Top 14 # Phương Trình Lượng Giác Khó Có Lời Giải / 2023 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 12/2022 # Top Trend | Caffebenevietnam.com

Bài Tập Về Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải / 2023

Bài tập về phương trình Lượng giác có lời giải

Baøi taäp veà phöông trình löôïng giaùc   1. 2 2 sin  x + π 1 1 + = 4  sin x cos x π  2 sin  x +  π sin x + cos x π 4   ⇔ 2 2 sin(x + ) = ⇔ 2 2 sin  x +  = 4 sin x cos x 4 sin x cos x  π π    sin(x + 4 ) = 0  x = − 4 + kπ π  1   ⇔ 2 sin  x +   2 −  = 0 ⇔   sin x cos x ≠ 0 ⇔   sin 2x ≠ 0 4  sin x cos x       2sin x cos x = 1   sin 2x = 1    π  π  x = − 4 + kπ ⇒ sin 2x = sin  − 2  = − 1 ≠ 0 π   ⇔ ⇔ x = ± + kπ 4 π π   sin 2x = 1 ⇔ 2x = 2 + k2π ⇔ x = 4 + kπ  3 3 5 5 2. C1. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) (k ∈ Z) ⇔ sin 3 x − 2 sin 5 x = 2 cos 5 x − cos 3 x ⇔ sin 3 x (1 − 2 sin 2 x ) = cos 3 x (2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 3 x cos 2 x = cos 3 x cos 2 x  cos 2x = 0  cos 2x = 0 ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ 3  sin x = cos x  tg x = 1 3 3 5 5 C2. sin x + cos x = 2(sin x + cos x )  cos 2x = 0 π π π π π ⇔ x = + m ∨ x = + kπ ⇔ x = + m (m ∈ Z)  tgx = 1 4 2 4 4 2  ⇔ (sin 3 x + cos 3 x )(sin 2 x + cos 2 x ) = 2(sin 5 x + cos 5 x ) ⇔ sin 3 x cos 2 x + cos 3 x sin 2 x = sin 5 x + cos 5 x ⇔ sin 3 x (cos 2 x − sin 2 x ) = cos 3 x (cos 2 x − sin 2 x )  cos2 x − sin 2 x = 0  cos2 x − sin 2 x = 0 ⇔ (cos x − sin x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  3 3 ⇔   cos x − sin x = 0  cos x = sin x 2 2 3 3 2 2 π π ⇔  cos x − sin x = 0 ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ Z) 42  cos x = sin x 3. sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 1 − cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x ⇔ = + ⇔ (cos 4x + cos 2x) + (1 + cos 6x) = 0 2 2 2 ⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 2 3x = 0 ⇔ 2 cos 3x (cos x + cos 3x ) = 0 ⇔ 4 cos 3x cos 2 x cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos 2 x = 0 ∨ cos 3x = 0 ⇔ x = π π π π π + kπ ∨ x = + k ∨ x= + k 2 4 2 6 3 (k ∈ Z) 6 6 8 8 4. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) ⇔ sin 6 x − 2 sin 8 x = 2 cos 8 x − cos 6 x ⇔ sin 6 x(1 − 2 sin 2 x ) = cos 6 x(2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 6 x cos 2x = cos 6 x cos 2x π π  x= + m  cos 2 x = 0  cos 2 x = 0  cos 2x = 0 4 2 ⇔ x = π + m π (m ∈ Z) ⇔ 6  sin x = cos 6 x ⇔  tg 6 x = 1 ⇔  tgx = ± 1 ⇔  π  4 2    x = ± + kπ 4  5. sin x − cos x + sin x + cos x = 2 1 ⇔ ( sin x − cos x + sin x + cos x ) 2 =4 ⇔ 1 − sin 2 x + 1 + sin 2 x + 2 sin 2 x − cos 2 x = 4 ⇔ 2 cos 2 x = 2 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = k π 2 13 cos 2 2x 8 13 2 3 2 ⇔ (cos x ) − (sin x ) 3 = cos 2 2 x 8 6 6 6 . cos x − sin x = ⇔ (cos 2 x − sin 2 x )(cos 4 x + sin 4 x + sin 2 x cos 2 x ) = ⇔ cos 2x (1 − 13 cos 2 2x 8 1 1 13 sin 2 2x + sin 2 2x ) = cos 2 2x ⇔ cos 2x (8 − 2 sin 2 2x ) = 13 cos 2 2x 2 4 8 cos 2x = 0 cos 2 x = …

Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số / 2023

Ví dụ 36.

Cho phương trình: sin3x – mcos2x = (m + 1)sinx + m = 0.

Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0, 3$pi$).

Giải.

Phương trình đã cho tương đương với :

sinx(4$sin^{2}$x – 2msinx + m – 2) = 0.

Từ đó ta được hai phương trình:

sinx = 0 (1)

4$sin^{2}$x – 2msinx + m – 2 = 0. (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1}$ = $pi$, $x_{2}$ = 2$pi$ thuộc (0, 3$pi$). Do vậy, yêu cầu của bài toán đòi hỏi phương trình (2) phải có đúng 6 nghiệm thuộc (0, 3$pi$) nhưng khác $pi$ và 2$pi$.

Đặt t = sinx. Phương trình (2) tương đương với :

Để phương trình (2) có 6 nghiệm trong khoảng (0, 3$pi$), điều kiện cần và đủ là phương trình (3) có 2 nghiệm $t_{1}$, $t_{2}$ thoả mãn một trong hai trường hợp a) và b) sau đây :

Ví dụ 37.

Với giá trị nào của a thì phương trình 1 + $sin^{2}$ax = cosx có nghiệm duy nhất?

Giải.

Ta có vế trái lớn hơn hoặc bằng 1, đẳng thức xảy ra khi

sinax = 0 ⇔ ax = k$pi$ (k $in$ Z).

Vế phải của phương trình nhỏ hơn hoặc bằng 1, đẳng thức xảy ra khi x = l2$pi$ (l $in$ Z).

Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ (1) và (2):

Khi a = 0, phương trình có vô số nghiệm x = k2$pi$ (k $in$ Z).

Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

Ta thấy khi k = l = 0 thì x = 0 thoả mãn phương trình. Vì vậy, để phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là không tồn tại k $neq$ 0 thoả mãn (3).

Nếu a là số hữu tỉ thì tồn tại vô số k $neq$ 0 thoả mãn (3).

Nếu a là số vô tỉ thì không có k $neq$ 0 nào thoả mãn (3).

Vậy để phương trình 1 + $sin^{2}$ax = cosx có nghiệm duy nhất điều kiện cần và đủ là a là số vô tỉ.

Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết / 2023

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11 Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời …

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Bài tập câu hỏi trắc nghiệm phương trình lượng giác có lời giải chi tiết lớp 11

Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác / 2023

Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.

Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$ b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$ c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$

a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt. Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$ $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$ b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$ Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$ c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$ Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$ Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$ $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos ^24x = 1 cos ^24x = – frac12left( loại right) endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl sin 2x = 0 cos 2x = 0left( loại right) endarray right.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$

2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích. $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$ b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng. $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$ c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$ $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl sin x = 0 2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0 endarray right.$ Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$ d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$ Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích. $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 4x = 0 cos 2x = – frac12 endarray right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$ b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$ $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$ $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$ c. Điều kiện: $cos x ne 0.$ $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$ Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$ d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$ b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 2 + kpi x = – fracpi 4 + kpi endarray right.left( k in Z right)$ c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$ d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$ $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$ Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$ Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$). Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$

4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức) Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$ b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$ c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$ d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$

a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = – fracpi 6 + k2pi x = fracpi 2 + k2pi endarray right.$ $left( k in Z right).$ b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào? Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau: Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 1 cos 2x = – frac12 endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải. c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$ $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$ d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 tan 2x = 1 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 4 + kfracpi 2 x = fracpi 8 + kfracpi 2 endarray right.$ $left( k in Z right).$

. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$ b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$ c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$ d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$

a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$ $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl cos 2x = 0 cos 2x = frac12 endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl x = fracpi 4 + kfracpi 2 x = pm fracpi 6 + kpi endarray right.$ $left( k in Z right).$ b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl x ne fracpi 4 + k2pi x ne frac{3pi }4 + k2pi endarray right.$ $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$ $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$ $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$ c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$ d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$ $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$