Các Dạng Toán Giải Phương Trình, Hệ Phương Trình Và Bài Tập Có Lời Giải

--- Bài mới hơn ---

  • Giải Getting Started Unit 1 Sgk Tiếng Anh 8 Mới
  • 100 Câu Bài Tập Tiếng Anh Dạng Viết Lại Câu Cực Hay Có Đáp Án
  • Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 2
  • Giải Skills 2 Unit 3 Tiếng Anh 7 Mới
  • Giải Skills 2 Unit 3 Sgk Tiếng Anh 8 Mới
  • a) Phương trình chưa biến x là một mệnh dề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1).

    – Điều kiện của phương trình là những điều kiện quy định của biến x sao cho các biể thức của (1) đều có nghĩa.

    – x 0 thỏa điều kiện của phương trình và làm cho (1) nghiệm đúng thì x 0 là một nghiệm của phương trình.

    – Giải một phương trình là tìm tập hợp S của tất cả các nghiệm của phương trình đó.

    – S = Ø thì ta nói phương trình vô nghiệm.

    b) Phương trình hệ quả

    * Gọi S 1 là tập nghiệm của phương trình (1)

    S 2 là tập nghiệp của phương trình (2)

    – Phương trình (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi: S 1 = S 2

    – Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi và chỉ khi S 1 ⊂ S 2

    ° a ≠ 0: S = {-b/a}

    ° a = 0 và b ≠ 0: S = Ø

    ° a = 0 và b = 0: S = R

    b) Giải và biện luận: ax + by = c

    ° a ≠ 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; (c-ax)/b} hoặc S = {(c-by)/a; y tùy ý}

    ° a = 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; c/b}

    ° a ≠ 0 và b = 0: S = {c/a; y tùy ý}

    ° Quy tắc CRAME, tính định thức:

    II. Các dạng bài tập toán về giải phương trình, hệ phương trình

    ° Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

    – Vận dụng lý thuyết tập nghiệm cho ở trên

    ♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

    a) m(x – 2) = 3x + 1

    c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

    ⇔ mx – 2m = 3x + 1

    ⇔ mx – 3x = 2m + 1

    ⇔ (m – 3)x = 2m + 1 (*)

    + Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = (2m+1)/(m-3).

    + Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3, PT (*) ⇔ 0x = 7. PT vô nghiệm.

    – Kết luận:

    m ≠ 3: S = {(2m+1)/(m-3)}

    m = 3: S = Ø

    ⇔ m 2 x – 4x = 3m – 6

    ⇔ (m 2 – 4)x = 3m – 6 (*)

    + Nếu m 2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, PT (*) có nghiệm duy nhất:

    Với m = 2: PT (*) ⇔ 0x = 0, PT có vô số nghiệm

    Với m =-2: PT (*) ⇔ 0x = -12, PT vô nghiệm

    – Kết luận:

    m ≠ ±2: S = {3/(m+2)}

    m =-2: S = Ø

    m = 2: S = R

    c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

    ⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

    ⇔ (2m + 1 – 3)x = 2m – 2

    ⇔ (2m – 2)x = 2m – 2 (*)

    + Nếu 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = 1

    + Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, PT (*) ⇔ 0.x = 0, PT có vô số nghiệm.

    – Kết luận:

    m ≠ 1: S = {1}

    m = 1: S = R

    Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: m 2(x-1) = 2(mx-2) (1)

    ◊ m = 0: (*) ⇔ 0x=-4 (PT vô nghiệm)

    ◊ m = 2: (*) ⇔ 0x=0 (PT có vô số nghiệm, ∀x ∈ R)

    – Kết luận:

    m ≠ 0 và m ≠ 2: S = {(m+2)/m}

    m = 0: S = Ø

    m = 2: S = R

    ◊ m = -4: (*) ⇔ 0x = 6 (PT vô nghiệm)

    – Kết luận:

    m ≠ -4 và m ≠ -1: S = {(2-m)/(m+4)}

    m = -4 hoặc m = -1: S = Ø

    – Vận dụng lý thuyết ở trên để giải

    ♦ Ví dụ 1 (bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

    Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

    ⇒ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi x 1,x 2 là nghiệm của (1) khi đó theo Vi-et ta có:

    – Theo bài ra, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x 2 = 3x 1, nên kết hợp với (I) ta có:

    + TH1 : Với m = 3, PT (1) trở thành: 3x 2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 = 2/3 và x 2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

    + TH2 : m = 7, PT (1) trở thành 3x 2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x 1 = 4/3 và x 2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

    – Kết luận: Để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì giá trị của m là: m = 3 hoặc m = 7.

    – Ta có: (1) ⇔ 3x – m + x – 2 = 2x + 2m – 1

    2x = 3m + 1 ⇔ x = (3m + 1)/2

    – Vận dụng tính chất:

    ♦ Ví dụ 1 (bài 6 trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình sau

    – TXĐ: D = R.

    + Với x ≥ -3/2 bình phương 2 vế của (1) ta được:

    ⇔ (3x – 2 – 2x – 3)(3x – 2 + 2x + 3) = 0

    ⇔ (x – 5)(5x + 1) = 0

    ⇔ x = 5 hoặc x = -1/5. (cả 2 nghiệm đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2)

    – Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt.

    – Bình phương 2 vế ta được

    ⇔ (2x – 1 + 5x + 2)(2x – 1 – 5x – 2) = 0

    ⇔ (7x + 1)(-3x – 3) = 0

    ⇔ x = -1/7 hoặc x = -1

    – Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt

    – Điều kiện: x ≠ 3/2 và x ≠ -1. Quy đồng khử mẫu ta được

    + Với x ≥ -1, ta có:

    (x – 1)(x + 1) = (2x – 3)(-3x + 1)

    + Với x < -1, ta có:

    (x – 1)(-x – 1) = (2x – 3)(-3x + 1)

    ⇔ 5x 2 -11x + 4 = 0

    – Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm.

    + Với x ≥ -5/2, ta có:

    ⇔ x = 1 (thỏa) hoặc x = -4 (loại)

    + Với x < -5/2, ta có:

    -2x – 5 = x 2 + 5x + 1

    ⇔ x = -6 (thỏa) hoặc x = -1 (loại)

    – Vật PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = -6.

    – Kết luận:

    m ≤ 4. PT (1) có 2 nghiệm: x = (m+2)/3 hoặc x = m – 2.

    ◊ Với PT: mx – 2 = 2x + m ⇔ (m – 2)x = m + 2 (2)

    m ≠ 2: PT (*) có nghiệm x = (m+2)/(m-2)

    m = 2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)

    ◊ Với PT: mx – 2 = -2x – m ⇔ (m + 2)x = 2 – m (3)

    m ≠ – 2: PT (*) có nghiệm x = (2 – m)/(2 + m)

    m = -2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)

    – Ta thấy: m = 2 ⇒ x 2 = 0; m = -2 ⇒ x 1 = 0;

    m = 2: (1) có nghiệm x = 0

    m = -2: (1) có nghiệm x = 0

    ♥ Nhận xét: Đối vối giải PT không có tham số và bậc nhất, ta vận dụng tính chất 3 hoặc 5; Đối với PT có tham số ta nên vận dụng tính chất 1, 2 hoặc 4.

    – Ngoài PP cộng đại số hay PP thế có thể Dùng phương pháp CRAME (đặc biệt phù hợp cho giải biện luận hệ PT)

    ♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 68 SGK Đại số 10): Giải hệ PT

    – Bài này chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ vận dụng phương pháp định thức (CRAME).

    – Ta có:

    – Ta có:

    – Ta có:

    Với m = 1: từ (*) ta thấy hệ có vô số nghiệm.

    Với m = -4: từ (*) ta thấy Hệ vô nghiệm.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Trắc Nghiệm Sinh Học 10 Bài 5 (Có Đáp Án): Protêin
  • Soạn Văn 8 (Ngắn Gọn, Đầy Đủ Và Chi Tiết Nhất)
  • Trắc Nghiệm Rút Gọn Câu
  • Phân Tích Bài Thơ “nhớ Rừng” Của Thế Lữ
  • Soạn Bài Nhớ Rừng (Chi Tiết)
  • Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn (Có Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Những Bí Ẩn Toán Học Hàng Trăm Năm Chưa Có Lời Giải
  • Nhà Toán Học Nổi Tiếng Khẳng Định Đã Giải Được Bài Toán Thiên Niên Kỷ
  • Những Bài Toán Siêu Kinh Điển Chưa Tìm Ra Lời Giải
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết
  • Bai Giang Phuong Trinh Vi Phan
  • Ôn thi đại học chuyên đề bất phương trình chứa căn thức

    Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ chứa căn thức

    Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ chứa căn có lời giải là tài liệu ôn thi đại học môn Toán, luyện thi THPT Quốc gia môn Toán hay, giúp các bạn đạt điểm tối đa khi làm phần bài tập bất phương trình chứa căn trong đề thi đại học. Mời các bạn tham khảo.

    Chuyên đề bất phương trình vô tỉ Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức Ôn thi Đại học – Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn

    GIỚI THIỆU

    Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có bài toán về bất phương trình chứa căn:

    Bài 1: (Đề thi đại học Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

    Bài 2: (Đề thi đại học Khối B năm 2012): Giải bất phương trình:

    Bài 3: (Đề thi đại học Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:

    Bài 4: (Đề thi đại học Khối A năm 2010): Giải bất phương trình:

    ĐỊNH HƯỚNG

    1. Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai.
    2. Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai.
    3. Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.
    4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.

    Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình).

    • Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải.
    • Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

    1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI

    Ví dụ 1: (Đề thi đại học Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

    ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng AB ≥ 0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

    f(x).√gx) ≥ 0, với f(x) và g(x) có nghĩa

    Giải

    Bất phương trình tương đương với:

    Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là

    Mời các bạn tải file đầy đủ về tham khảo!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 (Hai) Đầy Đủ Nhất
  • Các Dạng Toán Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn, Cách Giải Và Tính Nhẩm Nghiệm Nhanh
  • Bài Toán Giải Bằng Hai Phép Tính (Tiếp Theo)
  • Viết Câu Lời Giải Cho Bài Toán Có Lời Văn
  • Đề Tài Biên Pháp Rèn Kĩ Năng Viết Câu Lời Giải Trong Giải Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Lớp 1
  • Toán 10] Phương Trình Đường Thẳng (Kèm Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Trắc Nghiệm Gdqp 10 Bài 7 (Có Đáp Án) – Đề Số 2
  • Trắc Nghiệm Gdqp 11 Bài 4 (Có Đáp Án) – Đề Số 2
  • Trắc Nghiệm Giáo Dục Quốc Phòng 12 Bài 9 (Có Đáp Án) – Đề Số 2
  • Gdqp 12 Bài 8. Công Tác Phòng Không Nhân Dân ( Soạn + Tóm Tắt Lý Thuyết)
  • Giải Bài Tập Sbt Vật Lý 9: Bài 2. Điện Trở Của Dây Dẫn – Định Luật Ôm
  • Điều thầy/cô có thể làm được là chia sẻ kiến thức, truyền thêm niềm tin và động lực giúp các em còn tất cả phụ thuộc vào sự chăm chỉ phấn đấu từ chính bản thân.

    MỤC LỤC

    • Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
      • Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
        1. I. LÝ THUYẾT
          • Vectơ chỉ phương
          • Phương trình tham số của đường thẳng
          • Phương trình chính tắc của đường thẳng
          • Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
          • Phương trình tổng quát của đường thẳng
          • Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
          • Liên hệ giữa VTCP và VTPT
          • Vị trí tương đối của hai đường thẳng
          • Góc giữa hai đường thẳng.
          • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
        2. II. DẠNG TOÁN
          1. Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ chỉ phương của đường thẳng
            1. A. VÍ DỤ MINH HỌA
            2. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
            3. C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
          2. Viết phương trình đường thẳng
            1. A. VÍ DỤ MINH HỌA
              1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT
              2. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP
              3. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.
              4. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
              5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.
              6. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm
              7. Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng
              8. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
              9. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục Ox một góc cho trước.
              10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc.
            2. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
            3. C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
            4. D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
          3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
          4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
          5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

    Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại chúng tôi .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Kiến Thức Toán Lớp 12 Chương 1 Chọn Lọc
  • 5 App Ứng Dụng Giải Bài Tập Vật Lý Tốt Nhất Hiện Nay
  • Tục Ngữ Về Con Người Và Xã Hội
  • Sài Gòn Tôi Yêu
  • Mùa Xuân Của Tôi
  • Bài Tập Về Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải Tập 1 Biến Đổi Lương Giác Và Hệ Thưc Lượng 2
  • Các Dạng Toán Phương Trình Lượng Giác, Phương Pháp Giải Và Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Các Dạng Bài Tập Toán Về Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Và Phương Pháp Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M
  • Phương Trình Logarit, Bất Phương Trình Logarit Và Bài Tập Áp Dụng
  • Bài tập về phương trình Lượng giác có lời giải

    Baøi taäp veà phöông trình löôïng giaùc   1. 2 2 sin  x + π 1 1 + = 4  sin x cos x π  2 sin  x +  π sin x + cos x π 4   ⇔ 2 2 sin(x + ) = ⇔ 2 2 sin  x +  = 4 sin x cos x 4 sin x cos x  π π    sin(x + 4 ) = 0  x = − 4 + kπ π  1   ⇔ 2 sin  x +   2 −  = 0 ⇔   sin x cos x ≠ 0 ⇔   sin 2x ≠ 0 4  sin x cos x       2sin x cos x = 1   sin 2x = 1    π  π  x = − 4 + kπ ⇒ sin 2x = sin  − 2  = − 1 ≠ 0 π   ⇔ ⇔ x = ± + kπ 4 π π   sin 2x = 1 ⇔ 2x = 2 + k2π ⇔ x = 4 + kπ  3 3 5 5 2. C1. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) (k ∈ Z) ⇔ sin 3 x − 2 sin 5 x = 2 cos 5 x − cos 3 x ⇔ sin 3 x (1 − 2 sin 2 x ) = cos 3 x (2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 3 x cos 2 x = cos 3 x cos 2 x  cos 2x = 0  cos 2x = 0 ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ 3  sin x = cos x  tg x = 1 3 3 5 5 C2. sin x + cos x = 2(sin x + cos x )  cos 2x = 0 π π π π π ⇔ x = + m ∨ x = + kπ ⇔ x = + m (m ∈ Z)  tgx = 1 4 2 4 4 2  ⇔ (sin 3 x + cos 3 x )(sin 2 x + cos 2 x ) = 2(sin 5 x + cos 5 x ) ⇔ sin 3 x cos 2 x + cos 3 x sin 2 x = sin 5 x + cos 5 x ⇔ sin 3 x (cos 2 x − sin 2 x ) = cos 3 x (cos 2 x − sin 2 x )  cos2 x − sin 2 x = 0  cos2 x − sin 2 x = 0 ⇔ (cos x − sin x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  3 3 ⇔   cos x − sin x = 0  cos x = sin x 2 2 3 3 2 2 π π ⇔  cos x − sin x = 0 ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ Z) 42  cos x = sin x 3. sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 1 − cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x ⇔ = + ⇔ (cos 4x + cos 2x) + (1 + cos 6x) = 0 2 2 2 ⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 2 3x = 0 ⇔ 2 cos 3x (cos x + cos 3x ) = 0 ⇔ 4 cos 3x cos 2 x cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos 2 x = 0 ∨ cos 3x = 0 ⇔ x = π π π π π + kπ ∨ x = + k ∨ x= + k 2 4 2 6 3 (k ∈ Z) 6 6 8 8 4. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) ⇔ sin 6 x − 2 sin 8 x = 2 cos 8 x − cos 6 x ⇔ sin 6 x(1 − 2 sin 2 x ) = cos 6 x(2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 6 x cos 2x = cos 6 x cos 2x π π  x= + m  cos 2 x = 0  cos 2 x = 0  cos 2x = 0 4 2 ⇔ x = π + m π (m ∈ Z) ⇔ 6  sin x = cos 6 x ⇔  tg 6 x = 1 ⇔  tgx = ± 1 ⇔  π  4 2    x = ± + kπ 4  5. sin x − cos x + sin x + cos x = 2 1 ⇔ ( sin x − cos x + sin x + cos x ) 2 =4 ⇔ 1 − sin 2 x + 1 + sin 2 x + 2 sin 2 x − cos 2 x = 4 ⇔ 2 cos 2 x = 2 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = k π 2 13 cos 2 2x 8 13 2 3 2 ⇔ (cos x ) − (sin x ) 3 = cos 2 2 x 8 6 6 6 . cos x − sin x = ⇔ (cos 2 x − sin 2 x )(cos 4 x + sin 4 x + sin 2 x cos 2 x ) = ⇔ cos 2x (1 − 13 cos 2 2x 8 1 1 13 sin 2 2x + sin 2 2x ) = cos 2 2x ⇔ cos 2x (8 − 2 sin 2 2x ) = 13 cos 2 2x 2 4 8 cos 2x = 0 cos 2 x = …

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chương Iii. §6. Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình: Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Thường Gặp
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 9
  • Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Hệ Phương Trình Lớp 9 Có Đáp Án
  • Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

    ° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

    – Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

    – Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

    a) (x – 3)(x 2 – 3x + 2) = 0

    ⇔ x – 3 = 0 hoặc x 2 – 3x + 2 = 0

    +) x 2 – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x 2 = 1; x 3 = c/a = 2.

    * Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x 1 = 3; x 2 = 1; x 3 = 2.

    ⇔ x + 3 = 0 hoặc x 2 – 2 = 0

    ⇔ 3x 2 – 5x + 1 = 0 hoặc x 2 – 4 = 0

    +)Giải: 3x 2 – 5x + 1 = 0

    +)Giải: x 2 – 4 = 0

    ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0

    ⇔ x = 2 hoặc x = -2.

    * Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

    ⇔ (2x 2 + x – 4 – 2x + 1)(2x 2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

    ⇔ 2x 2 – x – 3 = 0 hoặc 2x 2 + 3x – 5 = 0

    +) Giải: 2x 2 – x – 3 = 0

    – Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

    +) Giải: 2x 2 + 3x – 5 = 0

    – Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

    * Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x 1 = -1; x 2 = 3/2; x 3 = 1; x 4 = -5/2.

    ° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).

    * Đặt t = x 2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at 2 + bt + c = 0 (2)

    – Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

    – Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

    – Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

    * Cụ thể như sau:

    – Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

    Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

    – Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

    – Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

    – Khi đó (1) trở thành : t 2 – 5t + 4 = 0 (2)

    – Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 4

    – Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

    + Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

    + Với t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

    – Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

    – Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

    – Khi đó (1) trở thành : 2t 2 – 3t – 2 = 0 (2)

    – Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t 1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

    + Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

    – Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

    – Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.

    – Khi đó (1) trở thành : 3t 2 + 10t + 3 = 0 (2)

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    – Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t 1 = -1/3 <0 và t 2 = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

    * Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

    – Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

    – Khi đó (1) trở thành : 9t 2 – 10t + 1 = 0 (2)

    +) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

    ⇒ Phương trình (2) có nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 1/9.

    – Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

    + Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

    + Với t = 1/9 ⇒ x 2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.

    – Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.

    – Khi đó (1) trở thành : 5t 2 + 3t – 26 = 0 (2)

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    – Đối chiếu điều kiện chỉ có t 1 thỏa điều kiện, nên:

    + Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

    ⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

    – Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

    – Khi đó, (1) trở thành : 0,3t 2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

    + Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = -1 và t 2 = -c/a = -5.

    – Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

    ⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

    – Điều kiện xác định: x ≠ 0.

    – Quy đồng, khử mẫu ta được:

    – Khi đó (1) trở thành : 2t 2 + 5t – 1 = 0 (2)

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    ° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai
  • Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập
  • Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Bttn Tổng Hợp Phản Ứng Oxi Hóa Khử (Có Lời Giải Chi Tiết)
  • Toán 10] Bất Phương Và Hệ Bất Phương Trình 1 Ẩn (Kèm Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • 7 Bài Toán Thiên Niên Kỷ (Millennium Problems)
  • Vật Lý Lý Thuyết Và Hai Bài Toán Thiên Niên Kỷ
  • 6 Bài Toán Lớn Cùng Giải Thưởng Triệu Đô Đang Chờ Người Giải
  • Bài Tập Cơ Bản Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Hne Giải Trình Thế Nào Về 5 Ý Kiến Ngoại Trừ Trên Bctc Kiểm Toán 2022?
  • MỤC LỤC

    • BÀI 2_CHƯƠNG 4_ĐẠI SỐ 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN
      • I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
        • Bất phương trình một ẩn
        • Điều kiện của một bất phương trình
        • Bất phương trình chứa tham số
      • II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
      • III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
        • Bất phương trình tương đương
        • Phép biến đổi tương đương
        • Cộng (trừ)
        • Nhân (chia)
        • Bình phương
        • Chú ý
      • Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
        • a) Phương pháp giải tự luận.
        • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
        • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
      • Dạng 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
        • a) Phương pháp giải tự luận.
        • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
        • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
      • Dạng 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
        • a) Phương pháp giải tự luận.
        • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
        • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
      • Dạng 4: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
        • a) Phương pháp giải tự luận.
        • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

        • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
      • Dạng 5: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
        • a) Phương pháp giải tự luận.
        • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
        • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
      • III – ĐỀ KIỂM TRA 25 CÂU 45 PHÚT CUỐI BÀI
      • HƯỚNG DẪN MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG

    Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại chúng tôi .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Dạng Toán Về Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Thông Dụng Nhất.
  • Lịch Sử, Ý Nghĩa Ngày Giải Phóng Miền Nam, Thống Nhất Đất Nước 30/4 Và Ngày Quốc Tế Lao Động 1/5
  • Lịch Sử, Ý Nghĩa Của Ngày Giải Phóng Miền Nam, Thống Nhất Đất Nước 30/4 Và Ngày Quốc Tế Lao Động 1/5
  • Chiến Dịch Điện Biên Phủ: 56 Ngày Đêm Chấn Động Địa Cầu
  • Quân Khu 2 – Chiến Thắng Điện Biên Phủ – Mốc Son Chói Lọi Của Lịch Sử Dân Tộc
  • Bài Tập Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Toán Về Viết Phương Trình Đường Tròn
  • Bài 5. Thường Thức Phòng Tránh Một Số Loại Bom, Đạn Và Thiên Tai
  • K Có Giáo Dục Quốc Phòng Nên Hỏi Bên Lịch Sử Vậy Câu 2,3 Trang 13 Sgk Bài 1 Truyền Thống Đánh Giặc Của Dân Tộc Vn Câu Hỏi 9510
  • Giáo Án Môn Giáo Dục Quốc Phòng
  • Bài 6. Cấp Cứu Ban Đầu Các Tai Nạn Thông Thường Và Băng Bó Vết Thương
  • Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập

    – Nếu phương trình đường tròn là: $x^2+ y^2- 2ax – 2by+ c = 0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $xx_0+ yy_0- a(x + x_0) – b(y + y_0) + c = 0$

    – Nếu phương trình đường tròn là: $(x – a)^2+(y – b)^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là:

    $(x – a)(x_0- a) + (y – b)(y_0- b) = R^2$

    Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I(x_0, y_0)$ cho trước ở ngoài đường tròn.

    Viết phương trình của đường thẳng d qua $I(x_0, y_0)$:

    $y – y_0= m(x – x_0)Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$ (1)

    Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

    * Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

    Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

    Phương trình của đường thẳng d có dạng:

    $y = kx + m$ (m chưa biết) $Leftrightarrow kx – y + m = 0$

    Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.

    Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

    Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm $M(3;4)$ biết đường tròn có phương trình là: $(x-1)^2+(y-2)^2=8$

    Hướng dẫn:

    Đường tròn (C) có tâm là điểm $I(1;2)$ và bán kính $R=sqrt{8}$

    Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $M(3;4)$ là:

    $(3-1)(x-3)+(4-2)(y-4)=0$

    $Leftrightarrow 2x+2y-14=0$

    a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $A(1;-3)$

    b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $B(1;1)$

    c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$

    Hướng dẫn:

    Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I(2;-4)$ và bán kính $R=sqrt{2}$

    a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A(1;-3)$ có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

    Các bạn thay tọa độ của điểm $A(1;-3)$ vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn (C).

    Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là:

    $1.x-3y-2(x+1)+4(y-3)+18=0$

    $Leftrightarrow x-y-4=0$

    b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

    Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B(1;1)$ với hệ số góc $k$ là $Delta$: $y=k(x-1)+1Leftrightarrow kx-y-k+1=0$

    Để đường thẳng $Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $Delta$ phải bằng bán kính $R$.

    Ta có: $d_{(I,Delta)}=R$

    $Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$

    $Leftrightarrow k^2-10k-23=0$

    $Leftrightarrow k=5-4sqrt{3}$ hoặc $k=5+4sqrt{3}$

    +. Với $ k=5-4sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5-4sqrt{3})x-5+4sqrt{3}+1Leftrightarrow y=(5-4sqrt{3})x-4+4sqrt{3}$

    +. Với $ k=5+4sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5+4sqrt{3})x-5-4sqrt{3}+1Leftrightarrow y=(5-4sqrt{3})x-4-4sqrt{3}$

    Cho hai đường thẳng $d_1; d_2$ lần lượt có hệ số góc là: $k_1; k_2$

    +. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: $k_1=k_2$

    +. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng $-1$, tức là: $k_1.k_2=-1$

    Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-frac{4}{3}$

    Gọi phương trình tiếp tuyến là $Delta$ có dạng: $y=-frac{4}{3}x+mLeftrightarrow 4x+3y-3m=0$

    Vì đường thẳng $Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

    $d_{(I,Delta)}=R$

    $Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$

    $Leftrightarrow m=frac{-4+5sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=frac{-4-5sqrt{2}}{3}$

    Với $ m=frac{-4+5sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-frac{4}{3}x+frac{-4+5sqrt{2}}{3}$

    Với $m=frac{-4-5sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-frac{4}{3}x+frac{-4-5sqrt{2}}{3}$

    SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng (Nâng Cao)
  • Giải Bài Tập Toán 12 Chương 3 Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng
  • Giải Toán Lớp 12 Bài 2 : Phương Trình Mặt Phẳng
  • Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm
  • 21 Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Đề Thi Đại Học Có Lời Giải
  • Phương Trình Và Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng
  • Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Trong Phương Trình Mũ
  • Các Dạng Bài Tập Toán Phương Trình Mặt Cầu Trong Không Gian Oxyz
  • Published on

    www.toanhocdanang.com

    www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

    Phone: 0935 334 225

    1. 1. ĐẠI SỐ 10 GV: PHAN NHẬT NAM PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
    2. 2. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. lý thuyết: 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)  x0 là một nghiệm của (1) nếu “f(x0) = g(x0)” là một mệnh đề đúng.  Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.  Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x)  0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x)  0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.  (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2. {(1) , (2) là hai phương trình tương đương nhau}  (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2. { (2) là phương trình hệ quả của (1)} 3. Phép biến đổi tương đương  Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.  Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. II. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 1 1 2 3 0x x x x       Giải: Điều Kiện: 1 0 1 1 1 0 1 x x x x x             Thay x = 1 vào phương trình ta thu được ” 2 1 1 1 1 1 2.1 3 0       ” là mệnh đề đúng . Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là  1S 
    3. 3. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau: 2 2 2 1 0 1 x x x      (1) và 4 22 7x x   (2) Giải: Giải phương trình 1: Điều kiện: 1x  2 2 2 0 ( )2 1 2 (1) 0 2 0 2 ( )1 x loaix x x x x loaix              Do đó tập nghiệm của (1) là 1S  Giải phương trình 2: 2 2 4 0 4 4 (2) 2 3( 4) 22 7 6 0 x x x x xx x x x                        không tồn tại x R Do đó tập nghiệm của (2) là 2S  Từ đó ta có: 1 2S S   nên (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhau (đpcm) III. Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 5 5 3 12 4 4      b) x x x 1 1 5 15 3 3      c) x x x 2 1 1 9 1 1      d) x x x 2 2 3 15 5 5      Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2    b) x x1 2   c) x x1 1   d) x x1 1   e) x x x 3 1 1    f) x x x2 1 2 3     * Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x2 3( 3 2) 0    b) x x x2 1( 2) 0    c) x x x x 1 2 2 2      d) x x x x x 2 4 3 1 1 1        Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x2 1   b) x x1 2   c) x x2 1 2   d) x x2 2 1  
    4. 4. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x x1 1    b) x x x x 2 2 1 1      c) x x x x2 2    d) x x x x 1 1 2 2      Bài 6. Tìm tập nghiệm của phương trình: 1x x x    Bài 7. Giải các phương trình: a. 2 1 1x x   b. 2 1 2 3 0x x x x       Bài 8. Tìm m để hai phương trình sau tương đương nhau 1 3 7x x   , 2 ( 1) ( 3) 2 2 0m x m x m      Bài 9. Sử dụng phép biến đổi hệ quả để giải phương trình sau: a. 2 2 2 7 7 x x x x x     b. 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x       PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. Lý thuyết: Chú ý: Khi a  0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x2 ( 2) 2 3    b) m x m x m( ) 2    b) m x m m x( 3) ( 2) 6     d) m x m x m2 ( 1) (3 2)    e) m m x x m2 2 ( ) 2 1    f) m x m x m2 ( 1) (2 5) 2     ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a  0 (1) có nghiệm duy nhất b x a   a = 0 b  0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
    5. 5. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) x a x b b a a b a b ( , 0)       b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)     c) x ab x bc x b b a b c a c b 2 3 ( , , 1) 1 1 1            d) x b c x c a x a b a b c a b c 3 ( , , 0)           Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x  R. a) m x n( 2) 1   b) m m x m2 ( 2 3) 1    c) mx x mx m x2 ( 2)( 1) ( )    d) m m x x m2 2 ( ) 2 1    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 10 50 1 2 3 (2 )( 3)        b) x x x x x x 1 1 2 1 2 2 1         c) x x x x 2 1 1 3 2 2      d) x x x 2 2 3 5 1 4      e) x x x x x x 2 2 2 5 2 2 15 1 3        f) x x x x2 2 3 4 2 ( 1) (2 1)      Bài 5. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx m x 1 3 2     b) mx m x m 2 3     c) x m x x x m 1 2 1       d) x m x x x 3 1 2      e) m x m m x ( 1) 2 3      f) x x x m x 1    Bài 6. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1   Bài 7. Tím tất cả các gia trị nguyên của m để phương trình ( 1)( 1)m x x m    có nghiệm nguyên Bài 8. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :  1 (2 3) (1 ) 3 0x m x m m x       Bài 9. Tìm m để phương trình 2 3mx x m x x    có nghiệm duy nhất
    6. 8. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m2 5 3 1 0    b) x x m2 2 12 15 0   c) x m x m2 2 2( 1) 0    d) m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0      e) m x m x2 ( 1) (2 ) 1 0     f) mx m x m2 2( 3) 1 0     g) x x m2 4 1 0    h) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0      Bài 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x2 2 1 2 ; B = x x3 3 1 2 ; C = x x4 4 1 2 ; D = x x1 2 ; E = x x x x1 2 2 1(2 )(2 )  a) x x2 5 0   b) x x2 2 3 7 0   c) x x2 3 10 3 0   d) x x2 2 15 0   e) x x2 2 5 2 0   f) x x2 3 5 2 0   Bài 6. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Tìm m để đồ thị (C) của hàm số 2 1 mx x m y x     cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương. Bài 7. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C) và d tương ứng của hàm số sau (C): 2 2 4 2 x x y x     và d: 2 2y mx m   . Bài 8. (Trích TSĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x    Bài 9. (Trích TSĐH Khối D – 2006) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): 3 3 2y x x   tại ba điểm phân biệt. Bài 10. (Trích TSĐH Khối D – 2009) Tìm m để đường thẳng : 2d y x m   cắt đồ thị (C) của hàm số 2 x x m y x    tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài 11. (Trích TSĐH Khối A – 2010) Tìm m để phương trình : 3 2 2 (1 ) 0x x m x m     có ba nghiệm 1 2 3, ,x x x sao cho 2 2 2 1 2 3 4x x x   Bài 12. (Trích TSĐH Khối A – 2011) Tìm m để phương trình: 1 2 1 x x m x      có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x sao cho 2 2 1 2 1 1 (2 1) (2 1) f x x      đạt giá trị lớn nhất. Bài 13. Cho phương trình: m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0      (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
    7. 9. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Bài 14. Cho phương trình: x m x m2 2(2 1) 3 4 0     (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3 1 2 . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2 1 2, . HD: a) m 2 2  b) x x x x1 2 1 2 1    c) A = m m m2 (2 4 )(16 4 5)   d) m 1 2 7 6   e) x m m x m2 2 2 2(8 8 1) (3 4 ) 0      Bài 15. Cho phương trình: x m x m m2 2 2( 1) 3 0     (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2 1 2 8  . HD: a) m = 3; m = 4b) x x x x x x2 1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0      c) m = -1; m = 2. Bài 16. Cho phương trình: x m m x m2 2 3 ( 3 ) 0    . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7      . Bài 17. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 2 2 2 sin 2 cos    ( là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi . b) Tìm  để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
    8. 10. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa và tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối  A khi A A A khi A 0 0        A A0,   A B A B. .  A A 2 2   A B A B A B. 0      A B A B A B. 0      A B A B A B. 0      A B A B A B. 0     Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ.  Dạng 1: f x g x( ) ( ) C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )          C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )           Dạng 2: f x g x( ) ( )     C f x g x 1 2 2 ( ) ( )  C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( )        Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )  Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 2. Phương trình chứa căn Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x( ) ( )   f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0    Dạng 2: f x g x f x g x f x hay g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)        Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0    t f x t at bt c2 ( ), 0 0        Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )   Đặt u f x v g x( ), ( )  với u, v  0.  Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )   Đặt t f x g x t( ) ( ), 0   . 3. phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) a. Cách giải: t x t ax bx c at bt c 2 4 2 2 , 0 0 (1) 0 (2)           
    9. 11. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 chúng tôi b. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.  (1) vô nghiệm  voâ nghieäm coù nghieäm keùp aâm coù nghieäm aâm (2) (2) (2) 2      (1) có 1 nghiệm  coù nghieäm keùp baèng coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm (2) 0 (2) 1 0,    (1) có 2 nghiệm  coù nghieäm keùp döông coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm (2) (2) 1 1    (1) có 3 nghiệm  coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0,  (1) có 4 nghiệm  coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2 c. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn  Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,        – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )         – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0     Dạng 2: x a x b K4 4 ( ) ( )    – Đặt a b t x 2     a b b a x a t x b t, 2 2         – PT trở thành: a b t t K vôùi4 2 2 4 2 12 2 0 2               Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0)      (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được: PT  a x b x c xx 2 2 1 1 0               (2) – Đặt t x hoaëc t x x x 1 1         với t 2 . – PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2)     . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3   b) x x4 7 2 5   c) x x2 3 2 0   d) x x x2 6 9 2 1    e) x x x2 4 5 4 17    f) x x x2 4 17 4 5    g) x x x x1 2 3 2 4      h) x x x1 2 3 14      i) x x x1 2 2    Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1  
    10. 12. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7   b) x x2 3 3 2   c) x x x1 2 1 3    d) x x x x2 2 2 3 2 3     e) x x x2 2 5 2 7 5 0     f) x x3 7 10    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x2 2 1 1 0     b) x x x2 2 5 1 7 0     c) x x x2 2 5 1 5 0     d) x x x2 4 3 2 0    e) x x x2 4 4 2 1 1 0     f) x x x2 6 3 10 0     Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3   b) x x5 10 8   c) x x2 5 4   d) x x x2 12 8    e) x x x2 2 4 2    f) x x x2 3 9 1 2    g) x x x2 3 9 1 2    h) x x x2 3 10 2    i) x x x2 2 ( 3) 4 9    Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 2 6 9 4 6 6     b) x x x x2 ( 3)(8 ) 26 11      c) x x x x2 ( 4)( 1) 3 5 2 6      d) x x x x2 ( 5)(2 ) 3 3    e) x x2 2 11 31   f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0      Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1    b) x x3 7 1 2    c) x x2 2 9 7 2    d) x x x x2 2 3 5 8 3 5 1 1      e) x x3 3 1 1 2    f) x x x x2 2 5 8 4 5      g) x x3 3 5 7 5 13 1    h) x x3 3 9 1 7 1 4     
    11. 13. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )       b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16        c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1       d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3       e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5       f) x x x x x2 3 2 1 4 9 2 3 5 2        g) x x x x22 1 1 3      h) x x x x2 9 9 9      Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14        b) x x x x5 4 1 2 2 1 1        c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4           Bài 6. Giải các phương trình sau: a) x x4 2 3 4 0   b) x x4 2 5 4 0   c) x x4 2 5 6 0   d) x x4 2 3 5 2 0   e) x x4 2 30 0   f) x x4 2 7 8 0   Bài 7. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) x m x m4 2 2 (1 2 ) 1 0     b) x m x m4 2 2 (3 4) 0    c) x mx m4 2 8 16 0   Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297     b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36      c) x x4 4 ( 1) 97   d) x x4 4 ( 4) ( 6) 2    e) x x4 4 ( 3) ( 5) 16    f) x x x x4 3 2 6 35 62 35 6 0     g) x x x x4 3 2 4 1 0    
    12. 14. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi Bài 9. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc 2 1. 2 2 5 10 1 7 2x x x x     2. 1 2 3 1 x x x x     3. 2 3 1212   x xxxx 4. 211 24 2  xxxx 5. xxxx 33)2)(5( 2  6. 22 4324 xxxx  7. 5 1 5 2 4 22 x x xx     8. xxxx  1 3 2 1 2 9. 234413 2  xxxx 10. 63297 2  xxxx Bài 10. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: a. (D – 2006) 2 2 1 3 1 0x x x     b. (D – 2013) 2 2 2 1 x x x x     c. (B – 2012) 2 1 4 1 3x x x x     d. (D – 2011) 2 8 1 1 4 x x x      e. (B – 2011) 2 3 2 6 2 4 4 10 3x x x x       f. (A. 2009) 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x     Bài 11. Giải các phương trình sau bằng phép nhân liên hợp: a. (B – 2010) 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x       b. (Tích B – 2013) 2 3 3 3 1 5 4x x x x      c. (TNTHPTQG – 2022)    2 2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x         d. (Trích A – 2014) 3 2 8 1 2 10x x x    e. (Tích B – 2014) 2 2 3 2x x x    HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I. Lý thuyết:
    13. 15. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c a b a b a x b y c 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 0, 0)          Giải và biện luận: Tính các định thức: a b D a b 1 1 2 2  , x c b D c b 1 1 2 2  , y a c D a c 1 1 2 2  . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 5 4 3 7 9 8       b) x y x y 2 11 5 4 8       c) x y x y 3 1 6 2 5       d)     x y x y 2 1 2 1 2 2 1 2 2          e) x y x y 3 2 16 4 3 5 3 11 2 5         f) x y y 3 1 5x 2 3       Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 1 8 18 5 4 51         b) x y x y 10 1 1 1 2 25 3 2 1 2             c) x y x y x y x y 27 32 7 2 3 45 48 1 2 3              d) x y x y 2 6 3 1 5 5 6 4 1 1           e) x y x y x y x y 2 9 3 2 17           f) x y x y x y x y 4 3 8 3 5 6           Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: Xét D Kết quả D  0 Hệ có nghiệm duy nhất yx DD x y D D ;        D = 0 Dx  0 hoặc Dy  0 Hệ vô nghiệm Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm
    14. 16. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi a) mx m y m x my ( 1) 1 2 2         b) mx m y m x m y ( 2) 5 ( 2) ( 1) 2          c) m x y m m x y m ( 1) 2 3 1 ( 2) 1           d) m x m y m x m y m ( 4) ( 2) 4 (2 1) ( 4)           e) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2          f) mx y m x my m 2 1 2 2 5         Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2          b) mx y x m y m 1 4( 1) 4        c) mx y x my m 3 3 2 1 0          Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mx y m x my m 2 1 2 2 5         b) mx m y m x my 6 (2 ) 3 ( 1) 2         c) mx m y m x my ( 1) 1 2 2         Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) ax y b x y3 2 5        b) y ax b x y2 3 4       c) ax y a b x y a2        d) a b x a b y a a b x a b y b ( ) ( ) (2 ) (2 )           e) ax by a b bx ay ab 2 2 2        f) ax by a b bx b y b 2 2 4        Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x y z x y z x y z 3 1 2 2 5 2 3 0             b) x y z x y z x y z 3 2 8 2 6 3 6             c) x y z x y z x y z 3 2 7 2 4 3 8 3 5               HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
    15. 17. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi I. lý thuyết: 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.  Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.  Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0     (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).  Đặt S = x + y, P = xy.  Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.  Giải hệ (II) ta tìm được S và P.  Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0   . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) f x y f y x ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2)     (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I)  f x y f y x f x y ( , ) ( , ) 0 (3) ( , ) 0 (1)       Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)  x y g x y( ). ( , ) 0   x y g x y( , ) 0     .  Như vậy, (I)  f x y x y f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0        .  Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d a x b xy c y d 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2         .  Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).  Khi x  0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0 . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 2 2 4 8 2 4       b) x xy x y 2 24 2 3 1       c) x y x y 2 ( ) 49 3 4 84       d) x xy y x y x y 2 2 3 2 3 6 0 2 3           e) x y xy x y 3 4 1 0 3( ) 9         f) x y xy x y 2 3 2 6 0        
    16. 18. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 chúng tôi g) y x x x y 2 4 2 5 0        h) x y x y y2 2 2 3 5 3 2 4        i) x y x xy y2 2 2 5 7        Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y x y m2 2 6      b) x y m x y x2 2 2 2        c) x y x y m2 2 3 2 1      Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y xy x y2 2 11 2( ) 31            b) x y x xy y2 2 4 13        c) xy x y x y x y2 2 5 8          d) x y y x x y 13 6 6        e) x x y y x y xy 3 3 3 3 17 5         f) x x y y x xy y 4 2 2 4 2 2 481 37         Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y xy m x y m2 2 3 2         b) x y m x y xy m m2 2 2 1 2 3          c) x y m xy x y m ( 1)( 1) 5 ( ) 4         Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2       b) x y x y y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2         c) x x y y y x 3 3 2 2       d) y x y x x y x y 3 4 3 4         e) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3          f) x y y y x x 2 2 1 2 1 2         Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x x my y y mx 2 2 3 3       b) x y m m y x m m 2 2 2 2 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 )         c) xy x m y xy y m x 2 2 ( 1) ( 1)         Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 1 3 3 13          b) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7          c) y xy x xy y 2 2 2 3 4 4 1        d) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15         e) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5         f) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 8 4 0 5 7 6 0         Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x mxy y m x m xy my m 2 2 2 2 ( 1)          b) xy y x xy m 2 2 12 26        c) x xy y m y xy 2 2 2 4 3 4       
    17. 19. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 chúng tôi BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m x m x m2 2 4 3    b) a b x a a a b a b x2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( )      c) a x ab b x a b2 2 2 2 2    d) a ax b ax b2 ( ) 4 5    Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x m x m x x 2 1 1 1       b) m x m x m x 2 2 1 1     c) mx m x x x 2 1 1 2 1 1 1        d) x x m1 2 3    Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m2 2 12 15 0   b) x m x m2 2 2( 1) 0    b) x mx m2 1 0    d) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại: a) x mx m x2 0 3 1 0; 2       b) x m x m x2 2 02 3 0; 1    . Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x3 3 1 2 0  ; x x2 2 1 2 3  a) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     b) x m x m2 2 2( 1) 0    c) x m x m2 2 2( 1) 2 0     d) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0      e) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0      f) x x m2 4 1 0    Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
    18. 20. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 chúng tôi i) Giải và biện luận phương trình. ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x1 2, độc lập với m. a) x m x m2 ( 1) 0    b) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     c) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0      d) x m x m2 2 2( 1) 2 0     Bài 7. Giải các phương trình sau: a) x x2 2 6 12   b) x x2 2 11 31   c) x x16 17 8 23   d) x x x2 2 8 3( 4)    e) x x x2 3 9 1 2 0     f) x x x2 51 2 1    g) x x x2 2 ( 3) 4 9    h) x x3 1 3 1    Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x4 3 10 3 2    b) x x x5 3 2 4     c) x x x3 4 2 1 3     d) x x x x2 2 3 3 3 6 3      e) x x x2 2 3 3 5     f) x x x3 3 5 2 4     g) x x x2 2 2 1 1 4      h) 811  xxx Bài 9. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 1 2 1 2      b) x x x x x 3 2 1 2 1 2        c) x x x x 4 2 2 1 1 2      d) x x x x2 2 13 7     e) x x x x2 2 2 3 1 3 4     f) x x x x2 2 2 3 2 1 9     g) x x x x2 2 2 4 2 2     h) x x x x2 2 2 5 3 5 23 6    
    19. 21. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 chúng tôi Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. a) mx y m x my a 2 1 2 2 1         b) mx y m x my m 3 2 1        c) x y m x y m 2 4 2 3 3         d) x y y x m 2 5 2 10 5        Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y y x2 2 1 6          b) x y x x y y 2 2 4 2 2 4 5 13        c) x y y x x y 2 2 3 3 30 35       d) x y x y x y 3 3 5 5 2 2 1       e) x y xy x y x y 2 2 4 4 2 2 7 21         f) x y xy x y x y2 2 11 3( ) 28          Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: a) x y xy x y x y 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49            b)   y x x y x y x y 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 24                c) x y x y x y x y 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4              d) x y x y x y xy 2 2 2 31 1 1 ( )(1 ) 6             e) x y y x y x xy y x xy xy x y 2 2 2 2 6 1 4             f) xy xy x y xy 1 4 1 ( ) 1 5               Bài 13. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2       b) x x y y y x 3 3 2 2       c) x x y y y x 3 3 3 8 3 8       d) x y y y x x 2 2 1 2 1 2         e) x y x y x y 2 2 3 2 3 2          f) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3         

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế
  • Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực
  • Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion
  • Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Môn Toán

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio
  • Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022
  • Giới Thiệu Nhóm Sản Phẩm Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh: “báo Cáo Sự Cố”
  • Người Giải Mã Tử Thi
  • Bài Giải Phương Trình Bậc 2
  • Published on

    1. 1. TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn văn huy 26-7-2012
    2. 3. 4 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng – hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Tổng hợp các bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình . . . . 297 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao . . . . 307 Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức . . . . . . . . . . . . . 312 Xây dựng phương trình từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . 324 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác. . . . . . . . 328 Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình. . . . . . . 331 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình. . . . . 345 Sáng tác hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Có mấy cách giải phương trình bậc hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Những vinh quang sau khi đã qua đời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
    3. 4. 5 Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Một cuộc đời trên bia mộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Chỉ vì lề sách quá hẹp! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Hai gương mặt trẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9 Tài liệu tham khảo 381
    4. 5. Lời nói đầu Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng rất lớn trong các ngành khoa học. Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tính toán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toán học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ – logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . ) Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và được yêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích và hình học, những bài toán phương trình – hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trở thành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thi Đại học. Đã có rất nhiều bài viết về phương trình – hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập một cách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu có một tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đàn MathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình – hệ phương trình mà chúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh. Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau: Chương I: Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách giải tổng quát phương trình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựng phương trình hữu tỉ. Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham số ,cũng như một số bài toán thường gặp trong các kì thi Học sinh giỏi. Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp những phương pháp quen thuộc như bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, . . . với nhiều bài toán mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình. Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đề Lượng giác của Diễn đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàm số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơn điệu, … Chương V: Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên đề. Nội dung của chương
    5. 6. 7 bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình hay trong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế. Chương VI: Sáng tạo phương trình – hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng một bài hay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hyperbolic, hàm đơn điệu, . . . Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương trình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình. Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựng chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp những ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra các bài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh. Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điều bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênh mọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin vui lòng chuyển đến [email protected] Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn Nguyễn Anh Huy
    6. 7. Các thành viên tham gia chuyên đề Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên của diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề: * Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) * Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên – Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền – Đồng Nai), Ong Thế Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) * Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương – Bình Phước), thầy Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT Nguyễn Huệ – Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế Hoà (10A7 THPT Long Khánh – Đồng Nai) * Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT – chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Thế Hòa (THPT Long Khánh – Đồng Nai) * Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình (11A5 THPT Trần Quốc Tuấn – Quảng Ngãi), * Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) * Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TP HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) * Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
    7. 8. 9 * Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) * Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong – Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) * Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy, Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) * Phương pháp đặt ẩn phụ tổng – hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) * Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) * Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong – Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) * Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền – Đồng Nai)
    8. 9. Chương I: Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H U T PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0 (1) Ta có (1) ⇔ a(x4 + 2×2 .k + k2 ) + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 ⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 Đến đây có hai hướng để giải quyết: Cách 1: Đưa phương trình về dạng A2 = B2 : Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa x2 sang bên phải. Cách 2: Đặt y = x2 + k ⇒ y k Phương trình (1) trở thành ay2 + bxy + (c − 2ak)x2 = 0 Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn x. Ví dụ: Giải phương trình: x4 − 8×3 + 21×2 − 24x + 9 = 0 (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6×2 ) − 8(x2 + 3) + 16×2 = 16×2 − 21×2 + 6×2 ⇔ (x2 − 4x + 3)2 = x2 ⇔ x2 − 4x + 3 = x x2 − 4x + 3 = −x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 x2 − 3x + 3 = 0 ⇔    x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Cách 2: (1.1) ⇔ (x4 + 6×2 + 9) − 8x(x2 + 3) + 15×2 = 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15×2 = 0 Đặt y = x2 + 3. (1.1) trở thành: y2 − 8xy + 15×2 = 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔ y = 3x y = 5x Với y = 3x: Ta có x2 + 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm Với y = 5x: Ta có x2 + 3 = 5x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 ⇔    x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S = 5 + √ 13 2 ; 5 − √ 13 2 Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi thế riêng. Với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà
    9. 20. 21 Ví dụ: Giải phương trình: x4 + x2 − 6x + 1 = 0 (5.1) Ta có: (5.1) ⇔ x4 + 4×2 + 4 = 3×2 + 6x + 3 ⇔ (x2 + 2)2 = 3(x + 1)2 ⇔ x2 + 2 = √ 3(x + 1) x2 + 2 = − √ 3(x + 1) ⇔ x2 − √ 3x + 2 − √ 3 = 0 x2 + √ 3 + 2 + √ 3 = 0 ⇔     x = √ 3 − 4 √ 3 − 5 2 x = √ 3 + 4 √ 3 − 5 2 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = √ 3 − 4 √ 3 − 5 2 ; √ 3 + 4 √ 3 − 5 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. x4 − 19×2 − 10x + 8 = 0 2. x4 = 4x + 1 3. x4 = 8x + 7 4. 2×4 + 3×2 − 10x + 3 = 0 5. (x2 − 16)2 = 16x + 1 6. 3×4 − 2×2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự. Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước. Phương trình này có thể cho 3 nghiệm m, cần lựa chọn m sao cho việc tính toán là thuận lợi nhất. Tuy nhiên, dù dùng nghiệm m nào thì cũng cho cùng một kết quả. Phương trình bậc bốn tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (7) Phân tích các hạng tử bậc 4, 3, 2 thành bình phương đúng, các hạng tử còn lại chuyển sang vế phải: (7) ⇔ 4a2 x4 + 4bax3 + 4cax2 + 4dax + 4ae = 0 ⇔ (2ax2 + bx)2 = (b2 − 4ac)x2 − 4adx − 4ae Thêm vào hai vế một biểu thức 2(2ax2 + bx)y + y2 (y là hằng số) để vế trái thành bình phương đúng, còn vế phải là tam thức bậc hai theo x: f(x) = (b2 − 4ac − 4ay)x2 + 2(by − 2ad)x − 4ae + y2 Tính y sao cho vế phải là một bình phương đúng. Như vậy, ∆ của vế phải bằng 0. Như vậy ta phải giải phương trình ∆ = 0. Từ đó ta có dạng phương trình A2 = B2 quen thuộc. Ví dụ: Giải phương trình x4 − 16×3 + 66×2 − 16x − 55 = 0 (7.1) (7.1) ⇔ x4 − 16×3 + 64×2 = −2×2 + 16x + 55 ⇔ (x2 − 8x)2 + 2y(x2 − 8x) + y2 = (2y − 2)x2 + (16 − 16y)x + 55 + y2 Giải phương trình ∆ = 0 ⇔ (8 − 8y)2 − (55 + y2 )(2y − 2) = 0 tìm được y = 1, y = 3, y = 29. Trong các giá trị này, ta thấy giá trị y = 3 là thuận lợi nhất cho việc tính toán.
    10. 22. 23 Như vậy, chọn y = 3, ta có phương trình: (x2 − 8x + 3)2 = 4(x − 4)2 ⇔ x2 − 8x + 3 = 2(x − 4) x2 − 8x + 3 = −2(x − 4) ⇔ x2 − 10x + 11 = 0 x2 − 6x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± √ 14 x = 5 ± √ 14 Phương trình (7.1) có tập nghiệm S = 3 + √ 14; 3 − √ 14; 5 + √ 14; 5 − √ 14 Nhận xét: Ví dụ trên cho ta thấy phương trình ∆ = 0 có nhiều nghiệm. Có thể chọn y = 1 nhưng từ đó ta có phương trình (x2 −8x+1)2 = 56 thì không thuận lợi lắm cho việc tính toán, tuy nhiên, kết quả vẫn như nhau. Một cách giải khác là từ phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d = 0 đặt x = t− a 4 , ta sẽ thu được phương trình khuyết bậc ba theo t, nghĩa là bài toán quy về giải phương trình t4 = at2 +bt+c. Bài tập tự luyện 1. x4 − 14×3 + 54×2 − 38x − 11 = 0 2. x4 − 16×3 + 57×2 − 52x − 35 = 0 3. x4 − 6×3 + 9×2 + 2x − 7 = 0 4. x4 − 10×3 + 29×2 − 20x − 8 = 0 5. 2×4 − 32×3 + 127×2 + 38x − 243 = 0 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC Phương trình dạng x2 + a2 x2 (x + a)2 = b (2) Ta có: (2) ⇔ x − ax (x + a) 2 + 2x. ax x + a = b ⇔ x2 x + a 2 + 2a. x2 x + a + a2 = b + a2
    11. 23. 24 Đặt y = x2 x + a . Giải phương trình bậc hai theo y để tìm x. Ví dụ: Giải phương trình: x2 + 9×2 (x + 3)2 = 7 (2.1) Điều kiện: x = −3. (2.1) ⇔ x − 3x x + 3 2 + 6. x2 x + 3 = 7 ⇔ x2 x + 3 2 + 6. x2 x + 3 = 7 Đặt y = x2 x + 3 . Ta có phương trình y2 + 6y − 7 = 0 ⇔ y = 1 y = −7 Nếu y = 1: Ta có phương trình x2 = x + 3 ⇔ x = 1 ± √ 13 2 Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình (2.1) có tập nghiệm: S = 1 + √ 13 2 ; 1 − √ 13 2 Nhận xét: Dựa vào cách giải trên, ta có thể không cần phải đặt ẩn phụ mà thêm bớt hằng số để tạo dạng phương trình quen thuộc A2 = B2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. x2 + 4×2 (x + 2)2 = 12 2. x2 + 25×2 (x + 5)2 = 11 3. x2 + 9×2 (x − 3)2 = 14 4. 25 x2 − 49 (x − 7)2 = 1 5. 9 4(x + 4)2 + 1 = 8 (2x + 5)2 Đưa về phương trình tích Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Chia tử và mẫu cho cùng một số ∪ [20 3 ; 12] 2 Nhận xét: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể: * Khi đặt t = u(x)(x ∈ D), ta tìm được t ∈ D1 và phương trình f(x, m) = 0 (1) trở thành g(t, m) = 0 (2). Khi đó (1) có nghiệm x ∈ D ⇒ (2) có nghiệm t ∈ D1. * Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x)). * Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị t ∈ D1 thì phương trình t = u(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D. Bài 12: Tìm m để phương trình m( √ x − 2 + 2 4 √ x2 − 4) − √ x + 2 = 2 4 √ x2 − 4 có nghiệm
    12. 40. 41 Từ đây, thay x = y + 1 vào phương trình thứ hai ta được: 15 + 2y − y2 = 2m + 4 − y2 ⇔ (5 − y) (y + 3) − 4 − y2 = 2m Đến đây ý tưởng đã rõ, ta chỉ cần chuyển về tương giao giữa hai đồ thị. Bài 20: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực: x3 + (y + 2) x2 + 2xy = −2m − 3 x2 + 3x + y = m Giải Ý tưởng: Ở hệ này ta quan sát thấy bài toán còn chưa rõ đường lối nào vì cả hai phương trình trong hệ đều chứa đến tham số m. Vì vậy để đi đến hướng giải quyết tốt ta nên bắt đầu phân tích hai vế trái trong hai phương trình trong hệ. Cụ thể ta có: x3 + (y + 2) x2 + 2xy = x3 + yx2 + 2×2 + 2xy = x2 (x + y) + 2x (x + y) = (x + y) x2 + 2x Mặt khác: x2 + 3x + y = x2 + 2x + x + y Rõ ràng ở bước phân tích này ta đã tìm ra lối giải cho bài toán này đó chính là đặt ẩn phụ. Lời giải: Đặt: a = x2 + 2x −1 b = x + y ta có hệ phương trình a + b = m ab = −2m − 3 ⇔ a2 − 3 = (a + 2) m (1) b = m − a Từ phương trình (1) trong hệ ta có: a2 − 3 a + 2 = m (2) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm a −1. Xét hàm số: f (x) = x2 − 3 x + 2 với x −1 Đến đây ta chỉ cần lập bảng bíến thiên. Công việc tiếp theo xin dành cho bạn đọc. Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để phương trình tan2 x + cot2 x + m(cot x + tan x) = 3 có nghiệm Bài 2: Tìm m để phương trình √ x + √ −x + 9 = √ 9x − x2 + m có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình √ 3 + x + √ −x + 6 − √ 18 + 3x − x2 = m có nghiệm Bài 4: Tìm m để phương trình x3 − 4mx2 + 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 5: Tìm m để phương trình x3 + 3×2 + (3 − 2m) x + m + 1 = 0 có đúng một nghiệm lớn hơn 1. Bài 6: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: 4×2 − 2mx + 1 = 3 √ 8×3 + 2x
    13. 45. 46 PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Lý thuyết Bài toán: Cho hệ phương trình (hoăc hệ bất phương trình) chứa tham số có dạng: (I)    f(x, m) = 0 x ∈ Dx m ∈ Dm hoặc (II)    f(x, m) 0 x ∈ Dx m ∈ Dm Trong đó x là biến số, m là tham số, Dx, Dm là miền xác định của x và m. Yêu cầu đăt ra: ta phải tìm giá trị của tham số m để hệ (I) họăc (II) thỏa mãn một tính chất nào đó. Phương pháp giải: Bước 1 (điều kiện cần): Giả sử hệ thỏa mãn tính chất P nào đó mà đầu bài đòi hỏi. Khi đó, dựa vào đặc thù của tính chất P và dạng của phương trình ta sẽ tìm được một ràng buộc nào đó đối với tham số m và ràng buộc ấy chính là điều kiện cần để có tính chất P. Điều đó có nghĩa là: nếu với m0 không thỏa mãn ràng buộc trên thì chắc chắn ứng với m0, hệ không có tính chất P. Bước 2 (điều kiện đủ): Ta tìm xem trong các giá trị của m vừa tìm được, giá trị nào làm cho hệ thỏa mãn tính chất P. Ở bước này nói chung ta cũng chỉ cần giải những hệ cụ thể không còn tham số. Sau khi kiểm tra, ta sẽ loại đi những giá trị không phù hợp và những giá trị còn lại chính là đáp số của bài toán. Như vậy, ý tưởng của phương pháp này khá rõ ràng và đơn giản. Trong rất nhiều bài toán về biện luận thì phương pháp này lại thể hiện ưu thế rõ rệt. Tuy nhiên, thành công của phương pháp còn nằm ở chỗ ta phải làm thế nào để phát hiện điiều kiện cần một cách hợp lí và chọn điều kiện đủ một cách đúng đắn. Bài tập ví dụ Sử dụng tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 √ x + 4 √ 1 − x + √ x + √ 1 − x = m (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = α Dễ thấy nếu (1) có nghiệm x = α thì (1) cũng có nghiệm x = 1 − α. Vì nghiệm là duy nhất
    14. 46. 47 nên α = 1 − α ⇔ α = 1 2 Thay α = 1 2 vào (1) ta tìm được m = √ 2 + 4 √ 8. Điều kiện đủ: Giả sử m = √ 2 + 4 √ 8, khi đó (1) có dạng sau: 4 √ x + 4 √ 1 − x + √ x + √ 1 − x = √ 2 + 4 √ 8 (2) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: √ x + √ 1 − x √ 2 và 4 √ x + 4 √ 1 − x 4 √ 8 Do đó (2) ⇔ x = 1 − x ⇔ x = 1 2 . Vậy để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là m = √ 2 + 4 √ 8 2 Bài 2: Tìm a và b để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 (ax + b)2 + 3 (ax − b)2 + 3 √ a2x2 − b2 = 3 √ b (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = x0, khi đó dễ thấy x = −x0 cũng là nghiệm của (1). Do đó từ giả thiết ta suy ra x0 = 0. Thay x0 = 0 vào (1) ta được : 3 √ b2 = 3 √ b ⇒ b = 0 b = 1 Điều kiện đủ: Khi b = 0, (1) có dạng: 3 √ a2x2 + 3 √ a2x2 + 3 √ a2x2 = 0 ⇔ a2 x2 = 0 Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 Khi b = 1, (1) có dạng: 3 (ax + 1)2 + 3 (ax − 1)2 + 3 √ a2x2 − 1 = 1 (∗) Đặt u = 3 √ ax + 1; v = 3 √ ax − 1, ta thấy: (∗) ⇔ u3 − v3 = 2 u2 + uv + v2 = 1 ⇔ u − v = 2 u2 + uv + v2 = 1 ⇔ u = 1 v = −1 ⇔ ax + 1 = 1 ax − 1 = −1 ⇔ ax = 0 Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 Tóm lại, để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là a = 0; b = 0 b = 1 2 Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:    √ 7 + x + √ 11 − x − 4 = m − 4 − 3 √ 10 − 3m 7 + y + 11 − y − 4 = m − 4 − 3 √ 10 − 3m
    15. 50. 51 Nếu b = 0 ⇒ b2 + 1 = 1 nên từ (1) có y = 0, nhưng không thoả (2). Vậy trường hợp này loại. Nếu a = 1: ta có    x2 + (b2 + 1)y = 1 bxy + x2 y = 0 Hệ trên luôn có nghiệm x = y = 0. Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm với mọi b 2 Bài 8: Tìm điều kiện của a, b, c, d, e, f để hai phương trình ẩn (x; y) sau là tương đương:    ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) x2 + y2 = 1 (2) Giải Điều kiện cần: Ta thấy (x; y) = (0; ±1) , (±1; 0) , 1 √ 2 ; 1 √ 2 , − 1 √ 2 ; − 1 √ 2 là nghiệm của (2). Do đó (1) cũng phải có các nghiệm trên. Như vậy    c + e + f = c − e + f = a + d + f = a − d + f = 0 a + b + c + √ 2d + √ 2e + 2f 2 = a + b + c − √ 2d − √ 2e + 2f 2 = 0 Giải hệ trên ta tìm được điều kiện cần của bài toán là (∗)    b = d = e = 0 a = c = −f = 0 Điều kiện đủ: Dễ thấy với (*) thì (2) trùng với (1). Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để (1) ⇔ (2) 2 Bài 9: Cho phương trình x3 + ax + b = 0 (1) Tìm a, b để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 cách đều nhau. Giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có 3 nghiệm khác nhau x1, x2, x3 thỏa giả thiết ⇒ x1 + x3 = 2×2 Theo định lý Viete với phương trình bậc 3 ta có: x1 + x2 + x3 = 0 ⇒ 3×2 = 0 ⇒ x2 = 0 Thay x2 = 0 vào (1) ta được b = 0 Điều kiện đủ: Giả sử b = 0 , khi đó (1) trở thành: x3 + ax = 0 ⇔ x(x2 + a) = 0 (2) Ta thấy (2) có 3 nghiệm phân biệt nếu a < 0. Khi đó các nghiệm của (2) là    x1 = − √ −a x2 = 0 x3 = √ −a

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình
  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)
  • Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2
  • Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Môn Toán
  • Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio
  • Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022
  • Giới Thiệu Nhóm Sản Phẩm Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh: “báo Cáo Sự Cố”
  • 1. Phương pháp giải phương trình bậc ba.

    Xét phương trình bậc ba dạng tổng quát bao giờ cũng đưa về được phương trình bậc ba dạng chính tắc bằng cách chia hai vế của cho để được và đặt thì ta sẽ thu được .

    Xét biểu thức .

    2. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt.

    a) Phương trình trùng phương : .

    b) Phương trình dạng . c) Phương trình dạng với .

    Đưa phương trình về dạng và đặt thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn .

    d) Phương trình dạng với .

    Đưa phương trình về dạng

    Bằng cách chia hai vế cho và đặt ta thu được phương trình bậc hai theo

    e) Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hệ số phản hồi.

    Phương trình trên được gọi là phương trình hệ số phản hồi nếu .

    Khi đó bằng cách chia hai vế cho và đặt ẩn phụ thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn

    3. Phương pháp sử dụng một số hằng đẳng thức.

    Ví dụ : Giải phương trình

    Để ý hằng đẳng thức

    Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

    4. Phương pháp đặt ẩn phụ.

    Ví dụ : Giải phương trình

    Điều kiện .

    Từ đó ta có hệ phương trình

    Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

    5. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 6. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

    Ví dụ : Giải phương trình

    Đặt

    Cộng vế theo vế hai phương trình này :

    Xét hàm số , dễ thấy hàm này đồng biến trên nên

    Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

    7. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

    Ví dụ : Giải phương trình

    Điều kiện .

    Đẳng thức xảy ra khi

    Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

    8. Phương pháp dùng lượng liên hợp.

    Phương pháp này dùng được cho những phương trình chứa căn thức và khi biết trước nghiệm của phương trình.

    Một số hằng đẳng thức dùng để trục căn thức :

    Ví dụ : Giải phương trình

    Phương trình tương đương :

    Mà dễ thấy rằng

    Nên .

    Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

    Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)
  • Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Bai Giang Phuong Trinh Vi Phan
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100