 16 x 24 cm
    • Cân nặng:
    • Trang:
    • Loạt:
    • Cấp:
    • Tuổi tác:

    Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy từ các nguồn khác

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Lớn Nguyên Lý Máy
  • Bài Tập Lớn Nguyên Lý Máy Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự
  • Bài Tập Nguyên Lý Kế Toán Có Kèm Lời Giải Chi Tiết (Phần 2)
  • Bài Tập Nguyên Lý Kế Toán Kèm Lời Giải
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Môn Nguyên Lý Thống Kê
  • Hướng Dẫn Giải Đề Toeic

    --- Bài mới hơn ---

  • Giới Trẻ 2 Miền ‘sốt’ Trào Lưu Game Nhập Vai Escape The Room
  • Escape Room: Tựa Phim Kinh Dị Về Trò Chơi Giải Đố Sinh Mệnh Đang Siêu Hot Trên Netflix
  • Top 5 Game Mobile Khiến Bạn ‘điên Đảo’ Giải Mã Những Câu Đố
  • Nín Thở Với Những Màn Giải Đố Và Đào Thoát Kịch Tính Trong “escape Room”
  • Trò Giải Đố ‘escape Room’ Lên Phim Với Phần Thưởng 1 Triệu Usd Nhưng Phải Trả Giá Bằng Mạng Sống Của Người Chơi
  • Đây là Video hướng dẫn giải đề TOEIC ETS 2022 TEST 10 do đội ngũ giáo viên Halo biên soạn và dựng thành các video. Giúp các học viên có thể dễ dàng luyện tập ở nhà. Bộ video này sẽ gồm có 7 video tương ứng với 7 phần trong đề ETS2019 Test 10.

    Ứng với mỗi Part sẽ là 1 video giới thiệu sơ qua về nội dung của phần đó, và sẽ đưa ra các chiến lược làm bài, các dạng câu hỏi và các bẫy thường gặp trong phần đó.

    Mỗi câu hỏi sẽ có phần hướng dẫn chi tiết bao gồm phần dịch, phân tích câu hỏi, đưa ra dự đoán, nghe Audio của bài nghe và nội dung của bài đọc và cuối cùng là cùng nhau check đáp án chính xác.

    Bây giờ bạn hãy chuẩn bị giấy bút và bắt đầu vào bài học thôi nào !!!

    Bộ video hướng dẫn giải đề TOEIC ETS 2022 Test 10

    Hướng dẫn giải Part 1 đề Test 10 ETS 2022 LC

    Đối với phần Listening Part 1 bài nghe hình, Thì chiến thuật để làm bài phần này bạn cần phải làm 3 bước:

    Bước 1: Xem hình ➡️ Brainstorm ➡️ Đoán câu

    Bước 2: Tập trung ➡️ Động từ

    Bước 3: Nhận dạng các đáp án sai ➡️ Bẫy đồng âm/ Người, vật không có/ Mô tả sai/ Mô tả tình huống không căn cứ.

    Hướng dẫn giải Part 2 Test 10 ETS 2022 LC

    Part 2 trong phần Nghe Toeic được đánh giá là phần “dễ kiếm điểm”. Do đó, nếu muốn đạt điểm cao thì bạn phải chắn chắn làm đúng trên 70% số câu hỏi trong phần này. Để có thể làm tốt phần này thì Halo CÓ 2 CHIẾN THUẬT dành cho bạn

    1. Phân dạng câu hỏi

    ➡️ Nghe từ khóa

    ➡️ Loại đáp án/ Chọn đáp án Có các dạng câu hỏi sau:

    – Câu hỏi WH (What, Who, When, Why, Where, How, …)

    – Câu hỏi Yes/No (Câu hỏi thường/ Câu hỏi phủ định, Câu hỏi lồng ghép)

    – Câu hỏi OR

    – Câu hỏi yêu cầu xin phép

    – Câu hỏi thông báo

    – Câu hỏi đuôi

    Hướng dẫn giải Part 3 Test 10 ETS 2022 LC

    Listening part 3 gồm những gì

    ✔️ Đoạn hội thoại ngắn

    ✔️ Mỗi đoạn có 03 câu hỏi.

    ✔️ Nhiệm vụ: chọn ra câu trả lời đúng nhất trong 04 đáp án của đề thi.

    Hướng dẫn giải Part 4 Test 10 ETS 2022 LC

    Đối với Part 4 bạn cần Đọc trước câu hỏi và dự đoán đáp án là bước làm bài rất cần thiết khi luyện nghe TOEIC. Để tận dụng hiệu quả từ phương pháp này, bạn nên làm theo những bước sau:

    ▶ Bước 1: Bắt đầu mỗi đoạn hội thoại luôn có một phần hướng dẫn, và thời gian này đủ để cho bạn có thể đọc một lượt qua câu hỏi và 4 đáp án. Cố gắng nhớ nội dung của câu hỏi và 4 đáp án án càng tốt.

    ▶ Bước 2: Sau khi phần hội thoại được phát, tập trung 1 tỉ % để nghe. Nghe hiểu lời thoại chứ không nên chăm chăm nhìn vào câu hỏi và 4 đáp án. Bởi vì đa số người ta sẽ đề cập đến cả 4 đáp án. Sau khi có đáp án đúng, điền ngay vào Answer Sheet.

    ▶ Bước 3: Khi đoạn băng đọc đến câu hỏi và đáp án của phần hội thoại đó cũng là lúc bạn đọc trước câu hỏi của đoạn hội thoại tiếp theo để đưa ra những dự đoán của riêng mình.

    Các bước làm bài nên lặp lại theo quy trình trên.

    Tiếp theo chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài tập trong phần Reading bao gồm Part 5, 6, 7 trong Test 10 của đề ETS 2022

    Hướng dẫn giải Part 5 Test 10 ETS 2022 RC

    Đối với Part 5 phần Reading trong đề thi TOEIC có dạng đề là Hoàn thành câu (Incomplete Sentence) và có 30 câu hỏi (từ câu 101-130)

    Loại 1: Meaning (Nghĩa của từ)

    Loại 2: Preposition (Giới từ)

    Loại 3: Word form (Từ loại)

    Loại 4: Connecting word and Adverb-clause (Từ nối và Mệnh đề trạng ngữ)

    Loại 5: Relative Pronoun (Đại từ quan hệ)

    Loại 6: Pronoun / Reflexive / Possessive adjectives (Đại từ, đại từ phản thân, tính từ sở hữu)

    Part 5 được đánh giá là “dễ nhai”, bởi kiến thức ngữ pháp bạn đã được học qua từ cấp 2, 3, chỉ cần ôn lại nếu bị quên đôi chút.

    Tóm lại, để làm tốt phần này, các bạn không chỉ cần nắm vững ngữ pháp và từ vựng, mà quan trọng hơn phải biết phân bổ thời gian làm bài hợp lý.

    Hướng dẫn giải Part 6 Test 10 ETS 2022 RC

    Toeic Part 6 có 16 câu hỏi dạng bài tập là hoàn thành đoạn văn.

    Text Completion (Hoàn thành đoạn văn) Số câu hỏi: 16 câu hỏi 🔷

    Câu hỏi sẽ về từ loại, ngữ pháp, từ vựng, điền câu.

    💡 Một số cách làm cần nhớ

    1. Xác định từ loại cần điền

    – Sau giới từ là danh từ

    – Trước danh từ là tính từ

    – Trước tính từ là trạng từ

    – Giữa To be và V-ing/ V-ed là trạng từ

    – Từ có đuôi ment, tion, sion thường là danh từ

    – Từ có đuôi ful, less, ous, tive, sive thường là tính từ

    – Từ có đuôi ing, ed là tính từ hoặc thể của động từ (trong đó ing ở thể chủ động và ed ở bị động)

    2. Học các từ thường đi chung với nhau

    – Take over: phụ trách, tiếp quản hoặc là nắm quyền kiểm soát hoặc thay thế ai hay cái gì đó.

    – Give place to :nhường chỗ

    – Pay attention to :chú ý

    – Put an end to :kết thúc

    – Keep correspondence with :liên lạc thư từ

    – Make a decision on :quyết định

    3️⃣ Lưu ý thì của các câu: ôn lại cách sử dụng của các thì hiện tại đơn, quá khứ đơn, hiện tại tiếp diễn, …

    Xem hướng dẫn chi tiết cách giải ở Video bên dưới

    Hướng dẫn giải Part 7 Test 10 ETS 2022 RC

    Mọi người thường đánh giá bài thi Toeic Part 7 “khó nhằn” vì

    1. Bài văn càng dài hơn

    2. Đa dạng về ngữ pháp và từ vựng

    3. Càng về sau càng đuối và kiệt sức

    Vậy làm sao để làm phần này vừa NHANH vừa CHÍNH XÁC ❓❓❓

    Hướng dẫn giải các câu hỏi của Part 7 trong phần Reading từ câu 151 đến câu 152

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Đề Ets 2022 Listening Part 3 Test 2
  • Video Giải Đề Chi Tiết Bộ Đề Toeic Ets Format Mới 2022
  • Hướng Dẫn Giải Đề Ets 2022 Listening Part 3 Test 4
  • Giải Đề Ets 2022 Listening Part 4 Test 7
  • Hướng Dẫn Giải Đề Ets 2022 Listening Part 3 Test 3
  • Tải Về Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Sách Miễn Phí Pdf * Thư Viện Sách Hướng Dẫn

    --- Bài mới hơn ---

  • Về Otomat Đẩy Xuống Và Ngôn Ngữ Phi Ngữ Cảnh
  • Giải Bài Tập Op Amp
  • Giải Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 4 Tập 2
  • Bài Tập Phát Triển Năng Lực Môn Toán Lớp 3 Tập 1
  • Bài Tập Phát Triển Năng Lực Học Toán Cho Học Sinh Lớp 5 (Tập 1)
  • Định dạng PDF là gì? Đây là một định dạng tài liệu đề cập đến tài liệu điện tử Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF và các loại sau. Đây là định dạng tập tin phổ quát được phát triển bởi Adobe, và tất cả các phông chữ, định dạng, đồ hoạ và màu sắc của tài liệu nguồn được bảo toàn cho dù ứng dụng hoặc nền tảng được sử dụng để tạo ra chúng. Trong những năm đầu, chúng tôi công bố tài liệu trên máy tính để bàn sử dụng Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Định dạng PDF và trao đổi tài liệu giữa các chương trình khác nhau và hệ điều hành. Do sự độc lập nền tảng, nó lan truyền trên Internet như một phương tiện trao đổi tài liệu. Điều này đã làm tăng việc thực hiện công nghiệp phần mềm và chiếm vị trí thống lĩnh như là một dạng tài liệu được cấy ghép. Để hiển thị sách bằng PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy định dạng, phần mềm đặc biệt cần thiết tại thời điểm hiện tại là cần thiết. Tuy nhiên, Adobe cung cấp cho Acrobat Reader, bạn có thể tải xuống miễn phí và xem cuốn sách rõ ràng. Ngoài ra, hầu hết các trình duyệt đều có plugin để hiển thị Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Tập tin PDF. Tạo tài liệu PDF bằng PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy thường là một hoạt động rất đơn giản, tùy thuộc vào gói phần mềm bạn sử dụng, nhưng chúng tôi khuyên bạn nên Adobe. Các phần mềm khác sẽ giúp bạn mở PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy sẽ bao gồm LibreOffice và Wordperfect (phiên bản 9 trở lên). Nếu bạn chuyển đổi một tài liệu hiện có sang PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy hoặc chuyển đổi tài liệu PDF sang định dạng tập tin khác, bạn có thể chuyển đổi tài liệu sang PDF. Nhiều nhà phát triển cung cấp phần mềm chuyển đổi PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy để định dạng khác nhau, nhưng tôi khuyên bạn nên nó để Adobe. Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý MáyCuốn sách gồm 13 chương, bao gồm các bài tập đã giải sẵn và một số bài tập tương ứng để sinh viên tự giải. Các bài tập đã giải sẵn mang tính chất định hướng theo trình tổng quát đơn thuần đến phức tạp mang tính chất thiết kế. Cuốn sách có thêm phần đề tài bài tổng hợp để thực hiện bài tập lớn của môn học, mục đích để người học thấy được sự liên hệ, đặc điểm làm việc và sự truyền tải của các khâu, các chi tiết trong máy khi chuyển động. Bài tập tổng hợp này có tính chất ôn lại và tổng hợp các phần đã học để có thể tính toán, thiết kế các cơ cấu của một máy cụ thể với những yêu cầu đã cho.Các bài tập có thể giải bằng phương pháp giải tích với sự hỗ trợ của máy tính, đồng thời qua đó ứng dụng máy tính để tổng hợp các bài tập lớn và thực hiện các bản vẽ một cách nhanh chóng và chính xác Xem Thêm Nội Dung Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF đại diện cho định dạng của tài liệu sẽ được chuyển. Trong trường hợp này, định dạng sách điện tử được sử dụng để hiển thị các tài liệu dưới dạng điện tử, bất kể phần mềm, phần cứng hoặc hệ điều hành, được xuất bản dưới dạng sách (Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF). Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Định dạng PDF được phát triển bởi Adobe Systems như là một định dạng tương thích phổ quát dựa trên PostScript bây giờ Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Sách PDF. Điều này sau đó đã trở thành một tiêu chuẩn quốc tế về trao đổi tài liệu và thông tin dưới dạng PDF. Adobe từ chối kiểm soát việc phát triển tệp PDF trong ISO (Tổ chức Tiêu chuẩn hoá Quốc tế) và sách Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF trong năm 2008, nhưng PDF đã trở thành một “tiêu chuẩn mở” của nhiều sách. Các đặc điểm kỹ thuật của phiên bản hiện tại của PDF Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy (1.7) được mô tả trong ISO 32000. Ngoài ra, ISO sẽ chịu trách nhiệm cập nhật và phát triển các phiên bản trong tương lai (Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF 2.0, tuân thủ ISO 3200-2, sẽ được công bố vào năm 2022). Vui lòng tải xuống Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy PDF sang trang của chúng tôi miễn phí.

    Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy chi tiết

    • Tác giả: ThS. Trần Ngọc Nhuần
    • Nhà xuất bản: Nhà Xuất Bản Khoa học & kỹ thuật
    • Ngày xuất bản:
    • Che: Bìa mềm
    • Ngôn ngữ:
    • ISBN-10: 2442591421396
    • ISBN-13:
    • Kích thước: 16 x 24 cm
    • Cân nặng:
    • Trang:
    • Loạt:
    • Cấp:
    • Tuổi tác:

    Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Bởi Pdf tải torrent miễn phí

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Lý Máy Tải Xuống Miễn Phí * Thư Viện Sách Hướng Dẫn
  • Bài Tập Lớn Nguyên Lý Máy
  • Bài Tập Lớn Nguyên Lý Máy Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự
  • Bài Tập Nguyên Lý Kế Toán Có Kèm Lời Giải Chi Tiết (Phần 2)
  • Bài Tập Nguyên Lý Kế Toán Kèm Lời Giải
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Sbt Vật Lý Lớp 8 Bài 22: Dẫn Nhiệt

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Sgk Vật Lý Lớp 8 Bài 22: Dẫn Nhiệt
  • Giải Bài Tập Môn Vật Lý Lớp 8 Bài 21: Dẫn Nhiệt
  • Giải Sbt Vật Lý 7: Bài 8: Gương Cầu Lõm
  • Giải Sbt Vật Lý 7 Bài 8: Gương Cầu Lõm
  • Giải Lý Lớp 7 Bài 8: Gương Cầu Lõm
  • Hướng dẫn giải bài tập SBT Vật lý lớp 8 bài 22: Dẫn nhiệt

    Bài 22.1 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Trong các cách sắp xếp vật liệu dẫn nhiệt từ tốt hơn đến kém hơn sau đây, cách nào là đúng?

    A. Đồng, nước, thủy tinh, không khí.

    B. Đồng, thủy tinh, nước, không khí.

    C. Thủy tinh, đồng, nước, không khí.

    D. Không khí, nước, thủy tinh, đồng.

    Giải

    Chọn B. Đồng, thủy tinh, nước, không khí.

    Bài 22.2 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Trong sự dẫn nhiệt, nhiệt tự truyền

    A. từ vật có nhiệt năng lớn hơn sang vật có nhiệt năng nhỏ hơn.

    B. từ vật có khối lượng lớn hơn sang vật có khối lượng nhỏ hơn.

    C. từ vật có nhiệt độ cao hơn sang vật có nhiệt độ thấp hơn.

    D. Cả 3 câu trả lời trên đều đúng.

    Giải

    Chọn C. từ vật có nhiệt độ cao hơn sang vật có nhiệt độ thấp hơn.

    Bài 22.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Tại sao khi rót nước sôi vào cốc thủy tinh thì cốc dày dễ bị vỡ hơn cốc mỏng? Muốn cốc khỏi bị vỡ khi rót nước sôi vào thì làm thế nào?

    Giải

    Rót nước sôi vào cốc dày thì lớp thủy tinh bên trong nóng lên trước, nở ra và làm vỡ cốc. Nếu cốc mỏng thì cốc nóng lên đều và không bị vỡ.

    Vì vậy, muốn cốc khỏi bị vỡ khi rót nước sôi vào thì người ta thường nhúng cốc thủy tinh vào nước ấm trước để cốc nóng đều và không bị vỡ.

    Bài 22.4 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Đun nước bằng ấm nhôm và bằng ấm đất trên cùng một bếp lửa thì nước trong ấm nào sẽ chóng sôi hơn?

    Giải

    Ấm nhôm sẽ chóng sôi hơn do nhôm là chất dẫn nhiệt tốt hơn đất.

    Bài 22.5 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Tại sao về mùa lạnh khi sờ vào miếng đồng ta cảm thấy lạnh hơn khi sờ vào miếng gỗ ? Có phải vì nhiệt độ của đồng thấp hơn của gỗ không?

    Giải

    Do đồng dẫn nhiệt tốt hơn nên ta thấy lạnh hơn khi sờ vào miếng gỗ.

    Không phải do nhiệt độ của đồng thấp hơn của gỗ.

    Bài 22.6 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Một hòn bi chuyến động nhanh va chạm vào một hòn bi chuyển động chậm hơn sẽ truyền một phần động năng của nó cho hòn bi này và chuyển động chậm đi trong khi hòn bi chuyên động chậm hơn sẽ chuyển động nhanh lên. Hiện tượng này tương tự như hiện tượng truyền nhiệt năng giữa các phân tử trong sự dẫn nhiệt.

    Hãy dùng sự tương tự này để giải thích hiện tượng xảy ra khi thả một miếng đồng được nung nóng vào một cốc nước lạnh.

    Giải:

    Khi thả miếng đồng được nung nóng vào nước thì các phân tử đồng sẽ truyền một phần động năng cho các phân tử nước. Kết quả là động năng của các phân tử đồng giảm, còn động năng của các phân tử nước tăng, do đó đồng lạnh đi còn nước nóng lên.

    Bài 22.7 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Dẫn nhiệt là hình thức truyền nhiệt chủ yếu của

    A. chất rắn

    B. chất khí và chất lỏng

    C. chất khí

    D. chất lỏng

    Giải

    Chọn A. chất rắn

    Bài 22.8 trang 60 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Bản chất của sự dẫn nhiệt là

    A. sự truyền nhiệt độ từ vật này đến vật khác

    B. sự truyền nhiệt năng từ vật này đến vật khác

    C. sự thực hiện công từ vật này lên vật khác

    D. sự truyền động năng của các nguyên tử, phân tử này sang các nguyên tử, phân tử khác.

    Giải

    Chọn D. sự truyền động năng của các nguyên tử, phân tử này sang các nguyên tử, phân tử khác.

    Bài 22.9 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Sự dẫn nhiệt chỉ có thể xảy ra giữa hai vật rắn khi

    A. hai vật có nhiệt năng khác nhau

    B. hai vật có nhiệt nãng khác nhau, tiếp xúc nhau

    C. hai vật có nhiệt độ khác nhau

    D. hai vật có nhiệt độ khác nhau, tiếp xúc nhau.

    Giải

    Chọn D. hai vật có nhiệt độ khác nhau, tiếp xúc nhau.

    Bài 22.10 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Để giữ nước đá lâu chảy, người ta thường để nước đá vào các hộp xốp kín vì

    A. hộp xốp kín nên dẫn nhiệt kém

    B. trong xốp có các khoảng không khí nên dẫn nhiệt kém

    C. trong xốp có các khoảng chân không nên dẫn nhiệt kém.

    D. Vì cả ba lí do trên

    Giải

    Chọn B. trong xốp có các khoảng không khí nên dẫn nhiệt kém

    Bài 22.11 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Về mùa hè ở một số nước Châu Phi rất nóng, người ta thường mặc quần áo trùm kín cả người, còn ở nước ta về mùa hè người ta lại thường mặc quần áo ngắn. Tại sao?

    Giải:

    Mùa hè ở nhiều nước Châu Phi nhiệt độ ngoài trời cao hơn nhiệt độ cơ thể do đó cần mặc áo trùm kín để hạn chế sự truyền nhiệt từ không khí vào cơ thể.

    Ở nước ta về mùa hè, khi nhiệt độ không khí còn thấp hơn nhiệt độ cơ thể, người ta thường mặc áo ngắn, mỏng để cơ thể dễ truyền nhiệt ra ngoài không khí.

    Bài 22.12 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Tại sao vào mùa hè, không khí trong nhà mái tôn nóng hơn trong nhà mái tranh; còn về mùa đông, không khí trong nhà mái tôn lại lạnh hơn trong nhà mái tranh?

    Giải

    Do mái tôn dẫn nhiệt tốt hơn mái tranh.

    Bài 22.13 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Tại sao muốn giữ cho nước chè nóng lâu, người ta thường để ấm vào giỏ có chèn bông, trấu hoặc mùn cưa?

    Giải

    Vì bông, trấu và mùn cưa là những chất dẫn nhiệt kém.

    Bài 22.14 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Hãy thiết kế một thí nghiệm dùng để so sánh độ dẫn nhiệt của cát và của mùn cưa với các dụng cụ sau đây:

    – Cho cát, mùn cưa vào đầy mỗi ống nghiệm.

    – Đặt mỗi ống nghiệm vào 1 cốc đựng nước nóng, 1 nhiệt kế đặt trong ống nghiệm. Quan sát số chỉ của nhiệt kế. Nếu nhiệt kế nào có cột chất lỏng dâng lên trước thì chất đó dẫn nhiệt tốt hơn.

    Bài 22.15 trang 61 Sách bài tập (SBT) Vật lí 8

    Có hai ấm đun nước kích thước giống nhau, một làm bằng nhôm, một làm bằng đồng.

    a) Nếu đun cùng một lượng nước bằng hai ấm này trên những bếp tỏa nhiệt như nhau thì nước ở ấm nào sôi trước. Tại sao?

    b) Nếu sau khi nước sôi, ta tắt lửa đi, thì nước ở ấm nào nguội nhanh hơn? Tại sao?

    Giải:

    a) Nước trong ấm đồng sôi trước. Vì đồng dẫn nhiệt tốt hơn nhôm

    b) Nước ở ấm đồng nguội nhanh hơn. Vì đồng dẫn nhiệt tốt hơn nhôm.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Vật Lý Lớp 8 Bài 22: Dẫn Nhiệt
  • Giải Bài Tập Vbt Vật Lý Lớp 8 Bài 10: Lực Đẩy Ác
  • Trắc Nghiệm Vật Lý 8 Bài 10
  • Giải Vật Lí 8 Bài 11: Thực Hành: Nghiệm Lại Lực Đẩy Ác
  • Chuyên Đề Bài Tập Nâng Cao Phần Chất Lỏng
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Đại Số Tuyến Tính

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài 17: Giải Bài Tập Về Ánh Xạ Tuyến Tính
  • Soạn Bài: Rút Gọn Câu ( Ngữ Văn Lớp 7)
  • Soạn Bài Rút Gọn Câu Trang 14 Sgk Ngữ Văn 7 Tập 2
  • Bài 6: Trùng Kiết Lị Và Trùng Sốt Rét
  • Giải Vbt Sinh Học 6 Bài 7: Cấu Tạo Tế Bào Thực Vật
  • Published on

    Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính

    1. 1. NGUYˆE˜N THUY’ THANH B`AI TˆA. P TO´AN CAO CˆA´P Tˆa.p 1 Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch NH`A XUˆA´T BA’ N DA. I HO. C QUˆO´C GIA H`A NˆO. I H`a Nˆo.i – 2006
    2. 2. Mu. c lu. c L`o.i n´oi dˆa`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Sˆo´ ph´u.c 6 1.1 D- chúng tôi ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 chúng tôi da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac . . . . . . . . 23 2 D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 44 2.1 D- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C . . . . . . . . . 45 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R . . . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c 66 3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 D- chúng tôi ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . . . . . 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 D- chúng tôi th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 chúng tôi thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 D- chúng tôi th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a chúng tôi th´u.c . . . . . . . . . . . . . 88
    3. 3. 2 MU. C LU. C 3.2.4 chúng tôi ph´ap t´ınh chúng tôi th´u.c . . . . . . . . . . . 89 3.3 chúng tôi cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 D- chúng tôi ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 chúng tôi ph´ap t`ım chúng tôi cu’a ma trˆa.n . . . . . . 109 3.4 Ma trˆa.n chúng tôi da’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 D- chúng tôi ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.2 chúng tôi ph´ap t`ım ma trˆa.n chúng tôi da’o . . . . . 119 4 Hˆe. chúng tôi tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 132 4.1 Hˆe. n chúng tôi tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o chúng tôi th´u.c kh´ac 0 . . . . 132 4.1.1 chúng tôi ph´ap ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.2 chúng tôi ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 chúng tôi ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe. t`uy ´y c´ac chúng tôi tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe. chúng tôi tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t . . . . . . . . . 165 5 Khˆong gian Euclide Rn 177 5.1 D- chúng tôi ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n vˆe` vecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so.’ . D- ˆo’i co. so.’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.3 Khˆong gian vecto. Euclid. Co. so.’ tru. .c chuˆa’n . . . . . . 201 5.4 Ph´ep biˆe´n dˆo’i tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.1 D- chúng tôi ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6 chúng tôi to`an chúng tôi v`a ´u.ng du. ng d ˆe’ nhˆa.n chúng tôi du.`o.ng v`a m˘a.t bˆa.c hai 236 6.1 chúng tôi to`an chúng tôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 chúng tôi ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 chúng tôi ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
    4. 4. MU. C LU. C 3 6.1.3 chúng tôi ph´ap biˆe´n dˆo’i tru. .c giao . . . . . . . . . 244 6.2 D- u.a chúng tôi tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t bˆa.c hai vˆe` chúng tôi ch´ınh t˘a´c . . . . . . . . . . . . . . . . 263
    5. 5. L`o.i n´oi dˆa`u Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa. p to´an cao cˆa´p n`ay du.o. .c biˆen soa.n theo chúng tôi tr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu. . nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o. .c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o. sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu. . nhiˆen n˘a´m v˜u.ng v`a vˆa.n chúng tôi du.o. .c c´ac chúng tôi ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t chúng tôi to`an bˆo. cˆa´u tr´uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo˜i mu.c, dˆa`u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜u.ng co. so.’ l´y thuyˆe´t v`a liˆe.t kˆe nh˜u.ng cˆong th´u.c cˆa`n thiˆe´t. Tiˆe´p d´o, trong phˆa`n C´ac v´ı du. ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜u b˘a`ng c´ach vˆa.n chúng tôi c´ac kiˆe´n th´u.c l´y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa`n B`ai tˆa. p. O .’ dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du.o. .c gˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’ dˆe` v`a du.o. .c s˘a´p xˆe´p theo th´u. tu. . t˘ang dˆa`n vˆe` dˆo. kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`u c´o nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` chúng tôi ph´ap gia’i. Ch´ung tˆoi hy chúng tôi r˘a`ng viˆe.c l`am quen v´o.i l`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆa`n C´ac v´ı du. s˜e gi´up ngu.`o.i ho.c n˘a´m du.o. .c c´ac chúng tôi ph´ap gia’i to´an co. ba’n. Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa. p n`ay c´o thˆe’ su.’ chúng tôi du.´o.i su. . hu.´o.ng dˆa˜n cu’a gi´ao viˆen ho˘a.c tu. . m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆe`u c´o d´ap sˆo´, mˆo.t sˆo´ c´o chı’ dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆa`n C´ac v´ı du. tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` m˘a.t chúng tôi ph´ap gia’i to´an. T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆa`y gi´ao: TS. Lˆe D`ınh Ph`ung v`a PGS. TS. Nguyˆe˜n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜y ba’n tha’o v`a d´ong
    6. 6. Co. so.’ l´y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c 5 g´op nhiˆe`u ´y kiˆe´n qu´y b´au vˆe` cˆa´u tr´uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac gia’ vˆe` nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh. M´o.i xuˆa´t ba’n lˆa`n dˆa`u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o. .c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o. .c ho`an thiˆe.n ho.n. H`a Nˆo. i, M`ua thu 2004 T´ac gia’
    7. 7. chúng tôi 1 Sˆo´ ph´u.c 1.1 D- chúng tôi ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 chúng tôi da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . 13 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac . 23 1.1 D- chúng tôi ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c Mˆo˜i c˘a.p sˆo´ thu. .c c´o th´u. tu. . (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o. .c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho. .p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o. .c du.a v`ao theo c´ac chúng tôi ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe. b˘a`ng nhau (a1, b1) = (a2, b2) ⇐⇒    a1 = a2, b1 = b2. (II) Ph´ep cˆo.ng
    8. 8. 1.1. D- chúng tôi ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 7 (a1, b1) + (a2, b2) def = (a1 + a2, b1 + b2).1 (III) Ph´ep nhˆan (a1, b1)(a2, b2) def = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1). Tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c du.o. .c k´y hiˆe.u l`a C. Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho. .p, liˆen hˆe. v´o.i nhau bo.’ i luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆa`n tu.’ = (0, 0) dˆe`u c´o phˆa`n tu.’ chúng tôi da’o. Tˆa.p ho. .p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c) v´o.i phˆa`n tu.’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆa`n tu.’ do.n vi. l`a c˘a.p (1; 0). ´Ap chúng tôi quy t˘a´c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe´u k´y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p chúng tôi d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`u. d´o vˆe` m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p chúng tôi (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t v´o.i sˆo´ thu. .c R: v`ı ch´ung du.o. .c cˆo.ng v`a nhˆan nhu. nh˜u.ng sˆo´ thu. .c. Do vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆo`ng nhˆa´t c´ac c˘a.p chúng tôi (a; 0) v´o.i sˆo´ thu. .c a: (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R. D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.c z = (a, b): 1+ Sˆo´ thu. .c a du.o. .c go.i l`a phˆa`n thu. .c a = Re z, sˆo´ thu. .c b go.i l`a phˆa`n a’o v`a k´y hiˆe.u l`a b = Imz. 2+ Sˆo´ ph´u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i sˆo´ ph´u.c z 1 def. l`a c´ach viˆe´t t˘a´t cu’a t`u. tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)
    9. 9. 8 chúng tôi 1. Sˆo´ ph´u.c 1.2 chúng tôi da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c Mo.i sˆo´ ph´u.c z = (a; b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i chúng tôi z = a + ib. (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Biˆe’u th´u.c (1.1) go.i l`a chúng tôi da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c z = (a, b). T`u. (1.1) v`a chúng tôi ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p ta c´o z = a − ib. Du.´o.i chúng tôi da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c du.o. .c thu. .c hiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau. Gia’ su.’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2). (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1). (III) Ph´ep chia: z2 z1 = a1a2 + b1b2 a2 1 + b2 1 + i a1b2 − a2b1 a2 1 + b2 1 · C´AC V´I DU. V´ı du. 1. 1+ T´ınh in . T`u. d´o ch´u.ng minh r˘a`ng a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ; b) 1 + i √ 2 n + 1 − i √ 2 n = 0. Gia’i. 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a gi´a tri. l˜uy th`u.a b˘a´t dˆa`u l˘a.p la.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’ su.’ n ∈ Z v`a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
    10. 10. 1.2. chúng tôi da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 9 (v`ı i4 = i). T`u. d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in =    1 nˆe´u n = 4k, i nˆe´u n = 4k + 1, −1 nˆe´u n = 4k + 2, −i nˆe´u n = 4k + 3. (1.2) T`u. (1.2) dˆe˜ d`ang suy ra a) v`a b). 2+ a) T`u. hˆe. th´u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra 1 + i 1 − i n = 1. chúng tôi 1 + i 1 − i = i nˆen 1 + i 1 − i n = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. b) T`u. d˘a’ng th´u.c 1 + i √ 2 n + 1 − i √ 2 n = 0 suy r˘a`ng 1 + i 1 − i n = −1 v`a do d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a 3 th`ı −1 + i √ 3 2 n + −1 − i √ 3 2 n = 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho 3 th`ı −1 + i √ 3 2 n + −1 − i √ 3 2 n = −1. Gia’i. 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı S = −1 + i √ 3 2 3 m + −1 − i √ 3 2 3 m = −1 + 3i √ 3 + 9 − 3i √ 3 8 m + −1 − 3i √ 3 + 9 + 3i √ 3 8 m = 1m + 1m = 2.
    11. 11. 10 chúng tôi 1. Sˆo´ ph´u.c 2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı S = −1 + i √ 3 2 3 m −1 + i √ 3 2 + −1 − i √ 3 2 3 m 1 − i √ 3 2 = −1 + i √ 3 2 + −1 − i √ 3 2 = −1. chúng tôi tu. . nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ung c´o S = −1. V´ı du. 3. T´ınh biˆe’u th´u.c σ = 1 + 1 + i 2 1 + 1 + i 2 2 1 + 1 + i 2 22 · · · 1 + 1 + i 2 2n . Gia’i. Nhˆan v`a chia biˆe’u th´u.c d˜a cho v´o.i 1 − 1 + i 2 ta c´o σ = 1 − 1 + i 2 2n 2 1 − 1 + i 2 = 1 − 1 + i 2 2n+1 1 − 1 + i 2 · Ta cˆa`n t´ınh 1 + i 2 2n+1 = 1 + i 2 2 2n = i 2 2n = i2n 22n = 1 22n · Do d´o σ = 1 − 1 22n 1 − 1 + i 2 = 2 1 − 1 22n 1 − i × 1 + i 1 + i = 1 − 1 22n (1 + i) V´ı du. 4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c √ 4 − 3i du.´o.i chúng tôi da.i sˆo´. Gia’i. Theo chúng tôi ngh˜ıa ta cˆa`n t`ım sˆo´ ph´u.c w sao cho w2 = 4 − 3i. Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
    12. 12. 1.2. chúng tôi da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 11 T`u. d´o a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) T`u. (1.4) ta c´o b = − 3 2a . Thˆe´ v`ao (1.3) ta thu du.o. .c 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 ⇐⇒ u1 = 8 + √ 100 4 = 8 + 10 4 = 18 4 = 9 2 , u2 = 8 − √ 100 4 = 8 − 10 4 = − 1 2 · V`ı a ∈ R nˆen u 0 ⇒ u = 9 2 v`a do vˆa.y a = ± 3 √ 2 ⇒ b = 1 √ 2 · T`u. d´o ta thu du.o. .c w1,2 = ± 3 √ 2 − 1 √ 2 i V´ı du. 5. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z = √ 5 + 12i − √ 5 − 12i √ 5 + 12i + √ 5 − 12i v´o.i diˆe`u kiˆe.n l`a c´ac phˆa`n thu. .c cu’a √ 5 + 12i v`a √ 5 − 12i dˆe`u ˆam. Gia’i. ´Ap chúng tôi Caffebenevietnam.com ph´ap gia’i trong v´ı du. 4 ta c´o √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y2 − 2xyi ⇐⇒    x2 − y2 = 5, 2xy = 12.
    13. 13. 12 chúng tôi 1. Sˆo´ ph´u.c Hˆe. n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆe`u kiˆe.n, phˆa`n thu. .c cu’a √ 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o √ 5 + 12i = −3 − 2i. chúng tôi tu. . ta t`ım du.o. .c √ 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆa.y z = −3 − 2i − (−3 + 2i) −3 − 2i + (−3 + 2i) = 2 3 i V´ı du. 6. Gia’ su.’ z = a + ib, z = ±1. Ch´u.ng minh r˘a`ng w = z − 1 z + 1 l`a sˆo´ thuˆa`n a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1. Gia’i. Ta c´o w = (a − 1) + ib (a + 1) + ib = a2 + b2 − 1 (a + 1)2 + b2 + i 2b (a + 1)2 + b2 · T`u. d´o suy r˘a`ng w thuˆa`n a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 − 1 (a + 1)2 + b2 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. B`AI TˆA. P T´ınh 1. (1 + i)8 − 1 (1 − i)8 + 1 · (DS. 15 17 ) 2. (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 (2 − i)2 − (2 + i)2 · (DS. − 11 4 i) 3. (3 − 4i)(2 − i) 2 + i − (3 + 4i)(2 + i) 2 − i · (DS. − 14 5 ) 4. 1 + 1 − i √ 2 1 + 1 − i √ 2 2 1 + 1 − i √ 2 22 · · · 1 + 1 − i √ 2 2n . (DS. 0) Chı’ dˆa˜n. ´Ap chúng tôi c´ach gia’i v´ı du. 3. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng a) z1 + z2 = z1 + z2; b) z1z2 = z1 · z2; c) z1 z2 = z1 z2 ;
    14. 14. 1.3. Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 13 d) zn = (z) n ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z. 6. V´o.i gi´a tri. thu. .c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p: 1) y2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v`a −y2 + 2y + 11 − 4i; 2) x + y2 + 1 + 4i v`a ixy2 + iy2 − 3 ? (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5) 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p khi v`a chı’ khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ thu. .c. 8. T´ınh: 1) √ −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) 2) √ 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) 3) √ 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) 4) 1 + i √ 3 + 1 − i √ 3. (DS. ± √ 6, ±i √ 2) 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) 1 − C2 8 + C4 8 − C6 8 + C8 8 = 16; 2) 1 − C2 9 + C4 9 − C6 9 + C8 9 = 16; 3) C1 9 − C3 9 + C5 9 − C7 9 + C9 9 = 16. Chı’ dˆa˜n. ´Ap chúng tôi cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton dˆo´i v´o.i (1 + i)8 v`a (1 + i)9 . 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgu- men Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t chúng tôi ´u.ng v´o.i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo. v`a ngu.o. .c la.i mˆo˜i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆe`u chúng tôi ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib. Ph´ep chúng tôi ´u.ng du.o. .c x´ac lˆa.p l`a do.n tri. mˆo.t – mˆo.t. Ph´ep chúng tôi ´u.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´u.c nhu. l`a c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo.. M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o. .c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c. Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o. .c go.i l`a Tru.c thu. .c, tru.c tung
    15. 19. 18 chúng tôi 1. Sˆo´ ph´u.c V´ı du. 6. V´o.i diˆe`u kiˆe.n n`ao th`ı ba diˆe’m kh´ac nhau t`u.ng dˆoi mˆo.t z1, z2, z3 n˘a`m trˆen mˆo.t du.`o.ng th˘a’ng. Gia’i. 1+ Nˆe´u c´ac diˆe’m z1, z2, z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng cho tru.´o.c th`ı vecto. di t`u. z2 dˆe´n z1 c´o hu.´o.ng nhu. cu’a vecto. di t`u. diˆe’m z3 dˆe´n z1 ho˘a.c c´o hu.´o.ng ngu.o. .c la.i. Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu’a c´ac vecto. n`ay dˆo´i v´o.i tru.c thu. .c ho˘a.c nhu. nhau ho˘a.c sai kh´ac g´oc π. chúng tôi khi d´o ta c´o arg(z1 − z2) = arg(z1 − z3) + kπ, k = 0, 1. T`u. d´o suy ra arg z1 − z2 z1 − z3 = arg(z1 − z2) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1. Nhu. vˆa.y sˆo´ ph´u.c z1 − z2 z1 − z3 c´o acgumen b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng π, t´u.c l`a sˆo´ z1 − z2 z1 − z3 l`a sˆo´ thu. .c. Diˆe`u kiˆe.n thu du.o. .c l`a diˆe`u kiˆe.n cˆa`n. 2+ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d´o c˜ung l`a diˆe`u kiˆe.n du’. Gia’ su.’ z1 − z2 z1 − z3 = α, α ∈ R. Khi d´o Im z1 − z2 z1 − z3 = 0. Hˆe. th´u.c n`ay chúng tôi Caffebenevietnam.com v´o.i hˆe. th´u.c y1 − y3 y1 − y2 = x1 − x3 x1 − x2 · (1.5) chúng tôi tr`ınh du.`o.ng th˘a’ng qua diˆe’m (x1, y1) v`a (x2, y2) c´o chúng tôi y − y1 y2 − y1 = x − x1 x2 − x1 · (1.6) T`u. (1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe’m (x3, y3) n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng d´o. V´ı du. 7. X´ac chúng tôi tˆa.p ho. .p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n:
    16. 30. 1.4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 29 Khi d´o S + iT = z + z3 + z5 + z7 = z(1 − z8 ) 1 − z2 = z − z9 1 − z2 = z + 1 1 − z2 = 1 1 − z = 1 1 − cos π 9 − i sin π 9 = 1 − cos π 9 + i sin π 9 1 − cos π 9 2 + sin2 π 9 = 1 2 + sin π 9 2 1 − cos π 9 · Do d´o S = 1 2 · 2) chúng tôi tu. . nhu. trong 1) ta k´y hiˆe.u S = cos ϕ + cos(ϕ + α) + · · · + cos(ϕ + nα), T = sin ϕ + sin(ϕ + α) + · · · + sin(ϕ + nα), z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´o S + iT = c + cz + · · · + czn = c(1 − zn+1 ) 1 − z = (cos ϕ + i sin ϕ) a2 − 2a cos ϕ + 1 + −a cos ϕ + ai sin ϕ + 1 a2 − 2a cos ϕ + 1 = an+2 cos nϕ − an+1 cos(n + 1)ϕ − a cos ϕ + 1 a2 − 2a cos ϕ + 1 + + i an+2 sin nϕ − an+1 sin(n + 1)ϕ + a sin ϕ a2 − 2a cos ϕ + 1 · B˘a`ng c´ach so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c c´ac kˆe´t qua’ cˆa`n du.o. .c t´ınh. V´ı du. 6. 1) Biˆe’u diˆe˜n tg5ϕ qua tgϕ.
    17. 32. 1.4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 31 2) Biˆe’u diˆe˜n tuyˆe´n t´ınh sin5 ϕ qua c´ac h`am sin cu’a g´oc bˆo.i cu’a ϕ. 3) Biˆe’u diˆe˜n cos4 ϕ v`a sin4 ϕ·cos3 ϕ qua h`am cosin cu’a c´ac g´oc bˆo.i. Gia’i. 1) V`ı tg5ϕ = sin 5ϕ cos 5ϕ nˆen ta cˆa`n biˆe’u diˆe˜n sin 5ϕ v`a cos 5ϕ qua sin ϕ v`a cos ϕ. Theo cˆong th´u.c Moivre ta c´o cos 5ϕ + i sin 5ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)5 = sin5 ϕ + 5i cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ − 10i cos2 ϕ sin3 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ + i sin5 ϕ. T´ach phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c biˆe’u th´u.c dˆo´i v´o.i sin 5ϕ v`a cos 5ϕ v`a t`u. d´o tg5ϕ = 5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ (chia tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cho cos5 ϕ) = 5tgϕ − 10tg3 ϕ + tg5 ϕ 1 − 10tg2 ϕ + 5tg4 ϕ · 2) D˘a.t z = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´o z−1 = cos ϕ − i sin ϕ v`a theo cˆong th´u.c Moivre: zk = cos kϕ + i sin kϕ, z−k = cos kϕ − i sin kϕ. Do d´o cos ϕ = z + z−1 2 , sin ϕ = z − z−1 2i zk + z−k = 2 cos kϕ, zk − z−k = 2i sin kϕ. ´Ap chúng tôi c´ac kˆe´t qua’ n`ay ta c´o sin5 ϕ = z − z−1 2i 5 = z5 − 5z3 + 10z − 10z−1 + 5z−3 − z−5 32i = (z5 − z−5 ) − 5(z3 − z−3 ) + 10(z − z−1 ) 32i = 2i sin 5ϕ − 10i sin 3ϕ + 20i sin ϕ 32i = sin 5ϕ − 5 sin 3ϕ + 10 sin ϕ 16 ·
    18. 34. 1.4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 33 T`u. d´o suy r˘a`ng x + 1 = εk(x − 1) ⇒ x(εk − 1) = 1 + εk. Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1. Do d´o v´o.i k = 0 chúng tôi tr`ınh vˆo nghiˆe.m. V´o.i k = 1, n − 1 ta c´o x = εk + 1 εk − 1 = (εk + 1)(εk − 1) εk − 1)(εk − 1) = εkεk + εk − εk − 1 εkεk − εk − εk − 1 = −2i sin 2kπ n 2 − 2 cos 2kπ n = −i sin 2kπ n 1 − cos 2kπ n = icotg kπ n , k = 1, 2, . . . , n − 1. 2+ C˜ung nhu. trˆen, t`u. chúng tôi tr`ınh d˜a cho ta c´o x + i x − i n = −1 ⇐⇒ x + i x − i = n √ −1 = cos π + 2kπ n + i sin π + 2kπ n hay l`a x + i x − i = cos (2k + 1)π n + i sin (2k + 1)π n = cos ψ + i sin ψ, ψ = (2k + 1)π n · Ta biˆe´n dˆo’i chúng tôi tr`ınh: x + i x − i − 1 = cos ψ + i sin ψ − 1 ⇔ 2i x − i = 2i sin ψ 2 cos ψ 2 − 2 sin2 ψ 2 ⇔ 1 x − i = sin ψ 2 cos ψ 2 − 1 i sin ψ 2 = sin ψ 2 cos ψ 2 + i sin ψ 2 .
    19. 35. 34 chúng tôi 1. Sˆo´ ph´u.c T`u. d´o suy ra x − i = 1 sin ψ 2 cos ψ 2 + i sin ψ 2 = cos ψ 2 − i sin ψ 2 sin ψ 2 = cotg ψ 2 − i. Nhu. vˆa.y x − i = cotg ψ 2 − i ⇒ x = cotg ψ 2 = cotg (2k + 1)π 2n , k = 0, n − 1. 2) Ta x´et vˆe´ pha’i cu’a chúng tôi tr`ınh d˜a cho. Ta c´o 1 + ai 1 − ai = 1 ⇒ 1 + ai 1 − ai = cos α + i sin α v`a t`u. d´o 1 + xi 1 − xi = n 1 + ai 1 − ai = cos α + 2kπ n + i sin α + 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. d´o nˆe´u d˘a.t ψ = α + 2kπ n th`ı x = cos ψ − 1 + i sin ψ i = βnq 0 n = nαq (v`ı βn 0 = α). Nhu. vˆa.y S =    0 nˆe´u k chia hˆe´t cho n; nαq nˆe´u k = nq, q ∈ Z. B`AI TˆA. P 1. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 1) −1 + i √ 3 (DS. 2 cos 2π 3 + i sin 2π 3 ) 2) √ 3 − i (DS. 2 cos 11π 6 + i sin 11π 6 ) 3) − √ 3 − i (DS. 2 cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) 4) √ 3 2 + i 2 (DS. cos π 6 + i sin π 6 ) 5) − √ 3 2 + 1 2 i (DS. cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) 6) 1 2 − i √ 3 2 (DS. cos 5π 3 + i sin 5π 3 ) 7) − 1 2 − i √ 3 2 (DS. cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) 8) 2 + √ 3 − i (DS. 2 2 + √ 3 cos 23π 12 + i sin 23π 12 ) 9) 2 − √ 3 − i (DS. 2 2 − √ 3 cos 19π 12 + i sin 19π 12 ) 2. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 1) − cos ϕ + i sin ϕ (DS. cos(π − ϕ) + i sin(π − ϕ)) 2) − sin ϕ + i cos ϕ (DS. cos π 2 + ϕ + i sin π 2 + ϕ))
    20. 41. 40 chúng tôi 1. Sˆo´ ph´u.c 3) cos ϕ − i sin ϕ (DS. cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) 4) − cos ϕ − i sin ϕ (DS. cos(π + ϕ) + i sin(π + ϕ)) B˘a`ng c´ach d˘a.t α = θ + 2kπ, trong d´o 0 θ < 2π, ta c´o: 5) 1+cos α+i sin α (DS. 2 cos θ 2 cos θ 2 +i sin θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos θ + 2π 2 + i sin θ + 2π 2 v´o.i π θ < 2π) 6) 1 − cos α + i sin α (DS. 2 sin θ 2 cos π − θ 2 + i sin π − θ 2 ) 7) sin α + i(1 + cos α) (DS. 2 cos θ 2 cos π − θ 2 + i sin π − θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos 3π − θ 2 + i sin 3π − θ 2 v´o.i π θ < 2π) 8) − sin α + i(1 + cos α) (DS. 2 cos θ 2 cos π + θ 2 + i sin π + θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos 3π + θ 2 + i sin 3π + θ 2 v´o.i π θ < 2π) 3. T´ınh: 1) cos π 6 − i sin π 6 100 (DS. − 1 2 − i √ 3 2 ) 2) 4 √ 3 + i 12 (DS. 212 ) 3) ( √ 3 + i)6 (−1 + i)8 − (1 + i)4 (DS. −3, 2) 4) (−i − √ 3)15 (1 − i)20 + (−i + √ 3)15 (1 + i)20 (DS. −64i) 5) (1 + i)100 (1 − i)96 + (1 + i)96 (DS. −2) 6) (1 + icotgϕ)5 1 − icotgϕ)5 (DS. cos(π − 10ϕ) + i sin(π − 10ϕ)) 7) (1 − i √ 3)(cos ϕ + i sin ϕ) 2(1 − i)(cos ϕ − i sin ϕ) (DS. √ 2 2 cos 6ϕ − π 12 + i sin 6ϕ − π 12 )
    21. 42. 1.4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 41 8) (1 + i √ 3)3n (1 + i)4n (DS. 2) 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng z + 1 z = 2 cos ϕ ⇒ zn + 1 zn = 2 cos nϕ. 5. H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau dˆay qua sin ϕ v`a cos ϕ 1) sin 3ϕ (DS. 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ) 2) cos 3ϕ (DS. cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ) 3) sin 4ϕ (DS. 4 cos3 ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin3 ϕ) 4) cos 4ϕ (DS. cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ) 6. H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau qua tgx 1) tg4ϕ (DS. 4tgϕ − 4tg3 ϕ 1 − 6tg2 ϕ + tg4 ϕ ) 2) tg6ϕ (DS. 6tgϕ − 20tg3 ϕ + 6tg5 ϕ 1 − 15tg2 ϕ + 15tg4 ϕ − tg6 ϕ ) 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1 − C2 n + C4 n − C6 n + . . . = 2 n 2 cos nπ 4 · C1 n − C3 n + C5 n − C7 n + . . . = 2 n 2 sin nπ 4 · Chı’ dˆa˜n. T´ınh (1 + i)n b˘a`ng c´ach su.’ chúng tôi cˆong th´u.c Moivre v`a su.’ chúng tôi cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton rˆo`i so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o c´ac sˆo´ thu du.o. .c. 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) cos π 5 + cos 3π 5 = 1 2 2) cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = 1 2 3) cos 2π 5 + cos 4π 5 = − 1 2 4) cos 2π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 = − 1 2 5) cos 2π 9 + cos 4π 9 + cos 6π 9 + cos 8π 9 = − 1 2
    22. 44. 1.4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i chúng tôi lu.o. .ng gi´ac 43 1) (x + c)n − (x − c)n = 0 (DS. x = −ccotg kπ n , k = 1, n − 1) 2) (x + ci)n − (x − ci)n = 0 (DS. x = −cicotg kπ n , k = 1, n − 1) 3) (x + ci)n + i(x − ci)n = 0 (DS. x = −cicotg (3 + 4k)π 4n , k = 0, n − 1) 4) (x + ci)n − (cos α + i sin α)(x − ci)n = 0, α = 2kπ. (DS. x = −cicotg α + 2kπ 2n , k = 0, n − 1) 15. T´ınh Dn(x) = 1 2π 1 2 + cos x + cos 2x + · · · + cos nx . (DS. Dn(x) = 1 2π sin 2n + 1 2 x 2 sin x 2 ) 16. 1) Biˆe’u diˆe˜n cos 5x v`a sin 5x qua cos x v`a sin x. 2) T´ınh cos 2π 5 v`a sin 2π 5 . (DS. 1) cos 5x = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x, sin 5x = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x. 2) sin 2π 5 = 10 + 2 √ 5 4 , cos 2π 5 = √ 5 − 1 4 ) Chı’ dˆa˜n. Dˆe’ t´ınh sin 2π 5 cˆa`n su.’ chúng tôi biˆe’u th´u.c cu’a sin 5x.
    23. 45. chúng tôi 2 D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2.1 D- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C . . . . . . . 45 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1 D- a th´u.c Da th´u.c mˆo.t biˆe´n v´o.i hˆe. sˆo´ thuˆo.c tru.`o.ng sˆo´ P du.o. .c biˆe’u diˆe˜n do.n tri. du.´o.i chúng tôi tˆo’ng h˜u.u ha.n Q(x) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an (2.1) trong d´o z l`a biˆe´n, a0, a1, . . ., an l`a c´ac sˆo´; v`a mˆo˜i tˆo’ng chúng tôi (2.1) dˆe`u l`a da th´u.c. K´y hiˆe.u: Q(z) ∈ P. Nˆe´u a0, a1, . . ., an ∈ R th`ı Q(z) l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c: Q(z) ∈ R l`a c˘a.p da th´u.c v`a Q(z) = 0 th`ı tˆo`n ta.i c˘a.p da th´u.c h(z) v`a r(z) ∈ P. Nˆe´u thay z bo.’ i sˆo´ α th`ı ta thu du.o. .c sˆo´ ph´u.c Q(α) = a0αn + a1αn−1 + · · · + an−1α + an. D- chúng tôi ngh˜ıa 2.1.1. Nˆe´u Q(α) = 0 th`ı sˆo´ z = α du.o. .c go.i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c Q(z) hay cu’a chúng tôi tr`ınh da.i sˆo´ Q(z) = 0. D- chúng tôi l´y Descate. Da th´u.c Q(z) chia hˆe´t cho nhi. th´u.c z − α khi v`a chı’ khi α l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P(z) (t´u.c l`a P(α) = 0). D- chúng tôi ngh˜ıa 2.1.2. Sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q(z) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u Q(z) chia hˆe´t cho (z − α)m chúng tôi khˆong chia hˆe´t cho (z − α)m+1 . Sˆo´ m du.o. .c go.i l`a bˆo. i cu’a nghiˆe.m α. Khi m = 1, sˆo´ α go.i l`a nghiˆe.m do.n cu’a Q(z). Trong tiˆe´t 2.1.1 ta biˆe´t r˘a`ng tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c C du.o. .c lˆa.p nˆen b˘a`ng c´ach gh´ep thˆem v`ao cho tˆa.p ho. .p sˆo´ thu. .c R mˆo.t nghiˆe.m a’o x = i cu’a chúng tôi tr`ınh x2 + 1 = 0 v`a mˆo.t khi d˜a gh´ep i v`ao th`ı mo.i chúng tôi tr`ınh da th´u.c dˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c thu. .c su. .. Do d´o khˆong cˆa`n pha’i s´ang ta.o thˆem c´ac sˆo´ m´o.i dˆe’ gia’i chúng tôi tr`ınh (v`ı thˆe´ C c`on du.o. .c go.i l`a tru.`o.ng d´ong da.i sˆo´). D- chúng tôi l´y Gauss (di.nh l´y co. ba’n cu’a da.i sˆo´).
    24. 47. 46 chúng tôi 2. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ Mo.i da th´u.c da. i sˆo´ bˆa. c n (n 1) trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t nghiˆe.m ph´u.c. T`u. chúng tôi l´y Gauss r´ut ra c´ac hˆe. qua’ sau. 1+ Mo.i da th´u.c bˆa.c n (n 1) trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o d´ung n nghiˆe.m nˆe´u mˆo˜i nghiˆe.m du.o. .c t´ınh mˆo.t sˆo´ lˆa`n b˘a`ng bˆo.i cu’a n´o, t´u.c l`a Q(x) = a0(z − α1)m1 (z − α2)m2 · · · (z − αk)mk , (2.2) trong d´o αi = αj ∀ i = j v`a m1 + m2 + · · · + mk = n. Da th´u.c (2.1) v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t a0 = 1 du.o. .c go.i l`a da th´u.c thu go. n. 2+ Nˆe´u z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q(z) th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i n´o z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c liˆen ho. .p Q(z), trong d´o da th´u.c Q(z) du.o. .c x´ac chúng tôi bo.’ i Q(z) def = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an. (2.3) 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R Gia’ su.’ Q(z) = zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an (2.4) l`a da th´u.c quy go.n v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c a1, a2, . . . , an. Da th´u.c n`ay c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t sau dˆay. D- chúng tôi l´y 2.1.1. Nˆe´u sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo. i m cu’a da th´u.c (2.4) v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i n´o α c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo. i m cu’a da th´u.c d´o. Su.’ chúng tôi Caffebenevietnam.com l´y trˆen dˆay ta c´o thˆe’ t`ım khai triˆe’n da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c Q(z) th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´. Vˆe` sau ta thu.`o.ng chı’ x´et da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c v´o.i biˆe´n chı’ nhˆa.n gi´a tri. thu. .c nˆen biˆe´n d´o ta k´y hiˆe.u l`a x thay cho z.
    25. 49. 48 chúng tôi 2. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2+ Gia’ su.’ P(z) ∈ R − 4 + 52 − 3. Nˆe´u trong ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo A mo.i phˆa`n tu.’ d1 = d2 = · · · = dn = 1 th`ı ma trˆa.n d´o du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n do.n vi. cˆa´p n v`a k´y hiˆe.u: En = E =          1 1 … … 1          . Nhu. vˆa.y En = δij n 1 , trong d´o δij =    0 nˆe´u i = j 1 nˆe´u i = j.
    26. 70. 3.1. Ma trˆa.n 69 Sau c`ung, (m × n)-ma trˆa.n chúng tôi Om×n =       0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 … … … … 0 0 . . . 0       go.i l`a ma trˆa.n – khˆong k´ıch thu.´o.c m × n. Nˆe´u m = n th`ı k´y hiˆe.u On hay On 1 . Nhˆa. n x´et. 1) Ta nhˆa´n chúng tôi ma trˆa.n A = aij m×n khˆong pha’i l`a mˆo.t sˆo´, n´o l`a mˆo.t Ba’ng c´ac sˆo´. 2) Ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) go.i l`a ma trˆa.n h`ang a1, a2, . . . , an c`on ma trˆa.n (m × 1) go.i l`a ma trˆa.n cˆo.t       a1 a2 … am       3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n Gia’ su.’ mo.i ma trˆa.n du.o. .c x´et l`a trˆen c`ung mˆo.t tru.`o.ng P (= R, C). C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p c´ac ma trˆa.n l`a ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n (chı’ dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa. n c`ung k´ıch thu.´o.c!) v`a ph´ep nhˆan ma trˆa.n v´o.i mˆo.t sˆo´ v`a ch´ung du.o. .c chúng tôi ngh˜ıa nh`o. c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac phˆa`n tu.’ cu’a ch´ung. 1. Cho A = aij m×n , B = bij m×n . Ma trˆa.n C = cij m×n du.o. .c go.i l`a tˆo’ng cu’a A v`a B nˆe´u cij = aij + bij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n
    27. 71. 70 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c v`a k´y hiˆe.u C = A + B , i = 1, m, j = 1, n . 2. Gia’ su.’ A = aij m×n v`a λ ∈ P. Ma trˆa.n C = cij m×n du.o. .c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i sˆo´ λ nˆe´u cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v`a k´y hiˆe.u C = λA λA = λaij m×n ). Tru.`o.ng ho. .p d˘a.c biˆe.t khi λ = −1 ta viˆe´t (−1)A = −A v`a go.i −A l`a ma trˆa.n dˆo´i cu’a ma trˆa.n A. C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p ma trˆa.n M(m × n) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay. Gia’ su.’ A, B, C ∈ M(m × n) v`a α, β ∈ P. Khi d´o I. A + B = B + A (luˆa.t giao ho´an). II. A + (B + C) = (A + B) + C (luˆa.t kˆe´t ho. .p). III. A + Om×n = A. IV. A + (−A) = Om×n. V. 1 · A = A. VI. α(βA) = (αβ)A – luˆa.t kˆe´t ho. .p dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan c´ac sˆo´. VII. α(A + B) = αA + αB – luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n. VIII. (α + β)A = αA + βA – luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i ma trˆa.n dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng c´ac sˆo´. Hiˆe.u c´ac ma trˆa.n A − B c´o thˆe’ chúng tôi ngh˜ıa nhu. sau A − B def = A + (−B).
    28. 72. 3.1. Ma trˆa.n 71 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n Ma trˆa.n A du.o. .c go.i l`a chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u sˆo´ cˆo.t cu’a ma trˆa.n A b˘a`ng sˆo´ h`ang cu’a ma trˆa.n B (t`u. su. . chúng tôi th´ıch cu’a A v´o.i B n´oi chung khˆong suy ra du.o. .c r˘a`ng ma trˆa.n B chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n A). Cho ma trˆa.n A = aij m×n v`a B = bij n×p . Ma trˆa.n C = cij m×p du.o. .c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u cij = n s=1 aisbsj. (3.1) K´y hiˆe.u C = AB v`a n´oi r˘a`ng “nhˆan bˆen pha’i ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B” hay “nhˆan bˆen tr´ai ma trˆa.n B v´o.i ma trˆa.n A”. T`u. (3.1) suy ra quy t˘a´c t`ım c´ac sˆo´ chúng tôi cu’a t´ıch c´ac ma trˆa.n: phˆa`n tu.’ cij d´u.ng o.’ vi. tr´ı giao cu’a h`ang th´u. i v`a cˆo.t th´u. j cu’a ma trˆa.n C = AB b˘a`ng tˆo’ng c´ac t´ıch cu’a c´ac phˆa`n tu.’ h`ang th´u. i cu’a ma trˆa.n A nhˆan v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ chúng tôi ´u.ng cu’a cˆo.t th´u. j cu’a ma trˆa.n B.         a11 a12 . . . a1n . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn         ×     b11 … bn1     bij … bij     b1p … bnp     =     c11 … c1p . . . cij . . . cm1 … cmp     Ch´u ´y. 1) N´oi chung ph´ep nhˆan ma trˆa.n khˆong c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an. 2) T´ıch hai ma trˆa.n kh´ac 0 c´o thˆe’ b˘a`ng ma trˆa.n khˆong. 3) V´o.i diˆe`u kiˆe.n c´ac ph´ep to´an du.o. .c viˆe´t ra c´o ngh˜ıa, ph´ep nhˆan ma trˆa.n c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau I. (AB)C = A(BC) – luˆa.t kˆe´t ho. .p. II. α(AB) = (αA)B = A(αB), α ∈ P. III. (A + B)C = AC + BC (luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen pha’i
    29. 73. 72 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n). IV. C(A + B) = CA + CB (luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen tr´ai dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n). 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n Ph´ep to´an trˆen c´ac ma trˆa.n m`a trong d´o c´ac h`ang chuyˆe’n th`anh c´ac cˆo.t c`on c´ac cˆo.t chuyˆe’n th`anh c´ac h`ang du.o. .c go.i l`a ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n. Cho ma trˆa.n A = aij m×n . Ma trˆa.n thu du.o. .c t`u. ma trˆa.n A b˘a`ng ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n chuyˆe’n vi. dˆo´i v´o.i ma trˆa.n A v`a du.o. .c k´y hiˆe.u l`a AT . Nhu. vˆa.y: AT l`a (n × m)-ma trˆa.n. Ma trˆa.n vuˆong du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n dˆo´i x´u.ng nˆe´u AT = A v`a du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n pha’n x´u.ng nˆe´u AT = −A. Nhu. vˆa.y nˆe´u A = aij n 1 l`a ma trˆa.n dˆo´i x´u.ng th`ı aij = aji ∀ i, j = 1, n v`a nˆe´u A pha’n x´u.ng th`ı aij = −aji. Do d´o c´ac phˆa`n tu.’ trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n pha’n x´u.ng l`a b˘a`ng 0. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. 1) Cˆo.ng c´ac ma trˆa.n 1 2 3 4 v`a 5 6 7 8 . 2) Nhˆan ma trˆa.n A = −1 2 −1 4 0 1 v´o.i sˆo´ λ = 3. Gia’i. 1) Hai ma trˆa.n d˜a cho c´o c`ung k´ıch thu.´o.c nˆen c´o thˆe’ cˆo.ng v´o.i nhau. Theo chúng tôi ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n ta c´o 1 2 3 4 + 5 6 7 8 = 1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + 8 = 6 8 10 12 . 2) λA = 3 · −1 2 −1 4 0 1 = −1 · 3 2 · 3 −1 · 3 4 · 3 0 · 3 1 · 3 =
    30. 74. 3.1. Ma trˆa.n 73 −3 6 −3 12 0 3 . V´ı du. 2. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ao th`ı: 1) c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n h`ang v´o.i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t ? 2) c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t v´o.i mˆo.t ma trˆa.n h`ang ? Gia’i. 1) Ma trˆa.n h`ang l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) c`on ma trˆa.n cˆo.t l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (m × 1). Ph´ep nhˆan ma trˆa.n h`ang (1 × n) v´o.i ma trˆa.n cˆo.t (m × 1) chı’ c´o thˆe’ nˆe´u n = m: 1 × n · n × 1 = 1 × 1 t´u.c l`a kˆe´t qua’ ph´ep nhˆan l`a mˆo.t sˆo´, cu. thˆe’ l`a a1 a2 . . . an       b1 b2 … bn       = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = c. 2) Ma trˆa.n cˆo.t A A =       a1 a2 … am       l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (m × 1). Ma trˆa.n n`ay chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n), t´u.c l`a ma trˆa.n h`ang. Nhu. vˆa.y ph´ep nhˆan d˜a nˆeu luˆon luˆon thu. .c hiˆe.n du.o. .c, cu. thˆe’ l`a       a1 a2 … am       b1 b2 . . . bn =       a1b1 a1b2 . . . a1bn a2b1 a2b2 . . . a2bn … … … … amb1 amb2 . . . ambn       .
    31. 75. 74 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c V´ı du. 3. T´ınh AB v`a BA nˆe´u 1) A = 3 2 1 0 1 2 , B =    1 3 3   . 2) A = 1 4 −1 2 0 1 , B =    −1 0 1 3 −1 1   . Gia’i. 1) Theo quy t˘a´c nhˆan c´ac ma trˆa.n ta c´o AB = 3 2 1 0 1 2    1 3 3    = 3 · 1 + 2 · 3 + 1 · 3 0 · 1 + 1 · 3 + 2 · 3 = 12 9 . T´ıch BA khˆong tˆo`n ta.i v`ı ma trˆa.n B khˆong chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n A. 2) Ta c´o ma trˆa.n A chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n B. Do d´o AB = 1 4 −1 2 0 1    −2 0 1 3 −1 1    = 1 · (−2) + 4 · 1 + (−1)(−1) 1 · 0 + 4 · 3 + (−1) · 1 2 · (−2) + 0 · 1 + (1) · (−1) 2 · 0 + 0 · 3 + 1 · 1 = 3 11 −5 1 . chúng tôi tu. ., ma trˆa.n B chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n A v`a BA =    −2 −8 2 7 4 2 1 −4 2    . V´ı du. 4. 1) Cho ma trˆa.n A = 0 1 0 0 . T`ım mo.i ma trˆa.n X giao ho´an v´o.i A (AX = XA).
    32. 76. 3.1. Ma trˆa.n 75 2) T`ım mo.i ma trˆa.n giao ho´an v´o.i ma trˆa.n A = 1 2 −1 −1 . 3) T´ınh t´ıch 1 1 0 0 1 1 −1 −1 . Gia’i. 1) V`ı A l`a ma trˆa.n cˆa´p 2 nˆen dˆe’ c´ac t´ıch AX v`a XA x´ac chúng tôi ma trˆa.n X c˜ung pha’i l`a ma trˆa.n cˆa´p 2. Gia’ su.’ A = α β γ δ . Khi d´o AX = 0 1 0 0 α β γ δ = γ δ 0 0 , XA = α β γ δ 0 1 0 0 = 0 α 0 γ . T`u. d´o nˆe´u AX = XA ⇒ γ = 0, α = δ. Do d´o mo.i ma trˆa.n ho´an vi. v´o.i ma trˆa.n d˜a cho dˆe`u c´o chúng tôi X = α β 0 α . 2) chúng tôi tu. . nhu. trˆen, gia’ su.’ X = x y u v l`a ma trˆa.n giao ho´an
    33. 77. 76 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c v´o.i ma trˆa.n A = 1 2 −1 −1 . Khi d´o 1 2 −1 −1 x y u v = x y u v 1 2 −1 −1 ⇒ x + 2u y + 2v −x − u −y − v = x − y 2x − y u − v 2u − v ⇒    x + 2u = x − y −x − u = u − v y + 2v = 2x − y −y − v = 2u − v ⇒    x = u − 2v y = −2u ; u, v t`uy ´y. Vˆa.y ta thu du.o. .c X = u − 2v −2u u v , u, v t`uy ´y. 3) Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng 1 1 0 0 1 1 −1 −1 = 0 0 0 0 . T`u. v´ı du. n`ay suy ra r˘a`ng dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa.n nˆe´u AB = O th`ı khˆong nhˆa´t thiˆe´t A = O ho˘a.c B = O. V´ı du. 5. Ma trˆa.n S = λEn, trong d´o En l`a ma trˆa.n do.n vi. cˆa´p n v`a λ l`a mˆo.t sˆo´ du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng. Ch´u.ng to’ r˘a`ng ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng ho´an vi. v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p. Gia’i. ´Ap chúng tôi c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n do.n vi. ta c´o SA = (λEn)A = λ(EnA) = λA; AS = A(λEn) = λ(AEn) = λA, t´u.c l`a AS = SA dˆo´i v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong A cˆa´p n. Cho A l`a ma trˆa.n vuˆong, k l`a sˆo´ tu. . nhiˆen l´o.n ho.n 1. Khi d´o t´ıch k ma trˆa.n A du.o. .c go.i l`a lu˜y th`u.a bˆa.c k cu’a A v`a k´y hiˆe.u Ak . Theo
    34. 78. 3.1. Ma trˆa.n 77 chúng tôi ngh˜ıa A0 = E. Nhu. vˆa.y Ak def = A × A × A × · · · × A k lˆa`n A◦ = E. V´ı du. 6. T`ım mo.i lu˜y th`u.a cu’a ma trˆa.n A =      0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      . Gia’i. Ta c´o A2 =      0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0      , v`a dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng A3 = A2 A =      0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      , A4 =      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      . C´ac l˜uy th`u.a tiˆe´p theo cu’a ma trˆa.n A dˆe`u b˘a`ng 0. V´ı du. 7. Gia’ su.’ J = 0 1 −1 0 , E = E2×2.
    35. 79. 78 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) J2 = −E. 2) Ma trˆa.n chúng tôi Z = αE + βJ = α β −β α du.o. .c cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i nhau chúng tôi tu. . nhu. c´ac sˆo´ ph´u.c chúng tôi Z = α + βi. Gia’i. 1) Ta c´o J2 = 0 1 −1 0 0 1 −1 0 = −1 0 0 −1 = −E. 2) X´et Z1 = α1E + β1J, Z2 = α2E + β2J. Khi d´o theo chúng tôi ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n c`ung c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ch´ung, mˆo.t m˘a.t ta c´o Z1 + Z2 = (α1 + α2)E + (β1 + β2)J v`a m˘a.t kh´ac Z1 + Z2 = α1 β1 −β1 α1 + α2 β2 −β2 α2 = α1 + α2 β1 + β2 −(β1 + β2) α1 + α2 = (α1 + α2)E + (β1 + β2)J. Dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan su. . l´y gia’i c˜ung chúng tôi tu. .. V´ı du. 8. T´ınh An nˆe´u: 1) A = 3 1 0 3 ; 2) A = 4 1 0 3 . Gia’i. Du. .a v`ao t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng: ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng ho´an vi. v´o.i mo.i ma trˆa.n c`ung cˆa´p, ta s˜e biˆe’u diˆe˜n ma trˆa.n d˜a cho th`anh
    36. 81. 80 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c Tiˆe´p theo do B ˜B = ˜BB nˆen ta c´o thˆe’ ´ap chúng tôi cˆong th´u.c An = (B + ˜B)n = Bn + C1 nBn−1 ˜B + C2 nBn−2 ˜B2 + · · · + ˜Bn . (3.5) Ta t´ınh Ck nBn−k ˜Bk . Theo (3.3) v`a (3.4) ta c´o Ck n 3n−k 0 0 3n−k 1 1 0 0 = Ck n 3n−k 3n−k 0 0 = Ck n3n−k Ck n3n−k 0 0 . (3.6) T`u. (3.6), (3.3) v`a (3.5) ta thu du.o. .c An = 3n 0 0 3n + n k=1 Ck n3n−k Ck n3n−k 0 0 =   3n + n k=1 Ck n3n−k 0 + n k=1 Ck n3n−k 0 3n   . V`ı 3n + n k=1 Ck n3n−k = (3 + 1)n = 4n v`a 0 + n k=1 Ck n3n−k = n k=0 Ck n3n−k − 3n = 4n − 3n , do vˆa.y An = 4n 4n − 3n 0 3n . B`AI TˆA. P 1. T´ınh A + B, AB v`a BA nˆe´u 1) A = 1 2 3 4 , B = 4 −4 0 i ; 2) A =    1 −1 0 2 1 1 3 −1 2   , B =    −2 1 2 0 4 5 2 −3 7   .
    37. 82. 3.1. Ma trˆa.n 81 (DS. 1) A + B = 5 −2 3 4 + i , AB = 4 −4 + 2i 12 −12 + 4i , BA = −8 −8 3 4i ; 2) A + B =    −1 0 2 2 5 6 5 −4 9   , AB =    −1 −3 −3 −2 3 16 −2 −7 15   , BA =    6 1 5 23 −1 14 −17 −12 11   ) 2. T´ınh t´ıch c´ac ma trˆa.n 1)    5 2 1 5 2 3 6 5 2       1 3 −2 −3 −4 −5 2 1 3   . (DS.    1 3 2 5 10 9 −5 0 −7   ) 2)    3 4 9 2 −1 6 5 3 5       5 6 4 8 9 7 −4 −5 −3   . (DS.    11 9 13 −22 −27 −17 29 32 26   ) 3)      1 2 −2 1 3 −1 1 −2 5 1 3 −2         1 −2 4 2 3 2 3 1 4   . (DS.      −1 2 0 4 6 6 12 −3 20 1 5 2      ) 4)      2 1 3 4 2 1 −2 1 −3 1 2 1         1 2 −1   . (DS.      1 7 3 9      )
    38. 83. 82 chúng tôi 3. Ma trˆa.n. D- chúng tôi th´u.c 5) 1 −3 3 −1 1 3 −5 1      1 1 1 2 1 1 1 −2      . (DS. 0 0 0 0 ) 6)    1 2 3    3 2 1 . (DS.    3 2 1 6 4 2 9 6 3   ) 3. T´ınh c´ac t´ıch AB v`a BA nˆe´u 1) A =      −1 3 0 −2 1 1 3 0 −2 4 1 2      , B = 5 −1 3 1 2 0 −1 4 . (DS. T´ıch AB khˆong tˆo`n ta.i v`ı ma trˆa.n A khˆong chúng tôi th´ıch v´o.i ma trˆa.n B; BA = 10 15 −5 11 10 10 ) 2) A =      2 0 1 −4 3 1 0 −1      , B = 5 1 0 −3 . (DS. T´ıch AB khˆong tˆo`n ta.i v`ı A khˆong chúng tôi th´ıch v´o.i B; BA = 11 −1 ) 3) A = 1 2 3 4 2 1 −2 3 , B =      1 5 3 6 8 2 1 2 −1 3 0 1      . (DS. AB = 28 27 8 15 14 13 , t´ıch BA khˆong tˆo`n ta.i) 4) A = cos α − sin α cos α cos α , B = cos β − sin β sin β cos β .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Định Hướng Cách Giải Bài Tập Định Tính Cho Học Sinhtrong Dạy Học Vật Lý
  • Nghiên Cứu Phương Pháp Giải Bài Tập Vật Lý Định Tính Lớp 10 Và Ứng Dụng
  • Giải Chi Tiết Bài Tập Chương 2, Sinh Học Lớp 12
  • Đề Thi Phương Pháp Tính Và Matlab
  • Soạn Mĩ Thuật Lớp 6 Bài 24 : Thường Thức Mĩ Thuật: Giới Thiệu Mợt Số Tranh Dân Gian Việt Nam
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 1
  • Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 1
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 2
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 2 Kinh Tế Quốc Dân
  • Giải Bài Tập Bài 5 Trang 16 Sgk Gdcd Lớp 7
  • Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê

    Xác suất thống kê là chuyên ngành được xây dựng nhằm mục đích nghiên cứu tìm ra quy luật chi phối và đưa ra các phương pháp tính toán khả năng xuất hiện của các hiện tượng, biến cố ngẫu nhiên. Ngày nay, Xác suất thống kê đã trở thành một ngành toán học quan trọng cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng. Nó là công cụ không thể thiếu được mỗi khi ta nói đến dự báo, bảo hiểm, mỗi khi cần đánh giá các cơ may, các nguy cơ rủi ro.

    Môn học Xác suất thống kê áp dụng vào thực tế như thế nào?

    Xác suất thống kê cho chúng ta thấy được qui luật của những cái ngẫu nhiên để rồi lượng hóa chúng. Trong nghiên cứu khoa học, ta dùng xác suất thống kê để kiểm định tính chính xác của mô hình, kiểm định độ tin cậy của thang đo… Trong kinh tế, xác suất thống kê giúp ta lựa chọn phương án sao cho lợi nhuận nhiều nhất với độ rủi ro ít nhất. Xác suất thống kê cũng có vai trò quan trọng trong việc lập mô hình phân tích và dự báo trong quá trình ra quyết định kinh doanh và các quá trình khác.

    Nhằm giúp các bạn sinh viên có cơ hội đạt kết quả tốt trong môn học Xác xuất thống kê, cũng như có cơ hội nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về môn học có tính áp dụng thực tiễn vô cùng lớn này, tác giả Tống Đình Quỳ đã phối hợp cùng Nhà xuất bản Bách Khoa – Hà Nội xuất bản cuốn sách kiến thức hữu ích: Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê

    Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê giúp bạn học tốt môn Lý thuyết xác xuất và thống kê toán

    Cuốn sách bao gồm 6 chương được chia thành các đề mục. Trong mỗi đề mục thường có ba phần: tóm tắt lý thuyết, một số bài giải mẫu và các bài tập luyện tập. Những bài tập nâng cao được đánh dấu sao.

    Phụ lục gồm hai phần:

    – Phần A dành cho các bảng số với hướng dẫn cách tra cứu;

    – Phần B là 12 đề thi môn học này tại trường đại học Bách Khoa Hà Nội trong các năm 1996 – 1997.

    Nội dung sách phong phú, có nhiều bài tập bổ ích, đa dạng; cách trình bày ngắn gọn, rõ ràng, chính xác và dễ hiểu, đây sẽ là một mẹo nhỏ giúp các bạn sinh viên chuyên ngành có thể hiểu bài nhanh nhất.

    Thông tin về tác giả Tống Đình Quỳ

    PGS Tống Đình Quỳ – Nguyên Viện trưởng Viện Toán ứng dụng và Tin học, đã có rất nhiều năm tham gia công tác giảng dạy và quản lý tại Viện Toán ứng dụng và tin học của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Bên cạnh cuốn sách Hướng dẫn giải bài tập môn Xác xuất này, PGS Tống Đình Quỳ còn tham gia biên soạn các giáo trình của bộ môn Xác xuất thống kê và các môn học Toán ứng dụng cũng như có nhiều đóng góp trong công tác quản lý tại Viện nói riêng và trường Đại học Bách khoa nói chung.

    Trân trọng giới thiệu cùng các bạn sinh viên cuốn sách bài tập bổ ích này!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giai Sach Bai Tap Xstk Dh Ktqd Chuong 1 Full V1
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Xác Suất
  • Bài Tập Xác Suất Thống Kê
  • Đáp Án Bài Tập Workbook More 1
  • Giải Bài Tập Workbook Think 1
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100