Đề Thi Imo 2013 Và Lời Giải

--- Bài mới hơn ---

  • Đề Thi Imo 2013 (Olympic Toán Học Quốc Tế 54)
  • Market Leader Intermediate Key Answers
  • Đáp Án Ket 7 Test 1
  • Đáp Án Ket 1 Test 4 Reading And Writing
  • Đáp Án Ket 1 Test 2 Reading And Writing
  • VNMATH giới thiệu đề thi và lời giải kì thi Olympic Toán Quốc tế năm 2013 (IMO 2013). Các thí sinh sẽ làm bài thi trong hai ngày 23-24 tháng 7 năm 2013.

    Bài 1. Chứng minh rằng với hai số nguyên dương $k,n$ bất kì, tồn tại các số nguyên dương $m_1,m_2,ldots,m_k$ sao cho

    $$ 1+frac{2^k-1}{n}=left(1+frac{1}{m_1}right) left(1+frac{1}{m_2}right) dots left(1+frac{1}{m_k}right). $$

    Bài 2. Cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua các điểm trên) thành các miền sao cho không có miền nào chứa các điểm có màu khác nhau. Số nhỏ nhất các đường thẳng luôn thỏa mãn là bao nhiêu?

    Bài 3. Cho tam giác $ABC$ và $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp trong các góc $A,B,C$ với các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ thì tam giác $ABC$ vuông.

    Bài 6. Cho số nguyên $n ge 3$. Xét một đường tròn và lấy $n+1$ điểm cách đều nhau trên đường tròn đó. Xét tất cả các cách ghi các số $0,1,ldots,n$ lên các điểm đã lấy sao cho trong mỗi cách ghi, tại mỗi điểm được ghi một số và mỗi số được ghi đúng một lần. Hai cách ghi được gọi là như nhau nếu cách ghi này có thể nhận được từ cách ghi kia nhờ một phép quay quanh tâm đường tròn. Một cách ghi được gọi là đẹp nếu với bốn số tùy ý $a<b<c<d$ mà $a+d=b+c$, dây cung nối hai điểm được ghi $a$ và $d$ không cắt dây cung nối hai điểm được ghi $b$ và $c$.

    Kí hiệu $M$ là số các cách ghi đẹp và kí hiệu $N$ là số các cặp có thứ tự $(x,y)$ các số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện $x+y le n$ và $gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng

    $$ M=N+1. $$

    Về VNMATH.COM

    VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay chúng tôi là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đáp Án Ioe Vòng 3 Lớp 11
  • Đáp Án Ioe Lớp 11 Vòng 2
  • Mời Bạn Đọc Thử Sức “cân Não” Với Đề Olympic Toán Quốc Tế
  • Giám Khảo Quốc Tế Bất Ngờ Với Cách Giải Của Thí Sinh Việt Nam Thi Imo
  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Quốc Tế Imo 2022
  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Imo 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Đội Tuyển Việt Nam Đã Gặp 6 Bài Toán Cỡ Nào Tại Imo 2022?
  • Tổng Hợp Các Dạng Bài Sách Market Leader Pre
  • International Mathematics Assessments For Schools
  • Phương Pháp Giải Toán Đố Lớp 3 Dạng Có 2 Lời Giải
  • Đề Kiểm Tra Vật Lý 10 Học Kì I Có Đáp Án
  • Dù Epsilon đã nói lời tạm biệt với bạn đọc từ ngày 13/2/2017 nhưng tinh thần Epsilon và đội ngũ Epsilon thì vẫn còn. Và có nghĩa là những sản phẩm mang tinh thần Epsilon vẫn sẽ còn được ra đời. Tinh thần đó ngắn gọn là: Chuyên nghiệp – Từ cộng đồng – Vì cộng đồng.

    Minh chứng cho tinh thần đó là tài liệu mà các bạn đang đọc “Giải và bình luận đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Toán Quốc tế 2022”, một đóng góp của đội ngũ Epsilon dành cho cộng đồng. Khi viết đội ngũ Epsilon, chúng tôi không chỉ muốn nhắc đến các người lính ngự lâm thuộc Ban biên tập (Epsilon staff) mà còn là những người đã luôn sát cánh cùng chúng tôi trong suốt hơn 2 năm qua trong quá trình xây dựng Epsilon thành một niềm yêu mến và sự chờ đợi của cộng đồng.

    Giải và bình luận đề thi, chúng tôi không chỉ muốn đem lại cho độc giả lời giải, đáp án để so khớp đúng sai mà hơn thế là những phân tích về hướng tiếp cận, về nguồn gốc, về lớp các bài toán tương tự. Chúng tôi cũng mạn phép đưa ra những bình luận chủ quan của mình về cái hay, cái dở, độ khó dễ, tính phù hợp, độ mới cũ của bài toán ngõ hầu giúp cho các thầy cô trong ban ra đề có thêm những ý kiến phản biện, để công tác đề thi ngày càng tốt hơn, chất lượng hơn.

    Hy vọng tập tài liệu này sẽ nhận được sự đón nhận của cộng đồng. Chúng tôi luôn lắng nghe những ý kiến đóng góp, trao đổi thẳng thắn của bạn đọc về nội dung tài liệu cũng như các vấn đề liên quan. Chúng ta là một cộng đồng.

    “If you want to go far, go together.”

    Mong các bạn tôn trọng về bản quyền của nhóm tác giả đã khẳng định rõ quan điểm:

    Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tất Thu).

    Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. Mọi người đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ.

    Tất cả các hoạt động mua bán, kinh doanh liên quan đến tài liệu này mà không được sự chấp thuận của nhóm là trái pháp luật. Chúng ta hãy lên án những hành vi vi phạm bản quyền để bảo vệ quyền lợi của các tác giả, của những sản phẩm trí tuệ. Xin cảm ơn.

    Trân trọng cảm ơn nhóm tác giả và xin mời các bạn có thể tải về để phục vụ cho công việc giảng dạy, học tập môn Toán của mình.

     

    --- Bài cũ hơn ---

  • Việt Nam Gianh 2 Vàng 4 Bạc Tại Imo 2022: Một Chút Tiếc Nuối, Nhưng Cơ Bản Là Hài Lòng
  • Đáp Án Brain Out – Can You Pass It, Game Hack Não Người Chơi
  • Đáp Án Full Test Lc+Rc Ets 2022 Format
  • Đáp Án Full Test Lc+Rc Ets 2022
  • Đáp Án Phần Thi Trắc Nghiệm Thi “tìm Hiểu Dịch Vụ Công Trực Tuyến”.
  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Quốc Tế Imo 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Giám Khảo Quốc Tế Bất Ngờ Với Cách Giải Của Thí Sinh Việt Nam Thi Imo
  • Mời Bạn Đọc Thử Sức “cân Não” Với Đề Olympic Toán Quốc Tế
  • Đáp Án Ioe Lớp 11 Vòng 2
  • Đáp Án Ioe Vòng 3 Lớp 11
  • Đề Thi Imo 2013 Và Lời Giải
  • Dù Epsilon đã nói lời tạm biệt với bạn đọc từ ngày 13/2/2017 nhưng tinh thần Epsilon và đội ngũ Epsilon thì vẫn còn. Và có nghĩa là những sản phẩm mang tinh thần Epsilon vẫn sẽ còn được ra đời. Tinh thần đó ngắn gọn là: Chuyên nghiệp – Từ cộng đồng – Vì cộng đồng. Minh chứng cho tinh thần đó là tài liệu mà các bạn đang đọc “Giải và bình luận đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Toán Quốc tế 2022”, một đóng góp của đội ngũ Epsilon dành cho cộng đồng. Khi viết đội ngũ Epsilon, chúng tôi không chỉ muốn nhắc đến các người lính ngự lâm thuộc Ban biên tập (Epsilon staff) mà còn là những người đã luôn sát cánh cùng chúng tôi trong suốt hơn 2 năm qua trong quá trình xây dựng Epsilon thành một niềm yêu mến và sự chờ đợi của cộng đồng. Giải và bình luận đề thi, chúng tôi không chỉ muốn đem lại cho độc giả lời giải, đáp án để so khớp đúng sai mà hơn thế là những phân tích về hướng tiếp cận, về nguồn gốc, về lớp các bài toán tương tự. Chúng tôi cũng mạn phép đưa ra những bình luận chủ quan của mình về cái hay, cái dở, độ khó dễ, tính phù hợp, độ mới cũ của bài toán ngõ hầu giúp cho các thầy cô trong ban ra đề có thêm những ý kiến phản biện, để công tác đề thi ngày càng tốt hơn, chất lượng hơn. Hy vọng tập tài liệu này sẽ nhận được sự đón nhận của cộng đồng. Chúng tôi luôn lắng nghe những ý kiến đóng góp, trao đổi thẳng thắn của bạn đọc về nội dung tài liệu cũng như các vấn đề liên quan. Chúng ta là một cộng đồng. “If you want to go far, go together.” Mong các bạn tôn trọng về bản quyền của nhóm tác giả đã khẳng định rõ quan điểm: Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tất Thu). Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. Mọi người đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ. Tất cả các hoạt động mua bán, kinh doanh liên quan đến tài liệu này mà không được sự chấp thuận của nhóm là trái pháp luật. Chúng ta hãy lên án những hành vi vi phạm bản quyền để bảo vệ quyền lợi của các tác giả, của những sản phẩm trí tuệ. Xin cảm ơn. Trân trọng cảm ơn nhóm tác giả và xin mời các bạn có thể tải về để phục vụ cho công việc giảng dạy, học tập môn Toán của mình.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Toán “sát Thủ” Của Imo 2022
  • Lần Đầu Tiên Học Sinh Lớp 10 Thi Olympic Toán Quốc Tế
  • Đáp Án Game Hack Não
  • Ma Trận Và Đáp Án Gdcd 10
  • Top 24 Đề Kiểm Tra Gdcd Lớp 9 Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Bình Luận Về Đề Thi Imo 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Tiến Sĩ Lê Bá Khánh Trình Hội Ngộ Người Chấm Giải Đặc Biệt Cho Mình Sau 40 Năm
  • Ts Lê Bá Khánh Trình Nói Về Thành Tích Của Đội Imo Việt Nam
  • Ts Lê Bá Khánh Trình: Học Sinh Thi Olympic Toán Biết Học Và Chơi
  • Olympic Toán Quốc Tế 2022, Việt Nam Bị Loại Khỏi Top 10
  • Một Số Ài Tập Và Đáp Án Cơ Học Kết Cấu
  • Tính điểm đồng đội thì năm nay VN xếp thứ 20, thua nhiều nước, trong đó có cả một số nước ASEAN cũng đứng trên VN.Việt Nam vẫn tự hào là giỏi toán, nhưng chuyện chỉ đứng thứ 20 thể hiện đúng thực chất hơn tình hình giáo dục và khoa học của Việt Nam. Những năm trước đạt thành tích cao, một phần là do luyện gà chọi chứ không phải do nền giáo dục và khoa học khá hơn các nước khác, kể cả các nước láng giềng. Riêng về nền toán học có thể vẫn còn nhỉnh hơn các nước láng giềng, nhưng đà đi xuống tương đối có thể nhìn thấy rất rõ. Lý do rất đơn giản: đầu tư khoa học kém, hệ thống giáo dục tồi, đầy giáo điều và gian dối, giờ lại có thêm bộ trưởng đạo văn!

    Việc các bạn Việt Nam có những bài không làm được không chứng tỏ là các bạn kém thông minh hơn một số đoàn khác (như Mỹ, Thái, Ukraina, v.v.), nhưng chứng tỏ một điều, là việc dạy cách tư duy để “gặp bài nào cũng chiến được” ở Việt Nam còn thiếu, nên gặp các bài “lạ” là rất dễ rụng. Cái cách tư duy “áp dụng vào đâu cũng được” (chứ không phải các dạng bài học thuộc) mới chính là điểm cốt lõi của toán học, cần dùng nhiều về sau. Các bạn trẻ, các thầy cô cần đặc biệt chú trọng hơn điều này!

    Bài thứ nhất là một bài hình học phẳng thuộc loại dễ, thậm chí có thể nói là dễ hơn một số bài hình học thi THPT2018 ở Việt Nam! Không có gì đáng ngạc nhiên khi tất cả các bạn của đoàn Việt Nam đều làm được bài này. Bản thân tôi thử làm trong lúc đợi máy bay chỉ mất mấy phút lào ra.

    Có thể làm bài này chẳng hạn bằng cách kẻ mấy đường trung trực của tam giác (cũng là đường kính của hình tròn ngoại tiếp), rồi so sánh các cung bằng nhau, suy ra các góc bằng nhau, rồi tính góc qua cung tròn tương ứng v.v.

    Nếu như có hai số dương liền nhau thì toàn bộ dãy sẽ phải là dương. Gỉa sử i là chỉ số sao cho tích ai a(i+1) là lớn nhất, thì khi đó a(i+2) là số lớn nhất của dãy, suy ra tích a(i+1) a(i+2) còn lớn hơn ai a(i+1) trừ khi ai = a(i+2), suy ra ai = a(i+2), suy ra a(i+3) cũng là số lớn nhất và phải bằng a(i+2), v.v. suy ra tất cả các số bằng nhau, và như ta đã biết trường hợp này không có lời giải.

    Như vậy là cứ sau một số dương phải đến một số âm. Sau hai số âm liền nhau thì tiếp theo là số dương theo công thức quy nạp. Nếu cứ âm, âm, dương, âm, âm, dương, … thì tức là n chia hết cho 3. Nếu có dương, âm, dương, liền nhau, không mất tính tổng quát (vì tính tuần hoàn) có thể gỉa sử

    Lần ngược lại a2, với a2.a3 +1 = a4 < -1 suy ra a2 < -4.

    Cứ thế lần ngược lại (với a0=an) suy ra các số âm trong dãy theo chiều ngược ngày càng âm nặng, các số dương ngày càng về gần 0, suy ra dãy không thể tuần hoàn.

    (Để cho chặt chẽ thì phải viết “dương hoặc bằng 0” thay vì “dương” và đổi một số bất đẳng thức ở phía trên thành có thể có dấu bằng)

    Bài thứ 3. Bài này khá là khó, chỉ có một bạn VN làm được. Khó bởi vì nó không làm theo kiểu quy nạp được. Có thể xây dựng tam gíac phản pascal với n hàng cho n =1,2,3,4,5, nhưng sau 5 là tắc tịt, cố xây dựng để chứng minh tồn tại dẫn đến mất nhiều thời gian vô ích. Phải chuyển hướng sang chứng minh không tồn tại khi n đủ lớn (ở đây n=2018 là qúa lớn luôn)

    Nhận xét là đi từ đỉnh trên cùng xuống dưới, có thể đi sao cho số tiếp theo bằng số trước đó cộng một số khác trên cùng hàng. Dẫn đến nếu đi như vậy đến số ở hàng cuối cùng, thì số đó bằng tổng của n số ở n hàng khác nhau, suy ra n số đó khác nhau, và tổng nhỏ nhất là 1+…+n chính bằng số lớn nhất, suy ra số cuối cùng đó chính là N= 1+…+n và các số từ 1 đến n được phân bố trên n hàng khác nhau mỗi hàng một số.

    Tiếp theo, xét n số lớn nhất: N -(n-1), N-(n-2), .., N. Câu hỏi là các số đó phải được phân bố ở đâu như thế nào? Ta gọi các số đó là số lớn, còn các số từ 1 đến n gọi là số nhỏ.

    Với mỗi một số lớn ở hàng không phải là hàng dưới cùng thì phải có 1 số nhỏ nằm dưới nó. Mà trên mỗi hàng chỉ có 1 số nhỏ, suy ra là nếu có 2 số lớn nằm trên cùng 1 hàng mà không phải hàng dưới cùng thì hai số đó phải chụm vào nhau để chung 1 số nhỏ. Suy ra là chỉ có hàng sát dưới cùng mới có thể có đến 2 số lớn, các hàng trên đó nhiều nhất là một số lớn.

    Ngày thứ hai gồm 3 bài, trong đó có bài số 6 là một bài hình học phẳng đề bài ngắn gọn nhưng lại là bài khó học sinh VN bị rụng hết. So sánh với các đề bài thi HSG ở Việt Nam phần lớn là loằng ngoằng rối rắm vẽ rất nhiều đường phụ, thì đề bài số 6 này có vẻ thú vị hơn nhiều. Bài 4 và bài 5 thuộc diện khó vừa phải, nhiều người làm được.

    Bài số 4. Bài này cần nghĩ mẹo một chút. Tìm ra mẹo thì gỉai xong rất nhanh trong vòng vài phút, còn nếu không thì cứ thử loanh quanh mãi.

    Đáp số của bài 4 là 1/4 tổng số điểm, trong trường hợp này là 400/4 = 100, tức là bạn đi đầu luôn đặt được (ít nhất) 100 viên sỏi đỏ, và bạn đi sau có chiến thuật để bạn đi đầu không đặt được qúa 100 viên.

    Để thấy có thể đặt 100 viên, chỉ cần chú ý là có 200 chỗ có tổng tọa độ x+y là số chẵn. Cứ đặt vào đó thì khoảng cách giữa các viên không thể là căn hai của 5.

    Để thấy cách của bạn đi sau chặn bạn đi trước sao cho không qúa 100, chia bàn cờ thành 10 x 10 = 100 bảng vuông nhỏ 4×4.

    Trong mỗi bảng 4×4 vẽ 4 đường mỗi đường gồm 4 đỉnh như sau, ví dụ cho bảng đầu tiên:

    (1,1), (3,2), (4,4), (2,3)

    (2,1), (4,2), (3,3), (1,3)

    … (hai đường kia tương tự)

    Cứ khi bạn đi trước đi vào một trong các đường đó, thì bạn đi sau cũng đi vào đường đó sao cho bạn đi trước không thể đi thêm vào đường đó nữa. Thế nên chỉ đi được vào mỗi đường 1 viên.

    Bài số 5. Bài này là một bài số học tương đối dễ. Ta chỉ dùng đến tính chất sau:

    A(n+1)/ A1 + An/A(n+1) – An/A1 là số nguyên với mọi n đủ lớn.

    Gỉa sử như p là một thừa số nguyên tố của A1. Nếu như với mọi n đủ lớn An đều chia hết cho p, thì ta chia tất cả các số An với n đủ lớn và A1 cho p rồi xét tiếp.

    Nếu gỉa sử bây giờ với mọi thừa số nguyên tố p của A1 ta có một số An không chia hết cho p, trong đó n lớn hơn là cái số “đủ lớn” trong điều kiện phía trước.

    Suy ra A(n+1) đồng dư với An modulo p. Tức là tất cả các số đều đồng dư với nhau modulo p (với n đủ lớn). Tỉ mỉ hơn thì ta có tất cả các số An đồng dư với nhau modulo A1 khi n đủ lớn.

    Nhưng mà như thế có nghĩa là An/A(n+1) là số nguyên khi n đủ lớn, và suy ra A(n+1) <= An. Dãy không thể gỉam mãi được nên đến lúc nào đó thì dừng.

    Bài số 6 về hình học. Bài này thuộc loại khó, tuy tất nhiên nếu tìm ra hướng gỉai đúng thì … không còn khó nữa.

    Có một cách gỉai như sau:

    Đặt tên các góc XAB và XCD là a, XBC và XDA là b, AXB là 1

    (1 không phải là số 1, mà là góc thứ 1, cần viết dấu mũ trên 1 để cho rõ nhưng ở đây tôi không viết được mũ), góc BXC là 1, CXD là 3, DXA là 4, tất nhiên ta có 1+2+3+4 = 2 pi.

    sin(1).sin(3).sin (pi – b – 2).sin(pi-b-4)= sin2.sin4.sin(a).sin(a)

    sin(2).sin(4).sin (pi – a – 1).sin(pi-a-3)= sin1.sin3. sin(b).sin(b)

    Bây giờ dùng công thức 2 sin(x)sin(y) = cos (x-y) – cos (x+y)

    để đơn gỉan hóa các biểu thức trên, đồng thời đặt A=2a, B=2b, Z= 1+3 – pi, u= cos (1-3), v = cos (2-4), ta được các đẳng thức sau:

    (u+cosZ)/(v+cosZ) = (u+cos(A+Z))/(1- cosB) = (1-cosA)/(v+cos(b-Z))

    Điều cần phải chứng minh là Z=0.

    cosZ – cos (A+Z) < 1 – cosA

    (nếu như Z < 0, và với các giới hạn về các góc A,B,Z như trong bài toán)

    (cộng/trừ các tử số với tử số, mẫu số với mẫu số trong các đẳng thức, rồi dùng các bất đẳng thức dẫn tới mâu thuẫn)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Thi Có Lời Giải Môn Toán Vmo 2022
  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Toán Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2022
  • Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022
  • Đề Kiểm Tra Học Kì I Lớp 7 Môn Sinh Học Năm 2022
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án
  • Bài Toán “sát Thủ” Của Imo 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Quốc Tế Imo 2022
  • Giám Khảo Quốc Tế Bất Ngờ Với Cách Giải Của Thí Sinh Việt Nam Thi Imo
  • Mời Bạn Đọc Thử Sức “cân Não” Với Đề Olympic Toán Quốc Tế
  • Đáp Án Ioe Lớp 11 Vòng 2
  • Đáp Án Ioe Vòng 3 Lớp 11
  • Tuy nhiên cho đến nay, trong khi bài 6 đã có nhiều điểm 7 (trong đó riêng đoàn Hàn Quốc đã có 3 điểm 7) thì ở bài 3, chỉ có 1 điểm 7 duy nhất của Úc và một vài điểm 1, còn lại toàn 0. Vậy bài toán 3 là bài toán thế nào mà “sát thủ” vậy?

    Bài toán 3, do Áo đề nghị, là một bài toán hình tổ hợp thể loại đuổi bắt. Riêng việc đọc đề và hiểu được yêu cầu của đề bài đã là không đơn giản.

    Điểm khó của bài toán là dự đoán kết quả và định hướng đi tiếp thế nào. Chúng ta phải hiểu rằng đường đi của con thỏ cô thợ săn không biết, thiết bị định vị cũng được đặt ngẫu nhiên, chỉ biết là cách xa con thỏ không quá 1. Trong khi đó con thỏ biết cô thợ săn ở đâu.

    Chú ý rằng trong trường hợp câu trả lời là phủ định, ta có thể chủ động đặt thiết vị định vị ở đâu tuỳ ý (điều mà ta sẽ không có được nếu “dự định” chứng minh câu trả lời khẳng định). Chính vì thế mà trong lời giải của mình oneplusone đã trao quyền chủ động cho con thỏ. Có thể nói đây là điểm mấu chốt để giải quyết được bài toán.

    Khi đã có định hướng xây dựng chiến thuật chạy xa, ta có thể bắt đầu từ những khoảng cách nhỏ, ví dụ, 2, 3, 4 để từ đó tìm chiến thuật tổng quát cho thỏ. Đó cũng là chiến thuật giải chung cho các bài toán đuổi bắt.

    Cuối cùng ta có thể nói thêm là ở bài này khó có cơ hội kiếm điểm thành phần.

    TS. Trần Nam Dũng

    TS. Trần Nam Dũng từng là học sinh chuyên toán trường Trung học Phan Châu Trinh ở Đà Nẵng; Đạt huy chương bạc Olympic toán quốc tế (International Mathematical Olympiad: IMO) năm 1983 tại Paris, thủ đô nước Pháp.

    Sau đó Trần Nam Dũng sang Nga làm sinh viên và nghiên cứu sinh tại Đại học Tổng hợp Matxkva mang tên Lomonosov và hiện là giảng viên khoa Toán tin học, Trường Đại học KHTN chúng tôi Ủy viên Ban chấp hành hội Toán học Việt Nam – Phó TBT Tạp chí Pi – Tạp chí Toán học dành cho HSSV của Hội Toán học Việt Nam.

    TS. Trần Nam Dũng đã góp công biên soạn bộ sách Tài liệu giáo khoa chuyên toán 10 gồm 4 quyển (NXB Giáo Dục Việt Nam, 2009).

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lần Đầu Tiên Học Sinh Lớp 10 Thi Olympic Toán Quốc Tế
  • Đáp Án Game Hack Não
  • Ma Trận Và Đáp Án Gdcd 10
  • Top 24 Đề Kiểm Tra Gdcd Lớp 9 Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Đáp Án Four Corners 3B Workbook
  • Đội Tuyển Việt Nam Đã Gặp 6 Bài Toán Cỡ Nào Tại Imo 2022?

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Hợp Các Dạng Bài Sách Market Leader Pre
  • International Mathematics Assessments For Schools
  • Phương Pháp Giải Toán Đố Lớp 3 Dạng Có 2 Lời Giải
  • Đề Kiểm Tra Vật Lý 10 Học Kì I Có Đáp Án
  • Giáo Trình New Headway 6 Dvd (Book+Audio+Video), New Headway (Trọn Bộ 6 Cấp Độ Beginner
  • Cảm ơn nhóm biên tập Epsilon đã kịp thời thực hiện và cùng Bigschool chia sẻ tới các bạn quan tâm.

    BigSchool: Trên cộng đồng đang tranh luận: Kết quả của đội tuyển Việt Nam tại IMO 2022 có phải là cao nhất từ trước tới nay (qua 43 lần Việt Nam tham dự IMO)? Xin được chia sẻ với các bạn:

    THÀNH TÍCH IMO 2022 LÀ THÀNH TÍCH CAO NHẤT TỪ TRƯỚC TỚI NAY CỦA VIỆT NAM

    Đội tuyển toán chúng ta đã từng giành 4 Huy chương Vàng và 2 Huy chương Bạc tại IMO 2004. Nếu so về mầu Huy chương của riêng các đội tuyển toán Việt Nam thì IMO 2004 sẽ hơn IMO 2022.

    Nhưng so thế là khập khiễng vì đó chỉ là con số so sánh thành tích của riêng đội tuyển, chưa nói lên sự tương quan vị trí so với các nước với cùng đề thi mỗi năm. Bởi thế thông thường các nhà tổ chức Olympic Toán Quốc tế sẽ lấy vị trí (không chính thức vì IMO không tính giải đồng đội) từng kỳ IMO để đánh giá các đội. Năm 2004 chúng ta đứng thứ 4 với 85 nước, còn năm nay lên vị trí thứ 3 với 112 nước. Bởi vậy IMO 2022 thành tích của đội tuyển ở vị trí cao hơn IMO 2004.

    Mặt khác, IMO 1999 và IMO 2007 đội tuyển đứng thứ 3 trong các nước tham gia nhưng số Huy chương Vàng ít hơn IMO 2022.

    Như vậy thành tích của đội tuyển Việt Nam tại IMO 2022 là thành tích cao nhất trong 43 lần tham dự Olympic Toán Quốc tế.

     

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Imo 2022
  • Việt Nam Gianh 2 Vàng 4 Bạc Tại Imo 2022: Một Chút Tiếc Nuối, Nhưng Cơ Bản Là Hài Lòng
  • Đáp Án Brain Out – Can You Pass It, Game Hack Não Người Chơi
  • Đáp Án Full Test Lc+Rc Ets 2022 Format
  • Đáp Án Full Test Lc+Rc Ets 2022
  • Việc Chọn Đội Tuyển Imo 2013 Có Vấn Đề?

    --- Bài mới hơn ---

  • Số 93 Có Ý Nghĩa Gì
  • Pháp Nạn Phật Giáo 1963: Nguyên Nhân, Bản Chất Và Tiến Trình
  • Sự Phát Triển Của Thế Giới Factbook 2022 Bằng Tiếng Việt
  • Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 6 Và Lời Giải Chi Tiết Năm 2022
  • Quẻ Số 40: Lôi Thủy Giải
  • (www.MATHVN.com) – Sau khi có Người đưa tin đã có bài đề cập đến việc gia đình học sinh Nguyễn Huy Tùng (Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng) có khiếu nại đối với việc tuyển chọn đội tuyển dự thi IMO năm nay.

    Bà Trần Thị Ánh Tuyết, mẹ của em Tùng cho biết, ngay từ khâu tuyển chọn học sinh vào đội tuyển Toán 2013 này có nhiều “luộm thuộm”. Tháng 4/2013, trên mạng của Bộ GD&ĐT có danh sách em Tùng nhưng cả gia đình và Trường Trần Phú đều không nhận được giấy báo. Khi gia đình gọi lên Trường ĐHSP Hà Nội thì được hẹn 3/5 lên tập trung. Lên đến nơi, khi họp phụ huynh, gia đình mới vỡ lẽ là Đoàn Hải Phòng thiếu lý lịch và ảnh thí sinh. Theo thông báo của thầy phụ trách, ngay 18h tối hôm đó, gia đình lại phải đưa em Tùng về Hải Phòng để làm hộ chiếu (kỳ thi olympic năm nay sẽ diễn ra ở Colombia).

    Để tuyển chọn thí sinh vào Đội dự tuyển, các thí sinh phải làm 3 bài kiểm tra trong 3 tuần. Ngày 18/5, các em làm bài kiểm tra đầu tiên. Ngay sau khi kiểm tra, Tùng kể lại một số bạn rất hớn hở vì “trúng tủ”, các em này đã được luyện 4 – 5 lần. Qua tìm hiểu thì đây là đề thi Olympic Bungari năm 1997. Sở dĩ Tùng chưa được luyện vì em mới học lớp 11.

    “Chúng tôi thấy không công bằng và sai vì trong quy chế ghi rõ: Đề thi chưa được làm ở bất kỳ nơi đâu. Điều kỳ lạ khác là ĐHSP thông báo là sẽ tổ chức 2 buổi kiểm tra vào các ngày thứ năm trong 2 tuần tới. Nhưng họ đột ngột thay đổi, cho thi luôn vào thứ bảy.

    Hơn nữa đề thi thì kém chất lượng không bám sát yêu cầu của đề thi quốc tế. Đặc biệt, không hiểu sao Bộ GD&ĐT lại giao cho ĐHSP tổ chức trong khi trường này cũng có học sinh tham dự đội dự tuyển. Như thế là vi phạm quy chế. Không thể có chuyện vừa cử học sinh vừa tổ chức thi”.

    Cũng theo phụ huynh này, chuyên gia nhiều năm phụ trách đội tuyển đi dự Olympic quốc tế đã nhận xét, hai đề bài kiểm tra sau không đủ tầm quốc tế, một học sinh bình thường cũng có thể làm được.

    Ông Nguyễn Huy Hùng, phụ huynh em Tùng cho biết thêm, ngày 28/5/2013, tôi có gửi một Đơn kiến nghị Bộ GD&ĐT xem xét lại quy trình ra đề thi kiểm tra chọn Đội tuyển Olympic Toán quốc tế và tổ chức kiểm tra lại một cách công bằng, khách quan và trung thực. Tuy nhiên, đến nay tôi chưa nhận được trả lời của Bộ cũng như chưa thấy vấn đề trên được giải quyết triệt để.

    “Ngày 6/6/2013, con trai tôi cho biết vào lúc 17h30 ông phó hiệu trưởng Trường THPT chuyên Sư phạm – ĐHSP Hà Nội đã thông báo danh sách 6 cháu được chọn vào đội tuyển Olympic Toán quốc tế năm 2013; 3 cháu còn lại được yêu cầu rời khỏi nơi tập huấn ngay trong tối cùng ngày. Cho tới thời điểm vừa nêu trên, trường ĐHSP không hề công bố kết quả kiểm tra cho các cháu như Bộ đã quy định tại công văn số 1754/BGDĐT- KTKĐCLGD ngày 18/3/2013”, ông Hùng bức xúc.

    Trước khiếu nại của gia đình em Tùng, Bộ Giáo dục đã chính thức lên tiếng về việc này vào ngày hôm qua.

    Về thắc mắc trong quá trình tập huấn và cho rằng đề thi kiểm tra chọn đội tuyển Toán học Olympic quốc tế không “xứng tầm”, Cục khảo thí khẳng định: Trường ĐH Sư phạm Hà Nội chỉ là đơn vị được Bộ GD-ĐT giao nhiệm vụ chủ trì tập huấn, không thực hiện việc triệu tập học sinh. Theo Kế hoạch ban đầu, Trường ĐHSP Hà Nội ấn định kiểm tra vào các ngày 18/5, 23/5 và 30/5. Tuy nhiên, nếu tổ chức vào ngày 30/5 thì việc chấm thi, xét chọn và báo cáo kết quả về Bộ trong những ngày đầu tháng 6 sẽ quá gấp. Hơn nữa, do lịch thi đột xuất, tối 25/5, Phó ban ra đề kiểm tra phải đi công tác nước ngoài.

    Vì những lý do trên, Trường ĐH SP Hà Nội đã quyết định thay đổi lịch kiểm tra: kiểm tra bài cuối cùng vào ngày 25/5 thay vì ngày 30/5. Việc thay đổi lịch này đã được thông báo cho tất cả các học sinh tập huấn. Không có chuyện đột ngột thay đổi lịch kiểm tra nên tại buổi kiểm tra ngày 25/5 đủ 100% học sinh tham dự.

    Quá trình tập huấn diễn ra nghiêm túc, đảm bảo công bằng đối với tất cả học sinh, không có học sinh nào được luyện tập riêng rẽ. Sau khi xem lại các đề kiểm tra thấy rằng đề kiểm tra lần thứ nhất có câu hỏi trùng lặp về ý tưởng với đề thi Olympic Bulgari 1997 là không vi phạm quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành. Nhằm đảm bảo cho kết quả kiểm tra khách quan, công bằng, chọn đúng học sinh có năng lực thực sự vào đội tuyển đi thi Olympic quốc tế, Trường ĐHSP Hà Nội đã mời các Giáo sư, chuyên gia giỏi ở các đơn vị: ĐH Quốc gia Hà Nội, ĐH Quốc gia chúng tôi Viện Toán học phối hợp cùng các giảng viên Khoa Toán của Trường tham gia các khâu ra đề kiểm tra, coi kiểm tra, chấm kiểm tra.

    “Riêng Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, vì có học sinh trong đội dự tuyển nên cán bộ của trường không tham gia các khâu này. Kết quả chấm bài kiểm tra của các học sinh có điểm phân hóa rất khác nhau, cao nhất là 55,5 điểm và thấp nhất là 19,5 điểm. Do đó, ý kiến cho rằng đề thi kém chất lượng là không có cơ sở” – lãnh đạo Cục khảo thí nhấn mạnh.

    Nguồn: Báo Người đưa tin và Báo Dân trí

    – Sau khi có danh sách 6 học sinh tham dự IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54), báo điện tửđã có bài đề cập đến việc gia đình học sinh Nguyễn Huy Tùng (Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng) có khiếu nại đối với việc tuyển chọn đội tuyển dự thi IMO năm nay.Trước khiếu nại của gia đình em Tùng, Bộ Giáo dục đã chính thức lên tiếng về việc này vào ngày hôm qua.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đáp Án Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán Tỉnh Bình Định
  • Bài Tập Chuẩn Hóa Cơ Sở Dữ Liệu Có Lời Giải Chi Tiết 2022
  • Giải Bài Tập Sgk Hình Học 12 Cơ Bản
  • Đáp Án Môn Toán Kỳ Thi Tốt Nghiệp Thpt 2022 Đợt 2 (24 Mã Đề)
  • Đáp Án Lưu Hoằng Trí Lớp 9 Lưu Hoằng Trí, Đáp Án Sách Tiếng Anh Lưu Hoằng Trí Lớp 9
  • Đề Thi Có Lời Giải Môn Toán Vmo 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Bình Luận Về Đề Thi Imo 2022
  • Tiến Sĩ Lê Bá Khánh Trình Hội Ngộ Người Chấm Giải Đặc Biệt Cho Mình Sau 40 Năm
  • Ts Lê Bá Khánh Trình Nói Về Thành Tích Của Đội Imo Việt Nam
  • Ts Lê Bá Khánh Trình: Học Sinh Thi Olympic Toán Biết Học Và Chơi
  • Olympic Toán Quốc Tế 2022, Việt Nam Bị Loại Khỏi Top 10
  • LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI VMO 2022

    Trần Nam Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quang Hùng

    aff

    Lê Phúc Lữ – Nguyễn Văn Huyện

    1. Lờinóiđầu

    st

    Vậy là đã 7 năm chúng tôi đồng hành cùng các cuộc thi toán với những bài Giải và bình

    thi VMO và TST như một cố gắng đóng góp cho cộng đồng những tài liệu chất lượng, bổ

    n

    2. Thông tin bản quyền

    Ep

    Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Q

    Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Văn Huyện).

    Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. M

    đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ.

    3. Đề thi

    3.1. Ngày thithứ nhất (05/01/2017)

    Bài 1 (5.0 điểm).

    Cho a là một số thực và xét dãy

    số .u

    định bởi

    n / xác

    u1 D a;

    unC1

    r

    8n 2 N :

    2

    Bài 2 (5.0 điểm).

    Tồn tại hay không đa thức P .x/ với hệ số nguyên thỏa mãn

    p3

    p3

    p

    p

    P 1 C 2 D 1 C 2 và P 1 C 5 D 1 C 3 5‹

    aff

    Bài 3 (5.0 điểm).

    Cho tam giác

    ABC nhọn, không cân nội tiếp đường

    .O/:tròn

    GọiH là trực

    tâm của tam giác

    ABC vàE; F lần lượt là chân các đường cao hạ từB;

    các

    C Iđỉnh

    AH cắt

    .O/ tại D (D khác A).

    a) Gọi I là trung điểm của

    AH I E I cắtBD tạiM vàF I cắtCD tạiN :Chứng minh

    rằng M N ? OH :

    st

    b) Các đường thẳng

    DE ; DF cắt.O / lần lượt tại

    P ; Q (P vàQ khácD ). Đường tròn

    ngoại tiếp tam giác

    AEF cắt.O / vàAO lần lượt tại

    R vàS (R vàS khácA). Chứng

    minh rằng BPC; Q và RS đồng quy.

    n

    ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được đi

    hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau; nếu mộ

    và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đ

    các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.

    Ep

    a) Với n D 5; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để tồn tại cách điền

    k sốcân đối cho cách tô màu

    đối xứng ở hình bên dưới.

    A

    B

    D

    C

    b) Vớin D 2022;tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại

    cách điền số kcân đối.

    3

    3.2. Ngày thithứ hai(06/01/2017)

    Bài 5 (6.0 điểm).

    Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn hệ thức

    f xf .y/

    f .x/ D 2f .x/ C xy

    với mọi số thực x; y:

    a)

    aff

    kD1

    b)

    2016

    st

    kD1

    n

    Ep

    Về cấu trúc, đề thi gồm 7 bài toán. Ngày đầu có 4 bài, mỗi bài được 5 điểm thuộc 4 phâ

    Giải tích, đại số, hình học, tổ hợp. Ngày thứ hai có ba bài thuộc ba phân môn: Đại số, số

    hợp với số điểm tương ứng là 6, 7, 7.

    Đề thi ngày thứ nhất, trừ bài cuối là khá cơ bản và quen thuộc.

    Bài 1 là bài giải tích yêu cầu khảo sát sự hội tụ của một x

    dãy

    D f .n

    hồi; dạng

    xn / :

    nC1 truy

    Về nguyên tắc, dạng dãy số này khó khảo sát hơn dạng

    x nC1

    dãyDtruy

    f .x hồi

    n / vì

    2 nC3

    các hệ số của hàm

    f không hằng mà biến thiên

    n theo

    :Tuy nhiên, nếu để

    ý dần đến

    q nC1

    1

    2 khin dần đến vô cùng thì ta có thể “quy về” dãy

    x nC1sốDdạng

    C x n C 14 và dự

    2

    đoán được giới hạn bằng

    3 :Từ đó dùng bổ đề quen thuộc: “Nếu tồn qtại2 số

    . 0thực

    ;1 /

    sao cho

    x nC1 q x n C bn vớilim bn D 0 thì ta có

    lim xn D 0″, thì từ đánh giá đơn giản

    j unC1

    3j

    3j C

    ta sẽ suy ra kết luận bài toán. Ở đây, chú ý là câu b) cũng làm hoàn toàn tương t

    kiện đối với

    a chẳng qua là uđể

    2 xác định. Chú ý là dạng bài dãy số này đã xuất hiện ở

    hai kỳ VMO gần đây (2012 và 2022) với cùng cách giải tương tự thông qua bổ đề nói

    4

    aff

    Bài 2 là một bài toán về xác định đa thức thoả mãn một điều kiện cho trước. Bài nà

    học sinh nắm vững lý thuyết về đa thức tối thiểu của số đại số thì sẽ giải rất nhanh.

    ta có định lý rất cơ bản sau:

    P .Nếu

    x /vàQ.x / là các đa thức đơn khởi, hệ số nguyên có

    chung nghiệm ˛ và Q . x / là bất khả quy thì P . x / chia hết cho Q . x / :

    p3

    p

    Ta đặtQ.x / D P .x C 1/

    1 thì 2 và 5 tương ứng sẽ là nghiệm của đa thức

    Q.x / x vàQ.x / 3x 1 :Vì các đa thức

    x 3 2 vàx 2 5 bất khả quy trên

    Z nên từ

    3

    2

    đây sẽ suy ra ngay

    Q.x / x D .x

    2 / S . xvàQ.x

    /

    / 3x 1 D .x

    5/T.x/:

    3

    2

    Từ đây sẽ 2x

    ra C 1 D .x

    2 / S . x /. x

    5 / T . x /Đến

    : đây, chọn

    x D 7 sẽ suy

    ra điều mâu thuẫn vì vế phải chia hết cho 1 1 ; còn vế trái thì không.

    st

    n

    Ý tưởng dạng này đã xuất hiện trong các kỳ VMO, nhưng từ rất lâu, cụ thể là VMO 1

    Trước đó nhiều

    năm,

    VMO 1984 có bài tìm đa thức đơn khởi hệ số nguyên bậc nhỏ

    p

    p3

    có nghiệm là2 C 3 :Chính qua những bài toán như vậy khái niệm đa thức tối thiểu

    (và sau này là mở rộng trường) được giới thiệu.

    Bài 3 là một bài toán hình khá nhẹ nhàng, câu a) quy về việc

    Mchứng

    N là trục

    minh

    đẳng phương của hai đường

    .ABtròn

    C / và.DEF /: Câu b) cũng là một cấu hình rất

    quen thuộc mà trong đó có cả điểm Miquel, tứ giác điều hoà, đường đối trung, đường

    giác, định lý Pascal.

    Tuy

    . . nhiên, cách tiếp cận chân phương nhất là dùng đồng dạng, m

    kiến thức hoàn toán lớp 9.

    Ep

    Bài 4, bài toán tổ hợp là bài khó nhất của ngày thi thứ nhất, cũng là bài toán lạ nhất.

    việc đọc hiểu được đề bài cũng đã tốn khá nhiều thời gian, vì vậy, việc cho câu a), m

    huống rất cụ thể với bảng kích thước nhỏ là hết sức cần thiết, vừa tạo cơ hội cho h

    kiếm điểm, vừa để học sinh “làm quen và cảm nhận” bài toán. Với câu a), chỉ cần q

    lý luận đơn giản (chú ý đến tính đối xứng, do

    i và

    đócột

    hàng

    i là giống nhau) là ta thấy

    k D 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán. Như vậy, chỉ còn cần chỉ

    k Dra3ví

    làdụ với

    hoàn thành được câu này.

    Với phần b) thì khó khăn hơn. Riêng việc đoán ra đáp số đã là không đơn giản. Thực

    nhiều lời giải sai (với đánh

    kD

    giá2007) đã được đưa ra (trong đó có những lời giải của

    người ở bên ngoài, trong điều kiện thoải mái về thời gian). Với câu này, cần tiếp tục

    tính đối xứng để chỉ ra một cấu hình tốn nhiều số nhất. Và cấu hình này chính là cấu

    đen trắng xen kẽ. Với cấu hình này, ta có thể suy ra ra tất cả các số dương ở nửa tam

    2022 2 1

    đôi một khác nhau. Suy

    k 1008C1008C1006C1006C

    ra

    C2C2 D

    :

    4

    Để chứng minh điều kiện đủ, ta có thể sử dụng quy nạp Toán học 2

    với

    :Điều

    bước nhảy là

    này có thể giải thích được vì nếu tinh ý, chúng ta có thể đưa bài toán về mô hình đ

    sử dụng định lý Mantel-Turan để giải quyết.

    Ngày thi thứ hai:

    5

    Tìm tất cả các hàm sốRf !WR thỏa mãn

    f

    xf .y / C f .x /

    D 2f .x / C xy

    Ep

    n

    st

    với mọi số thực yx :;

    aff

    Bài 5là một bài toán phương trình hàm có hai biến tự do vàxy

    cóởbiểu

    ngoài

    thức

    dấu

    hàm số:

    f xf . y / f . x / D 2f .x / C x y :Với những phương trình hàm như vậy,

    điều đầu tiên mà ta cần để ý khai thác, đó là tính song ánh của hàm số. Sau đó ta

    xảy ra trường hợp

    f .0/ D 0 hay không, hayf là

    .0/ D c ¤ 0 và tồn tại

    u ¤ 0 để

    f . u / D 0 :Từ đây tiếp tục thế một cách thích hợp sẽ

    f .x

    tìm

    /D

    được

    1 x là hàm số

    duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán. Đáng chú ý, bài toán này có hình thức khá gi

    đề Olympic của Brazil năm 2006. Cách giải của hai bài toán cũng khá giống nhau. Đ

    Brazil 2006 như sau

    6

    k D1

    p

    k Cpk D

    X2

    1

    p

    p Cpk

    Dp

    k D1

    0

    3

    C pk

    1

    1

    2

    1

    1

    1

    A:

    C pk

    p

    Cp

    1

    2

    1

    1

    2

    st

    X2

    1

    aff

    p

    X2

    A

    Tiếp theo là nhiệm vụ của số học với định lý nhỏ Fermat và

    C pktính

    chấtp(cụ

    của

    1 mod

    k

    k

    thể ta có

    Cp 1 .

    1 / .mod p )/. Ở câu b), ta cũng thực hiện phép rút gọn tổng bằng

    p

    1

    p

    1

    n

    Bài 7 là một bài hình học khó có tính phân loại cao, đặc biệt là ở câu b). Ở câu a)

    toán vẫn khai thác các vấn đề quen thuộc như điểm Miquel, trục đẳng phương và tâm

    phương, và đa số thí sinh đã giải quyết được vấn đề nhưng sang đến câu b) thì dườ

    chỉ có các cao thủ hình học mới đủ sức xử lý. Có lẽ bài toán được lấy ý tưởng dựa tr

    phương pháp điều hoà và xạ ảnh.

    Ep

    Tóm tắt lại, nếu đánh giá về độ khó thì đề năm nay khá dễ chịu, có nhiều câu thí sinh c

    được như câu 1, 2, 3, 5. Ngay cả với những bài khó hơn như 4, 6, 7 cũng có ý để ăn điểm

    4a, ý điều kiện cần của câu 4b), câu 6a, ý rút gọn của câu 6b), câu 7a. Về độ mới và ha

    bài 1, 2, 5 có ý khá cũ. Sự lặp đi lặp lại của ý tưởng bài 1 cho thấy lối mòn trong việc kh

    đề tài giải tích. Tại sao lại phải là dãy số và giới hạn mà không phải là những vấn đề r

    như sự liên tục, ứng dụng của đạo hàm bậc2?nhất,

    Bài 3bậc

    không mới nhưng đặt vấn đề đẹp

    và phù hợp trong bối cảnh ngày thi có 4 bài. Bài 6 cũng là một bài không mới, với ý rút

    tổng. Phần số học của bài này sẽ tạo thuận lợi cho các đội mạnh, nơi các học sinh được

    kiến thức đầy đủ hơn về các tính chất của số nguyên tố (như các định lý nêu trên trong p

    luận về bài 6 cùng các phương pháp chứng minh của chúng). Hai bài toán đẹp nhất và c

    nhất của đề thi là bài số 4 và số 7, trong đó bài 4 khai thác cách phát biểu thú vị về dạn

    lưỡng phân, còn bài 7 là các tính chất xạ ảnh đẹp đẽ và sâu sắc.

    Với những nhận xét và đánh giá trên, theo chúng tôi, sẽ rất khó dự đoán điểm chuẩn chín

    vì khu vực 15 đến 20 điểm sẽ rất dày đặc. Trong 7 bài toán, có đến 5 bài có hai ý a), b) và

    số sẽ hết sức phụ thuộc vào sự phân bố điểm ở các câu này. Dù vậy, qua khảo sát sơ bộ

    dự thi, chúng tôi tạm đưa ra dự đoán bộ điểm chuẩn rất chẵn của năm nay như sau: Khuy

    15 điểm (1, 2, 5), giải 3: 20 điểm (1, 2, 3, 5), giải nhì 25 điểm: (1, 2, 3, 5) + (4a + 6a +

    nhất 30 điểm: phải giải quyết được các vấn đề xương xẩu hơn như 4b, 6b, 7b hoặc làm

    bài trên rất chuẩn.

    7

    .1/

    aff

    a) Khi a D 5 ; chứng minh rằng dãynsố

    / có. ugiới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

    b) Tìm tất cả các giá trị của số a để dãy

    số .định

    u và có giới hạn hữu hạn.

    n / xác

    a

    st

    Lờigiải.Ta sẽ giải trực tiếp ý b), từqđó suy ra kết quả cho ý a). Có

    . uthể

    thấy

    định

    dãy

    n / xác

    1

    5

    1

    khi và chỉ khi2 uxác định. Mà2 uD 2 C

    a C 4 nên u2 xác định khi và chỉ khi

    2

    n

    Ep

    17

    4C

    17

    với mọin 2 : Vậy dãy

    . un / tăng ngặt và

    bị chặn trên bởi2 nên có giới hạn hữu hạn. Đến đây, bằng cách chuyển phương trình

    sang giới hạn, ta cũng thu được

    lim

    3: u

    n D

    Tóm lại, với mọi a

    thì dãy . nu/ xác định và hội tụ về 3 :

    8

    un C

    C

    j un

    3j C q

    st

    q

    aff

    un C

    C

    un C

    q

    un C

    C

    C

    C

    <

    D

    n

    q

    <

    C

    D

    Do đó, kết hợp với đánh giá ở trên, ta thu được

    j unC1

    3j

    3j C

    8n 2 :

    Ep

    Đến đây, bằng cách sử dụng bổ đề quen thuộc (có thể chứng minh bằng định nghĩa giới h

    Cho số thực

    q 2 . 0 ;1 / :Xét hai dãy không. âm

    an / ; . bn / thỏa mãn

    anC1 q a n C b n với

    mọi n 2 N và lim nb D 0 : Khi đó, ta có lim

    D

    a

    0:

    n

    Ta dễ dàng suy ra lim

    3 và hoàn tất lời giải cho bài toán.

    n Du

    9

    a) Với a D 0 ; chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

    b) Với mọi a 2 Œ 10 ; chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.

    Bài 2 (5.0 điểm).

    Tồn tại hay không đa thức P . x / với hệ số nguyên thỏa mãn

    1C

    p3

    2 D1C

    p3

    2 và P

    1C

    p

    5 D1C3

    p

    5‹

    aff

    P

    Lờigiải.Giả sử đa thức

    P . x /nói trên tồn tại. Đặt

    Q.x / D P .1 C x /

    1 thìQ.x / cũng

    p3

    p3

    p

    p

    là đa thức với hệ số nguyên. Từ giả thiết, ta2cóDQ 2 và Q

    5 D3 5:

    Q.x /

    x D .x

    3

    st

    n

    p

    p

    Do R .x / có các hệ số đều nguyênRnên 5 có dạnga C b 5 với a ;b 2 Z: Thay

    p

    x D 5 vào đẳng thức trên, ta được

    p

    p

    2 5D 5 5

    2

    aCb

    p

    5 D 25b

    2 a C .5a

    suy ra5a 2 b D 2và2 a D 25b :Tuy nhiên, không có cặp số nguyên nào thỏa mãn đồng

    thời hai tính chất này. Mâu thuẫn nhận được chứng

    P .tỏ

    x đa

    /thỏa

    thức

    mãn đồng thời các tính

    chất ở đề bài không tồn tại.

    Ep

    3. (International Zhautykov Olympiad, 2014) Tồn tại không

    P . xđa

    /với

    thức

    các hệ số

    p

    p

    p

    p

    nguyên thỏa mãn 1P C 3 D 2 C 3 và P 3 C 5 D 3 C 5?

    10

    Bài 3 (5.0 điểm).

    Cho tam giác

    AB C nhọn, không cân nội tiếp đường

    . Otròn

    / :Gọi

    H là trực tâm của tamAB

    giác

    C vàE ; F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh

    B ; C I A H cắt . O / tại D (D khác A).

    a) Gọi I là trung điểm của

    AH I E I cắtBD tạiM vàF I cắtCD tạiN :Chứng minh

    rằng M N ? OH :

    aff

    b) Các đường thẳng

    DE ; DF cắt.O / lần lượt tại

    P ; Q (P vàQ khácD ). Đường

    tròn ngoại tiếp tam AEF

    giác cắt.O / vàAO lần lượt tại

    R vàS (R vàS khácA).

    Chứng minh rằng BP

    C ;Q và RS đồng quy.

    st

    Lờigiải.a)Gọi J là đường tròn Euler của tam

    ABgiác

    C thì. J / đi quaE ; I ; F đồng thời

    J là trung điểm

    OH . Dễ thấy

    D đối xứngH quaB C nên tam giác

    BDH cân tạiB . Cũng dễ

    thấy tam giác

    IEH cân tạiI nên∠IEH D ∠IHE D ∠BHD D ∠BDH;

    suy ra tứ giác

    BDE I nội tiếp. Mà DB cắt E I tại M nên

    MD:

    n

    ME MIDMB

    Từ đó phương tích của

    M đối với đường tròn

    . J / và.O / bằng nhau. Tương tự phương tích

    củaN đối với đường tròn

    . J / và.O / bằng nhau. Vậy

    M N là trục đẳng phương .O

    của

    /

    và .J / nên M N ? OJ . Do J là trung điểm OH nên M N ? OH .

    A

    I

    Ep

    M

    J

    E

    O

    C

    N

    b)Gọi X là trung điểm

    EF . AH cắtB C tạiK . Dễ thấy các tam BF

    giác

    E vàKHE đồng

    dạng (g-g).

    X là trung điểm

    EF vàK là trung điểm

    HD nên hai tam giác

    BF X vàDHE

    đồng dạng (c-g-c), suy

    ∠FraBX D ∠HDE D ∠F BP . Từ đó suy ra ba điểm

    B ;X ;P

    thẳng hàng. Tương tự ba điểm

    X ;Q

    C cũng

    ;

    thẳng hàng.

    A

    O

    K

    D

    R

    C

    aff

    F

    st

    S

    n

    Gọi AL là đường kính của

    .O / thì dễ thấy

    SH đi quaL và tứ giác

    HBLC là hình bình hành

    nênH L đi qua trung điểm

    M củaB C. Dễ thấy hai tam SE

    giác

    C vàSF B đồng dạng (g-g)

    nên hai tam giác

    SEF vàS CB đồng dạng (c-g-c), hai tam giác này có trung tuyến tương ứn

    là SX vàS M nên∠F SX D ∠B S M . Cũng có hai tam giác

    SF B vàSRL đồng dạng (g-g)

    nên hai tam giác S F R và S B L đồng dạng (c-g-c). Suy ra

    ∠F SR D ∠B SL D ∠B S M D ∠F SX:

    Từ đó, ta có ba điểm

    S ; X ; R thẳng hàng. Vậy

    SR đi quaX . Đều này chứng tỏ ba đường thẳng

    BP ; C Q và RS đồng quy tại trung điểm X của EF .

    Ep

    Tham khảo tại: http://analgeomatica.blogspot.com/2015/06/ve-mot-bai-toanhinh-hoc-tu-dien-aops.html

    12

    R

    E

    st

    B

    aff

    J

    Q

    Mặt khác phép đồng dạngP tâm

    biến đoạn

    CE thànhFB nênJ cũng biến thành

    I; do đó

    ı

    ∠JPI D ∠EPB D 180

    ∠BAC , từ đó tứ giác GIPJ nội tiếp. Ta có biến đổi góc

    n

    ∠IGP D ∠IJP D ∠BEP D ∠BAP D ∠BGQ

    ∠GPI D ∠GJI D ∠GCB D ∠GQB:

    Từ đó hai tam giác

    GIP vàGBQ đồng dạng. Như vậy phép đồng dạng

    G biếnI

    tâmthànhP

    và đoạn

    FB thành đoạn

    LQ . Mặt khác,

    I là trung điểm

    FB nênP là trung điểm

    LQ . Từ đó,

    gọiM là trung điểm

    EF . Ta dễ thấy hai tamBFE

    giácvàPLE đồng dạng. Từ đó, hai tam giác

    BFM vàQLE đồng dạng. Vậy

    ∠FBM D ∠LQE D ∠FBR nênBR đi quaM . Ta có điều

    phải chứng minh.

    Ep

    A

    F

    E

    B

    Q

    13

    Gọi R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có biến đổi diện tích

    ŒBFR ŒBFR ŒBAR ŒBRQ

    D

    ŒBER ŒBAR ŒBRQ ŒBER

    ABARBR

    4R

    BRRQQB

    4R

    Vậy BR chia đôi EF .

    aff

    st

    n

    Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn .O/. P là điểm bất kỳ trong tam giác

    choR đối xứng

    P quaBC thìR nằm trên

    .O/ . PB; P C lần lượt cắt

    CA; AB tạiE; F . Đường

    tròn.AEF / cắt.O/ tạiG khácA. GP cắtBC tạiM và cắt.O/ tạiD khácG. AD cắt.AEF /

    tại Q khác A. Chứng minh rằng GQ chia đôi EF .

    Lờigiải.Dễ thấyP nằm trên

    .AEF / . Ta có∠DP C D ∠FP G D ∠FAG D ∠PDB nên

    P C k DB. Tương tự, ta cũngPB

    cók DC; do đó tứ giác

    PBDC là hình bình hành PD

    nênđi

    qua trung điểm M của BC .

    A

    Ep

    G

    F

    E

    B

    Q

    O

    C

    M

    R

    D

    Gọi giao điểm của

    GQ vàEF làN . Dễ thấy phép đồng dạng

    G lần

    tâmlượt biến

    E; F thành

    C; B. Lại có hai tam giác GFB và GQD đồng dạng (g-g) nên ∠F GB D ∠QGD; suy ra

    ∠NGF D ∠MGB:

    Do đó cũng phép đồng dạng tâm G đó biến N thành M . Vậy N là trung điểm EF .

    14

    Bài toán trên cũng có thể được mở rộng hơn nữa như sau

    aff

    Bài chúng tôi tam giác

    ABC nội tiếp trong đường .O/

    tròn

    . P là điểm bất kỳ trong tam giác.

    PB; P C lần lượt cắt

    CA; AB tạiE; F . Đường tròn

    .AEF / cắt.O/ tạiG khácA. M là điểm

    bất kỳ trên cạnh

    BC . GM cắt.O/ tạiD khácG. AD cắt.AEF / tạiQ khácA. GQ cắtEF tại

    N . Chứng minh rằng

    MB

    NF

    D

    :

    MC

    NE

    A

    G

    F

    P

    Q

    M

    C

    n

    B

    N

    st

    E

    D

    Lờigiải.Dễ thấy phép đồng dạng

    G lần

    tâmlượt biến

    E; F thànhC; B. Lại có hai tam giác

    GFB vàGQD đồng dạng (g-g) ∠FGB

    nên D ∠QGD suy ra∠NGF D ∠MGB; do đó cũng

    phép đồng dạng tâm G đó biến N thành M . Vậy

    MB

    NF

    D

    :

    MC

    NE

    Ep

    Ta thu được điều phải chứng minh.

    Các bạn có thể làm các bài toán sau đây đề luyện tập thêm:

    1. (Mở rộng ý a) bài toán 3 VMO 2022) Cho tam

    ABC giác

    nội tiếp đường tròn

    .O/ . Một

    đường tròn

    .K/ đi quaB; C cắtCA; AB tạiE; F khácB; C . BE cắtCF tạiH . AH cắt

    .O/ tạiD khácA. Tiếp tuyến E;

    tạiF của.K/ lần lượt cắt

    DB; DC tạiM; N . Chứng

    minh rằng MN ? OH .

    2. (Mở rộng ý b) bài toán 3 VMO 2022) Cho tam

    ABC giác

    nội tiếp trong đường.O/

    tròn

    .

    P là điểm bất kỳ trong tam giác sao

    R đối

    choxứngP quaBC thìR nằm trên

    .O/ .

    PB; P C lần lượt cắt

    CA; AB tạiE; F . Đường tròn

    .AEF / cắt.O/ tạiG khácA. D

    thuộc.O/ sao cho

    DR k BC . AD cắt.AEF / tạiQ khácA. DE; DF cắt.O/ tạiS; T

    khác D. Chứng minh rằng BS; C T; GQ đồng quy.

    15

    aff

    st

    ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được

    trên hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau

    một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền

    hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.

    a) Với n D 5; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để tồn tại cách điền

    k số

    cân đối cho cách tô

    màu đối xứng ở hình bên dưới.

    B

    n

    A

    C

    Ep

    D

    b) Vớin D 2022;

    tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại

    cách điền số kcân đối.

    5

    ¤ ;:

    16

    Ta sẽ chứng minh k D 3 thỏa với cách điền như sau:

    0

    1

    1

    0

    2

    2

    1

    2

    0

    2

    2

    2

    2

    0

    3

    3

    0

    3

    aff

    3

    2

    st

    1

    1

    Ep

    n

    b)Điều kiện cần: Trước hết, xét cách tô màu đối xứng như bàn cờ, tức là trắng đen xen

    hình, trong đó vị trí .i; j / sẽ được tô đen nếu i C j chẵn, ngược lại thì tô trắng.

    Xét hai ô trắng bất kỳ trong bảng ô vuông trên

    .a; b/ởvà.c;

    vị tríd /; 1 a; b; c; d 2022:

    Nếua C cchẵn thì

    b C d cũng chẵn, suya ra

    C d vàb C clẻ. Khi đó, một trong hai ô

    .a; d /và.b; c/ sẽ được tô đen vì chúng không thể cùng nằm trên đường chéo màu x

    Suy ra hai ô vuông trắng phải được điền số khác nhau.

    Nếua C clẻ thìb C d cũng lẻ, xét.d;

    ô c/ điền cùng số với

    .c;ôd /thì rõ ràng ta có thể

    áp dụng lập luận trên để suy ra hai số điền cho hai ô hai khác nhau.

    Từ đó suy ra tất cả các số điền cho các ô trắng nằm ở nửa trên bên phải của bảng là đôi m

    biệt. Do đó, ta thu được kết quả

    k 2C4C6C

    2017

    Điều kiện đủ: Ta sẽ chứng minh

    k Drằng

    4

    1

    thỏa mãn bài toán bằng quy nạp

    kết quả

    j 2rằng

    k

    n

    trên cũng đúng với mọi bảng có kích

    n thước

    n vớin là số nguyên dương, cụ kthể

    D là4 :

    17

    Thật vậy, với n D 1; n D 2; n D 3; ta dễ dàng kiểm tra được các kết quả tương ứng.

    Xét n 5 và giả sử khẳng định đúng với mọi số nguyên dương bé hơn n:

    Đánh số cách hàng

    1 !từn và cột1 ! n . Ta sẽ chứng minh rằng với mọi vị trí của các ô đen

    thì luôn tồn tại cách điền các số nguyên dương không

    kn vào

    vượt

    ô trắng

    quá còn lại trong bảng

    (trường hợp điền số âm thì tương tự vì tính bình đẳng).

    aff

    Xét graph

    G D .V; E/ màV là tập hợp các đỉnh, đỉnh

    i ứng

    thứ với hàng

    i và1 i n ; còn

    E là tập hợp các cạnh, trong đó có cạnh nối từ

    i đến

    đỉnh

    đỉnh

    thứthứ

    j nếu như tại.i;ô j / và

    ô .j; i / là ô màu trắng. Ta phát biểu bổ đề sau:

    Bổ đề (Định lý Mantel-Turan).

    Xét mộtj graph

    đơn vô hướng

    n đỉnh

    có và

    k cạnh. Khi đó, nếu

    k

    2

    n

    graph này không có chứa tam giác thì

    k

    :

    4

    Áp dụng vào bài toán, ta xét các trường hợp sau:

    st

    j 2k

    Nếu graph

    G không có chứa tam giác, theo bổ đề thì nó sẽ có nkhông

    cạnh,

    quá

    nghĩa

    4

    j 2k

    j 2k

    n

    là có không quá

    ô trắng nên có thể dùng

    k D n4 số nguyên dương điền vào các ô

    4

    đó (cho dù vị trí của các ô đen thế nào đi nữa).

    n

    Nếu graph

    G có chứa tam giác, giả sử các

    a; đỉnh

    b; cphân biệt được nối với nhau đôi

    một. Điều này tương ứng với việc

    .a;các

    b/; ô

    .b; c/; .c; a/và.b; a/; .c; b/; .a; c/là

    giao điểm của các hàng

    a; b; cđều được tô màu trắng. Khi đó, các số điền vào các ô đó

    không cần phải phân biệt và tập hợp các ô trắng (nếu có) còn a;

    lạib;

    trên

    ccũng

    các hàng

    không cần phải rời nhau. Rõ ràng trên mỗi hàng sẽ còn lại không

    3 ô nhưquá

    thế.

    n

    Khi đó, ta có thể dùng

    1số để điền vào các ô trắng ở trên và dùngnkhông

    3số quá

    phân

    biệt để điền vào mỗi ô còn lại của mỗi hàng.

    Nếu không

    3 hàng

    a; b; c, ta còn lại

    n 3 hàng, sử dụng giả thiết quy nạp thì cần

    j tính

    k

    .n 3/ 2

    không quá 4

    số nguyên dương phân biệt cho các hàng đó.

    Ep

    j 2k

    Tóm lại, trong mọi trường hợp, ta đều cần sử dụng nkhông

    số nguyên

    quá

    dương phân biệt

    4

    j 2k

    n

    để điền vào các ô trắng hay nói cách khác

    cũng

    k D thỏa mãn đề bài với bảng n n:

    4

    Theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định được chứng minh. Vậy giá trị tốtknhất

    là cần tìm c

    20222 1

    . Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

    4

    Bài toán này thuộc dạng cực trị tổ hợp và đòi hỏi phải xử lý cả điều kiện cần và đủ thì mớ

    kết luận được đáp số của bài toán.

    18

    Ở phần a), ta thấy kích thước của bảng là nhỏ nên có thể thử trực tiếp các số để kiểm t

    xây dựng cũng khá nhẹ nhàng. Chú ý rằng một số có thể được sử dụng lại nhiều lần the

    bài nếu đọc không cẩn thận, ta dễ hiểu nhầm đáp số câu a) là k D 5:

    Phần b) thử thách hơn nhiều với kích thước bảng lớn, và quan trọng hơn là cách tô đối xứ

    nên chưa thể định hướng được ngay giá trị “vừa đủ lớn” của k:

    aff

    Ý tưởng mấu chốt là chỉ ra một mô hình đặc biệt mà ở đó,kđòi

    phải

    hỏiđạt

    giáđược

    trị cực đại

    thì mới đủ để điền vào. Và bàn cờ ở trên chính là mô hình cần phải tìm, số các ô đen tr

    xen đòi hỏi tất cả các số dương điền vào các ô trắng phải phân biệt nhau, các số âm cũ

    st

    Đoạn khó khăn chính là việc xây dựng cách đánh số cân đối cho mọi mô hình. Thực tế

    2

    1

    như các cách xây dựng trực tiếp thuật toán để kđiền

    D 2022

    vào

    với

    đều không thành công

    4

    do các mô hình có thể biến đổi rất phức tạp. Cách tiếp cận dùng đồ thị ở trên cũng chỉ mớ

    minh được là cách đánh số cân đối sẽ luôn tồn tại chứ chưa chỉ ra cách xây dựng cụ th

    nhiên, về mặt lập luận thì như thế là đủ.

    n

    Điểm mới lạ của bài toán này chính là việc sử dụng ngôn ngữ đồ thị để giải quyết vấn

    cách tiếp cận mà trước giờ khá ít khi xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Quốc gia. Địn

    Mantel-Turan về tồn tại graph con đầy đủ trong một graph đơn vô hướng là tương đối que

    đối với các học sinh có học qua về lý thuyết graph. Đặc điểm của các bài toán dùng Mant

    là thường che giấu được vấn đề khá kỹ và khó xử lý tốt bằng các cách thông thường.

    Định lý này có cách chứng minh dùng quy nạp là phân hoạch tập hợp đỉnh thành A; B rồ

    Đếm số cạnh trong A; đếm số cạnh trong B:

    Đếm số cạnh nối giữa A; B:

    Ep

    1. (MOSP, 2011) Xét các số xthực

    : Chứng minh rằng có khôngn4 quá

    cặp

    1; x2; : : : ; nx

    .i; j / với 1 i < j n sao cho 1 < jxi xj j < 2:

    2

    2. (China TST, 1987) Trong mặt phẳng

    2nđiểm

    cho với

    n 2 và có tất n

    cả

    C 1đoạn thẳng

    nối chúng. Chứng minh rằng

    a) Tồn tại ít nhất một tam giác.

    b) Tồn tại hai tam giác có chung cạnh.

    c) Tồn tại ít nhất n tam giác.

    19

    Bài 5 (6.0 điểm).

    Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn hệ thức

    f xf .y/

    f .x/ D 2f .x/ C xy

    .1/

    với mọi số thực x; y:

    f f .y/

    f .1/ D y C 2f .1/; 8y 2 R:

    aff

    Lờigiải.Thay x D 1 vào (1), ta được

    .2/

    Từ đây có thể thấy fhàm

    là một song ánh. Do đó, tồn tại duy nhất

    a đểf

    số thực

    .a/ D 0:Thay

    x D a vào phương trình (1), ta được

    Trong (3), cho

    y D 0;ta được

    f af .0/

    Suy ra a D 0 hoặc f .0/ D 1:

    D ay;

    8y 2 R:

    st

    f af .y/

    .3/

    D 0 D f .a/:Từ đó, do

    f đơn ánh nên taafcó

    .0/ D a:

    n

    Xét trường hợp

    a D 0;tứcf .0/ D 0:Thayy D 0 vào (1), ta được

    f

    f .x/ D 2f .x/: Dof

    toàn ánh nên taf .x/

    có D 2x với mọix 2 R: Tuy nhiên, khi thử lại, hàm này không thỏa mãn

    phương trình (1). Do đó a ¤ 0; suy ra f .0/ D 1:

    Thayx D 0 vào (1), ta được

    f . 1/ D 2:Thayy D a vào (3), ta được

    a2 D f .0/ D 1;suy ra

    a D 1 (do f . 1/ D 2), tức f .1/ D 0: Đến đây, ta có hai cách tiếp cận như sau:

    Cách 1. Do f .1/ D 1 nên phương trình (2) có thể viết lại dưới dạng

    f f .y/

    D y;

    8y 2 R:

    .20/

    0

    Thay y bởi f .y/ vào (1) và sử dụng

    /; ta.2được

    f xy

    f .x/ D 2f .x/ C xf .y/;

    8x; y 2 R:

    Ep

    f .x/

    Trong phương trình này, ta xét x ¤ 0 và thay

    ; ta

    y Dđược

    x

    suy ra

    f

    D

    1

    ;

    8x ¤ 0:

    Thay y Df .x/

    vào (1) và sử dụng kết quả trên, ta được

    x

    f1

    3f .x/ D 3f .x/;

    8x ¤ 0:

    Dof song ánh và

    f .0/ D 1nên với

    x ¤ 0 thì1 3f .x/ có thể nhận mọi giá trị thực 2:

    khác

    Do đó, từ kết quả trên, ta suy ra được f .x/ D x C 1 với mọi x ¤ 2:

    Nói riêng,ta cóf .3/ D 2: Thayy D 3 vào.20/; ta đượcf . 2/ D 3: Tóm lại,ta có

    f .x/ D x C 1 với mọi x 2 R: Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các yêu cầu bài toán.

    20

    Cách 2. Thay y D 1 vào (1), ta được

    f

    f .x/ D 2f .x/ C x;

    8x 2 R:

    .4/

    aff

    Lần lượt thay

    x D 1 vàx D 2 vào đẳng thức trên, tafđược

    . 2/ D 3vàf . 3/ D 4:Chú ý

    0

    rằngf .1/ D 0nên ta cũng có đẳng.2

    thức

    / như cách 1 ở trên, do đó bằng cách

    x bởif

    thay

    .x/

    vào (4), ta được

    f . x/ D f .x/ C 2x; 8x 2 R:

    Từ đây suy fra.2/ D 1 vàf .3/ D 2: Bây giờ, ta sẽ chứng minh

    x D 1 là nghiệm duy

    nhất của phương trình

    f .t / D 2t: Thật vậy, giả sử có

    b số

    ¤ 1 sao cho

    f .b/ D 2b; ta thay

    x D b và y D 3 vào (1) thì được 1 D f .0/ D 4b C 3b; suy ra b D 1; mâu thuẫn.

    Với kết quả trên, ta thay y D 2 thì có

    Từ đó suy rax

    x

    f .x/ D 2 x C f .x/ D 2

    x

    f .x/ ;

    8x 2 R:

    st

    f

    f .x/ D 1; tức f .x/ D x C 1 với mọi x 2 R:

    n

    D 2f .x/ C xy; 8x; y 2 R:

    Cách giải của hai bài toán cũng hoàn toàn tương tự nhau. Đây là một sự trùng hợp thú v

    đây là một số bài toán “tương tự” khác:

    1. (IMO Shortlist, 2002) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    Ep

    f f .x/ C y

    D 2x C f f .y/

    x;

    8x; y 2 R:

    2. (Kiểm tra Trường Đông Nam Bộ, 2022) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f f .x/ C 2y

    D 10x C f f .y/

    3x ;

    8x; y 2 R:

    3. (Baltic Way, 2010) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f .x 2/ C f .xy/ D f .x/f .y/ C yf .x/ C xf .x C y/;

    8x; y 2 R:

    4. (EGMO, 2012) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f yf .x C y/ C f .x/

    D 4x C 2yf .x C y/; 8x; y 2 R:

    5. (EGMO, 2012) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f xf .x C y/

    D f yf .x/

    C x 2;

    8x; y 2 R:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Toán Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2022
  • Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022
  • Đề Kiểm Tra Học Kì I Lớp 7 Môn Sinh Học Năm 2022
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án
  • Top 52 Đề Kiểm Tra, Đề Thi Toán Lớp 6 Có Đáp Án, Cực Hay
  • Lời Giải Chi Tiết Đề Toán Thpt Quốc Gia 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Đề Thi Thử Môn Anh Thpt Quốc Gia 2022 Đáp Án Giải Chi Tiết
  • Lời Giải Chi Tiết Đề Minh Họa Môn Tiếng Anh Năm 2022
  • Đáp Án Đề Thi Tiếng Anh Thpt 2022 Giải Thích Chi Tiết (Chính Thức)
  • 15 Đề Thi Thử Thpt Quốc Gia Môn Tiếng Anh Có Đáp Án + Giải Thích Chi Tiết
  • Đáp Án Tham Khảo Môn Tiếng Anh Tốt Nghiệp Thpt Quốc Gia 2022 Tất Cả Mã Đề
  • Trong đề Toán THPT Quốc gia 2022 gồm 50 câu trắc nghiệm có tính phân loại cao và từ câu số 1 đến câu số 15 là những câu khá dễ hầu hết các thí sinh 2x đều làm được. Vì vậy, chúng tôi xin đưa ra lời giải nhanh và chi tiết đề Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia 2022 từ câu số 16 đến 50 của mã đề 101.

    Lời giải chi tiết đề Toán THPT Quốc gia 2022: Câu 35

    Đây là câu có mức độ vận dụng thấp, khá nhẹ nhàng, thí sinh không cần phải quá giỏi kiến thức về đồ thị cũng có thể tìm ra đáp án theo cách tính như sau:

    Với câu 36, chúng ta cần xác định được hàm cực tiểu tại x=0 tương đương với y'(0)=0; y'(x) đối đầu từ âm sang dương khi x chạy qua điểm 0. Do đó, tương đương với số hạng chứa lũy thừa thấp nhất của x có hệ số khác 0 trong hệ thức y’ phải là lũy thừa bậc lẻ và hệ số dương. Vì vậy, câu 36 cần các thí sinh nắm kiến thức khá sâu.

    Đây là câu hỏi về hình học không gian cơ bản nhưng cũng cần cách tính toán và tư duy nhanh gọn của thí sinh để ra được kết quả nhanh nhất.

    Đây là câu hỏi về tọa độ không gian khá dễ nhưng yêu cầu học sinh cần tư duy tưởng tượng hình không gian mà không yêu cầu tính toán nhiều.

    Với câu 40 trong đề Toán THPT Quốc gia 2022 mã đề 101 thí sinh cần xác định thực tế điều kiện y”(x) khác 0 không cần kiểm tra vì phương trình hệ số góc bằng 6 không có nghiệm căn bậc 2 nên vẫn làm được.

    Thí sinh có thể sử dụng cách thay từng nghiệm để tìm các hệ số của f-g nhưng sẽ mất thời gian hơn 1 phút. Để giải nhanh thí sinh chỉ cần dựng lại hàm f và g.

    Đây là bài tính thể tích trong đề Toán THPT Quốc gia 2022 mã đề 101, có thể thấy số đo diện tích thiết diện ngang nhân với độ dài đường sinh. Tuy nhiên thí sinh có thể giải theo cách dựng hình, tính chiều cao nhưng sẽ phức tạp hơn.

    Đây là bài xác xuất khá đơn giản, ít tính toán. Thí sinh dễ bị nhầm lẫn khiến khó giải quyết câu hỏi này.

    Thí sinh cần vận dụng bất đẳng thức Cauchy ở chương trình lớp 10 (3a+2b+1) trong cả 2 số hạng.

    Lời giải chi tiết đề Toán THPT Quốc gia 2022: Câu 45

    Tương tự câu hỏi 35 trong đề Toán THPT Quốc gia 2022 mã đề 101, thí sinh cần kiểm tra về hàm bậc nhất trên bậc nhất nhưng ở mức cao hơn là tính đối xứng của đồ thị. Thí sinh không cần nắm chắc các kiến thức vẫn có thể làm được bằng phương pháp tính toán cồng kềnh và cần nắm được bản chất sẽ đưa ra lời giải ngắn gọn như trên.

    Đây là câu hỏi sử dụng tính đơn giản của hàm số kết hợp với tính toán logarit và kết thúc các câu hỏi ở dạng khó trung bình để chuyển sang các câu hỏi cực khó mang tính tư duy sâu.

    Thí sinh cần hình dung được mặt cầu đã cho phải ngoại tiếp hình hộp chữ nhật dựng trên các tia AB, AC, AD và tính toán khá dễ.

    Đây là câu hỏi có thể gây khó khăn cho thí sinh khi phải lựa chọn giữa phân giác trong và ngoài của góc. Các phương pháp chuẩn hóa vector để tìm vector chỉ phương của đường phân giác khá quen thuộc.

    Lời giải cho câu 50 của đề Toán THPT Quốc gia 2022 khá phức tạp nhưng chủ yếu xoay quanh các cột mốc trên trục hoành với 2 giá trị 5 và 10 trên trục tung chỉ để đảm bảo phương án B là phương án đúng, còn 2 giá trị 4 và 8 giúp loại cả 3 phương án còn lại.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Tham Khảo Môn Vật Lý Mã Đề 203 Thpt Quốc Gia Năm 2022
  • Đáp Án Đề Thi Môn Lý Mã Đề 215 Kỳ Thi Thpt Quốc Gia 2022
  • Đề Thi Thử Thpt Quốc Gia 2022 Môn Vật Lý
  • Bộ Đề Bdhs Giỏi Lớp 3 Có Đáp Án
  • Vở Bài Tập Nâng Cao Toán Lớp 3
  • Đề Thi Thử Môn Hóa 2022 Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Chi Tiết Đề Thi Tham Khảo Thpt Quốc Gia 2022 Môn Hóa
  • Tải Miễn Phí Đề Thi Minh Họa 2022 Môn Hóa Kèm Lời Giải Chi Tiết
  • Đáp Án Đề Minh Họa Năm 2022 Môn Hóa Học (Có Giải Chi Tiết).
  • Giải Chi Tiết Mã Đề 201 Mon Hóa 2022
  • Giải Chi Tiết Các Câu Khó Môn Hóa 2022 Mã Đề 201
  • Thông tin tác giả của Đề thi thử THPT Quốc Gia 2022 môn Hóa – Đề số 2

    Tác giả: Nhóm tác giả Lovebook

    Hiện các tác giả đang công tác tại Nhà sách giáo dục Lovebook.

    Chi tiết một số câu hỏi trong Đề thi thử THPT 2022 môn Hóa – Đề số 02

    Trích dẫn một số câu hỏi trong Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Hóa 2022 có lời giải chi tiết – Đề số 2

    Câu 6. Nhỏ dung dịch NaOH loãng vào bình đựng dung dịch chất X, thu được kết tủa xanh nhạt, khi thêm dung dịch NaOH vào bình, thấy kết tủa tan dần tạo thành kết tủa màu lục nhạt. X là

    A.CrCl3 B. AlCl3 C. CuCl2 D. ZnCl2

    Câu 20. Lên men M gam glucozơ (hiệu suất 75%), thành ancol etylic và khí CO2. Dẫn toàn bộ lượng CO2 vào bình nước vôi trong thấy tách ra 40 gam kết tủa và dung dịch X. Thêm từ từ dung dịch NaOH vào dung dịch X đến khi lượng kết tủa tối đa thì dừng lại và sử dụng hết 0,04 mol dung dịch NaOH. Giá trị của m là

    A. 45,0 B. 52,8 C. 57,6 D. 43,2

    Câu 39. Hòa tan hết 8,976 gam hỗn hợp X gồm FeS2, FeS, Cu2S, và Cu trong 864 ml dung dịch HNO3 1M đun nóng, sau khi kết thúc phản ứng thu được dung dịch Y và 0,186 mol một chất khí thoát ra. Cho Y tác dụng với lượng dư dung dịch BaCl2 thu được 11,184 gam kết tủa. Mặt khác, dung dịch Y phản ứng tối đa với m gam Fe, biết trong quá trình trên, sản phẩm khử duy nhất NO3- là NO. Giá trị của m là

    A. 16,464 B. 8,4 C. 17,304 D. 12,936

    Tải về tệp tin PDF:

    Like Fanpage Exam24h để cập nhật Tài liệu và Đề thi mới nhất!

    Chia Sẻ Lên Mạng Xã Hội

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp 645 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Lý Thuyết Hóa 12 Có Đáp Án Chi Tiết
  • Bài Giảng Và Lời Giải Chi Tiết Hóa Học Lớp 9
  • Bài Giảng Và Lời Giải Chi Tiết Hóa Học 9
  • Giải Chi Tiết Đề Thi Thử Thpt Quốc Gia 2022 Môn Toán Sở Gd&đt Đà Nẵng
  • Bai Tap Este Hay Va Kho
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100